??.??.????
MATEMATIKK (MAT1005)
Sentralmål / Spredningsmål
DEL 1 (UTEN HJELPEMIDLER) 30 minutter
DEL 2 (MED HJELPEMIDLER) 60 minutter
(Del 1 må leveres inn før hjelpemidlene kan benyttes)
Total poengsum: 30 poeng
Karakter 2: 8p
Karakter 3: 13p
Karakter 4: 18p
Karakter 5: 23p
Karakter 6: 27p
Læreplanmål

Planlegge, gjennomføre og vurdere statistiske undersøkelser

Beregne og drøfte sentralmål og spredningsmål

Gruppere data og beregne sentralmål for et gruppert datamateriale

Bruke regneark i statistiske beregninger og presentasjoner
KJENNETEGN PÅ GRAD AV MÅLOPPNÅELSE
Lav grad – Karakter 1/2
Middels grad – Karakter 3/4
Høy grad – Karakter 5/6
Viser regneferdigheter og matematisk forståelse:
I ingen eller liten grad
I delvis eller noen grad
I stor eller meget stor grad
Formidlingen av oppgaveløsningen er oversiktlig og matematisk korrekt:
I ingen eller liten grad
I delvis eller noen grad
I stor eller meget stor grad
Viser logisk forståelse, er oppfinnsom og anvender faglig kunnskap:
I ingen eller liten grad
I delvis eller noen grad
I stor eller meget stor grad
Når oppgaven krever en bestemt løsningsmetode:
Bruker eleven ingen eller i liten
grad en matematisk metode
Bruker eleven en alternativ
løsningsmetode
Bruker eleven en matematisk
korrekt løsningsmetode
DEL 1 (UTEN HJELPEMIDLER) 30 minutter
Oppgave 1 (6 poeng)
I kiosken på senteret ble det notert hvor mye hver av de syv første kundene betalte for varene de
kjøpte. Dette var resultatet:
20, 60, 50, 45, 55, 20, 30
a) Finn variasjonsbredden.
 Variasjonsbredden er forskjellen mellom høyeste og laveste verdi.
𝑉𝑎𝑟𝑎𝑠𝑗𝑜𝑛𝑠𝑏𝑟𝑒𝑑𝑑𝑒𝑛 = 𝐻ø𝑦𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑖 − 𝐿𝑎𝑣𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑖 = 60 − 20 = 40
Variasjonsbredden er 40.
b) Finn medianen.
 Median som også kalles Q2 ligger midt i tallmaterialet.
Vi ordner tallene: 20, 20, 30, 45, 50, 55, 60 og ser at 45 er det midtre tallet.
Medianen er 45.
c) Hvor mye brukte kundene i gjennomsnitt.
 Vi finner gjennomsnittet ved å legge sammen alle verdiene og deler på antallet observasjoner.
20+60+50+45+55+20+30
7
=
280
7
= 40
Gjennomsnittet er 40.
d) Finn nedre kvartil.
 Lager en tabell over resultatene.
NEDRE HALVDEL
20
20
ØVRE HALVDEL
30
45
50
55
nedre kvartil
median
øvre kvartil
Q1
Q2
Q3
60
Nedre kvartil som også kalles Q1 ligger midt i den nedre halvdel av observasjonene.
Nedre kvartil er 20.
e) Finn øvre kvartil.
 Se tabellen i oppgave d).
Øvre kvartil som også kalles Q3 ligger midt i den øvre halvdel av observasjonene.
Øvre kvartil er 55.
f) Finn kvartilbredden.
 𝐾𝑣𝑎𝑟𝑡𝑖𝑙𝑏𝑟𝑒𝑑𝑑𝑒𝑛 = Ø𝑣𝑟𝑒 𝑘𝑣𝑎𝑟𝑡𝑖𝑙 − 𝑁𝑒𝑑𝑟𝑒 𝑘𝑣𝑎𝑟𝑡𝑖𝑙 = 55 − 20 = 35
Kvartilbredden er 35.
Oppgave 2 (6 poeng)
Histogrammet viser aldersfordelingen i en sjakklubb.
y
Intervall (Alder) Frekvens Intervallbredde Søylehøyde
7
6
[ a,b ⟩
𝑓
𝑏−𝑎
5
[00, 20⟩
[20, 30⟩
[30, 40⟩
[40, 50⟩
[50, 80⟩
4
3
5
6
2
𝑁 = 020
20
10
10
10
30
4
3
2
1
Alder
20
30
40
50
80
x
a) Se på histogrammet, tegn av tabellen og fyll inn verdiene.
Intervall (Alder) Frekvens Intervallbredde Søylehøyde
[ a,b ⟩
𝑓
𝑏−𝑎
[00, 20⟩
[20, 30⟩
[30, 40⟩
[40, 50⟩
[50, 80⟩
4
3
5
6
2
𝑁 = 20
20
10
10
10
30
𝑓
𝑏−𝑎
80
30
50
60
60
𝑆 = 280
b) Hvor mange medlemmer har sjakklubben?
Frekvensen (𝑓) viser hvor mange medlemmer sjakklubben har i de ulike aldersintervallene.
Vi legger sammen frekvensene og får 𝑛 = 20. Sjakklubben har 20 medlemmer.
c) Finn gjennomsnittsalderen til medlemmene i sjakklubben.
Intervall (Alder) Frekvens
Midtpunkt
Sum (𝑆)
[ a,b ⟩
𝑓
𝑥𝑚
𝑓 ∙ 𝑥𝑚
[00, 20⟩
[20, 30⟩
[30, 40⟩
[40, 50⟩
[50, 80⟩
4
3
5
6
2
𝑁 = 20
10
25
35
45
65
40
75
175
270
130
𝑆 = 690
𝐺𝑗𝑒𝑛𝑛𝑜𝑚𝑠𝑛𝑖𝑡𝑡𝑠𝑎𝑙𝑑𝑒𝑟𝑒𝑛 𝑖 𝑠𝑗𝑎𝑘𝑘𝑙𝑢𝑏𝑏𝑒𝑛 =
𝑆 690
=
= 𝟑𝟒, 𝟓 å𝒓
𝑁
20
𝑓
𝑏−𝑎
80
30
50
60
60
𝑆 = 280
DEL 2 (MED HJELPEMIDLER) 60 minutter
Oppgave 4 (8 poeng)
Her er den omtrentlige karakterfordelingen i matematikkfaget
for 1000 studenter ved ett universitet i Norge i 2015.
Karakterene a – f er erstattet med 6 – 1 slik at vi kan regne på tallmaterialet.
Karakter
6
5
4
3
2
1
Kilde: uib.no
Frekvens
99
93
272
166
113
257
a) Hva er typetallet?
 Typetallet er det tallet som forekommer flest ganger.
Vi ser at frekvensen for karakter 4 er 272.
Typetallet er 4.
b) Finn gjennomsnittet.

