1. No category

Løsninger til oppgavene i boka
S1 kapittel 5 Funksjoner
Løsninger til oppgavene i boka
5.1
a
f ( x) =
−4 x + 20
I GeoGebra skriver vi f(x)=Funksjon[-4x+20,-5,5].
Grafen viser at V f = [ 0 , 40] .
b
( x) 2,5 x + 10
g=
I GeoGebra skriver vi f(x)=Funksjon[2,5x+10,-10,4].
Grafen viser at V f =
© Aschehoug
[ −15 , 20] .
www.lokus.no
Side 1 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
5.2
a
f ( x) =
−2 x + 10
Vi har fått oppgitt at D f =
[ −3 , 5] .
Da kan vi la GeoGebra regne ut f (−3) og f (5) for oss.
I innskrivningsfeltet skriver vi f(-3) og trykker Enter.
Svaret får vi i algebrafeltet:
f (−3) =
16 . Tilsvarende får vi at f (5) = 0.
Altså er V f = [ 0 , 16] .
b
g (=
x) 20 x − 100
Vi har fått oppgitt at D f = [5 , 20] .
Da kan vi la GeoGebra regne ut g (5) og g (20) for oss.
I innskrivningsfeltet skriver vi g(5) og trykker Enter.
Svaret får vi i algebrafeltet:
.
g (5) = 0 . Tilsvarende får vi at g (20) = 300.
Altså er Vg = [ 0 , 300] .
5.3
a
Grafen går gjennom punktene (0 , 2) og (4 , 5).
y2 − y1 5 − 2 3
=
a
= =
x2 − x1 4 − 0 4
3
Stigningstallet for linja er .
4
b Grafen går gjennom punktene (0 , 120) og (8 , 0).
y − y 0 − 120
a= 2 1 =
= −15
8−0
x2 − x1
Stigningstallet for linja er −15.
5.4
a
Grafen går gjennom punktene (1 , 5) og (3 , 9).
y − y 9−5 4
a= 2 1=
= = 2
x2 − x1 3 − 1 2
Stigningstallet for linja er 2.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 2 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
b
5.5
a
b
5.6
a
Nå kan vi skrive =
y 2x + b .
Vi velger punktet (1 , 5) og setter inn =
x 1 og =
y 5 inn i =
y 2 x + b.
Det gir
5 = 2 ⋅1 + b
b=3
Likningen for linja er =
y 2 x + 3.
Grafen går gjennom punktene (−1 , 7) og (2 , 1).
y −y
1− 7
−6
a= 2 1 =
=
= −2
x2 − x1 2 − (−1) 3
Stigningstallet for linja er −2.
Nå kan vi skrive y =
−2 x + b .
2 og y =
1 inn i y =
−2 x + b.
Vi velger punktet (2 , 1) og setter inn x =
Det gir
1 =−2 ⋅ 2 + b
b=5
Likningen for linja er y =
−2 x + 5.
Grafen går gjennom punktene (−2 , −5) og (12 , 2).
y2 − y1 2 − (−5)
7 1
=
a
=
= =
x2 − x1 12 − (−2) 14 2
1
Stigningstallet for linja er .
2
1
Nå kan vi skrive =
y
x+b.
2
1
Vi velger punktet (12 , 2) og setter inn=
x 12 og=
y 2 inn i=
y
x + b.
2
Det gir
1
2 = ⋅12 + b
2
2= 6 + b
b = −4
1
Likningen for linja er =
y
x − 4.
2
Grafen går gjennom punktene (−2 , − 2) og (1 , 7).
y − y 7 − (−2) 9
a= 2 1=
= = 3
x2 − x1 1 − (−2) 3
=
og ( x1 , y1 ) (1 , 7).
Vi bruker ettpunktsformelen
med a 3=
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 3 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
Det gir
y − y1 = a ( x − x1 )
y − 7= 3( x − 1)
y = 3x − 3 + 7
=
y 3x + 4
y 3x + 4.
Likningen for linja er =
b
Grafen går gjennom punktet (2 , 4) og har stigningstallet −2.
−2 og ( x1 , y1 ) =
(2 , 4).
Vi bruker ettpunktsformelen med a =
Det gir
y − y1 = a ( x − x1 )
y − 4 =−2( x − 2)
y =−2 x + 4 + 4
y=
−2 x + 8
Likningen for linja er y =
−2 x + 8.
c
Grafen går gjennom punktene (0 , 4) og har stigningstallet 2,5.
=
=
og ( x1 , y1 ) (0 , 4).
Vi bruker ettpunktsformelen
med a 2,5
Det gir
y − y1 = a ( x − x1 )
4 2,5( x − 0)
y −=
y 2,5 x + 4
=
y 2,5 x + 4.
Likningen for linja er=
d
Grafen går gjennom punktene (−3 , 0) og (0 , 6).
y −y
6−0
6
a= 2 1=
= = 2
x2 − x1 0 − (−3) 3
=
og ( x1 , y1 ) (0 , 6).
Vi bruker ettpunktsformelen
med a 3=
Det gir
y − y1 = a ( x − x1 )
y − 6= 2( x − 0)
=
y 2x + 6
Likningen for linja er =
y 2 x + 6.
5.7
a
I GeoGebra skriver vi inn punktene (2 , 40) og (8 , 100).
Vi klikker på
og deretter på de to punktene.
I algebrafeltet får vi likningen for linja.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 4 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
b
Linja har likningen=
y 10 x + 20.
I GeoGebra skriver vi inn punktene (−2 , − 4,5) og (6 , 7).
Vi klikker på
og deretter på de to punktene.
I algebrafeltet får vi likningen for linja.
Linja har likningen
=
y 1, 44 x − 1, 63.
c
I GeoGebra skriver vi inn punktene (−35 , 4) og (100 , − 2).
Vi klikker på
og deretter på de to punktene.
I algebrafeltet får vi likningen for linja.
Linja har likningen y =
−0, 04 x + 2, 44.
5.8
a
Grafen viser at N(t) kan få verdier fra og med −3 til og med 5. Da er VN =
[ −3 , 5].
b
Grafen viser at f ( x) kan få verdier fra og med −2 til og med 6. Da er V f =
[ −2 , 6].
5.9
a
f ( x) =
−4 x + 12
I GeoGebra skriver vi f(x)=Funksjon[-4x+12,-2,5].
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 5 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
Grafen viser at V f =
b
[ −8 , 20] .
g ( x) =
−0,8 x + 25
I GeoGebra skriver vi f(x)=Funksjon[-0,8x+25,0,20].
Grafen viser at Vg = [9 , 25] .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 6 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
5.10
a
Grafen går gjennom punktene (0 , 1) og (4 , 2).
y2 − y1 2 − 1 1
=
a
= =
x2 − x1 4 − 0 4
1
Stigningstallet for linja er .
4
1
Nå kan vi skrive =
y
x+b.
4
Vi velger punktet (0 , 1) og setter inn=
x 0 og=
y 1 inn i=
y
Det gir
1
x + b.
2
1
⋅0 + b
2
b =1
1=
1
x + 1.
2
Grafen går gjennom punktene (0 , 3) og (9 , 0).
y − y 0 − 3 −3
1
a= 2 1 =
=
= −
x2 − x1 9 − 0 9
3
1
Vi bruker ettpunktsformelen med a =
(9 , 0).
− og ( x1 , y1 ) =
3
Det gir
y − y1 = a ( x − x1 )
Likningen for linja er =
y
b
1
y − 0 =− ( x − 9)
3
1
y=
− x+3
3
1
Likningen for linja er y =
− x + 3.
3
5.11
Grafen går gjennom punktet (2 , −1) og har stigningstallet −2,5.
Vi bruker ettpunktsformelen med a =
−2,5 og ( x1 , y1 ) =
(2 , −1).
Det gir
y − y1 = a ( x − x1 )
y − (−1) =−2,5( x − 2)
y =−2,5 x + 5 − 1
y=
−2,5 x + 4
Likningen for linja er y =
−2,5 x + 4.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 7 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
5.12
Grafen går gjennom punktet (1 , 3) og har stigningstallet 2.
Vi bruker ettpunktsformelen
med a 2=
=
og ( x1 , y1 ) (1 , 3).
Det gir
y − y1 = a ( x − x1 )
y − 3= 2( x − 1)
y = 2x − 2 + 3
=
y 2x +1
Likningen for linja er =
y 2 x + 1.
5.13
a
I GeoGebra skriver vi inn punktene (−2 , − 4) og (2 , 2) .
Vi klikker på
og deretter på de to punktene.
I algebrafeltet får vi likningen for linja.
b
Linja har likningen=
y 1,5 x − 1
Grafen går gjennom punktene (−2 , − 2) og (2 , 2).
y − y 2 − (−4) 6 3
a= 2 1=
= =
x2 − x1 2 − (−2) 4 2
3
Vi bruker ettpunktsformelen
med a =
=
og ( x1 , y1 ) (2 , 2).
2
Det gir
y − y1 = a ( x − x1 )
y − 2=
3
( x − 2)
2
3
x −3+ 2
2
3
=
y
x −1
2
y=
y
Likningen for linja er =
© Aschehoug
3
x − 1.
2
www.lokus.no
Side 8 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
5.14
a
Grafen går gjennom punktet (2 , 1) og har stigningstallet −1,5 .
(2 , 1).
−1,5 og ( x1 , y1 ) =
Vi bruker ettpunktsformelen med a =
Det gir
y − y1 = a ( x − x1 )
y − 1 =−1,5( x − 2)
y =−1,5 x + 3 + 1
y=
−1,5 x + 4
−1,5 x + 4.
Likningen for linja er y =
For å finne skjæringspunktet mellom linja og x-aksen setter vi y = 0.
Det gir
−1,5 x + 4 =
0
− 1,5 x =
−4
−1,5 x
−4
=
−1,5 −1,5
x = 2, 66
2 8
2, 666
= 2=
3 3
b
c
8 
Skjæringspunktet mellom linja og x-aksen er  , 0  = (2, 66 , 0) .
3 
For å finne skjæringspunktet mellom linja og y-aksen setter vi x = 0.
Det gir
y =−1,5 ⋅ 0 + 4 =4
Skjæringspunktet mellom linja og y-aksen er ( 0 , 4 ) .
Vi setter
3
2
3
3
− x =− − 4
2
2
3
3
− x ⋅ 2 =− ⋅ 2 − 4 ⋅ 2
2
2
− 3 x =−3 − 8
− 3x =
−11
11
x=
3
−1,5 x + 4 =−
Skjæringspunktet mellom linja l og linja y = −
© Aschehoug
3
 11 3 
er  , −  .
2
2
3
www.lokus.no
Side 9 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
5.15
Grafen går gjennom punktene (−2 , 6) og (4 , −3).
y −y
−3 − 6
−9
3
a= 2 1 =
=
= −
x2 − x1 4 − (−2) 6
2
3
Vi bruker ettpunktsformelen med a =
(−2 , 6).
− og ( x1 , y1 ) =
2
Det gir
y − y1 = a ( x − x1 )
3
( x − (−2) )
2
3
y =− x − 3 + 6
2
3
− x+3
y=
2
y − 6 =−
3
Likningen for linja er y =
− x + 3.
2
Linja har stigningstallet −1,5 . Påstand A er riktig.
3
− x+3=
0
2
−1,5 x =
−3
x=2
Nullpunktet for funksjonen er 2. Påstand B er feil.
For å se om punktet (−1 , 4) ligger på linja, setter vi inn x = −1 i likningen for linja.
Det gir
3
y =− (−1) + 3 =1,3 + 3 =4,5
2
Punktet (−1 , 4) ligger ikke på linja. Påstand C er riktig.
Siden linja l har stigningstall −1,5 vil an annen linje med stigningstall −1 skjære linja l.
Påstand D er riktig.
Påstandene A, C og D er riktige.
5.16
Linja l er gitt ved =
y 2 x − 4.
a
Grafen p går gjennom punktet (1 , 1) og har stigningstallet 2 .
Vi bruker ettpunktsformelen
med a 2=
=
og ( x1 , y1 ) (1 , 1).
Det gir
y − y1 = a ( x − x1 )
y − 1= 2( x − 1)
y = 2x − 2 +1
=
y 2x −1
Likningen for linja p er =
y 2 x − 1.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 10 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
b
Grafen m går gjennom punktet (1 , 4) .
Stigningstallet regner vi ut slik:
a ⋅ 2 =−1
1
a= −
2
1
Vi bruker ettpunktsformelen med a =
− og ( x1 , y1 ) =
(1 , 4).
2
Det gir
y − y1 = a ( x − x1 )
1
y − 4 =− ( x − 1)
2
1
1
y=
− x+ +4
2
2
1
9
y=
− x+
2
2
c
1
9
− x+ .
Likningen for linja m er y =
2
2
Vi setter
1
9
2 x − 1 =− x +
2
2
1
9
2 x ⋅ 2 − 1 ⋅ 2 =− x ⋅ 2 + ⋅ 2
2
2
4 x − 2 =− x + 9
4x + x = 9 + 2
5 x = 11
11
x=
5
11
22 5 22 − 5 17
y = 2x −1 = 2 ⋅ −1 =
− =
=
5
5 5
5
5
 11 17 
Skjæringspunktet mellom p og m er  ,  .
5 5
5.17
a
Linja l har likningen 2 y − 3 x − k =
0. Punktet (1 , 4) ligger på linja.
Vi setter
=
x 1=
og y 4 .
Det gir
2 ⋅ 4 − 3 ⋅1 − k =0
−k =−8 + 3
k =5
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 11 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
b
2 y − 3x − 5 =
0
2=
y 3x + 5
3
5
=
y
x+
2
2
3
.
2
Grafen m går gjennom punktet A = (1 , 4) .
Stigningstallet regner vi ut slik:
3
a ⋅  =
−1
2
3
a ⋅   ⋅ 2 =−1 ⋅ 2
2
3a = −2
2
a= −
3
2
Vi bruker ettpunktsformelen med a =
− og ( x1 , y1 ) =
(1 , 4).
3
Det gir
y − y1 = a ( x − x1 )
Stigningstallet for linja l er
