Download Report

TFE4120 Elektromagnetisme - hovedpunkter
Dette er en kort oppsummering uten grundige forklaringer eller eksempler - en “huskeliste” av ting som skal forstås. “JS”
refererer her til Johannes Skaars kompendium.
Status: Stort sett ferdig.
Jonathan
2
ELEKTROSTATIKK
2.1
Elektriske krefter og felt
og potensialet fra en kontinuerlig fordelt ladning blir
ˆ
1
ρdΩ
V =
4π0 Ω R
Coulombs lov er at kraften som virker på en testladning q
fra en ladning Q er
F=
Ofte er vi heller interessert i potensialforskjellen VAB mellom
punktet A og B,
Qq
R̂, R > 0
4π0 R2
ˆ
B
E · dl
A
Superposisjonsprinsippet gir at kraften fra n ladninger er
summen av kraften fra hver enkelt ladning, altså
Dette integralet er uavhengig av vei; det elektriske feltet er
n
n
konservativt. Med andre ord har vi for alle lukkede inteX Qi q
q X Qi
F=
R̂
=
R̂
i
i
grasjonskurver at
˛
4π R2
4π
R2
i=1
0
i
0 i=1
VAB = VB − VA =
i
E · dl = 0
Kraften fra en ladning som er kontinuerlig fordelt utover et
C
volum, en flate eller en kurve er integralet over det gjeldende som via Stokes teorem kan omformuleres til
området. For et generelt slikt område Ω med en ladningstet∇×E=0
thet ρ (slik at dQ = ρdΩ) er
ˆ
q
ρdΩ
Ved å regne ut VB − VA for en B infinitesimalt unna A
F=
4π0 Ω R2
(A = (x, y, z), B = (x + dx, y + dy, z + dz)) kan det vises at
Det elektriske feltet er kraften delt på testladningen
dette er ekvivalent med
E = F/q,
E = −∇V
så ligningene for elektrisk felt blir som de samme for kraft
En geometrisk tolkning av dette er at E til enhver tid peker
bortsett fra en faktor q.
den veien V minker raskest.
2.2
Skalarpotensial
2.3
Gauss’ lov
Arbeidet wA som kreves for å flytte testladningen fra et punkt
A til et referanse punkt ref. i et elektrisk felt er integralet av Gauss’ lov er at
‹
kraften over denne strekningen,
0
E · dS = Qinni S
ˆ ref.
ˆ ref.
S
wA =
F · dl = q
E · dl,
som kan vises ut i fra Coulombs lov og divergensteoremet.
A
A
og skalarpotensialet i punktet A er definert som dette arbei- Dette impliserer at, hvis E = 0 overalt på en lukket flate, så
er summen av ladning inne i flaten lik 0. Men hvis summen
det delt på q,
ˆ ref.
av ladning inne i en lukket flate er 0 trenger ikke E å være 0
VA =
E · dl
overalt på flaten, kun integralet (den totale fluksen) trenger
A
Ofte settes referansepunktet til uendeligheten, slik at poten- å være lik 0. Men i problemer med høy symmetri kan ofte E
sialet fra en punktladning i en avstand R fra ladningen blir settes utenfor integralet slik at det blir 0 likevel.
ˆ ∞
2.4 Felt i dielektriske medier
Q
Q
dr
V =
=
,
4π0 R r2
4π0 R
1
I mange materialer finnes det ladning som er bundet opp i
dipoler. Hvis det påtrykkes et eksternt elektrisk felt på et
materiale vil slike dipoler rette seg etter feltet og motvirke
det påtrykte feltet. Det totale feltet blir dermed mindre.
Samtidig vil det bli en netto ladning på flaten (den siden
der dipolene peker med positiv ende utover blir positiv, den
andre siden blir negativ). I praksis fører dette til at utregningene må gjøres med en modifisert versjon av Gauss’ lov
som handler om et modifisert felt vi kaller D og en modifisert permittivitet 6= 0 . Modifikasjonen begynner med å
definere elektrisk dipolmoment p for en dipol der en ladning
+Q og en ladning −Q er separert med en posisjonsvektor d
som peker fra negativ til positiv ladning,
Da er det praktisk å definere et nytt, abstrakt felt,
D = 0 E + P,
slik at vi får det enkle uttrykket
‹
D · dS = Qfri i S
S
som kalles Gauss’ lov i et medium. Hvis vi definerer en fri
˝
romladningstetthet ρ slik at
ρdv = Qfri i S , og bruker
v
divergensteoremet til å vise at
‹
˚
D · dS =
∇ · Ddv,
S
v
blir vi nødt til å konkludere med at
p = Qd
∇·D=ρ
Tettheten av slike dipolmoment uttrykkes med en polarisas- som er Gauss’ lov på differensialform (eller “lokal” form, fordi
den handler om feltet i et punkt i stedet for den “globale”
jonsvektor P slik at
formen som handler om integralet av feltet over en flate).
X
Pdv =
p
Mange materialer er av typen vi kaller lineære, isotrope,
dv
homogene medier, som responderer på påtrykt elektrisk felt
er det totale dipolmomentet i volumelementet dv. Når alle på en enkel måte: (i) sammenhengen mellom polarisering og
dipolene er identiske er
påtrykt felt er lineær (materialet er lineært), (ii) størrelsen
på polariseringen er uavhengig av retningen på E (materialet
P = Np
er isotropt), og (iii) polariseringen er uavhengig av posisjon i
materialet (materialet er homogent). Den første egenskapen
der N er antall dipoler per volumenhet.
