تمارين ودراسة الدوال العددية الاعتيادية من إقتراح الأستاذ محمد مستولي
دراﺳﺔ اﻟﺪوال و ﺗﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل دوال ﻣﺮﺟﻌﻴﺔ
-1دراﺳﺔ و ﺗﻤﺜﻴﻞ ﻣﺒﻴﺎﻧﻴﺎ اﻟﺪاﻟﺔ f : x → ax 2
أ -أﻣﺜﻠﺔ
* ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ fﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ xاﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ
ﺣﻴﺚ a ≠ 0
f ( x ) = 2 x2
ﻧﺪرس ﺗﻐﻴﺮات f
= Df
-
fداﻟﺔ زوﺟﻴﺔ و ﻣﻨﻪ اﻗﺘﺼﺎر دراﺳﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ
ﻟﻴﻜﻦ xو yﻣﻦ [∞ [ 0; +ﺣﻴﺚ x ≠ y
) = 2(x + y
) f (x ) − f ( y
x −y
ﻟﻜﻞ xو yﻣﻦ [∞ [ 0; +ﺣﻴﺚ : x ≠ y
إذن fﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻋﻠﻰ
∞+
[∞[0; +
0
[∞[0; +
∞−
0
) f (x ) − f ( y
x −y
x
f
0
ﻣﻌﺎدﻟﺔ C fهﻲ y = 2 x 2
C fﻣﺘﻤﺎﺛﻞ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻮر اﻷراﺗﻴﺐ
ﻣﻼﺣﻈﺔ
2
إذا آﺎن 0 ≺ x ≺ 1ﻓﺎن 0 ≺ 2 x ≺ 2 x
هﺬا ﻳﻌﻨﻲ أن ﺟﺰء C fﻋﻠﻰ []0;1
ﺗﺤﺖ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ = 2x
(∆) : y
إذا آﺎن x 1ﻓﺎن 2 x 2 2 x
هﺬا ﻳﻌﻨﻲ أن ﺟﺰء C fﻋﻠﻰ [∞]1; +
ﻓﻮق اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ = 2x
(∆) : y
ﺟﺪول اﻟﻘﻴﻢ
1
3
0
1
2
x
2
2
1
9
) f (x
0
2
8
2
2
C fﺷﻠﺠﻢ رأﺳﻪ Oﻳﻘﺒﻞ ﻣﺤﻮر اﻷراﺗﻴﺐ
آﻤﺤﻮر ﺗﻤﺎﺛﻞ
−1 2
* ﺑﺎﻟﻤﺜﻞ أدرس اﻟﺪاﻟﺔ fﺣﻴﺚ x
2
ب -اﻟﺤﺎﻟﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ
ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ fﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ xاﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ
f ( x ) = ax 2ﺣﻴﺚ a ≠ 0
= )f ( x
إذا آﺎن 0
∞+
aﻓﺎن
0
∞−
x
f
0
C fﺷﻠﺠﻢ رأﺳﻪ Oﻳﻘﺒﻞ ﻣﺤﻮر اﻷراﺗﻴﺐ آﻤﺤﻮر ﺗﻤﺎﺛﻞ
Moustaouli Mohamed
http://arabmaths.ift.fr
إذا آﺎن a ≺ 0ﻓﺎن
0
∞+
0
∞−
x
f
C fﺷﻠﺠﻢ رأﺳﻪ Oﻳﻘﺒﻞ ﻣﺤﻮر اﻷراﺗﻴﺐ آﻤﺤﻮر ﺗﻤﺎﺛﻞ
1
ﺗﻤﺮﻳﻦ f ( x ) = x 2
g ( x ) = x2
2
m ( x ) = −2 x 2 h ( x ) = 3 x 2
-1أﻋﻂ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات fو gو hو m
-2ﻓﻲ ﻧﻔﺲ اﻟﻤﻌﻠﻢ اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ اﻟﻤﻤﻨﻈﻢ
أﻧﺸﺊ C fو C gو C hو C m
-2دراﺳﺔ اﻟﺪاﻟﺔ x → ax 2 + bx + c
ﻟﺘﻜﻦ ) M ( x ; yو ) M ' ( X ; Yﻧﻘﻄﺘﻴﻦ و
) u (α ; βﻣﺘﺠﻬﺔ ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب اﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ
و tاﻹزاﺣﺔ ذات اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ u
X = x + α
X −α = x
ﺗﻜﺎﻓﺊ
' t ( M ) = Mﺗﻜﺎﻓﺊ MM ' = uﺗﻜﺎﻓﺊ
Y = y + β
Y − β = y
ﻟﻨﺪرس fﺣﻴﺚ f ( x ) = 2x 2 − 4x − 3
ﻣﺜﺎل1
اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻘﺎﻧﻮﻧﻲ ﻟـ ) f ( xهﻮ f ( x ) = 2(x − 1) 2 − 5
ﻣﻌﺎدﻟﺔ
f
Cﻓﻲ اﻟﻤﻌﻠﻢ اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ )
(
O ; i ; jهﻲ y = 2( x − 1) 2 − 5
أي y + 5 = 2(x − 1) 2
ﻧﻌﺘﺒﺮ tاﻹزاﺣﺔ ذات اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ) u (1; −5و ﻟﺘﻜﻦ ) M ( x ; yو ) M ' ( X ; Yﻧﻘﻄﺘﻴﻦ
ﻟﻴﻜﻦ ) ( Cﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ x → 2 x 2
ﻟﻨﺒﻴﻦ أن C fهﻮ ﺻﻮرة ) ( Cﺑﺎﻹزاﺣﺔ t
X −1 = x
' t ( M ) = Mﺗﻜﺎﻓﺊ
Y + 5 = y
) M ( x; y ) ∈ ( Cﺗﻜﺎﻓﺊ y = 2 x 2
ﺗﻜﺎﻓﺊ Y + 5 = 2( X − 1) 2
ﺗﻜﺎﻓﺊ ) (
M ' ( X ;Y ) ∈ C f
إذن ) (
