1. No category

Päähakemisto
Tehtävien ratkaisut -hakemisto
Lisätehtäviä
205. a) 139°:n kulman vieruskulma on 180° − 139° = 41° ≠ 42°.
Siis suorat s ja l eivät ole yhdensuuntaiset.
2 Peruskäsitteitä
b) 111°:n kulman vieruskulma on 180° − 111° = 69°, joten kuvan kolmion
kolmas kulma on 180° − 69° − 47° = 64°. Tämän vieruskulma on
180° − 64° = 116°, joka on siis yhtä suuri kuin suoralla l sijaitseva
samankohtainen kulma. Siis suorat s ja l ovat yhdensuuntaiset.
203. a) Kulma a on samankohtainen kulman 52° kanssa, joten koska s ja l ovat
yhdensuuntaiset, on a = 52°. b on a:n ristikulma, joten myös b = 52°.
b) b on samankohtainen kulman 40° kanssa ja koska s ja l ovat yhdensuuntaiset, on b = 40°. a on b:n vieruskulma, joten a + b = 180° eli
a = 180° − b = 180° − 40° = 140°.
Vastaus: a) Suorat eivät ole yhdensuuntaiset. b) Suorat ovat yhdensuuntaiset.
206. Olkoon x sellainen luku, että janan AB pituus on 8x. Tällöin AP = 2x = 2
eli x = 1 ja PB = 6x = 6 ∙ 1 = 6.
Vastaus: a) a = 127°ja b = 127° b) a = 140° ja b = 40°
Vastaus: Janan PB pituus on 6.
204. a) Kuviossa ylhäällä on tasasivuinen kolmio, jonka kaikki sivut ovat yhtä
pitkiä. Tasasivuisessa kolmiossa myös kaikki kulmat ovat yhtä suuria eli
180°
= 60°.
3
180° − 50° − 60° = 80°
207. Koska 6 + 4 + 5 = 15, niin merkitään muttujalla x sellaista lukua, että
16, 95 m
15x = 16,95 m. Tällöin x =
= 1, 13 m ja Johanin loikkien
15
pituudet ovat 6x = 6 ∙ 1,13 m = 6,78 m, 4x = 4 ∙ 1,13 m = 4,52 m ja
5x = 5 ∙ 1,13 m = 5,65 m.
180° − 80° = 100°
Vastaus: Johanin loikkien pituudet ovat 6,78 m; 4,52 m ja 5,65 m.
b) Kuvassa on tasakylkinen kolmio, jonka kantakulmat ovat yhtä suuria
eli molemmat 62°.
Kulma a on 62°:n kulman kanssa samankohtainen kulma eli yhtä suuri.
Tasakylkisen kolmion huippukulma on 180° − 2 ∙ 62° = 56°, joten
b = 180° − 56° = 124°.
Vastaus: a) b = 100° b) a = 62° ja b = 124°
© Kertoma 2! MAB2
57
TEHTÄVIEN RATKAISUT
Päähakemisto
Tehtävien ratkaisut -hakemisto
3 Tasokuviot
209. a) Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret, joten kulma b on
yhtä suuri kuin kulman 80° vieruskulma eli b = 180° − 80° = 100°.
Suunnikkaan kulmien summa on 360°, joten
2a + 2a = 360
2a + 2 ⋅ 100 = 360
2a = 360 − 200
160
a=
= 80°.
2
208. a) Suunnikkaan kulmien summa on 360°. Koska 1 + 4 + 1 + 4 = 10, niin
merkitään muuttujalla a sellaista lukua, että 10a = 360°. Tällöin
360°
a=
= 36° ja suunnikkaan kulmat ovat a = 36° ja 4a = 4 ∙ 36° = 144°.
10
b) Viisikulmio voidaan jakaa kolmeksi kolmioksi, joiden kulmien summa
on 180°. Tällöin viisikulmion kulmien summa on kaikkien näiden
kolmioiden kulmien summa eli 3 ∙ 180° = 540°.
(3 + 2 + 1 + 4 + 2 = 12)
540°
Olkoon a sellainen luku, että 12a = 540° eli a = 12 = 45° .
Tällöin viisikulmion suurin kulma on 4a = 4 ∙ 45° = 180°.
Siis suunnikkaan erisuuruiset kulmat ovat 80° ja 100°.
b) Nelikulmion kulmien summa on 360°, joten
2x + x + 90 + 90 = 360
3x + 180 = 360
3x = 360 − 180
180
x=
= 60.
3
Siis 2x = 2 ∙ 60° = 120° eli nelikulmion kulmat ovat 60°, 90°, 90°, ja 120°.
c) Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret, joten suunnikkaassa
on vain kahdensuuruisia kulmia. Merkitään pienempää kulmaa a:lla.
Silloin suurempi kulma on 3a. Suunnikkaan kulmien summa on 360° eli
a + a + 3a + 3a = 360°
8a = 360°
360°
a=
= 45°.
8
3 ∙ 45° = 135°, joten suunnikkaan kulmat ovat 45°, 45°, 135° ja 135°.
Vastaus: a) a = 80°ja b = 100°, joten suunnikkaan kulmat ovat 80°, 80°,
100° ja 100°.
b) x = 60° ja 2x = 120°, joten nelikulmion kulmat ovat 60°, 90°, 90° ja 120°.
d) Merkitään huippukulmaa a:lla. Tällöin kantakulma on a + 20°.
Kolmion kulmien summa on 180°, joten saadaan yhtälö:
a + 2(a + 20) = 180
a + 2a + 40 = 180
3a = 180 − 40
140
a=
= 46, 66... ≈ 46, 7°.
3
Vastaus: a) Suunnikkaan kulmat ovat 36°, 36°, 144° ja 144°.
b) Viisikulmion suurin kulma on 180°.
c) Suunnikkaan kulmat ovat 45°, 45°, 135° ja 135°.
d) Huippukulma on 46,7°.
© Kertoma 2! MAB2
210. a) Puolisuunnikkaan pinta-alan kaavalla saadaan:
A=
50
15 + 35
⋅ 11 =
⋅ 11 = 25 ⋅ 11 = 275 (mm2 ).
2
2
b) x 2 + 32 = 52
x 2 = 16
Pinta-ala on siis 16 pinta-alayksikköä.
58
TEHTÄVIEN RATKAISUT
Päähakemisto
Tehtävien ratkaisut -hakemisto
211. Puolisuunnikkaan pinta-alan kaavalla saadaan yhtälö:
x + (2x + 5)
⋅ 8 = 104
2
3x + 5
⋅ 8 = 104
2
4
8 ⋅ (3x + 5)
= 104
2
4(3x + 5) = 104
12x + 20 = 104
12x = 104 − 20
84
x=
= 7 (m)
12
Vastaus: x = 7 m
c) Kuvan monikulmio voidaan jakaa vaakatasossa suorakulmioon ja
puolisuunnikkaaseen, jolloin koko kuvion pinta-alaksi saadaan:
6+4
A = Asuorak + Apuolis = 5 ⋅ 6 +
⋅ (8 − 5) = 30 + 5 ⋅ 3 = 30 + 15 = 45 .
2
d) Suorakulmion oikeassa ylänurkassa on neliö, jonka pinta-ala on 25 m2,
25 = 5 (m) . Siis suorakulmion A leveys x
75
saadaan yhtälöstä 5x = 75 eli x =
= 15 (m) ja sen korkeus y yhtälöstä
5
50
5 y = 50 eli y =
= 10 (m) . Siis A:n pinta-ala on 10 ∙ 15 = 150 (m2) ja
5
koko kuvion yhteispinta-ala on 150 + 75 + 25 + 50 = 300 (m2).
jolloin sen sivun pituus on
d) Suorakaiteen A sivujen pituudet ovat 15 m ja 10 m, joten pinta-ala on
150 m2.
