Kurs
9
Kapittel 2
B o kmål
D.9.2
1 av 9
Kurs i GeoGebra
Funksjoner og grafer
I dette kurset skal vi se nærmere på hvordan vi kan bruke
GeoGebra som en graftegner.
Grunnleggende innstillinger
Når vi skal bruke dette verktøyet, trenger vi å vise et koordinatsystem i grafikkfeltet. Som regel er det også praktisk å vise
rutenett.
• Høyreklikk i grafikkfeltet, så vises
en meny der du kan slå av og
på akser og av og på rutenett.
I den samme menyen kan du velge
å gå inn i innstillinger for grafikkfelt.
Dette valget vises med et lite tannhjul.
I første omgang er det viktigst at
du lærer deg hvordan du setter
navn på aksene. Det finnes en
arkfane for hver akse. Her velger
du enten en forhåndsinnstilt
x (eller y), eller du velger et navn
som passer med sammenhengen,
for eksempel ”timer”, ”kroner” eller
liknende, som du skriver inn selv.
Husk alltid å gi aksene navn.
Kurs. Maximum 9. Kapittel 2 © Gyldendal Norsk Forlag AS
D.9.2
2 av 9
I noen sammenhenger
gir det ingen mening
å bruke de negative
tallene. Da kan vi
velge å sette en hake
i ruta ”Bare i positiv
retning”. Resultatet blir
at det bare er førstekvadrant som vises.
Det er ikke alltid det passer å bruke de akseinnstillingene
(avstandene) GeoGebra har som standard. Derfor må vi kunne
endre disse innstillingene. Det kaller vi ”å skalere aksene”.
Det enkleste er å bruke verktøyet ”Flytt grafikkfeltet”:
Når dette verktøyet er aktivt, og du legger musepekeren over en
av aksene, vil denne få form som en dobbeltpil:
eller
Når en slik pil vises, og det dukker opp en merkelapp på aksen,
kan du klikke og dra i aksen slik at den forlenges eller forkortes.
Hvis du tegner en graf uten at den vises, er ofte forklaringen at
du har glemt å skalere aksene.
Hvis du vil at det skal være et bestemt
forhold mellom de to skalaene, kan du
skalere ved hjelp av hurtigmenyen
(høyreklikk).
Kurs. Maximum 9. Kapittel 2 © Gyldendal Norsk Forlag AS
,
D.9.2
3 av 9
Å skrive inn et funksjonsuttrykk
Når vi har en funksjon, og skal tegne grafen til denne, må vi skrive
funksjonsuttrykket inn i inntastingsfeltet:
Når vi skal tegne en rett linje, kan vi bruke likningen, og starte
med y =
For alle andre funksjoner må vi bruke funksjonsnavn; f (x)= ...,
g (x) = ... osv.
Eksemplet viser to
funksjoner, skrevet
på hver sin måte:
Ved innskrivning må
du huske på dette:
• Bruk punktum, ikke komma, som desimalskilletegn.
GeoGebra forstår y=0.5x-3, men ikke y=0,5x-3
• Å skrive ”opphøyet i” gjøres på samme måte som i regneark,
ved hjelp av ”^”.
Inntasting av funksjonsuttrykket ser slik ut: f (x)=x^2-4
• Brøker kan skrives inn ved hjelp av parenteser og skråstrek.
GeoGebra forstår: y=(1/3)x-2
Øvelse
Bruk funksjoner fra oppgavene på side 81 i grunnboka, og øv deg
på å tegne grafer.
Kurs. Maximum 9. Kapittel 2 © Gyldendal Norsk Forlag AS
D.9.2
4 av 9
Å avgrense en graf til et bestemt intervall
I mange praktiske sammenhenger er en funksjon gyldig bare
innenfor et bestemt område på tallinja (intervall). Da må vi klare å
avgrense grafen til dette intervallet.
Eksempel
Du har 400 meter med gjerde og skal gjerde inn et rektangelformet område. Et funksjonsuttrykk for arealet av området kan
skrives slik:
A(x) = x(200  x), der x er bredden til rektangelet.
Dette gir bare mening hvis x≥0 eller x≤200.
Det kan vi skrive slik: DA = [0, 200]
Når vi skal tegne grafen til A vil vi avgrense denne til x-verdier
innenfor intervallet [0, 200].
Vi bruker en forhåndsdefinert
funksjonalitet som ser slik ut:
Denne vises så snart du begynner
å skrive ”Funksjon” i inntastingsfeltet, og du kan klikke på uttrykket.
Start med å skrive selve funksjonsuttrykket, bruk piltast til å flytte deg til <Start>, skriv inn den minste grenseverdien, piltast deg
videre til <Slutt>, og skriv inn den største grenseverdien. Da ser
det slik ut: Funksjon[x(200-x),0,200]
Bekreft med ”Enter”.
I algebrafeltet ser vi at funksjonen blir skrevet slik:
For at funksjonen skal få riktig navn, høyreklikker vi på funksjonsuttrykket, velger ”Gi nytt navn” og endrer fra f til A.