c
2
y − 4 =− ( x − 1)
3
2
2
− x+ +4
y=
3
3
2
2 12
− x+ +
y=
3
3 3
2
14
− x+
y=
3
3
2
14
− x+ .
Likningen for linja m er y =
3
3
Vi setter
2
14
− x+ =
0
3
3
2
14
− x ⋅3 + ⋅3 = 0⋅3
3
3
−2 x + 14 =
0
−2 x =
−14
x=7
Skjæringspunktet mellom linja m og x-aksen er (7 , 0).
5.18
Vi antar at GarnStua selger x bunter med garn.
En modell for inntektene er da gitt ved I ( x) = 40 x .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 12 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
5.19
a
665 − 650 =
15
Antall deltakere økte med 15 fra 2013 til 2014.
665 + 2 ⋅15 =
695
I 2016 vil det være 695 deltakere.
b =
Antall deltakere antall deltakere i 2013 + 15 ⋅ antall år etter 2013 .
D( x=
) 650 + 15 x , der x er antall år etter 2013.
5.20
Betalingen
= grunnpris − 250 ⋅ antall uker før 1. februar
=
K ( x) 12 500 − 250 x , der x er antall uker før fristen 1. februar.
DK = [ 0 , 10]
5.21
Likningen for linja er=
y 16 x + 33 .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 13 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
5.22
a
I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark.
Vi legger inn alderen i kolonne A og vekten i kolonne B.
Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse.
Vi klikker på Analyser og velger lineær i rullegardinmenyen under
Regresjonsmodell. Da ser det slik ut:
Den beste lineære modellen er m
=
( x) 0, 61x + 3, 68 .
b
m(2)
= 0, 61 ⋅ 2 + 3, 68
= 4,9
Vekten er 4,9 kg.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 14 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
c
0, 61x + 3, 68 =
8
0, 61x= 8 − 3, 68
0, 61x = 4,32
4,32
=
x = 7,1
0, 61
Etter ca. 7 måneder.
5.23
a
I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark.
Vi legger inn lengden i kolonne A og skostørrelsen i kolonne B.
Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse.
Vi klikker på Analyser og velger lineær i rullegardinmenyen under Regresjonsmodell.
Da ser det slik ut:
b
Den beste lineære modellen er=
y 1,5 x + 2, 0 .
y =1,5 ⋅ 25,3 + 2, 0 =39,95
Hun bør kjøpe størrelse 40.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 15 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
5.24
a
b
Likningen som passer best med punktene, er=
y 0, 6 x + 59,5 .
c
Linja har stigningstallet −0, 6.
Bensinforbruket er 0,6 liter per mil.
5.25
a
I GeoGebra skriver vi inn punktene (0 , 8340) og (4 , 7960).
Vi klikker på
og deretter på de to punktene.
I algebrafeltet får vi likningen for linja.
En lineær modell er da F ( x) =
−95 x + 8340 .
b
F (2) =−95 ⋅ 2 + 8340 =8150
Modellen gir litt for høyt folketall.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 16 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
c
I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark.
Vi legger inn år i kolonne A og folketall i kolonne B.
Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse.
Vi klikker på Analyser og velger lineær i rullegardinmenyen under
Regresjonsmodell. Da ser det slik ut:
Den beste lineære modellen er F ( x) =
−94 x + 8332 .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 17 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
5.26
I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark.
Vi legger inn prisen i kolonne A og etterspørselen i kolonne B.
Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse.
Vi klikker på Analyser og velger lineær i rullegardinmenyen under
Regresjonsmodell. Da ser det slik ut:
−12 x + 10 600 .
Den beste lineære modellen er E ( x) =
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 18 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
5.27
I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark.
Vi legger inn strømmen i kolonne A og spenningen i kolonne B.
Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse.
Vi klikker på Analyser og velger lineær i rullegardinmenyen under
Regresjonsmodell. Da ser det slik ut:
Den beste lineære modellen er U
=
( I ) 7,33I + 0, 21 .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 19 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
5.28
a
I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark.
Vi legger inn antall år etter 2004 i kolonne A og antall MMS-meldinger (i millioner) i
kolonne B.
Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse.
Vi klikker på Analyser og velger lineær i rullegardinmenyen under
Regresjonsmodell. Da ser det slik ut:
Den beste lineære modellen er =
f ( x) 13, 4 x + 74 . x er antall år etter 2004.
b
f (8)
= 13, 4 ⋅ 8 + 74
= 181, 2
Etter modellen vil det bli sendt 181, 2 millioner tekstmeldinger i 2012.
Modellen gir altså et for høyt antall MMS-er.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 20 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
5.29
a
I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark.
Vi legger inn antall år etter 1990 i kolonne A og antall personer (i millioner) med førerkort i
kolonne B.
Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse.
Vi klikker på Analyser og velger lineær i rullegardinmenyen under
Regresjonsmodell. Da ser det slik ut:
f ( x) 0, 031x + 2, 472 . x er antall år etter 1990.
Den beste lineære modellen er=
b
f (25)
= 0, 031 ⋅ 25 + 2, 472
= 3, 247
Etter modellen vil 3,247 millioner personer ha førerkort i 2015.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 21 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
5.30
a
I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark.
Vi legger inn løpt distanse i kolonne A og kondisjonstallet i kolonne B.
Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse.
Vi klikker på Analyser og velger lineær i rullegardinmenyen under
Regresjonsmodell. Da ser det slik ut:
Den beste lineære modellen er=
K ( x) 0, 022 x − 10,893 . x er løpt distanse i meter.
Sammenhengen mellom kondisjonstallet og løpt distanse kan skrives på formen
K ( x=
) ax + b.
Vi sammenlikner med modellen og ser at
a = 0, 022 og b = −10,893
b
f (2600) = 0, 022 ⋅ 2600 − 10,893 = 46,307
Det svarer til kondisjonstallet 46,3.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 22 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
c
0, 022 x − 10,893 =
41
0, 022=
x 41 + 10,893
0, 022 x = 51,893
x = 2358,8
En mann i denne aldersgruppen må minst løpe 2359 meter for å være i bra form.
0, 022 x − 10,893 =
46
0, 022=
x 46 + 10,893
0, 022 x = 56,893
x = 2586
En mann i denne aldersgruppen må minst løpe 2586 meter for å være i svært bra form.
2586 − 2359 =
227
Han må minst ha løpt 227 meter lengre for å være i svært bra form.
5.31
a
b
c
Grafen har toppunkt i (−1 , 4).
Funksjonen har nullpunktene −3 og 1.
I toppunktet er funksjonsverdien større enn i alle nabopunktene.
Verdimengden er V f = ← , 4] .
d
3
f (−2) =
5.32
f ( x) = x 2 + 2 x − 3
a Vi finner eventuelle nullpunkter ved å løse likningen f ( x) = 0 .
0
x2 + 2x − 3 =
−2 ± 22 − 4 ⋅1 ⋅ (−3)
2 ⋅1
−2 ± 4 + 12
x=
2
−2 ± 16
x=
2
−2 − 4
−2 + 4
x
x
=
∨=
2
2
x=
1
−3
∨ x=
x=
f har nullpunktene −3 og 1.
b
Grafen er symmetrisk om symmetrilinja, gjennom bunnpunktet.
Symmetrilinja må gå midt mellom nullpunktene.
Bunnpunktet har x-koordinaten
−3 + 1
= −1.
2
f (−1) =−
( 1) 2 + 2 ⋅ (−1) − 3 =1 − 2 − 3 =−4
Bunnpunktet er (−1 , − 4) .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 23 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
c
d
Av grafen ser vi at skjæringspunktene er (−4 , 5) og (1 , 0).
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 24 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
5.33
f ( x) = x 2 + 2 x − 4 og g ( x) = 3 x + 2
a
Av grafen ser vi at skjæringspunktene er (−2 , − 4) og (3 , 11).
b
I CAS skriver vi inn likningen slik den står.
Velger vi eksakt løsning får vi dette skjermbildet.
Skjæringspunktene er (−2 , − 4) og (3 , 11).
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 25 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
5.34
K ( x=
) 0, 05 x 2 + 25 x + 5000 , DK = [100 , 900]
a Inntekten = pris per enhet ⋅ antall enheter som selges.
I ( x) = 60 x
O=
( x) I ( x) − K ( x)
O( x) = 60 x − ( 0, 05 x 2 + 25 x + 5000 )
O( x) = 60 x − 0, 05 x 2 − 25 x − 5000
O( x) =
−0, 05 x 2 + 35 x − 5000
b
Produksjonen går i balanse når I ( x) = K ( x)
I CAS skriver vi inn likningen slik den står.
Velger vi eksakt løsning får vi dette skjermbildet:
Produksjonen går i balanse når det produseres 200 enheter og 500 enheter.
c
Vi tegner grafen til O og finner toppunktet.
Vi tegner grafen til O i GeoGebra med kommandoen
O(x)=Funksjon[-0.05x2+35x-5000,100,900]
Overskuddet er størst når bedriften produserer og selger 350 enheter.
Da er overskuddet 1125 kr.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 26 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
5.35
K ( x)= 0,8 x 2 + 40 x + 10 000 , DK = [100 , 1000].
p(=
x) 400 − 0, 20 x
a
I ( x) =
x ⋅ p( x) =
x ⋅ ( 400 − 0, 20 x )
I=
( x) 400 x − 0, 20 x 2
b
Av grafen ser vi at produksjonen går i balanse når det produseres og selges 330 enheter.
c
I CAS skriver vi inn likningen slik den står.
Verdien er utenfor definisjonsområdet for kostnadsfunksjonen.
d
O=
( x) I ( x) − K ( x)
O( x) = 400 x − 0, 20 x 2 − ( 0,8 x 2 + 40 x + 10 000 )
O( x) = 400 x − 0, 20 x 2 − 0,8 x 2 − 40 x − 10 000
O( x) =
− x 2 + 360 x − 10 000
e
Vi tegner grafen til O og finner toppunktet.
Vi tegner grafen til O i GeoGebra med kommandoen
O(x)=Funksjon[-x2+360x-10000,100,1000]
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 27 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
Overskuddet er størst når det produseres og selges 180 enheter.
Da er overskuddet 22 400 kr.
f
p (180) = 400 − 0, 20 ⋅180 = 364
Prisen er 364 kr.
5.36
1
f ( x) =
− x + 4 x∈ 0 ,8 .
2
a
=
AB x=
og BC f ( x)
b
1
 1