212. a) Jana AC puolittaa janan BD. Lisäksi kolmiot ABC ja ACD ovat yhtenevät, koska niillä on yhtä pitkät sivut, joten koko nelikulmion pinta-alaksi
saadaan:
2
e) x ⋅ x = 150
3
2x 2
= 150
3
2
2x = 3 ⋅ 150
450
x2 =
2
x = (±) 225 = 15
f)
A = A
ABC
AC ⋅ 12 BD
1
= AC ⋅ 12 BD = 8 ⋅ ⋅ 3 = 12 (cm2 )
2
2
b) a)-kohdan nojalla saadaan yhtälö:
1
AC ⋅ BD
2
A= 2⋅
2
1
A = AC ⋅ BD
2
1
437 = (5x − 2) ⋅ (2x + 7) ⋅ 2
2
874 = (5x − 2)(2x + 7)
5x ⋅ 2x + 5x ⋅ 7 − 2 ⋅ 2x − 2 ⋅ 7 = 874
10x 2 + 35x − 4x − 14 − 874 = 0
10x 2 + 31x − 888 = 0
−31 ± 312 − 4 ⋅ 10 ⋅ (−888) −31(±)191 160
=
=
=8
x=
2 ⋅ 10
20
20
x ⋅ (x − 3) = 238
toisen asteen
yhtälön ratkaisukaava
−(−3) ± (−3)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−238) 3 ± 9 + 952 3(±)31
=
=
x=
2 ⋅1
2
2
34
x=
= 17
2
Vastaus: a) Pinta-ala on 275 mm2. b) Pinta-ala on 16 pinta-alayksikköä.
c) Pinta-ala on 45 m2.
d) Pinta-ala on 300 m2.
f) x = 17
e) x = 15
x 2 − 3x − 238 = 0
© Kertoma 2! MAB2
+ AACD = 2 ⋅ AABC = 2 ⋅
Vastaus: a) Pinta-ala on 12 cm2.
b) x = 8
59
TEHTÄVIEN RATKAISUT
Päähakemisto
Tehtävien ratkaisut -hakemisto
215. Saadaan verranto:
20 50
=
x
1
50x = 20
20
= 0, 4 (cm)
x=
50
4 Yhdenmuotoisuus ja mittakaava
213. a) Koska kolmiot ovat yhdenmuotoiset, saadaan verranto:
x
3, 1
=
6, 8 5, 44
x = 6, 8 ⋅
⋅ 6, 8
3, 1
= 3, 875
5, 44
b) Saadaan verranto:
1
Punkin koko luonnossa on siis
-osa siitä, mikä se on kuvassa eli
50
1
⋅ 20 cm = 0, 4 cm = 4 mm.
50
x
12, 5
=
19, 2
30
12, 5
=8
30
b) x = 8
x = 19, 2 ⋅
Vastaus: a) x = 3,875 Vastaus: Punkin koko luonnossa on 4 mm.
216. a) 8,4 km = 8 400 m = 840 000 cm. Mittakaava on
6
2
1
48 =
=
=
= 1 : 17 500.
840 000 105 000 35 000 17 500
214. a) Kuvan kolmiot ovat yhdenmuotoiset kk-lauseen nojalla, koska niillä on
molemmilla suora kulma ja lisäksi niiden toiset terävät kulmat ovat yhtä
suuret, koska ne ovat toistensa ristikulmat. Saadaan siis verranto:
x 2
=
3 7
b) Saadaan verranto:
11
1
=
x 17 500
x = 11 ⋅ 17 500 = 192 500 (cm)
⋅3
x = 3 ⋅ 2 = 6 ≈ 0, 86
7 7
b) Kuvan kolmiot ovat yhdenmuotoiset, sillä ne jakavat keskenään
ristikulmat, joiden lisäksi niillä on yksi samansuuruinen kulma. Saadaan
verranto:
x x+3
=
kerrotaan ristiin
3
5
5x = 3(x + 3)
5x − 3x = 9
2x = 9
9
x = = 4, 5
2
Vastaus: a) x ≈ 0,86 © Kertoma 2! MAB2
Metsälammen pituus on 192 500 cm = 1 925 m ≈ 1,9 km.
c) Oletetaan, että lampi on ympyrän muotoinen. Merkitään lammen
sädettä r:llä. Siis r =
1, 925
= 0, 9625 (m) , joten lammen pinta-ala on
2
A = π r 2 = π ⋅ 0, 96252 = 2, 910... ≈ 2, 9 (km2 ).
Vastaus: a) Mittakaava on 1:17 500.
b) Metsälammen pituus on 1,9 km.
c) Ympyränmuotoisen lammen pinta-ala on 2,9 km2.
b) x = 4,5
60
TEHTÄVIEN RATKAISUT
Päähakemisto
Tehtävien ratkaisut -hakemisto
217. 12 m2 = 1 200 dm2 = 120 000 cm2.
Pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö.
Tapa 1
Merkitään mittakaavaa 1:m.
Pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö
verranto:
218.Keppi ja sen varjo määrittävät
suorakulmaisen kolmion, joka on
yhdenmuotoinen lipputangon ja sen
varjon määrittämän kolmion kanssa.
Merkitään lipputangon korkeutta h:lla.
Tällöin saadaan verranto:
( ) = m1 , joten saadaan
1
m
2
2
h
1m
0,7 m
18,5 m
h 18, 5
=
1 0, 7
18, 5
h=
= 26, 42... ≈ 26, 4 (m)
0, 7
Vastaus: Lipputanko on 26,4 metriä korkea.
1
3, 0
=
m2 120 000
3, 0m2 = 120 000 : 3, 0
m2 = 4 000 |
m = (±) 4 000
m = 200
219.
4
Tällöin mittakaava on 1:m = 1:200.
4
Tapa 2
Merkitään mittakaavaa k:lla. Pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö,
joten mittakaava saadaan ottamalla pinta-alojen suhteesta neliöjuuri.
Siis mittakaava k saadaan yhtälöstä
6
a) Neliön pinta-ala on 42 = 16.
b) Neliön yläpuolelle muodostuu suuren kolmion kanssa
yhdenmuotoinen pikkukolmio, jonka kanta on siis neliön sivu eli 4.
Merkitään ison kolmion korkeutta h:lla, jolloin pikkukolmion korkeus
on h − 4. Pikkukolmion ja ison kolmion kannalle ja korkeudelle saadaan
verranto:
3
3
1
=
=
eli
120 000 3 ⋅ 40 000 40 000
1
1
1
k=
=
2 = 200 = 1 : 200 .
40 000
200
k2 =
h
6
=
kerrotaan ristiin
h−4 4
4h = 6(h − 4)
4h = 6h − 24
4h − 6h = −24
−2h = −24
−24
h=
= 12
−2
Vastaus: Mittakaava on 1:200.
6 ⋅ 12
= 36 .
2
Vastaus: a) Neliön pinta-ala on 16. b) Kolmion pinta-ala on 36.
Siis ison kolmion pinta-ala on A =
© Kertoma 2! MAB2
61
TEHTÄVIEN RATKAISUT
Päähakemisto
Tehtävien ratkaisut -hakemisto
222. Pythagoraan lauseella saadaan: (x 2 + 4)2 = 122 + 52
5 Suorakulmainen kolmio
220. a) x 2 = 32 + 52
2
x = 9 + 25
x = (±) 34 = 34
b)
5
x
x ⋅ sin 30° = 5
Tapa 1
Kerrotaan sulut auki jolloin saadaan neljännen asteen yhtälö.
(x 2 + 4)2 = 122 + 52
(x 2 + 4)(x 2 + 4) = 144 + 25
x 4 + 4x 2 + 4x 2 + 16 = 169
x 4 + 8x 2 + 16 − 169 = 0
x 4 + 8x 2 − 153 = 0
sin 30° =
x=
: sin 30°
5
= 10
sin 30°
4
=2
2
a = 63, 434...° ≈ 63, 4°
c) tan a =
Vastaus: a) x = 34
b) x = 10
Merkitään tässä neljännen asteen yhtälössä apumuuttujalla y = x2.
Näin saadaan toisen asteen yhtälö, jossa on muuttujana y.
Ratkaistaan ensin y toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla:
y2 + 8 y − 153 = 0
−8 ± 82 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−153)
y=
2 ⋅1
−8 ± 26
y=
2
−34
18
= 9 tai y =
= −17
y=
2
2
c) a = 63,4°
221. a) Kolmio on tasakylkinen, joten sen huippukulman puolittaja puolittaa
myös kannan ja muodostaa siis kaksi yhtenevää suorakulmaista kolmiota,
6
50°
= 25° ja hypotejoiden kanta on = 3 ja sen vastainen kulma on
2
2
nuusa on x.
Tällöin
3
x
x sin 25° = 3
sin 25° =
Jos y = 9, niin saadaan yhtälö:
x2 = 9
x=± 9
x = ±3
3
= 7, 098... ≈ 7, 1
x=
sin 25°
b) Kolmio on tasasivuinen, joten sen korkeus noudattaa kaavaa: h =
Siis
a 3
.
2
Jos taas y = −17, niin saadaan yhtälö x2 = −17, jolla ei ole ratkaisua.
Siispä on oltava x = ± 3.
x 3
⋅2
2
8=x 3
x 3=8 : 3
8
x=
(≈ 4, 6).
3
4=
4, 5
eli a = 25, 841...° ≈ 25, 8°
5
8
Vastaus: a) x ≈ 7,1
b) x = 3 (≈ 4, 6)
Tapa 2
Otetaan puolittain neliöjuuri.
(x 2 + 4)2 = 122 + 52
(x 2 + 4)2 = 169
x 2 + 4 = ± 169
x 2 + 4 = ±13
c) cos a =
© Kertoma 2! MAB2
c) a ≈ 25,8°
62
TEHTÄVIEN RATKAISUT
Päähakemisto
Tehtävien ratkaisut -hakemisto
224.Piirretään mallikuva. Merkitään kysyttyä kulmaa a:lla.
