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La Geometr´ıa del espacio de Anti-de Sitter
De la Relatividad Especial a los espacios (A)-dS
Pedro Figueroa Romero ∗
Licenciatura en F´ısica
Universidad Aut´onoma Metropolitana, Iztapalapa
Av. San Rafael Atlixco No. 186, Col. Vicentina
Delgaci´on Iztapalapa, CP 09340, M´exico, D.F.
Asesor: Rom´an Linares Romero †
Junio de 2014
∗
†
[email protected]
docencia.izt.uam.mx/lirr
Resumen
Los espacios de de Sitter y de Anti-de Sitter son b´asicamente espaciotiempos de curvatura constante con ciertas propiedades peculiares que resultan f´ısicamente relevantes. Estos
espacios pueden verse como una soluci´on de las ecuaciones de campo de la Relatividad General cuando se considera una constante cosmol´ogica ya sea positiva o negativa. Si bien el
espacio AdS juega un papel limitado en la Relatividad General, contrario al espacio dS,
´este puede resultar de gran relevancia en otras teor´ıas que incorporan gravedad como lo es
teor´ıa de cuerdas dentro del marco de la dualidad AdS/CFT. Aunque este trabajo no es
exhaustivo, se busca introducir primeramente los elementos f´ısicos y matem´aticos b´asicos
de la Relatividad Especial y General, dado que estos temas actualmente pertenecen u
´nicamente a cursos optativos en la UAM-I. En general se cubren tres secciones b´asicas: 1)
Relatividad Especial, 2) Relatividad General, 3) Geometr´ıa y el espacio (A)dS.
En la secci´
on 1 se introduce la notaci´on tensorial y algunos conceptos b´asicos sobre
tensores, luego se hace un resumen de los conceptos b´asicos de la Relatividad Especial y
como complemento se tratan brevemente la electrodin´amica relativista y las ecuaciones
cu´antico-relativistas. Finalmente se muestran diversos problemas resueltos, cuya formulaci´on ha sido traducida de las diversas fuentes bibliogr´aficas citadas.
En la secci´
on 2 se presentan de manera m´as s´olida los conceptos acerca de tensores y se
introduce el tema de variedades diferenciables y curvatura a manera de formular la teor´ıa
de manera tensorial. Finalmente se obtienen las ecuaciones de campo por formulaci´on Lagrangiana y asimismo se muestran algunos problemas resueltos, con el principal objetivo
de complementar el contenido de la secci´on.
En la secci´
on 3 se tratan finalmente los espacios cl´asicos de (A)dSn introduciendo
diversos conceptos geom´etricos que aqu´ı se dirigen principalmente a los campos de Killing
y los espacios m´
aximamente sim´etricos. A partir de aqu´ı se estudian diversos aspectos
de (A)dSn en varios sistemas coordenados y se ilustran los correspondientes diagramas
de Penrose a modo de estudiar la estructura causal de cada espacio. Ambos espacios en
los distintos sistemas coordenados se logran a trav´es de diversas parametrizaci´ones de
hipersuperficies que luego se encajan dentro de un espacio coordenado de dimensi´on mayor.
El tratamiento en ambos casos se hace en un n´
umero de dimensiones arbitrarias, de modo
que el lector pueda simplemente considerar cualquier caso de inter´es. Finalmente se tratan
los espacios (A)dSn en el contexto de la Relatividad General, considerando el papel que
juegan desde un punto de vista cosmol´ogico y se revisa la soluci´on de AdS-Schwarzschild.
i
´ n, Literatura y Agradecimientos
Motivacio
Este trabajo surge como un proyecto de Servicio Social a mediados del a˜
no 2013 y
est´a dirigido principalmente a estudiantes avanzados de la Licenciatura en F´ısica que est´en
suficientemente interesados en temas de gravitaci´on, f´ısica matem´atica y/o altas energ´ıas,
particularmente en temas de dualidad hologr´afica. Se ha procurado ser lo m´as claro posible en la exposici´
on de los temas tratados, incluyendo eventualmente bosquejos, gr´aficos
y c´odigo del software Wolfram Mathematica. Este trabajo se fue desarrollando pr´acticamente de manera paralela con la adquisici´on de conocimientos en el tema por parte del
autor, lo que de hecho parece haber resultado de manera positiva, pues la exposici´on de los
temas tratados se vuelve un tanto m´as minuciosa y muestra un camino que un estudiante
interesado en el tema puede seguir sin mayor dificultad. Se busca que el lector se motive a ahondar en el tema y a producir m´as recursos como ´este, accesibles a nivel licenciatura.
Las principales referencias var´ıan con la secci´on en cuesti´on, sin embargo en las tres primeras secciones las siguientes son manifiestamente presentes, y se deben se˜
nalar aqu´ı expl´ıci´
tamente: [24], [26] y [46]. Estas
tres referencias son las que m´as influyeron en la estructura
aqu´ı adoptada para las primeras tres secciones, siendo la primera considerada (por la comunidad en general) de nivel intermedio (licenciatura-maestr´ıa) y la segunda y tercera de
nivel avanzado (maestr´ıa). La primera y tercera referencia, ambas tienen su versi´on alojada
en la web. Las referencias completas se citan en las u
´ltimas p´aginas y eventualmente en
cada secci´
on se se˜
nalan las referencias particulares cuando es necesario. El trabajo puede
ser particularmente u
´til de manera electr´onica, ya que contiene enlaces internos, i.e. que
dirigen a partes espec´ıficas del mismo trabajo, ya sea ecuaciones, referencias bibliogr´aficas o secciones. Los enlaces a p´
aginas web externas se dirigen antes internamente a una
lista de referencias web en donde se se˜
nala la fecha de consulta y la direcci´on URL expl´ıcita.
Finalmente quiero agradecer al Dr. Rom´an Linares Romero por el apoyo para desarrollar este trabajo, as´ı como a todos los profesores/investigadores del Departamento de
F´ısica de la UAM-I, que contribuyen a que as´ı como yo, tantos alumnos lleguen al punto
en el que yo me encuentro con una invaluable formaci´on como f´ısico.
Et voir la v´erit´e, c’est trouver la vertu.
Bien lire l’univers, c’est bien lire la vie.
Le monde est l’œuvre o`
u rien ne ment et ne d´evie,
Et dont les mots sacr´es r´epandent de l’encens.
—Victor Hugo (Les Contemplations)
ii
Albert Einstein y Willem de Sitter (1932) ([43])
iii
´Indice general
1
Relatividad Especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1
Introducci´
on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2.1
Convenci´
on de suma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2.2
Vectores contravariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2.3
Vectores covariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2.4
Tensores de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2.5
Delta de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2.6
El s´ımbolo de Levi-Civita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2.7
Manipulaci´
on de tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2.8
Producto Interno y La M´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Subir y Bajar ´Indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.3
Espaciotiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.4
Transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.2.9
8
1.4.1
Dilataci´
on temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.4.2
Contracci´
on de Lorentz
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.4.3
Regla relativista de adici´
on de velocidades . . . . . . . . . . . . . .
18
Mec´
anica Relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.5
1.5.1
Cinem´
atica Relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.5.2
Din´
amica Relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.5.3
Aceleraci´
on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.5.4
Rayos de Luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
Electrodin´
amica Relativista. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1.6
1.6.1
Transformaci´
on del Campo Electromagn´etico . . . . . . . . . . . . .
24
1.6.2
Electrodin´
amica en notaci´on tensorial . . . . . . . . . . . . . . . .
27
Ecuaciones cu´
antico-relativistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
1.7
1.7.1
Ecuaci´
on de Klein-Gordon y Ecuaci´on de Dirac . . . . . . . . . . . .
33
Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
Relatividad General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
1.8
2
1
2.1
Introducci´
on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
78
2.2
. . . . . . . . . . . . . . . . .
78
2.2.1
Variedades, tensores y la m´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
2.2.2
Conexi´
on Af´ın y Derivada Covariante . . . . . . . . . . . . . . . .
81
2.2.3
Transporte Paralelo y Geod´esicas
. . . . . . . . . . . . . . . . .
83
2.2.4
Par´
ametro Af´ın. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
2.2.5
Torsi´
on, condici´
on de compatibilidad y la conexi´on de Levi-Civita
. . . .
85
2.2.6
Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
2.2.7
Las identidades de Bianchi, el tensor de Ricci y el tensor de Einstein . . .
91
Teor´ıa cl´
asica de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
2.3
Variedades diferenciables y Curvatura
2.3.1
2.4
La ecuaci´
on de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
Formulaci´
on Lagrangiana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
2.4.1
2.5
3
Acoplamiento a un campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Geometr´ıa y el espacio (A)dS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.1
Introducci´
on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.2
Mapeos de variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.2.1
Pullback y Pushforward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.2.2
Difeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3.3
Derivada de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3.4
Campos de Killing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.5
Espacios m´
aximamente sim´etricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.5.1
Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.5.2
Encajamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.6
El espacio AdSn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.6.1
Diagramas de Penrose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3.6.2
Coordenadas Globales, Coordenadas Conformes y Diagramas de Penrose . . 149
3.6.3
Geod´esicas tipo tiempo y tipo espacio en AdS . . . . . . . . . . . . 155
3.6.4
Coordenadas de Foliaci´
on de Anti-de Sitter
3.6.5
Coordenadas de Poincar´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
3.6.6
Coordenadas de Onda Plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
3.6.7
Coordenadas de Onda Plana como Cubierta Global . . . . . . . . . . 163
3.6.8
Coordenadas (cosmol´
ogicas) de foliaci´on hiperb´olica . . . . . . . . . . 165
v
. . . . . . . . . . . . . 157
3.7
3.7.1
Coordenadas Globales y Coordenadas Conformes . . . . . . . . . . . 166
3.7.2
Coordenadas de Foliaci´
on de de Sitter. . . . . . . . . . . . . . . . 169
3.7.3
Coordenadas Planares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
3.7.4
Coordenadas Est´
aticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
3.7.5
Coordenadas de foliaci´
on hiperb´olica . . . . . . . . . . . . . . . . 174
3.8
(A)dS en el contexto cosmol´
ogico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
3.8.1
Homogeneidad e Isotrop´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
3.8.2
La m´etrica FLRW
3.8.3
Las ecuaciones de Friedmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
3.8.4
(Anti)-de Sitter como soluci´on de FLRW
3.9
4
El espacio dSn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
. . . . . . . . . . . . . . 183
Agujeros Negros en Anti-de Sitter: AdS-Schwarzschild . . . . . . . . . . . 187
3.9.1
Termodin´
amica de Agujeros Negros. . . . . . . . . . . . . . . . . 187
3.9.2
La soluci´
on AdS-Schwarzschild
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Referencias
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
Referencias Web . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
´Indice de figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
´Indice Alfabe
´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
vi
1.
Relatividad Especial
Debo confesar que justo al principio, cuando la teor´ıa especial de la relatividad comenz´
o a germinar en m´ı, me ve´ıa invadido por todo tipo de conflictos
nerviosos. Cuando j´
oven, sol´ıa irme por semanas en un estado de confusi´
on,
como alguien que en ese momento a´
un necesitaba superar el estado de estupefacci´
on en su primer encuentro con tales cuestiones.
—A. Einstein [29]
´n
1.1. Introduccio
Dos de las m´
as grandes revoluciones en la f´ısica se dieron en el siglo XX con el surgimiento de la mec´
anica cu´
antica y la teor´ıa de la relatividad de Einstein. En ambas la
raz´on de su surgimiento en primera instancia fue la incapacidad de teor´ıas m´as particulares
para describir ciertos fen´
omenos, e.g. la radiaci´on de cuerpo negro [31] y la aparente no
invariancia de las leyes de Maxwell.
La mec´
anica cl´
asica obedece el principio de relatividad de Galileo: las mismas leyes
f´ısicas aplican en cualquier sistema de referencia inercial. Sin embargo la teor´ıa electromagn´etica parec´ıa suponer la existencia de un u
´nico sistema de referencia con respecto
al cual todas las velocidades deb´ıan ser medidas. Los predecesores de Einstein cre´ıan que
exist´ıa un tipo de gelatina invisible llamada el ´eter respecto al cual las velocidades deb´ıan
ser medidas y s´
olo entonces las leyes de la electrodin´amica ser´ıan v´alidas. El experimento
de Michelson-Morley [32] realizado en 1887 por Albert Michelson y Edward Morley pretend´ıa comparar la velocidad de la luz en distintas direcciones, ¡s´olo para descubrir que esta
velocidad es exactamente la misma en cualquier direcci´on! A la vista de estos resultados,
grandes f´ısicos del calibre de Poincar´e, Larmor o Lorentz, buscaron dar una explicaci´on
te´orica [33], e inclusive Michelson y Morley buscaron dar una explicaci´on en t´erminos del
´eter.
No fue hasta que Einstein, atento al principio de relatividad galileana, propusiera los
dos famosos postulados (que la relatividad especial eleva a la calidad de leyes), de donde
se deriva toda la teor´ıa de la relatividad especial y terminara con la conjetura del ´eter:
X El principio de relatividad: Las leyes f´ısicas son las mismas en cualquier sistema de
referencia inercial.
1
Relatividad Especial
X La universalidad de la rapidez de la luz: La rapidez de la luz en el vac´ıo es la misma
para todo observador inercial, sin importar el movimiento de la fuente.
Al formular estos postulados Einstein tuvo que emplear una nueva conexi´on entre marcos
inerciales que fuera consistente con los mismos, dejando atr´as las transformaciones galileanas. Asumir que la rapidez de la luz es la misma en cualquier marco inercial evidentemente
requiere abandonar la noci´
on de un tiempo absoluto, como se consideraba en la mec´anica
newtoniana, ya que dos eventos pueden ser simult´aneos en un sistema inercial pero no serlo
en otro de modo que la rapidez de la luz se conserve id´entica en ambos.
Es, de hecho, un tanto ir´
onico que el trabajo de Einstein sea llamado relatividad. La
idea esencial detr´
as de la formulaci´on de la relatividad, tanto general, como especial, fue
precisamente el principio del mismo nombre, i. e. que las leyes f´ısicas deben aplicar para
todos, independientemente del sistema de referencia; se dice incluso que Einstein hubiera
preferido el nombre Invariantentheorie [13]. Es un nombre desafortunado sobre todo para
el o´ıdo popular, que puede dar lugar a confusiones, sin embargo uno debe tener siempre
presente este hecho.
El entendimiento fundamental para la teor´ıa especial de la relatividad es
´este: Las suposiciones de la relatividad y la invariancia de la rapidez de la luz
son compatibles si se postulan relaciones de un nuevo tipo para la conversi´
on
de coordenadas y tiempos de los eventos. . . El principio universal de la teor´ıa
especial de la relatividad est´
a contenido en el postulado: Las leyes de la f´ısica
´
son invariantes respecto a las transformaciones de Lorentz. Este
es un principio
restrictivo para las leyes de la naturaleza.
—A. Einstein [1]
1.2. Tensores
Se toma [23] como referencia principal para introducir conceptos b´asicos durante toda esta secci´
on a modo de poder manipular f´acilmente las cantidades tensoriales; estos
concepto se aclarar´
an un tanto m´as en la §2. Es relevante se˜
nalar tambi´en que aunque
durante todo el trabajo se llega a mezclar indiscriminadamente la notaci´on de ´ındices con
~ esto es
la notaci´
on normal o de may´
usculas, por ejemplo escribiendo algo como X µ = X,
u
´nicamente notaci´
on r´
apida (shorthand como se dir´ıa en ingl´es) con la que a veces se refie´
ren tensores completos y no s´
olo sus componentes. Esta
es la forma com´
unmente empleada
en la literatura reciente, que aunque es estrictamente incorrecta, suele ser conveniente para manipular las componentes de los tensores como si se tratase de los tensores mismos.
Tensores
2
Relatividad Especial
Asimismo emplear´e la notaci´
on ∂µ =
∂
∂xµ
o ∂µ =
∂
∂xµ
cuando sea conveniente.
Se advierte tambi´en que en los textos com´
unes seguido se emplea notaci´on de coma
“,”para derivadas parciales y de punto y coma “;”para derivadas covariantes (e.g. ∂α φ = φ,α
o ∇α φ = φ;α ), sin embargo aqu´ı usar´e la notaci´on de del ∂ y de nabla ∇ cuando sea necesario (b´
asicamente hasta la §2).
El lector familiarizado apenas con la definici´on, notaci´on y manipulaci´on com´
un de los
tensores podr´
a omitir la mayor´ıa de esta secci´on.
´ n de suma
1.2.1. Convencio
Consid´erese un ´ındice µ = 0, 1, 2, 3, como se emplear´a en general para los ´ındices en
letras griegas. La convenci´
on de suma (de Einstein) dice que si un ´ındice est´a repetido en
un t´ermino dentro de una expresi´
on matem´atica, esto indica que hay una suma sobre todos
los valores que toma dicho ´ındice. Por ejemplo,
aµ xµ =
3
X
aµ xµ = a0 x0 + a1 x1 + a2 x2 + a3 x3
(1.2.1)
µ=0
Uno puede referirse a un ´ındice repetido como un ´ındice mudo, pues puede reemplazarse
por cualquier otro que tome los mismos valores, i.e.
aµ xµ = aσ xσ
(1.2.2)
1.2.2. Vectores contravariantes
Se dice que un conjunto de n funciones V µ de coordenadas xµ son las componentes de
un vector contravariante si al efectuar una transformaci´on del sistema de coordenadas, las
funciones V µ se transforman de acuerdo a la regla
∂x
˜µ ν
V˜ µ =
V
∂xν
(1.2.3)
Los vectores contravariantes se denotan con super´ındices (Einstein). Para que un vector
no cambie de forma ante cambios de base, se dice que las componentes del vector deben
contra-variar o variar con la transformaci´on inversa a la del cambio de base para compensar
el cambio.
Como ejemplo de vectores contravariantes se tiene la posici´on de una part´ıcula xµ , sus
Tensores
3
Relatividad Especial
derivadas en el tiempo, o el elemento diferencial
d˜
xµ =
∂x
˜µ ν
dx
∂xν
(1.2.4)
Los vectores contravariantes tambi´en son llamados simplemente vectores, vectores tangentes, o elementos del fibrado tangente (v´ease §2.2) y el t´ermino
∂x
˜µ
∂xν
son las componentes
de la matriz jacobiana de la transformaci´on correspondiente.
1.2.3. Vectores covariantes
Se dice que un conjunto de n funciones Vµ de coordenadas xµ son las componentes
de un vector covariante si al efectuar una transformaci´on del sistema de coordenadas, las
funciones Vµ se transforman de acuerdo a la regla
∂xν
V˜µ =
Vν
∂x
˜µ
(1.2.5)
Los vectores covariantes se denotan con sub´ındices (Einstein). A los vectores covariantes tambi´en se les llama vectores duales o covectores, ya que son elementos del espacio dual
[36] de vectores o fibrado cotangente; a cada vector en una base le corresponde un vector
dual en su base dual o cobase, y viceversa. Para que un vector dual sea invariante ante
cambios de base, se dice que las componentes del vector deben co-variar o variar con la
transformaci´
on del cambio de base para representar el mismo covector.
El gradiente de un campo escalar φ es un ejemplo de un covector
∂φ ∂xν
∂xν
∂φ
=
=
∇φ = ∇φ µ
µ
ν
µ
µ
∂x
˜
∂x ∂ x
˜
∂x
˜
(1.2.6)
1.2.4. Tensores de orden superior
Consid´erense n2 funciones V µν que ante una transformaci´on de coordenadas se transforman de acuerdo a
˜ν ρσ
∂x
˜µ ∂ x
V˜ µν =
V
∂xρ ∂xσ
(1.2.7)
entonces se dice que forman las componentes de un tensor covariante de segundo orden en
un espacio n-dimensional.
De manera an´
aloga, Vµν forman las componentes de un tensor contravariante de segundo
orden si se transforman de acuerdo a
∂xρ ∂xσ
V˜µν =
Vρσ
∂x
˜µ ∂ x
˜ν
Tensores
(1.2.8)
4
Relatividad Especial
de este modo, generalizando los vectores covariantes y contravariantes, para tensores de
segundo orden y mayor, es posible definir un tensor mixto,
∂x
˜µ ∂xσ ρ
V
V˜νµ =
∂xρ ∂ x
˜ν σ
(1.2.9)
En general con estas reglas de transformaci´on, se pueden construir tensores de orden
α + β mixtos, contravariantes en α ´ındices y covariantes en β ´ındices, i.e.
∂x
˜µ1 ∂ x
˜µ2
∂xσ1 ∂xσ2
...ρα
2 ...µα
V˜νµ11νµ2 ...ν
=
·
·
·
· · · Vσρ11σρ22...σ
β
β
∂xρ1 ∂xρ2
∂x
˜ ν1 ∂ x
˜ ν2
(1.2.10)
La relevancia de los tensores radica en que conocido un tensor en un sistema de referencia, ´este puede conocerse en cualquier otro, de modo que una ecuaci´on tensorial es
v´alida en cualquier sistema coordenado. Esto suele decirse a la ligera como que los tensores
son independientes del sistema de referencia o que los tensores toman la misma forma en
cualquier sistema dada su forma en un sistema particular. Esta propiedad resulta de suma
importancia al formular tanto la relatividad especial como la general.
1.2.5. Delta de Kronecker
Se define la delta de Kronecker como el tensor mixto de segundo orden δνµ tal que