F ( x) =AB ⋅ BC =x ⋅  − x + 4  =− x 2 + 4 x
2
 2

Vi tegner grafen til F og bruker kommandoen Ekstremalpunkt[F] til å finne toppunktet.
Arealet er størst når x = 4. Det største arealet er 8.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 28 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
5.37
a
b
1
f ( x) =
− x2 + 4 x ∈ 0 , 4
4
Lengden av rektanglet er 2x, og lengden av rektanglet er f ( x) .
Arealet av rektanglet er da gitt ved
1
 1

F ( x )= 2 x ⋅ f ( x )= 2 x ⋅  − x 2 + 4 = − x 3 + 8 x
2
 4

Vi bruker CAS i GeoGebra for å finne den verdien av x som gir størst areal.
Vi får dette skjermbildet:
Den verdien av x som gir størst areal, er 2.3. Vi ser at f (2,3) = 2, 7.
Koordinatene til P er (2,3 , 2,7).
Det største arealet er 12,3.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 29 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
5.38
a
Vi tegner grafen til I GeoGebra med kommandoen
I(x)=Funksjon[-0.05x^2+70x,50,500].
Med tilsvarende kommando tegner vi grafene til K og O.
b
Skjæringspunktet mellom grafen til I og grafen til K er (111, 5 , 7182 ) og ( 448, 5 , 21 338 ) .
c
Vi finner nullpunktene med kommandoen Nullpunkt[O].
Nullpunktene er 111,5 og 448,5.
d
Skjæringspunktene i oppgave b har samme førstekoordinat som nullpunktene i oppgave c.
Det skyldes når I ( x) = K ( x) er O( x) = 0.
5.39
=
x 1 200 − 10 p
a Vi omformer og får et uttrykk for prisen som en funksjon av etterspørselen
=
x 1200 − 10 p
10 p =− x + 1200
1
p=
− x + 120
10
1
Prisen som funksjon av etterspørselen er p ( x) =
− x + 120
10
b Inntekten = antall solgte enheter ⋅ pris per enhet.
1
 1

I ( x) = x ⋅ p ( x) = x ⋅  − x + 120  = − x 2 + 120 x
10
 10

© Aschehoug
www.lokus.no
Side 30 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
c
Vi tegner grafen til I og finner toppunktet.
Den største inntekten bedriften kan få er når det blir produsert og solgt 600 enheter.
Inntekten er da 36 000 kr.
d
1
60
− ⋅ 600 + 120 =
p (600) =
10
Inntekten er størst når prisen per enhet er 60 kr.
5.40
a
I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark.
Vi legger inn prisen i kolonne A og antall solgte enheter i kolonne B.
Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 31 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
Vi klikker på Analyser og velger Lineær i rullegardinmenyen under regresjonsmodell.
Da ser det slik ut:
Den beste lineære modellen er x =
−20 p + 1600 .
b
Vi omformer og får et uttrykk for prisen som en funksjon av etterspørselen
x=
−20 p + 1600
20 p =− x + 1600
p=
−0, 05 x + 80
Prisen som funksjon av etterspørselen er p ( x) =
−0, 05 x + 80 .
I ( x) = x ⋅ p ( x) = x ⋅ ( −0, 05 x + 80 ) = −0, 05 x 2 + 80 x
c
K (=
x) 0, 025 x 2 + 15 x + 5500
Overskuddet = inntektene – kostnadene.
O=
( x) I ( x) − K ( x)
O( x) =
−0, 05 x 2 + 80 x − ( 0, 025 x 2 + 15 x + 5500 )
O( x) =
−0, 075 x 2 + 65 x − 5500
d
Vi tegner grafen til O og finner toppunktet.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 32 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
Overskuddet er størst når det blir produsert og solgt 433 enheter.
Overskuddet er da 8583 kr.
e
p (433) =
−0, 05 ⋅ 433 + 80 =
58,35
Overskuddet er størst når prisen er på 58 kr.
5.41
N (t ) = 2,5t 3 − 35t 2 + 120t + 900
a
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 33 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
b
c
d
N (t ) = 1000
t= 1, 2 ∨ t= 3,5 ∨ t= 9,3
Bestanden var på 1000 dyr etter ca. 1,2 år, etter ca. 3,5 år og etter ca. 9,3 år.
Bestanden var størst i begynnelsen av 2014. Da var bestanden på ca. 1100 dyr
Bestanden var minst i begynnelsen av 2011. Da var bestanden ca. 880 dyr.
5.42
I GeoGebra åpner vi regnearket. Vi legger inn nummer på måneden i kolonne A og temperaturen i
kolonne B.
Vi merker cellene og velger Regresjonsanalyse.
Vi klikker på Analyser
I rullegardinmenyen velger vi polynom og grad 3.
Den tredjegradsfunksjonen som passer best, er
f ( x) =
−0,137 x 3 + 1,561x 2 − 1,147 x − 4,986
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 34 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
5.43
f ( x) = x 2 − 4 x + 3
a Vi løser likningen f ( x) = 0 .
x2 − 4 x + 3 =
0
x=
−(−4) ± (−4) 2 − 4 ⋅1 ⋅ 3
2 ⋅1
4 ± 162 − 12
2
4± 4
x=
2
4−2
4+2
=
∨ =
x
x
2
2
∨ x= 3
x= 1
f har nullpunktene 1 og 3.
x=
b
c
Skjæringspunktene er (1 , 0) og (4 , 3) .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 35 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
5.44
f ( x) = x3 − 5 x 2 + 2 x + 8 ,
a
.
3
Df = 
2
f (0) = 0 − 5 ⋅ 0 + 2 ⋅ 0 + 8 = 8
Skjæringspunktet med y-aksen er (0 , 8).
b
c
f ( x) = 0
x=
−1 ∨ x =
2 ∨ x=
4
d
I CAS skriver vi inn likningen slik den står. Vi får dette skjermbildet:
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 36 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
5.45
B(v) = 0, 005v 2
a
b
Når farten er 50 km/h, er bremselengden 12,5 m.
c
d
Når farten er 100 km/h, er bremselengden 50 m.
Når farten dobles, firedobles bremselengden.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 37 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
5.46
O( x) =
−3 x 2 + 300 x − 6300
a
Vi tegner grafen til I GeoGebra med kommandoen
O(x)=Funksjon[-3x^2+300x-6300]
b
c
For at overskuddet skal bli større enn 1000 kr, må x ∈ [ 41 , 58] .
Det største overskuddet kiosken kan få, er når det blir produsert og solgt 50 softis.
Da er overskuddet 1200 kr.
5.47
p( x) =
600 − 0,5 x D p =
[ 400 , 900]
a
Inntekten = antall solgte enheter ⋅ pris per enhet.
I ( x) =
x ⋅ p( x) =
x ⋅ ( 600 − 0, 5 x ) =
−0, 5 x 2 + 600 x
Vi tegner grafen til I og finner toppunktet.
b
Den største inntekten bedriften kan få, er når det blir solgt 600 enheter.
p (600) = 600 − 0,5 ⋅ 600 = 300
Da er prisen 300 kr.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 38 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
5.48
I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark.
Vi legger inn prisen i kolonne A og etterspørselen i kolonne B.
Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse.
Vi klikker på Analyser og velger Lineær i rullegardinmenyen under regresjonsmodell.
Da ser det slik ut:
Den beste lineære modellen er E ( p ) =
−7, 4 p + 1566 .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 39 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
5.49
a
I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark.
Vi legger inn antall produserte enheter i kolonne A og produksjonskostnadene i kolonne B.
Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse.
Vi klikker på Analyser og velger Polynom og grad 2 i rullegardinmenyen under
regresjonsmodell.
Da ser det slik ut:
Den andregradsfunksjonen som passer best, er K ( x)= 0,8 x 2 + 40 x + 5000.
b
I ( x) = p ⋅ x = 180 x
O=
( x) I ( x) − K ( x)
O( x) = 180 x − ( 0,8 x 2 + 40 x + 5000 )
O( x) =
−0,8 x 2 + 140 x − 5000
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 40 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
c
Vi tegner grafen til O og finner toppunktet.
Det største overskuddet bedriften kan få, er når det produseres og selges 88 enheter.
Da er overskuddet 1125 kr.
5.50
f ( x) =
− x2 − 2x + 3
a
Grafen er symmetrisk gjennom en linje, symmetrilinja, gjennom toppunktet.
b
(−2)
−
=
−
=
−1
x=
2a
2 ⋅ (−1)
Vi lager verditabell og passer på at toppunktet står midt i tabellen.
x
f(x)
© Aschehoug
−4
−5
−3
0
−2
3
−1
4
0
3
www.lokus.no
1
0
2
−5
Side 41 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
b
Vi tegner grafen til linja y =− x + 1 i samme koordinatsystem.
Skjæringspunktene er (1 , 0) og (−2 , 3).
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 42 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
5.51
F ( x) =25 x3 − 375 x 2 + 1150 x + 12 000
a
b
Folketallet var minst i 2008. Da var folketallet ca. 10 000.
c
Folketallet var størst i 2012. Da var folketallet ca. 15 000.
d
Fra 2000 økte folketallet de første to årene til 2002.
Fra 2002 til 2008 minket folketallet.
Etter 2008 økte folketallet igjen.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 43 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
5.52
f ( x) =
−2 x3 + x 2 + 4 x + 3 D f =
[ −1 , 2]
a Vi tegner grafen til f i GeoGebra med kommandoen
f(x)=Funksjon[-2x^3+x^2+4x+3,-1,2]
For polynomfunksjoner finner vi nullpunktene med kommandoen Nullpunkt[f].
Nullpunktet er 1,93.
b
I CAS kan vi skrive inn funksjonen slik den står.
Det gir
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 44 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
c
Vi tegner grafen til f i GeoGebra med kommandoen
f(x)=Funksjon[-2x^3+k*x^2+4x+3,-1,2].
Vi legger k med glider og varierer k til f har to nullpunkter.
Når k = −1 , har funksjonen f to nullpunkter.
5.53

