Riemannin sarjateoreema
LuK-tutkielma
Sami Määttä
2368326
Matemaattisten tieteiden laitos
Oulun yliopisto
Syksy 2016
Sisältö
Johdanto
2
1
Lukujonot
3
2
Sarjat
4
2.1
2.2
2.3
6
6
9
Vuorottelevat sarjat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ehdollisesti ja itseisesti suppenevat sarjat . . . . . . . . . . . .
Riemannin sarjateoreema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lähdeluettelo
13
1
Johdanto
Tutkielmassa tutustutaan aluksi lukujonen suppenemisen käsitteeseen, jota
tarvitaan sarjan summan määrittelyssä. Tutkielmassa tutustutaan sarjoihin
lukuisten esimerkkien avulla, jolloin saadaan kosketuspintaan niiden ominaisuuksiin. Sen lisäksi tarkastellaan vuorottelevia sarjoja, joihin liittyy olennaisesti ehdollinen suppenevuus. Tutkielma kulminoituu Riemannin sarjateoreeman todistukseen, jossa aiemmin mainittuja käsitteitä hyödynnetään.
Sarjateoreemalla ei ole juurikaan käytännön käyttökohteita vaan toimii esityksenä ehdollisesti suppenevien sarjojen ominaisuuksista.
Tutkielmassa on käytetty pääasiassa O. E. Stanaitisin teosta [1] ja sarjan
määritelmä on peräisin P. Hästön luentomonisteesta [2]. Riemannin sarjateoreeman todistus pohjautuu J. M. Hyslopin teoksen [3] todistukseen.
2
1
Lukujonot
Olkoon lukujono {ak } ∈ R ja A ∈ R. Lukujonon sanotaan
suppenevan lukuun A, jos kaikille ε > 0 on olemassa sellainen luku nε ∈ Z+ ,
että
|ak − A| < ε, kun k > nε .
Määritelmä 1.1.
Mikäli lukujono ei suppene, niin sanotaan, että se hajaantuu.
Jos lukujono suppenee lukuun A, niin merkitään lim ak = A.
k→∞
Olkoon lukujono {ak } ∈ R. Lukujonon {ak } sanotaan
olevan ylhäältä rajoitettu, jos on olemassa sellainen luku A ∈ R, että
Määritelmä 1.2.
ak ≤ A kaikilla k = 1, 2, 3, . . . .
Vastaavasti lukujonon {ak } sanotaan olevan alhaalta rajoitettu, jos on olemassa sellainen luku B ∈ R, että
ak ≥ B kaikilla k = 1, 2, 3, . . . .
Mikäli lukujono on ylhäältä ja alhaalta rajoitettu sanotaan sen olevan rajoitettu.
Lemma 1.3.
Olkoon lukujono {ak } ∈ R suppeneva. Tällöin se on rajoitettu.
Huomautus 1.4. Lukujono ei välttämättä suppene, vaikka se olisi rajoitettu.
Rajoittamaton lukujono ei kuitenkaan suppene.
3
2
Sarjat
Määritelmä 2.1.
jono Sn , että
Olkoon reaalilukujono {ak } ∈ R. Muodostetaan sellainen
Sn =
n
X
ak = a1 + a2 + a3 + · · · + an .
k=1
Jos jono Sn suppenee eli on olemassa sellainen S ∈ R, että
lim Sn = S,
n→∞
niin lukua S sanotaan sarjan summaksi ja merkitään
∞
X
ak = lim
k=1
Esitystä
∞
P
n→∞
n
X
ak = lim Sn = S.
n→∞
k=1
ak sanotaan sarjaksi ja jonoa Sn sanotaan sarjan osasummaksi.
k=1
Lemma 2.2.
Olkoon ε > 0. Jos sarja
∞
P
ak suppenee, niin on olemassa
k=1
sellainen luku kε > 0, että
|ak | < ε, kun k > kε .
Eli lim ak = 0.
k→∞
Todistus. Lause on todistettu teoksessa [1] sivulla 42.