Saadaan kaksi yhtälöä. Ratkaistaan molemmat yhtälöt erikseen.
tai
x 2 + 4 = −13
x 2 + 4 = 13
x 2 = −13 − 4
x 2 = 13 − 4
x 2 = −17
x2 = 9
Yhtälöllä ei ole ratkaaisua
x=± 9
x = ±3
Siispä on oltava x = ± 3.
a
6,2 m
1, 3
6, 2
a = 12, 10… ° ≈ 12°
sin a =
Vastaus: Tikkaiden ja seinän väliin muodostuu 12 asteen kulma.
Vastaus: x = ± 3
223.Suorakulmaisessa kolmiossa hypotenuusa on pisin sivu, joten hypotenuusa on joko x + 2 tai sivu 2x + 1. Huomataan myös että sivun pituuden
on oltava positiivinen, joten on oltava x > 0.
225.
2x
2x
Jos x + 2 on hypotenuusa, niin sivut toteuttavat Pythagoraan lauseen
yhtälön muodossa
a
–x
2
x 2 + (2x + 1)2 = (x + 2)2
x 2 + (2x + 1)(2x + 1) = (x + 2)(x + 2)
x 2 + 4x 2 + 2x + 2x + 1 = x 2 + 2x + 2x + 4
5x 2 + 4x − x 2−4x = 4 − 1
4x 2 = 3
3
x2 =
4
3
3
3
x = (±)
=
=
4
2
4
Jos taas 2x + 1 on hypotenuusa, niin sivut toteuttavat Pythagoraan lauseen
yhtälön muodossa
x 2 + (x + 2)2 = (2x + 1)2
x 2 + x 2 + 2x + 2x + 4 = 4x 2 + 2x + 2x + 1
2x 2 + 4x − 4x 2−4x = 1 − 4
−2x 2 = −3
−3
x2 =
−2
3
3
x = (±)
=
2
2
x
Merkitään kannan pituutta x:llä. Tällöin kylkien pituus on 2x. Kolmio
voidaan jakaa huippukulman puolittajalla kahteen suorakulmaiseen
x
2
ja hypotenuusa on ison kolmion kylki eli 2x. Tällöin ison kolmion kantakulma a saadaan selville kosinin avulla:
x
x
x 1 1
cos a = 2 = : 2x = ⋅
=
2x 2
2 2x 4
a = 75, 522… ° ≈ 76°.
kolmioon, joiden toinen kateetti on puolet ison kolmion kannasta eli
Vastaus: Kantakulmat ovat 76 astetta.
226.Piirretään mallikuva. Korkeuden muutos rinteen alun ja
lopun välillä on 780 − 250 = 530 (m). Rinnettä voidaan
ajatella suorakulmaisena kolmiona, jonka pystysuora
530 m
kateetti on 530 m ja sen vastainen kulma on 9°.
x
9°
3
3
Vastaus: x =
tai x =
2
2
© Kertoma 2! MAB2
1,3 m
63
TEHTÄVIEN RATKAISUT
Päähakemisto
Tehtävien ratkaisut -hakemisto
Tällöin mäen pituus on kolmion hypotenuusa, jonka pituus x saadaan
530
selville sinin avulla: sin 9° =
x
530
x=
= 3 388, 00... ≈ 3 390 (m)
sin 9°
40 km/h =
228. Piirretään mallikuva. Merkitään toisen kateetin
pituutta x:llä. Tällöin toisen kateetin pituus on
30 − 13 − x = 17 − x.
Sivujen tulee toteuttaa Pythagoraan lause, joten saadaan yhtälö:
x 2 + (17 − x )2 = 132
x 2 + (17 − x )(17 − x ) = 169
x 2 + 172 − 17x − 17x + x 2 − 169 = 0
2x 2 − 34x + 120 = 0
:2
2
x − 17x + 60 = 0
−(−17) ± (−17)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 60
x=
2 ⋅1
17 ± 7
x=
2
10
24
=5
x=
= 12 tai x =
2
2
matka
matka
, joten aika =
aika
nopeus
3 3888, 00... m
=
= 304, 920… ≈ 305 s = 5 min 5 s
11, 11... m/s
Nopeus =
Vastaus: Rinne on noin 3 390 metriä pitkä ja sen laskeminen kestää noin
5 min 5 s.
5
Kun x = 5, niin toinen kateetti on 17 − x = 17 − 5 = 12.
Kun x = 12, niin toinen kateetti on 17 − x = 17 − 12 = 5.
Vastaus: Kateettien pituudet ovat 5 cm ja 12 cm.
7
Tilanne 2. Jos annetut sivut eivät molemmat ole
kateetteja, niin sivun 7 täytyy olla hypotenuusa,
sillä se on pidempi.
a
5
13
x – 17
40 000 m 40 000 m
=
= 11, 11.... m/s
60 ⋅ 60 s
3 600 s
227.Tilanne 1. Jos annetut sivut ovat kateetteja, on
niiden välinen kulma tietysti 90°.
x
229.Matka kymmenen metrin päästä jään pinnasta
maalin ylänurkkaan saadaan Pythagoraan lauseen
avulla:
7
x 2 = 102 + 1, 222
x = 101, 4884 = 10, 074... (m)
Tällöin sivu 5 on sivujen väliselle kulmalle viereinen kateetti, joten kulma
saadaan kosinin avulla:
5
cos a = eli a = 44, 41...° ≈ 44, 4°.
7
x
122 cm
10 m
Se on siis 0,074... metriä pidempi matka kuin maalin alanurkkaan.
s 0, 074... m
Tällöin maalivahdilla on t = =
= 0, 00247... ≈ 2, 5 millisekuntia
v
30 m/s
enemmän aikaa torjua kiekko ylänurkasta kuin alanurkasta.
Vastaus: Sivujen välinen kulma on joko 44,4° tai 90°.
Vastaus: Aikaa on 2,5 millisekuntia enemmän.
© Kertoma 2! MAB2
64
TEHTÄVIEN RATKAISUT
Päähakemisto
Tehtävien ratkaisut -hakemisto
Pohjoinen
230.
Merkitään etäisyyttä majakasta tunnin kuluttua kirjaimella x. Piirretään
kolmioon korkeusjana kärkeen C, jolloin muodostuu kaksi suorakulmaista
kolmiota. Ratkaistaan näiden avulla etäisyys x.
Etäisyys y:
y
sin 30° =
23, 3
y = 23, 3 ⋅ sin 30°
y = 11, 65
B
Laiva
myöhemmin
45°
s
Laiva
ensin A
5 km
C
Majakka
Etäisyys x:
11, 65
x
11, 65
x=
sin 80°
x = 11, 829… ≈ 11, 8
Laivan lähtöpiste A, päätepiste B ja majakka C muodostavat suorakulmaisen kolmion, jossa on lisäksi kulma ABC = 45°. Siis laivan etenemä matka
x eli janan AB pituus saadaan tangentin avulla:
5
tan 45° =
s
5
s=
=5
tan 45°
s
5 km
5 ⋅ 5 km
25 km
Siis laivan nopeus on v = =
=
=
= 25 km/h.
t 12 min 5 ⋅ 12 min 60 min
sin 80° =
Vastaus: Etäisyys majakkaan on 11,8 km.
232. Säännöllinen kuusikulmio koostuu kuudesta yhtenevästä tasasivuisesta
300
kolmiosta, joten jokaisen kolmion pinta-ala on
= 50 (cm2) .
6
Tasasivuisen kolmion pinta-ala sivun a avulla ilmaistuna on
ah a a 3 a2 3
A=
= ⋅
=
. Saadaan siis yhtälö:
2 2 2
4
Vastaus: Laivan nopeus on 25 km/h.
231.1 solmu = 1,852 km/h
12 solmua = 12 ∙ 1,852 = 22,224 km/h
Laiva siis etenee tunnin aikana 22,224 km. Merkitään laivan lähtöpistettä
A:lla ja loppupistettä B:llä sekä majakkaa C:llä. Piirretään mallikuva:
B
a2 3
= 50
4
a2 3 = 4 ⋅ 50
200
a2 =
3
200
a = (±)
= 10, 745... ≈ 11 (cm)
3
100°
80°
x
C
y
22,224 km
Vastaus: Kolmion sivun pituus on noin 11 cm.
23,3 km
30°
A
© Kertoma 2! MAB2
65
TEHTÄVIEN RATKAISUT
Päähakemisto
Tehtävien ratkaisut -hakemisto
Neliön lävistäjä on ympyrän halkaisija, joten ympyrän säde on
d 10 2
r= =
=5 2.
2
2
Siis ympyrän pinta-ala on
6 Ympyrä
233. Merkitään sädettä r:llä. Saadaan yhtälö: 2π r = 57, 5
57, 5
r=
= 9, 151... ≈ 9, 2 (m).
2π
Vastaus: Säde on 9,2 m.
A = π r 2 = π ⋅ ( 5 2 )2 = π ⋅ 25 ⋅ 2 = 50π = 157, 07... ≈ 160 (cm2).