f ( x) =
− x 2 + 4, D f =
a
Punktet B har koordinatene ( x , 0) , og punktet C har koordinatene ( x , f ( x) ) .
Lengden av AB er 2x, og lengden av BC er f ( x) .
Arealet er AB ⋅ BC .
Da kan vi sette opp
F ( x)= AB ⋅ BC= 2 x ⋅ f ( x)= 2 x ⋅ ( − x 2 + 4 )= −2 x 3 + 8 x
b
Vi løser likningen
F ( x) = 2
−2 x 3 + 8 x =
2
Likningen skrives direkte inn i CAS.
Det gir
x må være positiv.
=
x 0,254 ∨ =
x 1,861
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 45 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
c
Vi tegner grafen til F og finner toppunktet.
Arealet er størst når x = 1,155 . Da er arealet 6,158.
5.54
−0, 02 x 2 + 0, 48 x + 92
F ( x) =
a
Vi tegner grafen til F og finner toppunktet.
For at fortjenesten skal bli størst mulig, må bedriften produsere og selge 12 tuber.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 46 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
b
Overskuddet = fortjenesten per limtube ⋅ antall limtuber som blir produsert og solgt.
Det gir
O( x)= x ⋅ F ( x)
c
O( x) =x ⋅ ( −0, 02 x 2 + 0, 48 x + 92 ) =−0, 02 x 3 + 0, 48 x 2 + 92 x
Vi tegner grafen til O og finner toppunktet.
Det største overskuddet bedriften kan få, er 3310 kr. Da blir det produsert 48 limtuber.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 47 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
5.55
O( x) =
−0, 2 x 2 + 190 x − 30 000
a
Vi tegner grafen til f i GeoGebra med kommandoen
O(x)=Funksjon[-0,2x^2+190x-30000]
b
Det største mulige overskuddet per måned er 15 125 kr. Da blir det produsert og solgt
475 enheter.
c
Vi finner nullpunktene med kommandoen Nullpunkt[O].
Det største antall enheter bedriften kan produsere og selge per måned når bedriften ikke skal
gå med underskudd, er 750 enheter.
d
Når bedriften blir pålagt å betale en avgift på 20 kr per produsert enhet, blir
overskuddsfunksjonen
O( x) =
−0, 2 x 2 + 190 x − 30 000 − 20 x
O( x) =
−0, 2 x 2 + 170 x − 30 000
Vi tegner grafen til denne overskuddsfunksjonen.
Det største antall enheter bedriften kan produsere og selge per måned når bedriften ikke skal
gå med underskudd, er nå 600 enheter.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 48 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
5.56
K ( x=
) 0, 2 x 2 − 4 x + 10 000, DK= [50 , 500]
a Inntekten = pris per enhet ⋅ antall solgte enheter.
I (=
x) 100 ⋅ x
b
O=
( x) I ( x) − K ( x)
O( x)= 100 x − ( 0, 2 x 2 − 4 x + 10 000 )
O( x) =
−0, 2 x 2 + 104 x − 10 000
c
Vi tegner grafen til O og finner toppunktet.
Bedriften går med overskudd når x ∈ [128 , 392] .
d
Overskuddet er størst når det produseres og selges 260 enheter.
Da er overskuddet 3520 kr.
e
Når prisen senkes med 10 %, blir vekstfaktoren 0,90.
90 kr .
Det betyr at varen selges for 100 kr ⋅ 0,90 =
Det gir
I ( x=
) 90 ⋅ x
O( x) = 90 x − ( 0, 2 x 2 − 4 x + 10 000 )
O( x) =
−0, 2 x 2 + 94 x − 10 000
Vi tegner grafen til O(x) og finner nullpunktene med kommandoen Nullpunkt[O].
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 49 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
Med ny pris går bedriften med overskudd når x ∈ [163 , 307 ] .
5.57
K (=
x) 0, 004 x3 + 3, 2 x 2 + 75 x + 5000, D=
[0 , 120]
K
a Inntekten = pris per enhet ⋅ antall solgte enheter.
I (=
x) 440 ⋅ x
b
O=
( x) I ( x) − K ( x)
440 x − ( 0,004 x3 + 3, 2 x 2 + 75 x + 5000 )
O( x) =
−0,004 x3 − 3, 2 x 2 + 365 x − 5000
O( x) =
Vi tegner grafen til O og finner nullpunktene med kommandoen Nullpunkt[O].
Salget går med overskudd når x ∈ [16 , 86] .
c
Vi finner toppunktet med kommandoen Ekstremalpunkt[O].
Bedriften må selge og produsere 52 enheter for at overskuddet skal bli størst mulig.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 50 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
Da er overskuddet 4765 kr.
5.58
h( x ) =
−0, 0075 x 3 − 0, 000 03 x 2 + 1, 055 x
a Kl. 05.15 er 5,25 timer etter midnatt.
h(5, 25) =
−0, 0075 ⋅ 5, 253 − 0, 000 03 ⋅ 5, 252 + 1, 055 ⋅ 5, 25 =
4, 45
Kl. 05.15 var snødybden 4,45 cm.
b
Vi tegner grafen til h i GeoGebra med kommandoen
h(x)=Funksjon[-0,0075x^3-0,000 03x^2+1,055x]
h( x) = 2, 0
x= 1,95 ∨ x= 10,77
Snødybden var 2,0 cm ca. kl. 01.57 og ca. kl. 10.46.
Vi skriver inn likningen i CAS og får
x kan ikke ha negative verdier.
c
Vi finner toppunktet med kommandoen Ekstremalpunkt[h].
Snødybden var størst etter ca. 6,85 timer, dvs. ca. kl. 06.50.
Da var snødybden ca. 4,8 cm.
d
All snøen var borte ca.11,86 timer etter midnatt, dvs. ca. kl. 11.52.
11,86 – 6,85 = 5,01
Det tok ca. 5 timer fra snødybden var størst til all snøen var borte igjen.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 51 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 52 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
5.59
a
I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark.
Vi legger inn prisen i kolonne A og salgstallene i kolonne B.
Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse.
Vi klikker på Analyser og velger Lineær i rullegardinmenyen.
Da ser det slik ut:
Den beste lineære modellen er S ( x) =
−3,13 x + 966,8 .
b
Totale kostnader = kostnader per enhet ⋅ antall enheter + faste kostnader.
K (=
x) 30 x + 36 000
c
I ( x) =S ( x) ⋅ x =−
( 3,13x + 966,8) ⋅ x =−3,13x 2 + 966,8 x
O=
( x) I ( x) − K ( x)
−3,13x 2 + 966,8 x − (30 x + 36 000)
O( x) =
−3,13x 2 + 936,8 x − 36 000
O( x) =
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 53 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
d
Vi tegner grafen til O og bruker kommandoen Ekstremalpunkt[O] til å finne toppunktet.
Pris på 150 kr gir størst overskudd. Det største overskuddet er 34 095 kr.
5.60
a
I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark.
Vi legger inn antall produserte enheter i kolonne A og produksjonskostnadene i kolonne B.
Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse.
Vi klikker på Analyser og velger Polynom og grad 2 i rullegardinmenyen.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 54 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
Da ser det slik ut:
Den andregradsfunksjonen som passer best, er K ( x) = 2, 27 x 2 − 75,9 x + 7244 .
I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark.
Vi legger inn prisen i kolonne A og etterspørselen i kolonne B.
Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse.
Vi klikker på Analyser og velger Lineær i rullegardinmenyen.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 55 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
Da ser det slik ut:
Den beste lineære modellen er E ( p ) =
−0, 63 p + 373, 4 .
b
Inntekten = antall solgte enheter ⋅ pris per enhet
I ( x) = x ⋅ E ( x) = x ⋅ ( −0, 63 x + 373)
I ( x) =
−0, 63 x 2 + 373 x
c
O=
( x) I ( x) − K ( x)
−0, 63 x 2 + 373 x − (2, 27 x 2 − 75,9 x + 7244)
O( x) =
−2,90 x 2 + 448,9 x − 7244
O( x) =
Vi tegner grafen til O og bruker kommandoen Ekstremalpunkt[O] til å finne toppunktet.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 56 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
Overskuddet blir størst ved produksjon og salg av 77 enheter.
E ( p) =
−0, 63 p + 373, 4
−0, 63 p + 373, 4
77 =
−77 + 373, 4
0, 63 p =
0, 63 p = 296, 4
p = 470,5
Overskuddet blir størst mulig når prisen er 470 kr.
5.61
a
Vi tegner grafen til N ved å bruke kommandoen N(t)=Funksjon[20 000*1,10^t,0,10].
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 57 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
b
N (4) = 20 000 ⋅1,104 = 29 282
Etter 4 timer er det 29 000 bakterier.
c
40 000 grafisk.
Vi løser likningen 20 000 ⋅1,10t =
Vi legger inn linja y = 40 000 .
Vi bruker verktøyet Skjæring mellom to objekt for å finne skjæringspunktet
mellom linja og grafen til N.
Det tar litt over 7 timer før antall bakterier er fordoblet.
5.62
=
V ( x) 80 000 ⋅ 0,85 x
a V (0) = 80 000 ⋅ 0,850 = 80 000
Maskinen kostet 80 000 kr som ny.
b
c
p
0,85
=
100
p ⋅100
1 ⋅100 −
= 0,85 ⋅100
100
100 − p =
85
p = 15
Det årlige verditapet er 15 %.
1−
V (3) = 80 000 ⋅ 0,853 = 49 130
Etter tre år er verdien av maskinen 49 000 kr.
5.63
5000 ⋅ 0,95 x , x ∈ [ 0 , 24]
V ( x) =
a
V (4) =5000 ⋅ 0,954 =4072,53
Etter fire timer er det 3869 liter saft igjen på tanken.
5000 − 4073 =
927
De første fire timene lekker det ut 927 liter saft.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 58 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
b
Vi tegner grafen til V ved å bruke kommandoen V(x)=Funksjon[5 000*0,95^x, 0,24].
c
Vi løser likningen
3
5000 ⋅ 0,95 x =
⋅ 5000
4
5000 ⋅ 0,95x =
3750 grafisk.
Vi legger inn linja y = 3750 .
Vi bruker verktøyet Skjæring mellom to objekt for å finne skjæringspunktet
mellom linja og grafen til V.
Det tar 5,61 timer = 5 timer og 37 minutter før en firedel av safta har lekket ut.
5.64
a
f ( x)= 6 ⋅1, 2 x
f (−1) = 6 ⋅1, 2−1 =
6
=5
1, 2
f (0) =
6 ⋅1, 20 =
6
f (1) =⋅
6 1, 21 =
7, 2
f (2) =
6 ⋅1, 22 =
8, 64
x
f(x)
© Aschehoug
−1
5
0
6
1
7,2
www.lokus.no
2
8,6
Side 59 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
b
5.65
a
År
x
Folketall
2010
2011
2012
2013
2014
0
1
2
3
4
12 345
12 715
13 150
13 485
13 890
I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark.
Vi legger inn x-verdiene i kolonne A og folketallet i kolonne B.
Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse.
Vi klikker på Analyser og velger Eksponentiell i rullegardinmenyen.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 60 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
Da ser det slik ut:
=
F ( x) 12 355, 7 ⋅1, 03x .
Den eksponentialfunksjonen som passer best, er
F ( x) 12 355, 7 ⋅1, 03x viser at vekstfaktoren er 1,03.
b =
Altså økte folketallet med 3 % hvert år.
c
Vi overfører grafen til grafikkfeltet ved å klikke på
Vi tegner linja y = 15 000 .
© Aschehoug
www.lokus.no
.
Side 61 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
Vi finner skjæringspunktet mellom grafen til F og linja y med verktøyet Skjæring mellom to
objekt.
Etter modellen vil folketallet vil passere 15 000 etter ca. 6,6 år.
Det vil si i løpet av 2016.
5.66
Vi lar x svare til året da Johannes kjøpte bilen.
År
Salgspris
0
5
280 000
165 000
I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark.
Vi legger inn år i kolonne A og salgspris i kolonne B.
Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse.
Vi klikker på Analyser og velger Eksponentiell i rullegardinmenyen.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 62 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
Da ser det slik ut:
V ( x) 280 000 ⋅ 0,90 x .
Den eksponentialfunksjonen som passer best, er=
Vekstfaktoren er 0,90.
Årlig gjennomsnittlig verditap er 10 %.
5.67
=
K ( x) 40 000 ⋅1, 03x
K (0) = 40 000 ⋅1, 030 = 40 000
a
Jan satte inn 40 000 kr på kontoen.
b
K (4) = 40 000 ⋅1, 034 = 45 020,35
Ette fire år sto det 45 020,35 kr på kontoen.
c
Vi tegner grafen til K ved å bruke kommandoen K(x)=Funksjon[40 000*1,03^x].
Så legger vi inn linja y = 50 000 .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 63 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
Vi bruker verktøyet Skjæring mellom to objekt for å finne skjæringspunktet mellom linja
og grafen til K.
Det tok ca. 7,5 år før beløpet på kontoen hadde økt til 50 000 kr.
5.68
T (t=
) 80 ⋅ 0,88t
80 0,883 =
54,5
a T (3) =⋅
Temperaturen i safta var 54,5 °C etter tre timer.
b
Vi tegner grafen til T ved å bruke kommandoen T(t)=Funksjon[80*0,88^t].
Så legger vi inn linja y = 60 .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 64 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
Vi bruker verktøyet Skjæring mellom to objekt for å finne skjæringspunktet mellom linja
og grafen til T.
Det tar 2,25 timer, dvs. 2 timer og 15 minutter, før temperaturen i safta er 60 °C.
5.69
a
I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark.
Vi legger inn år i kolonne A og verdien av maskinen i kolonne B.
Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse.
Vi klikker på Analyser og velger Eksponentiell i rullegardinmenyen.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 65 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
Da ser det slik ut:
V ( x) 179 224 ⋅ 0, 75 x .
Den eksponentialfunksjonen som passer best, er=
V ( x) 179 224 ⋅ 0, 75 x
b =
V (4)= 179 224 ⋅ 0, 754= 56 707, 60
Verdien av maskinen er 56 700 kr etter fire år.
5.70
a
År
x
Antall ansatte
2009
2011
2012
2014
2015
0
2
3
5
6
500
470
440
415
390
I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark.
Vi legger inn x-verdiene i kolonne A og antall ansatte i kolonne B.
Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 66 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
Vi klikker på Analyser og velger Eksponentiell i rullegardinmenyen.
Da ser det slik ut:
x) 503 ⋅ 0,96 x .
Den eksponentialfunksjonen som passer best, er V (=
b
V (=
x) 503 ⋅ 0,96 x viser at vekstfaktoren er 0,96.
Den årlige planlagte reduksjonen i antall ansatte var 4 %.
c
V (8) =
503 ⋅ 0,968 =
363
I 2017 vil det være 363 ansatte i bedriften.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 67 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
5.71
x
a
1
f ( x) =
3⋅ 
Df =
[ −2 , 3]
2
−2
3
3
1
f (−2) =3 ⋅   =
= =12
2
1
2
1
 
