Fysiikan olympiavalmennus, avoin sarja 2014-2015 Kirje 1 Palautus 31.1.2015 mennessä Olet menestynyt hyvin MAOL:n fysiikkakilpailussa, ja sinut on valittu mukaan fysiikan olympiavalmennukseen. Valmennuksen ensimmäinen vaihe koostuu valmennuskirjeistä. Kahden ensimmäisen kirjeen vastausten perusteella valitaan osallistujat Suomi–Viro-fysiikkamaaotteluun Tallinnaan, jossa valitaan Suomen joukkue vuoden 2015 fysiikkaolympialaisiin Intiaan. Lisätietoa löytyy fysiikkavalmennuksen sivuilta osoitteesta http://www.jyu.fi/ipho/valmennus. Tässä ensimmäinen valmennuskirje. Osa tehtävistä on perinteisiä laskuja, toisissa tutustutaan osittain sellaiseen fysiikkaan, mitä lukiokursseilla ei välttämättä käsitellä, mutta mitä fysiikkaolympialaisissa on hyvä hallita. Muutamat tehtävänannot ovat pitkähköjä, mutta sitä ei kannata säikähtää. Osa tehtävistä on pyritty laatimaan siten, että vaikka jotakin kohtaa ei saisi ratkaistua, voi tehtävän loppuosan silti tehdä. Valmennuskirje ei ole koe. Voit siis aivan vapaasti keskustella tehtävistä kavereiden, opettajien yms. kanssa ja hakea tietoa eri lähteistä. Voit myös vinkata olympiavalmennuksesta kiinnostuneelle kaverillesi, vaikkei hän olisi osallistunutkaan alkukilpailuun. Valmennukseen on mahdollista päästä mukaan laittamalla viestiä allekirjoittaneelle. Tekemistä on aika paljon; kannattaa palauttaa ratkaisut myös, vaikka et olisikaan saanut ratkaistua kaikkia tehtäviä. Ongelmatilanteissa vinkkejä voi kysellä myös minulta sähköpostitse. Palauta ratkaisusi 31.1.2015 mennessä osoitteeseen Heikki Mäntysaari Fysiikan laitos PL 35 (YFL) 40014 Jyväskylän yliopisto tai sähköpostitse osoitteeseen [email protected] Liitä ratkaisuihisi mukaan oma nimesi, sähköpostiosoitteesi, kotiosoitteesi ja puhelinnumerosi. Tarkastetut ratkaisut jaetaan takaisin valintakilpailussa tai palautetaan postitse. Seuraa sähköpostiasi säännöllisesti valmennuksen ajan. Tehtävä 1. (5p) Vastaa lyhyesti perustellen (a) Heität ankkurin veneestä järveen. Nouseeko vai laskeeko järven pinta? (b) Kun pitkää viivotinta tai karttakeppiä pitää vasemman ja oikean käden etusormien varassa vaakasuorassa ja vetää sormet hitaasti yhteen, sormet kohtaavat viivottimen tai kepin painopisteen kohdalla. Näin tapahtuu riippumatta siitä, missä kohtaa sormet alussa ovat. Selitä ilmiö mahdollisimman tarkasti. (c) Miksi pyörivä hyrrä ei kaadu, vaikka se on pyöriessään kallellaan? Selitä erityisesti tällä videolla esiintyvä ilmiö: https://www.youtube.com/watch?v=NeXIV-wMVUk. (d) Miksi veden pinnalla oleva öljyläikkä näkyy monivärisenä?. (e) Sateenkaaren yläpuolella saattaa joskus näkyä toinen, himmeämpi sateenkaari. Miten tämä sateenkaari muodostuu? Näkyykö se aina ja onko värien järjestys sama kuin “pääsateenkaaressa“? Tehtävä 2. (6p) Homogeeninen pallo (massa M , säde R) vierii kitkatta tasolla nopeudella v1 ja törmää kynnykseen, jonka korkeus on h (kts. kuva 