‫وزارة اﻟﺘﺮﺑﻴﺔ اﻟﻮﻃﻨﻴﺔ واﻟﺘﻌﻠﻴﻢ اﻟﻌﺎﻟﻲ‬
‫وﺗﻜﻮﻳﻦ اﻷﻃﺮ و اﻟﺒﺤﺚ اﻟﻌﻠﻤﻲ‬
‫ﻗﻄﺎع اﻟﺘﺮﺑﻴﺔ اﻟﻮﻃﻨﻴﺔ‬
‫أآﺎدﻳﻤﻴﺔ ﺟﻬﺔ ﻓﺎس‬
‫ﻧﻴﺎﺑﺔ ﻓﺎس‬
‫ﺛﺎﻧﻮﻳﺔ ﻣﻮﻻي ادرﻳﺲ‬
‫اﻟﺴﻨﺔ اﻟﺪراﺳﻴﺔ ‪2007/2008‬‬
‫اﻻﻣﺘﺤﺎن اﻟﺘﺠﺮﻳﺒﻲ‬
‫ﻟﻨﻴﻞ ﺷﻬﺎدة اﻟﺒﺎآﺎﻟﻮرﻳﺎ‬
‫‪1/2‬‬
‫ﻣﺪة اﻹﻧﺠﺎز‪ 3 :‬ﺳﺎﻋﺎت‬
‫دورة ﻣﺎرس ‪2008‬‬
‫اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت‬
‫اﻟﻤﺎدة‪:‬‬
‫اﻟﺸﻌﺒﺔ‪ :‬ع ح و أرض و ﻓﻴﺰﻳﺎء‬
‫‪7‬‬
‫اﻟﻤﻌﺎﻣﻞ ‪:‬‬
‫‪dmingo jaouad‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻻول)‪5‬ن(‬
‫‪0.5‬‬
‫‪ -1‬ﺣﻞ ﻓﻲ‬
‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪z ² − 2 3z + 4 = 0‬‬
‫)‬
‫‪ -2‬ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻓﻲ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻷﻋﺪاد اﻟﻌﻘﺪﻳﺔ‬
‫‪0,5‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0.5‬‬
‫)‬
‫(‬
‫اﻟﺤﺪودﻳﺔ ‪3 + i z ² + 4 1 + 3i z − 8i‬‬
‫(‬
‫‪P (z ) = z 3 − 2‬‬
‫أ‪ -‬ﺑﻴﻦ أن ‪ P ( z ) = 0‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻼ ﺗﺨﻴﻠﻴﺎ ﺻﺮﻓﺎ وﺣﻴﺪا ‪ z0‬ﺣﺪدﻩ ‪.‬‬
‫ب‪ -‬ﺣﺪد اﻷﻋﺪاد اﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ‪ a‬و ‪ b‬و ‪ c‬ﺣﻴﺚ ) ‪P ( z ) = ( z − 2i )( az ² + bz + c‬‬
‫ج‪ -‬ﺣﻞ ﻓﻲ‬
‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪. P ( z ) = 0‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪ -3‬ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻌﻘﺪي اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ‪. o, u, v‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻨﻘﻂ ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬اﻟﺘﻲ أﻟﺤﺎﻗﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ هﻲ ‪ z A = 3 − i :‬و ‪ z B = 3 + i‬و ‪z C = 2i‬‬
‫‪π‬‬
‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ R‬اﻟﺪوران اﻟﺬي ﻣﺮآﺰﻩ ‪ O‬و زاوﻳﺘﻪ‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪zC‬‬
‫‪z‬‬
‫أ‪ -‬أآﺘﺐ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﺜﻠﺜﻲ ‪ B‬و‬
‫‪zA‬‬
‫‪zB‬‬
‫‪π‬‬
‫‪0,5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0,5‬‬
‫‪i‬‬
‫ب‪ -‬ﺑﻴﻦ أن اﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﻌﻘﺪي ﻟﻠﺪوران ‪ R‬هﻮ ‪z ′ = e 3 z‬‬
‫ت‪ -‬ﺑﻴﻦ أن ‪ R ( A ) = B‬و ‪R ( B ) = C‬‬
‫ث‪ -‬إ ﺳﺘﻨﺘﺞ أن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ‪ OA BC‬ﻣﻌﻴﻦ‬
‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ)‪4,5‬ن(‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫⎧‬
‫‪⎪U 0 = 1 + 3 e‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ) ‪ (U n‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬
‫⎨‬
‫‪⎪U = 1 + 3 U − 1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪⎩ n +1‬‬
‫‪ -1‬ﺑﻴﻦ ﺑﺎﻟﺘﺮﺟﻊ أن ‪. ( ∀n ∈ ) 1 < U n < 2‬‬
‫)‬
‫()‬
‫(‬
‫‪ -2‬ﺑﻴﻦ أن ‪U n +1 − U n = U n − 1 1 − U n − 1 1 + U n − 1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫)‬
‫‪ -3‬اﺳﺘﻨﺘﺞ أن اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ‪.‬‬
‫‪ -4‬ﺑﻴﻦ أن اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ ﺛﻢ ﺣﺪد ﻧﻬﺎﻳﺘﻬﺎ ‪.‬‬