Esimerkki 2.3.
Osoitetaan, että sarja
∞
P
k=1
1
k(k+1)
suppenee lukuun 1.
Todistus. Nyt
1+k−k
(k + 1) − k
k+1
k
1
1
1
=
=
=
−
= −
.
k(k + 1)
k(k + 1)
k(k + 1)
k(k + 1) k(k + 1)
k k+1
Siis sarjan
∞
P
k=1
1
k(k+1)
osasumma Sn voidaan esittää muodossa
4
1 1
1
1 1
1 1
1
Sn =
−
−
−
−
+
+
+ ··· +
1 2
2 3
4 5
n n+1
1
1 1
1
1
1 1
−
−
−
+
+ ··· +
−
= 1+
2 2
3 3
n n
n+1
1
= 1−
n+1
kaikilla n = 1, 2, 3, . . . .
Täten
∞
X
k=1
1
1
1
= lim Sn = lim 1 −
= 1 − lim
= 1.
n→∞
n→∞
k(k + 1) n→∞
n+1
n+1
Esimerkki 2.4.
Osoitetaan, että harmoninen sarja
∞
P
k=1
Todistus. Osoitetaan, että harmonisen sarjan
∞
P
k=1
1
k
1
k
hajaantuu.
osasumma Sn =
n
P
k=1
ole rajoitettu eli se hajaantuu Lemman 1.3 nojalla.
Nyt
1
k
ei
S1 =1,
1
1
=1+1· ,
2 2
1 1
1
1
1
1
+
>1+ +2· =1+2· ,
S4 =1 + +
2
3 4
2
4
2
S2 =1 +
Induktiolla luvulle n voidaan osoittaa, että
S2n ≥ 1 + n ·
1
n
=1+ ,
2
2
n = 0, 1, 2, . . . .
Nyt lim (1 + n2 ) = ∞, joten Lemman 1.3 nojalla Sn ei ole rajoitettu, eikä
n→∞
∞
P
1
hajaantuu.
siten suppene. Tästä taas seuraa, että harmoninen sarja
k
k=1
5
2.1
Vuorottelevat sarjat
Määritelmä 2.5.
toa
∞
X
Sarjan sanotaan olevan vuorotteleva sarja, jos se on muo-
(−1)
k−1
ak tai
∞
X
(−1)k ak ,
missä ak > 0.
k=0
k=1
Huomautus 2.6. Vuorotteleva sarja sisältää äärettömästi positiivisia ja negatiivisia termejä.
Esimerkki 2.7.
Sarja
∞
X
(−1)k−1
k=1
k
=1−
1 1 1
1
1
+ − + ··· −
+
− ···
2 3 4
2k − 1 2k
on vuorotteleva, sillä se on muotoa
∞
P
k=1
(−1)k−1 ak , jossa ak = k1 . Tätä sarjaa
kutsutaan vuorottelevaksi harmoniseksi sarjaksi.
Lemma 2.8.
Olkoon vuorotteleva harmoninen sarja
penee lukuun ln 2 eli
∞
P
k=1
∞
X
(−1)k−1
k
k=1
(−1)k−1
.
k
Sarja sup-
= ln 2.
Todistus. Lemma on todistettu teoksessa [1] sivuilla 3638.
2.2
Ehdollisesti ja itseisesti suppenevat sarjat
Määritelmä 2.9.
notaan, että sarja
mutta
∞
P
Olkoon sarja
∞
P
∞
P
ak . Mikäli sarja
∞
P
|ak | suppenee, niin sa-
k=1
k=1
ak suppenee itseisesti. Mikäli sarja ei suppene itseisesti,
k=1
ak suppenee, niin sanotaan, että sarja suppenee ehdollisesti.
k=1
6
Tarkastellaan vuorottelevaa harmonista sarjaa
Esimerkki 2.10.
∞
P
k=1
1) Nyt sarja
∞
P
k=1
(−1)k−1
k
= ln 2 Lemman 2.8 nojalla eli se suppenee.