1). Kynnykseen osuessaan pallo pyörähtää kynnyksen päälle liukumatta (eli pyörii kuvan 1 pisteen P ollessa pyörimisakseli siten, että vain pallon yksi piste koskee kynnyksen reunaan). (a) Mikä on pallon massakeskipisteen nopeus v2 välittömästi törmäyksen jälkeen? (b) Mikä on pallon nopeus v3 sen noustua kynnyksen päälle? Vihje: Törmäyksessä kynnys kohdistaa palloon voiman, mutta eräs liikemäärän komponentti säilyy vakiona. Tehtävä 3. (8p) Kappaleen, jonka massa on (vakio) m, liikettä yhdessä ulottuvuudessa kuvaa tuttu Newtonin toinen laki F = ma, (6) 1 Mielellään PDF-muodossa, Windowsilla PDF:iä voi tehdä esimerkiksi PDFCreatorilla: http://sourceforge.net/projects/pdfcreator/. Skannatut käsinkirjoitetut ratkaisut käyvät, mutta käsinkirjoitetut paperilla palautetut ratkaisut ovat mukavimpia käsitellä. 1/5 Kuva 1: Pallon liike. missä F on kappaleeseen kohdistuva voima ja a sen kiihtyvyys. Voima on siis suoraan verrannollinen liikutettavan kappaleen kiihtyvyyteen. Arkikokemus taas monissa tilanteissa näyttää, että voima on jollain tavalla verrannollinen nopeuteen: esimerkiksi vedessä liikkuva kappale näyttää putoavan alaspäin vakionopudella tasaisen kiihtymisen sijaan. Yritämme nyt ymmärtää, miksi näin käy. (a) Nesteessä hitaasti liikkuvaan kappaleeseen vaikuttaa vastusvoima Fv = −Cv, (7) missä C on kappaleen muodosta ja koosta sekä nesteen ominaisuuksita riippuva positiivinen vakio. Jos kappaleeseen vaikuttaa lisäksi ulkoinen voima Fu , saadaan yhtälöt (6) ja (7) yhdistämällä yhtälö ma = −Cv + Fu . Oletetaan, että Fu ei riipu ajasta, mutta kiihtyvyys ja nopeus varmasti voivat muuttua ajan funktiona. Siten kirjoitamme edellisen yhtälön muotoon ma(t) = −Cv(t) + Fu . Kiihtyvyys on määritelmän mukaan nopeuden derivaatta: a(t) = v 0 (t). Tätä määritelmää käyttäen saamme yhtälön mv 0 (t) = −Cv(t) + Fu . (8) Tämä on niin sanottu differentiaaliyhtälö (katso taas olympiavalmennuksen kotisivuilta löytyvää matemaattisten menetelmien valmennusmateriaalia), ja tehtävämme on nyt löytää sellainen funktio v(t), että se toteuttaa ehdon (8). Lisäksi vaadimme, että alkuhetkellä t = 0 kappaleen nopeus on tasan v0 . Tämän jälkeen saamamme ratkaisufunktio v(t) kertoo kappaleen nopeuden milloin tahansa myöhemmin. Jos differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen on sinulle tuttua esimerkiksi matematiikan syventäviltä kursseilta, ratkaise yhtälö (8). Toisaalta voimme yrittää ratkaista yhtälöä myös tekemällä valmistuneen arvauksen, että ratkaisu on muotoa v(t) = A1 + A2 eA3 t , (9) missä A1 , A2 ja A3 ovat vakioita. Totea, että tämä funktio toteuttaa yhtälön (8) kun vakiot valitaan tietyllä tavalla. Huomaa, että yhtälön täytyy päteä kaikilla ajan t arvoilla. Ota lisäksi huomioon alkuehto v(t = 0) = v0 ja päättele vakioiden A1 , A2 ja A3 arvot. (b) Edellisen kohdan tuloksena saamme ratkaistua nopeuden v(t). Tuloksen pitäisi näyttää tältä: Fu Fu v(t) = + v0 − e−Ct/m . (10) C C Perustele, miksi kappaleen rajanopeus vr on vr = limt→∞ v(t) = Fu /C? Verrataan tätä tulosta yhtälöön (8), jonka kirjoitamme nyt muotoon ma = −Cv + Fu . Millä nopeuden v arvoilla kiihtyvyys a on nolla? Miten ja miksi tämä liittyy edellä laskettuun raja-arvoon? Tehdään lisäksi tärkeä oletus: nesteen aiheuttama vastusvoima on hyvin suuri, jolloin siis C on suuri. Edellä todettiin, että limt→∞ = vr . Perustele (mahdollisesti sopivin lisäoletuksin), miksi olettamassamme tilanteessa v(t) ≈ vr on hyvinkin tarkka arvio jo melko pienillä ajoilla (tässä ei odoteta tarkkoja laskuja, vaan osoitus siitä, että ymmärrät, mistä on kyse, riittää). Tuloksena saamme yhtälön Fu v≈ . (11) C 2/5 (c) Edellä oletimme ulkoisen voiman Fu olevan vakio. Nyt annamme sen muuttua ajan funktiona, Fu = Fu (t), mutta vain hitaasti. Koska nopeus lähestyy arvoa vr hyvinkin nopeasti, voimme olettaa, että v(t) = vr koko ajan, vaikka vr muuttuukin. Saamme siis yhtälön v(t) ≈ Fu (t)/C, jonka voimme (unohtaen likiarvoisuuden) kirjoittaa muotoon Fu (t) = Cv(t). (12) Jos olisimme olettaneet, että vastusvoimaa kuvaava kerroin C on mitättömän pieni (tai jopa C = 0), olisimmekin saaneet tutun yhtälön Fu (t) = ma(t), (13) missä Fu tarkoittaa kappaleeseen vaikuttavia ulkoisia voimia poislukien väliaineen vastus ja kitka. Vertaile näitä kahta liikeyhtälöä seuraavissa tapauksissa. Millä tavoin kappale putoaa painovoiman vaikutuksessa, kun Fu on vakio? Mitä tapahtuu kappaleelle, joka heitetään ylöspäin? Jos kaksi samamassaista kappaletta pudotetaan ythä aikaa samalta korkeudelta, putoaako toinen nopeammin? Jos kyllä, niin missä tilanteessa molemmat putoavat yhtä nopeasti? Näyttää siltä, että jos kappale toteuttaa liikeyhtälön (12), sen liike-energian ja potentiaalienergian summa (kokonaisenergia) ei olekaan vakio. Keksi esimerkkitilanne, jossa näin käy. Miksi energia ei näytä säilyvän? (d) Liikevastus voi olla edellä kuvatun kaltainen muutenkin kuin nesteissä. Myös ilmanvastus ja kitka voivat toimia kuvatulla tavalla. Jos vastusovima riippuukin nopeudesta jotenkin toisin, esimerkiksi yhtälön Fv = −K|v|v mukaisesti, muuttuu liikeyhtälö (12) hieman, mutta oleellinen tulos on sama: voima aiheuttaa nopeuden, ei kiihtyvyyttä2 . Keksi kaksi esimerkkiä arkisista tilanteista, joissa liikeyhtälö (12) (tai jokin sen kaltainen yhtälö) kuvaa tilannetta paremmin, ja toiset kaksi, joissa liikeyhtälö (13) on sopivampi. Keksi vielä kaksi sellaista tilannetta, joissa kumpikin on huono. Jos tuntuu tarpeelliselta, voit jaotella kappaleeseen vaikuttavat voimat ulkoiseen ja vastusvoimaan Fu ja Fv haluamallasi tavalla. Voit tutkia myös useampiulotteista liikettä, jolloin yllä esitetyt liikeyhtälöt tulevat muotoon F~u (t) = C~v (t) ja F~u (t) = m~a(t), kuten voi odottaa. Tehtävä 4. (6p) Tarkastellaan ideaalista levykondensaattoria, jossa levyjen pinta-ala on A ja levyjen välinen etäisyys on