1. No category

Flemmings Maplekursus
1. Løsning af ligninger
a) Ligninger med variabel og kun en løsning.
Ligningen
løses
10
=
3
Hvis vi ønsker løsningen udtrykt som en decimalbrøk i stedet:
= 3.333333333
Løsningen 3 er herefter gemt i .
b) Ligninger med flere løsninger
Ligningen
løses
=
Løsningerne er herefter gemt i L og kan kaldes frem
= 1.666666667 og
=
c) Ligninger med komplekse løsninger
Hvis vi løser ligningen
=
på normal vis får vi
Vi er imidlertid ikke interesserede i de komplekse løsninger
=
d) Ligningssystemer
Ligningssystemet
og
løses
=
e) Trigonometriske ligninger
Den trigonometriske ligning
, hvor
løses vha. Gym-pakken
=
Løsningerne er herefter gemt i L og kan kaldes frem
= 0.6801579008 osv.
=
Ligningen kan også løses i grader. Her skal man blot huske at skrive sinus med stort S:
=
2. Specielle ting for maple
1. Konstanterne og skal kaldes frem ved at skrive hhv. efterfulgt af escape og efterfulgt af escape.
2. Man skal i matematiske udtryk altid skrive gangetegnet!
3. Man kan få Maple til at opfatte et tal som et decimaltal ved at tilføje et punktum:
=
eller
= 1.414213562
3. Retvinklet trekant
I hele afsnittet er gym-pakken anvendt. Tegn altid skitser i trekantopgaver!
a) Bestemmelse af side vha. sinus, cosinus eller tangens.
= 3,
= 30
Den ubekendte kalder vi x, i den ligning som maple skal løse.
Siden c findes vha. sinus.
= 6.
b) Bestemmelse af vinkel vha. sinus, cosinus eller tangens
= 3,
= 5.5 og
= 90
Vinklen
findes vha. cosinus
=
c) Bestemmelse af en side vha. pythagoras
I eksemplet ovenfor fås
=
4. Vilkårlig trekant
a) Bestemmelse af side vha. cosinusrelationerne
= 5,
= 4 og
= 35
Siden findes vha. cosinusrelationerne
=
b) Bestemmelse af en vinkel vha. cosinusrelationerne
= 5,
= 6 og
=7
Vinklen
findes vha. cosinusrelationerne
=
c) Bestemmelse af side vha. sinusrelationerne
= 6,
= 30 og
= 40
Siden findes vha. sinusrelationerne
= 7.713451316
d) Bestemmelse af vinkel vha. sinusrelationerne
= 5,
= 7 og
= 34
Vinklen bestemmes vha. sinusrelationerne
=
Det betyder, at man enten må løse opgaven i to tilfælde
=
og
=
eller også fremgår det af opgaven, hvilken af løsningerne der
er den rigtige.
5. Regression
a. Rette linjer
Antallet af frøer i mosen har i en årrække været som vist nedenfor
=
=
Vi undersøger om antallet af frøer afhænger lineært af antallet af år efter 1950.
=
Det ses, at punkter tilnærmelsesvist ligger på en ret linje i et almindeligt koordinatsystem.
Derfor afhænger antallet af frøer lineært af tiden. Regneforskriften er
=
Herudfra kan vi finde antallet af frøer efter 16 år:
Eller bestemme det tidspunkt, hvor der er 100 frøer:
=
=
b) Eksponentielle udviklinger
Man bærer sig ad fuldstændig som ovenfor, i stedet benyttes kommandoen
Husk at tegne grafen på enkelt logaritmisk papir i stedet.
c) Potensudviklinger
Man bærer sig ad fuldstændig som ovenfor, i stedet benyttes blot kommandoen
.
.
Husk at tegne grafen på dobbelt logaritmisk papir i stedet.
6. Cirkler og kugler
a) Bestemmelse af centrum og radius
Vi kvadrerer cirklens eller kuglens radius således (højreklik på ligningen)
complete square
complete square
=
Vi ser, at cirklen har centrum
=
og radius
=2
b) Tegning af grafer
c) Skæring mellem linje og cirkel ud fra ligning
Vi beregner skæringspunktet mellem cirklen og linjen:
=
=
Vi indsætter linjens ligning i cirklens og får maple til at løse den derved opståede ligning
=
Skæringspunkterne er
og
.
d) Skæring mellem linje og cirkel ud fra parameterfremstilling
=
=
evaluate procedure
Vi indsætter koordinatfunktionerne i cirklens ligning og løser ligningen for
solve for t
=
Og ser, at der er to skæringspunkter, nemlig
=
og
=
7. Differentialregning
a) Bestemmelse af f'(x)
Lad en funktion
=
Da bestemmes den afledede funktion let:
være givet.
=
b) Bestemmelse af ligningen for en tangent
Vi ønsker at bestemme ligningen for tangenten til grafen for en funktion
i punktet
Vi ser, at
.
