DUMMY
Matematikk og fysikk RF3100
Øving
20. mars 2015
Tidsfrist: 7.april 2015, klokken 23.55
Onsdag 25. mars kom det til en ekstraoppgave: Oppgave 4. Denne kan du
velge å gjøre istedenfor oppgave 3. Det betyr at man må gjøre oppgave 1 og 2
samt 3 eller 4. Det anbefales at man gjør alle oppgavene.
Oppgave 1
Her studerer vi et prosjektil som beveger seg under gravitasjon på 2 sm2 vertikalt
nedover. Vi bruker x, y-koordinater der x-aksen er horisontal og y-aksen peker
vertikalt oppover. Ved t = 0 har prosjektilet posisjonsvektor
x(0) = x0 = [−1 m, 1 m]
og hastighetsvektor
v(0) = x0 (0) = v0 = [1 ms , 2 ms ].
a)
Skriv opp akselerasjonsvektoren a for denne bevegelsen.
b)
Skriv opp v(t) uttrykt ved t, altså formlene for x, y-komponentene.
c)
Skriv opp x(t) uttrykt ved t, altså formlene for x, y-komponentene.
d)
Hvor høyt kommer prosjektilet i forhold til utgangspunktet?
e)
Hvor krysser prosjektilet x-aksen?
f)
Vi befinner oss et sted der bakken heller som beskrevet av ligningen 2y − x = 1.
Regn ut koordinatene til punktet K der prosjektilet kolliderer med bakken.
Se figur:
t=0
K
1
til
sjek
x=
pro
−
2y
Oppgave 2
Her studerer vi en kloss med masse på 2 kg som beveger seg langs et skråplan
med hellingsvinkel θ = 45◦ .
I friksjonsberegningene i denne oppgaven regner vi med en dynamisk (kinetisk)
friskjonskoeffesient µk = 0.9 og en statisk friksjonskoeffesient µs = 1.5. Vi
regner med at tyngden akselerasjon, g = 9.81 sm2 .
Vi kan la f betegne kontaktkraften mellom klossen og flaten den beveger seg på,
mens e kan betegner gravitasjonskraften.
a)
Regn ut komponentene av gravitasjonskraften langs skråplanet og på tvers av
skråplanet, altså ek og e⊥ .
b)
Regn ut normalkraften f⊥ av skråplanet på klossen.
c)
Hvor stor akselerasjon opplever klossen dersom den har startfart på 0 ms ?
d)
Hvor stor akselerasjon opplever klossen dersom vi gir den en startfart på 2 ms
oppover langs skråplanet?
e)
Hvor stor akselerasjon opplever klossen dersom vi gir den en startfart på 2 ms
nedover langs skråplanet?
Oppgave 3
Her skal vi bruke ParticleSimulation.java til å simulere partikkelbevegelse i
gravitasjonsfeltet nær jordoverflaten. Java-koden her er så å si identisk med
PlanetSimulation.java, som ble brukt i en tidligere øving.
Her bruker vi Størmer-Verlet-metoden1 i alle bevegelsesberegninger.
Fysikken er bestemt av noen parametere:
• g: Tyngdens akselerasjon. I simuleringen tilpasser vi denne til det som ser
best ut. Denne konstanten er felles for alle partikler.
• k: Luftmotsandskoeffesienten. Denne er partikkel-spesifikk, og vi kan
lage partikler med ulik luftmotstand. Luftmotstanden for en partikkel
med hastighetsvektor v,
(∗)
fair = −kkvkv.
Når vi arbeider med luftmotstand møter vi på en utfordring: Vi må estimere
hastighetsvektoren ved tidssteg i. Det vanligste estimatet er
v(ti ) ≈
xi − xi−1
.
ti − ti−1
1 Størmer-Verlet-metoden er eksakt når akselerasjonen er konstant. Det betyr at beregningen er
eksakte så lenge vi ikke tar med luftmotstand.
Dette er litt problematisk, i og med at vi her ser på gjennomsnittsfarten på et
tidsintervall som ikke er sentrert om ti . Det er mulig å kompensere for dette,
men situasjonen blir fort veldig uoversiktlig.
Denne oppgaven besvares elektronisk: Lever alt inn i en fil ParticleSimulation.java.
a)
Fullfør klassen Particle. Denne skal simulere bevegelse influert av gravitasjon, men uten luftmotstand.
b)
Fullfør klassen ParticleWithAirDrag. Denne skal simulere bevegelse med
luftmotstand, innenfor modellen (∗).
c)
Vi ønsker at partiklene skal sprette tilbake når de når kanten av vinduet etter prinsippet om at inngangsvinkel = utgangsvinkel. Modifiser klassene
Particle og ParticleWithAirDrag slik at de oppfører seg slik.
d)
Lag en simulering med flere partikler der du sammenligner partikler med ulik
luftmotstand.
e)
Fullfør PlanetSimulation.java fra øving 6.
Oppgave 4
I denne oppgaven følger vi notasjonen i seksjon 12.4.2 i læreboka.
To kuler med masser m1 = 2 kg og m2 = 1 kg og hastighetsvektorer
v1 = [1, 0] ms ,
v2 = [0, 1] ms
kolliderer på et tidspunkt der sentrum i kulene har posisjonsvvektor x1 = [1, 1]
og x2 = [2, 0]
a)
Regn ut vrel og finn en normalvektor n for kollisjonen.
Regn ut vrel · n og n · n.
b)
Regn ut impulsen kn i støtet når e = 1 og regn ut farten til kulene etter støtet.
c)
Regn ut impulsen kn i støtet når e = 1/2 og regn ut farten til kulene etter støtet.
d)
Regn ut impulsen kn i støtet når e = 0 og regn ut farten til kulene etter støtet.
e)
Anta at kollisjonen er totalt uelastisk, d.v.s. at kulene smelter sammen i kollisjonen, og forutsetter som ett legeme.
Regn ut farten til felleslegemet etter kollisjonen.