Dipoler inne i en lukket flate bidrar med null netto lad- gjør at
P = 0 χe E,
ning siden både positiv og negativ ladning er inne i flaten.
Derfor ser vi kun på dipoler som kun har en av endene inne i
flaten. Inne i et flateelement dS har vi N dipoler med totalt
dipolmoment Pdv. Vi får kun bidrag fra den delen av P som
er parallell med dS, altså får vi et bidrag av bunden ladning
lik −P · dS. Minustegnet kommer av at p (og dermed P)
peker fra negativ til positiv ladning og at dS peker ut av
flaten. Derfor, hvis P peker samme retning som dS slik at
prikkproduktet blir positivt, må nettoladningen inne i flaten
være negativ, og vice versa.
Den totale ladningen i S som er bundet opp i dipoler blir
dermed integralet over flaten,
‹
Qbunden i S = −
P · dS.
der χe er elektrisk susceptibilitet. Den andre egenskapen
gjør at χe er en skalar størrelse (og ikke en vektor som man
prikker E med. Den tredje egenskapen gjør at χe ikke er en
funksjon av posisjon. I slike medier er
D = 0 E + P = 0 (1 + χe )E = 0 r E = E,
der r og er henholdsvis relativ og absolutt permittivitet.
2.5
Poissons og Laplace’ ligning
I lineære, isotrope, homogene medier kan vi utlede det følgende fra Gauss’ lov på differensialform:
ρ = ∇ · D = ∇ · E = ∇ · (−∇V ) = −∇2 V
S
eller
ρ
Den delen av Qtotal i S som ikke er bundet opp i dipoler blir
∇2 V = −
‹
som er Poissons ligning. I deler av rommet som er ladningsQfri i S = Qtotal i S − Qbunden i S = Qtotal i S +
P · dS
S
frie, det vil si punkter i rommet der ρ = 0, forenkles Poissons
som med Gauss’ lov blir at
ligning til Laplace’ ligning,
‹
‹
‹
Qfri i S = 0
E · dS +
P · dS =
(0 E + P) · dS.
∇2 V = 0.
S
S
S
2
4. ρ = 0
overalt inne i en ideell leder - all overskuddsladning
samles som flateladning på overflaten.
Disse ligningene er differensialligninger som kan brukes til å
bestemme både potensialet og det elektriske feltet i et gitt
område, dersom man har passende grensebetingelser. Slike
grensebetingelser er typisk at V = V0 eller V = 0 på en
metallflate eller i uendeligheten.
Hvis en løsning på et elektrostatisk problem tilfredsstiller
Poissons ligning i et område, og er det den skal være på
randen av v, da er det den rette løsningen i v. Dette er
nødvendig å forstå for å kunne burke speilladningsmetoden.
2.6
5. V = konst.
overalt på overflaten, siden en potensialforskjell mellom
´B
to punkter på flaten blir VAB = A 0dl = 0.
6. Et = 0
overalt på overflaten, på grunn av grensebetingelsen
for Et og den andre egenskapen; alle feltlinjene inn i
en ideell leder står normalt på lederen.
Grensebetingelser for E og D
I grenseflaten mellom to medier er det to nyttige relasjoner
vi kan bruke for å finne feltet på den ene siden dersom feltet
på den andre siden er kjent.
Den første er at tangensialkomponenten av det elektriske
feltet den samme på hver side av flaten,
7. Dn = ρs
overalt på overflaten, på grunn av grensebetingelsen
for Dn og den tredje egenskapen.
E1t = E2t .
¸
For å vise dette bruker man at C E · dl = 0 og integrerer
langs en lukket integrasjonssløyfe med neglisjerbar høyde,
ref. figur 2.18 i JS.
Den andre er at forskjellen i normalkomponenten til Dfeltet er lik ladningstettheten på flaten,
2.8
Kapasitans
Vi har to ideelle ledere, som er adskilt av et lineært isotropt
medium med permittivitet . En spenningskilde har flyttet
en ladning Q fra den nedre lederen til den øvre (slik at den
nedre lederen har netto ladning −Q og den øvre har netto
ladning Q). Dette har ført til at den øvre lederen har et
potensial V i forhold til den andre. Dette systemet er en
kondensator med en kapasitans definert som
D1n − D2n = ρs .
‚
For å vise dette bruker man at S D · dS = Qfri i S = ρs S
og integrerer over en lukket integrasjonssylinder med neglisC = Q/V,
jerbar høyde, ref. rigur 2.18 i JS. Hvis det ikke er noen fri
ladning på flaten - for eksempel hvis mediet er rent dielektrisk
og siden V ∝ Q (bruk definisjon av potensial, så lineært
- får vi spesialtilfellet D1n = D2n .
medium-forenkling, så Gauss’ lov) vil dette ikke være
2.7 Ideelle ledere
avhengig av V eller Q, men kun og geometrien i systemet.