1, si µ = ν
µ
δν =
0, si µ 6= ν
(1.2.11)
Algunas propiedades de la delta de Kronecker son
δνµ Aν = Aµ
(1.2.12)
δµµ = 3
(1.2.13)
δσµ δνσ = δνµ
(1.2.14)
1.2.6. El s´ımbolo de Levi-Civita
Tambi´en llamado tensor de permutaciones, se define, para el espacio n-dimensional,
como
α1 ...αn
Tensores



1, si (α1 , . . . , αn ) es una permutaci´on par de (1, . . . , n)


= −1, si (α1 , . . . , αn ) es una permutaci´on impar de (1, . . . , n)



0, de otro modo
(1.2.15)
5
Relatividad Especial
que satisface que α1 ...αn = α1 ...αn , i. e. puede escribirse con sub´ındices o super´ındices. Una
de las propiedades m´
as relevantes del s´ımbolo de Levi-Civita, es su utilidad para definir el
determinante de una matriz M de componentes mij y dimensi´on n × n como
det(M ) = α1 ...αn m1α1 · · · mnαn
(1.2.16)
de donde se sigue inmediatamente la definici´on para las componentes de un producto cruz
el espacio tridimensional. Otras dos propiedades evidentes son
α1 ...αn α1 ...αn = n!
α1 ...αn β1 ...βn
δ β1
α1
.
= ..
β1
δαn
(1.2.17)
. . . δαβn1 .. ..
.
. βn . . . δαn
(1.2.18)
de donde se siguen los conocidos resultados en tres dimensiones
ijk ijk = 6
ijk imn = δjm δkn − δjn δkm
(1.2.19)
(1.2.20)
´ n de tensores
1.2.7. Manipulacio
´n
• Adicio
µ
Sean Aµρσ y Bρσ
dos tensores mixtos y sean α y β dos escalares, entonces
µ
µ
αAµρσ + βBρσ
≡ Cρσ
(1.2.21)
tambi´en es un tensor mixto del mismo orden. En general, siempre que todos los t´erminos
de dos tensores sean del mismo tipo y orden, la misma regla aplica.
Como caso especial de la adici´on, un tensor covariante o contravariante de segundo
orden puede escribirse como una combinaci´on de un tensor sim´etrico y uno antisim´etrico,
Aµν = A(µν) + A[µν]
donde
A(µν) ≡
Tensores
1 µν
(A + Aνµ )
2
(1.2.22)
(1.2.23)
6
Relatividad Especial
es la parte sim´etrica de Aµν y
A[µν] ≡
1 µν
(A − Aνµ )
2
(1.2.24)
es la parte antisim´etrica de Aµν .
´ n y Producto Externo
• Contraccio
La contracci´
on en un tensor mixto se forma tomando la suma sobre un par de ´ındices,
uno covariante y uno contravariante, resultando en un tensor de dos ´ordenes menos que el
original, por ejemplo
µ1
µ2
µ3
µν
Aµ0
σρ0 + Aσρ1 + Aσρ2 + Aσρ3 ≡ Aσρν
(1.2.25)
en el caso en que los ´ındices corren de 0 a 3.
En cuanto al producto externo, se forma a partir de la suma de los ordenes de dos
tensores factores y el tipo (covariante o contravariante) de sus ´ındices se toma de acuerdo
αβ
con el tipo de los tensores factores. Por ejemplo, a partir de dos tensores Aµν
ρσ y Bγδκ puede
formarse el producto externo
αβ
µναβ
Aµν
ρσ Bγδκ ≡ Cρσγδκ
(1.2.26)
´trica
1.2.8. Producto Interno y La Me
El producto interno de dos tensores resulta de combinar un producto externo con una
contracci´
on. Por ejemplo
ρσ
µνρσ
σ
Aµν
ρ Bµν ≡ Cρµν ≡ D
(1.2.27)
donde se realiz´
o primero el producto externo y luego la contracci´on (por supuesto ahorrando cada contracci´
on expl´ıcita, pues se realiza en cada par de ´ındices repetidos, uno por uno).
Ahora bien, veamos c´
omo opera el producto interno considerando dos vectores Aµ y B ν
en un espacio 4-dimensional definido por la base {ˆeα } (aqu´ı el sub´ındice denota un vector
completo, no una componente) de forma que A ≡ Aµˆeµ y A ≡ B ν ˆeν , entonces
A · B = (Aµˆeµ ) · (B ν ˆeν )
= Aµ B ν (ˆeµ · ˆeν )
Tensores
(1.2.28)
7
Relatividad Especial
de aqu´ı entonces se define
gµν

ˆe0 · ˆe0

ˆe0 · ˆe1
≡ ˆeµ · ˆeν = 
ˆe · ˆe
 0 2
ˆe0 · ˆe3
ˆe1 · ˆe0 ˆe2 · ˆe0 ˆe3 · ˆe0


ˆe1 · ˆe1 ˆe2 · ˆe1 ˆe3 · ˆe1 

ˆe1 · ˆe2 ˆe2 · ˆe2 ˆe3 · ˆe2 

ˆe1 · ˆe3 ˆe2 · ˆe3 ˆe3 · ˆe3
(1.2.29)
como la m´etrica del espacio en cuesti´on. La m´etrica adem´as se define como aquella que
satisface, para dos puntos vecinos xµ , xµ + dxµ , el elemento
ds2 = gµν dxµ dxν
(1.2.30)
y ya que dxµ dxν es un tensor sim´etrico arbitrario [8], gµν es sim´etrico y ds2 es un invariante
(rigurosamente para probar que gµν es un tensor, debe emplearse un criterio llamado ley
del cociente, v´ease e.g. [23]). El tensor contravariante g µν existir´a s´olo si |gµν | =
6 0, lo que
seguido se asume.
1.2.9. Subir y Bajar ´Indices
De (1.2.28) podemos ver que Aµ gµν , o bien B ν gµν , definiran nuevos covectores. Como
se ver´a con m´
as cuidado en la §2.2, los vectores covariantes y contravariantes pertenecen a
los espacios tangente y cotangente, respectivamente, de una variedad, espacios que no son
can´onicamente isomorfos, de modo que se define manualmente el isomorfismo entre ambos
v´ıa la m´etrica. De este modo entonces se tiene por definici´
on, que
Aµ gµν = Aν
(1.2.31)
B ν gµν = Bµ
(1.2.32)
o bien, que
lo que se conoce como bajar un ´ındice. De manera an´aloga, considerando la m´etrica inversa
o contravariante g µν , se debe satisfacer
Aµ g µν = Aν
(1.2.33)
Bν g µν = B µ
(1.2.34)
o bien, que
que es subir un ´ındice; por supuesto esto implica que
gαβ g βγ = δαγ
Tensores
(1.2.35)
8
Relatividad Especial
de modo que si un ´ındice es bajado y luego subido, se recupere el vector original. Por
supuesto esto puede hacerse para los ´ındices de cualquier tensor, por ejemplo, si se quisiese llevar a cabo el producto (1.2.27), tomando u
´nicamente cantidades contravariantes,
haciendo el proceso en reversa, se tendr´ıa
ρσ
µνα σβ ρ
Aµν
g B
ρ Bµν = gρα A
| {z } | {zµνβ}
baja ρ
= gρα g
σβ
sube σ
A
µνα
gµγ gνζ B ρ β γζ
|
{z
}
baja µν
= gρα gµγ gνζ g
σβ
A
µνα
B ρ β γζ
(1.2.36)
El orden de ´ındices en la m´etrica por supuesto es irrelevante, pues es un tensor sim´etrico,
y en cuanto a los dem´
as tensores, la disposici´on de ´ındices por ejemplo en B ρ β γζ es m´as
bien sugerente de la altura original a la que estaban dispuestos, bien podr´ıa escribirse
solamente como Bβργζ ; lo realmente relevante es mantener el orden de los ´ındices covariantes
y contravariantes. Obs´ervese finalmente que para el producto interior (1.2.28), se tendr´a que
Aµ Bµ = g µν Aν Bµ
= Aν g µν Bµ
= Aν B ν = Aµ B µ
(1.2.37)
de modo que pueden tomarse los ´ındices mudos del tipo que se quiera para llevar a cabo
la suma.
1.3. Espaciotiempo
La nueva noci´
on del tiempo y la simultaneidad como conceptos dependientes del sistema
de referencia conduce a la noci´
on de los marcos inerciales dotados ya no solo de coordenadas
espaciales, sino tambi´en de una coordenada temporal, propia del sistema en cuesti´on.
X El espaciotiempo es un conjunto cuatro-dimensional cuyos elementos pertenecen al
espacio tridimensional y al tiempo.
X A un punto en el espaciotiempo se le llama evento o cuadrivector.
X La trayectoria de una part´ıcula es una curva en el espaciotiempo llamada l´ınea de
mundo o l´ınea de universo.
Una descripci´
on general de la geometr´ıa del espaciotiempo puede lograrse especificando
las distancias entre puntos cercanos empleando herramientas del c´alculo diferencial e integral (geometr´ıa diferencial ). En adelante se emplear´a la notaci´on de ´ındices griegos que
Espaciotiempo
9
Relatividad Especial
corren de 0 a 3 para denotar las coordenadas en el espaciotiempo:
x0 = ct
xµ :
x1
=x
x2
=y
x3
=z
(1.3.1)
donde c es la velocidad de la luz en el vac´ıo. En adelante se emplear´an tambi´en unidades
tales que c = 1, a veces llamadas naturales ([6]), i.e. ya que emp´ıricamente se sabe que
c = 3 × 108 m/s, se trabaja con unidades tales que 1 s = 3 × 108 m.
El elemento de l´ınea (se emplea la convenci´on de suma)
ds2 = ηµν dxµ dxν
donde el tensor
(1.3.2)

