Sannsynlighetsregning
Sannsynlighetsregning
6.1 Forsøk og simuleringer
1
6.2 Sannsynlighet
3
6.3 Sum av sannsynligheter
5
6.4 Multiplikasjonsprinsippet
9
6.5 Uavhengige hendinger
10
6.6 Avhengige hendinger
15
Symboler, formler og eksempler i sannsynlighet
18
Eksamensoppgaver
22
Læreplanmål for 2P-Y :
ο·
lage eksempler og simuleringer av tilfeldige hendinger
og gjøre rede for begrepet sannsynlighet
ο·
beregne sannsynlighet ved å telle opp gunstige og mulige utfall,
systematisere opptellinger ved hjelp av krysstabeller, venndiagram og valgtre
og bruke addisjonssetningen og produktsetningen i praktiske sammenhenger
6.1 Forsøk og simuleringer
Oppgave 6.10
I perioden fra 1950 til 2012 ble det født 3 686 330 barn i Norge.
Det ble født 1 791 358 jenter og 1 894 972 gutter.
a) Hva er etter dette sannsynligheten for at et barn som blir født er ei jente?
π΄ππ‘πππ ππππ‘ππ πøππ‘ 1 791 358
=
β 0,486
π΄ππ‘πππ ππππ πøππ‘
3 686 330
π(ππππ‘ππ) β 0,486
b) Hva er sannsynligheten for at det er en gutt?
π΄ππ‘πππ ππ’π‘π‘ππ πøππ‘ 1 894 972
=
β 0,514
π΄ππ‘πππ ππππ πøππ‘
3 686 330
π(ππ’π‘π‘ππ) β 0,514
Oppgave 6.12
a) Simuler 6 000 terningkast digitalt.
Åpne CAS i GeoGebra, skriv inn uttrykket og trykk enter:
Sum[Dersom[TilfeldigMellom[1,6]=6,1,0],x,1,6000]
=6 - antall 6-er 6000 - antall kast
b) Hvor mange seksere fikk du?
Jeg utførte forsøket 10 ganger og fikk:
1 032, 985, 1 053, 1 051, 1 022, 1 014, 952, 1 000, 1 024, 1 031. I gjennomsnitt blir det: 1 016
Hvis alt var perfekt skulle vi fått 1 000 hver gang da:
6 000
6
c) Hvor stor andel av kastene gav sekser?
1 016
6 000
β 0,169
π(π πππ πππ) β 0,169
1
= 1 000
Oppgave 6.13
a) Finn ut hvordan du kan simulere myntkast digitalt.
Her er en ferdiglaget simulering av myntkast i GeoGebra: http://tube.geogebra.org/m/qkQI6g2U
Legg merke til at når simuleringen utføres mange ganger nærmer vi oss like mange krone som mynt.
I virkeligheten er nok dette ikke riktig da mynten har ulike volum på de to sidene (myntpreget er
kraftigere på den ene siden).
Sum[Dersom[TilfeldigMellom[1,2]=1,1,0],x,1,2000]
=1 Vi ønsker svaret i antall 1-er (La oss her si at "1" er krone) 2000 - antall myntkast som utføreres
b) Simuler 2 000 myntkast og finn ut hvor mange av kastene som gav krone.
Åpne CAS i GeoGebra, skriv inn uttrykket fra oppgave a) og trykk enter:
Jeg utførte forsøket 10 ganger og fikk: 1 043, 973, 968, 1 001, 988, 987, 987, 1 042, 994, 972
I gjennomsnitt blir det: 996
Hvis alt var perfekt skulle vi fått 1000 hver gang da:
2 000
2
c) Hvor stor andel av kastene gav krone?
996
β 0,498
2 000
π(πππππ) β 0,498
2
= 1 000
6.2 Sannsynlighet
Oppgave 6.20
Vi kaster en terning.
a) Hvor mange mulige utfall er det?
Seks mulige utfall : ener, toer, treer, firer, femer eller sekser.
b) Finn sannsynligheten for å få en treer.
1
1
π(ππ‘ π’π‘ππππ) = πππ‘πππππ‘ ππ’ππππ π’π‘ππππ
π(π‘ππππ) = 6
Oppgave 6.21
I klassen til Mia er det i alt 15 elever. Læreren trekker tilfeldig ut en elev som hun vil høre i leksa.
a) Hvor mange mulige utfall er det?
Det er 15 elever og bare en blir trukket ut. 15 mulige utfall.
b) Hvor stor sannsynlighet er det for at Mia blir hørt?
π(πππ ππππ βøππ‘) =
π΄ππ‘πππ πππβ²π
1
=
π΄ππ‘πππ ππππ£ππ 15
Oppgave 6.22
I en kartong med 12 egg er det ett egg som er råttent. Vi velger tilfeldig ett av eggene.
a) Hvor mange mulige utfall har vi?
12 egg gir 12 mulige utfall.
b) Finn sannsynligheten for at vi trekker det råtne egget.
π(πåπ‘πππ‘ πππ) =
π΄ππ‘πππ πåπ‘ππ πππ
1
=
π΄ππ‘πππ πππ
12
3
Oppgave 6.23
I et lotteri er det igjen 50 lodd og 7 gevinster.
a) Finn sannsynligheten for å vinne når du kjøper ett lodd.