C fهﻮ ﺻﻮرة ) ( Cﺑﺎﻹزاﺣﺔ t
وﺣﻴﺚ أن ) ( Cﺷﻠﺠﻢ رأﺳﻪ ) O ( 0;0و ﻣﺤﻮر ﺗﻤﺎﺛﻠﻪ
ﻣﺤﻮر اﻻراﺗﻴﺐ ﻓﺎن ) (
C fﺷﻠﺠﻢ رأﺳﻪ ' t ( O ) = O
أي ) O ' (1; −5و ﻣﺤﻮر ﺗﻤﺎﺛﻠﻪ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ x = 1
و ﺣﻴﺚ أن اﻟﺪاﻟﺔ x → 2 x 2ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻋﻠﻰ
[∞[0; +
و ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻋﻠﻰ ] ]−∞;0ﻓﺎن اﻟﺪاﻟﺔ fﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻋﻠﻰ
[∞ [1; +و ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻋﻠﻰ
ﺟﺪول اﻟﺘﻐﻴﺮات
∞+
1
-5
إﻧﺸﺎء اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ
0
1
2
3
-3 -5 -3
3
]]−∞;1
∞−
x
f
x
) f (x
Moustaouli Mohamed
http://arabmaths.ift.fr
) (O ; i ; j
ﻟﻨﺪرس fﺣﻴﺚ f ( x ) = − x 2 + 2x + 3
ﻣﺜﺎل2
اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻘﺎﻧﻮﻧﻲ ﻟـ ) f ( xهﻮ f ( x ) = −(x − 1) 2 + 4
ﻣﻌﺎدﻟﺔ
f
Cﻓﻲ اﻟﻤﻌﻠﻢ اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ )
(
O ; i ; jهﻲ
y = −(x − 1) 2 + 4
أي y − 4 = −(x − 1) 2
ﻧﻌﺘﺒﺮ tاﻹزاﺣﺔ ذات اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ) u (1; 4و ﻟﺘﻜﻦ ) M ( x ; yو ) M ' ( X ; Yﻧﻘﻄﺘﻴﻦ
ﻟﻴﻜﻦ ) ( Cﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ x → − x 2
ﻟﻨﺒﻴﻦ أن C fهﻮ ﺻﻮرة ) ( Cﺑﺎﻹزاﺣﺔ t
X −1 = x
' t ( M ) = Mﺗﻜﺎﻓﺊ
Y − 4 = y
) M ( x; y ) ∈ ( Cﺗﻜﺎﻓﺊ y = − x 2
ﺗﻜﺎﻓﺊ Y − 4 = −( X − 1) 2
ﺗﻜﺎﻓﺊ ) (
M ' ( X ;Y ) ∈ C f
إذن ) (
C fهﻮ ﺻﻮرة ) ( Cﺑﺎﻹزاﺣﺔ t
وﺣﻴﺚ أن ) ( Cﺷﻠﺠﻢ رأﺳﻪ ) O ( 0;0و ﻣﺤﻮر
ﺗﻤﺎﺛﻠﻪ ﻣﺤﻮر اﻻراﺗﻴﺐ ﻓﺎن ) (
C fﺷﻠﺠﻢ رأﺳﻪ
' t ( O ) = Oأي ) O ' (1; 4و ﻣﺤﻮر ﺗﻤﺎﺛﻠﻪ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ
ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ x = 1
2
و ﺣﻴﺚ أن اﻟﺪاﻟﺔ x → − xﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻋﻠﻰ
[∞[0; +
و ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻋﻠﻰ ] ]−∞;0ﻓﺎن اﻟﺪاﻟﺔ fﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻋﻠﻰ
[∞ [1; +و ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻋﻠﻰ
]]−∞;1
ﺟﺪول اﻟﺘﻐﻴﺮات
1
∞+
4
∞−
x
f
إﻧﺸﺎء اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ
f ( x ) = 0ﺗﻜﺎﻓﺊ x = −1أو x = 3
4
-5
2
3
1
4
0
3
x
) f (x
اﻟﺤﺎﻟﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ x → ax 2 + bx + cﺣﻴﺚ a ≠ 0
ﻧﺸﺎط
3
2
ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺑـ f ( x ) = ax + bx + cﺣﻴﺚ ∈ ) ( a; b; cو a ≠ 0
/1أﻋﻂ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻘﺎﻧﻮﻧﻲ ﻟـ f
/2ﺑﻴﻦ أن اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ( C f
هﻮ ﺻﻮرة اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ( Cاﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ x → axﺑﺎﻹزاﺣﺔ tذات اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ
2
u −2ab ; f −2ab و اﺳﺘﻨﺘﺞ ﻃﺒﻴﻌﺔ ) ( C f
ﺛﻢ أﻋﻂ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات وﻓﻖ اﻟﻌﺪد a
Moustaouli Mohamed
http://arabmaths.ift.fr
ﺧﺎﺻﻴﺎت
ﺑـ f ( x ) = ax + bx + cﺣﻴﺚ
2
ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﺣﺪودﻳﺔ ﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ
* f ( x) = a ( x − α ) + β
2