ηµν

−1 0 0 0


 0 1 0 0


≡

0
0
1
0


0 0 0 1
(1.3.3)
es llamado la m´etrica de Minkowski (seguido se llama de este modo al elemento de l´ınea
completo), define la geometr´ıa del espaciotiempo tal que ´esta permanece invariante ante
cualquier sistema de referencia inercial (v´ease §1.4).
La geometr´ıa definida por (1.3.2) es no-Eucl´ıdea debido al signo negativo (seguido se
define ηµν con el signo contrario, lo que es correcto siempre que las definiciones restantes
sean consistentes) y plana, debido a que todos los coeficientes de la m´etrica son constantes
(en general, el espaciotiempo es plano si existe al menos un conjunto de coordenadas en el
cual la m´etrica tiene todas las componentes constantes, v´ease §2.2.6).
Esta m´etrica adem´
as ser´
au
´til para subir y bajar ´ındices al operar con cantidades tensoriales al trabajar en este espacio (v´ease el problema 25 y en general la §1.2.7). Por esta
raz´on, a este espaciotiempo se le llama espaciotiempo plano o espacio de Minkowski .
Una herramienta muy u
´til son los diagramas de espaciotiempo. En la Figura 1.1 se
muestra un diagrama de espaciotiempo en dos dimensiones espaciales, e.g. x y y para alguna tercer coordenada espacial constante.
Espaciotiempo
10
Relatividad Especial
t
temporaloide
luzaloide
O
x
espacialoide
Figura 1.1: Cono de luz en un diagrama de espaciotiempo de dos dimensiones espaciales. Se indican puntos cuyas separaci´
on con el origen es temporaloide, espacialoide y luzaloide.
p
La superficie correspondiente a una pendiente c = 1 est´a dada por t = ± x2 + y 2 (Figura 1.1) y en efecto, las curvas sobre la misma son las trayectorias que viajan a la velocidad
de la luz. En general, el conjunto de puntos conectados a un evento O por l´ıneas de mundo
cuya pendiente corresponde entonces a la velocidad de la luz definen los llamados conos de
luz, que se dividen en pasado y futuro.
X El conjunto de todos los puntos dentro del cono de luz de un punto O se dicen de
separaci´
on temporaloide respecto a O.
X El conjunto de todos los puntos fuera del cono de luz de un punto O se dicen de
separaci´
on espacialoide respecto a O.
X El conjunto de todos los puntos sobre el cono de luz de un punto O se dicen de
separaci´
on luzaloide respecto a O.
Siempre que las curvas en el espacio tiempo son l´ıneas rectas, el elemento de l´ınea (1.3.2)
se puede extender al caso particular del intervalo espaciotemporal entre dos eventos
∆s2 = ηµν ∆xµ ∆xν
(1.3.4)
de modo que para los tres tipos de separaci´on de eventos se tiene
Espaciotiempo
∆s2 > 0
separaci´on espacialoide
∆s2
<0
separaci´on temporaloide
∆s2
=0
separaci´on luzaloide
(1.3.5)
11
Relatividad Especial
es relevante notar que la separaci´on luzaloide significa que la distancia entre dos puntos sobre un rayo de luz es nula. Adem´as podr´ıan existir entidades f´ısicas con l´ıneas de
mundo espacialoides conocidas como taquiones, aunque su existencia entrar´ıa en conflicto con otros principios f´ısicos como la causalidad. En cuanto a las l´ıneas de mundo y los
eventos temporaloides, ´estos suelen ser los de inter´es en relatividad especial, y aunque no
tiene sentido decir que un evento es en general anterior o posterior a otro, s´ı tiene sentido
decir que un evento con separaci´
on temporaloide a otro es anterior o posterior a este u
´ltimo.
En relatividad especial cuando se habla de un reloj, se est´a hablando de un dispositivo
que mide distancias temporaloides. Debido al signo negativo en el intervalo espaciotemporal, o en general, en el elemento de l´ınea, para una l´ınea de mundo temporaloide se define
el llamado tiempo propio τ , que satisface
dτ 2 ≡ −ds2 = −ηµν dxµ dxν
(1.3.6)
de modo que un reloj movi´endose a lo largo de una l´ınea de mundo temporaloide, medir´a la
distancia τ a lo largo de la misma. De manera an´
aloga se llama distancia propia a la distancia entre dos eventos cualesquiera (no l´ıneas de mundo) con separaci´on espacialoide.
En relatividad especial los diagramas de espaciotiempo pueden llamarse m´as espec´ıficamente diagramas de Minkowski, y por simplicidad suele visualizarse s´olo una coordenada
espacial. Adem´
as a los sistemas coordenados tambi´en se les suele llamar observadores.
En la Figura 1.2 se muestra el ejemplo de una part´ıcula movi´endose con velocidad v < c
respecto al observador S. Este diagrama servir´a de motivaci´on para la secci´on siguiente,
pues esta part´ıcula puede interpretarse en s´ı como otro observador, i.e. define un nuevo
sistema de referencia, para el cual deben sostenerse los postulados de la relatividad especial.
Finalmente, como se se˜
nala en [24], la noci´on de aceleraci´
on tiene una mala reputaci´on
[34] en relatividad especial por ninguna buena raz´on. El detalle est´a en que en relatividad
especial una part´ıcula en reposo en alg´
un sistema inercial no debe estar acelerada; una
vez que se ha definido tal marco inercial, la part´ıcula puede seguir cualquier trayectoria,
acelerada o no.
Cuando se tiene la presencia de campos gravitatorios entonces s´ı es necesario emplear
la relatividad general. La relatividad especial es el caso particular de la relatividad general
s´olo en lo que se refiere al espacio plano, i.e. la simetr´ıa del espacio de Minkowski.
Espaciotiempo
12
Relatividad Especial
t
t˜
x
S
Figura 1.2: Diagrama de espaciotiempo en una dimensi´
on espacial en el cual una part´ıcula se
mueve con velocidad v < c respecto a S, cuya l´ınea de mundo define el eje temporal t˜
del nuevo observador.
t
x
S
Figura 1.3: L´ınea de mundo de una part´ıcula acelerada.
1.4. Transformaciones de Lorentz
En la gran mayor´ıa de la literatura suelen tratarse los resultados b´asicos de la relatividad especial como la dilataci´
on del tiempo o la contracci´on de Lorentz antes de introducir
las transformaciones de Lorentz, sino empleando u
´nicamente la geometr´ıa del espacio de
Minkowski.
Sin embargo los efectos son bien conocidos incluso a nivel divulgaci´on, por lo que me
parece conveniente introducir antes las transformaciones de Lorentz con la motivaci´on de
que son precisamente ´estas las que satisfacen los postulados de la relatividad, m´as que
ser solamente prestidigitaci´
on matem´atica; con ello por supuesto, surgen naturalmente las
consecuencias bien conocidas, y a´
un m´as impresionantes, de la relatividad especial.
Las traslaciones son un ejemplo de transformaciones lineales que dejan invariante el
Transformaciones de Lorentz
13
Relatividad Especial
intervalo espaciotemporal (1.3.4), i.e. transformaciones cuya definici´on es del tipo
xµ˜ = δµµ˜ (xµ + aµ )
(1.4.1)
donde aµ es un cuadrivector constante y δµµ˜ es la delta de Kronecker cuadridimensional
(v´ease §1.2.5). Sin embargo, como se menciona brevemente en §1.1 la motivaci´on en relatividad especial, es hallar las transformaciones de tipo de rotaciones espaciales y desplazamientos a velocidad constante, tambi´en llamados boosts, que satisfagan el principio de
relatividad (que m´
as estrictamente Einstein torn´o en una ley f´ısica).
Tanto las rotaciones espaciales como los boosts, son transformaciones lineales cuya
definici´on es del tipo
xµ˜ = Λµ˜ ν xν
(1.4.2)
y que entonces deber´
a satisfacer
d˜
s = ηµν dxµ˜ dxν˜
= ηµν Λµ˜ ν Λν˜ µ dxµ dxν
= ηµν dxµ dxν
(1.4.3)
ηµν = Λµ˜ ν Λν˜ µ ηµν
(1.4.4)
es decir,
de modo que el elemento de l´ınea (o el intervalo) sea invariante. Las matrices Λµ˜ ν que
satisfacen (1.4.4) son llamadas matrices de Lorentz y de este modo, (1.4.2) define las llamadas transformaciones de Lorentz, respecto a las cuales transforman los tensores en este
espaciotiempo (de aqu´ı surge, de hecho, tambi´en la definici´on de (1.3.3)).
El conjunto de todas las matrices de Lorentz define al grupo (i.e. un conjunto que satisface ciertas propiedades) de matrices llamado grupo de Lorentz SO(3,1), en analog´ıa al
conocido grupo de rotaciones en el espacio tridimensional SO(3), donde O es por ortogonal
y aqu´ı S es por special, siendo matrices de determinante igual a 1; mientras que el s´ımbolo
(3,1) se refiere a 3 dimensiones espaciales y 1 temporal (v´ease [24]; aqu´ı ser´a suficiente
entender esto u
´nicamente).
Junto con las traslaciones espaciotemporales, el grupo es llamado de Poincar´e. As´ı entonces el grupo de Lorentz consiste de las rotaciones en el espacio tridimensional, como
una rotaci´
on alrededor del eje x1 en un ´angulo ϕ,
Transformaciones de Lorentz
14
Relatividad Especial

1 0
0
0


0 

cos ϕ sin ϕ 

0 0 − sin ϕ cos ϕ

0 1
Λ ν (ϕ) = 
0 0

µ
0
(1.4.5)
y de los desplazamientos a velocidad constante o boosts, an´alogos a las rotaciones espaciales pero siendo ahora rotaciones en las direcciones espaciales y temporal en las que se
reemplazan las funciones trigonom´etricas por funciones hiperb´olicas, dado el car´acter no
Eucl´ıdeo del espaciotiempo, como por ejemplo un boost en la direcci´on x1 ,

cosh φ

− sinh φ
Λ ν (φ) = 
 0

µ
− sinh φ 0 0

0 0

1 0

0 1
cosh φ
0
0

0
(1.4.6)
donde φ ∈ (−∞, ∞) es el par´
ametro hiperb´
olico (v´ease [11]) que puede relacionarse f´acilmente con la rapidez asociada al boost (en ingl´es φ se llama rapidity). En la Figura 1.4 se
muestra el boost que produce la matriz (1.4.6) en un diagrama de espaciotiempo.
t
φ
t˜
x
˜
φ
x
Figura 1.4: Un boost como cambio de coordenadas respecto al ´
angulo hiperb´
olico φ. Los ejes coordenados t˜, x
˜ son en efecto ortogonales en el espacio de Minkowski, aunque no lo aparenten en la representaci´
on Eucl´ıdea del diagrama.
La similitud con una simple rotaci´on es evidente, aunque se procura hacer ´enfasis en
la Figura 1.4 en la forma de los ´
angulos (En [42] se muestra un diagrama mucho menos
Transformaciones de Lorentz
15
Relatividad Especial
humilde). De (1.4.2), se tiene entonces expl´ıcitamente que la transformaci´on es
  

t˜
t cosh φ − x sinh φ
  

x
 

 ˜ = −t sinh φ + x cosh φ
y˜ 

y
  

z˜
z
(1.4.7)
donde se ha empleado la notaci´
on dada en (1.3.1). V´ease entonces que en x
˜ = 0, para una
˜
part´ıcula, el eje t coincidir´ıa con su l´ınea de mundo y ´esta estar´ıa en reposo en el sistema
{t˜, x
˜}. De este modo entonces, si en (1.4.7) x
˜ = 0, puede obtenerse la velocidad v entre
ambos sistemas (el rec´ıproco de la pendiente de la l´ınea de mundo), i. e. se tiene para la
velocidad de la part´ıcula en el sistema {t, x},
v=
x
= tanh φ
t
(1.4.8)
o bien
φ = arctan
x
t
= arctan v
(1.4.9)
Esta velocidad es la misma para cualquier x
˜ constante, i.e. para una part´ıcula en reposo
en el sistema {t˜, x
˜} sobre cualquier otro valor de x
˜. De este modo, empleando la relaci´on
(1.4.9), puede escribirse la transformaci´on en la forma m´as popular
 
  
t˜
γ
−γv 0 0
t
  
 
x




γ
0 0 x
 ˜ = −γv

y˜  0
 
0
1 0
  
 y 
z˜
0
0
0 1
z
(1.4.10)
√
donde γ ≡ 1/ 1 − v 2 es el llamado factor de Lorentz. De este modo tambi´en uno puede
invertir la transformaci´
on para encontrar que
 
  
γ γv 0 0
t˜
t
 
  

