1. No category

Løsninger til oppgavene i boka
Påbygging kapittel 7 Eksamenstrening
Løsninger til oppgavene i boka
Uten hjelpemidler
E1
a
a3 ⋅ a 4 ⋅ a0 a3 + 4 + 0 a7
5
=
= =
a 7 −=
a2
5
5
5
a
a
a
b
( 3x ) ⋅ ( x )
c
1, 2 ⋅109 ⋅ 5, 0 ⋅104 = 1, 2 ⋅ 5, 0 ⋅109 ⋅104 = 6, 0 ⋅109 + 4 = 6, 0 ⋅1013
d
32 ⋅ ( 3−2 )
32 ⋅ 3−2 ⋅ 3 32 ⋅ 3−6
1
1
1)
1
3
=
=
= 32 + ( −6) − ( −=
32 − 6 +=
3−=
=
−1
−1
−1
3
3
3
3
3
27
e
(a b)
f
1 −3
1
33
3
⋅ 2 ⋅ 64 ⋅   ⋅ 20 = 2 ⋅ 2−3 ⋅ 26 ⋅ 3 ⋅1 =2−2 ⋅ 2−3 ⋅ 26 ⋅ 33 ⋅ 2−3 =32 ⋅ 2−2 + ( −3) + 6 + ( −3)
4
2
2
2
2 3
−2 2
= 33 ⋅ x 2 ⋅ 3 ⋅ x −2 ⋅ 2 = 33 ⋅ x 6 ⋅ x −4 = 33 ⋅ x 6 − 4 = 33 ⋅ x 2 = 27 x 2
3
2
3
⋅
2
a 2b
a2 ⋅ b
2⋅3
3
6
3 a ⋅b
=
a
⋅
b
⋅
=
a
⋅
b
⋅
= a 6 + 2 − 1 ⋅ b3 + 1 − 6 = a 7b −2
a ⋅ (b 2 )3
a ⋅ b2 ⋅ 3
a ⋅ b6
3
33 27
=33 ⋅ 2−2 = 2 =
2
4
1 1
=
23 8
g
23 ⋅ 2−2 ⋅ 2−4 = 23 + ( −2) + ( −4) = 2−3 =
h
9⋅3
32 ⋅ 3
32 ⋅ 3
6
2
=
=
= 32 + 1 − ( −5) −=
3=
9
3−5 ⋅ 27 2 3−5 ⋅ ( 33 )2 3−5 ⋅ 36
i
E2
a
a 2 ⋅ ( a 2b3 )
a 3 ⋅ b −2
2
=
a 2 ⋅ a 2 ⋅ 2 ⋅ b3 ⋅ 2 a 2 ⋅ a 4 ⋅ b 6
=
= a 2 + 4 − 3 ⋅ b 6 − ( −2) = a 3b8
a 3 ⋅ b −2
a 3 ⋅ b −2
Vi finner vekstfaktoren for hver av prisendringene.
Først blir prisen satt ned med 30 %.
30
=
1 − 0,30 =
0, 70.
100
Så blir prisen satt ned med 20 %.
Vekstfaktoren er 1 −
20
=
1 − 0, 20 =
0,80.
100
Nå koster skiene: 5 000 kr ⋅ 0, 70 ⋅ 0, 80 =
2800 kr
Vekstfaktoren er 1 −
1
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 1 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
2
Samlet prisnedgang: 5000 kr − 2800 kr =
2200 kr
Det utgjør:
b
2200 kr ⋅100 %
= 44 %
5000 kr
1400 kr ⋅ 0,90 ⋅ 0,80 ⋅1,2 =
1210 kr
Vekstfaktorene på 0,90 og 0,80 viser at prisen har gått ned to ganger, først med 10 % og så
med 20 %.
Vekstfaktoren på 1,2 viser at prisen har gått opp én gang med 20 %.
E3
Ny verdi = gammel verdi . vekstfaktor n
I dag er bilen verdt 250 000 kr. En reduksjon på 18 % svarer til en vekstfaktor på 0,82.
a Vi skal finne verdien om fire år, altså n = 4.
Verdien om fire år: 250 000 kr ⋅ 0,824
b Vi skal finne verdien for fire år siden, altså n = −4 .
250 000 kr
Verdien om fire år: 250 000 kr ⋅ 0,82−4 = 4
0,82
E4
a
Endring
+25 %
−15 %
−7,5 %
+50 %
+2 %
−75 %
+ 100 %
Vekstfaktor
1, 25
0,85
0,925
1,5
1,02
0,25
2
b
Rabatten er 40 %. Da er vekstfaktoren 1 −
c
N= G ⋅ V
N = 8000 ⋅ 0, 60 = 4800
Da blir prisen på høstsalget 4800 kr.
Ny verdi = gammel verdi . vekstfaktor n
40
=
1 − 0, 40 =
0, 60 .
100
I 2010 var det 3 000 deltakere.
En vekstfaktor på 20 % svarer til en vekstfaktor på 1,20.
Vi skal finne antall deltakere i 2009, altså er n = −1 .
3 000
= 2 500.
Antall deltakere i 2009 var: 3 000 ⋅1, 20−1 =
1, 20
Vi skal finne antall deltakere i 2011, altså er n = 1 .
Antall deltakere i 2011 var 3 000 ⋅1, 201 =
3 600.
Økningen i antall deltakere fra 2009 til 2011 var: 3 600 − 2 500 =
1100.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 2 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
E5
a
b
4 050 000
= 4, 05 ⋅106
2 2,5 ⋅104 =
25 000
1 1
2−2= 2= = 0, 25
2
4
4
5
5 ⋅10 ⋅ 6 ⋅10
5 ⋅104 ⋅ 6 ⋅105 5 ⋅ 6 4+5−( −3)
=
= ⋅10
=15 ⋅1012 =1,5 ⋅10 ⋅1012 =1,5 ⋅1013
0, 002
2 ⋅10−3
2
1
E6
a
3
350 000 000
= 3,5 ⋅108
0, 000 054
= 5, 4 ⋅10−5
53 000 000
= 5,3 ⋅107
4
0, 034 ⋅10−2 =3, 4 ⋅10−2 ⋅10−2 =3, 4 ⋅10−2+ ( −2) =3, 4 ⋅10−4
1
5 000 ⋅ 400 000 5 ⋅103 ⋅ 4 ⋅105 5 ⋅ 4 3+5−( −4)
= −4 =
⋅10
=
8 ⋅108
0, 000 25
2,5 ⋅10
2,5
2
3,5 ⋅10−3 ⋅ 8, 0 ⋅107 = 3,5 ⋅ 8, 0 ⋅10−3+ 7 = 28 ⋅104 = 2,8 ⋅10 ⋅104 = 2,8 ⋅105
1
2
b
E7
a
b
15 ⋅ 5−1 15 3 3 ⋅ 5 15
= == =
A:
22
4 ⋅ 5 4 4 ⋅ 5 20
1
62
36 4 4 ⋅ 4 16
B : −2
=
=
= =
=
6 ⋅ 3 ⋅15 3 ⋅15 45 5 5 ⋅ 4 20
Vi ser at brøken B har størst verdi.
15
=
0,85
Vekstfaktoren er 1 −
100
Verdien avtar med 15 % per år, altså er dette et eksempel på eksponentiell vekst.
Ny verdi = gammel verdi . vekstfaktor n
Verdien etter 10 år er gitt ved regnestykket 250 000 ⋅ 0,8510 .
Regnestykke nr. 3 er det riktige.
E8
De to 10 % prisøkningene i butikk B regnes av forskjellige priser og derfor blir det feil å si at dette
er en prisøkning på 20 %.
Eksempel:
La oss si at varen koster 100 kr i de to butikkene.
I butikk A kostet varen etter prisøkningen: 100 kr ⋅1, 20 =
120 kr .
I butikk B kostet varen etter de to prisøkningene: 100 kr ⋅1,10 ⋅1,10= 100 kr ⋅1,102= 121 kr .
E9
a
b
Vi ser av grafen at det koster 40 000 kr å produsere 50 stoler.
Da blir kostnadene per stol 40 000 kr : 50 = 800 kr .
2, 46 ⋅10−4 = 2, 46 ⋅ 0, 000 1 = 0, 000 246
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 3 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
E10
a
°F
°C
0
–17,8
50
10
100
37,8
b og c
E11
a
Stig skal steke kaka på 177 °C.
Summen av plasseringene hans er 4 + 1 + 4 + 1 + 3 + 2 + 5 + 6 + 5 =31
31
= 3, 4
9
Gjennomsnittet av Aksel Lund Svindals plasseringer er 3,4.
Vi skriver plasseringene i stigende rekkefølge:
1 1 2 3 4 4 5 5 6
Det er 9 plasseringer.Medianen er plassering nummer 5.Medianplassering er nummer 4.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 4 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
b
c
Plassering Frekvens Kumulativ frekvens
1
2
2
2
1
3
3
1
4
4
2
6
5
2
8
6
1
9
Den kumulative frekvensen for tredjeplass er 4.
Det betyr at Aksel Lund Svindal ble nummer tre eller bedre i fire av rennene.
E12
a
Kumulativ
frekvens
3
Kumulativ relativ
frekvens (%)
0 −1
Antall
(frekvens)
3
2−3
3
6
60 %
3− 4
1
7
70 %
6−7
2
9
90 %
8−9
1
10
100 %
Timer
b
c
30 %
Vi skriver treningstidene i stigende rekkefølge:
0 1 1 2 2 │ 2 5 6 7 9
Det er til sammen 10 tider.
Medianen ligger mellom tid nummer fem og tid nummer seks.
Medianen er så gjennomsnittet av de to tidene på hver sin side av midtpunktet:
2+2
=2
2
Medianen av treningstidene er 2 timer.
Summen av jentenes treningstider er 0 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 5 + 6 + 7 + 9 =
35
35
= 3,5
10
Gjennomsnittet av treningstidene jentene brukte er 3,5 time.
Seks treningstider er fra null til 2 timer. Fire treningstider trekker gjennomsnittet opp.
