‫מבוא לסטטיסטיקה‬ ‫חורף תשע"ו‬ ‫הטכניון ‪ -‬מוסד טכנולוגי לישראל‬ ‫הפקולטה להנדסת תעשייה וניהול‬ ‫תרגיל בית מספר ‪ – 1‬פתרון‬ ‫שאלה ‪:1‬‬ ‫א‪.‬היסטוגרמה‪:‬‬ ‫‪Count of‬‬ ‫‪Price‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Row Labels‬‬ ‫‪<0.1 or‬‬ ‫)‪(blank‬‬ ‫‪0.1-0.2‬‬ ‫‪0.2-0.3‬‬ ‫‪0.3-0.4‬‬ ‫‪0.4-0.5‬‬ ‫‪0.5-0.6‬‬ ‫‪0.6-0.7‬‬ ‫‪0.7-0.8‬‬ ‫‪0.8-0.9‬‬ ‫‪0.9-1‬‬ ‫‪1-1.1‬‬ ‫‪1.1-1.2‬‬ ‫‪1.2-1.3‬‬ ‫‪1.3-1.4‬‬ ‫‪1.4-1.5‬‬ ‫‪1.5-1.6‬‬ ‫‪1.6-1.7‬‬ ‫‪1.7-1.8‬‬ ‫‪1.8-1.9‬‬ ‫‪1.9-2‬‬ ‫‪2.2-2.3‬‬ ‫‪2.5-2.6‬‬ ‫‪2.8-2.9‬‬ ‫‪2.9-3‬‬ ‫‪3-3.1‬‬ ‫‪5.3-5.4‬‬ ‫‪7-7.1‬‬ ‫‪Grand Total‬‬ ‫מבוא לסטטיסטיקה‬ ‫חורף תשע"ו‬ ‫הטכניון ‪ -‬מוסד טכנולוגי לישראל‬ ‫הפקולטה להנדסת תעשייה וניהול‬ ‫ההיסטוגרמה מלמדת אותנו מהו בערך טווח הנתונים ‪ . 0.1 –7.1‬האינטרוול השכיח הוא ‪0.4- 0.5‬‬ ‫ניתן לראות מההיסטוגרמה שההתפלגות אינה סימטרית‪ .‬ההתפלגות הינה אסימטרית ימנית‪.‬‬ ‫ב‪ .‬להלן חישוב המדדים‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫ממוצע‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫חציון‪ 0.694 :‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ X i  0.86‬‬ ‫‪n i 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪X (100)  X (101‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫רבעון ראשון ‪ 0.473 :‬‬ ‫‪‬‬ ‫רבעון שלישי ‪ 0.98 :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫)‪( 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n‬‬ ‫) (‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪X (50)  X (51‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪X (150)  X (151‬‬ ‫‪2‬‬ ‫סטיית התקן המדגמית הינה‬ ‫‪X‬‬ ‫‪Med ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫)‪(   1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪X‬‬ ‫)‪(   1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ 3n ‬‬ ‫)‪( ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Q1 ‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪Q3 ‬‬ ‫‪S2 ‬‬ ‫‪𝑆 = √𝑆 2 = 0.729‬‬ ‫‪‬‬ ‫טווח הנתונים הינו‬ ‫‪‬‬ ‫תחום בין‪-‬רבעוני‪Q3  Q1  0.98  0.473  0.507 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫)‪( ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ X  3n ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 n‬‬ ‫שונות המדגם‪( X i  X ) 2  0.531 :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n  1 i 1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪𝑅 = 𝑋(𝑛) − 𝑋(1) = 7.063 − 0.178 = 6.885‬‬ ‫הטכניון ‪ -‬מוסד טכנולוגי לישראל‬ ‫הפקולטה להנדסת תעשייה וניהול‬ ‫‪‬‬ ‫מבוא לסטטיסטיקה‬ ‫חורף תשע"ו‬ ‫חישוב ‪ UF‬ו ‪:LF‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪𝑠𝑡𝑒𝑝 = (𝑄3 − 𝑄1 ) = 1.5 ∙ 0.507 = 0.7605‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪𝐿𝐹 = 𝑄1 − 𝑠𝑡𝑒𝑝 = 0.473 − 0.7605 = −0.2875‬‬ ‫‪𝑈𝐹 = 𝑄3 + 𝑠𝑡𝑒𝑝 = 0.98 + 0.7605 = 1.7405‬‬ ‫יש ‪ 13‬תצפיות חריגות‪.