x γv γ 0 0 x
  ˜
 =

y   0

0 1 0 y˜

  
z˜
z
0
0 0 1
(1.4.11)
No se puede dejar de mencionar que, como se esperaba, las curvas x
˜ = ±t˜ coinciden con
las curvas x = ±t, siendo que la velocidad de la luz debe ser la misma en cualquier sistema
de referencia inercial, como afirma en el segundo postulado de la relatividad especial.
Transformaciones de Lorentz
16
Relatividad Especial
Por supuesto aqu´ı se ha tratado un caso particular; para l´ıneas de mundo arbitrarias,
por supuesto, v = dx/dt y el factor de Lorentz toma una definici´on m´
as general γ = dt/dt˜
(de cualquier modo v´ease tambi´en 1.5.16); tambi´en en la red [35] puede encontrarse la
generalizaci´
on para un boost en direcci´on arbitraria, en el presente trabajo, como en la
literatura en general, parece ser suficiente con obtener el caso en una direcci´on de la base
del espacio de Minkowski.
Finalmente, conociendo la forma de las transformaciones de Lorentz, y sabiendo la motivaci´on de las mismas como las transformaciones que dejan invariante un cambio coordenado
de rotaciones y boosts, pueden obtenerse f´acilmente las consecuencias de esta invariancia
mencionadas al principio de esta secci´on como se muestra a continuaci´on.
´ n temporal
1.4.1. Dilatacio
˜ : {t˜, x
Primero consideremos dos sistemas de referencia O : {t, x} y O
˜}, para los cuales
˜
respecto a O, O se desplaza a una velocidad v (el mismo esquema tratado en la Figura 1.4).
˜ i.e.
Consid´erense dos eventos E1 y E2 con un intervalo temporal ∆t˜ ≡ t˜2 − t˜1 medido en O,
˜ est´a en reposo. Entonces el intervalo temporal
un intervalo de tiempo propio, en el que O
∆t medido por el observador O estar´a dado (mediante transformaci´on de Lorentz) por
∆t = t2 − t1
= γ(t˜2 + v˜
x2 ) − γ(t˜1 + v˜
x1 )
(1.4.12)
y t˜2 , t˜1 est´
an medidos en el mismo punto x
˜2 = x
˜1 pues en este marco el observador est´a en
reposo, entonces
∆t = γ t˜2 − t˜1 = γ∆t˜
(1.4.13)
y se sabe que γ ≥ 1, por tanto se tiene que el intervalo temporal ∆t, i.e. el intervalo temporal
˜ (como es visto por
en O, es mayor al que experimenta el marco a velocidad constante O
´
O). Este
es el llamado efecto de dilataci´on temporal.
´ n de Lorentz
1.4.2. Contraccio
De manera an´
aloga consideremos ahora otros dos eventos E˜1 y E˜2 en los dos mismos
˜ i.e. una distancia
sistemas anteriores, con un intervalo espacial ∆˜
x≡x
˜2 − x
˜1 medido en O,
propia en la que O est´
a en reposo. En este caso se quiere medir el intervalo ∆x ≡ x2 − x1
en alg´
un t0 fijo. Sabiendo esto entonces, por transformaci´on de Lorentz,
∆˜
x=x
˜2 − x
˜1
Transformaciones de Lorentz
17
Relatividad Especial
= γ(x2 − vt0 ) − γ(x1 − vt0 )
= γ(x2 − x1 ) = γ∆x
∴ ∆x =
∆˜
x
γ
(1.4.14)
y nuevamente, ya que γ ≥ 1, se sigue que ∆x ≤ ∆˜
x, i.e. que el intervalo espacial medido
˜ Este
´
en O en t0 es menor al medido en O.
es el llamado efecto llamado contracci´on de
Lorentz.
´ n de velocidades
1.4.3. Regla relativista de adicio
Finalmente consideremos los mismos dos sistemas anteriores extendidos a las tres dimensiones espaciales (recu´erdese que el boost est´a en la direcci´on de x), y a una part´ıcula
con componentes de velocidad (espec´ıficamente 3-velocidad) arbitraria v i en O. Enton˜
ces, por transformaci´
on de Lorentz, la componente x de velocidad de la part´ıcula en O
estar´a descrita por
d˜
x
dt˜
γ(dx − v dt)
=
γ(dt − v dx)
vx − v
=
1 − v vx
v˜x =
(1.4.15)
mientras que para cualquier otra componente j, se tendr´a, de manera an´aloga
v˜j =
d˜
xj
dt˜
dxj
γ(dt − v dx)
vj
=
γ(1 − v v x )
=
(1.4.16)
´
Esta
es la llamada regla relativista de adici´on de velocidades, que generaliza la regla
newtoniana, recuperada para velocidades muy bajas respecto a la de la luz (i.e. en nuestras
unidades, v 1).
´ nica Relativista
1.5. Meca
´ tica Relativista
1.5.1. Cinema
El objetivo de esta secci´
on es describir el movimiento de una part´ıcula en t´erminos
del espaciotiempo. Una l´ınea de mundo puede especificarse dando las cuatro coordenadas
Mec´anica Relativista
18
Relatividad Especial
espaciotemporales X µ como una funci´on univaluada en t´erminos de alg´
un par´ametro σ (no
se hab´ıa hecho la distinci´
on entre xµ y X µ , sin embargo en ocasiones se llegar´a a emplear
para distinguir cuadrivectores de vectores 3-dimensionales).
Lo m´
as natural es emplear el tiempo propio τ (v´ease §2.2.4) como par´ametro, ya que
´este mide la distancia espaciotemporal a lo largo de la l´ınea de mundo desde alg´
un punto
inicial arbitrario. De este modo entonces, una l´ınea de mundo est´a descrita por la curva
X µ = X µ (τ )
(1.5.1)
i.e. la posici´
on de una part´ıcula para cada valor del tiempo propio τ . Se define entonces la
4-velocidad como el vector (o cuadrivector, m´as espec´ıficamente) U µ cuyas componentes
(l´ease la nota inicial de §1.2) son las derivadas de la posici´on a lo largo de la l´ınea de mundo
respecto al tiempo propio, i.e.
Uµ ≡
dX µ
dτ
(1.5.2)
La 4-velocidad entonces es tangente a la l´ınea de mundo correspondiente y puede expresarse en t´erminos de las componentes de 3-velocidad v i = dxi /dt en alg´
un marco inercial
particular, de modo que (v´ease el problema 26),
~ = γ(1, ~v )
U
(1.5.3)
de aqu´ı entonces se tiene que, por producto interno de Minkowski,
~ ·U
~ = U µ Uµ
U
= U µ U α ηαµ
dX µ dX α
ηαµ
dτ dτ
= −γ 2 + γ 2 v 2
=
=
v2 − 1
= −1
1 − v2
(1.5.4)
de modo que la magnitud de la velocidad es siempre un cuadrivector unitario y de tipo
tiempo.
´ mica Relativista
1.5.2. Dina
Un vector relacionado a la 4-velocidad de una part´ıcula es el llamado 4-momento,
definido por
P µ ≡ mU µ
Mec´anica Relativista
(1.5.5)
19
Relatividad Especial
donde m caracteriza las propiedades inerciales de la part´ıcula al ser una cantidad fija e
independiente del sistema de referencia inercial y es llamada masa inercial. V´ease que en
el marco de reposo de la part´ıcula se tendr´a P 0 = m, as´ı entonces en unidades naturales
c = 1, la energ´ıa de la part´ıcula ser´
a simplemente E = P 0 (con las unidades correspondientes), i.e. la componente temporaloide de su tensor de momento, mientras que en unidades
S.I., la energ´ıa correspondiente ser´
a E = cP0 = mc2 .
En general para un marco de referencia en movimiento puede emplearse la transformaci´on de Lorentz para hallar el 4-momento, e.g. para una part´ıcula movi´endose con velocidad
v en el eje x,
P~ = γ(m, vm, 0, 0)
(1.5.6)
que en efecto puede comprobarse con un desarrollo en serie de Taylor en v alrededor
de 0, i.e. para velocidades peque˜
nas, que P 0 ≈ m + 21 mv 2 , b´asicamente energ´ıa de reposo
m´as energ´ıa cin´etica, y tambi´en que P 1 = mv, b´asicamente momento Newtoniano. V´ease
adem´as que, en general,
P~ · P~ = P µ Pµ
= P µ P α ηαµ
= −(P 0 )2 + p~2
2
2
2
= γ m (v − 1) = −m
(1.5.7)
2
(1.5.8)
donde p~2 = P i P i es la magnitud del 3-momento; igualando entonces los t´erminos (1.5.7) y
(1.5.8), se tiene que
E 2 = m2 + p~2
(1.5.9)
que es la relaci´
on de energ´ıa-momento (en unidades naturales). La primera ley de Newton
por supuesto es v´
alida en la relatividad especial. Para describir la din´amica de una part´ıcula
en el espaciotiempo, es necesario hallar el an´alogo a la segunda ley de Newton cl´asica. La
forma natural m´
as sencilla de este an´alogo es
Fµ =
dP µ
dτ
(1.5.10)
donde F µ es la llamada 4-fuerza. Puede leerse en [11], que no hay forma de obtener esta ley
de algo anterior, sino que simplemente debe satisfacer las propiedades: (1) Debe satisfacer el
principio de relatividad (galileana), (2) debe reducirse a la primera ley de Newton cuando
la fuerza es nula y (3) debe reducirse a f~ = m~a en cualquier marco inercial cuando la
velocidad de la part´ıcula es mucho menor a la de la luz. En el caso en que se tiene una
Mec´anica Relativista
20
Relatividad Especial
masa inercial constante, se tiene que
F µ = mAµ
donde naturalmente se define
A≡
dU µ
dτ
(1.5.11)
(1.5.12)
como la 4-aceleraci´
on. Los requisitos para la 4-fuerza pueden traducirse en la siguiente forma [47]: Primero la 4-fuerza debe ser invariante ante transformaciones de Lorentz. Segundo,
´esta debe ser normal a la 4-velocidad,
F µ Uµ = 0
(1.5.13)
ya que U µ Uµ = −1 (v´ease el problema 31a). Y finalmente, por supuesto, considerar el
l´ımite de velocidades en que se recupera la versi´on cl´asica. Cualquier caso particular debe
satisfacer estas condiciones.
´n
1.5.3. Aceleracio
Puede hallarse f´
acilmente c´
omo transforman las componentes de la 3-aceleraci´on para
cualquier observador externo partiendo del caso particular para la regla de adici´on de
velocidades obtenida en §1.4.3. Consideremos la componente x,
v˜x =
vx − v
1 − v vx
(1.5.14)
derivando entonces
a
˜x ≡
d˜
vx
d˜
v x dt
=
dtdt˜
dt˜
d
v x − v dt
=
dt 1 − v v x dt˜
x
(v − v)(vax )
ax
dt
=
+
x
2
x
(1 − v v )
1 − v v dt˜
dt
1 − v2
=
ax
dt˜ (1 − v v x )2
(1.5.15)
y de la transformaci´
on de Lorentz correspondiente [ec. (1.4.11)], se tiene
dt
d˜
x
=γ 1+v
dt˜
dt˜
= γ (1 + v˜
vx)
Mec´anica Relativista
21
Relatividad Especial
vv x − v 2
=γ 1+
1 − vv x
1 − v2
=γ
1 − vv x
(1.5.16)
entonces simplemente
a
˜x = γ
(1 − v 2 )2 x
a
(1 − v v x )3
(1.5.17)
que en el caso de que el movimiento sea rectil´ıneo y s´olo en la direcci´on x, con la part´ıcula
˜ entonces v = v x y as´ı tambi´en
definiendo al observador O,
a
˜x = γ 3 ax
(1.5.18)
de otro modo, el proceso es enteramente an´alogo para las otras componentes partiendo de
las ecuaciones (1.4.16).
1.5.4. Rayos de Luz
• Part´ıculas de masa inercial nula
Consideremos part´ıculas que se mueven a la velocidad de la luz, i.e. a lo largo de
l´ıneas de mundo luzaloides. Para un observador inercial externo, la curva descrita por tales
part´ıculas es de la forma
x = ±t
(1.5.19)
que ya no puede ser escrita de forma param´etrica por el par´ametro τ , ya que el intervalo
de tiempo propio entre cualesquiera dos puntos es nulo, i.e. el mapeo con el par´ametro
τ asignar´ıa el mismo valor a todos los puntos de la curva. Prop´ongase entonces alg´
un
par´ametro λ tal que
xµ = U µ λ
~≡
donde de manera an´
aloga con (1.5.3), U
d~
x
dλ
(1.5.20)
= (1, 1, 0, 0) y entonces,
U µ Uµ = 0
(1.5.21)
al contrario de (1.5.4), pues en este caso U µ es un cuadrivector luzaloide. V´ease adem´as
que con esta parametrizaci´
on,
Mec´anica Relativista
dU µ
=0
dλ
(1.5.22)
22
Relatividad Especial
i.e. en efecto, un rayo de luz se mueve a velocidad constante en cualquier marco inercial.
Los par´
ametros λ que satisfacen (1.5.22) son llamados par´ametros afines. En principio
uno puede utilizar cualquier par´
ametro que le venga en gana, sin embargo el que cumplan
(1.5.22) es relevante f´ısicamente como se ver´a m´as adelante a trav´es de la ecuaci´on de las
geod´esicas (ver §2.2.4). Como se ver´a tambi´en, los par´ametros afines no son u
´nicos (como
se puede ver con τ para l´ıneas de mundo temporaloides) y para cualquier par´ametro λ af´ın,
tambi´en el par´
ametro aλ + b con a, b constantes, es af´ın.
• Efecto Doppler Relativista
Consideremos en particular el caso de un fot´on (hay otras part´ıculas no masivas, e.g.
gluones o los hipot´eticos gravitones). De la mec´anica cu´antica se sabe que la energ´ıa de un
fot´on de frecuencia angular ω es
E = ~ω
(1.5.23)
Adem´
as de la relaci´
on de energ´ıa momento (1.5.9), para m = 0, se tiene E = |~
p|, por
~
tanto ∃ k tal que
p~ = ~~k
(1.5.24)
con |~k| = ω, que es llamado el 3-vector de onda. De este modo podemos definir tambi´en un
~ tal que
4-vector de onda K
~
P~ = (E, p~) = ~ ω, ~k = ~K
(1.5.25)
~ 2 = 0, como deber´ıa, por tratarse de cuadrivecdonde evidentemente se satisface P~ 2 = K
tores luzaloides.
Consid´erese ahora una fuente emitiendo fotones de frecuencia Ω en todas direcciones
sobre su marco de reposo, entonces si desde otro marco de referencia la fuente se mueve
con velocidad v sobre el eje x, entonces por transformaci´on de Lorentz,
Ω = γ(ω − vK x )
(1.5.26)
pero K x = k x al ser la componente x del vector de onda, estar´a dada por K x = ω cos δ,
donde δ es el ´
angulo entre el eje x y la direcci´on del fot´on en el marco de reposo de la
fuente, de modo que
√
Ω 1 − v2
Ω
=
ω=
γ(1 − v cos δ)
1 − v cos δ
(1.5.27)
que es la expresi´
on para el efecto Doppler relativista, donde para bajas velocidades evidenMec´anica Relativista
23
Relatividad Especial
temente se recupera la expresi´
on cl´asica.
´ mica Relativista
1.6. Electrodina
Por supuesto la electrodin´
amica es en s´ı misma consistente con la relatividad especial.
En este caso lo que un observador interpreta como un proceso el´ectrico, otro observador
puede interpretarlo como un proceso magn´etico, pero los movimientos de las part´ıculas
involucradas ser´
an los mismos [7].
´ n del Campo Electromagne
´tico
1.6.1. Transformacio
Para ilustrar lo anterior, consid´erese dos marcos inerciales S y S˜ dotados de los campos
~ y E,
~˜ respectivamente y los campos magn´eticos B
~ y B,
~˜ respectivamente, con
el´ectricos E
S˜ desplaz´
andose con una velocidad v respecto al eje x de S. Consideremos tambi´en una
part´ıcula con carga q en reposo en el sistema S, de modo que la fuerza que experimenta
en este sistema es
~
F~ = q E
(1.6.1)
Ahora bien, en S˜ la velocidad de la part´ıcula no es nula, de hecho, por (1.4.15) y
(1.4.16), su velocidad en este sistema es
˜ ≡ (−v, 0, 0)
~u
(1.6.2)
˜ la part´ıcula experimenta una fuerza
de modo que en S,
˜
˜×B
~˜
~˜ + ~u
F~ = q E
(1.6.3)
que ya hace evidente una interpretaci´on distinta en ambos sistemas. Adem´as, por supuesto,
la carga es un invariante de Lorentz. Encontremos entonces c´omo transforman las fuerzas
de un sistema a otro, de modo que podamos relacionar tambi´en los campos de ambos
sistemas. Para ello entonces, por la definici´on (1.5.10), es evidente que debemos conocer
primero c´
omo transforma el 3-momento lineal.
Dejemos de un lado por un momento a la part´ıcula cargada y consideremos un caso
˜ en S.
˜ De (1.5.6) y
ligeramente m´
as general para una part´ıcula con velocidad ~u en S y ~u
(1.4.15), se tiene que
px = γ(u)mux
=m
1
p
1 − (ux )2 − (uy )2 − (uz )2
Electrodin´
amica Relativista
!
u
˜x + v
1 + v˜
ux
24
Relatividad Especial
u
˜x + v
= mp
(1 + v˜
ux )2 − (1 − v 2 )[(˜
uy )2 + (˜
uz )2 ] − (˜
ux + v)2
x
u
˜ +v
= mp
[1 − (˜
ux )2 − (˜
uy )2 − (˜
uz )2 ](1 − v 2 )
x
u
˜ +v
= mp
(1 − u
˜2 )(1 − v 2 )
= mγ(˜
u)γ(v)(˜
ux + v)
˜
= γ(v) p˜x + v E
(1.6.4)
˜ = P˜ 0 , mientras que para las otras dos componentes, entonces
donde E
pj = γ(u)muj
= mγ(˜
u)˜
uj = p˜j
(1.6.5)
de este modo para la 3-fuerza,
dpx
d x
= γ (˜
p + vE)
dt
dt
˜
d x
˜ dt
p˜ + v E
=γ
dt˜
!dt
˜
dE
(1 − vux )
= γ 2 f˜x + v
˜
dt
x
u
˜ +v
2 ˜x
˜
~
= γ f + v f · ~u 1 − v
1 + v˜
ux
f˜x (1 + v˜
ux ) + f˜y v˜
uy + f˜z v˜
uz
=
1+
v˜
ux
y
v˜
uz
v˜
u
y
x
˜
˜
f +
f˜z
=f +
1 + v˜
ux
1 + v˜
ux
fx ≡
(1.6.6)
utilizando (1.4.10) y el resultado del problema 31b. De manera an´aloga para las componentes restantes, es evidente que
√
j
f =
1 − v 2 ˜j
f
1 + v˜
ux
(1.6.7)
As´ı entonces, hecho esto en una forma un tanto m´as general, regresemos al caso de la
part´ıcula cargada, donde ~u = ~0 y (1.6.2), de modo que
Electrodin´
amica Relativista
Fx = F˜x
(1.6.8a)
Fy = γ F˜y
(1.6.8b)
Fz = γ F˜z
(1.6.8c)
25
Relatividad Especial
donde γ = γ(v). Esto es, entonces
˜x
Ex = E
(1.6.9a)
˜y + v B
˜z )
Ey = γ(E
˜z − v B
˜y
Ez = γ E
(1.6.9b)
(1.6.9c)
Para obtener las transformaciones del campo magn´etico, consideremos ahora el caso en
˜ = (−v, u
que ~u = (0, uy , 0) y ~u
˜y , 0), es decir, donde ahora S˜ se desplaza con velocidad v en
la direcci´
on x respecto a S, pero ahora la part´ıcula tiene velocidad uy en y respecto a S.
Se tiene que
u
˜y = uy
p
1 − v2
(1.6.10)
entonces tambi´en se tiene, igualando las fuerzas,
uy ˜
˜y + v B
˜z
Bz + γvuy E
γ
˜y + v B
˜z )
Ey = γ(E
i
h
˜z − (v B
˜y + uy B
˜x )
Ez − uy Bx = γ E
˜x +
Ex + uy Bz = E
(1.6.11a)
(1.6.11b)
(1.6.11c)
De la primera y la tercer ecuaci´on puede obtenerse nueva informaci´on empleando las
transformaciones para el campo el´ectrico. Se tiene entonces para (1.6.11a)
˜z
B
˜y + v B
˜z
+ γv E
γ
˜z + v E
˜y
=γ B
Bz =
(1.6.12)
y tambi´en para (1.6.11c),
˜x
Bx = B
(1.6.13)
finalmente para la componente restante, de manera an´aloga puede considerarse el caso en
˜ = (−v, 0, u
que ~u = (0, 0, uz ) y ~u
˜z ), en tal caso
u
˜z = uz
p
1 − v2
(1.6.14)
y ahora para las fuerzas,
z
˜x − u B
˜y + γvuz E
˜z − v B
˜y
Ex − uz By = E
γ
i
˜y + v B
˜z + uz Bx
Ey + uz Bx = γ E
Electrodin´
amica Relativista
(1.6.15a)
(1.6.15b)
26
Relatividad Especial
˜z − v B
˜y
Ez = γ E
(1.6.15c)
Nuevamente, usando la informaci´on del campo el´ectrico, se tiene de (1.6.15a),
˜z
B
˜z − v B
˜y )
− γv(E
γ
˜z − v E
˜z )
= γ(B
By =
(1.6.16)
mientras que de (1.6.15b) s´
olo se recupera (1.6.13). Resumiendo entonces, se tienen las
transformaciones
˜x
Ex = E
(1.6.17a)
˜y + v B
˜z )
Ey = γ(E
˜z − v B
˜y
Ez = γ E
(1.6.17b)
˜x
Bx = B
(1.6.17d)
˜z − v E
˜z )
By = γ(B
˜z + v E
˜y
Bz = γ B
(1.6.17e)
˜x = Ex
E
(1.6.18a)
˜y = γ(Ey − vBz )
E
(1.6.18b)
˜z = γ (Ez + vBy )
E
(1.6.18c)
˜x = Bx
B
(1.6.18d)
˜y = γ(Bz + vEz )
B
(1.6.18e)
˜z = γ (Bz − vEy )
B
(1.6.18f)
(1.6.17c)
(1.6.17f)
cuyas inversas son simplemente
Por supuesto estas transformaciones son independientes del movimiento de la part´ıcula, como se mencion´
o al principio de la secci´on; se trata u
´nicamente de c´omo se aprecia
el campo electromagn´etico en ambos sistemas. P´ongase atenci´on al caso tratado aqu´ı; generalmente suele tratarse el caso en que la part´ıcula est´a en reposo en S˜ y se mueve en x
respecto a S (si se quiere, en que S se desplaza respecto a S 0 en −˜
x), la diferencia est´a s´olo
en el signo de v.
´ mica en notacio
´ n tensorial
1.6.2. Electrodina
Se ha visto entonces que campos el´ectricos pueden transformar en campos magn´eticos y
~ yB
~ no son invariantes de Lorentz. Debemos junviceversa. Esto significa que los campos E
Electrodin´
amica Relativista
27
Relatividad Especial
tar los campos el´ectrico y magn´etico en un solo objeto para poder escribir las ecuaciones de
la electrodin´
amica en forma covariante (en el sentido de invariancia ante transformaciones
de Lorentz, no al de covarianza vs contravarianza). Advi´ertase que en adelante seguir´e empleando la signatura (− + ++) para ηµν , i.e. la definici´on hecha en (1.3.3).
La forma m´
as sencilla de hacerlo es definir el

0
Ex

−Ex
0
F µν ≡ 
−E −B
y
z

−Ez By
tensor antisim´etrico

Ey
Ez

Bz −By 

0
Bx 

−Bx
0
(1.6.19)
llamado tensor de campo electromagn´etico (tambi´en llamado tensor de Faraday o bivector
de Maxwell), de donde tenemos que
 01 
F
 02 
~
E = F  ,
F 03

F 23


~ =
B
F 31 
(1.6.20)
F 12
La otra forma de lograrlo es definiendo el tensor dual,

