1. No category

Osnove teorije grafov
Graf G je urejen par (V (G), E(G)), kjer je V (G) neprazna množica točk in
E(G) množica neurejenih parov [u, v], kjer sta u, v ∈ V (G). Prvi množici rečemo
množica točk grafa G in drugi množica povezav grafa G.
Povezavo [u, v] označujemo tudi kot e = uv in rečemo, da sta točki u in v krajišči
povezave e. Povezavi sta incidenčni, če imata skupno krajišče. Dve ali več povezav,
ki povezujejo isti par točk, imenujemo večkratne ali vzporedne povezave. Grafom,
v katerih so dovoljene take povezave, rečemo multigrafi. Točki u in v grafa G sta
sosednji, če obstaja povezava med njima. Soseščino točke u ∈ V (G), NG (u),
sestavljajo vse točke grafa G, ki so sosednje z u. Stopnja točke u ∈ V (G), dG (u),
je število točk v njeni soseščini. Maksimalna stopnja grafa G, ki jo označimo z
∆(G) in minimalna stopnja grafa G, ki jo označimo z δ(G), sta definirani kot:
∆(G) = max{dG (u) ; u ∈ V (G)} in δ(G) = min{dG (u) ; u ∈ V (G)}.
Graf je r-regularen, če so vse njegove točke stopnje r.
Pot Pn je podana z množico točk V (Pn ) = {v1 , v2 , . . . , vn } in množico povezav
E(Pn ) = {v1 v2 , v2 v3 , . . . , vn−1 vn }. Cikel Cn je podan z množico točk V (Cn ) =
{v1 , v2 , . . . , vn } in množico povezav E(Cn ) = {v1 v2 , v2 v3 , . . . , vn v1 }. Graf na n točkah
z vsemi možnimi povezavami imenujemo polni graf in označujemo s Kn . Množico
točk hiperkocke Qn sestavljajo vsa n-mestna zaporedja b1 b2 . . . bn , kjer je bi ∈
{0, 1}. Dve točki hiperkocke sta sosednji natanko tedaj, ko se pripadajoči zaporedji
razlikujeta v natanko enem mestu.
Graf je povezan, če je vsak par njegovih točk povezan s potjo. Graf je nepovezan,
če ni povezan. Pri nepovezanih grafih obravnavamo maksimalne (glede na vsebovanost) povezane podgrafe. Ti so enolično določeni. Imenujemo jih povezane
komponente grafa. Povezava e grafa G je most ali presečna povezava, če je
graf G − e nepovezan.
Osnovna lema teorije grafov:
X
dG (v) = 2|E(G)| .
v∈V (G)
1. Nariši graf G, če je:
a) V (G) = {x, y, z, u, v, w} in E(G) = {xz, xu, xv, yz, yv, yw, uv, vw}.
Določi še stopnje točk grafa G, δ(G) in ∆(G).
b) V (G) = {a, b, c, d, e} in E(G) = {ab, ac, ba, cd, dd}. Določi še dG (e).
1
2. Nariši primer grafa na:
a) štirih točkah s stopnjami: 2, 2, 3, 3.
b) petih točkah s stopnjami: 1, 2, 2, 3, 3.
c) šestih točkah s stopnjami: 1, 2, 2, 3, 3, 5.
3.
a) Ali obstaja 3-regularen graf na sedmih točkah?
b) Pokaži, da v r-regularnem grafu G velja: 2|E(G)| = r|V (G)|.
c) Pokaži, da ima vsak graf sodo število točk lihe stopnje.
d) Pokaži, da povezan, r-regularen graf, kjer je r sodo število, nima mosta.
Komplement grafa G je graf G, za katerega velja:
V (G) = V (G) in uv ∈ E(G) ⇐⇒ uv ∈
/ E(G).
4. Poišči komplemente grafov G1 , G2 in G3 .
G2
G1
G3
Graf H je podgraf grafa G, če je V (H) ⊆ V (G) in E(H) ⊆ E(G). H je vpeti
podgraf grafa G, če je V (H) = V (G). Če so vsi pari točk podgrafa H grafa G, ki
so sosednji v G, sosednji tudi v H, rečemo, da je H inducirani podgraf grafa G.
5. Podan je graf G:
z
x
y
w
u
v
G
a) Nariši primer podgrafa H grafa G, za katerega je V (H) = {x, z, u, v}.
b) Nariši podgraf H grafa G, ki je induciran s točkami iz množice {x, z, u, v}.
c) Nariši primer vpetega podgrafa H grafa G.