Vastaus: Neliön ympäri piirretyn ympyrän ala on 160 cm2.
234. Keskuskulma a saadaan ratkaistua sektorin pinta-alan avulla yhtälöstä:
a
⋅ π r2 = A
360°
a
⋅ π ⋅ 102 = 54 ⋅ 360°
360°
a ⋅ π ⋅ 100 = 19 440° : 100π
19 440°
a=
= 61, 87...° ≈ 62°
100π
237. 0,5 ha = 50 a = 5 000 m2
Jos ympyrän pinta-ala on 5 000 m2, niin sen säde r saadaan selville
yhtälöstä: π r 2 = 5 000
5 000
r2 =
π
5 000
r = (±)
= 39, 89... (m).
π
Vastaus: Keskuskulma on 62 astetta.
2
2
Siis ympyrän halkaisija on 2 ∙ 39,89... m = 79,788… m ≈ 80 m < 90 m.
Tehtävän metsä ei siis voi olla ympyrän muotoinen.
2
235. Ympyrän säde r = CF: 3 + 2 = r eli r = 13 .
Ympyräsektorin ACE pinta-ala on
90°
1
13π
Asektori =
⋅ π ⋅ ( 13 )2 = ⋅ π ⋅ 13 =
.
360°
4
4
Tällöin varjostetun alueen pinta-ala on
13π
13π
− 2⋅3 =
− 6 = 4, 210... ≈ 4, 2 pinta-alayksikköä.
4
4
Vastaus: Varjostetun alueen pinta-ala on 4,2 pinta-alayksikköä.
236.Merkitään a:lla neliön sivun pituutta.
Neliön pinta-alan avulla saadaan yhtälö:
a2 = 100
a = (±) 100 = 10 (cm)
Vastaus: Metsä ei voi olla ympyrän muotoinen.
238. Ari ja Seppo juoksevat puoliympyrän muotoisen kaarteen, jonka pituus
Sepon ensimmäisellä radalla on 100 m. Siis ensimmäisen radan ympyrä2π r
100
kaaren säde r saadaan yhtälöstä:
= 100 eli r =
= 31, 83... . (m)
2
π
Ari juoksee kolmannella radalla, joten hänen kaarteensa pituus on
2π (r + 2 ⋅ 1, 2)
= π ⋅ (31, 83... + 2, 4) = π ⋅ 34, 23... = 107, 53... (m) .
2
Yhteensä Ari juoksee Sepon kanssa samassa ajassa siis
15 + 7,53... ≈ 22,5 (metriä) enemmän kuin Seppo.
r
r
a
a
Neliön lävistäjän pituus d saadaan joko Pythagoraan lauseen avulla:
2
2
Vastaus: Ari on juossut 22,5 metriä pidemmän matkan.
2
d =a +a
d2 = 200
d = 200 = 100 ⋅ 2 = 10 2
tai kaavalla d = a 2 = 10 2.
© Kertoma 2! MAB2
66
TEHTÄVIEN RATKAISUT
Päähakemisto
Tehtävien ratkaisut -hakemisto
239. Jos kuvan alemman puoliskon peilaa suoran x = 1,5 (eli ison ympyrän
pystyakselin) suhteen, voi nähdä että varjostettu alue muodostaa
1
1-säteisen ympyrän, joka on peitetty -säteisellä ympyrällä.
2
Siis varjostetun alueen pinta-ala on
1 2
π 3π
A = π r12 − π r22 = π ⋅ 12 − π ⋅
=π − =
= 2, 35... ≈ 2, 4 (m2) .
2
4
4
242.Rangaistuspilkku ja maaliviiva määrittävät
3,66 m
tasakylkisen kolmion, joka voidaan jakaa
11 m
a
puolittamalla sen huippukulma, jolloin
x
saadaan kaksi suorakulmaista kolmiota, joiden
7, 32m
= 3, 66 m. Tällöin huippukulman puolikas a
kateetit ovat 11 m ja
2
3, 66
saadaan tangentin avulla: tan a = 11 eli a = 18, 40...° .
()
Potkaisija näkee siis maalin kulmassa 2a = 2 ∙ 18,40...° = 36,80...° ≈ 36,8°.
Jos kulmaa a suurennetaan yhdellä asteella, niin sen vastainen kateetti
kasvaa. Merkitään kateetin uutta pituutta x:llä. Siis
x
tan(a + 1°) =
11
x = 11 ⋅ tan(a + 1°) = 11 ⋅ tan 19, 40...° = 3, 874... (m)
Vastaus: Varjostetun alueen pinta-ala on 2,4 m2.
240. Piirretään mallikuva. Nosturin saavuttama alue on ovaalin muotoinen ja
se voidaan jakaa neliöön, jonka sivut ovat 20 m (= 10 m + 10 m) sekä
kahteen puoliympyrään, jotka yhdessä muodostavat kokonaisen ympyrän,
jonka säde on 10 m.
10 m
Pallo menee siis maalista ohi x − 3,66 = 3,874... − 3,66 = 0,2145… ≈ 21 (cm).
20 m
10 m
Vastaus: Potkaisija näkee pallon 36,8 asteen kulmassa. Jos pallo potkaistaan asteen verran ohi maalista, niin pallo menee n. 21 cm ohi.
10 m
Koko alueen pinta-ala on
A = Aneliö + Aympyrä = 202 + π ⋅ 102 = 400 + 100π = 714, 15.... ≈ 710 (m2) .
243.a) Merkitään kysyttyä kulmaa a:lla.
a
Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan:
808 m
808
tan a =
eli a = 15, 07...° ≈ 15, 1° .
3 000
3 km
b) Maapallon säde R on noin 6 370 km. Rakennuksen
A
808 m
huipulta A piirretty tangentti sivuaa maan pintaa
B
b
pisteessä B. Jos O on maapallon keskipiste, saadaan
6370 km a
suorakulmaisesta kolmiosta OBA yhtälö, josta voidaan
6370 km
ratkaista keskuskulma AOB = a seuraavasti:
O
6 370
R
cos a =
=
eli a = 0, 912...°.
R + 808 m 6 370, 808
Siis kauimmainen etäisyys, jonka tornin huipulta
Vastaus: Nosturin saavuttama alue on 710 m2.
241.Piirretään kaarta b vastaava tasakylkinen keskuskolmio
ja sille korkeusjana kantaa vasten. Korkeusjanan pituus
on 16,5 − 11 = 5,5 (m). Tämän avulla voidaan ratkaista
kaarta vastaavan keskuskulman puolikas a:
5, 5
cos a =
eli a = 53, 05...° .
9, 15
Siis keskuskulma on 2a = 2 ∙ 53,05...° = 106,10...°
ja sitä vastaavan kaaren pituus on
2a
106, 10...°
b=
⋅ 2π r =
⋅ 2π ⋅ 9, 15 = 16, 94.... ≈ 16, 9 (m).
360°
360°
5,5 m
b
9,15 m
voi nähdä eli ympyräkaaren pituus A:sta B:hen, on
a
0, 912...°
b=
⋅ 2π R =
⋅ 2π ⋅ 6 370 = 101, 45... ≈ 101 (km).
360°
360°
Vastaus: Kaaren pituus on 16,9 metriä.
© Kertoma 2! MAB2
Vastaus: a) Rakennus näkyy 15,1 asteen kulmassa 3 kilometrin päästä.
b) Rakennuksen huipulta voi nähdä etäisyydelle 101 km.
67
TEHTÄVIEN RATKAISUT
Päähakemisto
Tehtävien ratkaisut -hakemisto
2⋅2
= 2 . Ratkaistaan kulma BAC = a tangentin
2
BC 2
avulla: tan a =
= = 1 eli a = 45° . Ympyräsektorin ABE pinta-ala on
AB 2
45°
π
AABE =
⋅ π ⋅ 22 = = 1, 57 …, joten sektorin ulkopuolelle jäävän
360°
2
π
alueen pinta-ala on A1 = 2 − = 2 − 1, 57 … = 0, 42….
2
Symmetrian vuoksi tämä on puolet varjostetusta alueesta, joten
varjostetun alueen pinta-ala on
π
A = 2A1 = 2 ⋅ 2 −
= 4 − π = 0, 858… ≈ 0, 9 .
2
Vastaus: Varjostetun alueen pinta-ala on 4 − π ≈ 0,9.
246. a) 40 cm2 = 0,4 dm2. Korkeus h saadaan selville yhtälöstä
V = Ap ⋅ h
244. Kolmion pinta-ala on
(
h=
b) Pohjaympyrän säde r saadaan selville pohjaympyrän piirin avulla:
12
2π r = 12 eli r =
= 1, 909... (cm) .
2π
Siis lieriön tilavuus on
V = πr2h = π ∙ (1,909...cm)2 ∙ 12 cm = 137,50... cm3 ≈ 0,14 dm3 = 0,14 l.