De typiske treningstiden er medianen.
Første halvdel av dataene er de som kommer før medianen, dvs.
0 1 1 2 2
Første kvartil er medianen for disse fem treningstidene, så første kvartil er 1 time.
Andre halvdel av dataene er de som kommer etter medianen, dvs.
2 5 6 7 9
Andre kvartil er medianen for disse fem treningstidene, så andre kvartil er 6 timer.
Variasjonsbredden er 9 timer − 0 timer =
9 timer .
Kvartilbredden er 6 timer − 1 timer =
5 timer .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 5 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
E13
a
Vi skriver antall familiemedlemmer i hver familie i stigende rekkefølge:
1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 4 4 4 4 5 5 7
Det er 19 familier.Medianen er plassering nummer 10.Medianen er 3 familiemedlemmer.
Summen av antall familiemedlemmer er
2 + 2 + 4 +1+ 4 + 5 +1+ 7 +1+ 2 + 3 + 2 + 5 + 3 + 2 + 4 + 4 + 3 + 2 =
57
57
=3
19
Gjennomsnittet av antall medlemmer i en familie er 3.
b
Variasjonsbredden er 7 familiemedlemmer − 1 familiemedlem =
6 familiemedlemmer .
Første halvdel av dataene er de som kommer før medianen, dvs.
1 1 1 2 2 2 2 2 2
Første kvartil er medianen for disse ni familiene, så første kvartil er 2 familiemedlemmer.
Andre halvdel av dataene er de som kommer etter medianen, dvs.
3 3 4 4 4 4 5 5 7
Andre kvartil er medianen for disse ni familiene, så andre kvartil er 4 familiemedlemmer.
2 familiemedlemmer .
Kvartilbredden er 4 familiemedlemmer − 2 familiemedlemmer =
E14
1
2
3
4
5
6
Karakter
2
4
5
5
4
1
Antall elever
Variasjonsbreddden er 6 − 1 =5
Fem elever fikk karakteren 4.Typetallet er 4.
Vi skriver karakterene i stigende rekkefølge:
1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 │ 4 4 4 4 4 5 5 5 5 6
Det er til sammen 20 elever.
Medianen ligger mellom karakter nummer ti og karakter nummer 11 .
Medianen er så gjennomsnittet av de to tidene på hver sin side av midtpunktet:
3+ 4
= 3,5
2
Medianen er karakteren 3,5.
Summen av antall karakterene er
1+1+ 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 3 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 5 + 5 + 6 =
68
68
= 3, 4
20
Gjennomsnittskarakteren er 3,4.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 6 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
E15
Årslønn
( i 1 000 kr
300 , 400
Midtpunkt
xm
350
Frekvens
f
xm ⋅ f
20
7 000
450
40
18 000
40
22 000
100
47 000
 400 , 500
550
500 , 600
Sum
47 000
= 470
100
Gjennomsnittslønna er 470 000 kr.
E16
a
Lommepenger
(kroner)
Midtpunkt
xm
150
Frekvens
f
xm ⋅ f
20
3 000
300 , 600
450
40
18 000
600 , 1 000
800
20
16 000
0 , 300
b
1 250
20
25 000
1 000 , 1 500
Sum
100
62 000
62 000
= 620
100
I gjennomsnitt får elevene 620 kr i lommepenger i uka.
Medianen er midtpunktet i datamaterialet. Det er 100 elever i ved skolen.
Medianen må da være gjennomsnittet av verdi nummer 50 og verdi nummer 51. Begge disse
verdiene må ligge i klassen 300 , 600 .
Medianen må derfor være mindre enn gjennomsnittet.
E17
6 + 10
= 8, dvs. A = 8.
2
Summen av frekvensene er 400. Da er B = 400 − (160 + 60 + 60 + 40) = 80
a Klassemidtpunktet i 6 , 10 =
Summen av de relative frekvensene er 1,00. Da er C = 1, 00 − (0, 40 + 0, 20 + 0,15 + 0,15) = 0,10
4, 20. Da er D = 4, 20 − (0, 40 + 0, 60 + 0, 75 + 1, 25) = 1, 20
Summen av produktene xm ⋅ r =
b
c
xm ⋅ r =
4, 20. Det vil si at elevene i gjennomsnitt trener 4,20 timer per uke.
Medianen er midtpunktet i datamaterialet. Frekvensen er 400.
Medianen må da være gjennomsnittet av verdi nummer 200 og verdi nummer 201. Siden
B = 80 , må begge disse verdiene må ligge i klassen  2 , 4 .
Medianen må derfor være mindre enn gjennomsnittet.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 7 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
E18
a
Går
Sykler
Kjører buss
Kjører moped
Sum
b
Antall elever
30
40
20
10
100
Frekvens
0,30
0,40
0,20
0,10
1,00
Gradtallet
0,30 ⋅ 360=
° 108°
0, 40 ⋅ 360=
° 144°
0, 20 ⋅ 360°= 72°
0,10 ⋅ 360°= 36°
360°
E19
a
Gjennomsnittet er summen av alle fraværsdagene delt på antall elever:
Gjennomsnitt
=
0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 4 + 7 + 11 + 28 + 32 100
= = 5
20
20
Gjennomsnittet er 5 dager per elev.
Vi ordner dataene i stigende rekkefølge, og siden det er 20 observasjoner, beregner vi
medianen som gjennomsnittet av de to midterste.
0 0 0 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 7 11 28 32
2+2
= 2
2
Medianen er 2 dager.
Typetallet = 0, det vil si 0 dager.
Medianen
=
b
Medianen gir det beste sentralmålet for klassens fravær. De fleste elevene har lite fravær.
Noen få elever har svært høyt fravær og bidrar derfor til å heve gjennomsnittet.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 8 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
E20
a
b
Antall
Antall elever Klassemidtpunkt f ⋅ xm
meldinger
f
xm
0–19
3
9,5
28,5
20–39
6
29,5
177
40–59
3
49,5
148,5
60–79
4
69,5
278
80–99
4
89,5
358
Sum
20
990
Det er 20 elever i klassen, altså et partall. Medianen blir da gjennomsnittet av antall meldinger
som elev nr. 10 og 11 sendte. Begge disse elevene ligger i klassen 40–59.
Medianen ligger i klassen 40–59.
Gjennomsnitt:
E21
990
meldinger = 49,5 meldinger .
20
Tur
Tur 1 (Robåt)
Antall elever
15
Tur 2 (Sykkel)
30
Tur 3 (Høgfjell, kort
løype)
Tur 4 (Høgfjell, lang
løype)
Sum
40
© Aschehoug
35
120
www.lokus.no
Gradtall for sektor
15 ⋅ 360°
= 45°
120
30 ⋅ 360°
= 90°
120
40 ⋅ 360°
= 120°
120
35 ⋅ 360°
= 105°
120
360°
Side 9 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
E22
1 Av grafen ser vi at høyden til vannoverflaten etter 2 minutter er 2,5 dm.
2 Det tar 5,8 minutter før høyden til vannoverflaten er 6,0 dm.
5,8 minutter
= 5 minutter, og 0,8 ⋅ 60 sekunder
= 5 minutter og 48 sekunder.
E23
I tallfølgen 16, 12, 8, 4, …..avtar hvert ledd med 4.
Av grafen ser vi at stigningstallet er −4 og konstantleddet er 20.
Dermed kan vi bruke formelen y =
−4 x + 20 til å finne tall nummer x i tallfølgen.
E24
a
Ved å bestille og betale turen 30 dager før avreise, får vi 1 500 kr i avslag.
−1 500
= −50 . Vi får 50 kr i avslag per dag.
30
Ved å bestille og betale turen 21 dager før avreise, får vi 1 050 kr i avslag.
Vi beregner avslaget per dag slik:
−1 050
= −50 . Vi får 50 kr i avslag per dag.
21
Stigningstallet for den rette linja er −50 kr/dag.
Vi bruker p(x) som symbol for prisen x dager før avreise.
p( x) =
−50 x + b
p (30) = 8300 − 1500 = 6800
6 800 =
−50 ⋅ 30 + b
b = 6 800 + 1 500 = 8 300
Vi beregner avslaget per dag slik:
En matematisk modell for prisen på reisene er gitt ved p ( x) =
−50 x + 8300 .
Gyldighetsområdet er derfor x ∈ [14 , 30] .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 10 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
b
1
En firedel av bensinen på tanken er
56 L
= 14 L .
4
14 L
= 20 mil .
0, 7L/mil
2 Full tank er 56 L og Larsen bruker 0,7 L/mil.
En matematisk modell for hvor mye bensin Larsen har igjen på tanken er da
b( x=
) 56 − 0, 7 x der x er antall mil Larsen har kjørt etter at han fylte tanken.
3 56 − 0, 7 x =
0
0, 7 x = 56
Da har Larsen kjørt
56
= 80
0, 7
Larsen kan kjøre 80 mil før tanken er tom.
Gyldighetsområdet er derfor x ∈ [ 0 , 80] .
=
x
E25
1 Hvis innbyggertallet i Fossefjell i dag er 9000 og synker med 150 per år, vil en matematisk
modell som viser folketallet om x år, bli
F=
( x) 9000 − 150 x
2
Grafen C viser folketallet om x år etter denne modellen.
For en bil som kjøpes for 300 000 kr og synker i verdi med 15 % per år, vil bilens verdi følge
modellen
=
B( x) 300 000 ⋅ 0,85 x . Dette er en eksponentialfunksjon.
3
Grafen F viser verdien av bilen x år etter at den ble kjøpt.
Dersom siden i kvadratet er x, kan arealet uttrykkes ved funksjonen
A( x) = x 2 . Grafen er en parabel.
Grafen A viser arealet av et kvadrat som funksjon av siden x i kvadratet.
I denne oppgaven må x > 0.
4
H ( x) =
−4,9 x 2 + 12 x + 1,8 . Grafen er en parabel med toppunkt siden a < 0.
H ( x) uttrykker ballens høyde over bakken etter x sekunder.
