1. No category

Newtons lover i to og tre dimensjoner
11.02.2015
Oblig 2: Det manglet tallverdier for parameterne i oppgave k)
(for å skrive et program). En ny versjon ble lagt ut i går.
Fellesinnleveringer i Devilry:
 Det er mulig å definere en gruppe.
 Skriv også tydelig på besvarelse hvem deltar i fellesinnlevering
(for å være sikker at det blir registrert).
FYS-MEK 1110
11.02.2015
1
Skrått kast uten luftmotstand
akselerasjon:

a   g ˆj
hastighet:
vx (t )  v0 cos( )
v y (t )  v0 sin( )  gt
posisjon:
x(t )  v0 t cos( )
1
y (t )  v0 t sin( )  gt 2
2
FYS-MEK 1110
11.02.2015
2
Skrått kast med luftmotstand




Fnet  FD  G   D v v  mg ˆj
horisontal og vertikal bevegelse ikke lenger uavhengig:
d 2x
D
ax  2   vx vx2  v y2
dt
m
numerisk løsning
d2y
D
a y  2   v y vx2  v y2  g
dt
m
D = 0.0049 kg/m
D = 0 kg/m
initialbetingelser:
h  20 m
v0  20 m/s
  35
FYS-MEK 1110
11.02.2015
3
http://pingo.upb.de/
access number: 8178
En dyrevokter skyter en bedøvelsespil på en lettskremt ape.
Når apen hører skuddet slipper han taket i samme øyeblikk som
pilen forlater geværet. Hvilket punkt bør vokteren sikte på for å
treffe apen? (Vi ser bort fra luftmotstand.)
A. rett på apen y  h
h
2
h
C. enda lavere y 
2
B. lavere
y
D. avhengig av pilens initialhastighet
FYS-MEK 1110
11.02.2015
A
B
C
4
Demonstrasjon ved Harvard University
FYS-MEK 1110
11.02.2015
http://www.youtube.com/watch?v=0jGZnMf3rPo
5
Skrått ballkast med luftmotstand: hva skjer etter ballen treffer på gulvet?
Kan vi beskrive bevegelsen videre?
eksempel: bordtennisball
FYS-MEK 1110
11.02.2015
6
Skrått ballkast med luftmotstand: hva skjer etter ballen treffer på gulvet?
Kan vi beskrive bevegelsen videre?
ball som spretter fra
gulvet i én dimensjon.
Normalkraften
oppstår hvis: y(t )  R
Ballen deformeres
 vi modellerer normalkraften
som en fjærkraft:

N   k L ˆj
  k R  y (t )  ˆj
N 

0

FYS-MEK 1110
11.02.2015
yR
yR
Normalkraften virker alltid vertikal oppover
uansett i hvilke retning ballen beveger seg.
7
husk:
å modellere normalkraften som en
lineær fjærkraft er bare en tilnærming!
krefter som oppstår når ballen
(og gulvet) deformeres kan være
mer komplisert.
eller enda mer komplisert
FYS-MEK 1110
11.02.2015
8
fri-legeme diagram:
kontaktkrefter:
 luftmotstand
 normalkraft
alle krefter har årsak
i omgivelsen og virker
på systemet (=ball)
langtrekkende kraft:
 gravitasjon
kraftmodeller:
luftmotstand:


FD   D v v
normalkraft:
  k R  y (t )  ˆj
N 

0

gravitasjon:
fra luften på ballen,
hastighetsavhengig,
motsatt bevegelsesretning
yR
yR

G  mg ˆj
fra gulvet på pallen,
posisjonsavhengig,
oppover (vinkelrett på gulvet)
fra jorden på ballen
konstant,
nedover (mot jordens sentrum)
(Vi ser bort fra friksjon mellom ball og gulvet.)
FYS-MEK 1110
11.02.2015
9


FD   D v v
luftmotstand:
normalkraft:
  k R  y (t )  ˆj
N 

0

gravitasjon:

G  mg ˆj
N2L:
yR
yR


 