Gunstige utfall som gir gevinst : 7
π(πππ£πππ π‘) =
π΄ππ‘πππ ππ’ππ π‘πππ π’π‘ππππ
7
=
π΄ππ‘πππ ππ’ππππ π’π‘ππππ
50
b) Finn sannsynligheten for ikke å vinne.
Gunstige utfall som ikke gir gevinst : 50 β 7 = 43
π(ππππ πππ£πππ π‘) =
π΄ππ‘πππ ππ’ππ π‘πππ π’π‘ππππ
π΄ππ‘πππ ππ’ππππ π’π‘ππππ
43
7
Oppgave 6.24
I klassen til Mia er det 15 elever. Av dem er det 10 jenter.
Læreren trekker tilfeldig en elev som hun vil høre i lekse.
Finn sannsynligheten for at det blir ei jente.
π(ππππ‘π) =
π΄ππ‘πππ ππ’ππ π‘πππ π’π‘ππππ 10 2
=
=
π΄ππ‘πππ ππ’ππππ π’π‘ππππ
15 3
Oppgave 6.25
Vi trekker et kort fra en vanlig kortstokk med 52 kort som er godt blandet.
a) Hvor mange ruter er det stokken?
Det er 13 ruter (ο¨) i kortstokken.
b) Finn sannsynligheten for at vi trekker en ruter.
π(ππ’π‘ππ) =
43
= 50 eller (ππππ πππ£πππ π‘) = 1 β π(πππ£πππ‘) = 1 β 50 = 50
π΄ππ‘πππ ππ’ππ π‘πππ π’π‘ππππ 13 1
=
=
π΄ππ‘πππ ππ’ππππ π’π‘ππππ
52 4
c) Hvor mange honnørkort er det i stokken?
(Et honnørkort er ess, konge, dame eller knekt.)
Vi har fire ulike farger (ο©οͺο¨ο§) og fire ulike typer honnørkort : 4 β 4 = 16 βπππøπππππ‘
4
d) Finn sannsynligheten for at vi trekker et honnørkort.
π(βπππøπππππ‘) =
π΄ππ‘πππ ππ’ππ π‘πππ π’π‘ππππ 16
4
=
=
π΄ππ‘πππ ππ’ππππ π’π‘ππππ
52 13
6.3 Sum av sannsynligheter
Oppgave 6.30
I et lotteri med 10 000 lodd er det to typer gevinster.
1
40
av loddene gir gevinst A, og
π΄
π΅
π
Gevinst A
Gevinst B
Vinne en gevinst
π
βͺ
Ikke vinne en gevinst
"union" (DEN ELLER DEN)
1
100
av loddene gir gevinst B.
a) Finn sannsynligheten for å vinne en av gevinstene når vi kjøper ett lodd.
π(π) = π(π΄ βͺ π΅) = π(π΄) + π(π΅) =
1
1
5
2
7
+
=
+
=
40 100 200 200 200
b) Finn sannsynligheten for ikke å vinne.
π(π βͺ π) = 1 ο
π(π) = 1 β π(π) = 1 β
7
200
ALLE LODD = 1
V
V
5
=
193
200
Oppgave 6.31
I et lotteri med 2 000 lodd er det tre typer gevinster.
1
20
1
1
av loddene gir gevinst A, 50 gir gevinst B, og 100 av loddene gir gevinst C.
π΄
π΅
πΆ
π
Gevinst A
Gevinst B
Gevinst C
Vinne en gevinst
π
βͺ
Ikke vinne en gevinst
"union" (DEN ELLER DEN)
a) Finn sannsynligheten for å vinne en av gevinstene når vi kjøper ett lodd.
π(π) = π(π΄ βͺ π΅ βͺ πΆ) = π(π΄) + π(π΅) + π(πΆ) =
1
1
1
5
2
1
8
2
+
+
=
+
+
=
=
20 50 100 100 100 100 100 25
b) Finn sannsynligheten for ikke å vinne.
π(π βͺ π) = 1 ο
2
23
π(π) = 1 β π(π) = 1 β 25 = 25
Oppgave 6.32
Sannsynligheten for at ei tilfeldig valgt jente har hatt kyssesyke, er 0,20.
Sannsynligheten for at hun har hatt sykdommen mykoplasma, er 0,15.
Sannsynligheten for at hun har hatt begge sykdommene, er 0,08.
a) Finn sannsynligheten for at hun har hatt minst én av sykdommene.
πΎ
π
πΎπ
π(πΎ β© π)
β©
βͺ
Kyssesyke (infeksjon som forårsakes av Epstein-Barr viruset)
Mykoplasma (bakterier uten stiv cellevegg som forårsaker lungebetennelse)
Både kyssesyke og mykoplasma
Har hatt begge sykdommene
0,20
0,08
"snitt" (DEN OG DEN)
"union" (DEN ELLER DEN)
0,15
π(πΎ βͺ π) = π(πΎ) + π(π) β π(πΎ β© π) = 0,20 + 0,15 β 0,08 = 0,27
b) Finn sannsynligheten for at hun ikke har hatt noen av dem.
π(πΎ βͺ π) = 1 β π(πΎ βͺ π) = 1 β 0,27 = 0,73
K οο M
0,73
K οο M
6
ο
0,27
Oppgave 6.33
På skolen til Nina er det 450 elever. Det er 50 elever som er skiløpere, og 80 elever
som er fotballspillere. Det er 30 elever som både går på ski og spiller fotball.
a) Lag en krysstabell som viser situasjonen.