ﻟﻜﻞ xﻣﻦ
−b
ﺣﻴﺚ
2a
= αو ) β = f (α
3
∈ ) ( a; b; cو a ≠ 0
هﺬﻩ اﻟﻜﺘﺎﺑﺔ ﺗﺴﻤﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻘﺎﻧﻮﻧﻲ ﻟﻠﺪاﻟﺔ f
* اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ C fهﻮ ﺻﻮرة اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ( Cاﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ x → ax 2ﺑﺎﻹزاﺣﺔ ذا اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ) u (α ; β
* C fﻣﻨﺤﻨﻰ fﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ هﻮ ﺷﻠﺠﻢ رأﺳﻪ
−b
ﻧﻀﻊ
2a
) Ω (α ; βو ﻣﺤﻮر ﺗﻤﺎﺛﻠﻪ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ
ذا x = α
=α
* -إذا آﺎن 0
∞+
aﻓﺎن:
α
∞−
x
* إذا آﺎن a ≺ 0ﻓﺎن:
∞+
) f (α
f
) f (α
α
∞−
a
-3دراﺳﺔ اﻟﺪاﻟﺔ
x
أ -أﻣﺜﻠﺔ
2
* ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ
= ) f (x
x
ﻧﺪرس ﺗﻐﻴﺮات f
*
= Df
→x
fداﻟﺔ ﻓﺮدﻳﺔ و ﻣﻨﻪ اﻗﺘﺼﺎر دراﺳﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ
ﻟﻴﻜﻦ xو yﻣﻦ [∞ ]0; +ﺣﻴﺚ x ≠ y
ﻟﻜﻞ xو yﻣﻦ [∞ ]0; +ﺣﻴﺚ x ≠ y
إذن fﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻋﻠﻰ
[∞]0; +
−2
xy
=
) f (x ) − f ( y
≺0
x −y
) f (x ) − f ( y
x −y
[∞]0; +
Moustaouli Mohamed
http://arabmaths.ift.fr
x
f
∞+
x
∞−
0
f
ﻣﻼﺣﻈﺔ
2
x
إذا آﺎن 0 ≺ x ≺ 1ﻓﺎن 2
هﺬا ﻳﻌﻨﻲ أن ﺟﺰء C fﻋﻠﻰ
ﻓﻮق اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ = 2
[]0;1
(∆) : y
2
إذا آﺎن x ≥ 1ﻓﺎن ≤ 2
x
هﺬا ﻳﻌﻨﻲ أن ﺟﺰء C fﻋﻠﻰ [∞]1; +
≺0
ﺗﺤﺖ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ = 2
(∆) : y
ﺟﺪول اﻟﻘﻴﻢ
4
2
1
2
1
2
1
2
4
x
) f (x
C fهﺪﻟﻮل ﻣﺮآﺰﻩ Oو ﻣﻘﺎرﺑﺎﻩ ﻣﺤﻮرا اﻟﻤﻌﻠﻢ
−1
* ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ
x
ﻧﺪرس ﺗﻐﻴﺮات f
*
= Df
= ) f (x
fداﻟﺔ ﻓﺮدﻳﺔ و ﻣﻨﻪ اﻗﺘﺼﺎر دراﺳﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ
ﻟﻴﻜﻦ xو yﻣﻦ [∞ ]0; +ﺣﻴﺚ x ≠ y
) f (x ) − f ( y
1
x −y
xy
إذن fﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻋﻠﻰ [∞]0; +
=
∞+
[∞]0; +
0
∞−
x
f
C fهﺪﻟﻮل ﻣﺮآﺰﻩ Oو ﻣﻘﺎرﺑﺎﻩ
ﻣﺤﻮرا اﻟﻤﻌﻠﻢ
ب -اﻟﺤﺎﻟﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ
a
= ) f (x
ﻧﻌﺘﺒﺮ
x
إذا آﺎن a 0ﻓﺎن
0
∞+
∞−
x
f
C fهﺪﻟﻮل ﻣﺮآﺰﻩ Oو ﻣﻘﺎرﺑﺎﻩ ﻣﺤﻮرا اﻟﻤﻌﻠﻢ
Moustaouli Mohamed
http://arabmaths.ift.fr
إذا آﺎن a ≺ 0ﻓﺎن
0
∞+
x
∞−
f
C fهﺪﻟﻮل ﻣﺮآﺰﻩ Oو ﻣﻘﺎرﺑﺎﻩ ﻣﺤﻮرا اﻟﻤﻌﻠﻢ
ax + b
- 4دراﺳﺔ اﻟﺪاﻟﺔ
cx + d
2x + 1
= ) f (x
ﻣﺜﺎل 1
x −1
*D f = − {1} -
→ xﺣﻴﺚ c ≠ 0
3
* -ﺑﺈﻧﺠﺎز اﻟﻘﺴﻤﺔ اﻻﻗﻠﻴﺪﻳﺔ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ أن
x −1
3
3
=y −2
أي
y = 2+
ﻣﻌﺎدﻟﺔ C fﻓﻲ اﻟﻤﻌﻠﻢ اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ O ; i ; jهﻲ
x −1
x −1
ﻧﻌﺘﺒﺮ tاﻹزاﺣﺔ ذات اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ) u (1; 2و ﻟﺘﻜﻦ ) M ( x ; yو ) M ' ( X ; Yﻧﻘﻄﺘﻴﻦ
f (x ) = 2 +
(
)
3
ﻟﻴﻜﻦ ) ( Cﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ
x
ﻟﻨﺒﻴﻦ أن C fهﻮ ﺻﻮرة ) ( Cﺑﺎﻹزاﺣﺔ t
→x
X −1 = x
' t ( M ) = Mﺗﻜﺎﻓﺊ
Y − 2 = y
3
3
= Y − 2ﺗﻜﺎﻓﺊ
ﺗﻜﺎﻓﺊ
) M ( x; y ) ∈ ( Cﺗﻜﺎﻓﺊ = y
X −1
x
إذن C fهﻮ ﺻﻮرة ) ( Cﺑﺎﻹزاﺣﺔ t
) (
M ' ( X ;Y ) ∈ C f
) (
وﺣﻴﺚ أن ) ( Cهﺬﻟﻮل ﻣﺮآﺰﻩ ) O ( 0;0و ﻣﻘﺎرﺑﺎﻩ ﻣﺤﻮرا اﻟﻤﻌﻠﻢ ﻓﺎن ) (
C fهﺬﻟﻮل ﻣﺮآﺰﻩ
' t ( O ) = Oأي ) O ' (1; 2و ﻣﻘﺎرﺑﺎﻩ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎن اﻟﻠﺬان ﻣﻌﺎدﻟﺘﻬﻤﺎ x = 1
