1. No category

FYS1120 Elektromagnetisme, ukesoppgavesett 2
1. september 2015
I FYS1120-undervisninga legger vi mer vekt på matematikk og numeriske
metoder enn det oppgavene i læreboka gjør. Det gjelder også oppgavene som
blir gitt til eksamen. Derfor er det viktig at du gjør ukesoppgavene
som blir gitt. Dersom du syns det er vanskelig å komme i gang med dem,
eller hvis du ikke syns det er nok oppgaver, så kan du godt gjøre følgende
oppgavene fra boka i tillegg. Fra kapittelet ‘Gauss’s law’ (oppgaver på s. 76
og utover): Exercises 8, 14 og 16.
Oppgave 1 Gauss’ lov I denne oppgåva skal du bruke det du lærte
av biblioteksførelesninga førre veke til å finne litteratur om Gauss’ lov, den
første av Maxwells lover du skal lære om. Oppgåva krever ikkje inngåande
kjennskap til Gauss’ lov.
a) Maxwells lover vart opphavleg publisert i artikkelen «On physical lines
of force» i 1861. Finn denne artikkelen ved å bruke Oria.
b) I Oria kan du trykke på «send til», velje referanse og få opp ei referanse.
Noter denne ned. Klarer du å sjå korleis den skil seg frå ei vanleg
referanse til ein artikkel?
c) På side 2 i artikkelen finn du ei av Maxwell sine eigne referansar. Ville
denne vore godkjent i ein artikkel i dag. Kvifor/kvifor ikkje?
Maxwells likningar er spreidd rundt i denne artikkelen, men er vanskelege å identifisere. Dersom du har lyst, kan du titte på side 40, der
du finn ein tidleg versjon av Gauss’ lov i likning 113-115.
d) Gauss’ lov er derimot enklare å identifisere i artikkelen «A dynamical
theory of the electromagnetic field» frå 1864. Dersom du søker opp
artikkelen i Oria finner du likninga på side 27, under punkt 68. Noter
ned likninga slik han står her.
e) På førelesninga har de sett Gauss lov på integralform. Skriv den opp
slik du har lært den.
Valfrie oppgåver:
f ) Notasjonen til Maxwell er annleis frå vår, men du kan «omsetje» ved
å bruke at ρ = −e og at D = Dx î + Dy + ĵ + Dz k̂ = pî + q ĵ + rk̂. Gjer
dette.
g) I FYS1120 lærer de ikkje Maxwells lover på differensialform, men matematikken de trenger for å lære det er kjent frå MAT1110 og MEK1100.
Vis at Gauss lov slik du fan han i oppgåve d) er ekvivalent med Gauss
lov på differensialform
∇·D =ρ
(1)
Oppgave 2
Repetisjon frå førelesninga
a) Kva meinest med uttrykket «Standing on the shoulders of giants»?
b) Kvifor er det viktig for oss at me siterer korrekt?
c) Kva er dei to absolutte krava for ei referanse?
Oppgave 3 Referansejakt I denne oppgåva får du oppgjeve ulike referanser. I kvar referanse manglar det noko informasjon. Du skal bestemme
kva type referanse det er (bok, artikkel, teknisk rapport, etc) og finne ut kva
informasjon som manglar for at referansen skal vere komplett. Det kan du
gjere ved å søke opp referansen i oria.
a) Skilbred. Metallic Interconnects for Proton Ceramic Fuel Cells : Oxidation Behavior under Simulated Fuel Cell Conditions.
b) Jin, J. (2011). Theory and Computation of Electromagnetic Fields.
c) (2014). Interface effect in coupled quantum wells. Journal Of Applied
Physics, 115(24), Journal Of Applied Physics, 2014 Jun 28, Vol.115(24).
d) Williams, D. (2009). Transmission Electron Microscopy : A Textbook
for Materials Science (2.nd ed.). Boston, MA: Springer US.
Oppgave 4 Fluks og ladning En punktladning q1 = 4.0 nC ligger på
x-aksen der x = 2.0 m. En annen punktladning q2 = −6.0 nC ligger på
y-aksen der y = 1.0 m.
a) En kule med sentrum i origo har radius 0.5 m. Hva er den elektriske
fluksen ut av denne kulen?
b) Hva blir fluksen hvis radiusen til kulen er 1.5 m eller 2.5 m?
Oppgave 5 Ladet kule henger i en tråd
En kule med masse m og ladning q henger i enden av en tråd. Ved siden
av er det en stor og ladet flate med overflatetetthet σ (ladning per flate).
Situasjonen er skissert i figur 1. Både flaten og kulen har positiv ladning. Vi
antar at kula er i ro og at tyngdekraften virker rett nedover. Finn vinkelen
θ.
Hint: Finn først det elektriske feltet fra flaten. Husk også at tyngdekraften på
~ = −mg~j.
kula er gitt ved G
Oppgave 6 En ladet halvsirkel
En halvsirkel med radius a og sentrum i origo ligger i første og andre kvadrant
i xy-planet, slik som vist i figur 2. Halvsirkelen har en total ladning Q.
Figur 1: En positiv ladning q henger ved en positivt ladet flate.
a) Finn linjetettheten λ (ladning per lengde) dersom halvsirkelen er uniformt ladet. Finn så størrelse og retning til det elektriske feltet i origo.
Figur 2: En halvsirkel i xy-planet med total ladning Q.
b) Vi ser nå på tilfellet der halvsirkelen ikke er uniformt ladet. La linjetettheten være gitt ved
Q
λ(θ) =
sin θ.
2a
Skissér denne ladningsfordelingen og vis at total ladning for halvsirkelen fortsatt er Q.
c) Finn størrelse og retning til det elektriske feltet i origo for dette tilfellet.
Hvilken av fordelingene gir størst verdi til det elektriske feltet? Hvorfor
har feltet samme retning i begge tilfellene?
Oppgave 7
En ikke-uniform ladningsfordeling
En volumtetthet (ladningsfordeling i rom) gitt ved