2
Bijektivna preslikava f : V (G) → V (H) je izomorfizem grafov G in H, če
je uv ∈ E(G) ⇐⇒ f (u)f (v) ∈ E(H). Izomorfizem grafov ohranja število točk,
povezav, stopnje točk, podgrafe in druge lastnosti grafov.
6. Ugotovi, ali sta grafa G in H izomorfna. Če sta, poišči izomorfizem med njima,
sicer utemelji, zakaj nista izomorfna.
a)
G
b)
G
H
c)
G
H
G
H
d)
H
Graf je sebi-komplementaren, če je izomorfen svojemu komplementu.
7. Dokaži, da je cikel C5 sebi-komplementaren graf.
8. Poišči vse neizomorfne grafe na petih točkah s šestimi povezavami.
Namig: Najprej nariši njihove komplemente.
3
Sprehod W grafa G je zaporedje točk v1 , v2 , . . . , vk , kjer je vi vi+1 ∈ E(G) za
vsak i = 1, 2, . . . , k − 1. Oznaka W = v1 , v2 , . . . , vk . Sprehod, v katerem so vse
povezave različne, je enostavni sprehod. Sprehod, v katerem so vse točke različne, je pot. Sprehod W = v1 , v2 , . . . , vk , kjer je v1 = vk , je obhod. Obhod, v
katerem so vse točke različne (razen prve in zadnje), je cikel. Sprehodu grafa G,
ki vsebuje vse njegove povezave (vsako natanko enkrat), rečemo Eulerjev sprehod. Eulerjev sprehod, v katerem sta začetna in končna točka enaki, je Eulerjev
obhod. Graf je Eulerjev, če vsebuje Eulerjev obhod. Povezan graf je Eulerjev
natanko tedaj, ko ne vsebuje točk lihe stopnje.
9. Za katere vrednosti n, so polni grafi Kn , kocke Qn ter kolesa Wn Eulerjevi
grafi?
10. Ali lahko graf G narišemo v eni potezi?
G
11. Ali graf G premore Eulerjev sprehod?
G
12. Ali obstaja Eulerjev sprehod po črnih poljih šahovnice 4 × 4, če se lahko iz
danega polja premaknemo le na sosednje črno polje?
Naj bo G povezan graf. Hamiltonov cikel grafa G je cikel, ki vsebuje vse njegove točke. Podobno definiramo tudi Hamiltonovo pot. Graf je Hamiltonov, če
vsebuje Hamiltonov cikel. Omenimo še en zadosten in en potreben pogoj za to, da
je graf Hamiltonov. Diracov izrek govori o zadostnem pogoju in pravi, da je graf G
z |V (G)| ≥ 3 in δ(G) ≥ |V (G)|
Hamiltonov. Za vsak Hamiltonov graf G pa velja, da
2
ima graf G − S kvečjemu |S| povezanih komponent, kjer je S ⊆ V (G).
13. Za katere vrednosti n, so polni grafi Kn in kolesa Wn Hamiltonovi grafi?
4
14. Ali je kocka Q3 Hamiltonov graf?
15. Graf Pm,n je mreža dimenzije m × n.
a) Ali je graf P3,4 Hamiltonov?
b) Pokaži, da graf P3,3 nima Hamiltonovega cikla, niti Eulerjevega sprehoda.
c) Pokaži, da je graf P2006,2007 Hamiltonov.
Graf G = (V (G), E(G)) je dvodelni, če lahko njegovo množico točk zapišemo
kot unijo dveh disjunktnih množic X in Y tako, da ima poljubna povezava grafa G
eno krajišče v X in drugo v Y . Če je vsaka točka iz X sosednja z vsako točko iz Y ,
govorimo o polnem dvodelnem grafu in ga označujemo s Km,n , kjer je m = |X|
in n = |Y |. Graf je dvodelni natanko tedaj, ko ne vsebuje lihih ciklov.
16. Pokaži, da dvodelni graf na lihem številu točk ne more biti Hamiltonov.
17. Ugotovi, ali so grafi G1 , G2 in G3 Hamiltonovi in utemelji odgovore.
G2
G1
G3
Povezanemu grafu brez ciklov rečemo drevo, njegovim točkam stopnje 1 pa listi.
Graf je drevo natanko tedaj, ko je vsak par njegovih točk povezan z natanko eno
potjo. Vsako netrivialno drevo (z vsaj eno povezavo) vsebuje vsaj dva lista. Za
drevo T velja: |E(T )| = |V (T )| − 1. Gozd je graf brez ciklov.
18. Drevo T ima štiri točke stopnje 2, eno točko stopnje 3, dve točki stopnje 4
in eno točko stopnje 5. Točk višjih stopenj nima. Izračunaj, koliko ima točk
stopnje 1, |V (T )| in |E(T )|.