d. Kondensaattori kytketään aluksi jännitelähteeseen, ja kondensaattori varautuu siten että sen levyjen välisen sähkökentän voimakkuus on E. Tämän jälkeen kondensaattori irroitetaan jännitelähteestä. (a) Mikä on kondensaattorin sähkökentän energiatiheys levyjen välissä? (b) Kuinka suuri voima tarvitaan pitämään levyt vakioetäisyydellä toisistaan. Ohje: tarkastele miten kondensaattorin energia muuttuu, kun levyjen välistä etäisyyttä muutetaan δd:n verran. (c) Asetetaan nyt kondensaattori puhtaaseen veteen (permittiivisyys ε = 70), kiinnitetään se hetkeksi jännitelähteeseen (jännite U ) ja varautumisen jälkeen jännitelähde irroitetaan. Kuinka suuri paine-ero on kondensaattorin sisä- ja ulkopuolella? Laske paine-eron numeerinen arvo (suuruusluokka) jollekin järkevälle kondensaattorille. Vihje: Tarkastele, kuinka suuri työ on tehtävä, jotta pieni nestepatsas (poikkileikkauksen pinta-ala δA, pituus d) saadaan poistettua kondensaattorin sisältä. Yhdistä sitten toisiinsa painetta vastaan tehtävä työ ja kondensaattorin energian muutos. Saatat myös tarvita arviota 1/(1 + x) ≈ 1 − x, joka pätee kun |x| 1. Tehtävä 5. (6+4p) Tutustutaan ns. Bernoullin yhtälöön: (a) Tarkastellaan (kokoonpuristumattoman) nesteen virtausta putkessa kuvan 2 mukaisesti. Olkoon nesten tiheys ρ, ja tarkastellaan nesteen virtausta aikavälin ∆t ajan. Meillä on aluksi korkeudella h1 vaakasuorassa putkessa nestealkio, joka etenee nopeudella v1 ja putken poikkipinta-ala on A1 . Paine tässä osassa putkea on p1 . Vastaavat suureet myöhemmin putkessa ovat h2 , v2 , A2 ja p2 . Osoita, että v12 p1 v2 p2 + h1 + = 2 + h2 + , (25) 2g ρg 2g ρg eli toisin sanoen näytä, että nestevirtaukselle putkessa v2 p +h+ 2g ρg 2 Tässä tilanteessa saamme vastaavin oletuksin Fu (t) = −K|v(t)|v(t). 3/5 (26) v2 Δ t = s 2 p2 v1 Δ t = s 1 p1 v2 v1 A1 A2 h1 h2 Kuva 2: Nesteen virtaus putkessa on vakio. Ohje: Käytä energian säilymislakia W = ∆E, missä W on paineen systeemiin tekemä työ ja ∆E on systeemin mekaanisen kokonaisenergian muutos. Huomaa, että massa säilyy, eli alueessa 1 liikkuu sama massa nestettä ajassa ∆t kuin alueessa 2 samassa ajassa. (b) Tarkastellaan nyt litran maitotölkkiä, jonka alkareunaan porataan halkaisijaltaan d = 0,5 cm halkaisijaltaan oleva reikä. Oletetaan, että tölkki on täynnä maitoa (tiheys ≈ veden tiheys). Kuinka paljon nestettä (yksiköissä g/s) tölkistä suihkuaa välittömästi reiän avaamisen jälkeen? (c) (Extra) Kuinka kauan tölkin tyhjeneminen kestää? Vertaa laskemaasi tulosta kokeellisesti määrittämääsi tyhjenemisaikaan. Ohje: muodosta lauseke nesteen massan m(t) aikaderivaatalle m0 (t). Muodostuvan (separoituvan) differentiaaliyhtälön ratkaisemiseen löydät apua olympiavalmennuksen kotisivulta (http: // www.jyu.fi/ ipho/ valmennus/ materiaalit) löytyvästä matemaattisten menetelmien materiaalista sekä kohdasta Tehtävä 3. Tehtävä 6. (6p) Mene osoitteeseen