I ideelle ledere beveger ladningene seg fritt omkring, slik at
For seriekoblede kondensatorer (der det ikke går feltlinjer
de umiddelbart posisjonerer seg til å oppnå en likevekt når mellom de ulike kondensatorne er (se eksempel 2.16 og 2.17
det kommer et påtrykt felt. Dette er en tilnærming, men i JS)
Q
Q
1
når feltet er statisk eller oscillerer med lav frekvens, rekker
C=
= Pn
= Pn
V
V
i=1 i
i=1 1/Ci
ladningene å “følge med” det elektriske feltet. Da kan tilnærmingen brukes, og det gir følgende egenskaper (uttrykket og for parallellkoblede kondensatorer er
“inne i” ekskluderer overflaten):
Pn
n
X
Qi
Q
1. P = 0
C=
= i=1
=
Ci
V
V
i=1
overalt inne i en ideell leder (per definisjon).
som forøvrig er motsatt av tilfellet for motstander.
2. E = 0
Strømmen er definert som ladningen som går mot den
overalt inne i en ideell leder. Alt påtrykt felt kanselleres
d(CV )
øvre
lederen per enhet tid, I = dQ
ved at ladningene beveger seg slik at feltet fra disse
dt =
dt , slik at
ladningene kompenserer for det påtrykte feltet.
dV
I=C
.
dt
3. D = 0
overalt inne i en ideell leder, på grunn av de to øvrige
egenskapene og definisjonen av D.
2.9
3
Lagret energi i elektriske felt
Energien som kreves for å flytte en ladning Q fra nedre til
øvre leder som beskrevet i forrige seksjon, er CV 2 /2. Dette
vises ved å se på arbeidet som kreves for å flytte dq når vi
allerede har flyttet q. Dette må være dAe = V (q)dq, der
V (q) = Cq . Dette skal vi gjøre fra q = 0 til q = Q, så
ˆ Q
ˆ
1 Q
Q2
CV 2
Ae =
V (q)dq =
qdq =
=
.
C 0
2C
2
0
Ohms lov I mange materialer gjelder Ohms lov, at
strømtettheten er proporsjonal med det påtrykte elektriske
feltet,
J = σE.
Konduktiviteten σ er 0 for en perfekt isolator (som vakuum)
og ∞ for en ideell leder (som en superleder, gitt at E er
statisk eller oscillerer med lav frekvens).
Siden denne energien ligger lagret som energi i kondensatoren,
betegnes den We tilsvarende andre energistørrelser.
Effekttap Arbeidet som utføres av E på en ladning i løpet
Det er ofte nyttig å se på energien som knyttet til selve
av dt er dW = F · ds = qE · vdt, og arbeidet som utføres på
det elektriske feltet. Da bruker vi en energitetthet we som
N dv ladninger er
viser seg å være
1
we = D · E,
W = N dvqE · vdt = J · Edvdt
2
i lineære medier, som for isotrope medier forenkles til
Dette må være energi som går tapt, for hvis det ikke hadde
1
we = E 2 .
vært
noe elektrisk felt skulle strømmen kunne blitt oppret2
Dette kunne vi også kommet frem til ved å regne på energien tholdt selv om det ikke var noe elektrisk felt ved Newtons 1.
i en parallellkondensator i et lineært, isotropt og homogent lov. Effekttapet per volumenhet blir
medium; da er volumet lik Sd, kapasitansen lik S/d og
spenningen lik Ed:
we =
2.10
We
We
=
=
v
Sd
1
2
2 CV
Sd
=
1 S
2
2 d (Ed)
Sd
=
pJ = J · E,
1 2
E .
2
og det totale effekttapet i volumet v blir
˚
PJ =
J · Edv.
Strøm, strømtetthet, effekttap og
ladningsbevarelse
v
Dette kalles joulsk eller ohmsk tap.
Strømtetthet Strøm i et volumelement dv oppstår ved
at N dv ladningsbærere med ladning q beveger seg med en
gjennomsnittshastighet v (merk at antallet ladningsbærere
er N dv, ikke N , selv om N ofte brukes for å betegne et antall
- her er altså N en ladningsbærertetthet med enhet m−3 ).
Strømmtetthet defineres som
Ladningsbevarelse Vi ser på et volum v omsluttet av en
˝
lukket flate S. Ladningen i v er Q = v ρdv og strømmen
‚
ut av S er IS = S J · dS. På grunn av prinsippet om ladningsbevarelse må strøm gå på bekostning av ladningen i v,
IS = − dQ
dt , slik at
J = N qv,
‹
J · dS = −
og kan utvides til en sum hvis det finnes flere typer ladningsbærere.
S
d
dt
˚
ρdv
v
som med divergensteoremet kan omformes til
Strøm Strømmen gjennom et tverrsnitt S er definert som
ladningen som passerer tverrsnittet i løpet av dt, dvs. dQ
dt .
Hva er egentlig dQ? Vel, i løpet av dt har ladningene
gjennom et flateelement dS beveget seg en avstand opp
til |v|dt, slik at de fyller en skjev sylinder med volum
dv = dS|v|dt cos α = v · dSdt (der α er vinkelen mellom v og dS). Denne sylinderen inneholder ladningen
dQ = N qdv = N qv · dSdt = J · dSdt, så strømmen gjennom
dS blir dI = dQ
dt = J · dS og den totale strømmen gjennom
hele S blir
¨
I=
J · dS
∇·J=−
∂ρ
∂t
I spesialtilfellet der strømmene er uavhengige av tiden, det
vil si når vi har konstante strømmer, er
‹
J · dS = 0
S
og
∇ · J = 0.
