Fysikk + Matematikk
Undervisningsopplegg laget av Johan Nygaard
for Vitenfabrikken i Sandnes
=
Først litt Fysikk …..
Hva er en bølgelengde?
En bølgelengde (1 ):
Stående bølge i en streng
En hel svingning:


Repetisjon:


lengden av strengen = 1 
Antall svingninger pr sekund
kalles
Frekvensen
Frekvensen måles i Hertz (Hz)
Det oppstår stående bølger
(resonans-svingninger) i strengen
når den påvirkes av en frekvens
som er slik at strengens lengde
blir lik
et helt antall halve bølgelengder.
Tacoma bridge, november 1940
Bølgelengden og Frekvensen
er omvendt proporsjonale.
Det betyr:
Dersom Frekvensen skal øke til det dobbelte
må Bølgelengden reduseres til det halve.
Dersom Frekvensen skal øke til det tredobbelte
må Bølgelengden reduseres til en tredjepart av
den opprinnelige bølgelengden.
osv …..
Spille en tone:
Når vi spiller en tone på et instrument,
hører vi bare denne ene tonen.
Men denne tonen består av
en grunntone og mange overtoner.
Grunn-tone og overtoner
Dette kalles naturtone-rekka

Grunntonen:
1. overtone:
2. overtone:
3. overtone:
…. osv

Strengen er 0,5 
Strengen er 1  (frekvensen dobles)
Strengen er 1,5  (frekvensen tredobles)
Strengen er 2  (frekvensen firedobles)
Når vi spiller en tone, vil strengen svinge med
både grunntone og mange overtoner samtidig:


Grunntonen alene
Grunntone + 1. overtone
Grunntone + 1. overtone + 2. overtone
Overtonene er med på å bestemme instrumentets klangfarge.
Spille forskjellige toner:
Forskjellige toner får vi ved å
endre på lengden av strengen.
Da endrer vi bølgelengden og
frekvensen, og dermed får vi
fram forskjellige toner.
Strengens lengde avtar  Bølgelengden avtar.
Dermed øker frekvensen  vi får en høyere tone.
Pytagoreerne oppdaget at tonene vil lyde harmonisk
dersom vi avkorter strengens lengde til brøkdeler som
for eksempel: 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 8/9.
L
1· L
4/5· L
2/3· L
1/2· L
c
d
e
f
g
0ktav
a
h c´
d´ e´ f´
g´ a´ h´ c2
0ktav
Nå litt matematikk …..
Grunntone

Naturtone-rekka
c d e f g a h c´ d´ e´ f´ g´ a´ h´ c2 d2 e2 f2 g2 a2 h2 c3 ...
1
2
3
4
5
6 (7) 8
132 Hz
198 Hz
0ktav
264
396
528
660
792
1056
Kvint
Kvart
Kvint
Kvart
3/2
4/3
3/2
4/3
Da kan vi finne g også i den første oktaven:
132*3/2 = 198 Hz
Grunntone

Naturtone-rekka
c d e f g a h c´ d´ e´ f´ g´ a´ h´ c2 d2 e2 f2 g2 a2 h2 c3 ...
1
2
3
4
5
6 (7) 8
132 Hz
198
0ktav
264
330 396
Kvint
528
Kvart
660
792
Kvint
Stor
ters
Liten
ters
5/4
6/5
1056
Kvart
Da kan vi finne e i de andre oktavene også:
264*5/4 = 330 Hz
132*5/4 = 165 Hz
Tone-intervallene i en oktav
c
d
e
f
g
a
h c’
c–d
c–e
c–f
c–g
c–a
c–h
c – c´
1:5/4 stor ters
1:3/2 kvint
1:2
oktav
Akkord: Tre (eller flere) toner på en gang
C-dur-treklang :
c-e-g
Naturtone-rekka (fortsettelse)
… c3
8
d3
9
e3
10
1056
1188
1320
f3
(11)
g3
12
1584
0ktav
Stor sekund
Stor septim
a3
(13,14)
h3
15
1980
c4 …
16
2112
Tone-intervallene i en oktav
c
d
e
f
g
a
h c’
c–d
c–e
c–f
c–g
c–a
c–h
c – c´
1:9/8 stor sekund
1:5/4 stor ters
1:3/2 kvint
1:15/8 stor septim
1:2
oktav
Grunntone