G
µν
0
Bx
By
Bz



−Bx
0
−Ez Ey 

 = 1 µναβ Fαβ
≡
0
−Ex 
−By Ez
 2
−Bz −Ey Ex
0
(1.6.21)
donde Fαβ = ηαρ F ρσ ησβ y es el s´ımbolo de Levi-Civita (v´ease §1.2.6). Ambos tensores,
al ser invariantes de Lorentz, deben satisfacer
F µν = Λµ α Λν β F αβ
(1.6.22)
y de manera an´
aloga para Gµν . De aqu´ı entonces uno puede verificar f´acilmente una forma
ligeramente m´
as general para las leyes de transformaci´on del campo electromagn´etico a las
halladas en §1.6.1,
~˜k
E
~˜k
B
~˜⊥
E
~˜⊥
B
Electrodin´
amica Relativista
~k
=E
(1.6.23a)
~k
=B
(1.6.23b)
~ ⊥ + ~v × B)
~
= γ(E
~ ⊥ − ~v × E
~
=γ B
(1.6.23c)
(1.6.23d)
28
Relatividad Especial
para S˜ movi´endose a una velocidad de direcci´on arbitraria ~v respecto a S y donde los
sub´ındices k y ⊥ denotan los campos paralelos y perpendiculares a ~v .
Consideremos ahora las ecuaciones de Maxwell, que en notaci´on del siglo XIX se escriben
como
~ = 4πρ
∇·E
(1.6.24a)
~ =0
∇·B
(1.6.24b)
~ = −∂t B
~
∇×E
(1.6.24c)
~ = 4π J~ + ∂t E
~
∇×B
(1.6.24d)
Estas ecuaciones por supuesto son invariantes ante transformaciones de Lorentz, esa ha
sido la motivaci´
on de la relatividad especial desde un principio, sin embargo no lo son de
manera evidente, lo que puede arreglarse f´acilmente con notaci´on tensorial,
∂i E i = 4πJ 0
(1.6.25a)
∂i B i = 0
(1.6.25b)
ijk ∂j Ek = −∂0 B i
ijk
i
∂j Bk = 4πJ + ∂0 E
(1.6.25c)
i
(1.6.25d)
Aqu´ı en realidad es irrelevante si los ´ındices est´an arriba o abajo, ya que la m´etrica en
el espacio 3-dimensional plano es simplemente la delta de Kronecker δij = δ ij . Tambi´en se
ha usado impl´ıcitamente la definici´on del 4-vector de corriente,
~
J µ ≡ (ρ, J)
(1.6.26)
N´otese entonces que
F 0i = Ei ,
F jk = jk` B`
(1.6.27)
de modo que se tiene para la ley de Amp`ere-Maxwell y la ley de Gauss,
∂j F ij = 4πJ i + ∂0 F 0i
∂i F
0i
= 4πJ
0
(1.6.28)
(1.6.29)
que, empleando la antisimetr´ıa de F µν , puede combinarse en una sola ecuaci´on tensorial
que las incluye a ambas,
∂ν F µν = 4πJ µ
Electrodin´
amica Relativista
(1.6.30)
29
Relatividad Especial
De manera an´
aloga, n´
otese que
G0i = Bi ,
Gjk = −jk` E`
(1.6.31)
entonces para la ley de Faraday y la ley de Gauss magn´etica,
∂j Gij = ∂0 G0i
(1.6.32a)
∂i G0i = 0
(1.6.32b)
que tambi´en, empleando la antisimetr´ıa de Gµν , puede combinarse en una sola ecuaci´on
tensorial que las incluye a ambas,
∂ν Gµν = 0
(1.6.33)
y de este modo las cuatro ecuaciones de Maxwell pueden ser reemplazadas por las dos
ecuaciones tensoriales
∂ν F µν = 4πJ µ
(1.6.34a)
∂ν Gµν = 0
(1.6.34b)
Adem´
as de la econom´ıa que representan, ambas ecuaciones evidentemente transforman
como tensores, i. e. evidentemente son invariantes ante transformaciones de Lorentz; a esto es a lo que com´
unmente se refiere como la forma covariante de las ecuaciones de Maxwell.
Ahora bien, podemos demostrar tambi´en, que la versi´on covariante de la fuerza de
Lorentz, seguido llamada fuerza de Minkowski , est´a dada por
Kµ ≡
dP µ
= qF µν Uν
dτ
(1.6.35)
Para ello empleemos las tres condiciones mencionadas en §1.5.2. Primero, evidentemente
F µν Uν Uµ = −F νµ Uµ Uν = 0
(1.6.36)
por antisimetr´ıa del tensor de campo, y porque pudimos haber elegido definir K ν ≡ qF νµ Uµ
en lugar de (1.6.35), de modo que el escalar producto interno, siendo el mismo en ambos
casos, s´olo puede ser nulo a modo de satisfacer la ecuaci´on izquierda de (1.6.36).
Luego, empleando (1.5.3) podemos ver que para µ = 1,
K 1 = qF 1ν Uν
= qF 1ν ηνα U α
Electrodin´
amica Relativista
30
Relatividad Especial
= q −F 10 U 0 + F 11 U 1 + F 12 U 2 + F 13 U3
= qγ [Ex + vy Bz − vz By ]
h
i
= qγ Ex + 1jk vj Bk
(1.6.37)
y de manera an´
aloga para µ = 2, 3 se encuentra
h
i
K 2 = qγ Ey − 2jk vj Bk
h
i
K 3 = qγ Ez + 3jk vj Bk
(1.6.38a)
(1.6.38b)
entonces la parte espacial de K µ es
h
i
~ = qγ E
~ + ~v × B
~
K
(1.6.39)
que por supuesto se reduce a la fuerza de Lorentz cuando γ → 1, i. e. cuando v 1 = c.
Finalmente la condici´
on m´
as importante es la de la invariancia ante transformaciones
de Lorentz. Sabemos que el tensor de campo transforma como (1.6.22), mientras que para
un vector contravariante (1.4.2), entonces para la forma covariante,
xµ˜ = ηµ˜α xα
= ηµ˜α Λα β xβ
˜ σµ˜ xσ
= ηµ˜α Λα β η βσ xσ ≡ Λ
(1.6.40)
˜ σ ≡ ηµ˜α Λα β η βσ . Ahora bien, la m´etrica por supuesto transforma como
donde he definido Λ
µ
˜
(1.4.4), por tanto se satisface
˜ µ Λν σ = ηνα Λα β η βµ Λν σ
Λ
ν
= (ηνα Λν σ Λα β ) η βµ
= ησβ η βµ = δσµ
(1.6.41)
entonces se tendr´
a para la fuerza de Minkowski en alg´
un otro sistema con barra,
α
˜ Uα
qF µ˜ν˜ Uν˜ = q Λµ˜ ρ Λν˜ σ F ρσ Λ
ν˜
˜ α F ρσ Uα
= qΛµ˜ ρ Λν˜ σ Λ
ν˜
= qΛµ˜ ρ δσα F ρσ Uα = qΛµ˜ ρ F ρσ Uσ
ρ
dP
µ
˜
ρσ
µ
˜
= Λ ρ (qF Uσ ) = Λ ρ
dτ
Electrodin´
amica Relativista
31
Relatividad Especial
=
dP µ˜
= K µ˜
dτ
(1.6.42)
que es precisamente la misma forma que en el sistema sin barra, de modo que en efecto la
fuerza (1.6.35) es la forma covariante de la fuerza de Lorentz.
Por u
´ltimo, puede verse que definiendo naturalmente al 4-vector potencial como
~
Aµ = (φ, A)
(1.6.43)
~ son los potenciales electromagn´eticos escalar y (3)vectorial, respectivamente,
donde φ y A
~ = −∇φ − ∂0 A,
~
E
~ =∇×A
~
B
(1.6.44)
entonces se tiene que
F µν = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ
(1.6.45)
Uno puede evaluar algunas componentes para comprobarlo, e.g.
F 01 = ∂ 0 A1 − ∂ 1 A0
= −∂0 Ax − ∂x φ
~ x = Ex
= −[∇φ + ∂0 A]
(1.6.46)
Reescribiendo entonces (1.6.34a) y (1.6.34b) se tiene que
1
∂µ Gµν = ∂ν µναβ (∂α Aβ − ∂β Aα ) = 0
2
(1.6.47)
que se anula id´enticamente por igualdad de parciales cruzadas, ∂ν ∂γ = ∂γ ∂ν y la antisimetr´ıa del s´ımbolo de Levi-Civita en cada par de ´ındices, i. e. no hay nueva informaci´on,
mientras que
∂ν F µν = ∂ν (∂ µ Aν − ∂ ν Aµ )
= ∂ν (∂ µ Aν ) − 2 Aµ = 4πJ µ
(1.6.48)
es la ecuaci´
on de Maxwell inhomog´enea, donde
2 ≡ ∂ α ∂α = ∇2 −
∂2
∂t2
(1.6.49)
~ + ∂0 φ = 0,
es el operador d’Alembertiano. Si adem´as se utiliza la norma de Lorentz, ∇ · A
Electrodin´
amica Relativista
32
Relatividad Especial
es decir, ∂µ Aµ = 0, y nuevamente por igualdad de parciales cruzadas, simplemente
2 Aµ = −4πJ µ
(1.6.50)
que es la formulaci´
on m´
as simple y elegante de las ecuaciones de Maxwell.
´ ntico-relativistas
1.7. Ecuaciones cua
El aplicar la mec´
anica cu´
antica incorporando la relatividad especial es de relevancia e.
g. en f´ısica de altas energ´ıas y en f´ısica de part´ıculas. Aunque la teor´ıa tiene sus limitaciones, de ella surgen predicciones relevantes como la de la antimateria. Teor´ıas m´as generales
son e. g. la teor´ıa cu´
antica de campos relativista, que surge precisamente del hecho de que
part´ıculas individuales pueden ser creadas o destruidas en uni´on con sus antipart´ıculas; o
a´
un m´as, la gravedad cu´
antica, que presuntamente incorporar´
a la relatividad general, i. e.
la gravedad o curvatura espaciotemporal.
B´asicamente al modificar la ecuaci´on de Schr¨odinger para hacerla consistente con la relatividad especial, se obtiene la llamada ecuaci´on de Klein-Gordon, mientras que si adem´as
se incorpora la informaci´
on del esp´ın para part´ıculas de esp´ın 1/2, se obtiene la ecuaci´on
de Dirac. La ecuaci´
on m´
as relevante es por supuesto la de Dirac, pues adem´as pueden
obtenerse ecuaciones para valores m´as altos de esp´ın [14]. Se obtienen en seguida ambas
ecuaciones y algunas propiedades de las mismas. No est´a de m´as advertir nuevamente que
seguir´e empleando la signatura (− + ++) para la m´etrica de Minkowski.
´ n de Klein-Gordon y Ecuacio
´ n de Dirac
1.7.1. Ecuacio
Recu´erdese que la ecuaci´
on de Schr¨odinger puede obtenerse a partir de la expresi´on de
la energ´ıa
E = p~2 /2m + V
(1.7.1)
ˆ ≡ i~ ∂ y p → pˆ ≡ ~ ∇, i. e.
sustituyendo E → E
∂t
i
i~
∂ψ
1
=−
∂t
2m
~
∇
i
2
ψ+Vψ =−
~2 2
∇ ψ+Vψ
2m
(1.7.2)
ˆ y pˆ forman las componentes del cuadrivector pˆµ ≡
De la definici´
on del 4-momento, E
i~(∂0 , −∂j ), por lo que el procedimiento an´alogo seguir´a siendo v´alido en la descripci´on
relativista. En este caso entonces, empleemos (1.5.9), de modo que
(i~∂0 )2 ψ = m2 ψ + (−i~∂j )2 ψ
Ecuaciones cu´
antico-relativistas
(1.7.3)
33
Relatividad Especial
es decir
− ∂00 ψ + ∂jj ψ = η µα ∂α ∂µ ψ = ∂ µ ∂µ ψ =
m2
ψ
~2
(1.7.4)
y ya que pˆµ pˆµ = −~2 ∂ µ ∂µ , esto puede escribirse tambi´en como
pˆµ pˆµ ψ + m2 ψ = 0
(1.7.5)
o bien, empleando el operador d’Alembertiano (1.6.49),
2 − M2 ψ = 0
donde M ≡
m
~.
(1.7.6)
´
Esta
es la ecuaci´
on de Klein-Gordon para la part´ıcula libre.
Por su sencillez, y la sencillez para obtenerla, muchos autores la obtuvieron antes, siendo Schr¨odinger incluso el primero y obteni´endola antes que la versi´on cl´asica [14], aunque
Oskar Klein and Walter Gordon dieran despu´es la descripci´on cualitativa correcta de la
ecuaci´on que lleva sus apellidos [37].
Ahora bien, consid´erese la ecuaci´on de K-G para el conjugado de ψ,
2 − M2 ψ ∗ = 0
(1.7.7)
multiplicando ´esta y (1.7.6) por ψ y por ψ ∗ , respectivamente,
ψ ∗ 2 − M2 ψ = 0
ψ 2 − M2 ψ ∗ = 0
(1.7.8a)
(1.7.8b)
y as´ı, restando t´ermino a t´ermino ambas ecuaciones,
ψ ∗ 2 ψ − ψ2 ψ ∗ = ψ ∗ ∂ µ ∂µ ψ − ψ∂ µ ∂µ ψ ∗ = 0
(1.7.9)
entonces sabiendo que en general para dos funciones de onda φ y ϕ,
∂µ (φ∂ µ ϕ) = φ∂µ ∂ µ ϕ + ∂µ φ∂ µ ϕ
(1.7.10)
se sigue que (por igualdad de parciales cruzadas)
∂µ [ψ ∗ ∂ µ ψ − ψ∂ µ ψ ∗ ]
= ψ ∗ ∂ µ ∂µ ψ − ψ∂ µ ∂µ ψ ∗ + ∂µ ψ ∗ ∂ µ ψ − ∂µ ψ∂ µ ψ ∗
= ψ ∗ 2 ψ − ψ2 ψ ∗ + ∂µ ψ ∗ ∂ µ ψ − ∂µ ψ∂ µ ψ ∗
Ecuaciones cu´
antico-relativistas
34
Relatividad Especial
= ψ ∗ 2 ψ − ψ2 ψ ∗ + η µα [∂µ ψ ∗ ∂α ψ − ∂µ ψ∂α ψ ∗ ]
= ψ ∗ 2 ψ − ψ2 ψ ∗ = 0
|
{z
}
(1.7.11)
(1.7.9)
de modo que, si en analog´ıa con la teor´ıa cl´asica, definimos
j µ ≡ C (ψ ∗ ∂ µ ψ − ψ∂ µ ψ ∗ )
(1.7.12)
como el cuadrivector de corriente con C una constante que puede determinarse tomando el
l´ımite del caso cl´
asico, se sigue que
∂µ j µ = 0
(1.7.13)
que es la ecuaci´
on de continuidad, conocida en notaci´on tridimensional como
∂ρ
+ ∇ · ~j = 0
∂t
(1.7.14)
que por supuesto debe satisfacer la ec. de K-G dada la interpretaci´on de ψ como amplitud
de probabilidad; de aqu´ı se identifica
ρ = C (ψ ∗ ∂0 ψ − ψ∂0 ψ ∗ )
(1.7.15)
y n´otese que dependiendo de la funci´on de onda, ρ podr´a ser positiva o negativa, contrario
a lo que ocurre con la versi´
on cl´
asica; esto representa un problema serio dada la interpretaci´on de la funci´
on de onda como amplitud de probabilidad, pues el que la densidad ρ,
cl´asicamente interpretada como densidad de probabilidad, permita valores negativos, implica que se podr´ıan tener probabilidades negativas; se dice que este problema incluso fue el
principal motivo por el cual Schr¨
odinger pasar´ıa a tratar la versi´on no relativista [14]. Por
ello ρ no se interpreta ya como una densidad de probabilidad, aunque suele interpretarse
como densidad de carga, como se ver´a a continuaci´on [14].
Propongamos el ansatz para la ecuaci´on K-G para part´ıcula libre,
ψ = Aeikµ x
µ /~
(1.7.16)
donde k µ = (~ω, p~) de manera an´
aloga a (1.5.25), entonces se tiene que
µ
µ
2 − M2 ψ = A ∂µ ∂ µ eikµ x /~ − M2 eikµ x /~
kµ
−ikµ xµ /~
2 ikµ xµ /~
= A i ∂µ e
−M e
~
Ecuaciones cu´
antico-relativistas
35
Relatividad Especial
kµ
α ikµ xµ /~
2 ikµ xµ /~
= A i ηµα ∂ e
−M e
~
µ
= −A ~−2 kµ ηµα kα + M2 eikµ x /~
µ
= −A ~−2 kµ ηµα ηαµ k µ + M2 eikµ x /~
µ
= −A ~−2 kµ k µ + M2 eikµ x /~ = 0
(1.7.17)
y por tanto (1.7.16) es soluci´
on de la ecuaci´on de K-G si
p
kµ k µ = −m2 =⇒ ±~ω = ± p~2 + m2
(1.7.18)
Por supuesto k µ est´
a construida como 4-momento, donde ~ω es energ´ıa; de ello se sigue
que las soluciones a la ecuaci´
on K-G permiten tanto estados positivos de energ´ıa como
estados negativos. Esto significa entonces que para las soluciones
ψ± = A± e∓iωt+i~p·~x/~
(1.7.19)
ρ± = ∓2Ciω|A|2
(1.7.20)
se tendr´
an densidades
y considerando que C = i~q/2m, de modo que la densidad de carga no relativista coincida
con ρ = q|ψ|2 para part´ıculas de magnitud de carga q, se sigue que
ρ± = ±
~ωq 2
|A|
m
(1.7.21)
de modo entonces que en este caso las soluciones de energ´ıa positiva corresponden a part´ıculas con carga positiva y las de energ´ıa negativa a antipart´ıculas con carga negativa; i.e. la
ecuaci´on de Klein-Gordon contiene simult´aneamente soluciones para part´ıculas y sus antipart´ıculas. A esta noci´
on de antimateria se le da mayor sentido con la ecuaci´on de Dirac;
no se ha justificado a´
un el que se permitan estados con energ´ıas negativas.