De to ligningene over er Kirchoffs strømlov.
S
4
3
3.1
MAGNETOSTATIKK
Hvis strømmen er fordelt på en flate definerer vi en flatstrømtetthet slik at Idl = Js dxdl = Js dS og
Magnetisk kraft, strømelement,
Biot-Savarts lov
µ0
B=
4π
Den magnetiske kraften mellom to punktladninger som
beveger seg i et vakuum er
!
µ0 Q1 v1 × R̂
F = Q2 v2 ×
4π
R2
3.2
S
Js dS × R̂
.
R2
Magnetiske krefter og moment
Lorentz-kraft Kraften som virker på en ladning som
beveger seg i et område med både E- og B-felt kan oppsummeres i Lorentz-kraften
der R er avstanden mellom dem og R̂ peker fra ladning 1 til
ladning 2. Tilsvarende det elektriske feltet definerer man en
magnetisk flukstetthet B på grunn av en ladning Q1 med
hastighet v1 som
B=
¨
F = Q(E + v × B)
Magnetisk moment Den magnetiske kraften på et
strømelement er
µ0 Q1 v1 × R̂
4π
R2
dF =
X
mQi vi × B = Jdv × B
i=1
slik at
eller for en linjestrøm
F = Q2 v2 × B.
dF = Idl × B,
Magnetfelt kan superponeres,
µ0
B=
4π
Pm
i=1
slik at netto kraft på en strømsløyfe blir
˛
F =
Idl × B.
Qi vi × R̂i
.
Ri2
C
Vi kjenner som regel ikke hastigheten til de ulike ladningene,
men strømmen som den samlede bevegelsen av ladninger I et uniformt B-felt blir den netto kraften på sløyfa null,
˛
genererer. Denne strømtettheten er generelt
˛
F
=
Idl
×
B
=
Idl
× B = 0,
n
X
C
C
Jdv =
(Ni dv)Qi vi ,
i=1
men dette er bare summen av krefter. Det finnes likevel
der n er de forskjellige typene ladningsbærere. Denne sum- krefter lokalt som vil komprimere, strekke og rotere sløyfa.
men kan i stedet uttrykkes som en sum over alle m ladninger, Se figur 3.5 i JS for en utledning av at momentet på en
(rektangulær) sløyfe blir
m
X
Jdv =
Qi vi ,
T = IS × B.
i=1
Det magnetiske momentet defineres som
µ0 Jdv × R̂
B=
m = IS,
4π
R2
Ved å integrere opp B-feltet fra en kontinuerlig romlig fordelt
strømtetthet bestående av slike strømelementer Jdv får vi så
T = m × B.
Biot-Savarts lov,
slik at
µ0
B=
4π
˚
v
Dette gjelder også for vilkårlige sløyfer i et uniformt B-felt.
Jdv × R̂
.
R2
3.3
Magnetisk fluks og vektorpotensial
Hvis strømmen er fordelt på en tynn linje er Jdv = JdSdl =
Magnetisk fluks Den magnetiske flyksen gjennom en flate
JdSdl = Idl, så
er definert som
˛
¨
µ0
Idl × R̂
B=
Φ
=
B · dS.
S
4π C
R2
S
5
3.5
For en lukket S er ΦS alltid 0,
‹
B · dS = 0,
Magnetiske felt i materialer
Materialer inneholder mikroskopikse strømsløyfer i form av
partikler eller domener med kvantemekanisk spinn som orienterer seg etter den magnetiske flukstettheten og produserer
et eget B-felt som respons på et ytre påtrykt B-felt. Disse
strømsløyfene har magnetisk dipolmoment
S
som ved divergensteoremet er ekvivalent med at
∇·B=0
Se s. 59 i JS for en utledning av dette. Det er ekvivalent
m = ISm ,
med at magnetiske flukslinjer alltid biter seg selv i halen, det
og vi definerer en magnetiseringsvektor tilsvarende polariservil si at de ikke kan starte noe sted.
ingsvektoren i elektrostatikken,
X
Vektorpotensial Siden ∇ · B = 0 kan B representeres
Mdv =
m,
som curlen til et vektorpotensial A,
dv
som hvis alle strømsløyfene er identiske gir at M = N m.
Dette er ikke tilfellet, men magnetiseringen kan representeres
slik. Hvis vi lar J herfra stå for fri strøm (som ikke er bundet
i magnetiske dipoler), blir
˛
B · dl = µ0 Itotal gjennom S
C
¨
= µ0
J · dS + Igjennom S pga. magn. dipoler .
