‫קבל הולך וקטן‬ ‫קבל לוחות בעל לוחות עגולים ששטחם ‪ A‬מחובר למקור מתח ‪ .V‬המרחק הראשוני בין הלוחות‬ ‫הוא ‪ .d‬מקרבים את הלוחות זה לקראת זה במהירות קבועה ‪.u‬‬ ‫א‪ .‬מהו השדה המגנטי בין הלוחות?‬ ‫ב‪ .‬מהו השדה המגנטי בין הלוחות אם לפני ההזזה הקבל נותק אך נשאר טעון?‬ ‫א‪ .‬בין הלוחות ישנו שדה חשמלי‪:‬‬ ‫ˆ‪⃗ = V z‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪d‬‬ ‫אבל מקרבים אותן‪ ,‬כך שיש גם שינוי בשדה החשמלי‪:‬‬ ‫˙ ‪V‬‬ ‫⃗ ‪d‬‬ ‫ˆ‪E = − 2 d‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪d‬‬ ‫למזלנו השינוי הזה אחיד במרחב‪ .‬עם תוספת קלה של מקדמים ניתן לקרוא לזה זרם העתקה‪:‬‬ ‫‪˙z‬‬ ‫ˆ‪⃗ = − V d‬‬ ‫‪⃗jd = 1 d E‬‬ ‫‪4π dt‬‬ ‫‪4πd2‬‬ ‫בכל מקרה‪ ,‬גם אם קוראים לזה זרם העתקה וגם אם לא‪ ,‬משוואת מקסוול הרלוונטית היא‪:‬‬ ‫⃗‬ ‫)‪⃗ = 1 dE + 4π ⃗j = 4π (⃗jd + ⃗j‬‬ ‫‪∇×B‬‬ ‫‪c dt‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪c‬‬ ‫על מנת לחשב את השדה המגנטי‪ ,‬ננצל את העובדה שלוחות הקבל עגולים ולכן יש סימטריה‬ ‫סביב הציר‪ B .‬המושרה ניצב ל‪ .E‬ל ‪ B‬אין רכיב רדיאלי מכיוון ש ‪⃗ = 0‬‬ ‫‪ ∇ · B‬ולכן הוא חייב‬ ‫להיות בכיוון ‪ .φ‬כמוכן אין לו תלות בזווית‪ .‬ננצל את כל אלה יחד עם משפט סטוקס‪ ,‬לקבל‪:‬‬ ‫∮‬ ‫{‬ ‫‪{ 4π‬‬ ‫= ⃗‬ ‫‪⃗ · dl‬‬ ‫‪⃗ · dS‬‬ ‫=⃗‬ ‫⃗‬ ‫‪B‬‬ ‫)‪(∇ × B‬‬ ‫‪(⃗jd + ⃗j)dS‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪⃗ · φˆ = 4π jd πr2‬‬ ‫‪2πrB‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪⃗ · φˆ = jd πr‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪⃗ · φˆ = V r d˙ = V r‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2cd‬‬ ‫‪2c (d0 − ut)2‬‬ ‫ב‪ .‬אם מנתקים את מקור המתח‪ ,‬אז השדה החשמלי לא ישתנה כתלות בזמן‪ .‬דרך אחת לראות‬ ‫זאת זה חישוב ישיר של שדה של שני לוחות טעונים‪ ,‬שכידוע לא תלוי במרחק‪ .‬דרך שניה היא‬ ‫לחשב את השדה בהנחה ש ‪ Q‬נשאר קבוע‪:‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫=‬ ‫‪d‬‬ ‫‪dC‬‬ ‫אבל ‪ C‬יורד לינארית ב‪ ,d‬ולכן הצירוף ‪ dC‬נשאר קבוע‪.‬‬ ‫א‬ ‫=‪E‬‬ ‫קבל הולך וקטן‬ ‫קבל לוחות בעל לוחות עגולים ששטחם ‪ A‬ומרחק בין הלוחות ‪ d‬מחובר למקור מתח חילופין‪:‬‬ ‫)‪V (t) = V0 cos(ωt‬‬ ‫על הציר המרכזי של הקבל נמצא נגד דק מאוד ‪ R‬שמקצר בין הלוחות‪.‬‬ ‫א‪ .‬מהו הזרם העובר דרך הנגד?‬ ‫ב‪ .‬מהו זרם ההעתקה העובר דרך הקבל?‬ ‫ג‪ .‬מהו הזרם הכולל שמספק מקור המתח למעגל?‬ ‫ד‪ .‬חשבו את השדה המגנטי הנוצר בין לוחות הקבל‪.