1. No category

FYS1120 Elektromagnetisme, vekesoppgåvesett 1
31. august 2015
I FYS1120-undervisninga legg vi meir vekt på matematikk og numeriske
metoder enn det oppgåvene i læreboka gjer. Det gjeld òg oppgåvene som
vert gitt til eksamen. Difor er det viktig at du gjer vekesoppgåvene
som vi gir. Viss du syns det er vanskeleg å komme i gong med dei, eller
viss du ikkje syns det er nok oppgåver, så kan du godt gjere dei følgjande
oppgåvene frå boka i tillegg. Frå kapittelet ‘Electric charge and electric field’
(oppgåver på s. 39 og utover): Exercises 1, 25, 50, 57.
Oppgåve 1
Litt oppvarming
a) Estimer forhaldet mellom den gravitasjonelle og den elektriske tiltrekninga mellom eit proton og eit elektron, Fg /Fe .
Svar: Den elektriske krafta mellom dei er
Fe =
qe qp
4π0 r2
(1)
der qe = −e er ladninga til elektronet og qp = e er ladninga til protonet.
Gravitasjonskrafta mellom dei er
Fg =
Gme mp
r2
(2)
. Viss me tek brøken så får me
Fg
Gme mp
10−11 10−27 10−31
≈
= 4 · 10−40
= 2
Fe
e / (4π0 )
1010 (10−19 )2
(3)
Svar: 4 · 10−40
b) I eit hydrogenatom er den klassiske baneradiusen til elektronet rundt
protonet r = 5.3 · 10−11 m. Kva er farta til elektronet viss det går i ei
perfekt sirkelbane?
Svar: Storleiken på krafta som verker mellom protonet og elektronet
er gitt frå Coulombs lov som
F =
1 e2
,
4π0 r2
(4)
der r er avstanden mellom dei. For eit elektron som går i ei perfekt
sirkelbane er sentripetalkrafta
F =
me v 2
.
r
Sett vi dei to uttrykka like og løyser for v så får vi
s
e2
v=
= 2.19 × 106 m/s.
4π0 me r
(5)
(6)
Svar: v = 2.19 × 106 m/s.
c) Sjå for deg to metallkuler som heng ved sida av kvarandre. Du ser at
dei tiltrekker kvarandre. Kva kan du seie om kva ladning kulene har?
Forklar kva som vil skje viss kulene berører kvarandre. Er det mogleg
at dei festar seg saman?
Svar: Ladningene deira må ha motsett forteikn for at dei skal tiltrekke
kvarandre. Sidan metall er straumførande, så vil kulene lade ut viss dei
berører kvarandre. Viss dei har nøyaktig like mykje ladning så vil dei
verte nøytrale etter berøringa. Viss ikkje dei har like mykje ladning så
vil overskotet fordele seg likt mellom dei, og dei vil fråstøyte kvarandre
litt.
d) Jorda har faktisk ei nettoladning som gir han eit elektrisk felt som
peiker radielt mot sentrum, med ein storleik på omlag 150 N/C nær
overflata. Kor mykje ladning må ein person på 80 kg ha for å overvinne
gravitasjonskrafta? Spesifisér kva fortegn ladninga må ha.
Svar: Gravitasjonskrafta som verker på personen er Fg = mg. Storleiken av den elektriske krafta som verker på hen, viss hen har ladning
q, er |Fe | = |q|E, der E er det elektriske feltet. For å overvinne gravitasjonen må minst |Fe | = |Fg |, dvs |q|E = mg. Løyser me for |q| får
me |q| = mg/E = 5.2 C. Vidare har me fått oppgitt at det elektriske
feltet peiker inn mot jorda, medan den elektriske krafta må peike ut
for å motverke gravitasjonen. Difor er q negativ.
Svar: q = −5.2 C.
Oppgåve 2
I denne oppgåva skal me sjå på feltet frå ein dipol. Tenk deg ei ladning
q1 = −q plassert i punktet (−d, 0, 0) og ei ladning q2 = q i punktet (d, 0, 0).
Begge ladningane er festa så dei ikkje kan bevege seg. Oppsettet er skissert
i figur 1.
y
p
x
2d
Figur 1: Ein dipol.
a) Lag ei skisse av det elektriske feltet frå dipolen.
b) Vis at det elektriske feltet frå dipolen langs x-aksen der |x| > d kan
skrivast som
p|x|
1
,
2
2π0 (x − d2 )2
Ey = 0,
Ex =
Ez = 0,
(7)
(8)
(9)
der p = 2dqi er dipolmomentet og p = |p|. Vis at når x d så er Ex
omvendt proporsjonal med x3 .
Svar: Vi løyser først for x > d. Frå symmetri ser vi at y- og zkomponentane av feltet må vere null. Feltet i x-retning frå den negative ladninga skriv vi som E−,x og frå den positive som E+,x . Vi bruker
k = 1/(4π0 ) i utrekninga.
Ex = E−,x + E+,x
q
q
= −k
+k
2
(x + d)
(x − d)2
(x + d)2 − (x − d)2
= kq
(x − d)2 (x + d)2
4xd
= kq 2
(x − d2 )2
1
4xqd
=
2
4π0 (x − d2 )2
x(2qd)
1
=
2π0 (x2 − d2 )2
1
xp
=
.