Ahora bien, uno puede generalizar la ecuaci´on de K-G para part´ıculas en un campo
electromagn´etico externo v´ıa acoplamiento minimal , pˆµ → pˆµ − qAµ , de modo que la ec.
de K-G (1.7.5) se escribe como
(i~∂ µ + qAµ ) (i~∂µ + qAµ ) ψ + m2 ψ = 0
(1.7.22)
de aqu´ı pueden considerarse distintas formas para el potencial como los pozos de potencial,
de donde aparecen situaciones interesantes como la llamada paradoja de Klein [38]. El lector puede complementar esta informaci´on con [14], en donde se muestra el caso at´omico,
que lleva a un resultado que difiere del experimental por un factor de 1/3. En seguida se
Ecuaciones cu´
antico-relativistas
36
Relatividad Especial
muestra entonces el caso en que se toma en cuenta el esp´ın del electr´on, generalizando un
tanto m´
as la ecuaci´
on de Klein-Gordon.
Al formular la ecuaci´
on de Klein Gordon nos topamos con algunas inconveniencias,
como el signo indefinido de la densidad ρ, los estados que permiten energ´ıas negativas
y el que se ignore (o que no aparezca) la propiedad intr´ınseca del esp´ın. El trabajo de
Paul Dirac atac´
o estas cuestiones introduciendo nuevas nociones como la antimateria, vista
experimentalmente a˜
nos m´
as tarde, y el llamado mar de Dirac, que de hecho resulta ser
innecesario en e. g. teor´ıa cu´
antica de campos [14]. La ecuaci´on de Dirac suele considerarse
como uno de los triunfos m´
as grandes de la f´ısica te´orica, y por supuesto el alcance de toda
la teor´ıa que surge de esta ecuaci´
on es mucho mayor al que cubre este trabajo.
Lo primero que puede notarse es que la ecuaci´on de K-G no es del mismo tipo que el
de la ec. de Schr¨
odinger al involucrar una segunda derivada temporal; el signo indefinido
de la densidad ρ surge precisamente de este hecho. Puede evitarse esta segunda derivada
a su vez manteniendo invariancia de Lorentz, proponiendo que es posible linearizar la ec.
(1.5.9) [14], de modo que ∃ α
~ , β tales que
ˆ=α
E
~ · p~ˆ + βm
(1.7.23)
es decir, que para una funci´
on de onda ψ, en notaci´on cl´asica,
i~
∂ψ
= −i~~
α · ∇ψ + βmψ
∂t
(1.7.24)
donde las cantidades α
~ y β se determinan de modo que de mantenga la invariancia ante
transformaciones de Lorentz. En [14] puede seguirse que la ec. de Dirac m´as simple es la que
tiene asociadas matrices de rango 4 correspondientes a esp´ın 1/2 (fermiones; en la ´epoca de
Dirac s´olo se consideraban electrones y protones), i.e. la teor´ıa genera por s´ı misma el esp´ın.
Finalmente respecto al problema de energ´ıas negativas, puede verse [14] que la ec.
(1.7.24) tambi´en posee soluciones de energ´ıa negativa, y es entonces cuando Dirac introduce
la noci´on de antimateria. Para resolver el problema, Dirac propuso que todos los estados
de energ´ıa negativa est´
an ocupados por electrones, constituyendo el llamado mar de Dirac,
de modo que los electrones no pueden ocupar esos estados por principio de exclusi´on. Los
huecos en el mar de Dirac entonces se identifican como los antielectrones, o en general como
´
las antipart´ıculas. Esta
es la idea general del trabajo de Dirac, que adem´as de abrir una
enorme ventana hacia nueva f´ısica, de alg´
un modo tambi´en lo hac´ıa con las matem´aticas al
proveer un caso de ´
algebras de Clifford –ignorando Dirac el trabajo de William Clifford– e
Ecuaciones cu´
antico-relativistas
37
Relatividad Especial
iniciando el formalismo del c´
alculo espinorial, que va m´as all´a del c´alculo vector-tensorial.
Se recomienda la referencia [22] para m´as informaci´on en general.
1.8. Problemas resueltos
p.1. Convertir las siguientes cantidades a unidades en las que c = 1, expresando todo en
t´erminos de m y kg:
(a) Una salida de potencia de 100 W.
Soluci´
on:
100 W = 100
kg m2
kg
kg
= 100
= 3.7 × 10−24
3
3
8
s
m
(3 × 10 ) m
(1.8.1)
(b) La constante reducida de Planck, ~ = 1.05 × 10−34 J s (Notar la definici´on de ~
en t´erminos de la constante de Planck h: ~ = h/2π.)
Soluci´
on:
~ = 1.05 × 10−34
kg m2
kg m
= 1.05 × 10−34
= 3.5 × 10−43 kg m
s
3 × 108
(1.8.2)
p.2. Convertir las siguientes cantidades de unidades naturales (c = 1) a unidades SI.
(a) Una velocidad v = 10−2 .
Soluci´
on:
m
m
v = 10−2 3 × 108
= 3 × 106
s
s
(1.8.3)
(b) Una presi´
on p = 1019 kg m−3 .
Soluci´
on:
p = 1019
2
kg N
8 m
3
×
10
= 9 × 1035 2
3
m
s
m
(1.8.4)
p.3. Muestre que la ecuaci´
on
∆˜
s2 = Mαβ ∆xα ∆xβ
(1.8.5)
contiene u
´nicamente Mαβ + Mβα cuando α 6= β, no Mαβ y Mβα independientemente.
Argumente que esto permite hacer Mαβ = Mβα sin p´erdida de generalidad.
Soluci´
on:
Problemas resueltos
38
Relatividad Especial
Haciendo expl´ıcita la suma, considerado u
´nicamente t´erminos tales que α 6= β,
∆˜
s2 = M01 ∆t∆x + M02 ∆t∆y + M03 ∆t∆z + M10 ∆x∆t + M12 ∆x∆y + M13 ∆x∆z
+ M20 ∆y∆t + M21 ∆y∆x + M23 ∆y∆z + M30 ∆z∆t + M31 ∆z∆x + M32 ∆z∆y
= (M01 + M10 ) ∆t∆x + (M02 + M20 ) ∆t∆y + (M03 + M30 ) ∆t∆z
+ (M12 + M21 ) ∆x∆y + (M13 + M31 ) ∆x∆z + (M23 + M32 ) ∆y∆z (1.8.6)
de modo que, ya que ∆s = ∆˜
s, siempre podr´ıa hacerse Mαβ = Mβα .
˜ est´an dadas por la siguiente combinaci´on lineal de
p.4. Asuma que las coordenadas de O
coordenadas de O:
t˜ = αt + βx
x
˜ = µt + νx
y˜ = ay
z˜ = bz
˜ relativa a O, pero
donde α, β, µ, ν, a y b podr´ıan ser funciones de la velocidad ~v de O
no dependen de las coordenadas. Encuentre los n´
umeros {Mαβ , α, β = 0, . . . , 3} de la
ec. (1.8.5) en t´erminos de α, β, µ, ν, a y b. Soluci´
on:
Se tiene que
∆˜
s2 = −∆t˜2 + ∆˜
x2 + ∆˜
y 2 + ∆˜
z2
= ∆t2 µ2 − α2 + ∆x2 ν 2 − β 2 + 2∆t∆x (µν − αβ) + a2 y 2 + b2 z 2
(1.8.7)
entonces por comparaci´
on con (1.8.6) se sigue que
M00 = µ2 − α2
M11 = ν 2 − β 2
M01 = µν − αβ
M22 = a2
M33 = b2
M02 = M03 = M12 = M13 = M23 = 0
(1.8.8)
p.5. Para las parejas de eventos cuyas coordenadas (t, x, y, z) en alg´
un sistema est´an dadas a continuaci´
on, clasifique sus separaciones como temporaloides, espacialoides o
luzaloides.
Problemas resueltos
39
Relatividad Especial
(a) (0, 0, 0, 0) y (−1, 1, 0, 0)
(b) (1, 1, −1, 0) y (−1, 1, 0, 2)
(c) (6, 0, 1, 0) y (5, 0, 1, 0)
(d) (−1, 1, −1, 1) y (4, 1, −1, 6)
Soluci´
on:
(a) ∆s2 = −12 + 12 = 0 =⇒ Luzaloide
(b)∆s2 = −22 + 12 + 22 = 1 =⇒ Espacialoide
(c) ∆s2 = −12 = −1 =⇒ Temporaloide
(d) ∆s2 = −52 + 52 = 0 =⇒ Luzaloide
p.6. Muestra que la suma de dos 4-vectores tipo tiempo, ambos dirigidos al futuro, es de
nuevo un 4-vector tipo tiempo dirigido al futuro.
Soluci´
on:
Sean u = (u0 , ~u), v = (v 0 , ~v ) dos 4-vectores tales que
u0 > k~uk
(1.8.9)
v 0 > k~v k
(1.8.10)
i.e. que son de tipo tiempo dirigidos al futuro, entonces si w = (w0 , w)
~ := u + v,
tambi´en por (2.5.42), (2.5.45) y desigualdad del tri´angulo para ~u, ~v ∈ E3 ,
w0 = u0 + v 0 > k~uk + k~v k
> k~u + ~v k = kwk
~
por lo que la suma de dos 4-vectores tipo tiempo dirigidos al futuro es un 4-vector
tipo tiempo dirigido al futuro.
p.7. Muestra que un 4-vector ortogonal a un 4-vector tipo tiempo es de tipo espacio.
Soluci´
on:
Sean u = (u0 , ~u), v = (v 0 , ~v ) dos 4-vectores tales que
uµ vµ = 0 ⇐⇒ u0 v 0 = ui v i
0
|u | > k~uk
(1.8.11)
(1.8.12)
i.e. ortogonales y con u tipo tiempo, entonces tambi´en de (2.5.28) y (1.8.70),
|u0 v 0 | = |ui v i | > |v 0 | k~uk
Problemas resueltos
(1.8.13)
40
Relatividad Especial
y por la desigualdad de Cauchy-Schwarz para ~u, ~v ∈ E3 ,
|v 0 | k~uk < |ui v i | ≤ k~uk k~v k
(1.8.14)
|v 0 | < k~v k
(1.8.15)
lo que implica
por lo que cualquier 4-vector ortogonal a alg´
un 4-vector tipo tiempo ser´a de tipo
espacio.
p.8. La vida media de una part´ıcula elemental llamada el mes´on pi (o pi´on) es 2.5 × 10−8 s
cuando el pi´
on est´
a en reposo relativo al observador que mide su tiempo de decaimiento. Muestre, por el principio de relatividad, que piones movi´endose con una rapidez
v = 0.999 deben tener una media vida de 5.6 × 10−7 s, medido por un observador en
reposo.
Soluci´
on:
Las transformaciones de Lorentz obedecen el principio de relatividad, de donde se
sigue que para un sistema de referencia movi´endose a velocidad v en el eje x,
∆t ≡ t2 − t1
= γ t˜2 + v˜
x0 − t˜1 − v˜
x0
= γ(t˜2 − t˜1 ) ≡ γ∆t˜
(1.8.16)
i.e. dilataci´
on temporal, de modo que para un pi´on movi´endose a v = 0.999 (unidades
naturales) se sigue el resultado para su vida media
∆t˜
2.5 × 10−8 s
∆t = √
=√
= 5.6 × 10−7 s
1 − v2
1 − 0.9992
(1.8.17)
p.9. Un cohete de longitud propia ` abandona la Tierra verticalmente con rapidez de 54 c.
Detr´
as se env´ıa verticalmente una se˜
nal de luz que llega a la cola del cohete en t = 0
de acuerdo a el cohete y los relojes en la Tierra. ¿Cu´ando alcanza la se˜
nal la nariz
del cohete de acuerdo a (a) relojes en el cohete; (b) relojes en la Tierra?
Soluci´
on:
(a) La longitud propia del cohete, es decir, la longitud en su sistema de referencia, es
`, por tanto el tiempo medido desde el cohete es
∆t˜ =
Problemas resueltos
`
c
(1.8.18)
41
Relatividad Especial
(b) Por dilataci´
on temporal, en la Tierra el tiempo medido es
5`
∆t˜
=
∆t = γ∆t˜ = q
2
3c
1 − vc2
(1.8.19)
p.10. ¿A qu´e rapidez se mueve una barra de un metro si se observa encogida a 0.5 m?
Soluci´
on:
Por transformaci´
on de Lorentz (contracci´on de Lorentz), si ∆˜
x es la longitud propia
de la barra, entonces
∆˜
x
∆x =
=⇒ v = c
γ
s
1−
∆x
∆˜
x
√
2
=
3
c
2
(1.8.20)
p.11. Una barra de longitud `˜ se mueve con rapidez v a lo largo de la direcci´on horizontal.
La barra forma un ´
angulo θ˜ con respecto al eje x
˜. Determine la longitud propia ` de
la barra y el ´
angulo θ que la barra forma respecto al eje x.
Soluci´
on:
Las componentes de la barra en el sistema en que la barra est´a en reposo son
∆˜
x = `˜cos θ˜
(1.8.21)
∆˜
y = `˜sin θ˜
(1.8.22)
Tomando x como la direcci´
on horizontal, se sigue que, por contracci´on de Lorentz,
p
∆x2 + ∆y 2
q
= γ −2 `˜2 cos2 θ˜ + `˜2 sin2 θ˜
q
˜
= ` γ −2 cos2 θ˜ + sin2 θ˜
r
v2
= `˜ 1 − 2 cos2 θ˜
c
`=
(1.8.23)
y tambi´en
θ=
∆y
= γ tan θ0
∆x
(1.8.24)
p.12. La vida media de la part´ıcula elemental llamada mes´on pi (o pi´on) es 2.5 × 10−8 s
cuando el pi´
on est´
a en reposo relativo al observador que mide su tiempo de decaimiento. Muestra, por el principio de relatividad, que los piones movi´endose con rapidez
v = 0.999 deben tener una vida media de 5.6 × 10−7 s, medidos por un observador en
reposo.
Problemas resueltos
42
Relatividad Especial
Soluci´
on:
La dilataci´
on temporal es una de las consecuencias del principio de relatividad por lo
que aplica para cualquier marco inercial; as´ı entonces si los piones se mueven con una
rapidez v = 0.999 relativa a un observador en reposo, una vez conocido el intervalo
temporal propio de vida media, el observador medir´a una vida media de
2.5 × 10−8 s
p
= 5.5916 × 10−7 s
1 − (0.999)2
(1.8.25)
como se esperaba.
˜ relativa a O es casi la de la luz, v = 1 − ε, 0 < ε 1.
p.13. Sup´
on que la rapidez v de O
Muestra que las f´
ormulas de dilataci´on temporal, contracci´on de Lorentz y adici´on
de velocidad se tornan respectivamente en
(a) ∆t ≈ ∆t˜/
p
(2ε)
Soluci´
on:
Se tiene que
∆t˜
1 − v2
∆t˜
∆t˜
=p
≈√
2ε
ε(2 − ε)
∆t = √
(1.8.26)
p
(b) ∆x ≈ ∆˜
x/ (2ε)
Soluci´
on:
Aqu´ı parece que hubo un error con la notaci´on que lleva [6], o simplemente puede
interpretarse ∆x como el intervalo en el sistema en movimiento respecto a ∆˜
x
en reposo. De ese modo la expresi´on se obtiene de manera an´aloga a (1.8.26).
(c) w0 ≈ 1 − ε(1 − w)/(1 + w)
Soluci´
on:
Se tiene que
v+w
1 + vw
1+w−ε
=
1 + w − εw
|
{z
}
w0 =
f (ε)=f (0)+f 0 (0)ε+O[ε2 ]
(1 + w − ε)w
1
≈1+ε
−
2
(1 + w − εw)
1 + w − εw
Problemas resueltos
ε→0
43
Relatividad Especial
1−w
1+w
=1−ε
¿Cu´
ales son los errores relativos en estas aproximaciones cuando ε = 0.1 y w = 0.9?
(a) Valor exacto:
∆t˜
= 2.29416 ∆t˜
∆t = p
0.1(2 − 0.1)
(1.8.27)
˜
˜ = √∆t = 2.23607 ∆t˜
∆t
0.2
(1.8.28)
Valor aproximado:
Entonces el error relativo es de
˜
∆t − ∆t
× 100 = 2.53 %
∆t
(1.8.29)
˜
∆x − ∆x
× 100 = 2.53 %
∆x
(1.8.30)
1 + 0.9 − 0.1
= 0.994475
1 + 0.9 − (0.1)(0.9)
(1.8.31)
(b) El error relativo es de
(c) Valor exacto:
w0 =
Valor aproximado:
0
w
˜ = 1 − 0.1
1 − 0.9
1 + 0.9
= 0.994737
(1.8.32)
Entonces el error relativo es
w
˜ 0 − w0
× 100 = 0.03 %
w0
(1.8.33)
p.14. Considere dos eventos cuyas coordenadas (t, x, y, z) relativas a alg´
un marco inercial
S son (0, 0, 0, 0) y (1, 2, 0, 0) en unidades naturales. Encuentra la rapidez de marcos
en configuraci´
on est´
andar con S en que (i) los eventos son simult´aneos, (ii) el segundo