‬‬ ‫ה ‪ whisker‬התחתון הינו ‪LW =0.178‬‬ ‫ה ‪ whisker‬העליון הינו ‪UW =1.735‬‬ ‫דיאגרמת ‪:BOX PLOT‬‬ ‫בתרשים קופסא ניתן לזהות את החציון‪ ,‬רבעונים ראשון ושלישי (הקופסא עצמה)‪ ,‬טווח הנתונים‬ ‫ותחום בין‪-‬רבעוני‪ .‬יש ‪ 13‬תצפיות חריגות‪ .‬לפי התרשים ההתפלגות היא אסימטרית ימנית‬ ‫שאלה ‪:2‬‬ ‫‪ )1‬א‪ .‬פונקציית התפלגות מצטברת של משתנה אחיד )‪ (a,b‬נתונה ע"י‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫מבוא לסטטיסטיקה‬ ‫חורף תשע"ו‬ ‫הטכניון ‪ -‬מוסד טכנולוגי לישראל‬ ‫הפקולטה להנדסת תעשייה וניהול‬ ‫)‪X ~ Unif (a, b‬‬ ‫‪xa‬‬ ‫‪axb‬‬ ‫‪x>b‬‬ ‫‪0,‬‬ ‫‪xa‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪FX ( x)  ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪b  a‬‬ ‫‪1,‬‬ ‫כדי למצוא את השיברון ה‪ p-‬של המשתנה ‪ X‬באוכלוסייה יש לפתור את המשוואה‪:‬‬ ‫‪FX ( pX )  p‬‬ ‫)‪  pX  F 1 ( p‬‬ ‫‪ pX  a‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪ba‬‬ ‫‪ pX  (b  a ) p  a‬‬ ‫‪‬‬ ‫השיברונים התיאורטיים של התפלגות אחידה )‪ Up  p : (0,1‬‬ ‫‪  px  a  (b  a)   Up‬‬ ‫ב)‬ ‫שברונים‬ ‫תיאורטיים לפי‬ ‫התפלגות‬ ‫אחידה(‪)0,1‬‬ ‫שברונים אימפירים‬ ‫(התצפיות מסודרות‬ ‫מהקטנה לגדולה)‬ ‫‪i‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0.05‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪0.15‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0.25‬‬ ‫‪0.3‬‬ ‫‪0.35‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪0.45‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪0.55‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫‪0.65‬‬ ‫‪0.7‬‬ ‫‪0.75‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪0.85‬‬ ‫‪0.9‬‬ ‫‪0.95‬‬ ‫‪9.2‬‬ ‫‪9.5‬‬ ‫‪9.6‬‬ ‫‪9.7‬‬ ‫‪9.9‬‬ ‫‪10.2‬‬ ‫‪10.3‬‬ ‫‪10.7‬‬ ‫‪10.9‬‬ ‫‪11.2‬‬ ‫‪11.3‬‬ ‫‪11.4‬‬ ‫‪11.5‬‬ ‫‪11.9‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪12.2‬‬ ‫‪12.5‬‬ ‫‪12.6‬‬ ‫‪13‬‬ ‫מבוא לסטטיסטיקה‬ ‫חורף תשע"ו‬ ‫הטכניון ‪ -‬מוסד טכנולוגי לישראל‬ ‫הפקולטה להנדסת תעשייה וניהול‬ ‫הדיאגרמה המתאימה‪:‬‬ ‫הקונפיגורציה בגרף קרובה לקו ישר שחותכו ‪ 9‬ושיפועו ‪ 4‬ולכן נסיק כי הנתונים מייצגים מדגם מקרי‬ ‫מהתפלגות אחידה (‪.)9,13‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪5‬‬ ‫שברונים‬ ‫תיאורטיים לפי‬ ‫התפלגות נורמלית‬ ‫(‪)0,1‬‬ ‫שברונים אימפירים‬ ‫(התצפיות מסודרות‬ ‫מהקטנה לגדולה)‬ ‫‪-1.281551566‬‬ ‫‪-0.841621234‬‬ ‫‪-0.524400513‬‬ ‫‪-0.253347103‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0.253347103‬‬ ‫‪0.524400513‬‬ ‫‪0.841621234‬‬ ‫‪1.281551566‬‬ ‫‪7.4‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪11.8‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪16.2‬‬ ‫‪18.2‬‬ ‫הטכניון ‪ -‬מוסד טכנולוגי לישראל‬ ‫הפקולטה להנדסת תעשייה וניהול‬ ‫מבוא לסטטיסטיקה‬ ‫חורף תשע"ו‬ ‫הקונפיגורציה בגרף קרובה לקו ישר שחותכו ‪ 13‬ושיפועו ‪ 4‬ולכן נסיק כי הנתונים מייצגים מדגם מקרי‬ ‫מהתפלגות נורמלית ‪. N 13, 42 ‬‬ ‫‪6‬‬