Matemaattiset apuneuvot I Syksy 2015 Kotiharjoitus 5 Palautus pe 2.10. klo 12 toisen kerroksen A-siiven palautuslokeroihin. Tehtävistä keskustellaan harjoitusryhmissä 29.9 ja käsitellään 6.10. Niittaa paperit yhteen, ja merkitse paperiin harjoitusryhmäsi numero ja laskuharjoitusassistenttisi nimi! 1. Määritä parametrimuodossa annetun käyrän x(t) = t3 − 5 y(t) = 6t + 2 derivaatta dy/dx parametrin arvolla t = 3. 2. Suhteellisuusteorian mukaan on havaitsijan suhteen nopeudella v liikkuvan kappaleen kokonaisenergia mc2 E(v) = q 2 1 − vc2 missä m on kappaleen massa ja c valon nopeus. Laske energian Taylorin sarja kertalukuun v 4 . (Huomaa että energia on v 2 :n funktio, ts. riittää kehittää toiseen kertalukuun muuttujassa v 2 . Konkreettisemmin: korvaa esim. x = v 2 /c2 ja kehitä toiseen kertalukuun muuttujan x suhteen, ja korvaa takaisin v 2 /c2 .) Tunnistatko ensimmäisen ja toisen (kertaluvut v 0 ja v 2 ) termin sarjassa? Kolmas termi on johtava relativistinen korjaus energiaan. 3. Kehitä Taylorin sarjaksi funktio f (x) = 1/x pisteen x0 > 0 suhteen. Mikä on sarjan suppenemissäde? 4. Näytä suoraan laskemalla, että funktioiden ex , sin x ja cos x sarjakehitelmät (mitkä löytyvät luentomuistiinpanoista) toteuttavat seuraavan Eulerin yhtälön: eix = cos x + i sin x Tässä imaginääriyksikölle i pätee i2 = −1, joten i3 = i2 i = −i, i4 = 1 jne. Erota parilliset ja parittomat x:n potenssit! Taylorin sarjoilla voidaan täten luontevasti laajentaa funktioiden määrittelyjoukko kompleksilukuihin. 5. Laske seuraavat integraalit (ratkeavat “perusintegraalien” avulla) Z √ √ 3 2 a) x2 + x3 dx Z b) tan xdx Z c) (2x2 + 1)2 dx P 1 Lisätehtävä, ei arvostella: Tutkitaan harmonista sarjaa ∞ n=1 n . Noin 1350 ranskalainen mukki Orseme osoitti että tämä ei suppene. Ryhmitellään termit seuraavasti: 1 1 1 1 1 1 1 1 + ( ) + ( + ) + ( + + + ) + ... 2 3 4 5 6 7 8 Siis otetaan 1,2,4,8,. . . termiä kerrallaan. Nyt jokainen ryhmä on ≥ kuin eräs vakio c, mikä? Miten tästä näkee että harmoninen sarja ei suppene? P∞ 1 Tulos k=1 k(k+1) = 1 tiedettiin myös keskiajalla. Hajoita termi osamurtoihin – mitä tapahtuu termien summalle? P 1 Tätä tulosta käyttäen tiedettiin että sarja ∞ k=1 k2 suppenee – kuinka? Sarjan summan löytyminen osoittautui paljon hankalammaksi, ja vasta 1735 Leonhard Euler näytti että se on π 2 /6. Mielenkiintoista tietoa näistä sarjoista löytyy mm. linkistä http://plus.maths.org/content/infinite-series-surprises.