‬‬ ‫א‪ .‬המתח על הנגד הוא )‪ , V (t‬ולכן הזרם הוא‪:‬‬ ‫)‪V (t‬‬ ‫‪V0‬‬ ‫=‬ ‫)‪cos(ωt‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪R‬‬ ‫= )‪I(t‬‬ ‫ב‪ .‬זרם ההעתקה הוא השינוי בשדה החשמלי‪ .‬נגזור את גודל השדה החשמלי בין הלוחות‪:‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪d‬‬ ‫=‪E‬‬ ‫˙‪V‬‬ ‫‪1 d‬‬ ‫)‪−ωV0 sin(ωt‬‬ ‫=‪E‬‬ ‫=‬ ‫‪4π dt‬‬ ‫‪4πd‬‬ ‫‪4πd‬‬ ‫= ‪jd‬‬ ‫אבל זו צפיפות הזרם‪ .‬נחשב את הזרם כולו‪:‬‬ ‫)‪⃗ = jd A = −ωA V0 sin(ωt‬‬ ‫‪⃗jd · dS‬‬ ‫‪4πd‬‬ ‫נשתמש בביטוי לקיבול של קבל לוחות‬ ‫‪A‬‬ ‫‪4πd‬‬ ‫‪x‬‬ ‫= ‪Id‬‬ ‫= ‪:C‬‬ ‫)‪Id = −ωCV0 sin(ωt‬‬ ‫ג‪ .‬בשביל הזרם הכולל צריך לחבר את שני הזרמים כפונקציה של הזמן‪) .‬זאת מכיוון שהזרם שנכנס‬ ‫לקבל שווה לזרם ההעתקה(‪ .‬נשתמש בחשבון מרוכב כדי לפשט את המצב‪:‬‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫‪V0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪iwt‬‬ ‫= ‪IR‬‬ ‫‪cos(ωt) = ℜ‬‬ ‫‪V0 e‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪R‬‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫‪Id = −ωCV0 sin(ωt) = ℜ iωCV0 eiwt‬‬ ‫([‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫]‬ ‫]‬ ‫([‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪iwt‬‬ ‫‪I = IR + Id = ℜ‬‬ ‫‪+ iωC V0 e‬‬ ‫)‪+ iωC V (t‬‬ ‫‪=ℜ‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪R‬‬ ‫וקיבלנו למעשה את התוצאה הידועה מחישוב עכבות‪ ,‬שאם מחברים קבל ונגד במקביל צריך‬ ‫לחבר את ההופכיים‪.‬‬ ‫א‬ ‫קבל נפרק‬ ‫ישנו קבל לוחות בעל לוחות מעגליים עם רדיוס ‪ r1‬ומרחק ‪ d‬בין הלוחות‪ .‬מטעינים את את הקבל‬ ‫למתח ‪ ,V‬ואז פורקים אותו דרך נגד ‪.R‬‬ ‫א‪ .‬מצאו את השינוי באנרגיה האלקטרומגנטית האגורה בין לוחות הקבל‪.‬‬ ‫ב‪ .‬חשבו את ההספק שבו הנגד מתחמם‪ ,‬והשוו לתוצאה הקודמת‪.‬‬ ‫א‪ .‬בשביל השינוי באנרגיה האלקטרומגנטית נשתמש בוקטור פוינטינג‪.‬‬ ‫גודל השדה החשמלי בתוך הקבל הוא‬ ‫‪V‬‬ ‫‪d‬‬ ‫=‪E‬‬ ‫ומכאן השינוי הוא‪:‬‬ ‫‪d‬‬ ‫˙‪V‬‬ ‫=‪E‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪d‬‬ ‫נמצא את השדה המגנטי בעזרת משוואת מקסוול וסטוקס‪:‬‬ ‫∮‬ ‫{‬ ‫‪⃗ · d⃗l = 1‬‬ ‫˙‬ ‫‪B‬‬ ‫‪EdS‬‬ ‫‪c‬‬ ‫˙‬ ‫‪⃗ · φˆ = 1 πr2 V‬‬ ‫‪2πrB‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪d‬‬ ‫˙‬ ‫‪φ‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪V‬‬ ‫‪⃗ = r‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪2c