http://www.jyu.fi/ipho/valmennus/materiaalit. Sieltä löytyy olympivalmennuksen fysiikkaan sisältyvää materiaalia, joka on suunniteltu fysiikkaolympialaisiin valmistautuville sekä muuten fysiikasta kiinnostuneille lukiolaisille. (a) Lue ”Klassista mekaniikkaa” -luentomonisteesta pyörimiskinematiikkaa koskeva luku 2.3.1 ja tee harjoitustehtävät HT 2.23 ja HT 2.26 sen lopusta. (b) Samasta osoitteesta löytyy myös matemaattisia menetelmiä käsittelevä moniste. Tutustu integrointia käsittelevään lukuun 2, ja tee tehtävät 10 ja 11 (tehtävää 11 varten tutustu erityisesti lukuun 2.4 jossa käsitellään kaksiulotteista integrointia). Tehtävä 7. (6p) CERNin LHC-hiukkaskiihdyttimellä törmäytetään vastakkaisiin suuntiin eteneviä protoneja. Tarkastellaan kahden tällaisen protonin törmäystä. Yhden protonin kokonaisenergia on Ep = 4 TeV. Tällaisissa törmäyksissä on pienessä tilassa niin paljon energiaa, että siitä voi muodostua lukuisia uusia hiukkasia. Hiukkasfysiikassa mitataan mm. tuotettujen hiukkasten kulmajakaumia, ja mittauksista voidaan päätellä esimerkiksi se, syntyikö törmäyksessä hetkellisesti vaikkapa Higgsin hiukkanen, joka sitten hajosi muiksi hiukkasiksi. Lähellä valonnopeutta kulkevien hiukkasten kuvailussa tarvitaan erityistä suhteellisuusteoriaa. Lukiossa sitä ei nykyään juuri käsitellä, mutta fysiikkaolympialaisten aihealueisiin se kuuluu. Tarvittaessa tutustu aiheeseen tutkimalla kirjeen mukana toimitettua materiaalia. (a) Mikä on protonien nopeus laboratoriokoordinaatistossa (muodossa luku × c, missä c on valon nopeus)? Huomaa, että tulos v = c ei ole mahdollinen. (b) Jos toinen protoni olisi levossa, niin kuinka suuri pitäisi toisen protonin energian olla, jotta systeemin kokonaisenergia massakeskipistekoordinaatistossa olisi sama? Miksi suurienergisia törmäyksiä haluttaessa käytetään vastakkaisiin suuntiin kulkevia suihkuja, vaikka niiden hallitseminen on teknisesti paljon vaikeampaa? Ohje: siirry alkuperäisestä koordinaatistosta koordinaatistoon, jossa toinen protoni on levossa. Ohjeita: laskuissa tulee √ esiintymään lukuja, joista laskimesi ei luultavasti selviydy (esimerkiksi jos yrität laskea laskimella mitä on 1 − 10−20 saat tulokseksi vain luultavasti luvun √ 1). Joudut siis luultavasti tekemään sopivia approksimaatioita, esimerkiksi neliöjuurelle voi käyttää tulosta 1 + x ≈ 1 + 12 x pienillä x (miksi?). Yritä olla käyttämättä valon nopeudelle c lukuarvoa, vaan pidä laskuissa mukana kerrointa c. Massat kannattaa myös ilmoittaa muodossa eV/c2 . 4/5 Tehtävä 8. Kokeellinen tehtävä: määritä voima, joka tarvitaan rullalangan katkaisemiseen. Käytettävissä on pitkähkö pala rullalankaa, millimetripaperia/mittanauha, teippiä ja esine, jonka massa on n. 0,1 − 1,0 kg. Anna tuloksellesi virhearvio käyttäen maksimi-minimimentelmää, joka on esitelty olympiavalmennuksen virheanalyysimateriaalissa, joka löytyy osoitteesta http://www.jyu.fi/ipho/valmennus/materiaalit. 5/5