و y=2
3
و ﺣﻴﺚ أن اﻟﺪاﻟﺔ
x
آﻞ ﻣﻦ [ ]−∞;1و ]]−∞;1
→ xﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻋﻠﻰ آﻞ ﻣﻦ [ ]−∞;0و [∞ ]0; +ﻓﺎن اﻟﺪاﻟﺔ fﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻋﻠﻰ
ﺟﺪول اﻟﺘﻐﻴﺮات
∞+
1
∞−
x
f
إﻧﺸﺎء اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ
1
f ( x ) = 0ﺗﻜﺎﻓﺊ x = −
2
x 0 1 2 5
11
) f (x
-1
//
5
4
Moustaouli Mohamed
http://arabmaths.ift.fr
2x + 3
ﻣﺜﺎل 2
x +2
*D f = − {−2} -
= ) f (x
* -ﺑﺈﻧﺠﺎز اﻟﻘﺴﻤﺔ اﻻﻗﻠﻴﺪﻳﺔ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ أن
−1
f (x ) = 2 +
x +2
−1
−1
أي
ﻣﻌﺎدﻟﺔ C fﻓﻲ اﻟﻤﻌﻠﻢ اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ O ; i ; jهﻲ
y = 2+
x +2
x +2
ﻧﻌﺘﺒﺮ tاﻹزاﺣﺔ ذات اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ) u ( −2; 2و ﻟﺘﻜﻦ ) M ( x ; yو ) M ' ( X ; Yﻧﻘﻄﺘﻴﻦ
)
(
=y −2
−1
ﻟﻴﻜﻦ ) ( Cﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ
x
ﻟﻨﺒﻴﻦ أن C fهﻮ ﺻﻮرة ) ( Cﺑﺎﻹزاﺣﺔ t
→x
X + 2 = x
' t ( M ) = Mﺗﻜﺎﻓﺊ
Y − 2 = y
−1
3
) M ( x; y ) ∈ ( Cﺗﻜﺎﻓﺊ = y
= Y − 2ﺗﻜﺎﻓﺊ
ﺗﻜﺎﻓﺊ
X +2
x
إذن C fهﻮ ﺻﻮرة ) ( Cﺑﺎﻹزاﺣﺔ t
) (
M ' ( X ;Y ) ∈ C f
) (
وﺣﻴﺚ أن ) ( Cهﺬﻟﻮل ﻣﺮآﺰﻩ ) O ( 0;0و ﻣﻘﺎرﺑﺎﻩ ﻣﺤﻮرا اﻟﻤﻌﻠﻢ ﻓﺎن ) (
C fهﺬﻟﻮل ﻣﺮآﺰﻩ
' t ( O ) = Oأي ) O ' ( −2; 2و ﻣﻘﺎرﺑﺎﻩ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎن اﻟﻠﺬان ﻣﻌﺎدﻟﺘﻬﻤﺎ x = −2
و y=2
−1
و ﺣﻴﺚ أن اﻟﺪاﻟﺔ
x
آﻞ ﻣﻦ [ ]−∞; −2و ]]−∞; −2
→ xﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻋﻠﻰ آﻞ ﻣﻦ [ ]−∞;0و [∞ ]0; +ﻓﺎن اﻟﺪاﻟﺔ fﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻋﻠﻰ
Moustaouli Mohamed
http://arabmaths.ift.fr
ﺟﺪول اﻟﺘﻐﻴﺮات
-2
∞+
∞−
x
f
إﻧﺸﺎء اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ
2
7
4
3
f ( x ) = 0ﺗﻜﺎﻓﺊ x = −
2
x -3 -2 -1 0
3
) f (x
1
// 1
2
ax + b
اﻟﺤﺎﻟﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ
cx + d
→ xﺣﻴﺚ c ≠ 0
ﻧﺸﺎط
ax + b
−d
ﺑـ
ﻟﺘﻜﻦ fاﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﺘﺨﺎﻃﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ −
cx + d
c
λ
−d
ﻟﻜﻞ xﻣﻦ −
f ( x) = β +
-1ﺣﺪد αو βو λﺣﻴﺚ
x −α
c
= ) f ( xﺣﻴﺚ c ≠ 0و ad − bc ≠ 0
-2ﺑﻴﻦ أن اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ( C f
و اﺳﺘﻨﺘﺞ ﻃﺒﻴﻌﺔ ) ( C f
هﻮ ﺻﻮرة اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ( Cاﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ
-3ﺑﻴﻦ أن ﺗﻐﻴﺮات fﻣﺮﺗﺒﻄﺔ ﺑﺎﻟﻌﺪد
a b
c d
λ
x
→ xﺑﺎﻹزاﺣﺔ tذات اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ) u (α ; β
a b
ﺛﻢ أﻋﻂ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات وﻓﻖ اﻟﻌﺪد
c d
ﺧﺎﺻﻴﺎت
−d
ﻟﺘﻜﻦ fاﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﺘﺨﺎﻃﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ −
c
* ﺗﻮﺟﺪ أﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ αو βو λﺣﻴﺚ
λ
x −α
ax + b
cx + d
ﺑـ
f ( x) = β +
λ
= ) f ( xﺣﻴﺚ c ≠ 0و ad − bc ≠ 0
−d
ﻟﻜﻞ xﻣﻦ −
c
* اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ C fهﻮ ﺻﻮرة اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ( Cاﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ
x
* C fﻣﻨﺤﻨﻰ fﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ هﻮ هﺪﻟﻮل ﻣﺮآﺰﻩ ) Ω (α ; βو ﻣﻘﺎرﺑﺎﻩ هﻤﺎ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎن اﻟﻤﻌﺮﻓﺎن ﺑـ
x =αو y = β
a
−d
= αو =β
ﻣﻼﺣﻈﺔ:
c
c
Moustaouli Mohamed
→ xﺑﺎﻹزاﺣﺔ ذا اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ) u (α ; β
http://arabmaths.ift.fr
* -إذا آﺎن 0
∞+
a b
c d
−d
c
ﻓﺎن
∞−
x
a b
* -إذا آﺎن ≺ 0
c d
−d
∞+
c
ﻓﺎن
∞−
f
x
f
-5داﻟﺔ اﻟﺠﻴﺐ - sinداﻟﺔ ﺟﻴﺐ اﻟﺘﻤﺎم cos
أ /داﻟﺔ اﻟﺠﻴﺐ sin
ﺗﻌﺮﻳﻒ
اﻟﺪاﻟﺔ sin usهﻲ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﺮﺑﻂ آﻞ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ xﺑﺠﻴﺒﻪ sin x
ﻧﻜﺘﺐ sin : x → sin x
ﺧﺎﺻﻴﺔ1
ﻟﻜﻞ xﻣﻦ
sin ( − x ) = − sin xﻧﻘﻮل ان اﻟﺪاﻟﺔ sinﻓﺮدﻳﺔ
* رأﻳﻨﺎ أن ﻟﻜﻞ xﻣﻦ
و ﻟﻜﻞ kﻣﻦ
) sin x = sin ( x + 2kπ
وﻣﻨﻪ ) sin x = sin ( x + 2π
ﺧﺎﺻﻴﺔ2
ﻟﻜﻞ xﻣﻦ
) sin x = sin ( x + 2πﻧﻘﻮل ان اﻟﺪاﻟﺔ sinدورﻳﺔ و 2πدور ﻟﻬﺎ
اﻟﺘﺄوﻳﻞ اﻟﻬﻨﺪﺳﻲ
ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﻌﻠﻢ اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ اﻟﻤﻤﻨﻈﻢ
ﻟﺘﻜﻦ ) M ( x;sin xﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ
) ( O; i ; j
) ( Csin
و ﺣﻴﺚ ) sin x = sin ( x + 2kπﻓﺎن ) M ' ( x + 2kπ ;sin xﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ
) ( Csin
و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ MM ' = 2kπ iأي ' Mﺻﻮرة Mﺑﺎﻹزاﺣﺔ ذات اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ 2kπ i
و ﻣﻦ هﺬا ﻧﺴﺘﻨﺞ أﻧﻪ ﻳﻜﻔﻲ رﺳﻢ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ﺳﻌﺘﻪ 2πﻣﺜﻼ ] ]−π ; πو اﺳﺘﻨﺘﺎج ﻣﺎ ﺗﺒﻘﻰ ﻣﻦ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ
ﻓﻲ اﻟﻤﺠﺎﻻت ] ]−π + 2kπ ; π + 2kπﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل اﻹزاﺣﺔ ذات اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ 2kπ i
Moustaouli Mohamed
http://arabmaths.ift.fr
ﻣﻼﺣﻈﺔ
sinﻓﺮدﻳﺔ و ﻣﻨﻪ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻣﺘﻤﺎﺛﻞ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻷﺻﻞ اﻟﻤﻌﻠﻢ
ﻳﻜﻔﻲ ﺗﻤﺜﻴﻞ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ( Csinﻋﻠﻰ ] [0; πو اﺳﺘﻨﺘﺎج اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ( Csinﻋﻞ ][ −π ;0
اﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﻤﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﺪاﻟﺔ sin
ب /داﻟﺔ ﺟﻴﺐ اﻟﺘﻤﺎم cos
ﺗﻌﺮﻳﻒ
اﻟﺪاﻟﺔ cos sin usهﻲ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﺮﺑﻂ آﻞ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ xﺑﺠﻴﺐ ﺗﻤﺎﻣﻪ cos x
ﻧﻜﺘﺐ cos : x → cos x
ﺧﺎﺻﻴﺔ1
ﻟﻜﻞ xﻣﻦ
cos ( − x ) = cos xﻧﻘﻮل إن اﻟﺪاﻟﺔ cosزوﺟﻴﺔ
* رأﻳﻨﺎ أن ﻟﻜﻞ xﻣﻦ
و ﻟﻜﻞ kﻣﻦ
) cos x = cos ( x + 2kπ
وﻣﻨﻪ ) cos x = cos ( x + 2π
ﺧﺎﺻﻴﺔ2
ﻟﻜﻞ xﻣﻦ
) cos x = cos ( x + 2πﻧﻘﻮل إن اﻟﺪاﻟﺔ cosدورﻳﺔ و 2πدور ﻟﻬﺎ
اﻟﺘﺄوﻳﻞ اﻟﻬﻨﺪﺳﻲ
ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﻌﻠﻢ اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ اﻟﻤﻤﻨﻈﻢ
ﻟﺘﻜﻦ ) M ( x;cos xﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ
) ( O; i ; j
) ( Ccos
و ﺣﻴﺚ ) cos x = cos ( x + 2kπﻓﺎن ) M ' ( x + 2kπ ;sin xﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ
) ( Ccos
و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ MM ' = 2kπ iأي ' Mﺻﻮرة Mﺑﺎﻹزاﺣﺔ ذات اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ 2kπ i
و ﻣﻦ هﺬا ﻧﺴﺘﻨﺞ أﻧﻪ ﻳﻜﻔﻲ رﺳﻢ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ( Ccosﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ﺳﻌﺘﻪ 2πﻣﺜﻼ ] ]−π ; πو اﺳﺘﻨﺘﺎج ﻣﺎ ﺗﺒﻘﻰ ﻣﻦ
اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻓﻲ اﻟﻤﺠﺎﻻت ] ]−π + 2kπ ; π + 2kπﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل اﻹزاﺣﺔ ذات اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ 2kπ i
ﻣﻼﺣﻈﺔ
cosزوﺟﻴﺔ و ﻣﻨﻪ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ( Ccosﻣﺘﻤﺎﺛﻞ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻮ اﻻراﺗﻴﺐ
ﻳﻜﻔﻲ ﺗﻤﺜﻴﻞ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ( Ccosﻋﻠﻰ ] [ 0; πو اﺳﺘﻨﺘﺎج اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ( Ccosﻋﻞ
][ −π ;0
اﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﻤﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﺪاﻟﺔ cos
Moustaouli Mohamed
http://arabmaths.ift.fr
ﺗﻤﺎرﻳﻦ و ﺣﻠﻮل
ﺗﻤﺮﻳﻦ1
−2 x − 1
ﻧﻌﺘﺒﺮ fو gداﻟﺘﻴﻦ ﻋﺪدﻳﺘﻴﻦ ﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﺣﻘﻴﻘﻲ ﺣﻴﺚ
−2 x + 1
- 1ﺣﺪد ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﺪاﻟﺔ g
- 2أﻋﻂ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات ﻟﻜﻞ داﻟﺔ ﻣﻦ اﻟﺪاﻟﺘﻴﻦ fو g
أ( أﻧﻘﻞ اﻟﺠﺪول اﻟﺘﺎﻟﻲ و أﺗﻤﻤﻪ
-3
5
2
3
−1
2
0
= ) f ( x ) = x2 − 2 x ; g ( x
-1
x
)f ( x
)g ( x
ب( ﺣﺪد ﺗﻘﺎﻃﻊ C fو ﻣﺤﻮر اﻻﻓﺎﺻﻴﻞ
ج ( أﻧﺸﺊ اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﻴﻦ C fو C g
ﻓﻲ ﻧﻔﺲ اﻟﻤﻌﻠﻢ اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ اﻟﻤﻤﻨﻈﻢ ) (O ; i ; j
اﻟﺠﻮاب
−2 x − 1
= ) f ( x ) = x2 − 2 x ; g ( x
−2 x + 1
- 1ﻧﺤﺪد ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﺪاﻟﺔ g
1
−2 x + 1 ≠ 0ﺗﻜﺎﻓﺊ
ﻟﻴﻜﻦ ∈ x
2
- 2ﻧﻌﻄﻲ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات ﻟﻜﻞ داﻟﺔ ﻣﻦ اﻟﺪاﻟﺘﻴﻦ fو g
−b
ﺟﺪول ﺗﻌﻴﺮات = 1 a = 1 f
2a
1
∞+
1
إذن −
2
≠x
∞−
x
f
-1
ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات g
ﻟﺪﻳﻨﺎ
= Df
−2 −1
= −4
−2 1
1
2
∞+
∞−
x
g
-3
أ -ﻧﺘﻤﻢ اﻟﺠﺪول
5
2
5
4
3
2
3
3
7
5
0
0
-1
−1
2
5
4
-1
x
3
)f ( x
1
3
)g ( x
0
ب( ﻧﺤﺪد ﺗﻘﺎﻃﻊ C fو ﻣﺤﻮر اﻻﻓﺎﺻﻴﻞ
ﻟﻴﻜﻦ
∈x
f ( x) = 0 ⇔ x − 2x = 0
2
x=2
ou
⇔ x=0
إذن C fﻳﻘﻄﻊ ﻣﺤﻮ اﻻﻓﺎﺻﻴﻞ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ذات اﻻﻓﺼﻮﻟﻴﻦ 0و 2ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ
Moustaouli Mohamed
http://arabmaths.ift.fr
ج ( إﻧﺸﺎء اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﻴﻦ C fو C g
ﺗﻤﺮﻳﻦ2
fوg
ﻟﺘﻜﻦ
ﻓﻲ ﻧﻔﺲ اﻟﻤﻌﻠﻢ اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ اﻟﻤﻤﻨﻈﻢ ) (O ; i ; j
اﻟﺪاﻟﺘﻴﻦ اﻟﻌﺪدﻳﺘﻴﻦ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ
2x − 1
x −1
وﻟﻴﻜﻦ
Cf
-1أ -ﺣﺪد
و
Cg
= )f ( x
x
اﻟﻤﻌﺮﻓﺘﻴﻦ ﺑـ
g ( x ) = x2 − 3 x
ﻣﻨﺤﻨﻴﻴﻬﻤﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ
) (O ; i ; j
Df
ب -أﺣﺴﺐ
-2أﻋﻂ ﺟﺪول
1
) f ( 2و ) g ( 2و f
2
ﺗﻐﻴﺮات f
و
)g ( 4
-3أ -أدرس زوﺟﻴﺔ g
3
ب -ﺑﻴﻦ أن gﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻋﻠﻰ 0; 2