)
Jotta lieriön tilavuus olisi 1 m3 = 1 000 dm3 = 1 000 000 cm3, tulisi olla
π ⋅ 1, 909...2 ⋅ h = 1 000 000
1 000 000
h=
= 87 266, 46... (cm)
π ⋅ 1, 909...2
7 Avaruuskappaleet
Korkeuden tulisi olla 87 266,46… cm = 872,6646…m ≈ 873 m.
245. a) V = πr2h = π ∙ 52 ∙ 12 = π ∙ 25 ∙ 12 = 300π = 942,47... ≈ 942 (m3).
b) Lieriön korkeus h saadaan tangentin avulla:
h
tan 60° =
1, 5
h = 1, 5 tan 60° = 2, 598... (m)
Vastaus: a) Lieriön korkeus on 50 dm.
b) Lieriön tilavuus on 0,14 litraa. Jotta lieriön tilavuus olisi 1 m3, sen
pitäisi olla 873 metriä korkea.
247. a) Nauhaa tarvitaan 2 ∙ 15 + 2 ∙ 20 + 2 ∙ 10 + 2 ∙ 20 + 50 = 180 (cm).
b) Laatikon avaruuslävistäjän pituus on
Siis lieriön tilavuus on V = πr2h = π ∙ 12 ∙ 2,598... = 8,162... ≈ 8,16 (m3).
3
c) säde r = = 1, 5
2
1
1
V = π r 2h = π ⋅ 1, 52 ⋅ 4 = 3π = 9, 424... ≈ 9, 4 (m3)
3
3
1 2
1
d) V = π r h = π ⋅ 32 ⋅ 5 = 15π = 47, 12... ≈ 47 (m3)
3
3
2⋅4
e) V = Ap ⋅ h =
⋅ 12 = 48 (m3)
2
f) V = Ap ⋅ h = 4 ⋅ 1 = 4 (m3)
Vastaus:
a) V = 942 m3
d) V = 47 m3
© Kertoma 2! MAB2
b) V = 8,16 m3
e) V = 48 m3
V
20 dm3
=
= 50 dm
Ap 0, 4 dm2
d = a2 + b2 + c2 = 102 + 152 + 202 = 725 ≈ 26, 93 (cm) .
Koska avaruuslävistäjä on lyhyempi kuin kultatanko (26,93 cm < 27 cm),
niin kultatanko ei voi mahtua laatikkoon.
Vastaus: a) Nauhaa tarvitaan 180 cm. b) Kultatanko ei sovi laatikkoon.
248. 20 cm = 0,2 m
Patjan tilavuus on V = 2 ∙ 3 ∙ 0,2 = 1,2 (m3).
Siis patja painaa (patjan massa on) 1,2 ∙ 1 000 kg = 1 200 kg.
c) V = 9,4 m3
f) V = 4 m3
Vastaus: Vesipatjan massa on 1 200 kg.
68
TEHTÄVIEN RATKAISUT
Päähakemisto
Tehtävien ratkaisut -hakemisto
1
1
249. Tötterön tilavuus on VT = π r 2h = π ⋅ 2, 92 ⋅ 15 = 132, 10... ≈ 132 (cm3) .
3
3
Pallon tilavuus on
4
4
VP = π r3 = π ⋅ 3, 53 = 179, 59.. ≈ 180 (cm3) < 132 (cm3) .
3
3
Pallo ei siis mahtuisi kokonaan tötteröön.
Tapa 1
Ottamalla neliöjuuri:
3a2 = 2
3 ⋅ a2 = 2 a > 0
3 ⋅a = 2 : 3
2
a=
= 1, 154... ≈ 1, 15 (m)
3
Vastaus: Jäätelöpallo ei mahtuisi kokonaan tötteröön.
Tapa 2
Korottamalla puolittain neliöön:
3a2 = 2 ( )2
3a2 = 4
4
a2 =
3
4
a = (±)
= 1, 154... ≈ 1, 15 (m)
3
Kuution pinta-ala on
250. Olkoon a kuution sivu. Kuution pinta-alasta saadaan yhtälö:
A=2
6a2 = 2
2
a2 =
6
1
a = (±)
= 0, 577 …(m),
3
joten kuution tilavuus: V = a3 = 0, 577 …3 = 0, 192… ≈ 0, 19 (m3) .
Vastaus: Kuution tilavuus on 0,19 m3.
A = 6 ⋅ (1, 154 …m)2 = 8, 0 m2.
251. Olkoon a kuution sivu. Siis kuution tilavuudesta saadaan:
Vastaus: Pinta-ala on 8,0 m2.
a3 = 27
a = 3 27 = 3 (m).
253.
b
Kuution pinta-ala on siis 6a2 = 6 ∙ 32 = 6 ∙ 9 = 54 (m2).
Koska 1,0 mm = 0, 001 m, niin maalia tarvitaan
54 m2 ∙ 0,001 m = 0,054 m3 = 54 dm3 = 54 l.
R
r
Olkoon R puoliympyrän säde. Kartion pohjaympyrän kehän pituus 2πr
on yhtä suuri kuin taiteltavan puoliympyrän kaaren pituus b. Kaaren
180°
1
⋅ 2π R = ⋅ 2π R = π R .
pituus on b =
360°
2
Olkoon r kartion pohjaympyrän säde. Tämä saadaan ratkaistua R:n
suhteen pohjaympyrän kehän pituuden avulla: 2π r = b
2π r = π R
πR R
r=
=
2π 2
Vastaus: Maalia tarvitaan 54 litraa.
252. Olkoon a kuution sivu. Avaruuslävistäjän kaavan avulla saadaan yhtälö:
d = a2 + a2 + a2
2 = a2 + a2 + a2
2 = 3a2 .
Yhtälöstä ratkaistaan kuution sivu a.
© Kertoma 2! MAB2
R
h
69
TEHTÄVIEN RATKAISUT
Päähakemisto
Tehtävien ratkaisut -hakemisto
Kartion korkeus h saadaan myös kirjoitettua R:n suhteen suorakulmaisen
kolmion avulla, jonka muodostavat pohjaympyrän säde r, kartion korkeusjana h ja kartion sivujana R:
254. Merkitään pohjan kolmion sivua a:lla.
a2 3
.
4
Koska V = Ah = 1 l = 1 dm3 = 1 000 cm3, niin kysytty a: n arvo saadaan
tilavuuden yhtälöstä:
Tasasivuisen kolmion pinta-ala on tällöin A =
r 2 + h2 = R2
h2 = R2 − r 2
R 2
h2 = R2 −
2
R2
h2 = R2 − 2
2
4 2 R2
2
h = R −
4
4
2
3
R
h2 =
4
3R2
3R2
3R
h = (±)
=
=
4
2
4
( )
V = Ah
Ah = V
a2 3
⋅ 10 = 1 000 : 10
4
a2 3
= 100 ⋅ 4
4
2
a 3 = 400 : 3
400
a2 =
3
400
a = (±)
= 15, 19... ≈ 15, 2 (cm).
3
Halutaan siis, että
1 2
π r h = 10
3
R 2 3R
1
⋅
= 10
π⋅
3
2
2
π R2 3 R
⋅ ⋅
= 10
3 4
2
3
Rπ 3
= 10
24
24 ⋅ 10
R3 =
π 3
240
R=3
= 3, 533... ≈ 3, 5 (dm)
π 3
Vastaus: Kolmion sivujen tulee olla 15,2 cm.
255. Olkoon pallon halkaisija aluksi d. Kun ilmapallon kutistuessa halkaisija
lyheni 15 %, niin uusi halkaisija oli tällöin 0,85 d. Pienemmän pallon
halkaisijan suhde suuremman pallon halkaisijaan verrattuna eli pallojen
0, 85d
85 (5 17
= 0, 85 =
=
= 17 : 201 .
välinen mittakaava on
d
100
20
Tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio, joten
( )
913
= 0, 6141...
( ) = 84 000
V2
17
=
V1
20
Pallon tilavuus siis pieneni 100 % − 61,41... % = 38,58... % ≈ 39 %.
Vastaus: Pallon tilavuus pieneni 39 %.
Vastaus: Ympyrän säteen tulee olla 3,5 dm.
© Kertoma 2! MAB2
3
70
TEHTÄVIEN RATKAISUT
Päähakemisto
Tehtävien ratkaisut -hakemisto
256. Koska kution tilavuus on 1 dm3, niin kuution sivun pituus on 1 dm ja
kuution pinta-ala on AK = 6 ∙ 1 dm2 = 6 dm2. Tilavuus pysyy samana.
Jos pallon tilavuus on 1 dm3, niin sen säde r saadaan ratkaistua yhtälöstä
4 3
πr = 1 ⋅ 3
3
4π r3 = 3 : 4π
3
r3 =
4π
3
r=3
= 0, 620... (dm)).
4π
4πr2
0,620...2
258. Kartion pohjaneliön sivu a saadaan pinta-alan yhtälöstä:
a2 = 100
a = 100 = 10 (m).
