1. No category

Annotert formelark i TFE4120 Elektromagnetisme
Formler i elektromagnetisme
Formel
F=
Qq
4πR2 R̂
E = F/q
´ ref
VP = P E · dl
V =
Q
4πR
E = −∇V
‚
D · dS = Qfri i S
Beskrivelse og kommentarer
Coulombs lov: kraften fra en punktladning på en annen punktladning
Definisjon av elektrisk felt: kraften fra en ladning delt på den samme ladningen.
Definisjon av elektrisk potensial (skalarpotensial): man summerer opp det elektriske feltet langs en linje fra ett punkt til et annet. Siden E er konservativt,
er integralet uavhengig av vei.
Potensialet fra en punktladning.
De tre komponentene av det elektriske feltet er tett bundet til hverandre, derfor
kan hele det elektriske feltet uttrykkes som gradienten til et skalarfelt (potensialet).
Gauss’ lov på integralform.
∇·D=ρ
Gauss’ lov på differensiell (lokal) form: divergensen til D i et punkt er lik (den
frie) ladningstettheten i det punktet.
D = 0 E + P
Definisjon av D-feltet. P er materialets respons på E-feltet på grunn av dipoler
og kalles polarisering. At vi legger til P i stedet for å trekke den fra ser rart ut,
siden vi baserer oss på Qfri i S = Qtotal i S −Qbunden i S , der hver type ladning er
representert ved henholdsvis D, E og P. Grunnen til at det likevel blir slik, er
(intuitivt) som følger: Polariseringen er en sum av mange små dipolmomenter,
og dipolmomentvektoren er definert til å peke fra negativ til positiv ladning.
E-feltet er derimot definert til å peke fra positiv ladning til negativ ladning.
Derfor får vi et ekstra minustegn når vi prøver å gå fra Qbunden i S til P.
P = 0 χ e E
Uttrykk for polariseringen i et lineært, isotropt medium. I et lineært medium
er P proporsjonal med E. I et isotropt medium er det også uavhengig av
retningen på E, slik at χe er en skalar.
D = E
= 0 (1 + χe )
Uttrykk for D-feltet i et lineært, isotropt medium.
Slik finner man absolutt permittivitet fra elektrisk susceptibilitet.
C = Q/V
Definisjon av kapasitans. V er potensialforskjellen mellom de to lederne som
inngår i kondensatoren.
C = S/d
Kapasitansen til en parallellplatekondensator.
We = 12 CV 2
Den elektriske energien som ligger lagret i en kondensator, i form av et elektrisk
felt mellom de to lederne som inngår i kondensatoren. Dette er arbeidet som
kreves for å flytte en ladning Q = CV fra den ene platen til den andre. Energien
er en kvadratisk form fordi jo mer av Q man allerede har flyttet, jo vanskeligere
blir det å flytte resten av Q til det samme stedet.
we = 12 D · E
Generelt uttrykk for energitettheten (for så finne We fra dette, må man integrere
we over volumet mellom lederne) i et lineært medium, som kan være anisotropt.
p = Qd
Definisjon av dipolmoment for en dipol med ladning Q på den ene siden og −Q
på den andre. d går fra negativ ladning til positiv ladning.
J = N Qv
Definisjon av strømtetthet. N er antallet ladninger med ladning Q per volumenhet og har dermed SI-enhet m−3 - det ikke bare et antall, som ting ofte
er når de får bokstaven N. v er den gjennomsnittlige driftshastigheten til ladningsbærerne når man tar med kollisjoner o.l. i betraktningen.
1
J = σE
PJ =
´
v
Ohms lov. Hvis σ ikke er uendelig, trenger man et elektrisk felt for å opprettholde en viss strømtetthet, og σ gir sammenhengen mellom feltet og
strømtettheten.
J · Edv
Effekttapet i et volum v der det går strøm. Kollisjonene som forårsaker tapet
inngår i at man trenger et elektrisk felt til å utføre et arbeid på ladningene for
å opprettholde en viss strømtetthet.