∞
∞ P
P
(−1)k−1 2) Toisaalta
k =
k=1
Esimerkin 2.4 nojalla.
Kohtien 1) ja 2) nojalla sarja
k=1
∞
P
k=1
2.9 nojalla.
Lause 2.11.
(−1)k−1
.
k
1
k
on harmoninen sarja ja se hajaantuu
(−1)k−1
k
suppenee ehdollisesti määritelmän
Olkoon ehdollisesti suppeneva sarja
ak . Tällöin sarjassa on
k=1
negatiivisia ja positiivisia termejä.
Todistus. Olkoon suppeneva sarja
∞
P
∞
P
ak .
k=1
1) Oletetaan ensin, että ak > 0 kaikilla k = 1, 2, 3, . . . . Nyt oletuksesta
∞
∞
∞
P
P
P
seuraa, että sarja
ak suppenee. Lisäksi
|ak | =
ak , sillä ak > 0.
k=1
Näin ollen sarja
∞
P
k=1
k=1
ak siis suppenee itseisesti, eikä ehdollisesti.
k=1
2) Oletetaan, että ak < 0 kaikilla k = 1, 2, 3, . . . . Nyt oletuksen nojalla
∞
∞
∞
∞
P
P
P
P
ak , sillä ak < 0.
−ak = −
|ak | =
ak suppenee. Lisäksi
sarja
k=1
Koska sarja
∞
P
k=1
k=1
∞
P
ak suppenee, niin myös −
k=1
k=1
ak suppenee. Tällöin se siis
k=1
suppenee itseisesti.
3) Oletetaan vielä, että ak = 0. Nyt sarja
∞
P
k=1
se suppenee itseisesti.
ak =
∞
P
k=1
0=
∞
P
|0| = 0. Siis
k=1
Täten kohtien 1)-3) nojalla ehdollisesti suppenevassa sarjassa
∞
P
k=1
ak täytyy
olla sekä positiivisia että negatiivisia termejä. Lisäksi siinä voi olla myös
termejä, jotka ovat 0.
7
Lemma 2.12.
Ehdollisesti suppenevassa sarjassa
ak on ääretön määrä
k=1
positiivisia ja negatiivisia termejä.
Lause 2.13.
∞
P
Olkoon ehdollisesti suppeneva sarja
∞
P
ak . Tällöin sen positii-
k=1
visten termien ja negatiivisten termien erikseen muodostamat sarjat hajaantuvat.
Todistus. Olkoon ehdollisesti suppeneva sarja
Sn =
n
P
∞
P
ak ja tämän eräs osasumma
k=1
ak . Lauseen 2.11 ja Lemman 2.12 nojalla sarjassa
k=1
∞
P
ak on ääret-
k=1
tömästi positiivisia ja negatiivisia termejä. Olkoon Bn1 summa osasumman
Sn positiivisista termeistä ja Cn2 vastaavasti summa negatiivisista termeistä,
missä n1 + n2 = n. Kummassakin osasummassa voi olla ääretön määrä tern
P
mejä, jotka ovat 0. Olkoon lisäksi σn =
|ak |.
k=1
Täten Sn = Bn1 + Cn2 ja σn = Bn1 + |Cn2 | = Bn1 − Cn2 , sillä Cn2 ≤ 0. Nyt
∞
P
ak on ehdollioletuksen nojalla lim Sn = S ja lim σn = ∞, sillä sarja
n→∞
n→∞
sesti suppeneva.
k=1
Nyt
1
1
Bn1 = (2Bn1 ) = (Bn1 + Bn1 + Cn2 − Cn2 )
2
2
1
= (Bn1 + Bn1 + Cn2 + |Cn2 |)
2
1
= (Bn1 + |Cn2 | + Bn1 + Cn2 )
2
1
= (σn + Sn )
2
ja
8
1
1
Cn2 = − (−2Cn2 ) = − (−Cn2 − Cn2 + Bn1 − Bn1 )
2
2
1
= − (|Cn2 | − Cn2 + Bn1 − Bn1 )
2
1
= − (Bn1 + |Cn2 | − Bn1 − Cn2 )
2
1
= − (Bn1 + |Cn2 | − (Bn1 + Cn2 ))
2
1
= − (σn − Sn ).