Fotballspillere
IKKE fotballspiller
Sum
Skiløpere
30
20
50
IKKE skiløper
50
350
400
Sum
80
370
450
De grønne fete tallene er hentet fra oppgaveteksten.
Legg merke til at alle rader er summert til høyre og alle kolonner er summert nede.
b) Hvor mange elever er det som går på ski eller spiller fotball?
A
β© : "snitt"
A οο B
B
ο
Ski
30
Fotball
ο
50
30
80
(DEN OG DEN)
Venndiagrammet til høyre viser at det er 50 som spiller fotball minus 30 som også går på ski
og at det er 80 som går på ski minus 30 som også spiller fotball. 20 + 30 + 50 = 100 .
Det er ππ + ππ + ππ = 100 ππππ£ππ som går på ski eller spiller fotball (eller begge deler).
c) Finn sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev går på ski eller spiller fotball.
π(π‘ππππππππ π£ππππ‘ ππππ£ πåπ πå π ππ πππππ π ππππππ πππ‘ππππ) =
100 2
=
450 9
Oppgave 6.34
I en klasse er det 30 elever. En dag fikk de tilbake prøver i norsk og matematikk. 6 elever fikk karakteren
5 i matematikk, og 7 fikk karakteren 5 i norsk. Av disse fikk 3 elever 5 i begge fagene.
a) Lag et venndiagram som viser fordelingen av karakteren 5 på de to fagene.
β© : "snitt"
A
(DEN OG DEN)
A οο B
B
ο
Matematikk
Norsk
3
7
ο
6
3
7
b) Finn sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev fikk 5 i minst ett av fagene.
Det er 3 + 3 + 4 = 10 ππππ£ππ som karakteren 5 i matematikk eller norsk (eller begge deler).
π(πππ ππ‘ ππ ππππ£ ππππ 5 π ππππ π‘ ππ‘π‘ ππ£ ππππππ) =
10 1
=
39 3
c) Finn sannsynligheten for at eleven ikke fikk 5 i noen av fagene.
π(ππππππ‘ππππ 5) = 1 β π(ππππππ‘ππππ 5) = 1 β
1 2
=
3 3
Oppgave 6.35
På slappfisken videregående skole er det innført leksehøring i alle fag.
Hver dag blir noen elever trukket ut for høring.
Anne har funnet ut at sannsynligheten for å bli hørt i engelsk en tilfeldig valgt dag er 0,3.
Sannsynligheten for å bli hørt i naturfag er 0,2.
Sannsynligheten for å bli hørt i begge fagene er 0,05.
Anne innfører disse hendingene:
π΄ : Jeg blir hørt i engelsk
π΅ : Jeg blir hørt i naturfag
β© : "snitt"
βͺ : "union"
(DEN OG DEN)
(DEN ELLER DEN)
a) Hva er π(π΄), π(π΅) og π(π΄ β© π΅)?
π(π΄) = 0,3
A
π(π΅) = 0,2
A οο B
B
ο
π(π΄ β© π΅) = 0,05
Engelsk
0,05
Naturfag
ο
b) Finn π(π΄ βͺ π΅) . Forklar med ord hva du nå har funnet.
π(π΄ βͺ π΅) = π(π΄) + π(π΅) β π(π΄ β© π΅) = 0,3 + 0,2 β 0,05 = 0,45
Sannsynligheten for å blir hørt i enten engelsk eller naturfag er 0,45.
8
0,3
0,05
0,2
6.4 Multiplikasjonsprinsippet
Oppgave 6.40
På et spørreskjema er det to spørsmål. Til det første spørsmålet er det satt opp tre svaralternativer,
og til det andre spørsmålet er det satt opp fem svaralternativer.
Hvor mange svaralternativer fins det?
3 β 5 = 15 π π£πππππ‘πππππ‘ππ£ππ
Oppgave 6.41
Menyen på Ronnys kafé forteller at vi kan velge mellom fire forretter, seks hovedretter
og fem desserter. Kari skal spise en forrett, en hovedrett og en dessert.
Hvor mange forskjellige kombinasjoner har hun å velge mellom?
4 β 6 β 5 = 120 π’ππππ ππππππππ πππππ
Oppgave 6.42
I denne oppgaven regner vi at jente og gutt er like sannsynlig utfall ved en fødsel.
a) Hvor mange kombinasjoner av gutt og jente er det når vi får to barn?
Husk at det her er spørsmål om rekkefølgen.
22 = 4 π’ππππ ππππππππ πππππ
"ππ’π‘π‘ β ππ’π‘π‘"
"ππ’π‘π‘ β ππππ‘π"
"ππππ‘π β ππ’π‘π‘"
"ππππ‘π β ππππ‘π"
b) Finn sannsynligheten for å få to jenter.
"ππππ‘π β ππππ‘π"
πππ‘πππ ππππππππ πππππ
=
1
4
1 = π·ππ‘ ππ ππ’π éπ ππ’πππβππ‘ π‘ππ å πå π‘π ππππ‘ππ
c) Hvor mange kombinasjoner av gutt og jente er det når vi får tre barn?
23 = 8 π’ππππ ππππππππ πππππ
2 = ππ’π‘π‘ πππππ ππππ‘π
3 = πππ‘πππ ππππ
d) Finn sannsynligheten for å få tre jenter.