µ0 Idl×R̂
4π R2
Biot-Savarts lov, for en strømsløyfe (linjestrøm). Strømelementet Idl kan erstattes med Jdv eller JS dS for henholdsvis en “volumstrøm” eller en flatestrøm.
dF = Idl × B
Den magnetiskeP
kraften på et strømelement. Merk at strømelementet generelt
m
er definert som i=1 Qi vi , som her blir Idl.
F = Q(E + v × B)
Den totale kraften - Lorentz-kraften - som oppleves av en punktladning i bevegelse i et elektromagnetisk felt (når man ser bort i fra andre krefter).
T=m×B
Dreiemomentet til en strømførende sløyfe er det magnetiske momentet til sløyfa
krysset med B-feltet sløyfa befinner seg i. Se s.55-56 for eksempelet som forklarer dette. Dette er prinsippet for en elektromotor.
m = IS
Definisjonen av magnetisk moment som proporsjonalt med strømmen gjennom
sløyfa og arealet til (den orienterte) flata som integrasjonssløyfen omslutter.
dB =
H=
B
µ0
−M
Definisjon av H-feltet.
M = χm H
For lineære, isotrope materialer er magnetiseringen M av et materiale - materialets respons på et ytre magnetisk felt - proporsjonalt med dette ytre magnetiske feltet.
B = µH
For lineære, isotrope materialer er B-feltet proporsjonalt med H-feltet.
µ = µ0 (1 − χm )
¸
Slik finner man absolutt permeabilitet fra magnetisk susceptibilitet.
∇·B=0
˜
H · dl = S J · dS
C
wm = 12 B · H
L12 =
Φ12
I1
Wm =
1
2
Φ21
I2
Φ
I
k=1 Ik Φk
= ...
kilder el. tap
F = +(∇Wm )I=konst
∇·J+
∂ρ
∂t
Definisjon av gjensidig induktans. Φ12 er fluksen gjennom flaten S2 på grunn
av strømmen I1 som går i sløyfen C1 (vi må se bort i fra fluks på grunn av alle
andre strømmer enn I1 når vi regner ut Φ12 ). Den kalles gjensidig induktans
fordi L12 = L21 .
Definisjon av selvinduktans gjennom en spole med total fluks Φ på grunn av
strømmen I gjennom den samme spolen.
Pn
F = −(∇Wm )u.
Amperes lov for et medium. J er den frie strømtettheten, vi har altså sett bort
i fra strømmen fra bundne magnetiske dipoler.
Generelt uttrykk for energitetthet i et magnetisk felt, som også holder i ikkelineære materialer.
= L21 =
L=
B-feltet er divergensfritt, og feltlinjene biter seg selv i halen.
=0
Lagret energi i det magnetiske feltet i et system av spoler.
??
I systemer der strømmen I holdes konstant av en eller annen ytre regulator, blir
formelen slik. Det er nærmest en tilfeldighet at det ligner såpass på uttrykket
over.
???
Maxwells likninger
¸
∇ × E = − ∂B
∂t
˜ ∂B
Edl
=
−
· dS
C
S ∂t
∇×H=J+
∂D
∂t
2
¸
C
Hdl = −
˜
J+
S
∂D
∂t
· dS
∇·D=ρ
¸
C
D · dS = Qfri i S
¸
∇·D=0
C
B · dS = 0
e = − dΦ
dt
Potensialer i elektrodynamikken
B=∇×A
E = −∇V −
Definisjon av vektorpotensial.
∂A
∂t
2
∇2 V − µ ∂∂tV2 = − ρ
2
∇2 A − µ ∂∂tA
2 = −µJ
˝ ρ(r0 ,t−R/c)dv0
1
V (r, t) = 4π v
R
˝ J(r0 ,t−R/c)dv0
µ
A(r, t) = 4π v
R
Grensebetingelser
E1t = E2t
D1n − D2n = ρn̂
H1t − H2t = Js × n̂
B1n = B2n
3