H (0) = 1,8.
Grafen E viser ballens høyde over bakken som funksjon av x.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 11 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
E26
a
Figur
Antall klosser
m1
5
m2
10
m3
17
m4
26
m5
37
m6
50
m2 − m1 = 10 − 5 = 5
m3 − m2 = 17 − 10 = 7
Da må
m4 − m3 =
9 og m4 = 15 + 9 = 26
b
m5 − m4 =
11 og m5 = 26 + 11 = 37
m6 − m5 =
13 og m6 = 37 + 13 = 50
Vi ser at m1 = 1 ⋅1 + 2 ⋅ 2 = 5
Da må m2 = 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 2 = 10 , m3 = 3 ⋅ 3 + 4 ⋅ 2 = 17 ,
m4 = 4 ⋅ 4 + 5 ⋅ 2 = 26 , m5 = 5 ⋅ 5 + 6 ⋅ 2 = 37 , m6 = 6 ⋅ 6 + 7 ⋅ 2 = 50
En modell som viser hvor mange klosser Sondre trenger for å lage mn er da gitt ved
mn = n ⋅ n + (n + 1) ⋅ 2 = n 2 + 2n + 2
m20= 202 + 2 ⋅ 20 + 2= 442
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 12 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
E27
a
Siden bilens verdi synker med 10 % hvert år, bruker vi en eksponentiell modell. Lar vi x være
antall år etter at Stian kjøpte bilen, får vi
=
f ( x) 100 000 ⋅ 0,90 x
b Siden bilens verdi hvert år synker med 10 %, vil det årlige verditapet bli mindre og mindre
etter hvert som bilens verdi blir mindre. Grafen for f vil derfor synke saktere og saktere når x
øker. Dette stemmer bare med graf C.
E28
a
Stian: Du tjener 50 kr ⋅ 5 =
250 kr
Sondre: Når du har spist opp halvparten av dropsene, har du spist 75 drops. Du spiser fem
75
drops om dagen. Altså tar det
dager = 15 dager før du har spist opp halvparten av
5
dropsene.
Sebastian: Lengden skal være 2,0 cm større enn bredden. Hvis bredden er 3,0 cm, skal
lengden være 5,0 cm. Arealet av tøystykket er 3, 0 cm ⋅ 5, 0 cm =
15 cm 2 .
b
Stian: La x være antall armbånd. Inntekten I ( x) kr gitt ved I ( x) = 50 x .
Sondre: Antall drops i krukka avtar med 5 per dag. Etter x dager har du igjen n( x) drops der
n(=
x) 150 − 5 x .
Sebastian: Lengden og bredden skal være i cm. Kaller vi bredden for b, vil lengden være
) b 2 + 2b .
b + 2 . Arealet A(b) i cm 2 er da gitt ved A(b=
c
Stian: x må være et helt tall større enn eller lik null, x ∈ 0 , → .
0 , får vi x = 30 . Krukka er altså tom etter 30 dager.
Sondre: Løser vi likningen 150 − 5 x =
x må være et helt tall større eller lik null, og mindre enn eller lik 30, x ∈ [ 0 , 30] .
Sebastian: Bredden kan ikke være negativ, og den kan heller ikke være null.
b må være større enn null, b ∈ 0 , → .
Men det er begrenset hvor store tøystykker Sebastian kan lage.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 13 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
E29
a
Nedenfor er koordinatsystemet med punktene tegnet av og en rett linje som passer med punktene
er tegnet inn etter beste evne.
Vi ønsker å finne a og b i funksjonsuttrykket =
y ax + b for den rette linja. Til hjelp har vi
merket av to punkter på linja. Punktet A = (0 , 200) er skjæringspunktet med y-aksen, som
forteller oss at konstantleddet b = 200 . Sammen med det andre punktet, B = (10 , 970) , ser vi at
økningen i y er 770 når økningen i x er 10. Stigningstallet for linja blir
=
a
økning i y 770
= = 77
økning i x 10
Funksjonsuttrykket for linja blir da=
y 77 x + 200 .
b
Når det er 0 dl etanol i begeret, ser vi at vekten er 200 g, så derfor må vekten av begeret være
200 g.
Stigningstallet forteller oss at når det fylles i én desiliter mer med etanol i begeret, øker vekten
med 77 g, altså at én desiliter etanol veier omtrent 77 g, og siden 1 liter inneholder 10 desiliter,
veier én liter omtrent 770 g eller 0,77 kg.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 14 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
E30
a
b
c
Av grafen ser vi at et 35 måneder gammelt barn i gjennomsnitt kan ca. 1200 ord.
Linja går gjennom punktene (20 , 300) og (50 , 2100) .
Stigningstallet for linja er
=
a
2 100 − 300
= 60
50 − 20
Linja vi tegnet inn, skjærer y − aksen i −900 . Altså er b = −900.
Likningen for den rette linja blir da
=
y 60 x − 900
60 x − 900 ≥ 0
60 x ≥ 900
x ≥ 15
Av grafen ser vi også at modellen gjelder fra barnet er 15 måneder.
Modellen antar at barn i gjennomsnitt lærer 60 nye ord per måned fra de er 20 måneder til de er
50 måneder. Etter den alderen er det tvilsomt om barn da lærer 60 nye ord per måned.
Grafen vil nok flate ut etter som barn blir eldre.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 15 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
E31
a
Nedenfor har vi tegnet figuren f 4 .
f1 inneholder 6 perler, f 2 inneholder 11 perler, f3 inneholder 16 perler.
Antall perler øker med 5 for hver figur. Derfor vil f 4 inneholde 21 perler.
Figuren f5 vil inneholde 26 perler, og figuren f 6 vil inneholde 31 perler.
b
n
fn
1
6
2
11
3
16
4
21
5
26
6
31
Vi kan da sette opp følgende modell for antall perler i figuren f n :
f n = 6 + 5 ⋅ (n − 1) = 6 + 5n − 5 = 5n + 1
c
f = 5 ⋅ 36 + 1 = 181 .
Det gir 36
Det trengs 181 perler for å lage f 36.
Vi kan sette opp
5n + 1 =
1000
5=
n 1000 −=
1 999
999
=
n = 199,8
5
Med 1000 perler kan Siri lage f 199.
E32
a
Posen inneholder 16 seigmenn og 6 av dem er gule.
g 6 3
= =
m 16 8
g
x
P(trekker en grønn seigmann)
= = = 0, 25
m 16
Det gir
x ⋅16
= 0, 25 ⋅16
16
x=4
Det er fire grønne seigmenn i posen.
P(trekker en gul seigmann)
=
b
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 16 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
E33
a
b
Konsert
4
4
8
Ikke konsert
Totalt
9
Fest
13
11
Ikke fest
7
16
Totalt
24
g
8 1
P(en tilfeldig valgt elev fra 1B skal på konsert)
= = =
m 24 3
E34
a
b
c
Vi lager en krysstabell.
Sosialkunnskap
Ikke sosialkunnskap
Totalt
5
7
Engelsk
12
9
13
Ikke engelsk
4
11
Totalt
14
25
Av venndiagrammet ser vi at 5 av klassens 25 elever har både sosialkunnskap og internasjonal
1
engelsk. Sannsynligheten for at tilfeldig valgt elev har begge deler, er derfor .
5
Det er 14 elever som har sosialkunnskap. Sannsynligheten for at en elev som vi vet har
5
.
sosialkunnskap, også har internasjonal engelsk, er derfor
14
E35
a
Bunken med fem kort inneholder to konger.
P(får en konge)
=
b
c
g 2
= .
m 5
2 3 6
3
P(første kort er en konge og det andre kort er et ess) = ⋅ =
= .
5 4 20 10
2 3 3 2 12 3
P(en konge og et ess) = ⋅ + ⋅ =
= .
5 4 5 4 20 5
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 17 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
E36
4 3 12 2
⋅ =
= .
6 5 30 5
a
P(Julie får to gule Non Stop) =
b
P(de to Non Stopene hun trekker har samme farge) =
4 3 2 1 14 7
⋅ + ⋅ =
=
6 5 6 5 30 15
Med hjelpemidler
E37
a
3,5 ⋅ x5 =
47
47
= 13, 43
3,5
=
x5
=
x
=
13, 43 1, 68
5
Med CAS:
c
3, 7
=
1, 037
100
Ny verdi = gammel verdi . vekstfaktor n
Reidun setter inn 50 000 kr.
Vi skal finne verdien om fire år, altså n = 4.
På kontoen etter fire år har hun: 50 000 ⋅1, 037 4 =
57 820,92
Hun har da fått 57 820,92 kr − 50 000, 00 kr =
7 820,92 kr
d
Vi kan sette opp
b
Vekstfaktoren er 1 +
50 000 ⋅ x18 =
100 000
100 000
x18 = 2
=
50 000
x
=
2 1, 039
=
p
1+
1, 039
=
100
p
= 1, 039 =
− 1 0, 039
100
p= 0, 039 ⋅100= 3,9
18
Den andre banken tilbyr 3,9 % rente.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 18 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
E38
a
b
Vi setter inn i formelen og får
E = m ⋅ c 2 = 0, 010 ⋅ (3, 0 ⋅108 ) 2 = 9, 0 ⋅1014
Når en masse på 0,010 kg forsvinner fra en atomkjerne, blir det frigitt en energi på 9, 0 ⋅1014 J .
Vi omformer formelen og får
E
9, 0 ⋅1010
m
= =
= 1, 0 ⋅10−6
c 2 (3, 0 ⋅108 ) 2
For å gi nok energi til en norsk husholdning i et år må det forsvinne 1, 0 ⋅10−6 kg masse
−6
kg 0,=
eller 1, 0 ⋅10=
001 g 1, 0 mg .
E39
Vi legger de 20 plasseringene inn i kolonne A i regnearket i GeoGebra. Så markerer vi de 20
plasseringene og klikker på Analyse av en variabel.
a
b
Av tabellen ser vi at:
Gjennomsnittsplasseringen hennes er 8,1 og medianplaseringen er 3.