2
Siis Bn1 = 21 (σn + Sn ) ja Cn2 = − 12 (σn − Sn ).
Nyt σn oletuksen nojalla hajaantuu, joten myös Bn1 ja Cn2 hajaantuvat.
Huomautus 2.14. Lause 2.11 ja Lemma 2.12 ovat seurausta Lauseesta 2.13.
2.3
Riemannin sarjateoreema
Lause 2.15
(Riemannin sarjateoreema). Olkoon sarja
∞
P
ak ehdollisesti sup-
k=1
peneva. Tällöin sarjan termit voidaan järjestellä uudelleen siten, että sarja
suppenee mitä tahansa reaalilukua S ∈ R kohti.
Todistus. Ehdollisesti suppenevan sarjan positiivisten ja negatiivisten ter-
mien muodostamat sarjat hajaantuvat, joten niitä voidaan uudelleenjärjestelyn avulla valita missä järjestyksessä vain. Tällöin esimerkiksi voidaan lisätä positiivisia termejä siten, että osasumma ylittää halutun luvun ja sitten lisätä negatiivisia termejä, että osasumma alittaa halutun luvun. Tätä
menettelyä voidaan jatkaa loputtomasti. Todistus on siis itse asiassa vain
menettelykeino, jolla sarja saadaan suppenemaan haluttuun lukuun.
Olkoon sarja A =
∞
P
ak ehdollisesti suppeneva, B =
k=1
tuu sarjan A termeistä ak , joille ak ≥ 0 ja C =
vastaavasti termeistä ak , joille ak < 0.
∞
P
∞
P
bk sarja, joka koos-
k=1
ck sarja, joka koostuu
k=1
Olkoon ε > 0 ja S ∈ R. Todistetaan induktion avulla, että sarja D =
∞
P
k=1
dk ,
joka saadaan uudelleenjärjestelemällä sarja A, suppenee lukuun S eli, että
kaikille ε > 0 on olemassa sellainen luku nε ∈ N, että
|Dn − S| < ε, kun n > nε .
9
Perusaskel:
Nyt, koska sarja
osasumma
n1
P
∞
P
bk hajaantuu Lauseen 2.13 nojalla, voidaan muodostaa
k=1
bk , jossa luku n1 on pienin sellainen kokonaisluku, että
k=1
n1
X
bk > S.
k=1
Määritellään dk = bk kaikilla k = 1, 2, 3, . . . , n1 .
∞
P
Vastaavasti myös sarja
ck hajaantuu Lauseen 2.13 nojalla. Täten voidaan
k=1
valita luku m1 , joka on pienin sellainen kokonaisluku, että
n1
X
bk +
m1
X
ck < S,
k=1
k=1
sillä ck ≤ 0 kaikilla k = 1, 2, 3, . . . , m1 . Määritellään dn1 +k = ck kaikilla
k = 1, 2, 3, . . . , m1 .
Induktio-oletus:
Oletetaan, että voidaan valita pienimmät sellaiset kokonaisluvut nk > n1 ja
mk > m1 , että
mk
nk
X
X
ck < S.
bk +
k=1
k=1
Induktioaskel:
Valitaan pienin sellainen kokonaisluku nk+1 > nk , että
nk+1
X
bk +
mk
X
ck > S.
k=1
k=1
Määritellään dnk +mk +k = bnk +k kaikilla k = 1, 2, . . . , nk+1 − nk .
Valitaan pienin sellainen kokonaisluku mk+1 > mk , että
mk+1
nk+1
X
k=1
bk +
X
k=1
10
ck < S
dnk+1 +mk +k = cmk +k kaikilla k = 1, 2, . . . , mk+1 − mk .