Karakter
𝑥
6
5
4
3
2
1
Frekvens
𝑓
99
93
272
166
113
257
𝑁 = 1000
𝐺𝑗𝑒𝑛𝑛𝑜𝑚𝑠𝑛𝑖𝑡𝑡𝑠𝑘𝑎𝑟𝑎𝑘𝑡𝑒𝑟 =
𝑓∙𝑥
594
465
1088
498
226
257
𝑆 = 3128
𝑆𝑢𝑚𝑚𝑒𝑛 𝑎𝑣 𝑘𝑎𝑟𝑎𝑘𝑡𝑒𝑟𝑒𝑟 𝑆 3128
= =
≈ 𝟑, 𝟏𝟑
𝐴𝑛𝑡𝑎𝑙𝑙 𝑠𝑡𝑢𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟
𝑁 1000
c) Finn variansen.

Kvadratisk avvik
(𝑥 − 𝑔)2
Karakter
𝑥
6
(6 − 3,13)2 = (−2,87)2
≈ 8,237
5
(5 − 3,13)2 = (−1,87)2
≈ 3,497
4
(4 − 3,13)2 = (−0,87)2
≈ 0,757
3
(3 − 3,13)2 = (−0,13)2
≈ 0,017
2
(2 − 3,13)2 = (−1,13)2
≈ 1,277
1
(1 − 3,13)2 = (−2,13)2
≈ 4,537
𝐴 ≈ 18,32
Vi finner da at summen av de kvadratiske avvikene (A) er ≈ 18,32
𝐴
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠𝑒𝑛 = 𝑁 =
18,32
6
≈ 𝟑, 𝟎𝟓
𝐴 er summen av de kvadratiske avvikene
𝑁 er antall observasjoner
d) Finn standardavviket.
𝐴
 𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟𝑑𝑎𝑣𝑣𝑖𝑘𝑒𝑡 = √𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠𝑒𝑛 = √ 𝑁 = √
18,32
6
≈ 𝟏, 𝟕𝟓
Oppgave 5 (10 poeng)
Tabellen viser omtrent hvor mange personer i Norge som betalte formueskatt i 2012.
Alder
[17, 27⟩
[28, 40⟩
[41, 50⟩
[51, 60⟩
[61, 70⟩
[71, 100⟩
Kilde: ssb.no
Frekvens
6 744
34 725
84 972
142 676
191 760
196 520
a) Hvor mange personer betalte formueskatt?
Alder
[17, 27⟩
[28, 40⟩
[41, 50⟩
[51, 60⟩
[61, 70⟩
[71, 100⟩
Frekvens
6 744
34 725
84 972
142 676
191 760
196 520
𝑁 = 657 397
 Vi legger sammen frekvensen og får 𝑁 = 657 397.
Det betyr at 657 397 personer betalte formueskatt i 2012.
b) Hva er gjennomsnittsalderen til en person som betaler formueskatt?
 Utvider tabellen med Midtpunkt og Sum i tabellen.
Intervall (Alder)
Frekvens (𝑓)
[17, 27⟩
[28, 40⟩
[41, 50⟩
[51, 60⟩
[61, 70⟩
[71, 100⟩
6 744
34 725
84 972
142 676
191 760
196 520
𝑁 = 657 397
𝐺𝑗𝑒𝑛𝑛𝑜𝑚𝑠𝑛𝑖𝑡𝑡𝑠𝑎𝑙𝑑𝑒𝑟 =
Midtpunkt
𝑥𝑚
Sum (𝑆)
𝑓 ∙ 𝑥𝑚
22,0
34,0
45,5
55,5
65,5
85,5
148 368
1 180 650
3 866 226
7 918 518
12 560 280
16 802 460
𝑆 = 42 476 502
42 476 502
≈ 𝟔𝟒, 𝟔𝟏 å𝑟
657 397
c) Finn medianen i det gruppedelte materialet ved regning.
 Legger til Kumulativ frekvens i tabellen.
Intervall (Alder)
Frekvens (𝑓)
[17, 27⟩
[28, 40⟩
[41, 50⟩
[51, 60⟩
[61, 70⟩
[71, 100⟩