ππππ‘π β ππππ‘π β ππππ‘π
πππ‘πππ ππππππππ πππππ
1
=8
1 = π·ππ‘ ππ ππ’π éπ ππ’πππβππ‘ π‘ππ å πå π‘ππ ππππ‘ππ
9
Oppgave 6.43
Vi kaster en terning fire ganger.
a) Hvor mange mulige utfall er det?
64 = 1 296
Éπ π‘ππππππ βππ π πππ π ππππ (6) ππ πππππ ππππ πππ π‘ππ‘ (4) ππππππ
b) Finn sannsynligheten for å få sekser alle de fire gangene.
π΄ππ‘πππ π πππ πππ
1
=
π΄ππ‘πππ ππ’ππππ π’π‘ππππ 1 296
Oppgave 6.44
Vi kaster en mynt fem ganger.
Finn sannsynligheten for at vi får krone alle fem gangene.
π΄ππ‘πππ ππ’ππππ π’π‘ππππ βΆ 25 = 32
πππππ π¦ππππβππ‘ππ πππ å πå πππππ ππππ πππ πππππππ βΆ
1
32
6.5 Uavhengige hendinger
Oppgave 6.50
Vi kaster en tikrone to ganger og vil finne sannsynligheten for kombinasjoner av mynt og krone.
a) Lag et valgtre som viser kombinasjonene.
1
2
1
2
M
K
1
2
K
1
2
1
2
M
1
2
M
K
b) Finn sannsynligheten for å få krone begge gangene.
1 1
1
π(πππππ πππππ πππππππ) = π(πΎ β© πΎ) = 2 β 2 = 4
Vi følger den ubrutte blå linjen og
multipliserer verdiene langs denne linja.
10
c) Finn sannsynligheten for å få mynt begge gangene.
1 1
2 2
π(ππ¦ππ‘ πππππ πππππππ) = π(π β© π) = β =
1
4
Vi følger den hele rød linjen og
multipliserer verdiene langs denne linja.
d) Finn sannsynligheten for å få én krone og én mynt.
1 1
1 1
1
1
2
1
π(πΎ β© π) βͺ (πΎ β© π) = (2 β 2) + (2 β 2) = 4 + 4 = 4 = 2
10
10
10
10
Vi legger sammen de to multiplikasjonene
langs linjene for krone og mynt.
Oppgave 6.51
Vi kaster en terning to ganger og vil finne sannsynligheten for seksere.
a) Lag et valgtre med mulighetene.
1
6
5
6
6
6
1
6
5
6
6
1
6
6
5
6
6
6
b) Finn sannsynligheten for å få to seksere.
1 1
6 6
π( π‘π π πππ πππ) = β =
1
36
Vi følger den ubrutte oransje linjen og
multipliserer verdiene langs denne linja.
c) Finn sannsynligheten for å ikke få noen seksere.
5 5
25
π( πππππ π πππ πππ) = 6 β 6 = 36
Vi følger den ubrutte lyse blå linjen og
multipliserer verdiene langs linja.
d) Finn sannsynligheten for én sekser.
1 5
1 5
5
5
10
5
π( éπ π πππ πππ) = (6 β 6) + (6 β 6) = 36 + 36 = 36 = 18
11
12
Oppgave 6.52
I et lotteri er sannsynligheten
1
20
for å vinne på et tilfeldig valgt lodd. Vi kjøper to lodd.
1
20
19
20
V
V
1
20
19
20
V
1
20
V
19
20
V
V
a) Finn sannsynligheten for å vinne på begge loddene.
1
1
1
π(π£ππππ πå πππππ ππππ) = π(π β© π) = 20 β 20 = 400
Vi følger den ubrutte grønne linjen og
multipliserer verdiene langs linja.
b) Finn sannsynligheten for å ikke vinne på noen av loddene.
19 19
361
π(ππππ π£ππππ) = π(π β© π) = 20 β 20 = 400
Vi følger den ubrutte røde linjen og
multipliserer verdiene langs linja.
c) Finn sannsynligheten for å få én gevinst.
Én gevinst og bare én gevinst!
1
19
1
19
19
19
38
19
π()(éπ πππ£πππ π‘) = ((π β© π) βͺ (π β© π)) = (20 β 20) + (20 β 20) = 400 + 400 = 400 = 200
Oppgave 6.53
Vi kaster tre terninger.
Vi går ut ifra at terningene har seks sider.
a) Finn sannsynligheten for at alle terningene viser partall.
3 3 3
27
1
π(ππππ‘πππ) = 6 β 6 β 6 = 216 = 8
b) Finn sannsynligheten for at det blir ingen seksere.
5 5 5
125
π(πππππ π πππ πππ) = 6 β 6 β 6 = 216
13
c) Finn sannsynligheten for å få minst én sekser.
π(ππππ π‘ éπ π πππ ππ) = 1 β π(πππππ π πππ πππ) = 1 β
125
91
=
216 216
Oppgave 6.54
Et ektepar har tre barn. I denne oppgaven er sannsynligheten 0,514 for å få en gutt.
a) Lag et valgtre som viser alternativene.
0,4
86
14
0,5
J
0,5
14
J
0,51
4
0,51
4
0,51
4
G
J
G
2. Barn
6
0,48
G
J
6
0,48
J
G
6
0,48
G
J
6
0,48
0,51
4
G
1. Barn
86
0,4
86
0,4
0,5
14
G
J
3. Barn
b) Finn sannsynligheten for at alle tre er gutter.
