Sykkel med firkanta hjul
Undervisningsopplegg laget av Johan Nygaard
for Vitenfabrikken i Sandnes
Sykkel med firkanta hjul ??
ca 200 m
Gateway Arch, St. Louis
Den hyperbolske cosinus-funksjonen
x
-x
f (x) = (e + e )/2










Snur den opp-ned, og legger til 2 :
f(x) = (ex + e-x)/(-2)  2




P
Q






Nullpunktene P og Q:
•
e x  ex
 2 0
2

e x  e x  2 2  0

(e x ) 2  2 2e x  1  0

ex  2 1 ex  2 1

x  ln( 2  1)  x  ln( 2  1)


2


2





Tangentretning når x=ln( 2 – 1)
x
e  ( e )
e e
y 
0
2
2
x
( 2  1) 
 e ln( 2 1)
y 

2
2  1  ( 2  1)  2


1
2
2
e ln(
2 1)
x
x
1
( 2  1)
2


2


2





Slik triller hjulet:


2

2 2

2

2




Vi må vise at hjul-navets avstand H fra x-aksen
er 2 i en fritt valgt stilling:



.

H


2?



I trekanten TES er TES=90o, TSE=v og ES=1.

C
2
D

S
2
v 
1
B
E
T
A
v

y
P
Q


Tangenten TE har stigningstall y´.
Stigningstallet er også lik tan(v).
Vi får:
e e
tan( v)  y  
2
x
x
e e
TE  ES  tan( v)  tan( v) 
2
x
x

C
2
D

Vi ser at:
H = TS + y
S
2
v 
1
H
B
E
T
A

y
P
Q


e e
 12  
 2
x
TS 
ES  TE
2
2
e 2 x  2e x e  x  e 2 x
 1
4
x



e 2 x  2  e 2 x

2
2

(e x  e  x ) 2
2
e x  e x

2
Dette gir til slutt:

e x  e x  e x  e x
H  TS  y 
 
 2   2
2
 2

som skulle vises!

C
2
D

S
2
v

1
B
E
Er AT like
lang som
buen PT?
T
A
y
 P
Q


Vi finner først AT:
e x  ex 2  e x  ex
AT  AE  TE  1 

2
2
Buen PT kaller vi b. Vi vil først finne buelengdedifferensialet db:

T
db

•P
dy
•

dx

db
dy
dx
Selv om db er buet, kan vi se på dette som
en rettvinklet trekant med kateter dx og dy,
og med hypotenus db.
dy e x  e  x

Vi har: y 
dx
2
e x  e x
som gir: dy 
dx
2
Pytagoras’ setning gir deretter:
db  dx  dy
2
e e
 dx  
 2
x
2
2
x
2

 dx 2

(e x  e  x ) 2
1
4  e 2 x  2  e  2 x dx
 1
dx 
2
4
1 x
 (e  e  x )dx
2
Deretter integrerer vi for å finne hele buen b:
b

x
1 x x
1 x
b   db  
(e  e )dx  e  e  x
2
2
0
ln( 2 1)
1 x
1
x
 (e  e )  
2
2



x
ln( 2 1)
1 
 1  x x

2 1 
  e  e  2 1
2 1
2 1 2 
1
x
x

1 x
2

1
2

e

e
 
  e  e  x  2  1 
2
2
1 
Dersom man bruker passende stor del av
kjedekurven som veibane, vil alle regulære
polygoner (bortsett fra trekanten)
kunne brukes som sykkelhjul.
Oppgave: Vis at en regulær sekskant med side
2 3
vil kunne brukes som sykkelhjul når
s
3
banen er: y  e x  e  x  2 3
2
3
s
2 3
3
y

a
H=y+h
h
y
x


