1. No category

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
Analyysi II 2015
Kotitehtävien 21 mallit
Santeri Räisänen
1. Määritä potenssisarjan
∞
X
5k
k=1
k2
xk suppenemissäde ja suppenemisväli.
Suppenemissäde voidaan ratkaista laskemalla perättäisten kertoimien raja-arvo:
k
2
ak 5 (k + 1)2 = lim 1 (k + 1) = 1
lim =
lim
k→∞ ak+1 k→∞ 5k+1 k 2 k→∞ 5
k2
5
Siispä suppenemissäde on 15 . Koska kehityskeskus on 0, suppenemisvälin päätepisteet ovat −1
ja 15 . Tutkitaan vielä kuuluvatko nämä päätepisteet välille.
5
1
x= :
5
∞
∞
X
X
5k
1
=
k
2
5 k
k2
k=1
k=1
1
x=− :
5
∞
X
k=1
∞
X −1k
5k
=
−5k k 2
k2
k=1
Sarjoista ensimmäinen suppenee yliharmonisena. Toinen puolestaan suppenee,
sillä se suppenee itseisesti. Täten suppenemisväli on väli [ −1
, 1 ].
5 5
2. Määritä potenssisarjan
∞
X
(−1)k (4x + 1)k kertoimet ak , keskus, suppenemis-
k=0
säde ja suppenemisväli.
Pyöräytetään sarja oikean muotoiseksi:
∞
∞
X
X
1
k
k
(−1) (4x + 1) =
(−4)k (x + )k
4
k=0
k=0
Tästä näkee selvästi, että kertoimet ovat ak = (−4)k ja keskus c = − 41 . Etsitään
sitten suppenemissäde.
(−4)k 1
=
lim k→∞ (−4)k+1 4
1
Jäljelle jää tutkia välin päätepisteet.
1
x=− :
2
∞
∞
∞
X
X
X
k
k
k
k
(−1) (4x + 1) =
(−1) (−1) =
(1)k
k=0
x = 0:
k=0
k=0
∞
∞
∞
X
X
X
(−1)k (4x + 1)k =
(−1)k (1)k =
(−1)k
k=0
k=0
k=0
Selvästikään kumpikaan näistä ei suppene, joten suppenemisväli on väli (− 21 , 0).
3.
(a) Mikä on potenssisarjan
∞
X
5k xk suppenemisväli? Mikä on tällöin sarjan sum-
k=0
ma?
(b) Jos derivoit potenssisarjan
∞
X
5k xk termeittäin, niin minkä sarjan saat? Mikä
k=0
on saadun sarjan suppenemisväli ja summa?
(c) Jos integroit potenssisarjan
∞
X
5k xk termeittäin, niin minkä sarjan saat?
k=0
Mikä on saadun sarjan suppenemisväli ja summa?
(a) Sillä potenssijonomme on geometrinen, suppenee se täsmälleen silloin, kun
pätee seuraava epäyhtälö:
1
1
|5x| < 1 ⇔ − < x < .
5
5
Tällöin voimme käyttää geometrisen sarjan summakaavaa saadaksemme summan:
∞
X
1
(5x)k =
.
1 − 5x
k=0
(b) Derivoidaan sarja termeittäin:
∞
X
k=0
k
D(5x) =
∞
X
k k−1
k5 x
k=0
2
=
∞
X
k=1
k5k xk−1 .
Nyt tiedämmekin, että sarjan suppenemissäde on sama kuin alkuperäisen,
joten jäljelle jää vain tutkia välin päätepisteet.
1
x=− :
5
∞
∞
∞
X
X
X
1
(−1)k
k5k xk−1 =
k5k (− )k+1 =
k
5
5
k=1
k=1
k=1
1
x= :
5
∞
X
k=1
k k−1
k5 x
∞
X
∞
X 1
1
=
k
k5 ( )k+1 =
5
5
k=1
k=1
k
Selvästi nämä eivät suppene, joten suppenemisväli on väli (− 51 , 15 ). Nyt sarjan
summa on yksinkertaisesti alkuperäisen sarjan summan derivaatta:
∞
X
5
k5k xk−1 =
(1 − 5x)2
k=1
(c) Nyt integroidaan sarja termeittäin:
∞
∞ Z
X
X
5k k+1
(5x)k dx =
x
k
+
1
k=0
k=0
Jälleen sarjan suppenemissäde on sama kuin alkuperäisen. Tutkitaan siis
päätepisteet.
1
x=− :
5
∞
∞
X
5k k+1 X −1k
x
=
k+1
(k + 1)5
k=0
k=0
Leibnizin ehdon mukaan tämä suppenee.
1
x= :
5
∞
∞
X
5k k+1 X
1
x
=
k+1
(k + 1)5
k=0
k=0
Tälle voimme löytää harmonisen minorantin, joten sarja ei suppene. Suppenemisväliksi saamme siis välin [− 51 , 15 ). Sarjan summa on alkuperäisen sarjan
summan integraali:
∞
X
5k k+1
1
x
= − ln(1 − 5x)
k+1
5
k=0
3