ρ0 (1 − Rr ) , for r ≤ R
ρ(r) =

0
,
ellers
3Q
der ρ0 = πR
3 er en positiv konstant, og r er den radielle avstanden fra origo
i kulekoordinater. Når en ladningsfordeling i rommet kun avhenger av r sier
vi at den er sfærisk symmetrisk.
a) Finn det eletriske feltet for regionene r ≤ R og r ≥ R. Sjekk at de får
samme verdi ved r = R. Ville feltet du fant for r ≥ R blitt annerledes
dersom vi istedet hadde en punktladning i origo?
b) Skissér størrelsen til det elektriske feltet som funksjon av r. Ved hvilken
r er størrelsen til det elektriske feltet maksimal? Hvilken verdi har feltet
her?
Oppgave 8 En ladet stav
En ladet stav strekker seg fra −L til L på x-aksen med linjetetthet λ. Vi ser
situasjonen i figur 3.
a) Punktet P ligger på z-aksen med koordinatene (0, 0, z). Vis at styrken
til det elektriske feltet kan skrives som
Z L
2λz
1
Ez =
dx,
4π ε0 0 (x2 + z 2 ) 32
med Ex = Ey = 0.
Hint: Se på bidragene fra x og −x. Er det noe kansellering på gang?
b) Regn ut integralet fra a).
Hint: Prøv substitusjonen x = z tan θ. Der z er konstant.
c) Hvordan forventer du at feltet vil se ut langt fra staven, dvs. for |z| >>
L? Ser uttrykket du har for feltet fornuftig ut i denne grensen?
d) Uttrykket du fant i b) er kun gyldig langs z-aksen. Hvordan ser feltet
ut for en uendelig lang stav (L → ∞)? Når er dette uttrykket gyldig?
Figur 3: En ladet stav langs x-aksen.