‫‪ -5‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (Vn‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ )‪Vn = ln (U n − 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0.5‬‬
‫∈ ‪. ( ∀n‬‬
‫)‬
‫∈ ‪. ( ∀n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫أ‪ -‬ﺗﺤﻘﻖ أن ‪ ، V0 = −‬ﺛﻢ ﺑﻴﻦ أن ) ‪ (Vn‬ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ هﻨﺪﺳﻴﺔ أﺳﺎﺳﻬﺎ‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪n +1‬‬
‫⎞‪⎛1‬‬
‫⎟ ⎜ ‪. ( ∀n ∈ ) ln (U n − 1) = −‬‬
‫ب‪ -‬اﺳﺘﻨﺘﺞ أن‬
‫⎠‪⎝3‬‬
‫ج‪ -‬اﺣﺴﺐ ‪ U n‬ﺑﺪﻻﻟﺔ ‪. n‬‬
‫‪dmingo jaouad‬‬
‫‪.‬‬
‫‪2/2‬‬
‫ﻣﺴﺄﻟﺔ)‪(10.5‬‬
‫اﻟﺠﺰء اﻷول‪:‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ g‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ آﻤﺎ ﻳﻠﻲ‪g (x ) = x + 2 − e :‬‬
‫‪+‬‬
‫‪ -1‬ﺑﻴﻦ أن ‪ g‬ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ‬
‫‪ -2‬ﺑﻴﻦ أن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ g (x ) = 0‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻞ وﺣﻴﺪ ‪ α‬ﻓﻲ اﻟﻤﺠﺎل [‪]1, 2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪ -3‬اﺳﺘﻨﺘﺞ إﺷﺎرة ) ‪ g (x‬ﻋﻠﻰ‬
‫اﻟﺠﺰء اﻟﺜﺎﻧﻲ‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫⎧‬
‫‪2‬‬
‫‪⎪f ( x ) = ( − x − 2)e x x ≺ 0‬‬
‫‪x‬‬
‫⎨‬
‫) ‪⎪f ( x ) = ln(1 + xe x‬‬
‫‪x ≥0‬‬
‫⎩‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ ‪:‬‬
‫‪0. 5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.75‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0,5‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0.75‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪+‬‬
‫‪ -1‬ﺑﻴﻦ أن ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ ‪.0‬‬
‫‪ -2‬اﺣﺴﺐ ) ‪ lim f ( x‬و ) ‪lim f ( x‬‬
‫∞‪x →−‬‬
‫∞‪x →+‬‬
‫‪ . -3‬ادرس ﻗﺎﺑﻠﻴﺔ اﻻﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ ‪ ، 0‬و أول اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ هﻨﺪﺳﻴﺎ‬
‫‪1‬‬
‫‪ -4‬أ‪ -‬ﺑﻴﻦ أن ) ‪ ∀x ∈ ∗+ f (x ) = x + ln x + ln(1 + x‬ﺛﻢ اﺳﺘﻨﺘﺞ اﻟﻔﺮع ااﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻲ ﺑﺠﻮار ∞‪+‬‬
‫‪xe‬‬
‫ب‪ -‬ﺑﻴﻦ أن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( Δ‬اﻟﺪي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪ y = −x − 3‬ﻣﻘﺎرب ﻣﺎﺋﻞ ل ) ‪ ( Cf‬ﺑﺠﻮار ∞‪−‬‬
‫)‬
‫‪ -5‬أ – أﺣﺴﺐ ) ‪ f ′(x‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ‬
‫(‬
‫∗‬
‫‪+‬‬
‫‪(x + 1)(−x 2 + 2x − 2) x1‬‬
‫ب‪ -‬ﺑﻴﻦ أن ‪e‬‬
‫= ) ‪) f ′(x‬‬
‫‪x3‬‬
‫ج‪ -‬ﺿﻊ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ‪f .‬‬
‫∗‬
‫‪−‬‬
‫∈ ‪( ∀x‬‬
‫) ‪e x g (x‬‬
‫= ) ‪. f '' ( x‬‬
‫‪ -6‬أ‪ -‬ﺑﻴﻦ أن ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ [∞‪: ]0, +‬‬
‫‪(1 + xe x ) 2‬‬
‫ب‪ -‬ﺑﻴﻦ أن ) ‪ ( Cf‬ﻳﻘﺒﻞ ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻌﻄﺎف أﻓﺼﻮﻟﻬﺎ ﻣﻮﺟﺐ‬
‫)‬
‫(‬
‫‪ -7‬أﻧﺸﺊ ) ‪ ( Cf‬ﻓﻲ م‪.‬م‪.‬م‪ . o, i, j .‬ﻧﺄﺧﺪ ‪1,1‬‬
‫‪ α‬و ‪f (α ) 1,5‬‬
‫‪ -8‬ﻟﻴﻜﻦ ‪ h‬ﻗﺼﻮر ‪ f‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل [∞‪. [ 0, +‬‬
‫أ‪ -‬ﺑﻴﻦ أن ‪ h‬ﺗﻘﺒﻞ داﻟﺔ ﻋﻜﺴﻴﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪ J‬ﻳﺠﺐ ﺗﺤﺪﻳﺪﻩ ‪.‬‬
‫ب‪ -‬أﻧﺸﺊ ﻓﻲ ﻧﻔﺲ اﻟﻤﻌﻠﻢ اﻟﺴﺎﺑﻖ ) ‪. ( Ch −1‬‬