π(π‘ππ ππ’π‘π‘ππ) = (πΊ β© πΊ β© πΊ) = 0,514 β 0,514 β 0,514 = 0,5143 β 0,1358 β 0,136
c) Finn sannsynligheten for at de har to gutter og ei jente.
π(π‘ππ ππ’π‘π‘ππ) = (πΊ β© πΊ β© π½) βͺ (πΊ β© π½ β© πΊ) βͺ (π½ β© πΊ β© πΊ) =
(0,514 β 0,514 β 0,486) + (0,514 β 0,486 β 0,514) + (0,486 β 0,514 β 0,514) β 0,12843 β 0,3852 β 0,385
d) Finn sannsynligheten for at de har minst ei jente.
π((πΊ β© πΊ β© π½) βͺ (πΊ β© π½ β© πΊ) βͺ (πΊ β© π½ β© π½) βͺ (π½ β© πΊ β© πΊ) βͺ (π½ β© πΊ β© π½) βͺ (π½ β© π½ β© πΊ) βͺ (π½ β© π½ β© π½)) =
(0,514 β 0,514 β 0,486) + (0,514 β 0,486 β 0,514) + (0,514 β 0,486 β 0,486) + (0,486 β 0,514 β 0,514) +
(0,486 β 0,514 β 0,486) + (0,486 β 0,486 β 0,514) + (0,486 β 0,486 β 0,486) β 0,8642 β 0,864
eller . . .
π(ππππ π‘ ππ ππππ‘π) = 1 β π(π‘ππ ππ’π‘π‘ππ) = 1 β 0,136 = 0,864
14
Oppgave 6.55
I et lotteri er sannsynligheten for å vinne på et tilfeldig valgt lodd lik 0,2. Vi kjøper tre tilfeldige valgte
lodd.
a) Lag et valgtre.
0,8
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
V
V
V
0,8
V
2. Lodd
V
0,8
V
0,8
0,8
0,2
V
V
V
0,8
V
V
1. Lodd
V
0,8
0,2
V
V
3. Lodd
b) Finn sannsynligheten for at vi vinner på alle loddene.
π(π β© π β© π) = 0,2 β 0,2 β 0,2 = 0,23 = 0,008
c) Finn sannsynligheten for at vi vinner på nøyaktig ett lodd.
π ((π β© π β© π) βͺ (π β© π β© π) βͺ (π β© π β© π)) = (0,2 β 0,8 β 0,8) + (0,8 β 0,2 β 0,8) + (0,8 β 0,8 β 0,2) = 0,1283 =
= 0,384
d) Finn sannsynligheten for at vi ikke vinner.
π(π β© π β© π) = 0,8 β 0,8 β 0,8 = 0,83 = 0,512
e) Finn sannsynligheten for at vi vinner på minst ett lodd.
π ((π β© π β© π) βͺ (π β© π β© π) βͺ (π β© π β© π) βͺ (π β© π β© π) βͺ (π β© π β© π) βͺ (π β© π β© π) βͺ (π β© π β© π)) =
(0,2 β 0,8 β 0,8) + (0,8 β 0,2 β 0,8) + (0,8 β 0,8 β 0,2) + (0,8 β 0,2 β 0,2) + (0,2 β 0,8 β 0,2) + (0,2 β 0,2 β 0,8) + (0,2 β 0,2 β 0,2) =
0,488
eller . . .
π(π£πππππ πå ππππ π‘ ππ‘π‘ ππππ) = 1 β π(ππππ π£πππππ) = 1 β 0,512 = 0,488
15
6.6 Avhengige hendinger
Oppgave 6.60
I et lotteri er det tjue lodd igjen. Det er gevinst på fire av disse loddene. Vi kjøper to lodd.
a) Finn sannsynligheten for at vi vinner på begge loddene.
4
3
β
20 19
12
3
= 380 = 95
Først er det 4 vinnerlodd og 20 lodd totalt.
Så er det igjen 19 lodd der 3 er vinnerlodd.
Vi multipliserer disse sannsynlighetene og forkorter svaret.
b) Finn sannsynligheten for at vi ikke vinner på noen lodd.
16 15
β
20 19
240
12
= 380 = 19
Først er det 16 lodd uten gevinst av 20 lodd totalt.
Så er det igjen 19 lodd hvorav 15 uten gevinst.
Vi multipliserer disse sannsynlighetene og forkorter svaret.
c) Finn sannsynligheten for at vi vinner på minst ett lodd.
π(π£πππππ πå ππππ π‘ ππ‘π‘ ππππ) = 1 β (πΌπππ π£πππππ) = 1 β
12
7
=
19 19
Oppgave 6.61
I en klasse er det tolv jenter og atten gutter. Vi trekker tilfeldig to elever.
a) Finn sannsynligheten for at vi trekker to jenter.
12 11
β
30 29
132
22
= 870 = 145
Det er totalt 30 elever, 12 jenter og 18 gutter. Når vi har trukket
1 jente er det 11 igjen og elevtallet synker med en til 29.
b) Finn sannsynligheten for at vi trekker to gutter.
18 17
β
30 29
306
51
= 870 = 145
Det er totalt 30 elever, 18 gutter og 12 jenter. Når vi har trukket
1 gutt er det 17 igjen og elevtallet synker med en til 29.
c) Finn sannsynligheten for at vi trekker minst ei jente.