Nyt siis
Dn1 > S, Dn1 +m1 < S, . . . , Dnk +mk < S, Dnk+1 +mk > S, Dnk+1 +mk+1 < S, . . .
edellisten kohtien nojalla.
Nyt luku n1 on pienin sellainen kokonaisluku, että Dn1 > S eli
n1
P
bk > S.
k=1
Tästä siis seuraa, että
nP
1 −1
bk ≤ S. Tällöin
k=1
nX
1 −1
bk ≤ S <
n1
X
bk ,
k=1
k=1
josta seuraa, että
n −1
n
n1
1
1
X
X
X
bk = |bn1 |.
bk −
bk − S < k=1
k=1
k=1
Nyt bn1 = dn1 , sillä määriteltiin, että dk = bk kaikilla k = 1, 2, 3, . . . , n1 eli
|Dn1 − S| < |dn1 |.
Vastaavasti luku m1 on pienin sellainen kokonaisluku, että Dn1 +m1 < S eli
n1
m1
m1
mP
1 −1
P
P
P
bk +
ck = Dn1 +
ck < S. Tästä seuraa, että Dn1 +
ck ≥ S.
k=1
Täten
k=1
k=1
Dn1 +
k=1
m1
X
ck < S ≤ Dn1 +
m
1 −1
X
ck ,
k=1
k=1
joten
m1
m1
X
X
ck −
ck − S < Dn1 +
Dn1 +
k=1
k=1
Dn1 +
m
1 −1
X
k=1
!
ck = |cm1 |.
Nyt cm1 = dn1 +m1 , sillä määriteltiin, että dn1 +k = ck kaikilla k = 1, 2, 3, . . . , m1
eli
|Dn1 +m1 − S| < |dn1 +m1 |.
11
Vastaavasti sama päättely pätee myös luvuille nk+1 ja mk+1 , joten
|Dnk+1 +mk − S| < |bnk+1 | ja |Dnk+1 +mk+1 − S| < |cmk+1 |.
Koska bnk+1 ja cmk+1 ovat suppenevan sarjan termejä, niin Lemman 2.2 nojalla
kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen kokonaisluku nε , että
|bnk+1 | < ε, kun nk+1 > nε
ja
|cmk+1 | < ε, kun mk+1 > nε .
Nyt kaikille sellaisille kokonaisluvuilla n, että nk + mk < n < nk+1 + mk+1
pätee, että
|Dn − S| < max{|bnk+1 |, |cmk+1 |} < ε.
Esimerkki 2.16.
Tiedetään Lemman 2.8 nojalla, että
∞
P
k=1
siis
(−1)k−1
k
= ln 2. Nyt
1
1 1 1 1 1 1 1 1
+ − + − + − + −
+ ··· ,
2 3 4 5 6 7 8 9 10
joten, kun ln 2 kerrotaan luvulla 2, saadaan sarja
ln 2 = 1 −
∞
2 ln 2 = 2 − 1 +
Järjestellään sarja
X 2(−1)k−1
2 1 2 1 2 1 2 1
− + − + − + − + ··· =
3 2 5 3 7 4 9 5
k
k=1
∞
P
k=1
2(−1)k−1
k
uudelleen, jolloin saada uusi sarja D, jolla on
samat termit, mutta eri summa.
1
2 1
1
2 1
1
D = (2 − 1) − +
−
− +
−
− + ···
2
3 3
4
5 5
6
1 1 1 1 1 1 1 1
1
=1− + − + − + − + −
+ ···
2 3 4 5 6 7 8 9 10
= ln 2.
12
Lähdeluettelo
[1] O. E. Stanaitis: An Introduction to Sequences, Series and Improper Integrals. St. Olaf College, Minnesota, 1967.
[2] P. Hästö: Sarjat ja integraalit -luentomoniste. Oulun yliopisto, 2011.
[3] J. M. Hyslop: Innite Series. University of Witwatersran, Johannesburg,
1959.
13