Oulun Suomalaisen Yhteiskoulun lukio 31.1.2014 MAA3 – Geometria VPE Kurssikoe Laske korkeintaan kuusi (6) tehtävää. Kopioi konseptin alkuun alla oleva taulukko ja merkitse siihen ympyröimällä, mitkä tehtävät haluat arvosteltavan. Muista siistit marginaalit ja tehtävien väliin viivat viivoittimella. Palauta kaikki paperit. 7. tehtävä on JOKERI (9p.)! Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7* Pisteet Max 6 6 6 6 6 6 9 Yhteensä Arvosana 39 Määritä perustellen kulman α suuruus [kohdat a) ja b) ] ja sivun x pituus [kohta c] 1. a) 50° b) S1 || S2 s2 α s1 60° c) 8,3 cm 5,8 cm 95° x 2. a) Tiekartaston mittakaava on 1:250 000. Kartalla erään järven pinta-ala on 2,0 cm2. Mikä on järven pinta-ala luonnossa (Vastaus neliökilometreinä)? b) Suorakulmaisen särmiön muotoisen pakastearkun tilavuus on 576 litraa. Määritä pakastearkun mitat, kun sivujen suhde on 6 : 3 : 4. Sivu 1/5 3. Rinne viettää tasaisesti 12o:een kulmassa. Myrsky taittoi rinteessä kasvavan puun 5,0 metrin korkeudelta, ja latvaosa kaatui alarinteeseen irtoamatta tyviosasta. Latva osui maahan 8,0 metrin päässä tyvestä. Laske puun korkeus. 4. Kuvassa oleva suunnikas pyörähtää täyden kierroksen suoran L ympäri. Laske syntyvän pyörähdyskappaleen tilavuus? 4 2 60° 5. L Hihna kulkee kahden hihnapyörän kehällä oheisen kuvan mukaisesti. Laske hihnan pituus, kun isomman pyörän säde on 15 cm, pienemmän 7 cm ja pyörien keskipisteiden etäisyys on 75 cm. 6. Annetun ympyrän ala on A. Mikä on ympyrän ympäri piirretyn pienimmän neliön ala? Entä ympyrän sisään piirretyn suurimman neliön ala? 7. Tasakylkisen kolmion kanta on 10,0 cm ja kyljet 13,0 cm. Kolmion sisälle asetetaan mahdollisimman iso ympyrä, jonka päälle kolmion sisään taas mahdollisimman iso ympyrä. Laske näiden ympyröiden alojen suhde. b) Sama tehtävä kuin tapauksessa a), mutta kolmion tilalla on suora ympyräkartio, jonka pohjan halkaisija on 10,0 cm ja ympyrän tilalla on pallo. (Jokeri 9p.) Sivu 2/5 Vastaukset: 1. a) Kehäkulmaa 42o vastaava keskuskulma on β=2∙α = 84 o. Sen vieruskulma α = 180 o -84 o = 96 o. b)180 − α = 180 − 50 − 60 = 110 50° s2 c) β on x:n vastainen kulma, α viereinen α Sinilause: s1 50° 60° 5,8 8,3 5,8 ⋅ sin 95° = ⇔ sin α = sin α sin 95° 8,3 60° α ≈ 44,12°, joten β =180° – 95° – α ≈ 40,88° Sinilause: x 8,3 8,3 = ⇔x= ⋅ sin β ≈ 5,45 cm sin β sin 95° sin 95° 8,3 cm 5,8 cm Vastaus: 5,5 cm 95° 2. x a) 2 2, 0 cm 2  1  2 2 11 2 2 =  ⇔ A = 2, 0 cm ⋅ 250000 = 1, 25 ⋅10 cm ≈ 13 km A  250000  3 3 3 b) 6 x ⋅ 3 x ⋅ 4 x = 576 dm ⇔ 72 x = 576 dm ⇔ x = 3 576 dm 3 = 2 dm = 20 cm. 72 Vastaus: 120 cm x 60 cm x 80 cm. 3. Puun tyvessä olevaan kulmaan voidaan soveltaa kosiinilausetta. = 5 + 8 − 2 ∙ 5 ∙ 8 ∙ 102 , josta saadaan ≈ 105,63 ja ot- tamalla neliöjuuri puolittain x ≈ 10,3 m. Siis puun korkeus ≈ 15,3 m. Sivu 3/5 4 Tilavuus on sama kuin sellaisen suoran ympyrälieriön tilavuus, jonka korkeus on 4 ja pohjan säde = √3. Säde saadaan muistikolmiosta, 2 60° jonka hypotenuusa on 2. Kysytty tilavuus on näin ollen 4 r L √3 ∙ 4 = 12. 5. z Ympyröiden säteet rajaavat tangentin kanssa kaksi yhdenmuotoista kolmiota (Huippukulma yhteinen, tangentti kohtisuorassa säteen kanssa = kk). Siis: 15 7 = ⇔ x = 65,625 cm 75 + x x 15 y α 75 7 α x y = x 2 − 7 2 ≈ 65,25 cm z + y = (75 + x ) 2 − 15 2 ⇔ z = (75 + x ) 2 − 15 2 − y ≈ 74,57 cm y 2α ⇒ α ≈ 83,88° . Hihna pienemmän ympyrän kehällä: b1 = 2π ⋅ 7 ⋅ ≈ 20,49 cm. x 360° 360° − 2α Hihna isomman ympyrän kehällä: b2 = 2π ⋅ 15 ⋅ ≈ 50,33 cm 360° 2z + b1 + b2 ≈ 220 cm sin α = Vastaus: 220 cm 6. Koska ympyrän ala = ⟺ = ! (1*) eli = "!. Ympärille piirretyn neliön sivun $ pituus on siis 2r ja ala siis: = #2) = 4 = ! . Vastaavasti sisäpuolelle piirretyn neliön lävistäjä on 2r eli neliön sivun pituus on muistikolmion avulla: 2% = 4 eli % = 2 ja sijoittamalla yläpuolelta (1*) nojalla: % = ! . 7. Tehtävien a) ja b) ympyröiden ja pallojen säteet ratkaisemme samalla tavalla. kohdassa b) vain leikkaamme kartion tasoleikkauksella kärjestä alkaen kahtia, jolloin kartiosta tulee tasakylkinen kolmio ja pallosta ympyrä. Suorakulmaisen kolmion ja kartion korkeuden saamme Pythagoraan lauseella yhtälöstä ℎ = 13,0 − 5,0 , josta ℎ = 12,0. Laskemme ensin ison ympyrän säteen r1, jonka saamme yhdenmuotoisten kolmioiden (suora kulma ja yhteinen kulma) avulla verr 12,0 − r1 CD GC 10 = ⇔ 1 = r1 = 5,0 13 , josta 3 . Tämän jälrannosta AB GB keen laskemme pienen ympyrän säteen r2 , jonka saamme yhdenmuotoisten kolmioiden ( ∆ABG ~ ∆EFG (suora kulma ja yhteinen kulma)) avulla verrannosta G E F D r2 C r1 A B Sivu 4/5 10 12,0 − 2 ⋅ − r2 r2 12,0 − 2r1 − r2 r2 EF GF 40 3 = ⇔ = ⇔ = , josta r2 = . AB GB 5,0 13 5,0 13,0 27 Nyt saammekin a) ympyröiden alojen suhteeksi 40 ( )2 2 πr2 40 2 ⋅ 3 2 4 2 16 27 = = 2 = ( )2 = ( )4 = = 0,19753... ≈ 0,198 ja 2 2 10 9 3 81 πr1 ( ) 2 27 ⋅ 10 3 b) pallojen tilavuuksien suhteeksi 4 3 40 πr2 ( )3 40 3 ⋅ 33 4 2 64 3 27 = = 3 = ( )3 = ( )6 = = 0,08779... ≈ 0,0878 . 3 4 3 10 9 3 729 πr1 ( ) 3 27 ⋅ 10 3 3 2 Vastaus: a) ympyröiden alojen suhde on ( ) 4 ≈ 0,198 ja b) pallojen tilavuuksien suhde on 3 2 6 ( ) ≈ 0,0878. . 3 Sivu 5/5