Fnet   Fext  FD  N  G  ma

 F
a  net
m
FYS-MEK 1110
11.02.2015
10
Numerisk løsning:
FYS-MEK 1110
11.02.2015
11
y [m]
ikke perfekt:
 ingen dempning i fjærkraften
 ingen friksjon
men ikke så ille...
x [m]
FYS-MEK 1110
11.02.2015
12
Resultat (med og uten luftmotstand)
dempet bevegelse
i x og y retning
FYS-MEK 1110
11.02.2015
13
valg av tidssteg
t = 0.001 s
t = 0.01 s
t = 0.03 s
FYS-MEK 1110
11.02.2015
14
valg av tidssteg
Normalkraften er stor og virker i kort tidsintervall.
Bevegelse i luft: jevnt uten store forandringer;
store forendringer mens i kontakt med bakken.
t = 0.001 s
t = 0.01 s
t = 0.03 s
FYS-MEK 1110
11.02.2015
15
t = 0.001 s
t = 0.01 s
t = 0.03 s



v (t  t )  v (t )
a (t )  lim
t 0
t
for små tidssteg t:



v (t  t )  v (t )
a (t ) 
t
FYS-MEK 1110
11.02.2015
16
Gravitasjon
generell:


mM r
mM
FG   2
  2 uˆr
r r
r
û r enhetsvektor i radial retning
Hittil har vi sett på objekter på jordens overflate:
 M og r er konstant.
 Vi betrakter en lokal begrenset del av jordoverflaten.
 vi neglisjerer krumning
 kartesisk koordinatsystem

mM
F   2 ˆj  mg ˆj
r
g  9.81
y
x
m
s2
Hvis vi ser på planetes baner eller kometer,
så må vi bruke den generelle gravitasjonsloven.
FYS-MEK 1110
11.02.2015
17
http://pingo.upb.de/
access number: 8178
En komet med masse m beveger seg gjennom vårt
solsystem og er bare påvirket av gravitasjonskraften
fra solen. Hvilket utsagn er riktig?
A. Kometen beveger seg på en sirkelbane rundt solen.
B. Kometen beger seg på en elliptisk bane med solen i et brennpunkt.
C. Gravitasjonskraften avbøyer banen når kometen er nær solen, men for
uendelig lang tid blir avstand mellom kometen og solen uendelig stor.
D. Kometen beveger seg enten på en lukket bane eller forlater
solsystemet avhengig av massen til kometen.
E. Kometen beveger seg enten på en lukket bane eller forlater
solsystemet avhengig av sin hastighet.
FYS-MEK 1110
11.02.2015
18
Eksempel
En komet med masse m beveger seg gjennom solsystemet.
Identifiser:
system: komet
omgivelse: solen, planetene, andre stjerner
(vi kan neglisjere planetene og andre stjerner – hvorfor?)
Hvilket objekt
beveger seg?
Hvordan måler vi?
Definer et
koordinatsystem.
initialbetingelser:
Finn
initialbetingelsene.
koordinatsystem:
 vi velger origo
i solens sentrum

 vektorer r0 og v0 definerer en plan flate
 kometen beveger seg i denne flaten
 problemet er todimensjonal

 vi velger x og y aksen slik at r0  r0 iˆ
y

r (t )

v0

r0
FYS-MEK 1110
11.02.2015


r (0)  r0


v (0)  v0

v0  v0 ˆj
x
19
y
Modeller:
Finn kreftene som
påvirker objektet.
fri-legeme diagram:

r (t )
Beskriv kreftene
med en modell.

r0
Bruk Newtons andre
lov for å finne
akselerasjonen.
Kometen er ikke i kontakt med noe,
den eneste kraften er gravitasjon.
N2L:




mM r
Fnet  FG   2
 ma
r r

M 
a   3 r
r
akselerasjon uavhengig
av kometenes masse
FYS-MEK 1110

v0
11.02.2015
x
Gravitasjonen virker fra solen (omgivelse)
på kometen (systemet). Kraften er rettet
mot solen, som befinner seg i origo.