B=∇×A
Hvis vi antar at
µ0 Jdv
,
4π r
får vi Biot-Savarts lov ut av det,
µ0
1
B=∇×A=
∇
× (Jdv)
4π
r
µ0 (−1)
=
r̂ × (Jdv)
4π r2
µ0 Jdv × r̂
=
,
4π r2
A=
S
Ved å se at kun strømsløyfene som går rundt C kan bidra
til det andre leddet, og at disse strømsløyfene bidrar til det
andre leddet i den grad de har et dipolmoment som er paral¸
så da sier vi at det vi antok var riktig. Da kan vi superponere lellt med dl, får vi at I
gjennom S pga. magn. dipoler = C M · dl,
for å få at
˚
så
¨
˛
˛
Jdv
µ0
A=
B · dl = µ0
J · dS +
Mdl ,
4π
v r
eller
A=
µ0
4π
˛
C
C
altså er
Idl
.
r
S
˛
¨
(B/µ0 − M) · dl =
Dette gidder vi å styre og herje på med fordi Biot-Savarts
så definerer vi
lov for A er mye enklere enn den tilsvarende loven for B, og
det forenkler en del beregninger.
slik at
3.4
C
C
H=
B
−M
µ0
˛
¨
H · dl =
Ampères lov for konstante strømmer
J · dS,
S
C
J · dS
S
Amperes lov er at sirkluasjonen av flukstetthet rundt en eller på lokal form via Stokes’ teorem,
lukket sløyfe er proporsjonal med strømmen som går gjen∇ × H = J.
nom en flate begrenset av sløyfa,
˛
¨
Merk at det her er B som blir analog med D, mens H er
B · dl = µ0 Itotal gjennom S = µ0
J · dS,
analog med E.
C
S
For lineære, isotrope, homogene materialer er
som kan bevises med Biot-Savarts lov og et argument for
strukturen til A, se JS s. 61. Stokes’ teorem gir ligningen
M = χm H
på differensialform,
så
∇ × B = µ0 J.
B = µ0 (H + M) = µ0 (1 + χm )H = µr µ0 H = µH
6
3.6
Magnetiske materialer
1. Den magnetiske flukstettheten B i en magnetisk krets
tilsvarer den elektriske strømtettheten J i en elektrisk
krets
˜
2. Den magnetiske fluksen ΦS = S B · dS i en magnetisk
˜
krets tilsvarer den elektriske strømmen I = S J · dS i
en elektrisk krets
‚
3. Loven om at S B·dS = 0 i en magnetisk krets tilsvarer
‚
loven om at S J · dS = 0 i en elektrisk krets (men:
den første gjelder alltid, den andre gjelder kun i den
statiske grensen!).
Magnetiske materialer tilhører en av disse kategoriene:
1. Diamagnetiske materialer, der µr < 1, men µ ≈ 1
2. Paramagnetiske materialer, der µr > 1, men µ ≈ 1
3. Ferromagnetiske materialer, som er ikke-lineære, men
som man definerer en slags gjennomsnittlig effektiv
permeabilitet for. Denne er mye større enn 1.
I ferromagnetiske materialer avhenger M av både det
påtrykte feltet og historikken til det påtrykte feltet. Hvis det
påtrykte feltet varierer periodisk vil magnetiseringen følge
en lukket kurve som vi kaller en hysteresekurve, se figur 3.17
i JS.
3.7
4. Ytre H-felt driver en magnetisk flukstetthet (B = µH)
på samme måte som et ytre E-felt driver en elektrisk
strøm (J = σE).
5. Permittiviteten µ i en magnetisk krets tilsvarer konduktiviteten σ i en elektrisk krets.
Grensebetingelser for B og H
Tilsvarende beregninger som da vi regnet grensebetingelser
Flere analogier vil bli synlige i siste kapittel, når vi lar feltene
for D og E gir at
variere med tiden.
B1n = B2n
og
4
H1t − H2t = Js × n̂,
som i spesialtilfellet der det ikke er noen flatestrøm blir til
ELEKTRODYNAMIKK
4.1
H1t = H2t
Emf
Emf, kort for elektromotorisk spenning, er i elektrostatikken
definert som summen av eksterne krefter som virker på ladSe s. 73 i JS.
ninger i en krets k, delt på ladningen. Slike krefter kan være
3.8 Magnetiske kretser
de kjemiske kreftene i et batteri. Emfen er altså
˛
En viktig konsekvens av grensebetingelsene for B og H er at
e = f · dl
magnetiske feltlinjer liker å holde seg inne i materialer med
k
høy µr . At dette er tilfelle kan vi se ved å se på størrelsen til der f er kraften per ladning, slik at e har enhet volt. Vi
B på hver side av en grenseflate mellom et lineært medium har så langt ikke beveget oss bort fra elektrostatikken, og
¸
med µr 1 og vakuum, der det ikke går noen strøm. Hvis
E · dl = 0 gjelder fortsatt. Da er det greit å si at
k
˛
˛
˛
˛
vakuum er medium 1, gir Pythagoras at
e = f · dl + 0 = f · dl + E · dl = (f + E) · dl.
2
2
2
2
2
2
k
k
k
k
|B1 |2 = B1n
+ B1t
= B1n
+ µ20 H1t
= B2n
+ µ20 H2t
Denne definisjonen brukes i elektrodynamikken, og da får den
Tilsvarende utregning for medium 2 blir
med seg bidraget både fra eksterne krefter og de induserte
sirkulerende E-feltene som kan oppstå når B-feltet får lov
2
2
2
2
|B2 |2 = B2n
+ B2t
= B2n
+ µ20 µ2r H2t
til å variere med tiden.