2
2π0 (x − d2 )2
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
Same rekning for x < −a gir
−
Ex =
1
xp
,
2
2π0 (x − d2 )2
(18)
så me kan kombinere dei som
|x|~
p
1
.
2
2π0 (x − d2 )2
E=
(19)
Når x d, som betyr at vi er langt unna dipolen langs x-aksen, vert
d ubetydeleg samanlikna med x. Då har me (x2 − d2 )2 ≈ x4 slik at
1
xp
1 p
≈
2π0 (x2 − d2 )2
2π0 x3
(20)
Det betyr at feltet frå ein dipol faller raskare (∝ r−3 ) enn frå ei punktladning (∝ r−2 ), som er eit velkjend resultat. (Det same er tilfelle for
gravitasjonelle tidevatnskrefter.)
Svar: Når x d:
Ex ≈
1 p
2π0 x3
c) Finst det nokon punkter langs x-aksen der feltet er nøyaktig null?
Svar: Nei. Sjå d) for forklaring.
Svar: Nei.
d) Viss ladningane ikkje er nøyaktig like store, dvs. |q1 | =
6 |q2 | – finst det
då nokon punkter langs x-aksen der feltet er null?
Svar: Ja. Anta at den negative ladninga er minst (det er vilkårleg).
Vi ser på feltet i området x < −d. Kall talverdien av ladningene for
q− og q+ (begge er altså positive storleiker). Då får vi
kq−
kq+
−
=0
(x + d)2 (x − d)2
(x + d)2
(x − d)2
⇒
=
q−
q+
q 

q−
1 + q+
q .
x = −d 
1 − qq−
+
Ex =
(21)
(22)
(23)
Her har vi forkasta ei av løysingane av andregradslikninga (22), sidan
han gir ein x-verdi større enn −d, som strir mot antakinga vår.
Svar: Ja, på utsida av den minste ladninga.
e) La no ladningene vere like store og motsatt retta slik som i starten av
oppgåva. Finn feltet langs y-aksen og vis at for y d er det omvendt
proporsjonalt med y 3 . Hint: Korleis vil vektorane legge seg saman langs
y-aksen? Lag ei teikning.
Svar: På figur 2 ser vi at y-komponentane til feltet kansellerer langs
y-aksen. Vi ser òg at feltet peiker i negativ x-retning. Det gir
Figur 2: På grunn av symmetrien vil komponentene langs y-aksen kansellere
nøyaktig.
E =E− + E+
(24)
= − (E− cos θ + E+ cos θ) i
(25)
= − (E− + E+ ) cos θi
kq
d
kq
p
i
+ 2
=−
2
2
2
(y + d ) (y + d )
y 2 + d2
(26)
k(2qdi)
+ d2 )3/2
p
1
,
=−
4π0 (y 2 + d2 )3/2
=−
(y 2
(27)
(28)
(29)
and for y d
−
1
p
1 p
≈−
.
4π0 (y 2 + d2 )3/2
4π0 y 3
Svar:
E=−
p
1
4π0 (y 2 + d2 )3/2
Oppgåve 3
To positive punktladninger med ladning Q haldast fast på x-aksen i punkta
−a og a. Så vert ei tredje positiv ladning med ladning q og masse m plassert på x-aksen i ein posisjon x0 . Han er tvinga til å bevege seg langs aksen.
Dessutan vert han plassert mykje nærare origo enn a, det vil seie at |x0 | a.
a) Finn frekvensen til svingerørsla som ladninga q får. Hint: Bruk at (1 +
z)n = 1+nz+ (n−1)n
z 2 +· · · (sjå t.d. Rottmann), og hugs at viss |z| 1
2
så kan du som ein veldig god tilnærming stryke ledd av høgare orden.
Hugs også differensiallikninga for ein harmonisk oscillator: x00 + ω 2 x =
0, der ω er svingefrekvensen.
Svar: La den lause ladninga ha posisjonen x(t). Han er påverka av
elektriske krefter frå dei to andre ladningane,
F−a =
kqQ
kqQ
og Fa = −
,
2
(x + a)
(x − a)2
som verkar langs x-aksen. Vi bruker at |x| a, som betyr at
og tilnærmar ved hjelp av hintet:
x
x −2
≈ a−2 1 ± (−2) ·
.
(a ± x)−2 = a−2 1 ±
a
a
(30)
|x|
a
1
(31)
Det gir kraftsummen
kqQ x x 1
−
2
−
1
+
2
a2
a
a
4kqQx
=−
.
a3
F = F−a + Fa =
(32)
(33)
Newtons 2. lov gir då
m
d2 x
4kqQx
=F =−
,
2
dt
a3
(34)
d2 x 4kqQ
+
x = 0,
dt2
ma3
(35)
eller
som ved samanlikning med harmonisk oscillator-likninga gir
r
4kqQ
ω=
.
ma3
(36)
Svar:
r
ω=
4kqQ
.
ma3
(37)
b) Viss me i staden plasserte ladninga på y-aksen og lot han bevege seg
fritt i xy-planet – kva for rørsle ville han då fått?
Svar: Han ville flydd avgårde.