4
2
−1
3
3
1
f (−1) =3 ⋅   =
= =6
1
1
2
1
 
2
2
0
1
f (0) =
3⋅  =
3
2
1
1 3
f (1) =
3⋅  =
2 2
2
1 3
f (2) =
3⋅  =
2 4
3
1 3
f (3) =
3⋅  =
2 8
x
−2
−1
0
f(x)
12
6
3
© Aschehoug
1
3
= 1,5
2
www.lokus.no
2
3
= 0, 75
4
3
3
= 0,38
8
Side 68 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
5.72
a
En økning på 2,3 % svarer til en vekstfaktor på 1,023.
Vi bruker sammenhengen
N= G ⋅ V n
N =7654 ⋅1, 0233 =8194
Folketallet var 8194 i 2013.
N=
7654 ⋅1, 023−7 =
6524
Folketallet var 6528 i 2003.
c
N= G ⋅ V
N
V=
G
8194
=
V = 1, 255
6528
Vekstfaktoren er 1,255
Vi kan også løse likningen med CAS i GeoGebra.
b
Det betyr at i 2013 var folketallet 125,5 % av folketallet i 2003.
Det svarer til en økning på 25,5 %.
5.73
En økning på 5 % svarer til en vekstfaktor på 1,05 og en økning på 8 % svarer til en vekstfaktor på
1,08.
a
Vi bruker sammenhengen
N= G ⋅ V n
N = 50 000 ⋅1, 054 = 60 775,31
Etter fire år var aksjene verdt 60775,31 kr.
3
=
N 60 775,31⋅1, 08
=
76 559, 40
I dag er verdien av aksjene 76 559,40 kr.
b
Vi kan løse likningen med CAS i GeoGebra.
Vekstfaktoren er 1,063.
Den gjennomsnittlige prosentvise årlige verdiøkningen har vært 6,3 %.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 69 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
5.74
T (t ) = 180 − 160 ⋅1,3− t
a Vi tegner grafen til T ved å bruke kommandoen T(t)=Funksjon[180-160*1,3^-t].
Så legger vi inn linja y = 170 .
Vi bruker verktøyet Skjæring mellom to objekt for å finne skjæringspunktet mellom linja
og grafen til T.
b
T (t ) = 180 − 160 ⋅1,3− t
Av funksjonsuttrykket og grafen ser vi at temperaturen nærmer seg 180 °C når tiden går.
Temperaturen overstiger ikke 180 °C .
c
Det tar ca. 10,6 minutter før temperaturen i stekeovnen er 170 °C .
5.75
a
I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark.
Vi legger inn x-verdiene i kolonne A og p(x) i kolonne B.
Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse.
Vi klikker på Analyser og velger Eksponentiell i rullegardinmenyen.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 70 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
Da ser det slik ut:
p( x) 10 11, 7 ⋅ 0,89 x .
Den eksponentialfunksjonen som passer best, er=
b
p(4,810) =10 11, 7 ⋅ 0,894,810 =577,8
Lufttrykket er 578 hPa 4810 meter over havet.
c
Vi overfører grafen til grafikkfeltet ved å klikke på
Vi tegner linja y = 800 .
© Aschehoug
www.lokus.no
.
Side 71 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
Vi finner skjæringspunktet mellom grafen til p og linja y med verktøyet
Skjæring mellom to objekt.
Vi er ca. 2 km over havet når lufttrykket er 800 hPa.
5.76
a
År
x
Folketall
1960
1970
1980
1990
2000
2005
2010
0
10
20
30
40
45
50
3,57
3,86
4,08
4,23
4,48
4,61
4,86
I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark.
Vi legger inn x-verdiene i kolonne A og folketallet i millioner i kolonne B.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 72 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse.
Vi klikker på Analyser og velger Lineær i rullegardinmenyen.
Da ser det slik ut:
Den lineære modellen som passer best, er=
F ( x) 0, 024 x + 3,58 .
Vi klikker på Analyser og velger Eksponentiell i rullegardinmenyen.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 73 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
Da ser det slik ut:
( x) 3, 60 ⋅1, 006 x .
Den eksponentielle modellen som passer best, er F=
b
I den lineære modellen er stigningstallet 0,024.
Ifølge denne modellen økte folketallet med 0,024 millioner eller 24 000 per år.
c
I den eksponentielle modellen er vekstfaktoren 1,006.
Ifølge denne modellen økte folketallet med 0,6 % per år.
d =
F ( x) 0, 024 x + 3,58
F (54)
= 0, 024 ⋅ 54 + 3,58
= 4,88 .
Med den lineære modellen vil folketallet bli 4,88 millioner. Det er noe lavere enn
oppgitt folketall i 2014.
F (54) =
3, 60 ⋅1, 00654 =
4,97
Med den eksponentielle modellen vil folketallet bli 4,88 millioner. Det er også noe lavere enn
oppgitt folketall i 2014.
Den eksponentielle modellen stemmer best.
5.77
N ( p) =
60 000 ⋅ p −0,80 ,
a
p ∈ [ 60 , 120]
−0,80
N (80) = 60 000 ⋅ 80
= 1802
Salget per måned er ca. 1800 når prisen er 80 kr.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 74 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
b
Vi tegner grafen til N ved å bruke kommandoen N(p)=Funksjon[60 000*p^(-0.80),60,120].
c
Vi tegner linja y = 2000 og finner skjæringspunktet mellom grafen til N og linja y
med verktøyet Skjæring mellom to objekt.
Prisen må være ca.70 kr for at salget per måned skal være 2000 enheter.
Med CAS:
2000 .
Vi løser likningen 60 000 ⋅ x −0,80 =
Vi skriver likningen inn i CAS i GeoGebra og klikker på
.
5.78
T (=
x) 2, 0 ⋅ x 0,50
a
T (0, 40) =⋅
2, 0 0, 400,50 =
1, 26
Svingetiden er 1,26 sekunder når lengden er 0,40 meter.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 75 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
b
Vi tegner grafen til N ved å bruke kommandoen
T(x)=Funksjon[2,0*x^(0,50)].
c
Vi tegner linja y = 2, 0 og finner skjæringspunktet mellom grafen til T og linja y
med verktøyet Skjæring mellom to objekt.
Pendelen må være 0,25 meter for at svingetiden skal være 1,0 sekund.
Med CAS:
1, 0 .
Vi løser likningen 2, 0 ⋅ x 0,50 =
Vi skriver likningen inn i CAS i GeoGebra og klikker på
.
5.79
a
I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark.
Vi legger inn x-verdiene i kolonne A og V(x)-verdiene i kolonne B.
Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse.
Vi klikker på Analyser og velger Potens i rullegardinmenyen.
Da ser det slik ut:
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 76 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
( x) 0,30 ⋅ x 2,1 .
Den potensmodellen som passer best, er V=
b
V (45) = 0,30 ⋅ 452,1 = 889
Vekten av et tre med diameter 45 cm er 889 kg.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 77 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
5.80
h( x=
) 1,3 ⋅ x 0,5
a Vi tegner grafen til h ved å bruke kommandoen
h(x)=Funksjon[1,3*x^(0,5),1,6].
b
h(3) − h(2) = 2, 25 − 1,84 = 0, 41
Treet vokste 0,41 m, dvs. 41 cm, fra det var 2 år til det var 3 år.
c
h(5) = 2,91
Etter fem år var treet 2,91 meter.
5.81
=
V ( x) 0, 0065 ⋅ x3,10
a
V (25) = 0, 0065 ⋅ 253,10 = 140,1
Vekten er 140 gram.
b
Vi tegner grafen til V ved å bruke kommandoen V(x)=Funksjon[0.0065*x^(3.10),20,45].
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 78 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
c
Med CAS:
620 .
Vi løser likningen 0, 0065 ⋅ x 3,10 =
Vi skriver likningen inn i CAS i GeoGebra og klikker på
.
Lengden av en fisk som veier 620 gram er 40,4 cm.
5.82
a
I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark.
Vi legger inn x-verdiene i kolonne A og V(x)-verdiene i kolonne B.
Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse.
Vi klikker på Analyser og velger Potens i rullegardinmenyen.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 79 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
Da ser det slik ut:
Den potensmodellen som passer best, er V ( x) =a ⋅ x b =0,523 ⋅ x 3,0 .
Da ser
vi at a 0,523
=
=
og b 3, 0.
b
V (44)= 0,523 ⋅ 443= 44 551
=
551 cm3 44,55
dm3 0, 0446 m3 .
Volumet er 44=
c
Med CAS:
0, 060 .
Vi løser likningen 0,523 ⋅ x 3 =
Vi skriver likningen inn i CAS i GeoGebra og klikker på
.
Diameteren må minst være 48,6 cm.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 80 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
d
Vi antar at liten ball har diameter lik x cm.
20 

