Numeeriset menetelmät (2017)
Harjoitus 1/viikko 4
1. Insinööri Terävä tutkii takaisinkytkettyä säätöpiiriä, joka vastaa rekursioyhtälöä
xn+1 = xn −
4 + x2n
,
2xn
mutta ei löydä iteraatiolle sellaista alkuarvoa x0 , että rekursio suppenisi. Auta
häntä.
2. Olkoon a 6= 0.
(a) Millä alkuarvon x0 valinnoilla rekursio
1
5
xn+1 = (xn + 2 )
2
xn
n = 0, 1, 2, . . .
suppenee kohti lukua 51/3 ?
(b) Millä alkuarvon x0 valinnoilla rekursio
xn+1 = xn −
x3n − 5
3x2n
n = 0, 1, 2, . . .
suppenee kohti lukua 51/3 ?
(c) Vertaa (a)- ja (b)-kohtien iteraatioiden suppenemisnopeutta ja laske jonon (xn )
viisi ensimmäistä jäsentä kun x0 = 1.
3. Etsi Newtonin menetelmällä yhtälön (x − 2)(x − 5) + 0.0001x3 = 0 juuret.
4. Etsi yhtälön ex − cos x − 1 = 0 positiiviset juuret käyttäen Newtonin menetelmää.
Tutki alkuarvon x0 > 0 valinnan vaikutusta suppenemiseen.
5. Olkoon a > 0.
(a) Osoita, että alkuarvoilla x0 , missä
1
2a
< x0 <
xn+1 = xn (2 − axn ),
3
,
2a
rekursio
n = 0, 1, 2, . . .
suppenee kohti arvoa 1/a.
(b) Tutki rekursion suppenemista alkuarvoilla 0 < x0 <
1
1
2a
ja x0 >
3
?
2a
Exercise 1/week 4
1. Engineer Sharp is studying a feedback system that corresponds to the recurrence
equation
4 + x2n
xn+1 = xn −
,
2xn
but is unable to find an initial value x0 for which the recursion converges. Help him.
2. Let a 6= 0.
(a) For which values of x0 does the recursion
5
1
xn+1 = (xn + 2 )
2
xn
n = 0, 1, 2, . . .
converge to 51/3 ?
(b) For which values of x0 does the recursion
xn+1 = xn −
x3n − 5
3x2n
n = 0, 1, 2, . . .
converge to 51/3 ?
(c) Compare the rate of the convergence of the iterations in (a) ja (b) and calculate
five first terms of the sequence (xn ) with x0 = 1.
3. Find the roots of (x − 2)(x − 5) + 0.0001x3 = 0 by using Newton’s method.
4. Find the positive roots of ex − cos x − 1 = 0 by using Newton’s method. Study the
effect of the choice of x0 > 0 to the convergence.
5. Let a > 0.
(a) Show that for initial values x0 satisfying
xn+1 = xn (2 − axn ),
1
2a
< x0 <
3
2a
the recurrence
n = 0, 1, 2, . . .
converges to 1/a.
(b) Study the convergence of the recursion for 0 < x0 <
2
1
2a
and for x0 >
3
.
2a