Typetalllet er 2 siden hun har fått flest andreplasser.
Av tabellen ser vi at første kvartil er 2 og andre kvartil er 14.
Omtrent en firedel av plasseringene er 2. plass eller bedre, og omtrent en firedel av
plasseringene er 14. plass eller dårligere.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 19 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
E40
a
Vi legger alle karakterene inn i regnearket i GeoGebra og markerer cellene. Deretter klikker
vi på Analyse av en variabel og får et diagram som viser fordelingen av karakterene.
Videre klikker vi på statistikk-verktøyet
b
c
d
og får opp denne tabellen:
Av tabellen ser vi at:
Medianen av karakterene er 3.
Gjennomsnittskarakteren er 3,3.
5.
Variasjonsbredden er 6 − 1 =
Første kvartil er 2 og tredje kvartil er 4.
Da er kvartilbredden 4 − 2 =
2.
Datamaterialet er ikke symmetrisk fordelt.Det er forholdsvis mange toere og treere i forhold
til firere og femere.Da er det best å bruke kvartilbredden som spredningsmål.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 20 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
E41
Vi legger inn tallene i regnearket i GeoGebra, klikker på Analyse av en variabel og på
statistikkknappen
a
b
c
d
. Da får vi denne tabellen:
Av tabellen ser vi at variasjonsbredden er 64 timer − 10 timer = 54 timer
Og mediantiden er 30,5 timer
Vi leser av tabellen at gjennomsnittlig antall timer foran TV-en er 31, 4 timer.
Videre leser vi av tabellen at standardavviket er 16,9 timer.
For å finne gjennomsnittet utvider vi tabellen ved å gange midtpunktet med frekvensen.
Timer per måned
Midtpunkt
Frekvens
xm ⋅ f
f
xm
[10 , 20
[ 20 , 30
[30 , 40
[ 40 , 50
[50 , 60
[60 , 70
Sum
15
10
150
25
12
300
35
22
770
45
7
315
55
5
275
65
4
260
60
2 070
2070
= 34,5
Gjennomsnittet blir dermed: 60
Dermed har vi at disse 60 elevene så i gjennomsnitt 34,5 timer på TV i løpet av en måned.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 21 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
e
f
Av tabellen ser vi at 9 elever så minst 50 timer på TV.
9 ⋅100 %
Det utgjør
= 15 % .
60
E42
a
Kategorier
Meget bra
Litt bra
Verken bra eller dårlig
Litt dårlig
Veldig dårlig
Sum
© Aschehoug
Relativ frekvens
2
5
1
3
1
10
1
12
1
12
1
www.lokus.no
Gradtall
2
⋅ 360=
° 144°
5
1
⋅ 360=
° 120°
3
1
⋅ 360°= 36°
10
1
⋅ 360°= 30°
12
1
⋅ 360°= 30°
12
360°
Side 22 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
b
E43
Vi legger de 22 høydene inn i kolonne A i regnearket i GeoGebra. Så markerer vi de 22
plasseringene og klikker på verktøyknappen Analyse av en variabel.
a
b
Av tabellen ser vi at gjennomsnittshøyden er 170,8 cm.
Medianhøyden er 168 cm.
Standardavviket er 7,8 cm
Variasjonsbredden er 189 cm − 160 cm =
29 cm .
Første kvartil er 166 cm og tredje kvartil er 177 cm.
Kvartilbredden er da 177 cm − 166cm =
11 cm .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 23 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
c
Høyde
160 , 165
Frekvens
5
165 , 170
7
170 , 175
3
175 , 180
3
180 , 185
3
185 , 190
Sum
1
© Aschehoug
22
www.lokus.no
Side 24 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
E44
a
Parti
Ap
Totalt
55
H
48
FrP
29
KrF
10
Sp
10
V
9
SV
7
MDG
1
Sum
169
© Aschehoug
Gradtall
55
⋅ 360=
° 117°
169
48
⋅ 360=
° 102°
169
29
⋅ 360°= 62°
169
10
⋅ 360°= 21°
169
10
⋅ 360°= 21°
169
9
⋅ 360°= 19°
169
7
⋅ 360°= 15°
169
1
⋅ 360° = 2°
169
360°
www.lokus.no
Side 25 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
b
E45
a
Lager en grafisk framstilling av karakterene i de to klassene i Excel.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 26 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
b
Vi legger de 20 karakterene i klasse 2A inn i kolonne A i regnearket i GeoGebra. Så markerer
vi de 20 plasseringene og klikker på «Analyse av en variabel».
Vi legger de 20 karakterene i klasse 2B inn i kolonne A i regnearket i GeoGebra. Så markerer
vi de 20 plasseringene og klikker på «Analyse av en variabel».
I tabellen finner vi at gjennomsnittskarakteren i 2A er 4,0, mediankarakteren er 4 og
standardavviket er 1,6.
Videre ser vi at gjennomsnittskarakteren i 2B er 4,0, mediankarakteren er 4 og
standardavviket er 0,79.
Det er mindre spredning i karakterene i klasse 2B enn i klasse 2A.
Gjennomsnittskarakteren er den samme, men standardavviket i 2B er mindre enn i 2A.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 27 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
E46
a
Fartsgrense 50 km/h:
Fartsgrense 80 km/h:
b
Ved å legge sammen antall biler i de to tabellene finner vi at politiet kontrollerer 80 biler i
begge fartssonene.
Fartsgrense 50 km/h.
10 % eller mer over fartsgrensen vil si 55 km/h, eller fortere. Av tabellen ser vi at det er
29 biler som kjører så fort.
29
36,3 %
⋅100 % =
80
Ca. 36 % av bilene kjører 10 % eller mer over fartsgrensen der fartsgrensen er 50 km/h.
Fartsgrense 80 km/h.
10 % eller mer over fartsgrensen vil her si 88 km/h, eller fortere.
Av tabellen ser vi at 8 biler har en fart i intervallet 85 , 90 km/h. Hvis vi antar at farten til
disse bilene fordelte seg jevnt utover dette intervallet, kan vi gå ut fra at ca. 3 av disse bilene
kjører i 88 km/h eller i 89 km/h. Til sammen er det da 8 biler som kjører 10 % eller mer over
fartsgrensen.
8
⋅100 % =
10 %
80
Ca. 10 % av bilene kjører 10 % eller mer over fartsgrensen der fartsgrensen er 80 km/h.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 28 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
c
Fart i km/h
[ 45 ,50
[50 ,55
[55 , 60
[60 , 65
[65 , 70
[70 , 75
Midtpunkt
xm
47,5
Frekvens
f
xm ⋅ f
25
1187,5
52,5
26
1365
57,5
23
1322,5
62,5
3
187,5
67,5
2
135
72,5
1
Sum
80
4270
= 53,375
80
Gjennomsnittsfarten er ca. 53 km/h i 50-sonen.
Fart i km/h
Midtpunkt
Frekvens
f
xm
72,5
7
[70 , 75
[75 ,80
[80 ,85
[85 ,90
[90 ,95
[95 ,125
d
e
72,5
4270
xm ⋅ f
507,5
77,5
43
3332,5
82,5
17
1402,5
87,5
8
700
92,5
0
0
110
5
550
Sum
80
6492,5
6492,5
= 81,156
80
Gjennomsnittsfarten er ca. 81 km/h i ”80-sonen”.
3,375
6,8 %
⋅100 % =
50
I 50-sonen er gjennomsnittsfarten ca. 6,8 % over fartsgrensen.
1,156
⋅100 % =
1, 4 %
80
I 80-sonen er gjennomsnittsfarten ca. 1, 4 % over fartsgrensen.
Av stolpediagrammene ser vi at i 50-sonen svarer den høyeste stolpen til biler som har en fart
i intervallet [50 ,55 km/h, altså over fartsgrensen. Slik er det ikke i 80-sonen, selv om det
der er en liten gruppe som kjører ”mye for fort”.
I 50-sonen kjører ca. 36 % av bilene, dvs. mer enn hver tredje bil, 10 % eller mer over
fartsgrensen. I 80-sonen kjører ca. 10 % av bilene, dvs. hver tiende bil, 10 % eller mer over
fartsgrensen.
Gjennomsnittsfarten i 50-sonen er ca. 53 km/h, eller ca. 6 % over fartsgrensen. I 80-sonen er
gjennomsnittsfarten ca. 81 km/h, eller ca. 1,3 % over fartsgrensen.
Konklusjonen blir da at bilførerne der fartsgrensen er 50 km/h, er de mest lovlydige.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 29 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
E47
a
b
c
d
Gjennomsnittstemperaturen i °C for de to stedene:
Måned
Phuket Antalya
Januar
27,9
10
Februar
28,7
10
Mars
29,3
12,5
April
29,5
16
Mai
28,4
20
Juni
28,3
25
Juli
27,8
28
August
27,9
27,5
September 27,3
25
Oktober
27,4
20
November 27,5
15
Desember
27,6
12
Vi bruker GeoGebra. I regnearket legger vi inn tallene for Phuket i kolonne A og tallene for
Antalya i kolonne B. Vi merker kolonne A og velger kommandoen Lag Liste. Verdiene for
Phuket ligger nå i Liste1. Vi gjør det samme for kolonne B slik at verdiene for Antalya ligger
i Liste2.
1 Kommandoen Gjennomsnitt[Liste1] gir gjennomsnittsverdien for Phuket. Vi finner
gjennomsnittsverdien for Antalya på tilsvarende måte. Resultatene blir:
Gjennomsnittstemperatur Phuket: 28,1 °C
Gjennomsnittstemperatur Antalya: 18, 4 °C
2 Kommandoen Standardavvik[Liste1] gir standardavviket for Phuket. Tilsvarende for
Antalya. Resultatene blir:
Standardavvik Phuket: 0,69 °C
Standardavvik Antalya: 6,5 °C
Vi ser at det er brukt veldig forskjellig skala på andreaksen. Ser man på diagrammene uten å
se på skalaen på andreaksen, kan det virke som om temperaturen varierer like mye på de to
stedene.