1β
51
145
=
94
145
d) Finn sannsynligheten for at vi trekker ei jente og en gutt.
Sannsynligheten(P) for (Gutt og Jente) eller (Jente og Gutt)
18 12
12 18
216
216
432
72
π((πΊ β© π½) βͺ (π½ β© πΊ)) = (30 β 29) + (30 β 29) = 870 + 870 = 870 = 145
Gutt først og så jente
eller jente først så gutt
16
Oppgave 6.62
I ei skål ligger det 10 sjokolader som er pakket inn i nøytralt papir. Det er fire sjokolader som Anne og
Per liker, og seks som ingen av dem liker. De trekker tilfeldig hver sin sjokolade. Anne trekker først.
a) Lag et valgtre der du skriver på alle de aktuelle sannsynlighetene.
4
10
6
10
ANNE
L
L
3
9
6
9
L
4
9
L
5
9
PER
L
L
b) Finn sannsynligheten for at begge trekker en sjokolade som de liker.
4
3
12
2
P(trekker en sjokolade som begge liker) = 10 β 9 = 90 = 15
Vi følger den heltrukne blå linjen
c) Finn sannsynligheten for at ingen av dem trekker en sjokolade som de liker.
6
5
30
1
P(ingen trekker en sjokolade som de liker) = 10 β 9 = 90 = 3
Vi følger den heltrukne rød linjen
d) Finn sannsynligheten for at Per trekker en sjokolade som han liker.
4
3
6
4
12
24
36
2
π ((πΏ β© πΏ) βͺ (πΏ β© πΏ)) = (10 β 9) + (10 β 9) = 90 + 90 = 90 = 5
Vi begynner nede og følger πΏ opp
mot toppen av valgtreet.
Oppgave 6.63
Vi tar for oss en farlig sykdom som er vanskelig å oppdage i tide. Sannsynligheten for å oppdage den i
tide er 0,60. Hvis sykdommen blir oppdaget i tide, får pasienten medisin. Sannsynligheten for å overleve
er da 0,80. Hvis sykdommen ikke blir oppdaget i tide, er sannsynligheten for å overleve 0,20.
a) Lag et valgtre som gir oversikt over situasjonen.
0,60
0,40
O
O
0,80
L
0,20
L
0,20
0,80
L
L
17
π = Oppdage
π = Ikke oppdage
πΏ = Overleve
πΏ= Ikke overleve
b) Finn sannsynligheten for at en person som har fått denne sykdommen, overlever.
π(ππ£πππππ£ππ) = (π(π) β© π(πΏ|π)) βͺ (π(π) β© π(πΏ|π))
π(ππ£πππππ£ππ) = (0,60 β 0,80) + (0,40 β 0,20) = 0,48 + 0,08 = 0,56
Oppgave 6.64
I en familie med tre barn er det ingen tvillinger. Vi ser bort fra skuddår og regner med at alle de 365
dagene i året er like sannsynlige som fødselsdager.
a) Finn sannsynligheten for at de tre barna har fødselsdag på hver sin dag.
365 364 363
β
β
365 365 365
β 0,9918
Først er det ingen fødselsdager som er opptatt, dermed er 365 av 365
dager ledige. Så er den ene dagen opptatt og det er bare 364 igjen av de
365 dagene i året osv . . .
b) Finn sannsynligheten for at minst to av dem har fødselsdag på samme dag.
π(ππππ π‘ π‘π ππ£ πππ βππ πøππ πππ πππ πå π ππππ πππ) = 1 β π(βπ£ππ sin πππ) = 1 β 0,992 = 0,008
Oppgave 6.65
I en klasse er det 30 elever, og ingen er tvillinger. Vi ser bort fra skuddår og regner videre med at
alle de 365 dagene i året er like sannsynlige som fødselsdager.
a) Finn sannsynligheten for at alle elevene har fødselsdag på hver sin dag.
π(ππππ ππππ£ππ βππ πøππ πππ πππ πå βπ£ππ sin πππ) =
365 364 363 362 361 360 359 358 357 356 355 354 353 352 351
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
365 365 365 365 365 365 365 365 365 365 365 365 365 365 365
350 349 348 347 346 345 344 343 342 341 340 339 338 337 336
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
=
365 365 365 365 365 365 365 365 365 365 365 365 365 365 365
(365 β β¦ β 336)
β 0,293683 β 0,294
36530
b) Finn sannsynligheten for at minst to av dem har fødselsdag på samme dag.