Fordi µr 1, blir |B2 | |B1 | hvis normalkomponentene
4.2 Faradays induksjonslov
ikke er for store. Dette gjør at vi kan anse µ som en slags “konEn sløyfe uten emf flyttes i et tidsuavhengig B-felt. Hvert
duktivitet” for magnetiske kretser, dersom µ 1. I grensen
linjeelement dl forskyves med en lengde dr og har en hastighet
der µ → ∞ blir analogien eksakt fordi permittiviteten er
v = dr
dt . En ladning på linjeelementet vil oppleve en kraft
uendelig mye større inni kretsen enn utenfor (på samme måte
Qv × B slik at kraften per ladning blir f = v × B. Da blir
som konduktiviteten i en leder er uendelig mye større enn konemf
duktiviteten til vakuum, som er 0). De analoge størrelsene
˛
˛
˛
1
er
e=
f · dl =
(v × B) · dl =
(dr × B) · dl
dt C
C
C
7
Siden (a × b) · c = b · (c × a) blir
˛
˛
1
1
e=
B · (dl × dr) = −
B · (dr × dl)
dt C
dt C
som tolkes som at summen av emf, som består av spenning
fra kildekrefter pluss bidrag fra endringer i magnetisk fluks,
driver strøm gjennom resistansen.
4.4
Induktans
dr × dl er endringen av flaten som omsluttes av C i løpet av
Hvis det går strøm i en lukket strømsløyfe (eller en spole
dt (JS figur 4.2), så
eller en tilsvarende komponent), vil denne strømmen generere
¨
d
dΦ
et magnetfelt. Feltlinjene fra dette magnetfeltet passerer et
e=−
B · dS = −
dt S
dt
tverrsnitt som er omsluttet av strømsløyfa; det går en netto
fluks gjennom tverrsnittet. Størrelsen
Dette er Faradays lov.
Φ
Faradays lov på differensialform Hvis C er i ro slik at
L=
I
f = 0 kan vi bruke Stokes teorem til å si at
˛
¨
¨
¨
kalles komponentens selvinduktans. Hvis I endrer seg, vil
d
∂B
e=
E·dl =
∇×E·dS = −
B·dS = −
·dS også Φ endre seg, og da vil det induseres en emf siden
dt S
C
S
S ∂t
(e = − dΦ
dt ) som igjen kan endre strømmen. Selvinduktansen
Siden dette gjelder for alle S må
gir et mål på størrelsen av denne effekten. Selvinduktansen
avhenger kun av µ og geometriske parametre i lineære medier
∂B
∇×E=−
(Φ ∝ B ved definisjon av fluks, B ∝ H i et lineært medium
∂t
og H ∝ I ved Ampères lov). Merk at Φ = N Φtverrsnitt i en
Faradays lov i en spole I en spole med N viklinger, der spole med N viklinger.
fluksen i hver vikling er Φi , blir det indusert en emf for hver
Den tilsvarende effekten som forskjellige strømsløyfer har
PN
i
spenning lik ei = − dΦ
.
Vi
definerer
total
fluks
Φ
=
Φ
på
hverandre
kalles gjensidig induktans, definert som
i
i=1
dt
og den totale emfen blir
Φij
Lij =
,
Ii
N
X
dΦi
dΦ
e=−
=−
der Φij er fluksen gjennom spole j på grunn av strømmen
dt
dt
n=1
Ii i spole i. Den kalles gjensidig induktans fordi Lij = Lji ,
som er nyttig fordi den ene kan være enklere å regne ut enn
Hvis fluksen gjennom hver vikling er den samme, blir
den andre.
dΦi
e = −N
Induktanser forteller oss hvor mye emf som induseres av
dt
en gitt variasjon i strøm, siden
4.3
eij = −
Kretser
dΦij
= −Lij + f racdIi dt.
dt
4.5 Energi og krefter i magnetiske felt
En krets kan bestå av batterier med samlet emf Vb og
samlet resistans R, da er summen av emf
Lagret magnetisk energi Vi kan kombinere lærdommen
˛
fra
de to forrige seksjonene for å se på n kretser med sine
X
e = (fb + fm + E) · dl
egne kilder, induktanser, resistanser og strømmer:
k
dΦj
der fb er kraft per ladning fra batteriene og fm er kraft per
ej + −
= Rj Ij
¸
dt
ladning ved Faradays lov. Siden k (fm + E) · dl = −dΦ/dt
Kilden til spole j leverer en effekt Pj = ej Ij slik at arbeidet
blir
X
dΦ
i løpet av dt som utføres blir
e = Vb + −
dt
dΦ
dAj = ej Ij dt = Rj Ij +
Ij dt = Rj Ij2 dt + Ij dΦj ,
Utenfor resistansen er fb + fm = −E, og inni resistansen er
dt
kildekreftene neglisjerbare sasmmenlignet med det elektriske som vi summerer over alle kretsene for å få det totale arbeidet
´
feltet slik at eR = R E · dl = VR = RI, og dermed er
som utføres av kildene,
X
dΦ
e = Vb + −
= RI,
dt
dA =
n
X
j=1
8
Rj Ij2 dt +
n
X
j=1
Ij dΦj ,
m
Det første leddet er det Joulske tapet i resistansene, så det så x̂ komponenten av F er Fx = − ∂W
∂x . Tilsvarende utregnpostuleres at resten av arbeidet går med til å endre den ing i andre retninger gir at
lagrede energien i systemet. Denne endringen er altså
F = −∇Wm
n
X
dAm =
Ij dΦj
I et system der strømmene holdes konstant av en ekstern
j=1
kilde, vil endringen i magnetisk energi være arbeidet som
Den totale endringen dΦj i Φj er summen av endringer på utføres av kilden minus det som går med til mekanisk arbeid
på grunn av forflytningen,
grunn av gjensidigeinduktanser, så
dΦj =
n
X
dΦij ,
j=1
Siden P hiij
i hvert fall i lineære medier.
