1. No category

Oulun Suomalaisen Yhteiskoulun lukio
28.1.2014
MAA3 – Geometria
VPE
Kurssikoe
Laske korkeintaan kuusi (6) tehtävää. Kopioi konseptin alkuun alla oleva taulukko ja merkitse siihen ympyröimällä, mitkä tehtävät haluat arvosteltavan. Muista siistit marginaalit ja tehtävien väliin viivat viivoittimella. Palauta kaikki paperit. 7. tehtävä on JOKERI (9p.)!
Tehtävä
1
2
3
4
5
6
7
8*
Yhteensä
Pisteet
Max
6
6
6
6
6
6
6
9
39
Arvosana
1.
a) Määritä (perustellen) kulma α
b) Määritä (perustellen) x.
c) Laske kolmion ABC tarkka arvo
2.
a) Suorakulmaisen kolmion lyhin sivu on 7,654 ja toinen terävä kulma 1,111o. Laske
hypotenuusan pituus.
b) Miten suuri on kuvan kolmion pienin kulma?
3.
a) Kolmion kaksi kulmaa ovat 25,0 astetta ja 55,0 astetta ja jälkimmäisen kulman vastainen sivu on 7,3 cm. Laske kolmion ala?
Sivu 1/5
b)
4.
Laske sivun x pituus.
Olympus Mons on sammunut tulivuori Marsissa. Se on Aurinkokunnan korkein tunnettu
vuori. Olympus Mons on noin 27 kilometriä korkea ja 550 kilometriä leveä. Kuinka
kauaksi Olympoksen huipulta näkee Marsin pintaa pitkin mitattuna. Marsin säde on
3400 km. Oletamme, että näkyvyys on riittävän hyvä ja Marsin pinta on tasainen ja 27
km alempana kuin vuoren huippu.
5.
.
6.
Kuinka suuri osuus neliön pinta-alasta peittyy ympyröillä, jos neliön sivun pituus on a?
7.
Osoita kehäkulmalause ts. Kehäkulma on puolet samaa kaarta vastaavan keskuskulman
suuruudesta. (Jokeri 9p.)
Sivu 2/5
Vastaukset:
1.
a) Tangenttisuorat muodostavat 90 asteen kulman ympyrän säteen kanssa, koska kol
mas kulma on 75 astetta jää nelikulmioon vielä 105 asteen kulma.
b) Ei arvosteltu (Tehtävästä puuttui tietoa)
c) Tehtävässä virhe kuvassa. Hyväksyttyjä vastauksia: 35 , 35 (1p.) Jos vain ratkaistu
Pythagoraan lauseella x=12 (1p.)
4
Vastaus: 172 .
5
2.
a) Kolmion lyhin sivu on pienintä kulmaa 1,111 ° vastaava sivu, joten
7,654
7,654
= sin 1,111° ⇔ sin 1,111° ⋅ c = 7,6564 ⇔ c =
= 394,7519... = 394,8.
c
sin 1,111
Vastaus: 394,8.
b) Pienin kulma lyhintä sivua vastainen sivu. Merkitään sitä x:llä, jolloin kosinilauseella
saadaan 4,9 = 6,1 + 5,5 − 2 ∙ 6,1 ∙ 5,5 ∙ , josta =
≈ 49,6
3.
,
,
|cos-1
a) Oheisesta kuviosta kolmion kolmanneksi kulmaksi 180° − 25° − 55° = 100° , joten sivun x
saamme sinilauseella:
x
7,3
7,3 ⋅ sin 100°
=
⇔x=
= 8,776266... ,
sin 100° sin 55°
sin 55°
joten kolmion ala on
7,3 ⋅ (8,7762...) ⋅ sin 25
= 13,5378... ≈ 13,5 neliösenttimetriä.
2
Vastaus: 13,5 neliösenttimetriä.
b) Kosinilauseella = 5 + 10,5 − 2 ∙ 5 ∙ 10,5 ∙ 50 |√ , josta ≈ 8,23
Sivu 3/5
4
Suorakulmaisesta kolmiosta ABO saamme
BO
= cos α ⇔
AO
3400
= cos α ⇔ α = 7,19694...° , joten sektorin BCO kaaren BC pituus on
3400 + 27
7,19694...°
⋅ 2π ⋅ 3400 = 427,075... ≈ 430.
360°
α
.
Vastaus: 430 km.
5. Olkoon kartion pohjan säde R, jolloin oheisesta kuviosta saamme
R
1
= tan α =
, josta taulukkoh
3
kirjan avulla saamme kulman α tarkaksi arvoksi 30° .
Nyt viereisestä kuviosta saamme laskettua kysytyn etäisyyden OP:
r
r
1
= sin 30° ⇔
= ⇔ OP = 2r .
OP
OP 2
Vastaus: 2r.
6. Pallojen tilavuus: 3 ∙ ! = ∙ "5cm% = 500 cm
i) Merkitään lieriön tilavuus yhtä suureksi kuin pallojen tilavuus ja lasketaan säde:
! ∙ ℎ = 500 ⟺ ! = (
14cm.
)
=(
*+,
*+
≈ 7,071cm . Tällöin halkaisija on 2! = 2 ∙ 7,071cm ≈
Sivu 4/5
ii) Merkitään kartion tilavuus yhtä suureksi kuin pallojen tilavuus ja lasketaan säde:
! ∙ ℎ = 500 ⟺ ! = (
7.
x = a 2 + a 2 = 2a
12,247cm ≈ 24cm.
)
=(
*+,
*+
≈ 12,247cm. Tällöin halkaisija on 2! = 2 ∙
x
y 2 = ( 2a + a) 2 + a 2 = 2a 2 + 2 2a 2 + a 2 + a 2 = 4a 2 + 2 2a 2
= 2a 2 ( 2 + 2 )
y
a
x
a
Alkuperäisen neliön pinta-ala = (2a + 2a) 2 = 4a 2 + 4 2a 2 + 2a 2
= 2a 2 (3 + 2 2 ) . Alojen suhde:
2a 2 (3 + 2 2 )
2
2a ( 2 + 2 )
2− 2 )
=
(3 + 2 2 )
(2 + 2 )
=
2+ 2 2+ 2
(6p.)
2
2
Sivu 5/5