Tällöin pohjaneliön lävistäjä d saadaan Pythagoraan lauseella:
d2 = 102 + 102
d = 200 = 10 2 .
(Tai suoraan kaavalla d = a 2 = 10 2. )
Lävistäjän puolikas on siis
(dm2).
Tällöin pallon pinta-ala on AP =
= 4π ∙
= 4,835...
Muutos prosentteina: 4, 835... = 0, 8058...
6
Siis pinta-ala pienenee 100 % − 80,58…% = 19,40…% ≈ 19,4 %.
h
1, 31
=
kerrotaan ristiin
h + 14, 1 1, 51
1, 51h = 1, 31(h + 14, 1)
1, 51h = 1, 31h + 18, 471
1, 51h − 1, 31h = 18, 4771
0, 2h = 18, 471 ⋅ 5
h = 92, 355 (m).
s
5 2
Kartion korkeus h saadaan nyt laskettua korkeusjanan (h), pohjaneliön
lävistäjän puolikkaan ( 5 2 ) ja kartion sivusärmän (s) muodostaman
h
suorakulmaisen kolmion avulla: tan 50° =
5 2
h = 5 2 tan 50° = 8, 426... (m).
Kartion tilavuus on siis
V = Aph = 100 m2 ∙ 8,426... m = 842,69… m3 ≈ 843 m3.
h
1,31 m
Vastaus: Kartion tilavuus on 843 m3.
h + 14,1 m
8 Geometriaa koordinaatistossa
14,1 m
259. a) Pisteet A ja B sijaitsevat suoralla y = 4, joten janan AB pituus on sama
kuin pisteiden A ja B x-koordinaattien etäisyys lukusuoralla eli
|−3 − 1| = |−4| = 4.
b) Luku −1 on lukujen −3 ja 1 eli pisteiden A ja B x-koordinaattien
−3 + 1 −2
=
= −1.
keskiarvo eli
2
2
Siispä janan AB keskipiste on (−1, 4).
1,51 m
Siis pylvään tilavuus on
1
1
V = Visok − Vpikkuk = π r12(h + 14, 1) − π r22h
3
3
π
π
= ⋅ 1, 512 ⋅ 106, 455 − ⋅ 1, 312 ⋅ 92, 355 = 88, 21... ≈ 88, 2 (m3).
3
3
Vastaus: Pylvään tilavuus on 88,2 m3.
© Kertoma 2! MAB2
h
50°
Vastaus: Pinta-ala pienenee 19,4 %.
257.Pylväästä ”katkaistu” kartion huippu (pikkukartio)
on yhdenmuotoinen kokonaisen (ison) kartion
kanssa. Jos pikkukartion korkeutta merkitään h:lla,
ison kartion korkeus on h + 14,1 ja saadaan verranto:
10 2
=5 2.
2
Vastaus: a) Janan AB pituus on 4. b) Janan AB keskipiste on (−1, 4).
71
TEHTÄVIEN RATKAISUT
Päähakemisto
260.
Tehtävien ratkaisut -hakemisto
Lasketaan kulmat apukulmien avulla. Lasketaan ensin kulma a apukulmien a1 ja a2 avulla.
7
6
10
1
2
B
b
3
2
Piirretään pisteiden (−5, 7), (4, −3) ja (2, 1) avulla kolmio koordinaatistoon.
Piirretään kullekin kolmion sivulle toinen kolmio, jonka kaksi muuta
sivua ovat koordinaattiakselien suuntaisia ja kolmion ulkopuolella.
Tällöin muodostuu suorakulmainen kuvio, joka siis koostuu alkuperäisen
kolmion lisäksi kolmesta suorakulmaisesta kolmiosta. Koko tämän
kuvion pinta-ala on 7 ∙ 10 + 2 ∙ 4 = 78. Kun siitä vähennetään äsken
muodostettujen suorakulmaisten kolmioiden pinta-alat, saadaan tehtävän
10 ⋅ 9 4 ⋅ 2 6 ⋅ 7
−
−
= 78 − 45 − 4 − 21 = 8 .
kolmion pinta-ala: A = 78 −
2
2
2
A
1
B
1
g
a
a1
2
2
Lasketaan vastaavasti kulma γ apukulmien γ1 ja γ2 avulla.
1
Apukolmioista saadaan: tan g 1 = eli g 1 = 45° ja tan g 2 = 1 eli g 2 = 45° .
1
1
Tällöin γ = 180° − γ1 − γ2 = 90°
1
b
a2
C
2
Apukolmioista saadaan: tan a1 = eli a1 = 45° ja
2
1
tan a2 = eli a2 = 18, 434 … °
3
Tällöin a = 90° − a1 − a2 = 26,565…° ≈ 26,6°.
Vastaus: Kolmion pinta-ala on 8.
261.
1
g
4
7
1
C
Koska kolmion kulmien summa on 180°, niin viimeinen kulma on
b = 180° − 90° − a = 90° − a =63,434…° ≈ 63,4°.
2
Vastaus: Sivujen pituudet ovat 10, 2 ja 8. Kulmat ovat 90°; 26,6° ja 63,4°.
3
a
A
2
Merkitään A = (−2, −2), B = (−1, 1) ja C = (0, 0).
Lasketaan sivujen pituudet:
AB = ( −1 − ( −2 )2 ) + (1 − ( −2 )2 ) = 12 + 32 = 10
BC = ( −1 − 0 )2 + (1 − 0 )2 = (−1)2 + 12 = 2
AC = ( 0 − ( −2 ) )2 + ( 0 − ( −2 ) )2 = 22 + 22 = 8
© Kertoma 2! MAB2
72
TEHTÄVIEN RATKAISUT
Päähakemisto
Tehtävien ratkaisut -hakemisto
8.Merkitään kysyttyä kulmaa a:lla.
a
Saadaan yhtälö:
⋅ 2π r = 1 ⋅ 360°
360°
a ⋅ 2π r = 360°
360°
a=
2π r
360°
= 19, 09...° ≈ 19°
a=
2π ⋅ 3
Vastaus: Keskuskulma on 19°.
Harjoituskokeet
Pikaosio
4
7
a = 34, 849…° ≈ 34, 8°
1. sin a =
Vastaus: 34,8°
2.
1 km 1 000 m 100 000 cm
=
=
= 5 cm
20 000 20 000
20 000
9.Olkoon r pallon säde. Siis 4π r 2 = 5
5
r2 =
4π
Vastaus: Matka on kartalla 5 cm.
3.Pythagoras: c2 = 42 + 52
c = 41
Vastaus: Hypotenuusa on
4. A =
r = (±)
41 .
Vastaus: Pallon säde on 0,6 cm.
4 ⋅ 5 20
=
= 10
2
2
10. V =
Vastaus: Ala on 10.
5
= 0, 630... ≈ 0, 6 (cm)
4π
4 3 4
π r = π ⋅ 0, 630...3 = 1, 051... ≈ 1, 1 (cm3)
3
3
Vastaus: Pallon tilavuus on 1,1 cm3.
1
1
1
Ah = π r 2h = π ⋅ 102 ⋅ 10 = 1, 047...(cm3)
3
3
3
1 057 cm
m3 ≈ 1, 0 dm3 = 1, 0 l
11. V =
5.Pienin kulma on pienimmän sivun (4) vastainen.
4
tan a = eli a = 38, 65... ≈ 39°
5
Vastaus: Tilavuus on noin 1,0 litraa.
Vastaus: Pienin kulma on 39°.
12.Tilavuus on V = 1 litra = 1 dm3 = 1 000 cm3.
Pohjan ala on A = πr2 = π ∙ (10 cm)2 = π ∙100 cm.
Tilavuudesta saadaan yhtälö:
1
V = Ah
3
1
Ah = V ⋅ 3
3
Ah = 3V : A
3V 3 ⋅ 1 000
h=
=
= 9, 549… ≈ 9, 6 (cm).
π ⋅ 100
A
6
= 3 (cm) . Kehän pituus: p = 2π r = 2π ⋅ 3 = 18, 84... ≈ 19 (cm) .
2
Vastaus: Kehän pituus on 19 cm.
6.Säde: r =
7.A = πr2 = π ∙ 32 = 9π = 28,27... ≈ 28 (cm2)
Vastaus: Pinta-ala on 28 cm2.
Vastaus: Korkeus on noin 9,6 cm.
© Kertoma 2! MAB2
73
TEHTÄVIEN RATKAISUT
Päähakemisto
Tehtävien ratkaisut -hakemisto
13. Av = π rs
h2 + r 2 = s2
s = ± h2 + r 2 = ± 202 + 102 = ± 500
Av = π rs = π ⋅ 10 ⋅ 500 ≈ 702, 48 ( cm2 )
2.1 cm kartalla on 200 metriä luonnossa.