dΦij = Lij dIi , så
dAm =
n
X
Ij
j=1
n
X
Lij Ij dIi .
dWm = dAm − F · x̂dx,
Pn Pn
og siden dAm =
i=1
j=1 Ii Ij dLij mens dWm =
Pn Pn
1
I I dL blir dAm = 2dWm slik at −dWm =
= Lij Ii er 2 i=1 j=1 i j ij
−F · x̂dx, og med tilsvarende utregning som forrige avsnitt
blir
F = +∇Wm .
At dette er det samme som i forrige tilfelle med motsatt
fortegn er “nærmest en tilfeldighet” - det finnes ikke noen
“enkel” måte å komme fra det ene resultatet til det andre på.
i=1
Den lagrede magnetiske energien i spolene er
n
Wm =
n
1 XX
Lij Ii Ij .
2 i=1 j=1
4.6
Ladningsbevarelse Loven om ladningsbevarelse kan formuleres som at
˚
‹
d
ρdv,
J · dS = −
dt
v
S
Bevis:


n
n
n
X
X
∂Wm
1 X
=
Lkj Ij +
Lik Ii  =
Lkj Ij
∂Ik
2 j=1
i=1
i=1
så
dAm =
n
X
∂Wm
∂Ik
k=1
der venstresiden er netto strøm ut av S og høyresiden er
minus endringen av ladning innenfor S per tidsenhet. Hvis
volumet ikke endres med tiden gir divergensteoremet at
˚
‹
˚
˚
∂ρ
d
∇ · Jdv =
J · dS = −
ρdv = −
dv,
dt
v
v ∂t
v
S
dIk .
Den totale endringen over tidsintervallet (0, T ) blir
ˆ
T
Am =
0
dAm
dt =
dt
ˆ
T
0
n
X
∂Wm dIk
k=1
∂Ik dt
Forskyvningsstrøm
så siden volumet er vilkårlig blir
dt
∇·J=−
dW
dt
og siden
ˆ
Am =
0
T
=
Pn
∂Wm dIk
k=1 ∂Ik dt dt,
blir
n
∂ρ
∂t
Ampère-Maxwells lov Utregningen over stemmer ikke
med Ampères lov slik den ble formulert i magnetostatikken,
som er at ∇ × H = J, siden vi da får at 0 = ∇ · (∇ × H) =
∇ · J = − ∂ρ
∂t , men dette er ikke nødvendigvis tilfelle i elektrodynamikken. Derfor modifiserer vi Ampères lov. Siden
∇ · J + ∂ρ
∂t = 0 (fra forrige ligning), lar vi dette være divergensen til curlen til H. Gauss’ lov (∇ · D = ρ) gir da
at
∂∇ · D
∂D
=∇· J+
,
∇ · (∇ × H) = ∇ · J +
∂t
∂t
n
dWm
1 XX
dt = Wm (T )−Wm (0) =
Lij Ii Ij
dt
2 i=1 j=1
Så den lagrede magnetiske energien ved tiden t = T er lik arbeidet som har blitt utført av kildene for å endre strømmene
fra 0 til Ii i hver enkelt spole.
Magnetiske krefter I et isolert, tapsfritt system vil
eventuelle magnetiske krefter som systemet utfører, gå på
bekostning av den lagrede magnetiske energien. Hvis den
ene delen flyttes dx i x̂ retning blir altså
og da er det nærliggende å la den modifiserte loven bli
F · x̂dx = −dWm ,
∇×H=J+
9
∂D
,
∂t
∂D
som er Ampère-Maxwells lov.
kalles forskyvn- Justeringstransformasjoner Slik vi har definert dem nå
∂t
ingsstrømtetthet, som er en kilde til magnetisk felt på lik er ikke A og V entydig bestemt; hvis vi gjør transformasjonen
linje med strømtetthet.
A0 = A + ∇f ; V 0 = V − ∂f
∂t , vil vi fortsatt ha at
∇ × A0 = ∇ × A + ∇ × ∇f = ∇ × A + 0 = ∇ × A = B
4.7
Maxwells ligninger
og
Maxwells ligninger på differensialform er
˛
−∇V 0 −
‹
∂B
∂B
⇔
E · dl = −
· dS
∂t
S ∂t
˛C
‹ ∂D
∂D
∇×H=J+
⇔
· dS
H · dl =
J+
∂t
∂t
S
‹C
˚
∇·D=ρ⇔
D · dS =
ρdv
v
‹S
∇·B=0⇔
B · dS = 0
∇×E=−
∂f
∂A ∂∇f
∂A0
= −∇V + ∇
−
−
∂t
∂t
∂t
∂t
∂A
= −∇V −
∂t
=E
∂
∂
siden ∂t
∇f = ∇ ∂t
f (rekkefølgen på partiellderiverte er likegyldig).
