CMATD-SG1120 2017-02-27
Övningstentamen Mekanik SG1120 för
CMATD
KTH Mekanik/Thylwe
Skrivtid 4 timmar. Inga hjälpmedel förutom skrivdon.
Problemdel
1.
Bestäm kraften P då rullen med papper ligger an mot
hållarens vänstra och nedersta väggar och papperet
dras ner med konstant fart. Tyngdaccelerationen g
(riktad neråt i figuren), rullens massa m, och
friktionstalet µ mellan papper och hållarväggar är
kända.
(6p)
Ledning: Bortse ifrån att rullens massa minskar
!
betydligt
efter en tid.
2.
En lätt cylinderskiva med 4 lika partikelmassor m
släpps rullande längs en slänt med lutningen 45°.
Skivans radie är r. Partiklarna är symmetriskt
belägna vid skivans cirkulära kant. Bestäm farten
hos skivans mittpunkt då skivan rullat ett varv.
Ledning: Skivans mittpunkt förflyttar sig sträckan
s = r" vid rullning utan glidning, där " är
vinkelnskivan vridit sig från utgångsläget. (6p)
3.
!
!
En anordning bestående av två massor, två lätta,
flexibla trådar samt en fjäder kan utföra svängningar.
Trådarna är upprullade på var sina lätta cylindrar,
med liten radie r respektive stor radie R, som sitter
fast i varandra och kan rotera tillsammans utan
motstånd (friktion). Fjädern, vars nedre ände är
förankrad i marken, har kraftkonstanten k men en
obestämd vilolängd. Bestäm svängningsperioden för
anordningen. Tyngdaccelerationen g är känd.
(6p)
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Tentamen Mekanik SG1120 för CMATD
2017-02-27
1. Lösning: Inga accelerationer, jämvikt gäller. Friläggning av papprullen ges i figur.
Jämviktsekvationer för rullen:
Horisontellt: N B " µN A = 0 (1), så att N B = µN A .
Vertikalt: N A + µN B " mg " P = 0 (2),
!
Kring hålets mitt C:
( P " µN!A " µN B ) R = 0 (3).
!
R är en symbol för rullens hela radie från C, men som inte är given. Då dessa ekvationer löses
µ (1+ µ )
mg .
med avseende på P (detaljer ska redovisas), så fås svaret! P =
1" µ
!
!
2. Lösning:
Energiprincipen för ett stelt partikelsystem:
1 (4m)(r" )2 + 4 1 m(r" )2 # 4mgr$ 1 = 0 , där lägesenergin sätts till 0 vid
2
2
2
släppögonblicket.
g
2#r = # 2 2gr
E.P. => 2r" 2 = g# . Efter ett rullat varv fås: "1 =
2r
samt farten: v1 = r" 2 2gr .
!
!
!
Tentamen Mekanik SG1120 för CMATD
2017-02-27
3.
Lösning: Kinematik: Inför en x-axel riktad uppåt för
den högra massans läge relativt det för spänd fjäder.
Rörelsen för den vänstra massan kan då uttryckas
med hjälp av en y-axel riktad neråt där y=rx/R.
Krafter: Bara fjäderkraften och tyngdkraften
påverkar energin i svängningsrörelsen.
( )
( )
( )
!
!
!
2
Energiprincipen ger: 1 M rx˙ + 1 mx˙ 2 " Mg rx + mgx + 1 kx 2 = E , där E är en konstant
2
R
2
R
2
som beror av begynnelsevillkor. Derivering av energiekvationen med avseende på tiden ger:
2
M r x˙x˙˙ + mx˙x˙˙ " Mg r x˙ + mgx˙ + kxx˙ = 0 . Om x˙ förkortas bort fås:
R
R
2 !%
"
r + m ' x˙˙ + kx = "$ M r ( m %' g . Svängningsekvationen blir då:
$M R
#
&
R
#
&
!
"
%
#
&1/2
r
M
(m
$
'
%
(
R
k
k
x˙˙ + $
x
=
g
"
=
.
V
inkelhastigheten
'
%
( ,
n
2
2
2
r
r
$ M r +m'
%
M
+m
M
+m(
#
&
$
'
R
R
R
2
$
'1/2
r
& M R +m)
som i sin tur bestämmer naturliga svängningsperioden: " n = 2# &
) .
k
!
&
)
%
(
4.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
!