I tabellen i oppgave a og i beregningene i oppgave b valgte vi å tolke diagrammene slik at
gjennomsnittstemperaturen for én måned er den temperaturen vi leser av rett ovenfor navnet
på måneden. Samtidig viser diagrammene at temperaturen endrer seg gjennom en måned.
Dette kan skape tvil om hvordan vi skal lese av/bestemme gjennomsnittstemperaturen.
For å unngå feiltolkning måtte diagrammene i hvert fall hatt samme skala langs andreaksen.
En annen diagramtype hadde nok egnet seg bedre, for eksempel et stolpediagram.
Vi velger å bruke Excel til å lage et stolpediagram.
Vi starter med å skrive inn tabellen:
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 30 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
Deretter merker vi hele tabellen og klikker på Sett inn og velger Stolpe. Vi kan nå velge
mellom ulike typer stolpediagrammer. Vi velger diagrammet merket med rødt nedenfor.
Vi får dette diagrammet:
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 31 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
E48
a
b
1 Fra konstantleddet i funksjonsuttrykket ser vi at mormor satte inn 18 000 kr på kontoen.
Fra vekstfaktoren i funksjonsuttrykket ser vi at den årlige renten er 4,25 %.
2 f (18) =
18 000 ⋅1,042518 =38 075
Etter 18 år er det 38 075 kr på kontoen.
Grafisk:
Med CAS:
Det tar 12,3 år før beløpet på kontoen passerer 30 000 kr.
c
10 000 ⋅ x5 =
11 592, 70
=
x5
=
x
11 592,70
= 1,159 27
10 000
1,159 27 1,03
=
5
Den årlige renten på denne kontoen er 3,0 %.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 32 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
d
Vi tegner grafen til funksjonen g ( x) = 18 000 ⋅1,0425 x + 10 000 ⋅1,03x .
Med CAS:
Vi ser at beløpene på de to kontoene vil til sammen passere 50 000 kr etter 15,4 år.
E49
Når antall milligram antibiotika som er igjen i kroppen reduseres med 11 % per time, er
vekstfaktoren 0,89 . Mengden antibiotika som er igjen i kroppen, reduseres med 11 % hver time,
altså er dette et eksempel på eksponentiell vekst.
a 1 Etter én time: 220 ⋅ 0,89 =
195,8
Etter en time er det igjen ca. 196 mg antibiotika i kroppen.
2 Etter åtte timer: 220 ⋅ 0,898 =
86, 6
Etter åtte timer er det igjen ca. 87 mg antibiotika i kroppen.
b 1 Hun tar den andre tabletten åtte timer etter den første tabletten, dvs. hun har igjen 86,6 mg
antibiotika i kroppen fra den første tabletten.
220 + 86, 6 =
306, 6
Rett etter at hun har tatt sin andre tablett, har hun ca. 307 mg antibiotika i kroppen.
2 Den tredje tabletten tar hun seksten timer etter den første tabletten.
Av den første tabletten hun tok, har hun igjen: 220 mg ⋅ 0,8916 =
34,1 mg .
Av den andre tabletten hun tok, har hun igjen 86,6 mg (se utregning ovenfor).
34,1 + 86, 6 + 220 =
340, 7
Rett etter at hun har tatt sin tredje tablett, har hun ca. 341 mg antibiotika i kroppen.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 33 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
c
(I utregningene ovenfor har vi forutsatt at antibiotikaen i tabletten blir tatt opp i kroppen med
én gang. I virkeligheten vil jo dette ta noe tid.)
Mengden antibiotika som er igjen i kroppen, avtar eksponentielt.
E50
a
b
c
d
e
Vi regner ut kostnadene slik: K=
( x) 4000 + 120 x der x er antall elever som deltar.
Det gir K (60)= 4000 + 120 ⋅ 60= 11 200.
Kostnadene blir 11 200 kr.
K ( x) 4000 + 120 ⋅ x 4000 120 x
4000
E ( x) =
=
=
+
=
120 +
x
x
x
x
x
Av grafen ser vi at enhetsprisen er 170 kr når det blir solgt 80 billetter.
Av grafen ser vi at minst 134 elever må kjøpe billett for at arrangementet skal gå med
overskudd når billettene selges for 150 kr per stk.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 34 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
E51
a
Vi tegner opp grafen til I(x) og K(x) i det samme vinduet i GeoGebra og markerer punktene
(100 , I(100)), (200 , I(200)), (100 , K(100)) og (200 , K(200)).
Vi bruker verktøyet Linje mellom punktene på grafen I og punktene på grafen til K. Vi får da
opp likningene for linjene. Fra disse ser vi at stigningstallene er henholdvis 180 og 130
Dette fører til at den gjennomsnittlige vekstfarten for K(x) i intervallet [100 , 200] er
130 kr/enhet og den gjennomsnittlige vekstfarten for I(x) i intervallet [100 , 200] er
180 kr/enhet.
Med andre ord kan vi si at kostnaden øker med 130 kr per enhet og inntekten med 180 kr per
enhet når antall enheter øker fra 100 til 200.
b
På samme graf som vi tegnet i oppgave a markerer vi punktene (150,I(150)) og (300,I(300)).
Vi bruker verktøknappen Tangenter og finner tangenten til I(x) i de markerte punktene.
Likningen for tangentene gir oss stigningstallet som tilsvarer den momentane vekstfarten i de
markerte punktene.
Den momentane vekstfarten i x = 150 er 60 kr/enhet og i x = 300 er 180 kr/enhet.
Når det produseres 150 enheter, vil inntekten øke med ca.180 kr hvis produksjonen øker med
en enhet.
Når det produseres 300 enheter, vil inntekten øke med ca.60 kr hvis produksjonen øker med
en enhet.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 35 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
c
d
Vi tegner grafene til I(x) og K(x) i det samme vinduet i GeoGebra og bruker verktøyet
Skjæring mellom to objekt til å markere skjæringspunktene mellom grafene. Bedriften går
med overskudd når inntektene er større enn kostnadene. Dette leser vi ut fra grafen er når
x ∈ 80 , 320 , det vil si når det produseres mellom 80 og 320 enheter.
O( x) =−
I ( x) K ( x) =
−0, 4 x 2 + 300 x − (0,1x 2 + 100 x − 12 800) =
−0,5 x 2 + 200 x − 12 800
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 36 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
e
Vi tegner grafen til overskuddsfunksjonen fra oppgave d i GeoGebra.
Overskuddet er størst i toppunktet. I GeoGebra skriver vi Ekstremalpunkt[O].
For at overskuddet skal bli størst mulig må bedriften produsere og selge 200 enheter.
Da er overskuddet 7 200 kr.
E52
a
Tegner grafen til T(x) i GeoGebra.
b
c
Av grafen ser vi at det tar ca. 6,5 minutter før temperaturen er 160°C.
T (8) = 200 − 180 ⋅10−0,1⋅8 = 171,5
d
T (2) = 200 − 180 ⋅10−0,1⋅2 = 86, 4
T (8) − T (2) 171,5 − 86, 4
= = 14, 2
8−2
6
Den gjennomsnittlige vekstfarten for T(x) i intervallet [ 2 , 8] er 14,2 °C/min .
Vi legger inn punktet (8 , T (8)) . Vi tegner tangenten i punktet ved å skrive
Tangent [150 , T].
Stigningstallet til tangenten er 6,6.
Momentan vekstfart er 6,6 °C/min når x = 8.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 37 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
E53
a
Hver dag produserer algene 5 kg av giftstoffet.
16
=
1,16 .
100
Mikroorganismer bryter ned 2 kg hver dag og denne mengden øker med 1,8 kg hver dag.
Da kan vi sette opp: Forandring = Produksjon − Nedbryting.
Det gir
M ( x) =
5 ⋅1,16 x − 1,8 x − 2 der x er antall dager etter dag 0.
Tegner grafen til M(x) i GeoGebra.
Produksjonen øker med 16 %. Det gir vekstfaktoren 1 +
b
c
d
Av grafen ser vi at mengden øker før det har gått 3,7 dager og etter at det har gått 8 dager.
Giftmengden minker mest i bunnpunktet. I GeoGebra skriver vi Ekstremalpunkt[ f ].
Vi ser at giftmengden minker mest etter 6 dager.
E54
a
Tegner grafen til f(x) i GeoGebra.
Vi må finne topp og bunnpunktet på grafen til f.
I GeoGebra skriver vi Ekstremalpunkt[ f ].
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 38 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
Av grafen ser vi at giftmengden er lik 0 til å begynne med.
Mengden øker de første 3,7 dagene. Så minker den fram til 8 dager, og deretter øker den
igjen. Det er samme svaret som i oppgave E39c.
Det er mindre enn 4 kg gift i innsjøen før det har gått 2 dager og mellom 6 og 9,4 dager.
b
E55
a
b
c
d
e
h(0) = 0,15
Da treet ble plantet, var det 0,15 meter høyt.
Tegner grafen til h(t) i GeoGebra.
h(2) − h(1) 1, 61 − 1, 07
=
= 0,54
= 54 %
2 −1
1
Treet har vokst 54 % fra år 1 til år 2.
Vi ser på grafen. Treet vokser i hele perioden, men veksten er avtagende omtrent fram til år
fire. Treet vokser minst etter fire år. Deretter øker veksten igjen.
Vi bruker digitalt verktøy eller leser av på grafen når treet er 2,5 meter høyt. Vi finner at treet
er 2,5 meter høyt etter ca. 6,4 år.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 39 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
E56
a
b
c
Grunnflaten i esken er et kvadrat med side (50 − 2 x) cm . Høyden er x cm.
V ( x)= (50 − 2 x) 2 ⋅ x= (50 − 2 x) ⋅ (50 − 2 x) ⋅ x= 4 x3 − 200 x 2 + 2500
Høyden er x cm. Siden x cm er høyden,må x > 0.
Av uttrykket for lengden av siden ser vi at x < 25.