π(ππππ π‘ π‘π ππππ£ππ βππ πøππ πππ πππ πå π ππππ πππ) = 1 β π(βπ£ππ sin πππ) = 1 β 0,294 = 0,706
18
Symboler, formler og eksempler i sannsynlighet
π( )
P
Sannsynlighet
βͺ
Union
«Den eller den»
+
(π΄ βͺ π΅)
β©
Snitt
«Den og den»
β
(π΄ β© π΅)
β
Den tomme mengde
|
Gitt
En forutsetning
(π΄|π΅)
Ikke
Det omvendte
π(π΄) = 1 β π(π΄)
Sannsynlighet kan presenteres som:
1
Brøk (7)
Desimalbrøk (0,143)
Prosent (14,3%)
Utfall / Utfallsrom:
På en terning med seks sider har vi seks utfall og utfallsrommet er = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Formler:
Uniform sannsynlighet:
π(π΄) =
π΄ππ‘πππ ππ’ππ π‘πππ βππππππ ππ
π΄πππ ππ’ππππ βππππππ ππ
Addisjonssetningen:
π(π΄ βͺ π΅) = π(π΄) + π(π΅) β π(π΄ β© π΅)
Produktsetningen: FOR UAVHENGIGE STØRRELSER
Produktsetningen: FOR AVHENGIGE STØRRELSER
π(π΄ β© π΅) = π(π΄) β π(π΅)
π(π΄ β© π΅) = π(π΄) β π(π΅|π΄)
Betinget sannsynlighet:
Hendingen π΄ :
π(π΅ | π΄) =
π(π΄ β© π΅)
π(π΄)
π(π΄) = 1 β π(π΄)
19
Krysstabell:
Ski
30
20
50
Fotball
IKKE fotball
Sum
IKKE ski
50
350
400
Sum
80
370
450
Venndiagram av krysstabellen over:
A οο B
A
ο
B
Ski
ο
Fotball
30
50
30
80
Valgtre:
Dette valgtreet viser muligheten
for å få krone eller mynt.
BLÅ er krone og RØD er mynt.
1
2
For å få krone to ganger etter hverandre
følger vi den BLÅ ubrutte linjen og
multipliserer sannsynlighetene:
1
2
1 1
β
2 2
M
K
1
2
1
2
K
1
2
M
=
1
4
. . . for å få krone to ganger på rad.
1
2
M
K
Valgtre med verdier:
I en klasse på 30 elever er det 10 som spiser fisk. 5 spiser kjøtt hvorav 2 spiser både fisk og kjøtt.
N
0, EI
67
30
Elever i klassen
J
0, A
33
Spiser fisk (F)
JA
0
0,2
NE
I
0,8
0
10
JA
5
0,1
NE
I
0,8
5
20
17
3
8
2
FοK
FοK
FοK
FοK
Spiser kjøtt (K)
20
Vi kan da sette opp ett valgtre som vist i figuren over.
Legg merke til at tallene horisontalt bli 30 når de summeres
og at summen av sannsynlighetene på hver av grenene er 1.
πΉβ©πΎ
Leses som "ikke F og ikke K"
πΉβ©πΎ
Leses som "ikke F og K"
πΉβ©πΎ
πΉβ©πΎ
Leses som "F og ikke K"
Leses som "F og K"
Sannsynligheten (π) for at en tilfeldig elev ikke spiser fisk (πΉ):
20
π(πΉ) =
= 0,66
30
Sannsynligheten (π) for at en tilfeldig elev spiser fisk (πΉ):
10
π(πΉ) = 30 = 0,33
20
π(πΉ) = 1 β π(πΉ) = 1 β 30 = 0,33
eller slik
N
0, EI
67
30
Elever i klassen
J
0, A
33
Spiser fisk (F)
JA
0
0,2
NE
I
0,8
0
10
JA
5
0,1
NE
I
0,8
5
20
17
3
8
2
FοK
FοK
FοK
FοK
Spiser kjøtt (K)
Sannsynligheten for at en tilfeldig elev ikke spiser fisk og ikke spiser kjøtt:
π(πΉ β© πΎ) = π(πΉ) β π(πΎ|πΉ) = 0,67 β 0,85 = 0,57
πΎ|πΉ betyr at πΎ er gitt av at πΉ gjelder.
Sannsynligheten for at en tilfeldig elev ikke spiser fisk men spiser kjøtt:
π(πΉ β© πΎ) = π(πΉ) β π(πΎ|πΉ) = 0,67 β 0,15 = 0,10
πΎ|πΉ betyr at πΎ er gitt av at πΉ gjelder.
Sannsynligheten for at en tilfeldig elev spiser fisk men ikke spiser kjøtt:
π(πΉ β© πΎ) = π(πΉ) β π(πΎ|πΉ) = 0,33 β 0,80 = 0,27
πΎ| betyr at πΎ er gitt av at πΉ gjelder.
Sannsynligheten for at en tilfeldig elev spiser både kjøtt og fisk:
π(πΉ β© πΎ) = π(πΉ) β π(πΎ|πΉ) = 0,33 β 0,20 = 0,07
πΎ| betyr at πΎ er gitt av at πΉ gjelder.
21
Eksamensoppgaver
Våren 2015 (UTEN HJELPEMIDLER)
Tenk deg at du har ti bananer i skapet. Fem av dem er gule, tre er grønne, og to er blitt brune.
Du tar tilfeldig to bananer.
a) Bestem sannsynligheten for at du ikke tar en brun banan.
Lager et valgtre for bedre å kunne se sammenhengen.
GRØNN
GRØNN
GUL
GUL
BRUN
GRØNN
BRUN
GUL
BRUN
GRØNN
Det er fire muligheter for ikke å ta en brun banan.
π(πΊπøππ β© πΊπøππ) βͺ π(πΊπøππ β© πΊπ’π) βͺ π(πΊπ’π β© πΊπøππ) βͺ π(πΊπ’π β© πΊπ’π)
(πΊπøππ β© πΊπøππ)
3 2
β
10 9
6
(πΊπøππ β© πΊπ’π)
+
15
15
20
56
3 5
β
10 9
(πΊπ’π β© πΊπøππ)
+
(πΊπ’π β© πΊπ’π)
5 3
β
10 9
+
28
= 90 + 90 + 90 + 90 = 90 = 45
b) Bestem sannsynligheten for at du tar én gul og én grønn banan.