Diameteren til den store ballen blir da x 1 +
1, 20 x cm .
 cm =
 100 
Da kan vi sette opp
0,523 ⋅ (1, 20 ⋅ x ) 1, 203 ⋅ x3
VStor
=
=
= 1,=
203 1, 728
3
3
VLiten
0,523 ⋅ x
x
Vekstfaktoren er 1,728.
Det viser at Stor har 72,8 % større volum enn Liten.
3
5.83
f ( x=
) 1,3 ⋅ x 0,4
a
f (3) =1,3 ⋅ 30,4 =2, 0
Etter modellen vil omsetningen det tredje året være 2,0 millioner kroner.
b
Med CAS:
2,5 .
Vi løser likningen 1,3 ⋅ x 0,4 =
Vi skriver likningen inn i CAS i GeoGebra og klikker på
.
Bedriften vil oppnå en omsetning på 2,5 millioner etter 5,1 år, dvs. det sjette året.
5.84
E=
( x) 0, 20 ⋅ x1,8
a
E (40) = 0, 20 ⋅ 401,8 = 153, 0
Den årlige produksjonen er 153 kWh.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 81 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
b
Med CAS:
200 .
Vi løser likningen 0, 20 ⋅ x1,8 =
Vi skriver likningen inn i CAS i GeoGebra og klikker på
.
Vingelengden må være 46,4 cm for at produksjonen skal være 200 kWh.
c
Vi antar en vanlig vindmølle har vingelengde lik x cm.
20 

Hvis vingelengden øker med 20 %, blir vingelengden x 1 +
1, 20 x cm .
 cm =
 100 
Da kan vi sette opp
0, 20 ⋅ (1, 20 ⋅ x )
EStor
1, 201,8 ⋅ x1,8
=
= 1,=
201,8 1,39
=
1,8
ELiten
0, 20 ⋅ x1,8
x
Vekstfaktoren er 1,39.
Det viser at hvis vingelengden øker med 20 %, øker den årlige produksjonen med 39 %.
1,8
5.85
f ( x) = x 2 ⋅ 2− x og g ( x) = (6 x − 8) ⋅ 2− x
a Vi løser likningen
f ( x) = g ( x)
x 2 ⋅ 2− x = (6 x − 8) ⋅ 2− x
x 2 ⋅2− x = (6 x − 8) ⋅ 2− x
2
x=
6x − 8
x2 − 6x + 8 =
0
−(−6) ± (−6) 2 − 4 ⋅1 ⋅ 8
x=
2 ⋅1
6 ± 36 − 32
x=
2
6± 4
x=
2
6±2
x=
2
6−2
6+2
x
x
=
∨=
2
2
x 2
x 4
=
∨ =
f (2) =22 ⋅ 2−2 =22− 2 =20 =1
f (4) =42 ⋅ 2−4 =( 22 ) ⋅ 2−4 =24 ⋅ 2−4 =24− 4 =20 =1
2
Skjæringspunktene er ( 2 , 1) og ( 4 , 1) .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 82 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
b
Vi tegner grafen til f ved å bruke kommandoen f(x)=Funksjon[x^2*2^(-x),0,6].
Vi tegner grafen til g ved å bruke kommandoen g(x)=Funksjon[(6x-8)*2^(-x),0,6].
c
Vi finner skjæringspunktet mellom grafene til f og g
med verktøyet Skjæring mellom to objekt.
Skjæringspunktene er ( 2 , 1) og ( 4 , 1) .
Med CAS:
Vi løser likningen
f ( x) = g ( x)
.
x 2 ⋅ 2− x = (6 x − 8) ⋅ 2− x
Vi skriver likningen inn i CAS i GeoGebra og klikker på
.
Skjæringspunktene er ( 2 , 1) og ( 4 , 1) .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 83 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
5.86
a
I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark.
Vi legger inn x-verdiene i kolonne A og V(x)-verdiene i kolonne B.
Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse.
Vi klikker på Analyser og velger Potens i rullegardinmenyen.
Da ser det slik ut:
Den potensmodellen som passer best, er V ( x) =a ⋅ x b =0, 0002 ⋅ x 2,81 .
Da=
ser vi at a 0,=
0002 og b 2,81.
b
Vi overfører grafen til grafikkfeltet ved å klikke på
Vi tegner linja x = 155 .
© Aschehoug
www.lokus.no
.
Side 84 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
Vi finner skjæringspunktet mellom grafen til V og linja x med verktøyet
Skjæring mellom to objekt.
Vekten er 313 kg.
5.87
a
I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark.
Vi legger inn vekten i kolonne A og koketid i kolonne B.
Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse.
Vi klikker på Analyser og velger Potens i rullegardinmenyen.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 85 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
Da ser det slik ut:
( x) 17,3 ⋅ x 0,68 .
Den potensmodellen som passer best, er T =
b
T (50) =17,3 ⋅ 500,68 =247,3
Den perfekte koketiden for et egg på 50 gram er 247 sekunder.
c
T (55) =17,3 ⋅ 550,68 =263,9
T (45) =17,3 ⋅ 450,68 =230,3
263,9 − 230,3 =
33, 6
Egget på 55 gram må koke 34 sekunder lenger enn egget på 45 gram.
5.88
a
I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark.
Vi legger inn solavstand i km i kolonne A og omløpstid i år kolonne B.
Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse.
Vi klikker på Analyser og velger Potens i rullegardinmenyen.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 86 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
Da ser det slik ut:
( x) 17,3 ⋅ x1,49 .
Den potensmodellen som passer best, er f =
b
T (5,91) =
17,3 ⋅ 5,911,49 =
244, 2
Etter modellen er omløpstiden for Pluto 244 år.
5.89
a
2x +1
x −3
For å finne den vannrette asymptoten ser vi på hva som skjer med funksjonsuttrykket når x
blir et svært stort positivt tall.
2x +1 2x
f ( x=
)
≈ = 2
x −3
x
Linja y = 2 er en vannrett asymptote.
Vi ser at nevneren blir null for x = 3 , men ikke telleren.
Linja x = 3 er en loddrett asymptote.
Vi finner eventuelle nullpunkter ved å løse likningen f ( x) = 0.
2x +1
=0
x −3
2x +1 =
0
x = −0,5
Nullpunktet er −0,5.
Vi finner eventuelle skjæringspunkter med andreaksen ved å regne ut f (0).
f ( x) =
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 87 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
f (0) =
2 ⋅ 0 +1
1
= − .
0−3
3
1

Skjæringspunktet med andreaksen er  0 , −  .
3

0
1
x
−10
−2
−1
1,5
0,6
0,3
−0,3
−1,5
f(x)
b
2
−5
4
9
5
5,5
6
4,3
10
3
4 − 2x
x
For å finne den vannrette asymptoten ser vi på hva som skjer med funksjonsuttrykket når x
blir et svært stort positivt tall.
4 − 2 x −2 x
g ( x) = ≈
=
−2
x
x
Linja y = −2 er en vannrett asymptote.
Vi ser at nevneren blir null for x = 0 , men ikke telleren.
Linja x = 0 er en loddrett asymptote.
Vi finner eventuelle nullpunkter ved å løse likningen g ( x) = 0.
g ( x) =
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 88 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
4 − 2x
=0
x
4 − 2x =
0
x=2
Nullpunktet er 2.
x = 0 som er y-aksen, er en loddrett asymptote og det viser at grafen går gjennom origo.
x
g(x)
c
−10
−2, 4
−5
−2,8
−2
−4
−1
−6
1
2
2
0
4
−1
6
−1,3
10
−1, 6
4x
2x + 4
For å finne den vannrette asymptoten ser vi på hva som skjer med funksjonsuttrykket når x
blir et svært stort positivt tall.
4x
4x
h( x=
)
≈ = 2
2x + 4 2x
Linja y = 2 er en vannrett asymptote.
Vi ser at nevneren blir null for x = −2 , men ikke telleren.
h( x ) =
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 89 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
Linja x = −2 er en loddrett asymptote.
Vi finner eventuelle nullpunkter ved å løse likningen h( x) = 0.
4x
=0
2x + 4
4x = 0
x=0
Nullpunktet er 0.
Vi finner eventuelle skjæringspunkter med andreaksen ved å regne ut h(0).
4⋅0
h(0) = 0.
=
2⋅0 + 4
Grafen går gjennom origo.
x
h(x)
−10
2,5
−6
3
−4
4
−3
6
−1
−2
0
0
2
1
6
1,5
10
1,7
5.90
a
2x − 3
1− x
Vi skriver inn f(x)=(2x-3)/(1-x)
Vi finner asymptotene ved å skrive Asymptote[f] i inntastingsfeltet.
Vi finner eventuelle nullpunkter med kommandoen Nullpunkt[f].
f ( x) =
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 90 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
Vi ser at linja y = −2 er vannrett asymptote og linja x = 1 er loddrett asymptote.
Nullpunktet er 1,5.
b
3000 + 15 x
x
Vi skriver inn g(x)=(3000+15x/x)
Vi finner asymptotene ved å skrive Asymptote[f] i inntastingsfeltet.
Vi finner eventuelle nullpunkter med kommandoen Nullpunkt[f].
g ( x) =
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 91 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
Vi ser at linja y = 15 er vannrett asymptote og linja x = 0 ( y -aksen) er loddrett asymptote.
Nullpunktet er −200.
c
200 + 0, 4 x
0, 08 x
Vi skriver inn h(x)=(200+0,4x/0,08x)
Vi finner asymptotene ved å skrive Asymptote[f] i inntastingsfeltet.
Vi finner eventuelle nullpunkter med kommandoen Nullpunkt[f].
h( x ) =
Vi ser at linja y = 5 er vannrett asymptote og linja x = 0 ( y -aksen) er loddrett asymptote.
Nullpunktet er −500.
5.91
a
Totale kostnaden blir: leie av lokalet + pris per deltaker ⋅ antall deltakere
Det gir
K ( x) = 5000 + 150 ⋅ x
Utgifter per person blir da
K ( x) 5000 + 150 x
( x) =
E
=
x
x
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 92 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
b
Vi skriver inn E(x)=(5 000+150x/x)
5000 + 150 ⋅103
= 198,54
103
Prisen per person blir 199 kr.
c
=
E (103)
d
Vi tegner linja y = 200 og finner skjæringspunktet mellom grafen til E og linja y med
verktøyet Skjæring mellom to objekt.
Det må minst komme 101 personer på festen for at prisen per person skal bli lavere
enn 200 kr.
5.92
ax + b
x+c
Vi finner loddrett asymptote ved å sette nevneren lik null, og den loddrette asymptoten er x = 1 .
Det gir
1+ c =
0
c = −1
For å finne den vannrette asymptoten ser vi på hva som skjer med funksjonsuttrykket når x blir et
svært stort positivt tall.
ax + b ax
f ( x=
)
≈ = a
x −1
x
Linja y = 4 er vannrett asymptote. Da har vi at a = 4.
Vi finner eventuelle nullpunkter ved å løse likningen f ( x) = 0.
Grafen har nullpunkt for x = 2.
f ( x) =
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 93 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
4⋅2 + b
=0
2 −1
8+b =
0
b = −8
Det gir
a=
4, b =
−8 og c =
−1.
5.93
4x + 3
2x − 4
Vi finner eventuelle nullpunkter ved å løse likningen f ( x) = 0.
4x + 3
=0
2x − 4
4x + 3 =
0
3
x= −
4
3
Nullpunktet er − .
4
Vi finner eventuelle skjæringspunkter med andreaksen ved å regne ut f (0).
4⋅0 + 3
3
= − .
f (0) =
2⋅0 − 4
4
3