Lasketaan mitattu etäisyys luonnossa x:
15
1
=
x 20 000
x = 15 ⋅ 20 000 = 300 000 (cm)
Vastaus: Vaipan pinta-ala on 700 cm2.
Mitattu etäisyys olisi luonnossa 300 000 cm = 3 000 m
3 000
Prosentteina:
= 0, 9677 …
3 100
Mitattu etäisyys on siis 100 % − 96,77… % = 3,225… % ≈ 3,2 % pienempi
kuin oikea etäisyys.
14.Etutahkon ala on yhteensä 8 cm2 ja takatahkon pinta-ala on myös 8 cm2.
Vasemman sivun särmät ovat 4 cm ja 3 cm eli pinta-ala on 12 cm2.
Oikean sivun ala on 3 + 3 + 6 + 3 + 3 = 21 (cm2).
Pohjan ala on 9 cm2.
Koko ala on siis 8 + 8 + 12 + 21 + 9 = 58 (cm2).
Vastaus: Mittauksessa tehtiin 3,2 prosentin virhe.
Vastaus: Pinta-ala on 58 cm2.
3.Auto kulkee yhdessä tunnissa 40 km, joten auto kulkee yhdessä minuutissa
40 km 2 km
matkan
=
= 0, 666... km.
60
3
0, 666... km 666, 66... m
Siis yksi renkaan pyörähdys on
=
= 4, 444.. m.
150
150
Siis renkaan halkaisija d saadaan selville ympyrän piirin yhtälöstä:
p = πd
p 4, 444...
d= =
= 1, 414... ≈ 1, 4 m.
π
π
Vastaus: Renkaan halkaisija on 1,4 metriä.
Harjoituskoe 1
1.a) Ratkaistaan x Pythagoraan lauseen avulla: x 2 + 32 = 52
x 2 = 25 − 9
x = (±) 16 = 4.
3
3
eli a = 36, 869... ≈ 36, 9° ja cos a = eli a = 53, 130... ≈ 53, 1°
5
5
5
b) tan 30° =
x
5
x=
= 8, 660… ≈ 8, 7
tan 30°
sin a =
ja sin 30° =
y=
4.a) Kolmion ala A =
30°
15 cm
5
= 10
sin 30°
20 cm
5 cm
h
15
h = 15 ⋅ tan 30° = 8,660…(cm)
Puolisuunnikkaan korkeus h: tan 30° =
Lisäksi a = 180° − 90° − 30° = 60°.
5 + 20
⋅ 8,660… = 108,253… ≈ 110 (cm2).
2
Vastaus: a) Kolmion pinta-ala on 22,0 cm2.
b) Puolisuunnikkaan pinta-ala on 110 cm2.
Pinta-ala: A =
Vastaus: a) x = 4, a ≈ 36,9° ja b ≈ 53,1° b) a = 60°, x ≈ 8,7 ja y = 10
© Kertoma 2! MAB2
5 cm
b)
5
y
1
1
ac sin a = ⋅ 5, 7 ⋅ 8, 9 ⋅ sin 120° = 21,9667 … ≈ 22,0 (cm2)
2
2
74
TEHTÄVIEN RATKAISUT
Päähakemisto
Tehtävien ratkaisut -hakemisto
5.Kolikon halkaisija on 51 cm, joten säde r = 25,5 cm = 2,55 dm.
m 100
Lasketaan kolikon tilavuus V = =
= 5, 154 … (dm3) .
ρ 19, 4
Kolikko on lieriö, joten sen paksuus h saadaan ratkaistua yhtälöstä:
V = π r 2h
5,154 … dm3
V
h= 2 =
= 0,252329... dm ≈ 2, 52 cm.
πr
π ⋅ (2, 55dm)2
8.Suorakulmaiset kolmiot DFG ja DCE ovat yhdenmuotoiset, koska niissä
on yhteinen kulma D ja molemmissa on suora kulma. Siis kk-lauseen
ehdot ovat voimassa. Sivu DE saadaan Pythagoraan lauseen avulla:
DE2 + CE2 = CD2
DE2 + 52 = 252
DE = (±) 625 − 25 = 600 .
Koska kolmiot ovat yhdenmuotoiset, saadaan verranto
FG
30
=
5
600
600 FG = 30 ⋅ 5 | : 600
150
FG =
= 6,123… ≈ 6,1.
600
Vastaus: Kolikon paksuus on 2,52 cm.
6.Kolmion sivujen pituudet:
AB = (1 − 3 )2 + ( 3 − ( −1) )2 = (−2)2 + 42 = 20
BC = ( −2 − 1)2 + ( 2 − 3 )2 = (−3)2 + (−1)2 = 10
AC = ( −2 − 3 )2 + ( 2 − ( −1) )2 = (−5)2 + 32 = 34
Vastaus: Janan FG pituus on 6,1.
Täydennetään kuvio suorakulmioksi, jonka kärkipisteet ovat (−2, −1),
(3, −1), (3, 3) ja (−2, 3).
Suorakulmion pinta-ala on Asuorak = 5 ∙ 4 = 20.
Vähennetään tästä kolmen suorakulmaisen kolmion pinta-alat:
3 ⋅1 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4
Akolmiot =
+
+
= 13.
2
2
2
Kysytyn kolmion ala on A = Asuorak − Akolmiot = 20 − 13 = 7.
Harjoituskoe 2
1.a) Kulma a on kuvaan merkityn 130° kulman samankohtaisen kulman
vieruskulma. Koska suorat s ja l ovat yhdensuuntaiset, niin kulma
a = 180° − 130° = 50°.
b) Kuvan kolmiot ovat yhdenmuotoiset, koska niillä on yksi yhteinen
kulma ja yksi vastinkulma on merkitty yhtäsuureksi, joten saadaan
verranto:
5
4
=
x +5 6
4(x + 5) = 6 ⋅ 5
4x + 20 = 30
4x = 10 | : 4
x = 2, 5.
Vastaus: Kolmion sivujen pituudet ovat 10 , 20 ja 34 sekä pinta-ala
on 7.
7.Vesi muodostaa molemmissa tapauksissa lieriön. Alussa lieriön pohjaksi
voidaan ajatella suorakulmainen kolmio. Tankissa on siis vettä
50 ⋅ 40
V = Aph =
⋅ 60 = 60 000 (cm3).
2
Kun tankki käännetään takaisin vaakatasoon, pohjan muodostaa suorakulmio ja
V 60 000
h=
=
= 25 (cm).
Ap 40 ⋅ 60
Vastaus: a) a = 50° b) x = 2,5
Vastaus: Vedenpinta asettuu 25 cm:n korkeudelle.
© Kertoma 2! MAB2
75
TEHTÄVIEN RATKAISUT
Päähakemisto
Tehtävien ratkaisut -hakemisto
5.Lasketaan kolmion sivujen pituudet kaavalla d = (x2 − x1)2 + ( y2 − y1)2 .
Sivu pisteiden (−4, 4) ja (1, −1) välillä:
2.Ap = 3 dm2
h = 30 cm = 3 dm
Lieriön tilavuus on V = Aph = 3 ∙ 3 = 9 (dm3) = 9 (l).
d1 = (−4 − 1)2 + (4 − (−1))2 = 25 + 25 = 50
Vastaus: Lieriön tilavuus on 9 litraa.
Sivu pisteiden (−4, 4) ja (5, 3) välillä:
d2 = (−4 − 5)2 + (4 − 3)2 = 81 + 1 = 82
3.
Sivu pisteiden (1, −1) ja (5, 3) välillä:
55°
h
2,5 cm
d3 = (1 − 5)2 + (−1 − 3)2 = 16 + 16 = 32
Sivu d2 on pisin, joten vain se voi olla hypotenuusa. Tutkitaan toteuttavatko pituudet Pythagoraan lauseen.
2,5 cm
Tasakylkisen kolmion korkeusjana kannalle puolittaa huippukulman ja
kannan.
Ratkaistaan kolmion korkeus muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta:
2, 5
tan 55° =
h
2, 5
h=
= 1,750…
tan 55°
( 50 )2 + ( 32 )2 = 82
( 82 )2 = 82
Pythagoraan lause on siis voimassa, joten kolmio on suorakulmainen.
Vastaus: Kolmio on suorakulmainen.
6.Tilanne 1
Teemu ja Tero ovat samalla puolella pylvästä.
5 ⋅ 1,750…
= 4,376… ≈ 4,3 (cm2).
Kolmion pinta ala on A =
2
x = Teemun etäisyys pylväästä:
25
tan 5° =
x
25
x=
= 285,75… (m).
tan 5°
Vastaus: Kolmion pinta-ala on 4,3 cm2.
4.Merkitään radan sädettä alussa R:llä. Tällöin radan pituus on p = 2πR.
Kun satelliitin radan säde kasvaa 1 km, niin uusi säde on R + 1. Radan
pituus on nyt 2π(R + 1) = 2πR +2π. Radan pituus on siis kasvanut
2πR + 2π − 2πR = 2π = 6,28… ≈ 6,3 (km).
y = Teron etäisyys pylväästä:
25
tan 4° =
y
25
y=
= 357,51… (m).
tan 4°
Vastaus: Kiertorata pitenee 6,3 kilometriä.