evento precede al primero por una unidad de tiempo. ¿Hay alg´
un marco en que los
dos eventos ocurren en el mismo punto?
Soluci´
on:
(i) En configuraci´
on est´
andar se considera un boost de rapidez v a lo largo de x; en
ese caso los puntos transforman como
(0, 0, 0, 0) → (0, 0, 0, 0)
Problemas resueltos
44
Relatividad Especial
(1, 2, 0, 0) → γ(1 − 2v, 2 − v, 0, 0)
(1.8.34)
entonces estos ser´
an simult´
aneos cuando
γ(1 − 2v) = 0
i.e.
v=
1
2
(1.8.35)
(ii) De manera an´
aloga, a partir de (1.8.34), si el segundo evento precede al primero
por una unidad de tiempo, entonces
γ(1 − 2v) + 1 = 0
(1.8.36)
p
1 − v 2 = 2v − 1
(1.8.37)
es decir,
cuya soluci´
on tal que v > 1/2, es
1 − v 2 = (2v − 1)2 =⇒ v =
4
5
(1.8.38)
Si se quisiera hallar un marco en que los dos eventos ocurren en el mismo punto, se
deber´ıa satisfacer
γ(2 − v) = 0
(1.8.39)
entonces en el marco en configuraci´on est´andar con S con v = 2 los dos eventos
ocurrir´ıan en el mismo punto, lo que no es f´ısicamente posible siendo v > 1.
p.15. S y S 0 est´
an en configuraci´
on est´andar. En S 0 una varilla plana paralela al eje x0 se
mueve en la direcci´
on y 0 con velocidad u. Muestra que en S la varilla est´a inclinada
respecto al eje x un ´
angulo − tan−1 (γuv).
Soluci´
on:
Asumiendo que la varilla se mueve con velocidad constante,
y 0 = ut0
(1.8.40)
tomando tambi´en que y 0 (t0 = 0) = 0. Supongamos que en S 0 los extremos de la barra
est´
an localizados en
A0 = (t0 , 0, ut0 ) y B 0 = (t0 , L0 , ut0 )
(1.8.41)
de modo que ´esta se mantenga paralela al eje x0 . La u
´nica restricci´on que impone
considerar la barra es que los extremos deben ser simult´aneos en los correspondientes
sistemas inerciales. Fij´emonos entonces sin p´erdida de generalidad en el tiempo t = 0
Problemas resueltos
45
Relatividad Especial
∗
para la barra en el sistema S, de modo que
t0 = −γvx
(1.8.42)
adem´
as por transformaci´
on de Lorentz en configuraci´
on est´
andar para t = 0,
0 = γ(t0 + vx0 ) =⇒ t0 = −vx0
(1.8.43)
es decir, por (2.5.42) y (2.5.45),
x=
x0
γ
(1.8.44)
por supuesto u
´nicamente una contracci´on de longitud, entonces tambi´en por transformaciones de Lorentz para configuraci´on est´andar, los eventos correspondientes a
los extremos de la barra en este tiempo son
A = (0, 0, 0)
B = [0, L0 /γ, ut0 ]
= [0, L0 /γ, −γuvx]
= 0, L0 /γ, −uvL0
de aqu´ı entonces se sigue que el ´angulo que forma la barra en S es
arctan
∆y
∆x
= arctan
= arctan
B y − Ay
B x − Ax
!
−uvL0
L0
γ
= arctan(−γuv)
= − arctan(γuv)
como se quer´ıa mostrar.
p.16. Los f´ısicos de part´ıculas est´
an tan acostumbrados a hacer c = 1 que miden la masa en unidades de energ´ıa. En particular, suelen usar electronvoltios (1eV = 1.6 ×
10−12 erg = 1.8 × 10−33 g) o m´as com´
unmente, keV, MeV y GeV (103 eV, 106 eV y
109 eV, respectivamente). Para el mu´on se ha medido una masa de 0.106 GeV y una
vida media en su sistema de reposo de 2.19 × 10−6 s. Imagine que tal mu´on se mueve
en el anillo circular de un acelerador de part´ıculas de 1 kil´ometro de di´ametro, tal
que la energ´ıa total del mu´
on es de 1000 GeV. ¿Qu´e vida media tendr´a desde el punto
∗
Puede verificarse que lo mismo funciona si se elige cualquier t, s´
olo se vuelve m´
as tedioso el c´
alculo.
Problemas resueltos
46
Relatividad Especial
de vista del experimentador?, ¿cu´antos radianes viajar´ıa alrededor del anillo?
Soluci´
on:
Se tiene que P 0 = 0.106 GeV es la energ´ıa de reposo del mu´on, y ya que en el sistema
de reposo P µ = (P 0 , 0, 0, 0), por transformada de Lorentz se sigue que P˜ 0 = γP 0 =
1000 GeV, por tanto γ = P˜ 0 /P 0 y as´ı entonces, por dilataci´on temporal, si ∆τ es el
tiempo propio de vida media, entonces
P˜ 0
∆t = γ∆τ = 0 ∆τ
P
1000
=
2.19 × 10−6 s = 2.07 × 10−2 s
0.106
(1.8.45)
es la vida media que observa el experimentador, que es considerablemente mayor.
Finalmente si r es el radio del acelerador de part´ıculas,
∆θ '
c∆t
(3 × 108 )(2.07 × 10−2 ) m
=
= 12420 rad
r
500 m
(1.8.46)
que es un n´
umero bastante grande, esto significa que el mu´on da aproximadamente
∆θ/2π ' 1975 vueltas al acelerador en s´olo 20 milisegundos, cuando es muy probable
que se desintegre.
p.17. En un marco inercial dado, dos part´ıculas se disparan simult´aneamente desde un
punto dado, con velocidades iguales v, en direcciones ortogonales. ¿Cu´al es la rapidez
de cada part´ıcula relativa a la otra?
Soluci´
on:
Sup´
ongase sin p´erdida de generalidad la part´ıcula 1 se dispara en la direcci´on x y la
part´ıcula 2 en la direcci´
on y. La situaci´on es sim´etrica, por lo que basta investigar
la rapidez de una part´ıcula relativa a la otra. La velocidad de la part´ıcula 1 desde el
sistema en reposo es
~u = (u1 , u2 , u3 ) = (v, 0, 0)
(1.8.47)
entonces desde el sistema de la part´ıcula 2,
u1
v
=
2
γ(1 − u v)
γ
2
u −v
2
u0 =
= −v
1 − u2 v
1
u0 =
(1.8.48)
por tanto la rapidez de cada part´ıcula relativa a la otra es
|~u0 | =
Problemas resueltos
q
u01
2
+ u02
2
47
Relatividad Especial
p
v 2 (1 − v 2 ) + v 2
p
= v 2 − v2
=
(1.8.49)
p.18. Si φ = tanh−1 (u/c), y e2φ = z, prueba que n incrementos consecutivos de velocidad
u desde el marco de reposo instant´aneo producen una velocidad c(z n − 1)/(z n + 1).
Soluci´
on:
Se tiene la relaci´
on
vn+1 = c tanh n tanh−1 (u/c)
(1.8.50)
para n incrementos consecutivos de velocidad u, lo que se puede reescribir como
vn+1 = c tanh (nφ)
enφ − e−nφ
enφ + e−nφ
e2nφ − 1
zn − 1
= c 2nφ
=c n
z +1
e
+1
=c
(1.8.51)
p.19. En la notaci´
on del ejercicio anterior, muestra que para u ≈ c, γ(u) ≈ 12 eφ .
Soluci´
on:
Se tiene que
1
γ(u) = p
1 − u2 /c2
1
=p
1 − tanh2 φ
1
1
=p
=
sech φ
sech2 φ
1 φ
= cosh φ =
e + e−φ
2
(1.8.52)
y tambi´en
l´ım φ = l´ım tanh−1 (u/c) = +∞
u→c
u→c
(1.8.53)
entonces cuando u ≈ c la contribuci´on del t´ermino e−φ en γ(u) es despreciable y
1
γ(u) ≈ eφ
2
(1.8.54)
p.20. Una part´ıcula se mueve del reposo en el origen de un marco S a lo largo del eje x,
con aceleraci´
on constante α (medida en un marco de reposo instant´aneo).
Problemas resueltos
48
Relatividad Especial
(a) Muestra que la ecuaci´
on de movimiento es
αx2 + 2c2 x − αc2 t2 = 0
y muestra que las se˜
nales de luz emitidas luego del tiempo t = c/α en el origen
nunca alcanzar´
an a la part´ıcula que se aleja.
Soluci´
on:
De la ecuaci´
on para la posici´on de una part´ıcula con aceleraci´on constante α,
x − x0 =
1/2 c2
c 2
c + α2 (t − t0 )2
−
α
α
(1.8.55)
ya que la part´ıcula parte del reposo en el origen, t0 = x0 = 0, entonces
1/2
αx + c2 = c c2 + α2 t2
(1.8.56)
y elevando al cuadrado ambos lados,
α2 x2 + c4 + 2αc2 x = c4 + α2 c2 t2
(1.8.57)
αx2 + 2c2 x − αc2 t2 = 0
(1.8.58)
es decir,
Luego se tiene que la l´ınea de mundo de una se˜
nal emitida luego de un tiempo
t = c/α es
x = ct −
c2
α
(1.8.59)
y ya que por (2.5.42), para la part´ıcula
x=
se quiere probar que
1/2 c2
c 2
c + α 2 t2
−
α
α
1/2
c 2
c + α 2 t2
> ct
α
(1.8.60)
(1.8.61)
de donde siendo ambas cantidades positivas
c2 + α2 t2 > α2 t2
(1.8.62)
c2 > 0
(1.8.63)
es decir
por tanto es cierto que las se˜
nales de luz emitidas luego de t = c/α en el origen
Problemas resueltos
49
Relatividad Especial
nunca alcanzar´
an a la part´ıcula que se aleja.
(b) Un reloj est´
andar que se lleva con la part´ıcula es puesto en cero al inicio del
movimiento y marca τ al tiempo t en S. Usando la hip´otesis del reloj, muestra
las siguientes relaciones:
−1/2
ατ
u2
1− 2
= cosh
c
c
2
c
ατ
x=
cosh
−1
α
c
u
ατ
= tanh
,
c
c
αt
ατ
= sinh
,
c
c
Soluci´
on:
Se tiene que
3/2
du
α
= 3 = α 1 − u2 /c2
dt
γ
(1.8.64)
entonces por regla de la cadena, sabiendo que dt/dτ = γ,
α dt
α
du
= 3
= 2
dτ
γ dτ
γ
(1.8.65)
entonces
γ 2 du = α dτ
Z τ
u
d˜
u
=α
d˜
τ
˜2 /c2
0 1−u
0
u
ατ u
c arctanh
= ατ =⇒
= tanh
c
c
c
Z
(1.8.66)
y de aqu´ı adem´
as se sigue que
u2
1− 2
c
−1/2
h
ατ i−1/2
= 1 − tanh2
c
h
ατ i−1/2
= sech2
ατ c
= cosh
c
(1.8.67)
Luego de aqu´ı se tiene que
ατ dt
= cosh
dτ
c
(1.8.68)
entonces
Z
t=
cosh
0
Problemas resueltos
τ
α˜
τ
c
d˜
τ
50
Relatividad Especial
=
es decir,
ατ c
sinh
α
c
(1.8.69)
ατ αt
= sinh
c
c
(1.8.70)
ατ dx
= c tanh
dt
c
(1.8.71)
ατ dt
ατ dx
= c tanh
= c sinh
dτ
c dτ
c
(1.8.72)
Finalmente a partir de
por regla de la cadena
entonces
Z
x=c
τ
sinh
ατ 0
c
d˜
τ=
ατ i
c2 h
cosh
−1
α
c
(1.8.73)
(c) Muestra que si T 2 c2 /α2 , entonces, al pasar un tiempo T en el sistema inercial,
el reloj de la part´ıcula registrar´a aproximadamente el tiempo T (1 − α2 T 2 /6c2 ).
Si α = 3g, encuentra la diferencia en tiempos registrados por el reloj de la nave
espacial y los registrados en el sistema inercial, (i) Luego de 1 hora, (ii) Luego
de 10 d´ıas.
Soluci´
on:
A partir de (1.8.70), por serie de Taylor alrededor de
c
τ = arcsinh
α
αT
c
"
1
≈T 1−
6
αT
c
αT
c
= 0,
2 #
(1.8.74)
Luego con T = 1 hora,
3(9.81)(3600)
αT
=
≈ 3.5 × 10−4
c
3 × 108
(1.8.75)
entonces a partir de la aproximaci´on hecha,
T −τ =
α2 T 3
≈ 7.5 × 10−5 s
6c2
(1.8.76)
y finalmente T = 10 a˜
nos son T = 3600 × 240 segundos, entonces
T − τ ≈ (7.5 × 105 )(240)3 s = 17.9 s
Problemas resueltos
(1.8.77)
51
Relatividad Especial
p.21. La segunda ley de Newton para una part´ıcula de masa relativista m es
d
F~ = (m~u)
dt
Define el trabajo hecho dE al mover la part´ıcula de ~r a ~r + d~r. Muestra que la raz´on
de hacer trabajo est´
a dada por
dE
d(m~u)
=
· ~u
dt
dt
Usa la definici´
on de masa relativista para obtener el resultado
d~u
du
Pista: ~u ·
=u
dt
dt
du
dE
m0
u
=
dt
(1 − u2 /c2 )3/2 dt
Expresa este u
´ltimo resultado en t´erminos de dm/dt e integra para obtener
E = mc2 + constante
Soluci´
on:
El trabajo hecho dE al mover la part´ıcula de ~r a ~r + d~r es por definici´on
dE ≡ F~ · d~r
d~
r
= F~ ·
dt
dt
d(m~u)
=
· ~u dt
dt
(1.8.78)
de donde se sigue que
dE
d(m~u)
=
· ~u
dt
dt
(1.8.79)
La definici´
on de masa relativista es
m0
m≡ p
1 − u2 /c2
(1.8.80)
entonces tambi´en,
dE
d
=
dt
dt
=
Problemas resueltos
m0
!
p
~u
1 − u2 /c2
· ~u
m0 u3
du
m0
d~u
+p
· ~u
3/2
2
2
2
2
2
dt
c (1 − u /c )
1 − u /c dt
52
Relatividad Especial
3
m0
u du
u
2 2 d~
=
+ (1 − u /c )
· ~u
dt
(1 − u2 /c2 )3/2 c2 dt
3
u du
du
m0
2 2
+ (1 − u /c )u
=
dt
(1 − u2 /c2 )3/2 c2 dt
du
m0
u
=
(1 − u2 /c2 )3/2 dt
asumiendo que ~u ·
d~
u
dt
(1.8.81)
= u du
erminos de dm/dt, se tiene
dt . En t´
dE
dm
= c2
dt
dt
(1.8.82)
dE = c2 dm
(1.8.83)
es decir
de modo que integrando se sigue que
E = mc2 + constante
(1.8.84)
como se esperaba.
p.22. ¿Qu´e tan r´
apido debe moverse una part´ıcula antes de que su energ´ıa cin´etica iguale
su energ´ıa de reposo?
Soluci´
on:
La energ´ıa cin´etica se define como la diferencia entre la energ´ıa total y la energ´ıa en
reposo,
T ≡
q
m20 + p2 − m0
(1.8.85)
y ya que para el 3-momento,
p~ = m0 γ~v
(1.8.86)
p
1 + γ 2 v 2 − m0
(1.8.87)
se sigue que
T = m0
de modo que resolviendo T = m0 para v,
r
m0
Problemas resueltos
1+
v2
− m0 = m0
1 − v2
v2
1+
=4
1 − v2
1
=4
1 − v2
√
3
≈ 0.866
v=
2
(1.8.88)
53
Relatividad Especial
que es la rapidez necesaria para la part´ıcula antes de que su energ´ıa cin´etica iguale
su energ´ıa de reposo.
p.23. La masa de un ´
atomo de hidr´ogeno es 1.00814 uma, la de un neutr´on es 1.00898 uma,
y la de un ´
atomo de helio (dos ´atomos de hidr´ogeno y dos neutrones) es 4.00388 uma.
Encuentra la energ´ıa de enlace como una fracci´on de la energ´ıa total de un ´atomo de
helio.
Soluci´
on:
Se tiene para la energ´ıa de enlace del ´atomo de Helio,
Eb = ∆mc2
= [4.00388 − 2(1.00814) − 2(1.00898)] uma · c2
= −0.03036 uma · c2
(1.8.89)
que expresada como una fracci´on porcentual de su masa total es
|Eb |
× 100 = 0.7583 %
EHe
(1.8.90)
p.24. Calcula la energ´ıa requerida para acelerar una part´ıcula con masa de reposo m 6= 0
de la velocidad v a la velocidad v + δv (δv v), a primer orden en δv. Muestra que
tomar´ıa una cantidad infinita de energ´ıa acelerar la part´ıcula a la velocidad de la luz.
Soluci´
on:
La energ´ıa de una part´ıcula de masa de reposo m0 vista desde un sistema en reposo
es
E=√
m0
1 − v2
(1.8.91)
A primer orden en δv, la diferencia de energ´ıa es la diferencial de E,
dE =
m0 v
dv
(1 − v 2 )3/2
(1.8.92)
de modo que incrementando dv (i.e. δv) hasta que v tome el valor v = 1,
Z
1
v
dv
2 3/2
0 (1 − v )
m0 √
=
− m0 → ∞
1 − v2 δE = m0
(1.8.93)
v=1
por lo que tomar´ıa una cantidad infinita de energ´ıa acelerar la part´ıcula a v = 1.
Problemas resueltos
54
Relatividad Especial
p.25. Imagine que tiene un tensor X µν y un vector V µ , con componentes