Skjæringspunktet med andreaksen er  0 , −  .
4

f ( x) =
a
b
For å finne den vannrette asymptoten ser vi på hva som skjer med funksjonsuttrykket når x
blir et svært stort positivt tall.
4x + 3 4x
f ( x=
)
≈ = 2
2x − 4 2x
Linja y = 2 er en vannrett asymptote.
Vi ser at nevneren blir null for x = 2 , men ikke telleren.
Linja x = 2 er en loddrett asymptote.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 94 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
c
x
f(x)
−10
1,5
−4
1,1
−1
0, 2
0
−0,8
1
−3,5
3
7,5
4
4,8
5
3,8
6
3,4
d
=
D f =
\{2} og V f  \{2}
5.94
ax + b
=
, D f  \{4}
x−4
Grafen skjærer førsteaksen i punktet (2 , 0).
Det gir
f (2) = 0
a
=
f ( x)
a⋅2+b
=0
2−4
2a + b =
0
Grafen skjærer andreaksen i punktet (0 , 1,5).
Det gir
f (0) = 1,5
a⋅0 + b
= 1,5
0−4
b =1,5 ⋅ (−4) =−6
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 95 av 125
10
2,7
Løsninger til oppgavene i boka
2a + b =
0
2a − 6 =
0
a=3
a = 3 og b = −6.
3x − 6
f ( x) =
x−4
b
For å finne den vannrette asymptoten ser vi på hva som skjer med funksjonsuttrykket når x
blir et svært stort positivt tall.
3x − 6 3x
≈ = 3
f ( x=
)
x−4
x
Linja y = 3 er en vannrett asymptote.
Vi ser at nevneren blir null for x = 4 , men ikke telleren.
Linja x = 4 er en loddrett asymptote.
x
f(x)
−10
2,6
© Aschehoug
−4
2,3
0
1,5
3
−3
5
9
www.lokus.no
8
4,5
10
4
15
3,5
Side 96 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
5.95
30
0, 70
=
100
Ny verdi = gammel verdi ⋅ vekstfaktor
Det gir
80 ⋅ 0, 70 =
56
Hvis du har kundekort, koster en tur 56 kr.
a
Vekstfaktoren blir 1 −
b
Totale kostnader = prisen for kundekort + pris per tur ⋅ antall turer .
Det gir
K ( x) = 400 + 56 ⋅ x
Utgifter per tur blir da når Sigrid tar x turer:
K ( x) 400 + 56 x 400
P=
( x)
=
=
+ 56
x
x
x
c
Vi tegner grafen til f i GeoGebra med kommandoen f(x)=Funksjon[400/x+56,5,30].
d
400
+ 56 = 82, 67
15
Hvis Sigrid kjører 15 turer, blir prisen 83 kr per tur.
P (15) =
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 97 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
e
400
+ 56 < 80
x
400
< 80 − 56
x
400
< 24
x
400 ⋅ x
< 24 ⋅ x x > 0
x
400
x>
24
x > 16, 7
Sigrid må kjøre minst 17 turer for at kundekortet skal lønne seg.
I GeoGebra åpner vi CAS og skriver inn ulikheten. Så trykker vi på
og får
5.96
Vi lar x m være lengden og y m være bredden i rektanglet.
Arealet er l ⋅ b = x ⋅ y = 24
Vi får da
x⋅ y =
24
24
x
Prisen for gjerdet blir da
f ( x)= 400 ⋅ x + 200 ⋅ x + 200 ⋅ 2 y
24
f ( x) = 600 x + 400 ⋅
x
9600
f ( x) =
600 x +
, x>0
x
y=
a
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 98 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
b
Vi tegner grafen til f i GeoGebra med kommandoen f(x)=Funksjon[600x+9600/x].
c
Vi finner bunnpunktet med kommandoen Ekstremalpunkt[f].
Gjerdet koster minst mulig når x = 4.
5.97
ax + b
cx + 4
Vi finner loddrett asymptote ved å sette nevneren lik null og av grafen ser vi at den loddrette
asymptoten er x = −2 .
Det gir
cx + 4 =
0
f ( x) =
c ⋅ (−2) + 4 =0
− 2c =
−4
c=2
For å finne den vannrette asymptoten ser vi på hva som skjer med funksjonsuttrykket når x blir et
svært stort positivt tall. Av grafen ser vi at linja y = 2 er vannrett asymptote.
Det gir
ax + b ax a
≈
= =2
f ( x) =
cx + 4 cx c
a
=2
2
a=4
Vi finner eventuelle nullpunkter ved å løse likningen f ( x) = 0.
Grafen har nullpunkt for x = −1.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 99 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
4 ⋅ (−1) + b
=0
2 ⋅ (−1) + 4
−4 + b
=0
2
−4+b =
0
b=4
Det gir
=
a 4,=
b 4 og=
c 2.
5.98
a
350 ⋅ 50 + 1800 =
19 300
Det koster 19 300 kr å produsere 50 snøbrett per dag.
b
Totale kostnader = faste kostnader + pris per snøbrett ⋅ antall snøbrett .
Det gir
K ( x) = 1800 + 350 ⋅ x , der x er antall snøbrett.
Utgifter per tur blir da når Sigrid tar x turer:
K ( x) 1800 + 350 x 1800
E=
( x)
=
=
+ 350 , DE = [1 , 100]
x
x
x
c
Vi tegner grafen til E i GeoGebra med kommandoen E(x)=Funksjon[1800/x+350,1,100].
d
Vi tegner linja y = 410 og finner skjæringspunktet mellom grafen til E og linja y med
verktøyet Skjæring mellom to objekt.
For at gjennomsnittskostnaden skal bli mindre enn 410 kr, må bedriften minst produsere 31
snøbrett per dag. (Dersom det produseres 30 snøbrett per dag, blir gjennomsnittskostnaden lik
410 kr.)
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 100 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
e
Vi kan sette I ( x) = 500 x
( x) I ( x) − K ( x)
O=
500 x − (1800 x + 350 x )
O( x) =
( x) 150 x − 1800
O=
Vi tegner grafen til E i GeoGebra med kommandoen O(x)=Funksjon[150x-1800,1,100].
Vi finner skjæringspunktet mellom grafen til O og x-aksen med
verktøyet Skjæring mellom to objekt.
De må selge 12 snøbrett for å gå i balanse.
Vi skriver likningen inn i CAS i GeoGebra og klikker på
.
5.99
a
Punktene ligger ikke på en rett linje, så vi må ha en funksjonstype med krum graf.
Grafen ser ikke ut til å ha topp- eller bunnpunkter.
Andre- og tredjegradsfunksjoner er derfor lite aktuelle.
Funksjonsverdien synker mer og mer etter hvert som x-verdien øker.
Valget står mellom en eksponentialfunksjon eller en potensfunksjon.
Grafen skjærer andreaksen i punktet (0 , 5) .
Valget faller på en eksponentialfunksjon.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 101 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
b
Punktene ligger ikke på en rett linje, så vi må ha en funksjonstype med krum graf.
Grafen ser ut til å ha ett bunnpunkt og ingen toppunkter.
Da er det en andregradsfunksjon som passer best.
c
Punktene ligger ikke på en rett linje, så vi må ha en funksjonstype med krum graf.
Grafen ser ut til å ha både topp- og bunnpunkt.
Da er det en tredjegradsfunksjon som passer best.
d
Punktene ligger på en rett linje. Da er det en lineær funksjon som passer best.
5.100
År
x
Antall tusen
personbiler
a
2002
2003
2005
2006
2008
2011
2013
0
1
3
4
6
9
11
1899,8
1933,7
2028,9
2084,2
2197,2
2369,7
2487,4
I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark.
Vi legger inn x-verdiene i kolonne A og antall tusen personbiler i kolonne B.
Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse.
Vi klikker på Analyser og velger Lineær i rullegardinmenyen.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 102 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
Da ser det slik ut:
Den lineære modellen som passer best er =
f ( x) 54,3 x + 1879,3 .
Vi klikker på Analyser og velger Eksponentiell i rullegardinmenyen.
Da ser det slik ut:
( x) 1890 ⋅1, 025 x.
Den eksponentielle modellen som passer best, er f=
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 103 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
b
Den lineære modellen =
f ( x) 54,3 x + 1879,3 har stigningstallet er 54,3.
Det viser at antall personbiler økte med 54 300 per år.
c
f=
( x) 1890 ⋅1, 025 x viser at vekstfaktoren er 1,025.
Altså økte antall personbiler med 2,5 % per år.
5.101
1
2
3
Det kan være 0 °C når familien ankommer hytta, men temperaturen stiger og vil
nærme seg 20 °C etter noen timer.
Grafen D beskriver best situasjon 1.
Idrettslaget hadde 300 medlemmer og medlemstallet økte jevnt de neste årene.
Det tyder på at situasjonen beskrives best med en lineær graf.
Grafen C beskriver best situasjon 2.
Verditapet har vært 10 %. Da er vekstfaktoren 0,90.
Situasjonen beskrives med en eksponentialfunksjon der funksjonsverdien minker
når x øker.
Grafen A beskriver best situasjon 3.
5.102
1
2
3
Totale kostnader = faste kostnader + pris per hanske ⋅ antall hansker .
Det gir
K ( x)= 5000 + 40 ⋅ x , der x er antall hansker som blir produsert.
Situasjon 1 hører sammen med funksjon B.
Når økningen er 40 % per time, er vekstfaktoren 1,40.
Situasjonen beskrives med en eksponentialfunksjon som kan skrives slik:
f ( x) =a ⋅ b x =5000 ⋅1, 40 x.
Situasjon 2 hører sammen med funksjon A.
Antall produserte enheter settes lik x.
Kvadratet av antall produserte enheter blir da x 2 .
Siden kostnadene er proporsjonale med både kvadratet av antall produserte enheter og med
antall produserte enheter, vil funksjonen bli en andregradsfunksjon.
Situasjon 3 hører sammen med funksjon C.
5.103
År
x
Folketall i
tusen
a
1990
1993
1995
1997
2000
2004
0
3
5
7
10
14
34,0
35,0
35,7
36,5
37,6
39,1
I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark.
Vi legger inn x-verdiene i kolonne A og folketallet i tusen i kolonne B.
Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 104 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
Vi klikker på Analyser og velger Lineær i rullegardinmenyen.
Da ser det slik ut:
Den lineære modellen som passer best, er =
f ( x) 0,37 x + 34 .
Vi klikker på Analyser og velger Eksponentiell i rullegardinmenyen.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 105 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
Da ser det slik ut:
) 34 ⋅1, 01x.
Den eksponentielle modellen som passer best, er g ( x=
Vi klikker på Analyser og velger Polynom med grad 2 i rullegardinmenyen.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 106 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
Da ser det slik ut:
) 0, 0017 x 2 + 0,34 x + 34.
Den andregradsmodellen som passer best, er h( x=
Grafen ser ikke ut til å ha hverken topp- eller bunnpunkt.
Andre- og tredjegradsfunksjoner er derfor lite aktuelle.
Potensfunksjon er ikke aktuell.
b
f (24)
= 0, 037 ⋅ 24 + 34
= 34,9
Med den lineære modellen ville folketallet i 2014 bli 34 900.
g (24) =⋅
34 1, 0124 =
43, 2
Med den eksponentielle modellen ville folketallet i 2014 bli 43 200.
Vi ser at den eksponentielle modellen beskriver best utviklingen i folketallet siden
denne modellen passer best med det folketallet som er oppgitt i 2014.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 107 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
5.104
I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark.
Vi legger inn prisen i kolonne A og antall solgte enheter i kolonne B.
Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse.
Vi klikker på Analyser og velger Potens i rullegardinmenyen.
Da ser det slik ut:
x) 507 ⋅ x −0,79 .
Den potensfunksjonen som passer best, er E (=
Grafen ser ikke ut til å ha topp- eller bunnpunkter. Andre- og tredjegradsfunksjoner er derfor lite
aktuelle.
Grafen ser ikke ut til å skjære andreaksen.
Valget falt derfor på en potensfunksjon.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 108 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
5.105
I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark.
Vi legger inn prisen i kolonne A og etterspørselen i kolonne B.
Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse.
Vi klikker på Analyser og velger Lineær i rullegardinmenyen.
Da ser det slik ut:
Den lineære modellen som passer best, er E ( x) =