Det er to muligheter til å ta én gul og én grønn banan.
(πΊπøππ β© πΊπ’π) βͺ (πΊπ’π β© πΊπøππ)
3 5
β
10 9
+
5 3
β
10 9
15
15
30
1
= 90 + 90 = 90 = 3
22
5 4
β
10 9
GUL
BRUN
c) Bestem sannsynligheten for at du tar to bananer med samme farge.
Det er tre muligheter for å ta to bananer med samme farge.
π(πΊπøππ β© πΊπøππ) βͺ π(πΊπ’π β© πΊπ’π) βͺ π(π΅ππ’π β© π΅ππ’π)
(πΊπøππ β© πΊπøππ)
(πΊπ’π β© πΊπ’π)
3 2
β
10 9
6
+
20
2
28
5 4
β
10 9
(π΅ππ’π β© π΅ππ’π)
+
2 1
β
10 9
14
= 90 + 90 + 90 = 90 = 45
Våren 2015 (MED HJELPEMIDLER)
Tenk deg at du har fått i oppgave å teste et nytt vitamintilskudd. Du velger tilfeldig ut 80 personer.
Alle tror de får vitamintabletter, men i virkeligheten får bare 60 av personene vitamintabletter,
mens resten får tabletter uten vitaminer.
Etterpå svarer 50 personer at de føler seg mer opplagte.
Av disse 50 er det fire som ikke har fått vitamintabletter.
a) Systematiser disse opplysningene i et venndiagram eller i en krysstabell.
Krysstabell :
Vitaminer
46
14
60
Opplagt
IKKE opplagt
Sum
IKKE vitaminer
4
16
20
Sum
50
30
80
V οM
Venn-diagram :
Vitamintabletter
VοM
Mer
opplagt
60
46
50
b) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person som har fått vitamintabletter,
føler seg mer opplagt etterpå.
Legg merke til at oppgaveteksten sier: "Har fått vitamintabletter" β "Føler seg mer opplagt".
Vi skal da bruke kolonnen under Vitaminer. 60 har fått vitamintablett og 46 føler seg mer opplagt.
π(βππ πåπ‘π‘ π£ππ‘πππππ‘πππππ‘π‘ β πøπππ π ππ πππ πππππππ‘) =
23
46 23
=
β 0,766 β 77%
60 30
c) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person som føler seg mer opplagt etterpå,
har fått vitamintabletter.
Legg merke til at oppgaveteksten sier: "Føler seg mer opplagt" β "Har fått vitamintabletter".
Vi skal da bruke raden til Opplagt. 50 er mer opplagt og 46 av disse har fått vitamintablett.
π(πøπππ π ππ πππ πππππππ‘ β βππ πåπ‘π‘ π£ππ‘πππππ‘πππππ‘π‘ππ) =
46 23
=
= 0,92 = 92%
50 25
Høsten 2015 (UTEN HJELPEMIDLER)
Sebastian har to jukseterninger. To sider på hver av terningene har seksøyne, én side har fireøyne, én
side har tre øyne, én side har to øyne og én side har ett øye.
Sebastian kaster begge terningene.
a) Bestem sannsynligheten for at han får to seksere.
2 2
6 6
π(π‘π π πππ πππ) = β =
4
36
1
9
= β 0, 11 β 11%
2 av sidene er seksere og det er 6 sider.
b) Bestem sannsynligheten for at summen av antall øyne blir sju.
Husk at terningene ikke har noen side med fem øyne. Men to sider med seks øyne.
Her har vi valgt å tegne kombinasjonene vi har når vi ønsker at antall øyne skal bli sju.
DEN FØRSTE TERNINGEN
DEN ANDRE TERNINGEN
24
Høsten 2015 (MED HJELPEMIDLER)
I en rundspørring svarte 25% at kantinetilbudet er viktig ved valg av arbeidsgiver.
32% av mennene og 18% av kvinnene som deltok i rundspørringen , svarte at god kantine er viktig.
NB! Det betyr at 32% menn = 16% av alle og 18% kvinner = 9% av alle.
Anta at det var like mange menn som kvinner som deltok i rundspørringen.
a) Systematiser opplysningene i teksten ovenfor i en krysstabell eller i et venndiagram.
Krysstabell :
God kantine viktig
IKKE viktig
Totalt
Menn
16%
34%
50%
Kvinner
9%
41%
50%
Totalt
25%
75%
100%
b) Bestem sannsynligheten for at en person som deltar i rundspørringen er
en kvinne som synes kantine er viktig. Deltar β Er kvinne β Kantine er viktig.
π(ππ£ππππ π ππ πππππ ππππ‘πππ ππ π£πππ‘ππ) =
9
= 0,09 = 9%
100
eller
π(πΎπ£ππππ β© πΎπππ‘πππ ππ π£πππ‘ππ) = 0,18 β 50 = 0,09 = 9%
c) Bestem sannsynligheten for at en person som svarer at kantine er viktig er mann.
Kantine er viktig β Er mann.
π(πΎπππ‘πππ ππ π£πππ‘ππ ππ ππ ππππ) =
ππππ‘ππ πππ ππππ 16%
=
= 0,64 = 64%
πππ‘πππ‘
25%
25
© Copyright 2024