Vi kan sette x ∈ 0 , 25
Vi tegner grafen til V(x) i grafikkfeltet i GeoGebra.
Volumet er størst i toppunktet på grafen. I GeoGebra skriver vi Ekstremalpunkt[ V ].
Vi ser at det største volumet esken kan ha er 9 259 cm3 = 9,3 dm3.
E57
a
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 40 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
b
Punktene ligger ikke på en rett linje, så vi må ha en funksjonstype med krum graf.
Grafen ser ikke ut til å topp- eller bunnpunkter.Andre- og tredjegradsfunksjoner er derfor
lite aktuelle. Funksjonsverdien stiger mer og mer etter hvert som x-verdien øker.
Grafen går ikke gjennom origo. Da faller valget på en eksponentialfunksjon.
Start GeoGebra og vis regneark.
Legg x-verdiene inn i kolonne A og h(x) verdiene i kolonne B.
Klikk på Analyser og velg Eksponentiell i rullegardinmenyen under Regresjonsmodell.
Da ser det slik ut:
Den beste sammenhengen mellom høyden på planten , h(x), og alderen på planten x
er gitt ved: h=
( x) 6,35 ⋅1, 22 x.
E58
a
b
Vi bruker regneark i GeoGebra. Legg x-verdiene inn i kolonne A og T(x) verdiene i kolonne
B. Klikk på Analyser og velg Lineær i rullegardinmenyen under Regresjonsmodell.
Da ser det slik ut:
Markus kommer fram til modellen T ( x) =
−0, 79 x + 67,15 .
Vi bruker regneark i GeoGebra. Legg x-verdiene inn i kolonne A og T(x) verdiene i kolonne
B. Klikk på Analyser og velg Eksponentiell i rullegardinmenyen under Regresjonsmodell.
Da ser det slik ut:
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 41 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
Anita kommer fram til modellen T=
( x) 70,5 ⋅ 0,981x .
Funsjonsverdiene synker mer og mer etter hvert som x-verdiene øker.
Eksponentialmodellen passer best med punktene i koordinatsystemet og beskriver best
temperaturutviklingen I vannet.
c
1
T (20) =
70,5 ⋅ 0,98120 =
48
2
Temperaturen i vannet etter 20 minutter var ca. 48°C .
Med CAS får vi
d
Det tok ca. 4 minutter (4 min. og 13 sek.) før temperaturen var 65°C .
E59
a
b
c
Funsjonsverdiene synker etter hvert som x-verdiene øker.Grafen har ikke topp-eller
bunnpunkt.Andregradsfunksjon er derfor ikke aktuell.
Funksjonen må være h.
Funsjonsverdiene stiger mer og mer etter hvert som x-verdiene øker.
Etter som grafen ser ut til å gå gjennom origo, faller valget på potensfunksjonen f.
Grafen har ett bunnpunkt og ingen toppunkter. Da er det en andregradsfunksjon som passer
best. Funksjonen må være g.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 42 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
E60
a
Start GeoGebra og vis regneark.
Legg x-verdiene inn i kolonne A og K(x) verdiene i kolonne B.
Klikk på Analyser og velg polynomfunksjon av grad 2 i rullegardinmenyene under
Regresjonsmodell.
Da ser det slik ut:
Det gir: K (=
x) 0, 0003 x 2 + 0,5 x + 30
b
O( x) =
−0,3 x 2 + 210 x − 30 000
O(250) =
−0,3 ⋅ 2502 + 210 ⋅ 250 − 30 000 =
3750
2
O(350) =
−0,3 ⋅ 350 + 210 ⋅ 350 − 30 000 =
6750
O(350) − O(250) 6 750 − 3 750 3000
=
= = 30
350 − 250
100
100
Den gjennomsnittlige vekstfarten for O(x) i intervallet [ 250 , 350] er 30 kr/enhet.
I gjennomsnitt øker overskuddet med 30 kr per enhet når antall enheter øker fra 250 til 350.
O(350) = 6750
3 750
O(450) =
−0,3 ⋅ 4502 + 210 ⋅ 450 − 30 000 =
O(450) − O(450) 3750 − 6750 −3000
=
=
= −30
450 − 350
100
100
Den gjennomsnittlige vekstfarten for O(x) i intervallet [350 , 450] er − 30 kr/enhet.
I gjennomsnitt minker overskuddet med 30 kr per enhet når antall enheter øker fra 350 til
450.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 43 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
c
d
E61
a
b
Vi legger inn punktene (300 , O(300)) og (400 , O(400)). Vi tegner tangenten i punktene
ved å skrive Tangent[300 , O] og Tangent[400 , O] i inntastingsfeltet.
Vi ser at momentan vekstfart for O(x) når x =300 er 30 kr/enhet.
Når det produseres 300 enheter, vil overskuddet øke med 30 kr hvis produksjonen øker med
en enhet.
Vi ser at momentan vekstfart for O(x) =
når x 400 er − 30 kr/enhet.
Når det produseres 400 enheter, vil overskuddet minke med 30 kr hvis produksjonen øker
med en enhet.
Overskuddet er størst i toppunktet på grafen. I GeoGebra skriver vi Ekstremalpunkt[ O ].
Vi ser at den produksjonen som gir størst overskudd er 350 enheter.
Da er overskuddet 6750 kr.
Av grafen leser vi av at Henrik har kjørt 20 mil når han har 40 L bensin på tanken.
Grafen går gjennom punktene (0 , 56) og (10 , 48).
Vi regner ut stigningstallet for den rette linja:
y2 − y1 48 − 56
=
= −0,80
x2 − x1 10 − 0
Det viser at bensinforbruket er 0,80 L/mil.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 44 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
c
Tanken på Henriks bil rommer 56 L. Henrik kjører x mil og bilen forbruker 0,80 L/mil.
Antall liter bensin som er igjen på tanken når han har kjørt x mil er da gitt ved:
V ( x=
) 56 − 0,80 x.
d
V ( x) ≥ 0
56 − 0,80 x ≥ 0
−0,80 x ≥ −56
−56
−0,80
x ≤ 70
Gyldighetsområdet for V er da: x ∈ [0 , 70].
x≤
E62
a
b
Hvis x = 5 blir
=
FG 5=
og EF 10 .
Arealet av det blå området blir da:
80 ⋅ 80 − 10 ⋅ 5 =
6350 .
Vi må ha
2 x < 80
x < 40
Det gir at x ∈ 0 , 40 .
Ablått =
AABCD − AEFGH
område
c
T ( x) = 80 ⋅ 80 − 2 x ⋅ x = 6 400 − 2 x 2
2
T (5)
= 6400 − 2 ⋅ 5=
6400 − 50
= 6350
Vi løser likningen med CAS slik:
d
e
Det blå området er 3700 når x = 36,7.
E63
a
Vi bruker sammenhengen: N= G ⋅ V n .
Det gir
=
275
000 440 000 ⋅ x3
275 000
= 0, 625
440 000
=
x3
=
x
=
0, 625 0,855
3
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 45 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
1+
p
=
0,855
100
p
=
1 − 0,855 =
0,145
100
p= 0,145 ⋅100= 14,5
Den årlige prosentvise nedgangen er 14,5 %.
b
Vi kan sette opp
V ( x) 440 000 ⋅ 0,855 x , der x er antall år etter at bilen var ny.
=
c
d
Av grafen ser vi at verdien av Magnes bil er redusert til det halve etter 4,4 år.
Ved å anta at Magnes bil avtar med 25 000 kr etter en lineær modell, kan vi sette opp
=
B( x) 440 000 − 25 000 x der x er anttall år etter at bilen var ny.
e
Vi setter opp
V ( x) = B( x)
440 000 ⋅ 0,855 x = 440 000 − 25 000 x
Vi løser likningen med CAS slik
f
Etter 16,21 år er verdien av bilen lik etter de to modellene.
(Da bilen var ny, var verdien lik etter de to modellene.Så er verdien lik igjen etter 16,2 år.)
Verdien av bilen avtar mest de første årene slik at den eksponentielle modellen med en fast
prosentvis nedgang gitt ved V(x) gir nok best uttrykk for verdiutviklingen.
Etter noen år synker ikke bilens verdi like mye fordi prosenten regnes av en stadig lavere
verdi.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 46 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
E64
a
Funksjonen K ( x=
) ax + b er en linær funksjon.
Vi bruker Geogebra og viser regneark.
Vi legger distansene inn i kolonne A kondisjonstallene i kolonne B.
Vi markerer cellene, velger regresjonsanalyse, klikker på Analyser og velger Lineær.
Da ser det slik ut:
Av grafen ser vi at a = 0, 0221 og b = −10,9 .
Vi får da funksjonen=
K ( x) 0, 0221x − 10,9 der K(x) er kondisjonstallet og
x er løpt distanse I meter.
b
K ( x)= 0, 0221 ⋅ 2500 − 10,9= 44,5
Et løp på 2500 m svarer til kondisjonstallet 44,5.
c
For at en mann i denne aldersgruppen skal være i middels god form, må kondisjonstallet
minst være 32.
Vi kan sette opp
K ( x=
) 0, 0221x − 10,9
= 32
0, 0221x = 10,9 + 32 = 42,9
42,9
=
x = 1941
0, 0221
Innsatt i CAS
En mann i aldersgruppen 40 – 49 år må minst løpe 1941 m for å være i middels god form.
For at en mann i denne aldersgruppen skal være i svært bra form, må kondisjonstallet minst
være 46.
Vi bruker CAS verktøy og får
Han må da løpe ca. 2 574 m.
Det er en økning på (2574 − 1941)m =
633 m .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 47 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
E65
a
1 Vi bruker Geogebra og viser regneark.
Vi legger antall år etter 2000 i kolonne A og antall lag i kolonne B. Vi markerer cellene
og bruker verktøyet Regresjonsanalyse.
2 Vi ser bort fra punktene ( 5 , 660 ) og ( 8 , 963) .
b og c Vi velger Regresjonsanalyse, klikker på Analyser og velger Polynom,(grad 2).