= 3,
= 9 og
=6
Nu bruges etpunktsformlen til bestemmelse af ligningens tangent.
evaluate procedure
Grafen for f tegnes sammen med dens tangent i punktet (3,f(3))
8. Differentialligninger
a) Løsning af differentialligning
Differentiallignignen
løses generelt:
=
=
Den generelle løsning er altså
Differentialigningen
løses med begyndelsesbetingelsen
.
assign as function
=
N
Bemærk. Ovenfor er der højreklikket på resultatet og assigned as function. Nu er N defineret som en
funktion af t og kan frit benyttes:
=
eller
= 0.1791759469
b) Bestemmelse af ligningen for en tangent
Lad en differentialligning
være givet.
Vi ønsker at bestemme ligningen for tangenten til den integralkurve, som går gennem punktet
Vi har altså
= 2 og
.
=1
Stigningstallet bestemmes ved indsættelse af hhv. x- koordinaten og y-koordinaten til punktet i
differentialligningen
Vi får
=6
Nu bestemmes tangentens ligning vha. etpunktsformlen
=
9. Goodness of fit test
På en restaurant har kundernes bestillinger fordelt sig på de fem forskellige menuer på følgende måde
=
Ejeren har på fornemmelsen, at bestillingerne nu fordeler sig anderledes og observerer i en uge
=
a) Nulhypotese
Nulhypotesen er Ho: Fordelingen er som den plejer; altså
.
,
,
,
og
b) Alternativ hypotese
Den alternative hypotese er
H1: Mindst en af menuernes sandsynligheder afviger fra den sædvanlige fordelings sandsynligheder.
c) Forventede værdier
Vi finder først antallet af observationer:
= 543
Nu kan de forventede værdier beregnes
=
d) Teststørrelsen og den kritiske værdi
Teststørrelsen beregnes
=
Teststørrelsen er et udtryk for den relative kvadratiske afvigelse mellem observerede og forventede
værdier for kundernes bestillinger.
Den kritiske værdi beregnes (95%-fraktilen)
=
Den kritiske værdi er et udtryk for, hvilke teststørrelser der er "store" eller "små".
Vi forkaster nulhypotesen, når teststørrelsen er større end den kritiske værdi.
e) Antallet af frihedsgrader
Antallet af frihedsgrader beregnes
=4
f) Fordelingstype
Derfor er der tale om en -fordeling med 4 frihedsgrader.
Vi tegner grafen for fordelingen (vha. kommandoen ChiKvadratGOFtest(obs)).
g) p-værdi
Vi udregner p-værdien (sandsynligheden for at få teststørrelsen Q eller noget, der er værre)
=
h) Testens resultat
Vi ser, at =
Da p-værdien er mindre end signifikansniveauet må vi forkaste nulhypotesen og altså fremover arbejde
ud fra at kundernes bestillinger fordeler sig anderledes end før.
i) Signifikansniveauet
Signifikansniveauet er et udtryk for, hvor sikre vi vil være på testens resultat.
At
betyder, at vi er villige til at risikere at begåfejl i 5% af tilfældene.
10. Uafhængighedstest (Chi^2 konfidenstabeller)
Man har undersøgt overlevelseschancerne for tre bestemte operationstyper og opnået følgende resultat:
=
Vi ønsker at undersøge om status er uafhængig af operationstypen.
a) Nulhypotese
Ho: Status for operationen er uafhængig af operationstypen.
b) Alternativ hypotese
H1: Status for operationen er afhængig af operationstypen.
c) Opstilling af observationsmatrix
Vi opstiller en matrix, hvori tal-informationen for tabellen ovenfor angives
=
og ser, at antallet af rækker er
= 3 og antallet af søjler er
=2
b) udregning af de marginale summer
Nu kan de marginale summer udregnes
=
c) Estimerede værdier
Under antagelse af nulhypotesen er de estimerede værdier givet ved
, hvor står for række, for søjle, R for rækkesum, S for søjle sum og T for
totalsum.
De estimerede værdier under antagelse af nulhypotesen findes
=
d) Teststørrelsen og den kritiske værdi
Teststørrelsen beregnes
= 2.411118636
Teststørrelsen er et udtryk for den relative kvadratiske afvigelse mellem observerede og forventede
værdier for patienternes status.
Den kritiske værdi beregnes (95%-fraktilen)
=
Den kritiske værdi er et udtryk for, hvilke teststørrelser der er "store" eller "små".
Vi forkaster nulhypotesen, når teststørrelsen er større end den kritiske værdi.
d) Antallet af frihedsgrader
Antallet af frihedsgrader er
e) Fordelingstype
Derfor er der tale om en
=2
- fordeling med 2 frihedsgrader
Vi tegner fordelingen (med kommandoen ChiKvadratUtest(M)) og indtegner samtidig testtstørrelsen og
den kritiske værdi.
g) p-værdi
Vi udregner p-værdien (sandsynligheden for at få teststørrelsen Q eller noget, der er værre)
=
%
h) Testens resultat
Vi ser, at p-værdien er større end 5%. Vi kan derfor ikke forkaste nulhypotesen og må altså arbejde ud
fra, at testens resultat er uahfængig af operationstypen.