d‬‬ ‫מכאן וקטור פוינטינג‪:‬‬ ‫˙‪1 rV V‬‬ ‫‪⃗= c E‬‬ ‫‪⃗ ×B‬‬ ‫ˆ‪⃗ = −‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪4π‬‬ ‫‪8π d2‬‬ ‫השינוי בצפיפות האלקטרומגנטית נתון על ידי משפט פוינטינג‪:‬‬ ‫‪∂u‬‬ ‫‪⃗ + J⃗ · E‬‬ ‫⃗‬ ‫‪=∇·S‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫‪−‬‬ ‫בין לוחות הקבל אין זרם‪ ,‬ולכן הרכיב השני מתאפס‪ .‬נחסוך את החישוב של הדיברגנס על‬ ‫ידי שימוש במשפט גאוס‪ ,‬וחישוב השטף של ⃗‬ ‫‪ S‬דרך המעטפת הגלילית שעוטפת את הקבל כדי‬ ‫לקבל אינטגרל נפחי על שינוי האנרגיה‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y ∂u‬‬ ‫˙‪1 r1 V V‬‬ ‫‪⃗ · dA‬‬ ‫=⃗‬ ‫‪S‬‬ ‫‪dzr1 dφ‬‬ ‫‪dV = −‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫‪8π d2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫˙‪πr V V‬‬ ‫˙‪r V V‬‬ ‫‪˙ = −IV‬‬ ‫‪= 1‬‬ ‫‪= (C V˙ )V = QV‬‬ ‫‪= 1‬‬ ‫‪4d‬‬ ‫‪4πd‬‬ ‫= ‪P‬‬ ‫כאשר בשורה השניה השתמשנו בחישוב של קיבול של קבל לוחות‪ ,‬ובהגדרה של זרם כנגזרת של‬ ‫המטען‪ .‬סה"כ קיבלנו שכל ההספק שבו הנגד מתחמם‪ ,‬מגיע מירידה באנרגיה האלקטרומגנטית‬ ‫שאגורה בין לוחות הקבל‪.‬‬ ‫א‬ ‫גלים על פני המים‬ ‫נתון שדה חשמלי‪:‬‬ ‫ˆ)‪⃗ = E0 f (ay − bt‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪z‬‬ ‫כאשר )( ‪ f‬היא פונקציה כלשהי‪.‬‬ ‫א‪ .‬מצאו תנאי עבורו השדה הוא פתרון של משוואת הגלים האלקטרומגנטית‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מצאו את מהירות הגל‪.‬‬ ‫ג‪ .‬מצאו את השדה המגנטי ‪.B‬‬ ‫ד‪ .‬חשבו את צפיפות ההספק של הגל )הספק ליחידת שטח(‬ ‫ה‪ .‬מציבים משטח ריבועי בעל שטח ‪ A‬במישור ‪ xz‬בנקודה ‪ .y = 0‬המשטח בולע את כל הגל‬ ‫הפוגע בו‪ .‬רשמו ביטוי לכמות האנרגיה שתעבור אל המשטח עד לזמן ‪.t‬‬ ‫ו‪ .‬נתון חלקיק הנמצא בראשית בזמן ‪ t = 0‬ומהירותו ˆ‪ .V⃗ = V0 y‬חשבו את הכח הפועל עליו‪.‬‬ ‫א‪ .‬נציב את השדה לתוך משוואת הגלים של השדה החשמלי‪ ,‬בקואורדינטות קרטזיות‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪⃗ = 1 ∂ E‬‬ ‫⃗‬ ‫‪∇2 E‬‬ ‫‪2 ∂t2‬‬ ‫‪c‬‬ ‫)‬ ‫‪( 2‬‬ ‫⃗ ‪1 ∂2‬‬ ‫∂‬ ‫‪∂2‬‬ ‫⃗ ‪∂2‬‬ ‫‪E‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪∂x2 ∂y 2 ∂z 2‬‬ ‫‪c2 ∂t2‬‬ ‫‪∂2‬‬ ‫‪1 ∂2‬‬ ‫)‪E0 zˆ 2 f (ay − bt) = E0 zˆ 2 2 f (ay − bt‬‬ ‫‪∂y‬‬ ‫‪c ∂t‬‬ ‫מכיוון שאיננו יודעים מה הנגזרת של ‪ ,f‬ננצל את כלל השרשרת‪ .