Da ser det slik ut:
Den modellen som passer best med antall lag som i denne perioden er gitt ved
f ( x) = 30, 4 x 2 − 260,9 x + 1 327,9 der f(x) er antall lag og x er antall år etter 2000.
Av grafen ser vi at modellen passer bra med punktene i koordinatsystemet.
d
f (13)= 30, 4 ⋅132 − 260,9 ⋅13 + 1327,9= 3073,8
Etter modellen fullførte ca. 3074 lag stafetten i 2013 som er en dårlig progose.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 48 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
E66
a
b
Av tabellen ser vi at prisen for en diamant på 0,60 karat er 19 220 kr.
Vi bruker Geogebra og viser regneark.
Vi legger x karat i kolonne A og prisen (i tusen kroner) i kolonne B.
Vi velger regresjonsanalyse, klikker på Analyser og velger Eksponentiell.
Da ser det slik ut:
Den eksponentialfunsjonen som passer best med verdiene i tabellen, er gitt ved
=
P( x) 0,800 ⋅ 200 x
c
d
P(0,50) =0,800 ⋅ 2000,50 =11,30
Prisen for en diamant på 0,50 karat blir ca. 11 300 kr.
P(0, 60) =0,800 ⋅ 2000,60 =19, 2
Prisen for en diamant på 0,60 karat blir ca. 19 200 kr
Prisøkningen blir: 19 180 kr 19 200 kr − 11 300 kr =
7 900 kr.
7900 ⋅100 %
= 69,9 %
11 300
Prisen øker med ca. 70 % hvis diamanten øker i størrelse med 0,10 karat.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 49 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
E67
a
Vi leser av noen utvalgte punkter fra figuren i oppgaven og legger disse verdiene inn i
regnearket i GeoGebra.
Vi velger regresjonsanalyse, klikker på Analyser og velger Eksponentiell.
Da ser det slik ut:
Den funksjonen som passer best med grafen som er gitt i oppgaven, er=
f ( x) 10 000 ⋅1, 050 x.
b
Vi skriver 20 inn i feltet for x = i regresjonsvinduet og får at Guri vil ha 26 557 kr i banken etter
20 år.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 50 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
Vi kopierer grafen over i grafikkfeltet, tegner opp linjen y = 50000 og bruker verktøyet Skjæring
mellom to objekt.
Etter modellen vil beløpet i banken passere 50 000 kr etter 33 år.
E68
a Tiden er lik avstanden dividert med farten.
1,50 ⋅1011 m
1 h 1 dag 1 år
6, 0 ⋅108
=6, 0 ⋅108 s =6, 0 ⋅108 s ⋅
⋅
⋅
=
år =19 år
250 m / s
3600 s 24 h 365 dag 3600 ⋅ 24 ⋅ 365
b
Forholdene mellom avstandene må være like i modellen og i virkeligheten. Avstandene i
modellen til sola fra Saturn. Pluto og sentrum av Melkeveien kaller vi x, y og z.
x
1, 43 ⋅1012 m
=
40 cm 1,50 ⋅1011 m
x=
1, 43 ⋅1012
⋅ 40 cm = 381 cm = 3,81 m
1,50 ⋅1011
Avstanden til sola fra Saturn er 3,81 m i modellen.
y
5,96 ⋅1012 m
=
40 cm 1,50 ⋅1011 m
y=
5,96 ⋅1012
⋅ 40 cm= 1589 cm= 15,9 m
1,50 ⋅1011
Avstanden til sola fra Pluto er 15,9 m i modellen.
z
1, 20 ⋅1020 m
=
40 cm 1,50 ⋅1011 m
1, 20 ⋅1020
⋅ 40 cm =3, 20 ⋅1010 cm =3, 20 ⋅108 m =3, 20 ⋅105 km
z=
11
1,50 ⋅10
Avstanden til sola fra sentrum av Melkeveien er 3, 20 ⋅105 km i modellen.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 51 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
c
Tankegangen er som i oppgave b. Avstanden fra sola til jorda i den nye modellen er s.
s
1,50 ⋅1011 m
=
5, 0 m 1, 20 ⋅1020 m
1,50 ⋅1011
⋅ 5, 0 m =6, 25 ⋅10−9 m
s=
1, 20 ⋅1020
Avstanden fra sola til jorda i den nye modellen er 6, 25 ⋅10−9 m .
E69
a og b Vi legger inn tallene i tabellen i regnearket i GeoGebra, markerer cellene, bruker
verktøyknappen Regresjonsanalyse, klikker på Analyser og velger Lineær i
rullegardinmenyen. Vi får dette vinduet:
Den lineære funksjonen som passer best med tallene i tabellen blir y =
−2,94 x + 102 .
Vi kopierer grafen over til grafikkfeltet i GeoGebra.
c
Vi regner ut ved hjelp av modellen fra oppgave b hvor mye dopapir som er brukt når
diameteren er 38 mm.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 52 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
38 =
−2,94 x + 101, 65
2,94 x = 63, 65
d
x = 21, 65
Dorullen inneholder ifølge modellen omtrent 22 meter dopapir.
På pakka står det at den inneholder 160 ark av lengde 0,14 m.
160 ⋅ 0,14 =
22, 4
Det svarer altså til at dorullen inneholder omtrent 22 meter dopapir. Det er god
overensstemmelse mellom modellen vår og det som er oppgitt på pakka. Vi kan ikke forlange
større presisjon i modellen når tallmaterialet som brukes til å lage modellen, er oppgitt såpass
lite nøyaktig som tilfellet er for dopapirlengdene, som utgjør x-verdiene våre.
E70
a
1
2
Vi legger inn tallene i tabellen i regnearket i GeoGebra, markerer cellene, bruker
verktøyknappen Regresjonsanalyse, klikker på Analyser og velger Lineær i
rullegardinmenyen.
Den lineære modellen som passer best med tallene i tabellen er f ( x) =
−0,88 x + 42 .
Vi velger Eksponentiell i rullegardinmenyen.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 53 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
b
Den eksponentielle modellen som passer best med tallene i tabellen er gitt ved
f ( x=
) 44 ⋅ 0,97 x .
Vi bruker CAS og setter inn x = 35
c
Etter den lineære modellen vil ca. 11 % være røykere i 2020, mens etter den eksponentielle vil
ca. 16 % være røykere i 2020.
Vi bruker CAS med x = 5
Av grafen ser vi at andelen mannlige røykere blir lavere enn 5 % når
x = 42 , dvs. i 2027 i følge den lineære modellen og når
x = 72 , dvs. i 2057 i følge den eksponentielle modellen.
d
Det er lite sannsynlig at den lineære modellen vil fortsette etter ca. 2030 ( x = 30) . Da blir
prosenten negativ.
Den eksponentielle modellen viser at andelen røykere minker. Grafen flater ut, men blir aldri
null. Noen menn vil nok alltid røyke.
Denne modellen er nok derfor mest sannsynlig.
E71
a og b Vi starter GeoGebra og viser Regneark.
Vi legger nummer på månedene i kolonne A og antall kilogram pølser i kolonne B.
Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse.
Vi klikker på Analyser og velger Polynom (grad 3). Da ser det slik ut:
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 54 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
Tredjegradsmodellen er derfor f ( x) =
− x3 + 10, 4 x 2 + 20,9 x + 14, 6
Vi kopierer grafen over i grafikkfeltet og setter riktig enhet på aksene.
c
Pølsesalget i 2012 vil være 20 % høyere enn i 2011.
Vi regner da ut pølsesalget i 2012 ved å multiplisere salget i 2011 med vekstfaktoren 1,20.
54
Eksempel for januar: 45 ⋅1, 2 =
Tilsvarende beregning er utført for de neste månedene. Se tabellen nedenfor.
Måned
Januar
Mars
Juni
Juli
August Desember
Antall kg
54
173
359
394
403
43
pølser
Vi bruker regneark og legger nummer på månedene i kolonne A og det nye antall kilogram
pølser i kolonne B.
Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse.
Vi klikker på Analyser og velger Polynom (grad 3). Da ser det slik ut:
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 55 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
Vi finner at den funksjonen som passer best med punktene i koordinatsystemet, er gitt ved
g ( x) =
−1, 2 x3 + 12, 4 x 2 + 25,5 x + 17, 2
Vi kopierer grafen over i grafikkfeltet og setter riktig enhet på aksene. Vi tegner inn linjen
y = 300.
Av grafen ser vi at butikken selger mer enn 300 kg pølser per måned fra slutten av april til
begynnelsen av oktober.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 56 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
E72
a
1
Årstall
2005
2006
2007
2008
2009
2010
Innbyggertall
650
550
467
396
336
284
–100
–83
–71
–60
–52
–15,4 %
–15,1 %
–15,2 %
–15,2 %
–15,5 %
Endring fra året før
Prosentvis endring fra året før
b
c
d
2 I en lineær modell vil innbyggertallet minke med like mange mennesker hvert år. Her ser vi
tydelig at nedgangen i innbyggertallet avtar med årene, og at den prosentvise endringen fra
året før er tilnærmet konstant. Hans og Grete bør derfor velge en eksponentiell modell.
Vi legger inn tallene i tabellen i regnearket i GeoGebra, markerer cellene, bruker
verktøyknappen Regresjonsanalyse, klikker på Analyser og velger Eksponentiell i
rullegardinmenyen.
Den eksponentielle modellen som passer best med tallene i tabellen er =
f ( x) 649, 7 ⋅ 0,848 x .
1
Vi bruker muligheten for å regne ut funksjonsverdien i regresjonsanalysevinduet:
2
Innbyggertallet vil ifølge modellen være omtrent 55 i 2020.
Vi løser likningen 649, 7 ⋅ 0,848 x =
100 med CAS slik
Det gir x = 11,35 . Det betyr at innbyggertallet kryper under 100 i løpet av 2016.
Vi regner ut folketallet i 2020 etter den lineære modell til Hans: y (15) =
−73 ⋅15 + 629 =
−466 .