−0,91x + 836 .
Punktene ser ut til å ligge på en rett linje.
Grafen ser ut til å skjære andreaksen og ha konstant stigningstall.
Valget falt derfor på en lineær funksjon.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 109 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
5.106
År
x
Antall sendte
meldinger i millioner
a
2004
2005
2006
2007
2008
2009
0
1
2
3
4
5
3649
4630
5225
5764
6290
6529
I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark.
Vi legger inn x-verdiene i kolonne A og antall sendte meldinger i millioner i kolonne B.
Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse.
Vi klikker på Analyser og velger Polynom med grad 2 i rullegardinmenyen.
Da ser det slik ut:
Punktene ligger ikke på en rett linje, så vi må ha en funksjonstype med krum graf.
Grafen ser ut til å ha toppunkt men ingen bunnpunkter.
Da er det en andregradsfunksjon som passer best
−71x 2 + 925 x + 3688 .
Den andregradsmodellen som passer best, er N ( x) =
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 110 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
b
År
x
Antall sendte
meldinger i
millioner
2004
2005
2006
2007
2008
2009
0
1
2
3
4
5
3649
4630
5225
5764
6290
6529
2010 2011 2012 2013
6
7
8
6425 6424 6433 6062
I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark.
Vi legger inn x-verdiene i kolonne A og antall sendte meldinger i millioner i kolonne B.
Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse.
Vi klikker på Analyser og velger Polynom med grad 3 i rullegardinmenyen.
© Aschehoug
www.lokus.no
9
Side 111 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
Da ser det slik ut:
Punktene ligger ikke på en rett linje, så vi må ha en funksjonstype med krum graf.
Grafen ser ut til å ha både toppunkt og bunnpunkt.
Da er det en tredjegradsfunksjon som passer best.
Den andregradsmodellen som passer best, er N ( x) = 2,1x 3 − 101x 2 + 1006 x + 3662 .
c
N (16) = 2,1⋅163 − 101⋅162 + 1006 ⋅16 + 3662 = 2503
Etter modellen i oppgave b blir det sendt ca. 2500 SMS-meldinger i 2020.
Fra tabellen ser vi at antall SMS-meldinger har steget fram til 2012. Så sank antall meldinger
fra 2012 til 2013.
Det kan tyde på at antall meldinger avtar, og hvis det fortsetter å avta de neste sju årene, er
nok ikke antall 2500 meldinger i 2020 urealistisk.
5.107
a
I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark.
Vi legger inn x-verdiene i kolonne A og y-verdiene i kolonne B.
Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse.
Vi klikker på Analyser og velger Lineær i rullegardinmenyen.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 112 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
Da ser det slik ut:
Den lineære funksjonen som passer best, er L( x=
) 3x − 2 .
Vi klikker på Analyser og velger Potens i rullegardinmenyen.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 113 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
Da ser det slik ut:
Den potensfunksjonen som passer best, er P ( x) = x1,77 .
Vi klikker på Analyser og velger Eksponentiell i rullegardinmenyen.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 114 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
Da ser det slik ut:
( x) 0,38 ⋅ 2, 65 x .
Den eksponentialfunksjonen som passer best, er E=
b
L(20) = 3 ⋅ 20 − 2 = 58
1,77
P
=
( x) 20
=
201
E (20) =
0,38 ⋅ 2, 6520 =
1,1⋅108
L(20) < P(20) << E (20)
5.108
År
x
Antall innbyggere
per lege
a
1920
1940
1950
1960
1970
1981
1991
2011
0
20
30
40
50
61
71
91
1944
1257
976
928
743
429
282
229
I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark.
Vi legger inn x-verdiene i kolonne A og antall innbyggere per lege i kolonne B.
Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 115 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
Vi klikker på Analyser og velger Eksponentiell i rullegardinmenyen.
Da ser det slik ut:
( x) 2 116 ⋅ 0,975 x .
Den eksponentielle modellen som passer best, er f=
Vi klikker på Analyser og velger Polynom med grad 2 i rullegardinmenyen.
Da ser det slik ut:
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 116 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
Den andregradsmodellen som passer best, er g ( x)= 0,163 x 2 − 33, 6 x + 1918 .
b
f (−70)= 2116 ⋅ 0,975−70 = 12 450
Etter den eksponentielle modellen var det 12 450 innbyggere per lege i 1850.
Vi ser at det stemmer dårlig med den oppgitte verdien.
g (−70)
= 0,163 ⋅ (−70) 2 − 33, 6 ⋅ (−70) + 1918
= 5069
Etter andregradsmodellen var det 5069 innbyggere per lege i 1850.
Vi ser at det stemmer også dårlig med den oppgitte verdien, men andregradsmodellen
stemmer best med den oppgitte verdien.
f (90) =
2116 ⋅ 0,97590 =
216
Etter den eksponentielle modellen var det 216 innbyggere per lege i 2010.
Vi ser at det stemmer ganske bra med den oppgitte verdien.
g (90)= 0,163 ⋅ 902 − 33, 6 ⋅ 90 + 1918
= 214
Etter andregradsmodellen var det 214 innbyggere per lege i 2010.
c
f (100) =
2116 ⋅ 0,975100 =
168
Etter den eksponentielle modellen vil det være 168 innbyggere per lege i 2020.
g (100)= 0,163 ⋅1002 − 33, 6 ⋅100 + 1918= 188
Etter andregradsmodellen vil det være 188 innbyggere per lege i 2020.
Det er tvilsomt om legedekningen blir så god at det blir færre enn 200 innbyggere per lege.
Etter den eksponentielle modellen vil det stadig bli færre innbyggere per lege. Det er
urealistisk.
Etter andregradsmodellen vil antall innbyggere per lege avta til et minimum før det øker
igjen. Det er heller ikke realistisk.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 117 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
KAPITTELTEST
Del 1 – Uten hjelpemidler
Oppgave 1
f ( x) = x 2 − x − 2
a Vi finner nullpunkter ved å løse likningen f ( x) = 0.
x2 − x − 2 =
0
−(−1) ± (−1) 2 − 4 ⋅1 ⋅ (−2)
x=
2 ⋅1
1± 1+ 8
x=
2
1± 9
x=
2
1+ 3
1− 3
=
∨ =
x
x
2
2
∨ x=
−1
x=
2
f har nullpunktene −1 og 2.
b
Grafen er symmetrisk om en loddrett linje, symmetrilinja, gjennom bunnpunktet.
Symmetrilinja må gå midt mellom nullpunktene.
−1 + 2 1
Altså har symmetrilinja x-koordinaten
= .
2
2
Vi lager verditabell og passer på at bunnpunktet står midt i tabellen.
x
f(x)
−3
10
−2
4
−1
0
0
−2
0,5
−2, 25
1
−2
2
0
3
4
4
10
Vi merker av punktene i et koordinatsystem og tegner grafen.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 118 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
c
Vi tegner linja g ( x) =− x − 1 og finner skjæringspunktene mellomgrafen til f og
linja g.
Skjæringspunktene mellom f og g er ( −1 , 0 ) og (1 , − 2 ) .
Oppgave 2
Vi finner først stigningstallet a.
Vi velger A som punkt 1 og B som punkt 2.
y − y 3 − (−3) 6
a= 2 1=
= = 2
x2 − x1 2 − (−1) 3
Nå kan vi skrive =
y 2x + b .
Vi velger punktet B ( 2 , 3) til å finne b.
Det gir
3 = 2⋅2 + b
3= 4 + b
b = −1
Likningen for linja er =
y 2x −1.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 119 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
Oppgave 3
a
Dette er eksempel på eksponentiell vekst, og N vil være på formen
V= V0 ⋅ b x
Verditapet på maskinen er 20 % per år.
Det svarer til en vekstfaktor på 0,80 slik at b = 0,80.
Ved x = 0 kostet maskinen 20 000 kr slik at V0 = 20 000.
Det gir
=
V ( x) 20 000 ⋅ 0,80 x
b
V (2)= 20 000 ⋅ 0,802= 20 000 ⋅ 0, 64= 12 800 .
Verdien etter to år er 12 800 kr.
Oppgave 4
3x − 2
x −1
For å finne den vannrette asymptoten ser vi på hva som skjer med funksjonsuttrykket
når x blir et svært stort positivt tall.
3x − 2 3x
)
f ( x=
= = 3
x −1
x
Linja y = 3 er en vannrett asymptote.
f ( x) =
a
Vi ser at nevneren blir null for x = 1 , men ikke telleren.
Linja x = 1 er en loddrett asymptote.
b
Vi finner eventuelle nullpunkter ved å løse likningen f ( x) = 0 .
3x − 2
=0
x −1
3x − 2 =
0
2
x=
3
Nullpunktet er
© Aschehoug
2
.
3
www.lokus.no
Side 120 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
c
x
f(x)
−10
2,9
−4
2,8
−1
2,5
0
2
2
4
4
3,3
6
3,2
10
3,1
Del 2 – Med hjelpemidler
Oppgave 5
a
I GeoGebra åpner vi regnearket. Vi legger inn salgsmengden i kolonne A og inntektene i
kolonne B.
Vi merker cellene, klikker på Regresjonsanalyse og velger Analyser .
I rullegardinmenyen velger vi Polynom og grad 2.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 121 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
−0,1x 2 + 120 x .
Den andregradsfunksjonen som passer best, er I ( x) =
b
Overskuddet = inntektene – kostnadene.
O=
( x) I ( x) − K ( x)
O( x) =
−0,1x 2 + 120 x − ( 0, 05 x 2 + 12 x + 15 600 )
O( x) =
−0,15 x 2 + 108 x − 15 600
Vi tegner grafen til O og finner toppunktet.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 122 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
Det største overskuddet bedriften kan få, er når det blir produsert og solgt 360 enheter.
Da er overskuddet 3840 kr.
c
Vi beregner inntektene ved produksjon og salg av 360 enheter.
I (360) =
−0,1⋅ 3602 + 120 ⋅ 360 =
30 240
Ved produksjon og salg av 360 enheter blir inntekten 30 240 kr.
I ( x)= x ⋅ p ( x)
I (360)
= 360 ⋅ p (360)
I (360)
p (360) =
360
30 240
p=
(360) = 84
360
Prisen må være 84 kr for at overskuddet skal bli størst.
Oppgave 6
a
Vi lar x = 0 svare til 2009, x = 2 til 2011 osv.
År
x
Antall
2009
0
3240
2011
2
3775
2012
3
4085
2014
5
4762
I GeoGebra åpner vi regnearket. Vi legger inn x-verdiene i kolonne A og antallet i kolonne B.
Vi merker cellene, klikker på regresjonsanalyse og velger Analyser.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 123 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
Punktene ligger ikke på en rett linje, så vi må ha en funksjonstype med krum graf.
Grafen ser ikke ut til å ha topp- eller bunnpunkter. Andre- og tredjegradsfunksjoner
er derfor lite aktuelle.
Funksjonsverdien stiger mer og mer etter hvert som x-verdien øker.
Ettersom grafen skjærer andreaksen i punktet ( 0 , 3340 ) , faller valget på en
eksponentialfunksjon.
I rullegardinmenyen velger vi eksponentiell. Da får vi dette skjermbildet:
( x) 3239 ⋅1, 08 x .
Den eksponentialfunksjonen som passer best, er N=
b
N=
( x) 3239 ⋅1, 08 x viser at vekstfaktoren er 1,08.
Altså har den gjennomsnittlige årlige økningen i antall elever vært 8 %.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 124 av 125
Løsninger til oppgavene i boka
Oppgave 7
0, 00016 ⋅ x 2,73 , DV =0 , 600]
V ( x) =
a
I GeoGebra bruker vi kommandoen V(x)=Funksjon[0,000 16*x^2.73,0,600].
b
Vi legger inn linja y = 5400 .
Vi bruker verktøyet Skjæring mellom to objekt til å finne skjæringspunktet mellom
linja og grafen til V.
Omkretsen er 572 mm til en dinosaur som veier 5400 kg.
c
4100 .
Vi løser likningen 0, 000 16 ⋅ x 2,73 =
Vi skriver likningen inn i CAS i GeoGebra og klikker på
.
Løsningen på likningen er x = 517 .
Omkretsen er 517 mm når vekten er 4100 kg.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 125 av 125