25 m
5°
4°
Teemu
x
Tero
y
Teron ja Teemun etäisyys on
y − x = 357,51… m − 285,75… m = 71,76… m ≈ 72 m.
© Kertoma 2! MAB2
76
TEHTÄVIEN RATKAISUT
Päähakemisto
Tehtävien ratkaisut -hakemisto
Tilanne 2
Teemu ja Tero ovat pylvään eri puolilla.
8.Ympyräsektorin säde on 5 cm. Pohjaympyrän kehän pituus on sama kuin
ympyräsektorin kaaren pituus: p = 40 − 5 − 5 = 30 (cm).
Pohjaympyrän säde saadaan kehän pituuden avulla: 2πr = 30 eli
30
r=
= 4,774 … (cm) . Merkitään kartion korkeutta h:lla.
2π
Nyt Pythagoraan lauseen avulla saadaan:
25 m
5°
4°
Teemu
Tero
y
h2 + r 2 = 52
h = 52 − (4,774 … )2 = 1,484 … (cm).
x
Nyt Teron ja Teemun etäisyys on
y + x = 357,51... m + 285,75… m = 643,27… m ≈ 640 m.
Kartion tilavuus on siis
Vastaus: Teron ja Teemun etäisyys on 72 m tai 640 m riippuen siitä,
ovatko heidän mökkinsä samalla vai eri puolella pylvästä.
1
1
V = π r 2h = π ⋅ (4,774 … )2 ⋅ 1,484 … = 35,43… ≈ 35 cm3.
3
3
Vastaus: Kartion tilavuus on 35 cm3.
7.Kuvion piiri on 2(x + 9 + x + 3 + x) + x + 4 = 7x + 28.
Saadaan yhtälö: 7x + 28 = 77
7x = 49
49
x=
=7
7
Kuvio koostuu alaosan suorakulmiosta ja yläosan tasakylkisestä kolmiosta.
Suorakulmion sivut ovat x + 4 ja x + 3. Kun x = 7, niin sivut ovat 11 ja 10.
Suorakulmion pinta-ala on As = 11 ∙ 10 = 110.
Harjoituskoe 3
1.a) Pythagoraan lauseen mukaan: x 2 + 12 = 32
x = 9 − 1 = 8 ≈ 2, 8
1
Lisäksi sin a = eli a = 19, 47...° ≈ 19, 5° ja
3
1
cos a = eli a = 70, 52...° ≈ 70, 5°.
3
Tasakylkisen kolmion kanta on 2x + x + 4 = 3x + 4. Kun x = 7, niin
kannan pituus on 25. Ratkaistaan kolmion korkeus h Pythagoraan lauseen
avulla. Sivu x + 9 = 7 + 9 = 16 on hypotenuusa ja kannan puolikas 12,5 on
toinen kateetti. Saadaan yhtälö:
b) Tasakylkisessä kolmiossa korkeusjana kannalle puolittaa huippukul2
man ja kannan, joten sin 20° =
x
2
x=
= 5,8476… ≈ 5,8.
sin 20°
Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtä suuret. Merkitään niitä a:lla.
Tällöin: 40° + 2a = 180°
2a = 140°
140°
a=
= 70°.
2
h2 + 12, 52 = 162
h = (±) 162 − 12, 52 = 9,987…
25 ⋅ 9,987 …
= 124,84 … ≈ 125.
2
Kokonaispinta-ala on 110 + 124,84… ≈ 225 (pinta-alayksikköä).
Kolmion pinta-ala on Ak =
Vastaus: Kuvion pinta-ala on 225 pinta-alayksikköä.
© Kertoma 2! MAB2
Vastaus: a) x ≈ 2,8; a ≈ 70,5° ja b ≈ 19,5° b) x ≈ 5,8 ja kantakulmat 70°
77
TEHTÄVIEN RATKAISUT
Päähakemisto
Tehtävien ratkaisut -hakemisto
4.Merkitään neliön sivua a:lla. Siis a2 = 25 eli a = (±) 25 = 5 (cm) .
Tämä on myös neliön sisään piirretyn ympyrän halkaisija, joten ympyrän
a 5
säde on = = 2, 5 (cm) .
2 2
Siis ympyrän pinta-ala on: πr2 = π ∙ 2,52 = 19,634... ≈ 20 cm2.
2.Merkitään keskuskulmaa a:lla. Se voidaan ratkaista kaaren pituuden
a
yhtälöstä:
b=
⋅ 2π r
360°
a
⋅ 2π r = b
360°
a
⋅ 2π ⋅ 5 = 22 | ⋅ 360°
360°
a ⋅ 10π = 7 920°
7 920°
a=
10π
a = 252,101… ° ≈ 252,10°.
Vastaus: Neliön sisään piirretyn ympyrän pinta-ala on 20 cm2.
5.Merkitään särmiön pituutta x:llä. Tällöin leveys on 2x ja korkeus on 3x.
Särmiön tilavuus on x ∙ 2x ∙ 3x = 6x3. Saadaan yhtälö:
6x3 = 1 296
x3 = 216
x = 3 216 = 6 (cm).
Särmiön mitat ovat siis x = 6 cm, 2x = 12 cm ja 3x =18 cm.
Avaruuslävistäjän pituus saadaan kaavalla
Vastaus: Keskuskulma on 252,10 astetta.
3.Lasketaan kahden pienemmän kuution sivujen pituudet x ja y kuutioiden
tilavuuksien avulla:
x3 = 125
ja y3 = 64
x = 3 125 = 5 (cm)
x = 3 64 = 4 (cm)
d = x 2 + y2 + z 2
d = 62 + 122 + 182 = 504 = 22,449… ≈ 22 (cm)
Lasketaan vastaavat pinta-alat:
A1 = 6 ∙ 52 = 150 (cm2) ja A2 = 6 ∙ 42 = 96 (cm2),
yhteensä 150 + 96 = 246 (cm2).
Vastaus: Avaruuslävistäjän pituus on 22 cm.
6.Ratkaistaan ensin maapallon säde R: 2π R = 40 000
40 000
R=
= 6 366, 19... (km)
2π
Leveyspiirin 60° vastaavan pikkuympyrän säde saadaan yhtälöstä:
r
cos 60° =
6 366, 19...
r = 6 366, 19... ⋅ cos 60° ≈ 3 183, 09... (km).
Suurimman kuution sivun pituus: z 3 = 216
z = 3 216 = 6 (cm)
Suurimman kuution pinta-ala: A3 = 6 ∙ 62 = 216 (cm2).
246
= 1, 138... joten pienempien kuutioiden valmistamiseen
216
menee 13,8… % ≈ 14 % enemmän peltiä.
Prosenttina:
Siis leveyspiirin pituus p = 2π ∙ 3 183,09... km = 20 000 km eli 50 %
päiväntasaajan pituudesta (40 000 km).
Vastaus: Pienempien kuutioiden valmistamiseen menee 14 % enemmän
peltiä.
© Kertoma 2! MAB2
Vastaus: 60. leveyspiirin pituus on 20 000 km eli 50 % päiväntasaajan
pituudesta.
78
TEHTÄVIEN RATKAISUT
Päähakemisto
Tehtävien ratkaisut -hakemisto
22
= 3,501... (cm) .
2π
Katsojan etäisyys pallon keskipisteestä on siis 10,03501… metriä.
Näkökulma on tangenttikulma 2a.
7.Ratkaistaan ensin pesäpallon säde: 2πr = 22 eli r =
Tapa 2
Merkitään mittakaavaa k:lla. Pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö,
joten mittakaava saadaan ottamalla pinta-alojen suhteesta neliöjuuri.
1
1
.
Siis k2 = eli k =
2
2
0,03501…
10, 03501…
a = 0,1999… °
Saadaan yhtälö: sin a =
Tällöin mittakaava on k = 1 : m = 1 : 2 .
Siis näkökulma on 2a = 2 ∙ 0,1999…° ≈ 0,4°.
Tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio eli saadaan yhtälö:
Vpieni
= k3
Viso
Vpieni
1 3
1
=
=
Viso
2
( 2 )3
1
1
=
Viso ( 2 )3
Viso = ( 2 )3 = 2, 828... ≈ 2, 8 (l).
Vastaus: Pesäpallo näkyy 0,4 asteen kulmassa.
( )
8.Lasketaan ensin mittakaava.
Tapa 1
Merkitään mittakaavaa 1:m. Pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö
( m1 ) = m1 , joten saadaan verranto:
2
2
1
1
2 = 2
m
m2 = 2
m = (±) 2 .
© Kertoma 2! MAB2
Vastaus: Suuremman kansisterin tilavuus on 2,8 litraa.
79
TEHTÄVIEN RATKAISUT