Kurs. Maximum 9. Kapittel 2 © Gyldendal Norsk Forlag AS
D.9.2
5 av 9
Resultat:
Versjon 5.0:
Fra denne versjonen er kommandoen «Dersom» innført.
Intervallet settes inn som vilkår i form av en ulikhet, og
funksjonsuttrykket skrives inn i feltet "Så". Fordelen med denne
kommandoen er at intervallet vises i algebrafeltet.
Kommandoen ser da slik ut: [0<x<200,x(200-x)]
Øvelse
Tegn grafen til funksjonen innenfor det oppgitte intervallet.
a f (x)= 0,5x  3
Df = [-10, 10]
bg (x) = 8  x2Dg = [0, 5]
c h (x) =
1
2x
di (x) = 0,003x3 + 0,3x2 + 100
Dh = [3, 8]
Di = [-100, 100]
Kurs. Maximum 9. Kapittel 2 © Gyldendal Norsk Forlag AS
D.9.2
6 av 9
Skjæringspunkter og nullpunkter
En skoleelev får ekstrajobb på et pakkeri for julegaveesker, og hun
kan velge mellom to lønnsmodeller:
Modell A: 30 kr for hver ferdige eske
Modell B: 500 kr per dag, og 5 kr for hver ferdige eske
Vi skal sammenligne hvor mye en dagslønn kan bli i de to modellene, og finne ut hvor mange esker hun må pakke for at modell A
skal lønne seg.
Vi kaller antall esker for x, og lager et funksjonsuttrykk for hver
modell: A(x) = 30x B(x) = 500 + 5x
Vi tegner begge
funksjonene som
grafer i det samme
koordinatsystemet:
Det interessante punktet er
der hvor de to grafene skjærer
hverandre. For å være sikker
på at vi leser av nøyaktig,
bruker vi verktøyet
”Skjæring mellom to objekter”
Dette verktøyet velges under punktverktøy.
Kurs. Maximum 9. Kapittel 2 © Gyldendal Norsk Forlag AS
D.9.2
Klikk først på den ene grafen, deretter på den andre.
Skjæringspunktet
vises som punkt C,
både i grafikkfeltet og i
algebrafeltet.
Vi leser av koordinatene til C
i algebrafeltet, og ser at det
lønner seg å velge modell A
hvis hun regner med å kunne
pakke mer enn 20 pakker på én dag.
Øvelse
Bruk GeoGebra til å løse oppgavene på side 77 i grunnboka.
Den samme metoden kan
brukes til å finne nullpunktene til en funksjon.
Vi tegner grafen til
funksjonen f (x) = -x2 + 4x
Når vi skal finne nøyaktig
verdi for nullpunktene,
bruker vi ”Skjæring mellom
to objekter” og klikker på
grafen og på x-aksen.
Nullpunktene vises som A og B, og
koordinatene vises i Algebravinduet.
Øvelse
Hva er funksjonens nullpunkter?
Kurs. Maximum 9. Kapittel 2 © Gyldendal Norsk Forlag AS
7 av 9
D.9.2
8 av 9
Generelle uttrykk og glidere
Når vi skal undersøke hvordan de ulike leddene i et funksjonsuttrykk virker på grafens utseende, kan vi bruke glidere og
generelle uttrykk. En glider kan brukes til å endre verdier i et
uttrykk.
Vi skal se på det generelle uttrykket for en lineær funksjon,
y = ax + b
Først må vi lage en glider for a og en glider for b.
Vi velger verktøyet ”Glider”, og klikker det stedet i Algebrafeltet
der vi vil plassere glideren. Da vises et dialogvindu.
Her velger vi at glideren skal være et tall, hete a og virke for
verdier fra -10 til 10. På samme måte lager vi en glider for b.
Kurs. Maximum 9. Kapittel 2 © Gyldendal Norsk Forlag AS
D.9.2
9 av 9
Nå er vi klare til å skrive inn
funksjonsuttrykket. Siden vi har
definert a og b med glidere, kan vi
skrive det generelle uttrykket inn i
inntastingsfeltet. (Vi må bruke en
stjerne som gangetegn mellom a og
x for at GeoGebra skal forstå: y=a*x+b)
I algebrafeltet ser vi uttrykket for den rette linja. Bruk nå pekeverktøyet, og skyv på den svarte prikken på gliderne slik at verdiene til a og b forandrer seg. Følg med på uttrykket i algebravinduet
og på grafen.
aHva kan du si om en graf der b = 0?
bHva kan du si om en graf der a = 0?
c Hva kan du si om en graf der a er positiv?
d Hva kan du si om en graf der a er negativ?
eHva skjer med grafen hvis du lar a være konstant,
men endrer b fra positiv til negativ verdi?
Øvelse
Bruk glidere i oppgavene på side 79 i grunnboka.
Kurs. Maximum 9. Kapittel 2 © Gyldendal Norsk Forlag AS