د -أﻋﻂ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات gﻋﻠﻰ
-4ﺣﺪد ﺗﻘﺎﻃﻊ
Cg
- 5أ -أﻧﺸﺊ
Cf
3
و ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻋﻠﻰ 2 ; +∞
و ﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ
و
Cg
ب -ﺣﺪد ﻣﺒﻴﺎﻧﻴﺎ ﻋﺪد ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ) f ( x ) = g ( x
ج – ﺣﻞ ﻣﺒﻴﺎﻧﻴﺎ اﻟﻤﺘﺮاﺟﺤﺔ x 2 − 3 x ≥ 0
اﻟﺠﻮاب
2x − 1
x −1
-2أ -ﻧﺤﺪد
= )f ( x
g ( x ) = x2 − 3 x
Df
Moustaouli Mohamed
http://arabmaths.ift.fr
ﻟﺘﻜﻦ ∈ x
x ∈ D fﺗﻜﺎﻓﺊ x − 1 ≠ 0
ﺗﻜﺎﻓﺊ x ≠ 1
إذن }D f = − {1
1
ب -ﻧﺤﺴﺐ ) f ( 2و ) g ( 2و f و ) g ( 4
2
4 −1
=3
; g ( 2 ) = 4 − 6 = −2
= )f ( 2
2 −1
-2ﻧﺤﺪد ﺗﻐﻴﺮات
f
2 −1
= −1
1 −1
ﻟﺪﻳﻨﺎ
ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات
f
1
; f =0
2
; g ( 4 ) = 16 − 12 = 4
وﻣﻨﻪ fﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻋﻠﻰ آﻞ ﻣﻦ
∞+
[ ]−∞;1و [∞]1; +
∞−
1
x
f
-3أ -ﻧﺪرس زوﺟﻴﺔ g
∈ xﻟﺪﻳﻨﺎ
ﻟﻜﻞ
∈ −x
)g (−x) = (−x) − 3 −x = x − 3 x = g ( x
2
2
gداﻟﺔ زوﺟﻴﺔ
3
ب -ﺑﻴﻦ أن gﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻋﻠﻰ 0; 2
ﻟﺪﻳﻨﺎ g ( x ) = x 2 − 3 xﻟﻜﻞ xﻣﻦ
a =1
b = −3
3
و ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻋﻠﻰ 2 ; +∞
[∞[0; +
−b 3
=
2a 2
c=0
3
3
2
2
ﻣﻌﺎﻣﻞ xهﻮ اﻟﻌﺪد اﻟﻤﻮﺟﺐ 1و ﻣﻨﻪ اﻟﺪاﻟﺔ x → x − 3xﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ 2 ; +∞ و ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻋﻠﻰ −∞; 2
3
اذن gﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻋﻠﻰ 0; 2
د -ﻧﻌﻄﻲ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات gﻋﻠﻰ
3
ﻟﺪﻳﻨﺎ gﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻋﻠﻰ 0; و ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻋﻠﻰ
2
3
و ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻋﻠﻰ 2 ; +∞
3
و ﺣﻴﺚ أن gزوﺟﻴﺔ ﻓﺎن gﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻋﻠﻰ − 2 ;0
ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات g
∞+
3
2
3
2 ; +∞
3
و ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻋﻠﻰ −∞; − 2
0
3
2
∞-
−
0
9
4
x
g
9
4
-4ﻧﺤﺪد ﺗﻘﺎﻃﻊ C gو ﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ
ﺑﻤﺎ أن gزوﺟﻴﺔ ﻓﺎﻧﻪ ﻳﻜﻔﻲ ﺗﺤﺪﻳﺪ ﺗﻘﺎﻃﻊ C gو ﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ ﻋﻠﻰ
ﻟﻴﻜﻦ
+
∈:x
g ( x) = 0
+
و اﺳﺘﻨﺘﺎج اﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﻋﻠﻰ
ﺗﻜﺎﻓﺊ x 2 − 3x = 0
ﺗﻜﺎﻓﺊ x = 0أو x = 3
Moustaouli Mohamed
http://arabmaths.ift.fr
−
إذن C gو ﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ ﻳﺘﻘﺎﻃﻌﺎن ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻂ ذات اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ 0و 3و -3ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ
- 5أ -ﻧﻨﺸﺊ C fو C g
ب -ﻧﺤﺪد ﻣﺒﻴﺎﻧﻴﺎ ﻋﺪد ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ) f ( x ) = g ( x
ﻣﻦ ﺧﻼل اﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﻤﺒﻴﺎﻧﻲ ﻧﻼﺣﻆ أن C fو C gﻳﺘﻘﺎﻃﻌﺎن ﻓﻲ ﺛﻼث ﻧﻘﻂ
وﻣﻨﻪ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ) f ( x ) = g ( xﺛﻼﺛﺔ ﺣﻠﻮل
ج – ﻧﺤﻞ ﻣﺒﻴﺎﻧﻴﺎ اﻟﻤﺘﺮاﺟﺤﺔ x 2 − 3 x ≥ 0
