1. No category

Razni pojmi
- d-regularen graf ima vse točke stopnje d
Hamiltonov graf
- izomorfizem grafov (enaka grafa, ampak drugače narisana)
- graf je Hamiltonov, če vsebuje kak Hamiltonov cikelj
št. točk, št. povezav, stopnje točk, št. dolžine ciklov enako
- Hamiltonova pot je pot v grafu, ki gre preko vsake
- premer grafa je dolžina najdaljše poti v grafu
točke natanko enkrat
- ožina v grafu je število vozlišč (točk) najkrajšega cikla v grafu - Hamiltonov cikelj je skljenjena Hamiltonova pot
- V(G) - množica točk
- Hamiltonovi grafi so povezani
V ( K n ) = n (število točk)
- če odstranimo k točk, imamo največ k komponent
(če jih je več, graf ni Hamiltonov)
V ( K n ,m ) = n + m
- razpad v dvodelnih grafih: v1 množica "belih" točk, v 2
χ ( K n ,m ) = 2 (dvodelen graf) - kromatično število (število barv)
pa množica "črnih" točk, če v1 ≠ v2 , potem graf ni H.
χ (Kn ) = n
- E(G) - množica povezav
n ⋅ (n − 1)
za poln graf (število povezav)
E(Kn ) =
2
- deg(x) - število povezav v točki x (stopnje točke)
- K n - poln graf na n točkah
(vse točke povezane, razen same vase)
- Pn - pot na n točkah; Dn - drevo na n točkah
E ( Pn ) = E ( Dn ) = n − 1
- Cn - cikličen graf na n točkah
E (Cn ) = n
- Qn - hiperkocka
Diracov zadostni pogoj
V (Qn ) = 2 n
- naj bo G graf z vsaj tremi točkami ( V (G ) = n ≥ 3)
n −1
E (Qn ) = n ⋅ 2
n
χ (Qn ) = 2
- če za vsako točko v velja deg(v) ≥ , potem je graf Hamiltonov
2
- Ω(G) - število povezanih komponent (spodaj primer)
izrek: če ∃G ⊆ V (G ) , tako, da je Ω(G \ S ) = S , potem graf nima H. cikla Lastnosti dreves (naj bo T drevo z n točkami
in m povezavami)
če ∃G ⊆ V (G ) , če je Ω(G \ S ) = S + 1 , potem graf nima H. poti
- drevo je povezan graf brez ciklov (graf je povezan gozd)
- Eulerjeva pot - pot/sprehod v grafu, ki vsebuje vse povezave
- gozd je graf brez ciklov (povezane komponente grafa so drevesa)
(cikelj/obhod = sklenjena pot) E. cikelj obstaja, če so vse točke sode stopnje
- vsako drevo in vsak gozd je dvodelen graf
E. pot obstaja, če so vse točke lihe stopnje ali točno dve točki sta lihe stopnje - T je povezan graf, T je brez ciklov, m = n − 1 n točke, m povezave
- Hamiltonova pot - pot/sprehod v grafu, ki vsebuje vse točke
- vsaka povezava v T je prerezna
(cikelj/obhod = sklenjena pot)
- za poljubni točki u in v obstaja natanko ena u − v pot v T
- sosednostna matrika - gledaš sosednje točke
- če drevesu T dodamo katerokoli novo povezavo, vsebuje dobljeni
A= a b c d
graf natanko en cikelj
a 0 1 0 1
Barvanje grafov
b 1 0 1 0 
- kromatično število χ (G) je najmanjše
c 0 1 0 1
število k, za katerega obstaja
k-barvanje točk grafa


Barvanje točk grafa
d 1 0 1 0 
χ (G) ≤ V(G)
ω
(
G
)
velikost
največjega
polnega
podgrafa
v
G
- incidenčna matrika - gledaš stopnjo točk
χ (G) ≤ 2 ⇐⇒ G dvodelen
I= 1 2 3 4
χ (G ) = 1 ⇐⇒ G je brez povezav
- velja ω (G ) ≤ 2 ntk je G brez trikotnikov
a 0 1 0 0
- ∆ (G ) - označuje največjo stopnjo točke v grafu G χ ( K n ) = n, χ ( K n ) = 1
- δ (G )- označuje najmanjšo stopnjo točke v grafu G χ (G ) = V (G ) ⇐⇒ G je poln graf
b  0 1 0 0 
- izrek: ω (G ) ≤ χ (G ) ≤ ∆ (G ) + 1
χ ( K m ,n ) = 2
c 0 1 0 0
χ (T ) = 2, če je T drevo in ima
- izrek (Brooks): če je G povezan