Naturtone-rekka
c d e f g a h c´ d´ e´ f´ g´ a´ h´ c2 d2 e2 f2 g2 a2 h2 c3 ...
1
2
3
4
5
6 (7) 8
132 Hz
264
0ktav
396
Kvint
528
Kvart
660
792
Kvint
Stor
ters
1056
Kvart
Liten
ters
Regneregel: Summer intervaller, multipliser brøker
Kvint + Kvart = (3/2)  (4/3) = 12/6 = 2/1 (oktav)
Stor ters + Liten ters = (5/4)(6/5) = 3/2 (kvint)
Naturtone-rekka
… c3
8
d3
9
e3
10
f3
1056
1188
1320
(11)
g3
12
1584
a3
(13,14)
h3
15
1980
c4 …
16
2112
0ktav
Stor sekund
Stor septim
Kvint
Kvart
4/3
Stor sekst
Liten ters
6/5
Stor sekst = x
 x  (6/5) = 2  x = 5/3
Vi har fått en renstemt skala:
c
d
e
f
g
a
h c’
c–d
c–e
c–f
c–g
c–a
c–h
c – c´
1:9/8 stor sekund
1:5/4 stor ters
1:4/3 kvart
1:3/2 kvint
1:5/3 stor sekst
1:15/8 stor septim
1:2
oktav
Utrolig enkle brøker
gir fin
Den renstemte skalaen
Beregn de andre frekvensene:
cdefgahc´-
264 Hz
264  9/8 = 297 Hz
264  5/4 = 330 Hz
264  4/3 = 352 Hz
264  3/2 = 396 Hz
264  5/3 = 440 Hz
264  15/8 = 495 Hz
264  2 = 528 Hz
Beregning av streng-lengdene:
For en streng på 0,72 meter får vi:
cdefgahc’-
hele strengen på 0,72 m
0,72 m · 8/9 = 0,64 m
0,72 m  4/5 = 0,58 m
0,72 m  3/4 = 0,54 m
0,72 m  2/3 = 0,48 m
0,72 m  3/5 = 0,43 m
0,72 m 8/15 = 0,38 m
0,72 m  1/2 = 0,36 m
Vi kan også få resonanssvingninger i lufta inne i et rør:
I dette eksempelet er lengden av luftsøylen
lik 7 halve bølgelengder.
I utstillingen finner du en
Marimba.
Du kan måle lengden på rørene.
Hva finner du ut?
c
c'
Lisa gikk til skolen:
•
•
•
•
C
A
F
D
D E F G G
A A A G
F F F E E
D D D C
Gubben Noah:
• CCCE DDDF EE DD C
• EEEEGF DDDDFE
• CCCE DDDF EE DD C
Twinkle, twinkle little star:
• CCGGAAG FFEEDDC
• GGFFEED GGFFEED
• CCGGAAG FFEEDDC
Halvtone-intervaller
c
d
e
f
g
a
h c’
En oktav består av 12 halvtone-intervaller:
Fra hvit til svart tangent: 5 stk
fra svart til hvit tangent:
5 stk
samt e – f
2 stk
og h – c’
Forholdet mellom frekvensen til en tone og foregående tone:
c-d: (9/8) : 1
d-e: (5/4) : (9/8)
e-f: (4/3) : (5/4)
f-g: (3/2) : (4/3)
g-a: (5/3) : (3/2)
a-h: (15/8) : (5/3)
h-c’: 2 : (15/8)
= 9/8
= 10/9
= 16/15
= 9/8
= 10/9
= 9/8
= 16/15
Vi ser at de to halvtone-intervallene e-f og h-c’ begge er lik 16/15.
Men det er to ulike heltone-intervaller: 9/8 og 10/9.
Dette gjør det vanskelig å skifte toneart, modulere,
for eksempel fra dur til moll.
Den tempererte skalaen
I den tempererte skalaen danner alle
halvtone-intervallene en geometrisk tallfølge.
Da det er 12 halvtone-intervaller i en
oktav, får vi:
k = 12 2 (≈1,0595)
ck3
ck8
ck6
ck
ck10
c’
c
ck2
ck5
ck4
ck9
ck7
ck12
ck11
Den tempererte skalaen
Frekvensene er ledd i en geometrisk tallfølge med k = 12 2
Forholdet mellom frekvensene:
c–d
c–e
c–f
c–g
c–a
c–h
c – c´
k2 = (12 2 )2
k4 = (12 2 )4
k5 = (12 2 )5
k7 = (12 2 )7
k9 = (12 2 )9
k11 = ( 12 2 )11
k, k3, k6, k8 og k10 er
”de svarte tangentene”.
k12 = (12 2 )12 = 2
Frekvensene i temperert skala
Vi velger a = 440 Hz som utgangspunkt (k= 12 2 )
c=
d=
e=
f=
g=
a=
h=
c´=
440 Hz / k9
440 Hz / k7
440 Hz / k5
440 Hz / k4
= 261,63 Hz
= 293,66 Hz
= 329,63 Hz
= 349,23 Hz
440 Hz / k2 = 392,00 Hz
440 Hz
440 Hz  k2 = 493,88 Hz
440 Hz  k3 = 523,25 Hz
Frekvensene i temperert og renstemt
skala sammenlignet
Tone
Temperert
Renstemt
c
261,63
264
d
293,66
297
e
329,63
330
f
349,23
352
g
392,00
396
a
440,00
440
h
493,88
495
c’
523,25
528
Slik lyder skalaene:
Så
denden
renstemte
skalaen:
Først
tempererte
skalaen:
c
d
e
f
g
a
h c’
Til slutt presenteres noen av
leddene i en geometrisk tallfølge:
Slutt