KTH-Mekanik
[email protected]
Redovisas vid Seminarium 3!
SG1120 Mekanik CMATD
2016/2017
INL 3
Förbered muntlig redovisning om ca 10-15 minuter per uppgift!
Förbered inlämning av samtliga uppgifter!
En boll med massa m skjuts ut ur ett hål på månen
så att den hamnar i ett annat hål på avståndet L.
Bollen har i kaströrelsen en given konstant
horisontell hastighetskomponent v H . Tänk!
Bestäm maxhöjden i bollens bana
och banans krökningsradie vid det tillfället.
Försumma luftmotståndet.
!
Tyngdaccelerationen på månen antas vara g/6, där
g avser jordens tyngdacceleration.
1)
2)
En bil med massan m kör ett varv med konstant
fartökning (v˙ =) k i en horisontell cirkulär bana med
radien R. Tänk! Bilen har ingen fart i
startögonblicket.
! varierar farten (Tänk!) som funktion av
Hur
tillryggalagd sträcka? Hur varierar accelerationen
som funktion av tillryggalagd sträcka s?
3)
4)
En bil med massan m accelereras från vila med konstant effekt
P tills bilen uppnått farten v1 (Tänk givna storheter!). Rörelsen
är rak och horisontell, och luftmotstånd och andra bromsande
krafter är försumbara.
a) Bestäm den energi som accelerationen kräver.
b) Bestäm den tid!( t1 ) accelerationen tar.
c) Bestäm farten v som function av tiden t.
d) Bestäm (driv-)kraften vid sluttiden t1 .
!
En partikelpendel släpps från!vinkel " och rör sig nedåt mot det
lägsta läget. Tyngdaccelerationen g är också nedåt.
a) Bestäm vinkelaccelerationen i lägsta läget.
! i lägsta läget.
b) Bestäm också trådkraften
KTH-Mekanik
[email protected]
Redovisas vid Seminarium 3!
SG1120 Mekanik CMATD
2016/2017
INL 3
Förbered muntlig redovisning om ca 10-15 minuter per uppgift!
Förbered inlämning av samtliga uppgifter!
1
1.
Lösning: Inför horisontell x-axel och vertikal y-axel med origo i vänster hål (se fig).
Hatighetskomponenter i origo är införda också. I banan verkar bara tyngdkraften mg
nedåt.
a) Ur N2 med begynnelsevillkor fås läget:
" mx˙˙ = 0 => x˙ (t) = v H och x(t) = v H t .
x
Byt variabel til x: t =
.(1) N2 med begynnelsevillkor ger också
vH
x2
x (2)
t2
˙ = #mg => y(t)
" m˙y!
! = "g + vV t => y = "g 2 + vV
vH
2
2v H
Vertikal hastighetskomponent
vV i origo för bollen bestäms ur (2): y(L) = 0 =>
!
#
&
L
. Höjden fås då x=L/2 (symmetri i banan) ur (2):
%vV "!g L ( L = 0 => vV = g
2v
2v
v
$
!
H
H' H
!
2
2
# L & L
L
L
!
h = "g 2 + % g ! (
=g 2 .
8v H $ 2v H ' 2v H
8v H
!
! är tyngdaccelerationen i banans normalriktning och farten är
b) På maxhöjden
v2
horisontell. Vi får normalaccelerationen g = H , där " är krökningsradien. Alltså
"
!
2
v
"= H.
g
!
!
2) Lösning:
Farten fås ur rörelsen i tangentriktningen: ( v˙ =) v dv = k ,
ds
2
uttryckt i sträckan s. Primitiva funktioner i VL och HL ger: v = ks + C0 , där C0 = 0 enligt
2
begynnelsevillkor. Detta ger
v = 2ks . Accelerationen är en !
vektor, där vi kan sätta in de naturliga komponenterna som nu är
2k
!
se .
kända: a = ket +
!
R n
!
!
!
!
KTH-Mekanik
[email protected]
Redovisas vid Seminarium 3!
SG1120 Mekanik CMATD
2016/2017
INL 3
Förbered muntlig redovisning om ca 10-15 minuter per uppgift!
Förbered inlämning av samtliga uppgifter!
3) Lösning: a) Den tillförda energin behöver vara bilens slutliga rörelseenergi m v12 .
2
2
m
b) Det arbete som rörelseändringen kräver är enligt ’arbetets lag’: U 0"1 = v1 . Enligt
2
2
2
m
m
v .
definitionen av arbete uttryckt i effekt, fås Pt1 = v1 => t1 =
2P 1 !
2
c) Med konstant effekt blir den tillförda energin proportionell
mot tiden. Arbetet under en
!
godtycklig tid leder till rörelseenergi. Dvs: Pt = m v 2 .
!
!
2
2
Pt
Under den tid accelerationen varar fås: v =
.
m
d) Vid accelerationens slut ges kraften ur definitionen av effekt:
!
F = P . Och dess relation till accelarationstiden blir F = mP .
2t1
v1
!
!
!
4) Lösning:
g
a) Momentlagens z-komponent: mL2"˙˙ = #mgL sin " => "˙˙ = # sin " => "˙˙ = 0
L
Här kan man även använda N2 i transversell riktning.
b) Energiprincipen ger farten v1 i nedersta läget: 1 mv12 = mgL(1" cos #) . Dvs v12 = 2gL(1" cos #) .
2
!
N2 i normalriktningen !
i nedersta läget:
!
v12
m = T " mg => T = mg + 2mg(1" cos # ) = 3mg " 2mg cos # .
L
!
!
!
!
!
!