2, n sod
graf, če G ni niti lih cikelj niti
d 0 1 0 0
vsaj dve točki, χ ( Pn ) = χ (Cn ) = 
poln graf, potem je χ (G ) ≤ ∆ (G )
3, n lih
Prerezne točke
in povezave
- v ∈ V (G ) je prerezna
točka grafa G, če ima
G − v strogo več povezanih
komponent kot G
- e ∈ E (G ) je prerezna
povezava grafa G, če ima
G − e strogo več povezanih
komponent kot G
- trditev: e ∈ E (G ) je prerezna
povezava ntk e ne leži na
nobenem ciklu v grafu G
Vpeto drevo
- naj bo G graf in H ⊆ G.
H je vpeto drevo, če je H
vpet podgraf v G in če je
H drevo
- izrek: G je povezan ntk
ima vsaj eno vpeto drevo
- trditev: če je T drevo in
V (T ) ≥ 2 , potem ima T
vsaj dva lista
- posledica: če je G povezan
in V (G ) ≥ 2 , potem vsebuje
G vsaj dve neprerezni točki
χ (Qd ) = 2, če d ≥ 1
- barvanje ravninskih grafov: izrek (štirih barv): če je G
ravninski, potem je χ (G) ≤ 4
Ravninski grafi
Eulerjeva formula
- graf je ravninski, če se ga da narisati
v ravnini (ne da bi se povezave sekale)
- najpreprosteje: najdemo H. cikelj, ga prerišemo v obliki
kroga in nato dopolnimo povezave, če se ga da narisati ne
da bi se povezave sekale, je ravninski
- ravninski graf z n ≥ 3 točkami ima največ 3n − 6 povezav
- če je G ravninski, potem je δ (G) ≤ 5
- izrek (Kuratowski): graf G je ravninski ntk G ne vsebuje
podgrafa izomorfnega subdiviziji K 5 ali K 3,3
- dvodelni graf z n ≥ 3 točkami ima največ 2n − 4 povezav
- npr.: K 3,3
- subdivizija: graf H je subdivizija grafa G, če graf H dobimo
iz grafa G tako, da na vsaki povezavi dodamo nekaj točk
stopnje 2 (primer spodaj)
- velja za ravninske grafe
- naj bo G graf, n število točk,
m število povezav in f število lic
- formula: n − m + f = 2
- posledica: G je povezan ravninski graf,
vsaka njegova risba ima isto število lic
- lica so kot "ploskve", ki obdajajo graf
imamo recimo navaden trikotnik.
Zunaj je eno lice, znotraj pa drugo
Algebra
notranja operacija → grupoid
- naravna števila {1, 2,3,...}
+ asociativnost → polgrupa
- cela števila {−2, −1, 0,1, 2,3,...}
+ enota → monoid
- racionalna števila {ulomki + }
+ vsi elementi obrnljivi (inverzi) → grupa
+ komutativnost → abelova grupa
- realna števila {koreni + }
- asociativnost
- kompleksna števila {i-ji + }
a o (b o c ) = ( a o b ) o c
∈ ∈ ∈ ∈
- enota (e)
leva enota: e o a = a
Primer:
desna enota: a o e = a
( , o)
enota: e o a = a o e = a
a o b = ab
primer: 1 ⋅ x = x
a) ali je grupoid? - ja
- inverzi
x je inverz a ⇔ x o a = a o x = e če je a ∈ in b ∈ , potem je tudi a b ∈
x = a −1
b) ali je asociativno? - ne
a −1 o a = e
(bc )
( 34 )
levo: a o ( b o c ) = a o bc = a
2 = 281
a o a −1 = e
4
c
e−1 = e
desno: ( a o b ) o c = a b o c = a b
23 = 84
- komutativnost
c) ali obstaja enota? - ne, obstaja samo desna
a ob = boa
leva: e o a = a ⇒ e a ≠ a
- absorbcijski element
woa = w
desna: a o e = a ⇒ a e = a1 ⇒ e = 1
primer: 0 ⋅ x = 0
d) ali obstaja absorbcijski element? - ne, obstaja samo levi
- pravilo krajšanja
levi: w o a = w ⇒ wa = w ⇒ a = 1
xoa = xob ⇒ a = b
w
( )
( )
( )
( )
desni: a o w = w ⇒ a ≠ w
Permutacije
dopolni do polgrupe
- permutacija na A je vsaka bijektivna preslikava f : A → A
- permutacija reda n je permutacija v {1, 2,..., n} . Množico vseh permutacij
reda n imenujemo simetrična grupa reda n in jo označimo z S n
- primer:
1 2 3 4 