x 2 − 3 x ≥ 0ﺗﻜﺎﻓﺊ g ( x ) ≥ 0
ﻣﻦ ﺧﻼل اﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﻤﺒﻴﺎﻧﻲ ﻳﺘﻀﺢ أن
ﺗﻜﺎﻓﺊ C gﻓﻮق ﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ
C gﻓﻮق ﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ أو ﻳﻨﻄﺒﻘﺎن ﻓﻲ }]−∞; −3] ∪ [3; +∞[ ∪ {0
إذن }S = ]−∞; −3] ∪ [3; +∞[ ∪ {0
ﺗﻤﺮﻳﻦ3
ﻟﺘﻜﻦ
fوg
اﻟﺪاﻟﺘﻴﻦ اﻟﻌﺪدﻳﺘﻴﻦ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ
x
اﻟﻤﻌﺮﻓﺘﻴﻦ ﺑـ
f ( x ) = x2 − x
وﻟﻴﻜﻦ
-3
Cf
و
Cg
ﻣﻨﺤﻨﻴﻴﻬﻤﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ
) (O ; i ; j
2 x −1
x −1
أ -ﺣﺪد D g
1
ب -أﺣﺴﺐ ) f ( 2و ) g ( 2و f
2
-2أ -أﻋﻂ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات f
ب -ﺣﺪد ﻃﺒﻴﻌﺘﻪ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ C f
-3أ -ﺑﻴﻦ أن gداﻟﺔ زوﺟﻴﺔ
و
)g ( 0
و
1
g
2
ب -ﺣﺪد ﺗﻐﻴﺮات gو أﻋﻂ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮاﺗﻬﺎ
Moustaouli Mohamed
http://arabmaths.ift.fr
= )g ( x
Cf
-4أ -أﻧﺸﺊ
و
Cg
ب -ﺣﺪد ﻣﺒﻴﺎﻧﻴﺎ ﻋﺪد ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ) f ( x ) = g ( x
اﻟﺠﻮاب
2 x −1
f ( x ) = x2 − x
-4
x −1
= )g ( x
أ -ﻧﺤﺪد D g
ﻟﻴﻜﻦ
∈x
x ∈ Dgﺗﻜﺎﻓﺊ x − 1 ≠ 0
ﺗﻜﺎﻓﺊ x ≠ 1
ﺗﻜﺎﻓﺊ x ≠ 1و x ≠ −1
إذن
ب -ﻧﺤﺴﺐ
}− {1; −1
= Dg
1
) f ( 2و ) g ( 2و f
2
f ( 2 ) = 22 − 2 = 4 − 2 = 2
و
)g ( 0
2 × 2 −1
=3
2 −1
;
2
1 1 1 1 1 −1
= f = − = −
2 2 2 4 2 4
-2أ -ﻧﻌﻄﻲ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات
ﻟﺪﻳﻨﺎ f ( x ) = x 2 − x
f
و
1
g
2
;
= )g ( 2
2 × 0 −1
= )g (0
=1
0 −1
1
2 × −1
1
2
= g
; =0
1
2
−1
2
−b 1
و =
2a 2
أي a = 1
وﻣﻨﻪ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات f
1
2
−1
4
∞+
ب -ﺣﺪد ﻃﺒﻴﻌﺘﻪ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ
∞−
f
Cf
1
1 1
C fﺷﻠﺠﻢ رأﺳﻪ A ; − و ﻣﺤﻮر ﺗﻤﺎﺛﻠﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ
2
2 4
-3أ -ﻧﺒﻴﻦ أن g
ﻟﻴﻜﻦ }− {1; −1
إذن
=x
داﻟﺔ زوﺟﻴﺔ
ﻟﻜﻞ }− {1; −1
g
x
∈ xﻟﺪﻳﻨﺎ }− {1; −1
∈ −x
2 −x − 1 2 x − 1
=
)= g ( x
−x − 1
x −1
∈x
= )g (−x
داﻟﺔ زوﺟﻴﺔ
ب -ﻧﺤﺪد ﺗﻐﻴﺮات gو ﻧﻌﻄﻲ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮاﺗﻬﺎ
ﻟﻜﻞ xﻣﻦ
[∞[0;1[ ∪ ]1; +
2 −1
و ﺣﻴﺚ = −1 ≺ 0
1 −1
و ﺑﻤﺎ أن
g
:
x =x
2x − 1
وﻣﻨﻪ
x −1
ﻓﺎن gﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻋﻠﻰ آﻞ ﻣﻦ
داﻟﺔ زوﺟﻴﺔ ﻓﺎن gﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻋﻠﻰ آﻞ ﻣﻦ
Moustaouli Mohamed
= )g ( x
[∞ ]1; +و [[0;1
[ ]−∞; −1و ]]−1;0
http://arabmaths.ift.fr
ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات g
∞+
-4أ -ﻧﻨﺸﺊ
Cf
0
1
1
و
−1
∞−
x
g
Cg
ﺑﻤﺎ أن gزوﺟﻴﺔ ﻓﺎن
Cg
ﻣﺘﻤﺎﺛﻞ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻮر اﻷراﺗﻴﺐ
ﺟﺰئ ﻣﻨﺤﻨﻰ C gﻋﻠﻰ [∞[0;1[ ∪ ]1; +
( ∆1 ) : y = 2 ( ∆ 2 ) : x = 1
هﻮ ﺟﺰئ ﻣﻦ هﺬﻟﻮل ﻣﺮآﺰﻩ ) B (1; 2وﻣﻘﺎرﺑﺎﻩ
1 1
C fﺷﻠﺠﻢ رأﺳﻪ A ; −
2 4
ب -ﻧﺤﺪد ﻣﺒﻴﺎﻧﻴﺎ ﻋﺪد ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ) f ( x ) = g ( x
ﻣﻦ ﺧﻼ ل اﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﻤﺒﻴﺎﻧﻲ ﻧﻼﺣﻆ أن
Cf
و
Cg
ﻳﺘﻘﺎﻃﻌﺎن ﻓﻲ أرﺑﻊ ﻧﻘﻂ
وﻣﻨﻪ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ) f ( x ) = g ( x
ﺗﻘﺒﻞ أرﺑﻌﺔ ﺣﻠﻮل
Moustaouli Mohamed
http://arabmaths.ift.fr
© Copyright 2025