‬נרשום‬ ‫‪2‬‬ ‫‪∂2‬‬ ‫∂ ‪2‬‬ ‫‪=a‬‬ ‫‪∂α2‬‬ ‫‪∂α2‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪∂α‬‬ ‫‪∂y‬‬ ‫(‬ ‫‪α = ay − bt‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∂‬ ‫∂ ∂‬ ‫∂ ‪∂ ∂α‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪∂y‬‬ ‫‪∂y ∂y‬‬ ‫‪∂y ∂y ∂α‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪∂2‬‬ ‫∂ ‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪b‬‬ ‫‪∂t2‬‬ ‫‪∂α2‬‬ ‫ונראה שהתנאי לקיום משוואת הגלים הוא‪:‬‬ ‫‪1 ∂2‬‬ ‫‪∂2‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪(ay‬‬ ‫‪−‬‬ ‫)‪bt‬‬ ‫=‬ ‫)‪f (ay − bt‬‬ ‫‪∂y 2‬‬ ‫‪c2 ∂t2‬‬ ‫‪∂2‬‬ ‫‪b2 ∂ 2‬‬ ‫)‪a2 2 f (α) = 2 2 f (α‬‬ ‫‪∂α‬‬ ‫‪c ∂α‬‬ ‫|‪b = ±c|a‬‬ ‫ב‪ .‬ישנו קו מסוים במרחב‪-‬זמן שלאורכו אין שינוי כלל בשדה‪ .‬בפרט‪ ,‬אם אין שינוי בארגומנט של‬ ‫הפונקציה אין שינוי בפונקציה‪ .‬אז הדרישה שלנו היא שהארגומנט ישאר קבוע‪:‬‬ ‫‪ay − bt = const‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪y = t + const‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪v = = ±c‬‬ ‫‪a‬‬ ‫א‬ ‫גלים על פני המים‬ ‫ג‪ .‬בשביל השדה המגנטי נשתמש באחת ממשואות מקסוול‪:‬‬ ‫‪⃗ ×E‬‬ ‫‪⃗ = −1 ∂ B‬‬ ‫⃗‬ ‫∇‬ ‫‪c ∂t‬‬ ‫⃗ ∂‪1‬‬ ‫⃗ ∂‬ ‫‪xˆ (E‬‬ ‫‪· zˆ) = −‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪∂y‬‬ ‫‪c ∂t‬‬ ‫⃗ ∂‬ ‫⃗ ∂ ‪b‬‬ ‫‪xˆa (E‬‬ ‫= )ˆ‪· z‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪∂α‬‬ ‫‪c ∂α‬‬ ‫‪⃗ = xˆ ac (E‬‬ ‫‪⃗ · zˆ) = yˆ × E‬‬ ‫⃗‬ ‫‪B‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ד‪ .‬מדובר בוקטור פוינטינג‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪⃗= c E‬‬ ‫‪⃗ ×B‬‬ ‫‪⃗ = c E‬‬ ‫ˆ( × ⃗‬ ‫‪⃗ = c (E‬‬ ‫ˆ)‪⃗ · E‬‬ ‫‪⃗ y − (E‬‬ ‫‪⃗ · yˆ)E‬‬ ‫⃗‬ ‫)‪y × E‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪4π‬‬ ‫‪4π‬‬ ‫‪4π‬‬ ‫‪c ⃗ 2‬‬ ‫=‬ ‫|‪yˆ|E‬‬ ‫‪4π‬‬ ‫ה‪ .‬מכיוון שהשטח ניצב לוקטור פוינטינג‪ ,‬רק צריך לכפול את גודלו בשטח‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪⃗ · dA‬‬ ‫|‪⃗ = c |E‬‬ ‫‪⃗ 2A‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪∫ t‬‬ ‫‪∫ t4π‬‬ ‫‪c ⃗ 2‬‬ ‫=‪U‬‬ ‫‪|E| Adt‬‬ ‫= ‪P dt‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 4π‬‬ ‫= ‪P‬‬ ‫ו‪ .‬כוח לורנץ‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫⃗‬ ‫‪v‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪⃗ + × B‬‬ ‫‪⃗ = q(E‬‬ ‫)‪⃗ + yˆ × B‬‬ ‫‪⃗ = qE‬‬ ‫‪⃗ 1−‬‬ ‫‪F⃗ = q(E‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪c‬‬ ‫ב‬