19. Poišči vsa neizomorfna vpeta drevesa grafa G.
G
5
Barvanje točk grafa G je preslikava c : V (G) → N. Barvanju, ki poljubnima
sosednjima točkama dodeli različni barvi, bomo rekli dobro barvanje točk grafa.
Kromatično število grafa G, χ(G), je najmanjše število barv, ki jih potrebujemo
za dobro barvanje točk grafa G. Enostavno se lahko prepričamo, da je graf G z vsaj
eno povezavo dvodelni natanko tedaj, ko je χ(G) = 2. Za vsak graf G velja, da je
χ(G) ≤ ∆(G) + 1. Znani Brooksov izrek pa pravi, da je χ(G) ≤ ∆(G) za vsak graf
G, ki je različen od polnega grafa in lihega cikla.
20. Določi kromatična števila grafov Kn , Cn in Wn .
21. Določi kromatični števili grafov G in H.
H
G
22. Naj bo V (G) = {1, . . . , n} in E(G) = {uv ; u + v je praštevilo}. Določi χ(G).
Barvanje povezav grafa G je preslikava c : E(G) → N. Barvanju, ki incidenčnim povezavam dodeli različne barve, rečemo dobro barvanje povezav grafa.
Kromatični indeks grafa G, χ′ (G), je najmanjše število barv, ki jih potrebujemo
za dobro barvanje povezav grafa G. Vizingov izrek pravi, da je ∆(G) ≤ χ′ (G) ≤
∆(G) + 1 za vsak graf G. Povezani dvodelni grafi so primer grafov, za katere je
kromatični indeks enak maksimalni stopnji grafa. Velja še: χ′ (Kn ) = n − 1, če je n
sodo število in χ′ (Kn ) = n, če je n liho število.
23. Določi kromatične indekse grafov Cn in Wn .
24. Določi kromatične indekse grafov G1 , G2 in G3 .
G2
G1
6
G3
25. Na neki OŠ bo 7 svetovalnih delavcev 34 učencem 8. razreda svetovalo glede
nadaljevanja šolanja. Razgovori bodo potekali individualno, vsak po 30 minut.
Vsak od učencev mora opraviti vsaj en razgovor, določeni učenci pa bodo
opravili dva oz. največ tri različne razgovore. Najmanj koliko različnih terminov za razgovore moramo določiti, če mora prvi svetovalni delavec opraviti 8,
drugi in tretji 10, četrti 7, peti in šesti 14 ter sedmi 9 razgovorov?
26. Na tekmovanju sodeluje n moštev. Vsako moštvo mora odigrati tekmo z
vsakim od preostalih n − 1 moštev. Najmanj koliko kol je potrebnih, če lahko
hkrati odigrajo poljubno število tekem, v katerih tekmujejo različna moštva?
Graf je ravninski, če ga lahko narišemo v ravnini tako, da se nobeni njegovi
povezavi ne sekata. Ravninski graf, skupaj s sliko v ravnini, je vložen v ravnino.
Lica grafa, ki je vložen v ravnino, so sklenjena območja omejena s povezavami. Če
z n označimo število točk, z m število povezav in z f število lic ravninskega grafa,
tedaj po Eulerjevem izreku velja n − m + f = 2. Za povezan ravninski graf z n ≥ 3
velja: m ≤ 3n − 6 (v dvodelnem celo m ≤ 2n − 4). Grafa K5 in K3,3 nista ravninska.
Grafa G in H sta homeomorfna, če ju lahko dobimo iz istega grafa tako, da na
njegove povezave dodamo nekaj novih točk stopnje 2.
Izrek Kuratowskega: Graf je ravninski natanko tedaj, ko ne vsebuje nobenega
podgrafa, ki bi bil homeomorfen grafu K5 oz. K3,3 .
27. Ugotovi, ali so grafi G1 , G2 in G3 ravninski.
G2
G1
G3
28. Kateri izmed grafov K5 , K6 , K3,3 in K3,4 imajo lastnost, da je podgraf, ki je
induciran z odstranitvijo poljubne njihove točke, ravninski graf?
29. Skiciraj primer grafa G, za katerega velja:
(i) |V (G)| = 9 in
(ii) ima dve točki stopnje 2, štiri točke stopnje 3 in tri točke stopnje 4 ter
(iii) G ni ravninski.
30. Graf G ima 15, graf G pa 13 povezav.
a) Koliko točk ima graf G?
b) Skiciraj dva primera grafa G, od katerih naj bo eden ravninski, drugi pa
ne.
7