En slik transformasjon gjøres for å oppnå Lorenzbetingelsen,
∂V
∇ · A = −µ
∂t
som brukes videre for å utlede hensiktsmessige bølgeligninger.
S
der
D = 0 E + P
B = µ0 (H + M)
Bølgeligninger for potensialene I et lineært, isotropt
og homogent medium der D = E gir Gauss’ lov at
Samtidig gjelder grensebetingelsene for E, D, B og H i
∂A
elektrodynamikken fordi de nye tilleggsleddene blir null for
ρ = ∇ · D = ∇ · E = ∇ −∇V −
∂t
integrasjonssylindre og -sløyfer med neglisjerbar høyde.
∂∇ · A
2
4.8 Lorenzpotensialer
= − ∇ V +
∂t
∂2V
Lorenzpotensialer Siden
2
= − ∇ V − µ 2
∂t
B=∇×A
eller
∂2V
= −ρ/
∂t2
som er en tredimensjonal bølgeligning for V med −ρ/ som
kildeledd.
Tilsvarende (litt mer trøblete, krever litt vektoridentiteter) utregning gir
∂B
∇×E=−
∂t
∇2 V − µ
er
∇×E=−
∂∇ × A
∂A
= −∇ ×
∂t
∂t
og
∂A
∇× E+
=0
∂t
∇2 A − µ
∂2A
= −µJ
∂t2
som er en tredimensjonal bølgeligning for A med −µJ som
Siden E + ∂A
∂t har null curl kan det representeres som et kildeledd.
skalarpotensial,
∂A
Løsning av bølgeligningene Vi begynner med å løse
E+
= −∇V
∂t
ligningen for et område med ladningstetthet lik null unntatt
som for statiske felt reduserer til det vanlige potensialet og en punktladning ρ(t)dv i origo (bidrag fra mange slike løsher generaliseres. Nå kan vi uttrykke feltet ut i fra kun ninger kan så summeres opp fordi bølgeligningen er lineær).
potensialer slik vi gjorde med B,
Unntatt i origo har vi at
E = −∇V −
∂A
.
∂t
∇2 V − µ
10
∂2V
=0
∂t2
I kulekoordinater er
Potensialet fra en romlig fordelt ladning får vi ved å integrere
˚
1 ∂
∂V
1
∂
∂V
1
∂ 2 V opp:
1
ρ(r0 , t − R/c)dv 0
∇2 V = 2
r2
+ 2
sin θ
+ 2 2
2
V (r, r) =
r ∂r
∂r
r sin θ ∂θ
∂θ
r sin θ ∂φ
4π
R
v
der r er observasjonspunktet, r0 er et punkt i kilden og
R = r − r0 er avstanden mellom observasjonspunktet og
kildepunktet. Helt tilsvarende blir
˚
µ
J(r0 , t − R/c)dv 0
A(r, r) =
4π
R
v
siden V = V (r) reduserer dette til
1 ∂
∂V
∇2 V = 2
r2
r ∂r
∂r
Hvis vi så lar
V =
blir
2
U
r
Disse generelle løsningene kalles retarderte potensialer, fordi
punkter lenger vekk fra kilden blir forsinket.
2
∂ U
∂ U
− µ 2 = 0
2
∂r
∂t
som er en endimensjonal bølgeligning med løsning
4.9
En vektoridentitet gir at
U (r, t) = f (t − r/c) + g(t + r/c)
√
der c = 1/ µ. Da blir
V =
Poyntings vektor
−∇ · (E × H) = E · ∇ × H − H · ∇ × E
1
1
f (t − r/c) + g(t + r/c)
r
r
som gir at
∂B
∂D
+H·
−∇ · (E × H) = J · E + E ·
som er summen av henholdsvis en bølge som beveger seg
∂t
∂t
i positiv r-retning og en bølge som beveger seg i negativ
som kan integreres opp og skrives om via divergensteoremet
r-retning, med en amplitude som er proporsjonal med 1/r.
til at
Siden det er ufysisk (bryter kausalitet) at det skulle gå en
‹
˚ ∂D
∂B
bølge innover mot ladningen som genererte bølgen, må det −
(E × H) · dS =
J·E+E·
+H·
dv
∂t
∂t
S
v
andre leddet droppes slik at
De tre leddene i integranden på høyre side er henholdsvis
joulsk effekttap, arbeid som må utføres per tid for å endre
elektrisk felt og arbeid som må utføres per tid for å endre det
denne løsningen må være en generalisering av det statiske
magnetiske feltet. Summen av slik effekt er lik venstresiden,
tilfellet
ρ(t)dv
som tolkes som en “strøm” av effekt inn i S, eller en energiV =
,
4πr
mengde som går inn i S per enhet tid. Da må E × H, som
så
kalles Poyntnings vektor, være en effekttetthet (med enheter
ρ(t − r/c)dv
V =
.
W m−2 ).
4πr
V =
1
f (t − r/c)
r
11