6 744
34 725
84 972
142 676
191 760
196 520
Kumulativ
frekvens
6 744
41469
126 441
269 117
460 877
657 397
Vi har 657 397 observasjoner, medianen i datamaterialet er da observasjon nummer:
657 397 +1
2
= 328 699
Observasjon nummer 328 699 ligger i intervallet [61, 70⟩
som har kumulativ frekvens = 269 117 – 460 876.
I dette intervallet har vi da 191 760 observasjoner (fra og med 269 117 og til og med 460 876).
Observasjon nummer 328 699 − 269 117 = 59 582 i intervallet [61, 70⟩ blir da «medianalder».
"𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎𝑙𝑑𝑒𝑟" = 61 å𝑟 +
59 582
191 760
∙ 9 ≈ 𝟔𝟑, 𝟕𝟗𝟔𝟒 å𝒓
∙ 𝟗 𝑓𝑜𝑟𝑑𝑖 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑙𝑒𝑡 ℎ𝑎𝑟 𝑏𝑟𝑒𝑑𝑑𝑒 = 9
d) Finn medianen i det gruppedelte materialet grafisk ved hjelp av GeoGebra.
 Utvider tabellen med Relativ kumulativ frekvens.
Intervall (Alder)
Frekvens (𝑓)
[17, 27⟩
[28, 40⟩
[41, 50⟩
[51, 60⟩
[61, 70⟩
[71, 100⟩
6 744
34 725
84 972
142 676
191 760
196 520
Kumulativ
frekvens
6 744
41 469
126 441
269 117
460 877
657 397
Relativ kumulativ
frekvens
0,0103
0,0631
0,1923
0,4094
0,7011
1,0000
1: Kopierer den kumulative frekvensen og limer denne inn vertikalt i Regneark.
1: Fører også inn 17 og 0 i linje 1 i regneark.
2: Høyreklikk i det merkede området i Regneark og velg: Lag  Polylinje
3:
4: Lag
ved å velge
og så
og klikk i skjæringen.
sier oss at når vi er midt i tallmaterialet (0.5) så er den grafiske medianen 64,1059 år.
e) Lag et histogram i GeoGebra som viser fordelingen.
Intervall (Alder)
Frekvens
Intervallbredde
[𝑎, 𝑏⟩
𝑓
𝑏−𝑎
[17, 27⟩
[28, 40⟩
[41, 50⟩
[51, 60⟩
[61, 70⟩
[71, 100⟩
6 744
34 725
84 972
142 676
191 760
196 520
10
12
9
9
9
29
Søylehøyde
𝑓
𝑏−𝑎
674,40
2 893,75
9 441,33
15 852,89
21 306,67
6 776,55
NB! Husk at GeoGebra ikke vil ha komma ( , ) i Regneark, men punkt ( . )
Merk intervallene (A1 til A7) i GeoGebra, høyreklikk og velg Lag  Liste
Merk intervallene (B1 til B6) i GeoGebra, høyreklikk og velg Lag  Liste
Vi har nå laget to lister, Liste1 og Liste2.
Nederst, i kommandofeltet :
Vi får da dette resultatet: