Mer om skattningar 69. Du står i en butik. Antalet kunder på en minut
Karlstads universitet matematik Peter Mogensen Mer om skattningar 69. Du står i en butik. Antalet kunder på en minut är Po(3). Då är sannolikheten för k 3k 3 kunder under en viss minut k! e . Allmänt om parametern är λ så är sannolikheten för k λk λ kunder k! e . € € Men nu vänder vi på det. I allmänhet vet vi inte λ . Vi vill uppskatta vilket värde som är €troligast för λ . En mycket enkel metod vore i så fall att se hur många kunder som kommer under en viss minut. Säg att det kommer 30 kunder. Spontant skulle vi väl tänka att den bästa skattningen i det fallet vore € att λ * är 30, men vet vi det? Problemet är följande: € För vilket värde på λ har vi störst sannolikhet € att få just 30 kunder under en given minut? 1 ⎛ e λ 30 λ29 − λ30 e λ ⎞ λ29 λ30 ʹ′ f ( λ ) = = 30 − λ) ⎜ ⎟ 2λ λ ( € f ( λ) = λ 30! e 30!e ⎝ ⎠ 30!e ger att Lösning: . Ett f ( λ ) teckenschema visar att har maximum för λ = 30 . Vi gör uppskattningen λ * = 30 € € Visa att för allmänt € k gäller att ML-skattningen € av λ är λ * = k . € 70a. Vi gör tio identiska försök. 4 lyckas och 6 misslyckas. Visa att ML-skattningen av p är 0,4. € € b Vi gör n försök. k lyckas. Visa att ML-skattningen av p är k/n. 71. Vi har en lampa med exponentialfördelad livslängd. Efter c timmar går den sönder. Skatta exponentialfördelningens parameter. Hittills har det verkat ganska trivialt. Litet krångliga räkningar men inga förvånande resultat. Det visar sig dock kunna bli mer komplicerat. Antag att vi gör ett stickprov på en population som är normalfördelad. Vi vet varken väntevärde eller standardavvikelse. Det är rimligt att skatta väntevärdet µ med stickprovets medelvärde. Men då vi kommer till skattningen av σ blir det värre. ML-skattningen blir mycket riktigt € men denna skattning är inte ! €! ! väntevärdesriktig. € σ* = ∑ (x − x) i n 2 Det blir litet för många större avvikelser från medelvärdet så en ”bättre” skattning är något större. Detta ernår vi genom att ha n–1 i stället för n i nämnaren som ger skattningen s = ∑ (x − x) 2 i n−1 . På grund av detta föredrar vi ofta t-fördelningens tabell då vi har att göra med stickprov på en € normalfördelad variabel med okänd varians.
© Copyright 2024