Innbyggertallet i kommunen kan aldri bli mindre enn 0. Denne modellen kan derfor ikke
brukes i de siste årene fram til 2020.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 57 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
E73
a
1
Vi lager en liste med punkter i regnearket i GeoGebra.
Vi legger diameterne i kolonne A og volumene i kolonne B.
Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse.
2
Vi klikker på Analyser og velger Potens i rullegardinmenyen. Da ser det slik ut:
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 58 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
b
c
Vi kopierer grafen til grafikkfeltet og legger inn linja y = 1000 . Vi bruker GeoGebra
kommandoen Skjæring mellom to objekter og finner skjæringspunktet mellom linja og grafen
til f.
En kule med volum på 1000 mL har en diameter på 12,4 cm.
d
Radien er halvparten av diameteren, r = .
2
Vi setter inn i formelen for volumet av kula og får
4
V=
⋅ π ⋅ r3
3
4
d 
V=
⋅ π⋅ 
3
2
3
4
d3
⋅π⋅ 3
3
2
4⋅π 3
V
=
⋅d
3 ⋅ 23
V 0,52 ⋅ d 3
=
I oppgave a fant vi at volumet f ( x) til kuler med diameteren x er gitt ved f =
( x) 0,52 ⋅ x3,0 .
Resultatet i oppgave a stemmer med formelen.
V=
E74
a
1
2
Vi lager en tabell der antall plasser øker med to for hver rad.
Radnummer
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Antall plasser per rad
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
Vi ser at det er 20 plasser på rad 6 og 28 plasser på rad 10.
Vi lar oss inspirere av figuren og tenker at det er røde og grønne seter i salen slik at de
midterste 8 setene alltid er røde. Vi ser da at det er 2 grønne seter på rad 1 (ett på hver
side), 4 grønne seter på rad 2 (to på hver side) og 6 grønne seter på rad 3 (tre på hver
side). Antall grønne seter må være to ganger radnummeret, mens de røde alltid er 8.
Dette gir oss f (n)= 8 + 2n , der f (n) er antall plasser på raden som funksjon av
radnummeret n. Vi ser at denne funksjonen gir oss tabellen ovenfor.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 59 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
b
Vi lar g (=
n) 360 − 10n være prisen per sete på rad n som funksjon av radnummeret n. Vi ser at
dette stemmer med opplysningene om 350 kr på rad 1, 340 kr på rad 2, og videre reduksjon på
10 kr per rad bakover. Den samlede prisen til billettene på en rad må være produktet av antall
plasser og prisen per plass. Om vi kaller den samlede prisen som funksjon av
radnummeret h(n) , får vi
h(n) =f (n) ⋅ g (n) =(8 + 2n) ⋅ (360 − 10n)
c
Videre bearbeiding av funksjonsuttrykket gir oss
h( n) =
(8 + 2n)(360 − 10n) =⋅
8 360 − 8 ⋅10n + 2n ⋅ 360 − 2n ⋅10n =
2880 − 80n + 720n − 20n 2
h( n) =
−20n 2 + 640n + 2880
Vi ser at h(n) er en andregradsfunksjon, og siden det står et negativt tall foran andregradsleddet,
vet vi at funksjonen har et toppunkt. Vi tegner grafen for å finne dette.
I GeoGebra fins kommandoen Ekstremalpunkt for å finne topp- og bunnpunkter for
polynomfunksjoner. Vi skriver inn Ekstremalpunkt[h] og punktet A blir tegnet. Vi leser av
koordinatene og finner at billettene koster mest til sammen på rad 16.
Den samlede prisen på rad 16 er 8000 kr.
E75
Av figuren ser vi at siden bredden er x og lengden er y,kan vi sette opp
4x + 2 y =
500
y=
−2 x + 250
Arealet av rektanglet blir
A( x) =x ⋅ y =x(−2 x + 250) =−2 x 2 + 250 x
Vi tegner til A(x) i GeoGebra.
I GeoGebra fins kommandoen Ekstremalpunkt for å finne topp- og bunnpunkter for
polynomfunksjoner. Vi skriver inn Ekstremalpunkt[A] og punktet A blir tegnet. Da ser det slik ut:
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 60 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
Av grafen ser vi at det området får størst mulig areal når x = 62,5 m.
Da er y =−2 ⋅ 62,5 m + 250 m =125 m .
E76
a
b
c
d
Antall elever ved Narvestad videregående skole er 54 + 56 = 110.
Antall elever som har valgt 1P er 110 ⋅ 0, 60 =
66 .
Antall elever som har valgt 1T er 110 ⋅ 0, 40 =
44 .
Da kan vi sette opp:
1P
1T
Totalt
34
20
Jenter
54
24
Gutter
32
56
66
44
110
Totalt
34
P( jente som tar 1P)
= = 0,309
110
Sannsynligheten for at de intervjuer en jente som tar 1P er 30,9 %.
24
P (gutt som tar 1T)
= = 0, 218
110
Sannsynligheten for at de intervjuer en gutt som tar 1T er 21,8 %.
1, 0 − 0, 218 =
0, 782
Sannsynligheten for at de ikke intervjuer en gutt som tar 1T er 78,2 %.
32 34
P (både gutten og jenta tar 1P) = ⋅ = 0,360
56 54
Sannsynligheten for at både gutten og jenta har valgt 1P er 36,0 %.
E77
a
b
Antall medlemmer i et politisk ungdomsparti er 14.
8 7 6
P (alle tre delegatene blir jenter) =
⋅ ⋅ = 0,154
14 13 12
Sannsynligheten for at alle tre delegatene blir jenter er 15,4 %.
6 5 4
P (alle tre delegatene blir gutter) =
⋅ ⋅ = 0, 055
14 13 12
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 61 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
c
Sannsynligheten for at alle tre delegatene blir gutter er 5,5 %.
0,154 + 0, 055 =
0, 209.
0, 209.
P (alle tre delegatene blir jenter) + P (alle tre delegatene blir gutter) 0,154 + 0, 055 =
P(minst en av hvert kjønn vil representere lokallaget)
= 1 − P(tre jenter eller tre gutter vil representere lokallaget)
1 − 0, 209 =
0, 791.
=
Sannsynligheten for at minst en av hvert kjønn vil representere lokallaget
på årsmøtet er 79,1 %.
E78
a
Vi setter
BØ: eleven har valgt bedriftsøkonomi
BØ : eleven har ikke valgt bediftsøkonomi
RL:Eleven har valgt rettslære
RL : eleven har ikke valgt rettslære
Det gir:
1 1 1
P BØ ∩ RL = P( BØ ) ⋅ P RL = ⋅ =
3 3 9
(
)
( )
1 2 2 1 4
P( RL) = P( BØ ) ⋅ P( RL) + P BØ ⋅ P( RL) = ⋅ + ⋅ =
3 3 3 3 9
( )
b
E79
a
b
4 3 12 2
⋅ =
=
= 0,133
10 9 90 15
Sannsynligheten for at Eva trekker to røde kuler er 13,3 %.
P(Eva trekker en kule med hver av fargene blå og gul)
P( RR) =
3 3 3 3 18
⋅ + ⋅ =
= 0, 20
10 9 10 9 90
Sannsynligheten for at Eva trekker en kule med hver av fargene blå og gul er 20 %.
= P( BG ) + P(GB) =
c
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 62 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
P (Eva trekker to kuler med samme farge) = P(GG ) + P( BB ) + P ( RR )
3 2 3 2 4 3
=
⋅ + ⋅ + ⋅
10 9 10 9 10 9
24
=
90
= 0, 267
Sannsynligheten for at Eva trekker to kuler med same farge er 26,7 %.
E80
a
b
c
d
e
Tabellen viser utfallsrommet når Bård og Lars spiller én gang.
Bård
Lars
Resultat
Stein
Papir
Lars vinner
Stein
Saks
Bård vinner
Stein
Stein
Uavgjort
Saks
Papir
Bård vinner
Saks
Saks
Uavgjort
Saks
Stein
Lars vinner
Papir
Papir
Uavgjort
Papir
Saks
Lars vinner
Papir
Stein
Bård vinner
antall utfall som gjør at Bård vinner 3 1
P ( B )=
= =
antall mulige utfall
9 3
De spiller tre spill med tre mulige utfall hver. Det gir 3 ⋅ 3 ⋅ 3 =27 ulike resultater.
De gunstige utfallene er nå BBL, BLB, LBB, BBU, BUB, UBB og BBB.
Sannsynligheten for at Bård vinner minst to av de tre gangene, er derfor
7
= 0,=
260 26, 0 % .
27
De gunstige utfallene er nå BUU, UBU, UUB, BBL, BLB, LBB, BBU, BUB, UBB og BBB.
10
= 37, 0 % .
Sannsynligheten for at Bård vinner, er derfor= 0,370
27
E81
a
b
c
d
Vi velger å lage en krysstabell:
Gutt
Jente
Totalt
Kjører moped til skolen
9
8
17
Kjører ikke moped til skolen
6
4
10
Totalt
15
12
27
Vi ser av krysstabellen at det er til sammen 10 av de 27 elevene som ikke kjører moped.
10
= 37 % .
Sannsynligheten for at den uttrukne eleven ikke kjører moped, er derfor= 0,370
27
Av de 17 elevene som kjører moped til skolen, er det 9 gutter. Sannsynligheten for at den
9
= 0,529
= 52,9 % .
uttrukne eleven er gutt, er derfor
17
Hver av de 8 jentene som kjører moped, kommer presis med sannsynligheten 1 − 0,1 =
0,9 .
Hver av de 4 jentene som ikke kjører moped, kommer presis med sannsynligheten 0,95.
Derfor er sannsynligheten for at alle 12 jentene kommer presis, gitt ved 0,98 ⋅ 0,954 .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 63 av 64
Løsninger til oppgavene i boka
e
Sannsynligheten for at alle elevene i klassen kommer presis, er 0,917 ⋅ 0,9510 =
0,1 .
Dermed er sannsynligheten for at minst én elev kommer for seint, lik 1 − 0,1 = 0,9 = 90 % .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 64 av 64