Mekaniikka
fysa210
Laskuharjoitustilaisuudet ke 8.3.2017.
Harjoitukset 8
Ratkaisujen palautus aulan laatikkoon ti 7.3. klo 12 mennessä.
1. Mieti uudelleen luentoesimerkkiä 10.40. Oleta, että systeemi on laitettu liikkeeseen siten, että kumpikin ominaismoodi tarvitaan liikkeen kuvaamiseksi, ja vastaa päätellen seuraaviin kysymyksiin: (a) Miksi voit sanoa,
että systeemin kokonaisenergia säilyy? (b) Tapahtuuko kahden ominaismoodin välillä energian siirtymistä?
(c) Jaa sitten kokonaisenergia kolmeen osaan E = E0 + E1 + E2 siten, että E0 on jouseen varastoitunut
energia ja E1,2 ovat heilureiden 1 ja 2 energiat (liike ja gravitaatio). Näin ajatellen, tapahtuuko heilurien 1
ja 2 välillä energian siirtymistä?
Tehtävien 2-6 tilanteissa koordinaatteja tai yleistettyjä koordinaatteja on 1, 2 tai 3 kpl. Tehtävät 2 ja 6
lähtevät Newtonin mekaniikasta. Tehtävissä 3-5 kannattaa käyttää Lagrangen mekaniikkaa kirjoittaen ensin
liike- ja potentiaalienergian lausekkeet. Useamman kuin yhden koordinaatin tapauksissa on suoraviivaisinta
käyttää §10.3:n luentojen/luentoesimerkkien ratkaisureseptiä eli rakentamalla matriisit {m} ja {A} jne.
2. Kahteen identtiseen harmoniseen värähtelijään (kummankin massa M ja luonnollinen taajuus ω0 ) on jollain
tavalla kytketty kolmas (massa m) siten, että systeemin liikeyhtälöt (niitä on silti vain kaksi) ovat
ẍ1 + (m/M )ẍ2 + ω02 x1 = 0
ẍ2 + (m/M )ẍ1 + ω02 x2 = 0.
Tee sopiva yrite ja laske tämän systeemin normaalimoodien taajuudet.
3. Kappale, jonka massa on M , liikkuu kitkatta vaakasuoraa kiskoa pitkin (kuva alla). Kappaleesta on ripustettu heiluri, jonka varsi (pituus b) on massaton, ja varren päässä on kappale, jonka massa on m. Kaikki
liike tapahtuu samassa tasossa. Laske tämän systeemin ominaistaajuudet.
M
b
m
4. Palaa laskuharjoitustehtävään 4:3 (kaksoisheiluri). Määritä pienten heilahdusten ominaistaajuudet.
5. Tarkastele kolmea kytkettyä heiluria, joiden muodostamalle systeemille sopivasti valituissa yksiköissä
T = 12 M (θ̇12 + θ̇22 + θ̇32 )
U = 21 K(θ12 + θ22 + θ32 − 2εθ1 θ2 − 2εθ1 θ3 − 2εθ2 θ3 ).
Kytkentä johtuu elastisesta tangosta, johon heilurit on ripustettu. Laske systeemin ominaistaajuudet.
6. Kaksi jousilla (jousivakiot κ) seiniin kiinnitettyä kappaletta (massat m) on kontaktissa toisiinsa kuvan mukaisella tavalla ja vain kuvassa vaakasuora liike sallitaan. Kappalten välisestä kitkasta johtuvat voimat ovat
suoraan verrannolliset kappalten nopeuseroon eli ylemmän kappaleen 2 alempaan kappaleeseen 1 kohdistama voima on −β(ẋ1 − ẋ2 ), missä β on vakio. Kirjoita liikeyhtälöt, tee sopiva yrite ja tarkastele (kahdenlaisia)
508
12 / COUPLED OSCILLATIONS
värähtelyjä tässä järjestelmässä.
FIGURE 12-A
Problem 12-6.
of mass kaavakokoelma
in is attached to a rigid
12-7. A particle
by a tutustumista
spring with force varten.
constant K.
Huom: Tenteissä käyttöön
jaettava
on support
Kopassa
At equilibrium, the spring hangs vertically downward. To this mass—spring combina