mM r
mM
FG   2
  2 uˆr
r r
r
solmasse: M  1.99 1030 kg
gravitasjonskonstant:   6.673 10
11
m3
kg s 2
Masse til planetene er mye mindre enn solmassen,
men kraft kan være stor dersom kometen passerer
i nærhet av en planet. Andre stjerne er langt borte,
slik at deres gravitasjon er neglisjerbart.
20
vi løser numerisk:

 d 2r
M 
a  2   3 r
dt
r
Løs:
Løs bevegelsesligningen

.
2
d r   dr 
 a r , , t 
dt 2
 dt 
med initialbetingelser
(analytisk eller numerisk).
Finn hastighet og
posisjon.
FYS-MEK 1110
11.02.2015
21
Analyser:

r0  x0 iˆ
x0  1.5 1011 m

v0  v0 ˆj
Er resultatene for


r (t ) og v (t ) fornuftig?
v0 = 1.0  104 m/s
Bruk resultatene for
a svare på spørsmålet.
v0 = 3.0  104 m/s
v0 = 4.5  104 m/s
Interpreter resultatene.
for små hastigheter:
 kometen beveger seg på en elliptisk bane med solen i et brennpunkt
for en spesifikk mellomstor hastighet:
 kometen beveger seg på en sirkelbane rundt solen
for store hastigheter:
 kometen blir avbøyet men forlater solsystemet
FYS-MEK 1110
11.02.2015
viktig å velge små tidssteg:
T = 1.5 a
t = 100 s
22
Effekt av for stor tidssteg

r0  x0 iˆ
t = 100 s
t = 1000 s
x0  1.5 1011 m

v0  v0 ˆj
v0  3 103 m/s
t = 2000 s
FYS-MEK 1110
11.02.2015
23
http://pingo.upb.de/
access number: 8178
En astronaut er på
romvandring utenfor
romfartøyet sitt.
Hvilket utsagn er riktig?
A. Nettokraften på astronauten er null; han er vektløs.
B. Gravitasjonskraft fra jorden gir ham akselerasjon mot jordens sentrum.
C. Sentrifugalkraften kompenserer gravitasjon; han føler seg vektløs.
D. Hvis livlinen ryker er han fortapt og han driver bort i det uendelige.
FYS-MEK 1110
11.02.2015
24
”å falle rundt jorden”
unnslippningshastighet
på samme mote som
eple som faller fra treet.
Satellitter, månen, astronauter, ...
faller rundt jorden
påvirket av gravitasjonskraften
FYS-MEK 1110
11.02.2015
eneste forskjell:
tangensialhastighet
25
Sentralkraft

FG


mM r
mM
FG   2
  2 uˆr
r r
r
gravitasjon:
z
m

r
M
kraft fra masse M på masse m
rettet mot sentrum av masse M  negativ tegn
kraft fra m på M  positiv tegn
Coulombkraft:
x

FC

qq
FC  k 1 2 2 uˆr
r
sentralkraft: rettet mot
(eller fra) en fast punkt
både gravitasjon og Coulomb
kraft er sentralkrefter som
skalerer med r2.
 C
F  2 uˆr
r
FYS-MEK 1110
y
11.02.2015
z

FC
-q
+q
z

r
+Q

r
+Q
y
x
tiltrekkende kraft
hvis q1 og q2 har
forskjellig fortegn
C0
y
x
frastøttende kraft
hvis q1 og q2 har
det samme fortegn
C 0
26
Tiltrekkende sentralkraft
initialbetingelser:

r0  4 iˆ
0.25 ˆj

  0.5 ˆj
v0  
ˆ
 0 .6 j
 1.0 ˆj
små initialhastighet  lukket elliptisk bane
stor initialhastighet  objekt fjerner seg mot uendelig
FYS-MEK 1110
11.02.2015
27
C < 0: tiltrekkende kraft
FYS-MEK 1110
11.02.2015
C > 0: frastøttende
28
Frastøttende sentralkraft
Eksempel: Rutherford spredning
spredning av  partikler mot gull atomer
 små, tung kjerne i et stort, ”tomt” atom
FYS-MEK 1110
11.02.2015
29