Karlstads universitet
matematik
Peter Mogensen
Mer om skattningar
69. Du står i en butik. Antalet kunder på en minut är Po(3). Då är sannolikheten för k
3k
3
kunder under en viss minut k! e . Allmänt om parametern är λ så är sannolikheten för k
λk
λ
kunder k! e .
€
€
Men nu vänder vi på det. I allmänhet vet vi inte λ . Vi vill uppskatta vilket värde som är
€troligast för λ . En mycket enkel metod vore i så fall att se hur många kunder som
kommer under en viss minut. Säg att det kommer 30 kunder. Spontant skulle vi väl tänka
att den bästa skattningen i det fallet vore
€ att λ * är 30, men vet vi det? Problemet är
följande:
€
För vilket värde på λ har vi störst sannolikhet
€
att få just 30 kunder under en given minut?
1 ⎛ e λ 30 λ29 − λ30 e λ ⎞
λ29
λ30
ʹ′
f
(
λ
)
=
=
30 − λ)
⎜
⎟
2λ
λ (
€ f ( λ) =
λ
30!
e
30!e
⎝
⎠
30!e ger att
Lösning:
. Ett
f
(
λ
)
teckenschema visar att
har maximum för λ = 30 . Vi gör uppskattningen λ * = 30
€
€
Visa att för allmänt
€
k gäller att ML-skattningen
€
av λ är λ * = k .
€
70a. Vi gör tio identiska försök. 4 lyckas och 6 misslyckas.
Visa att ML-skattningen av p är 0,4.
€
€
b Vi gör n försök. k lyckas. Visa att ML-skattningen av p är k/n.
71. Vi har en lampa med exponentialfördelad livslängd. Efter c timmar går den sönder.
Skatta exponentialfördelningens parameter.
Hittills har det verkat ganska trivialt. Litet krångliga räkningar men inga förvånande
resultat. Det visar sig dock kunna bli mer komplicerat. Antag att vi gör ett stickprov på en
population som är normalfördelad. Vi vet varken väntevärde eller standardavvikelse. Det
är rimligt att skatta väntevärdet µ med stickprovets medelvärde. Men då vi kommer till
skattningen av σ blir det värre. ML-skattningen blir mycket riktigt
€
men denna skattning är inte
!
€!
!
väntevärdesriktig.
€
σ* =
∑ (x − x)
i
n
2
Det blir litet för många större avvikelser från medelvärdet så en ”bättre” skattning är
något större. Detta ernår vi genom att ha n–1 i stället för n i nämnaren som ger
skattningen
s =
∑ (x − x)
2
i
n−1
.
På grund av detta föredrar vi ofta t-fördelningens tabell då vi har att göra med stickprov
på en
€ normalfördelad variabel med okänd varians.