 - permutacija reda 4
2 3 4 1 
- na naraven način velja: S1 ⊆ S 2 ⊆ S3 ⊆ ...
Produkt permutacij
- ni komutativen
1 2 3 4 5 6 7 
π =

2 3 4 1 7 6 5
1 2 3 4 5 6 7 
ψ =

7 5 4 2 3 1 6
1 2 3 4 5 6
π ∗ψ = 
2 3 4 1 7 6
1 →2
 1 2 3 4 5 6 7
=

 5 4 2 7 6 1 3


1 2 3 4 5 6
ψ ∗π = 
7 5 4 2 3 1
1 2 3 4 5 6 7 
=

5 7 1 3 4 2 6
|a b c
o__________
a c a b
b a b c
Cayleyeva tabela
- grupa ne more biti, če imamo ponovitev
enega znaka v isti vrstici ali istem stolpcu
- Abelova grupa je po diagonalah simetična
G = {0,1, 2} - definirajmo sestevanje
+
|0 1 2
__________
0 0 1 2
1 1 2 3
2 2 3 4
|a b c
o__________
a b c c
b a b b
c a b c
asociativnost ne moremo videti iz tabele, lahko pa
si z njo pomagamo.
Grupa S
primer:
n
- n je število elementov
(a o a) o b = a o (a ob)
naj
bodo
,ψ ,σ ∈ Sn
π
b
ob = a o c
π ∗ψ ∈ S n
b≠c
−1
ugotovimo, da ni asociativno π ∈ Sn
π ∗ (ψ ∗ σ ) = (π ∗ψ ) ∗ σ
* red a = 2
(π ∗ψ ) −1 = π −1 ∗ψ −1
- pomeni a 2 = e
π ∗ π −1 = π −1 ∗ π = id
* red b = 3
π ∗ id = id ∗ π = π
- pomeni b3 = b 2 o b = e
- izrek: ( Sn , ∗) je grupa.
Njena moč Sn je enaka n!
c b c a
za polgrupo velja, da je asociativna
c o a = (a o a ) o a = a o (a o a) = a o c = b
c o b = ( a o a ) o b = a o ( a o b) = a o a = c
* če imaš bolj prazno tabelco, si pomagaš z
enoto, asoc.,... odvisno kaj bi radi dobili
Ciklična struktura permutacije
- je število dolžin posameznih ciklov v zapisu
permutacije z dis. cikli
- ciklična struktura permutacije π j 4+2+1
- ciklična struktura permutacije ψ je 4+3
- 1-ciklu pravimo tudi fiksna točka permutacije
- 2-ciklu pravimo tranzpozicija
(včasih tudi inverzija)
Inverzna permutacija
* identiteto lahko izpustimo,
ampak jo moramo tudi
1 2 3 4 5 6 7 
 1 2 3 4 5 6 7  upoštevati pri določenih primerih
π =
ψ =

 primer:
2
3
4
1
7
6
5


 7 5 4 2 3 1 6  (14)(28)(36)(5) ∗ (18526)(34)(7)
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7



7  1 2 3 4 5 6 7  π −1 =
ψ −1 = 


 (14)(28)(36) ∗ (18526)(34) =
 ∗
=
4 1 2 3 7 6 5
6 4 5 3 2 7 1  = (13)(2 5 )(486)


5 7 5 4 2 3 1 6
1 2 3 4 5 6 7  1 2 3 4 5 6 7 
tle moraš pazit, ker v prvem
...2...
2→ 5
π ∗ π −1 = 
 ∗
=
delu se 5 → 5
2 3 4 1 7 6 5 4 1 2 3 7 6 5
1 2 3 4 5 6 7 
red (α ) = lcm(dolžine ciklov)
=

1 2 3 4 5 6 7 
lcm - najmanjši skupni večkratnik
7  1 2 3 4 5 6 7 
∗
 = Zapis permutacije s transpozicijami
6 2 3 4 1 7 6 5
- vsako permutacijo (iz S n , n ≥ 2) lahko zapisemo kot produkt transpozicij (2-ciklov)
(12345) = (12)(13)(14)(15)
(123456) = (12)(13)(14)(15)(16)
id = (12)(12)
ψ = (176)(2534) = (17)(16)(25)(23)(24)
ϕ = (34512) = (34)(35)(31)(32)
Potenciranje permutacij in ciklov
- permutacije: če je α permutacija iz enega cikla, dolžine
n, je permutacija a k sestavljena iz gcd(n, k ) dis. ciklov,
n
ki so vsi iste dolžine
gcd(n, k )
Parnost permutacij
- izrek (o parnosti permutacij): denimo, da lahko permutacijo π zapišemo kot produkt
m transpozicij, pa tudi kot produkt (morda drugih) n transpozicij. Potem je m ≡ n(mod 2)
- permutacija je soda, če jo lahko zapišemo kot produkt sodo mnogo transpozicij,
permutacija je liha, če jo lahko zapišemo kot produkt liho mnogo transpozicij
1 2 3 4 5 6 7 
π =
 inverzije v permutaciji π : 12,13,14,56,57,67
2 3 4 1 7 6 5
π = (1234)(57)(6) = (12)(13)(14)(57)- zadnjo 6 lahko pozabimo.
Permutacija je soda in ima sodo mnogo inverzij (6 inverzij)
- pravimo, da sta (v permutaciji π ) števili 1 in 2 v inverziji, ker sta
v spodnji vrstici tabelice v napačnem vrstnem redu: 1 je manjše kot 2,
toda 2 je zapisana pred 1
* α n = id α −1 = a n −1
* naj bo π = α1 ∗ α 2 ∗ ... ∗ α m , potem je π k = α1k ∗ α 2 k ∗ ... ∗ α m k
π = (1234)(57)
π 2 = (1234)(57) ∗ (1234)(57) = (1234) 2 (57)2
π 3 = (1234)(57) ∗ (1234)(57) ∗ (1234)(57) = (1234)3 (57)3
- cikli
α = (12345)
α 2 = (12345) ∗ (12345) = (13524)
α = (1357)(2468)
α 3 = α 2 ∗ α = (13524) ∗ (12345) = (14253)
α 4 = α 3 ∗ α = (14253) ∗ (12345) = (15432) = (54321) = α −1 β = (153)(264)(78)
γ = (15)(28)
α 5 = α 4 ∗ α = (54321) ∗ (12345) = (1)(2)(3)(4)(5) = id
/ ∗ β −1
α ∗X ∗β =γ
α 6 = α 5 * α = id * α = α
−1
−1
7
2
X
∗
∗
∗
=
∗
α
β
β
γ
β
α =α
721
= 144 ∗ α 5 ∗ α
α________________
α ∗ X ∗ id = γ ∗ β −1
−1
ψ = (176)(2534)
α ∗/
α ∗ X = γ ∗ β −1
ψ 2007 = (176) 2007 (2534)2007 = (176)3⋅669+ 0 (2534)4⋅501+ 3 =
−1
α ∗ α ∗ X = α −1 ∗ γ ∗ β −1
=
(176) 0 (2534)3 = id ∗ (2534)3 = (2534)3 = (4352)
________________
X = α −1 ∗ γ ∗ β −1
β = (123456)
2
X = (7531)(8642) ∗ (15)(28) ∗ (351)(462)(87)
β = (123456) ∗ (123456) = (135)(246)
X = (182473)(5)(6)
β 3 = (135)(246) ∗ (123456) = (14)(25)(36)
β 4 = (14)(25)(36) ∗ (123456) = (153)(264)
β 5 = (153)(264) ∗ (123456) = (165432) = (654321) = β −1
β 6 = (654321) ∗ (123456) = (1)(2)(3)(4)(5)(6) = id
* če imaš kvadratno enačbo,
rešiš enako kot navadno, le da
na koncu narediš transpozicije
(inverzije)
- če je na sodo potenco,
mora imeti cikelj sodo mnogo
transpozicij, če ne, ni rešljivo
- če je na liho potenco,
mora imeti cikelj liho mnogo
transpozicij, če ne, ni rešljivo