X
µν
2
0 1 −1


−1 0 3
=
−1 1 0


2
,
0

−2 1 1 −2
Vµ
 
−1
 
2

=
0
 
−2
Encuentre las componentes de:
(a) X µ ν
Soluci´
on:

X µ ν = X µα ηαν

−2 0 1 −1


1 0 3 2


=

1
1
0
0


2 1 1 −2
(1.8.94)
(b) Xµ ν
Soluci´
on:
ν
Xµ = ηµα X
αν

−2

−1
=
−1

−2
0 −1
0
3
1
0
1
1
1


2

0

−2
(1.8.95)
(c) X (µν)
Soluci´
on:

X
(µν)
2

−1/2
1
µν
νµ
= (X + X ) = 
 0
2

−3/2
−1/2
0
2
3/2

−3/2

2
3/2 

0
1/2 

1/2 −2
0
(1.8.96)
(d) X[µν]
Soluci´
on:
Problemas resueltos
55
Relatividad Especial
Se tiene que
Xµν = ηµα X
αβ
ηβν

2

1
=
1

2
0 −1
0
3
1
0
1
1
1


2

0

−2
(1.8.97)
entonces

X[µν]
0

1/2
1
= (Xµν − Xνµ ) = 
 1
2

−1/2
−1
−1/2


1/2 

−1
0 −1/2

1/2 −1/2 1/2
0
0
1
(1.8.98)
(e) X λ λ
Soluci´
on:
Del inciso (a), se tiene que
X λ λ = X 0 0 + X 3 3 = −4
(1.8.99)
V µ Vµ = V µ V α ηαµ = −1 + 4 + 4 = 7
(1.8.100)
(f) V µ Vµ
Soluci´
on:
(g) Vµ X µν
Soluci´
on:

−4
 
−2

=
5
 
7

Vµ X µν = V α ηαµ X µν
(1.8.101)
p.26. Demuestre que la 4-velocidad es ortogonal a la 4-aceleraci´on.
Soluci´
on:
Con τ el tiempo propio y unidades c = 1, para un boost a velocidad constante
dt
( dτ
= γ = cte ⇒ t = γτ ), la 4-velocidad de una part´ıcula est´a dada por
µ
~ ≡ dX = d (t, ~x(t))
U
dτ
dτ
Problemas resueltos
56
Relatividad Especial
d
(γτ, ~x(t))
dτ
d~x dt
= γ,
dt dτ
= γ 1, ~x˙
=
(1.8.102)
donde ~v es la 3-velocidad. As´ı entonces, la 4-aceleraci´on es
µ
~ ≡ dU = dγ (1, ~x˙ ) + γ d (1, ~x˙ )
A
dτ
dτ
dτ !
˙
dγ
d~x dt
=
(1, ~x˙ ) + γ 0,
dτ
dt dτ
dγ ˙ dγ
¨
=
, ~x
+ γ 2 ~x
dτ
dτ
¨
= γ γ,
˙ ~x˙ γ˙ + γ ~x
(1.8.103)
¨), de
~ = (1, ~0) y A
~ = (0, ~x
y en el sistema de referencia de reposo de la part´ıcula, U
modo que el producto interno de Minkowski es Aµ Uµ = 0. En general, se puede ver
simplemente que
1 d
1 d
dU µ
Uµ =
(U µ Uµ ) =
(U µ U α ηαµ )
dτ
2 dτ
2 dτ
i
1 d h 2
=
γ −1 + ~x˙ 2
2 dτ
1 d
=
(−1) = 0
2 dτ
Aµ Uµ =
(1.8.104)
~ [v´ease la ec. (1.5.4)]. Tambi´en pueden calcularse expl´ıcitaconociendo u
´nicamente U
mente las expresiones para γ,
˙ y el producto interno se anula en general.
˜ S˜˜ est´an en configuraci´on est´andar entre
p.27. Tres marcos de referencia inerciales S, S,
ellos (el origen de sus coordenadas coincide y las velocidades est´an orientadas en
la direcci´
on x1 ). S˜ tiene velocidad u con respecto a S, y S˜˜ tiene velocidad v con
˜ Emplee solamente las transformaciones de Lorentz para demostrar que
respecto a S.
˜ con respecto a S (en unidades c = 1) es
la velocidad de S˜
u+v
1 + uv
Soluci´
on:
˜˜
˜˜
Se tiene que para cualquier cuadrivector ζ~ en S,
˜˜
~ ζ~˜ = Λ(v)
~ Λ(u)
~
ζ~ = Λ(v)
ζ~
Problemas resueltos
(1.8.105)
57
Relatividad Especial
~˜ ζ~ est´an referidos a S˜ y a S, respectivamente, y la matriz
donde de manera an´
aloga, ζ,
~ est´
de boost Λ
a referida al respectivo eje x1 . Esto es, entonces

γv
−vγv 0 0

˜
−vγv
γv
˜ 
~
ζ=
 0
0

0
0

γv γu (1 + vu)

−γv γu (v + u)
=

0

0

−uγu 0 0
γu


0 0
 −uγu

1 0 
 0
0
0 1

0 0
 ζ~
1 0

0 1
γu
0
0
−γv γu (v + u) 0 0


0 0
 ζ~
1 0

0 1
γv γu (1 + vu)
0
0

(1.8.106)
es decir
  

ζ0
γv γu ζ 0 (1 + vu) − ζ 1 (v + u)

 1 
ζ  γv γu −ζ 0 (v + u) + ζ 1 (1 + vu) 
 =

ζ 2  

2
ζ
  

ζ3
ζ3
h
i

v+u
γv γu (1 + vu) ζ 0 − ζ 1 1+vu

h
i


v+u
γv γu (1 + vu) ζ 1 − ζ 0 1+vu

=



2
ζ


ζ3
(1.8.107)
de donde se tiene el factor de Lorentz
γ ˜˜
S→S
1 + vu
≡ γv γu (1 + vu) = p
(1 − v 2 )(1 − u2 )
1
=q
2
2
(1−v )(1−u )
(1+vu)2
=r
1−
1
v+u
1+vu
2
(1.8.108)
por lo que en efecto se verifica que en tal caso,
u+v
1 + uv
(1.8.109)
es la rapidez asociada al boost S˜˜ → S.
p.28. El movimiento de un medio–como el agua–altera la rapidez de la luz. Este efecto fue
Problemas resueltos
58
Relatividad Especial
observado por vez primera por Fizeau en 1851. Considere un rayo de luz viajando a
trav´es de una columna horizontal de agua que se mueve con velocidad v y cuyo ´ındice
de refracci´
on es n. Determine la velocidad u para la luz medida desde un marco en
reposo cuando el rayo viaja en la misma direcci´on que el flujo de agua y emplee una
aproximaci´
on a su resultado v´alida para v peque˜
na.
Soluci´
on:
Se sabe que, por la relaci´
on inversa de (1.4.15), que la velocidad del rayo en el agua
vista desde un marco en reposo es
u=
u
˜+v
1 + v˜
u
(1.8.110)
donde u
˜ es la velocidad de la luz en el marco del agua, i.e. u
˜ = c/n = 1/n, es decir,
u=
1
n
+v
1 + nv
(1.8.111)
y se sabe que, en general a primer orden para v alrededor de 0,
1
≈1−v
1+v
(1.8.112)
entonces para v peque˜
na, tambi´en u
´nicamente a primer orden,
1
v 1
1
v
u≈
+v
1−
= +v 1− 2 −
n
n
n
n
n
1
1
≈ +v 1− 2
n
n
(1.8.113)
Este resultado coincide con el hallado experimentalmente por Fizeau en su trabajo
Sur les hypoth`eses relatives `
a l’´ether lumineux de 1851 (anterior al desarrollo de la
relatividad especial); aunque no se incluye como referencia, puede consultarse m´as al
respecto en la red.
p.29. Demuestre que la ecuaci´
on de onda para un campo magn´etico (unidimensional) B
∂2B
1 ∂2B
=
∂x2
c2 ∂t2
no es invariante ante transformaciones galileanas.
Soluci´
on:
Problemas resueltos
59
Relatividad Especial
Se considera la transformaci´
on definida por
!
t˜
x
˜
=
1
0
!
−v 1
t
!
x
(1.8.114)
entonces para el lado izquierdo de la ecuaci´on de onda se tendr´a
∂2B
∂ ∂B
=
∂x2
∂x ∂x
∂ ∂B ∂ x
˜ ∂B ∂ t˜
∂2B
=
=
+
∂x ∂ x
˜ ∂x
∂x
˜2
∂ t˜ ∂x
(1.8.115)
mientras que para el lado derecho
1 ∂ ∂B
1 ∂2B
= 2
c2 ∂t2
c ∂t ∂t
1 ∂ ∂B ∂ x
˜ ∂B ∂ t˜
= 2
+
c ∂t ∂ x
˜ ∂t
∂ t˜ ∂t
1 ∂
∂B ∂B
= 2
−v
+
c ∂t
∂x
˜
∂ t˜
2
1
∂B
∂B
2∂ B
= 2 v
− 2v
+
c
∂x
˜2
∂ t˜∂ x
˜ ∂ t˜2
(1.8.116)
por tanto se tendr´
a que
∂2B
1 ∂2B 1
=
+
∂x
˜2
c2 ∂ t˜2 c2
|
2B
∂B
v
− 2v
∂x
˜2
∂ t˜∂ x
˜
{z
}
2∂
(1.8.117)
t´
ermino extra
y por tanto la ecuaci´
on de onda para un campo magn´etico B no es invariante ante
transformaciones galileanas.
p.30. Considere una part´ıcula movi´endose a lo largo del eje x cuya velocidad como funci´on
del tiempo es
vx =
gt
dx
=p
dt
1 + g 2 t2
donde g es constante.
(a) ¿En alg´
un momento la rapidez de la part´ıcula excede la rapidez de la luz?
Soluci´
on:
El gr´
afico de la velocidad en el tiempo se muestra a continuaci´on.
La velocidad es mon´
otona, por lo que basta conocer su comportamiento en la
Problemas resueltos
60
Relatividad Especial
vx
1
t
frontera del dominio de t. En t = 0, efectivamente la velocidad es nula, mientras
que
l´ım v x = l´ım q
t→∞
t→∞
g
1
t2
=1
(1.8.118)
+ g2
que es precisamente la rapidez de la luz en unidades c = 1, por lo tanto la rapidez
de la part´ıcula nunca excede la rapidez de la luz.
(b) Calcule las componentes de la 4-velocidad de la part´ıcula.
Soluci´
on:
Del problema 26, la 4-velocidad est´a dada por
~ = γ(1, ~x˙ ) = γ (1, v x , 0, 0)
U
(1.8.119)
donde
1
γ=p
1 − (v x )2
p
1
=
1 + g 2 t2
=q
g 2 t2
1 − 1+g2 t2
(1.8.120)
es decir
~ =
U
p
1 + g 2 t2 , gt, 0, 0
(1.8.121)
(c) Exprese x y t como funci´on del tiempo propio a lo largo de la trayectoria.
Soluci´
on:
Del inciso anterior, se tiene que
p
dt
= 1 + g 2 t2 =⇒ τ =
dτ
Problemas resueltos
Z
dt
p
1 + g 2 t2
(1.8.122)
61
Relatividad Especial
1
g
y con el cambio de variable t =
1
τ=
g
sinh α,
Z
dα =
sinh−1 (gt)
g
(1.8.123)
con τ0 = t0 = 0, es decir
t=
sinh(gτ )
g
(1.8.124)
y entonces tambi´en
cosh(gτ )
dx
= sinh(gτ ) =⇒ x =
+ x0
dτ
g
(1.8.125)
que imponiendo x0 = 0, se tiene
x=
cosh(gτ ) − 1
g
(1.8.126)
(d) ¿Cu´
ales son las componentes de la 4-fuerza y la 3-fuerza actuando sobre la
part´ıcula?
Soluci´
on:
Del inciso anterior se tiene que
~ = (cosh gτ , sinh gτ , 0, 0)
U
(1.8.127)
por tanto, para la 4-fuerza,
~
dP~
dU
F~ =
=m
= mg (sinh gτ , cosh gτ , 0, 0)
dτ
dτ
(1.8.128)
mientras que para la 3-fuerza,
x
dv ~ mg
f~ = m
ˆı =
dt
γ
mg
=
(1 + g 2 t2 )3/2
g 2 t2 ~
1 − 2 ˆı
γ
(1.8.129)
p.31. Se tiene F~ la 4-fuerza y P~ el 4-momento.
(a) Suponga m constante y muestre que F~ · P~ = 0.
Soluci´
on:
Se tiene que
F~ · P~ = F µ Pµ
Problemas resueltos
62
Relatividad Especial
dP µ
Pµ
dτ
dU µ
Uµ = m2 Aµ Uµ
= m2
dτ
=
(1.8.130)
y por el problema 26 se sabe que Aµ Uµ = 0, por tanto F~ · P~ = 0.
(b) Use el resultado del inciso anterior para demostrar que f i v i =
dE
dt ,
donde f i son las
componentes de la 3-fuerza y E es energ´ıa. Interprete este resultado f´ısicamente.
Soluci´
on:
Por definici´
on,
0
dP~
dP dt d~
p dt
~
F =
=
,
dτ
dt dτ dt dτ
dE d~
p
=γ
,
dt dt
dE ~
=γ
,f
dt
(1.8.131)
De este modo, sabiendo que F~ · P~ = 0, se tiene que, haciendo el producto interno
de Minkowski
F µ Pµ = F µ P α ηαµ
= −γ
dE 0
P + γf i pi = 0
dt
(1.8.132)
es decir
dE 0
dE
P = mγ 2
= γf i pi = mγ 2 f i v i
dt
dt
dE
∴ f ivi =
dt
γ
(1.8.133)
que puede interpretarse como que existe, en general, un cambio de energ´ıa (en el
tiempo) para una part´ıcula con 3-velocidad ~v sobre la cual act´
ua una 3-fuerza f~.
i
k k i
(c) De la definici´
on de la 3-fuerza, muestre que f i = mγ dv
on
dt + f v v . Esta expresi´
implica que, en general, la aceleraci´on newtoniana
dv i
dt
no es paralela a la fuerza
que la produce. ¿En qu´e casos particulares s´ı lo es?
Soluci´
on:
Se tiene que, empleando el resultado anterior
dpi
d(γv i )
dv i
i
f =
=m
= m γv
˙ +γ
dt
dt
dt
i
Problemas resueltos
63
Relatividad Especial
dv i
+ mγv
˙ i
dt
dv i d(mγ) i
+
v
= mγ
dt
dt
dv i dE i
dv i
= mγ
+
v = mγ
+ f k vk vi
dt
dt
dt
= mγ
(1.8.134)
y la aceleraci´
on newtoniana ser´a paralela a a fuerza que la produce cuando
f k v k = E˙ = 0, i.e. siempre que la energ´ıa sea constante.
p.32. Una part´ıcula se mueve a lo largo del eje x. Est´a uniformemente acelerada en el
sentido de que la aceleraci´
on medida en su marco de reposo instant´aneo siempre es g,
una constante. Encuentre x y t como funciones del tiempo propio τ asumiendo que
la part´ıcula pasa por x0 al tiempo t = 0 con rapidez nula. Dibuje la l´ınea de mundo
de la part´ıcula en un diagrama de espaciotiempo.
Soluci´
on:
˜
Se tiene la 4-fuerza en el sistema propio F~ = (0, mg), entonces por transformaci´on de
Lorentz
F~ = mgγ(x,
˙ 1)
(1.8.135)
mientras que por definici´
on, con m constante,
~
dU
F~ = γm
dt
(1.8.136)
~ = γ(1, x),
donde, por el problema 26, se tiene U
˙ por tanto , igualando las componentes
espaciales de (1.8.135) y (1.8.136),
γ
d2 x
=g
dt2
(1.8.137)
entonces tambi´en, regresando al tiempo propio τ ,
d2 x
= γg
dτ 2
(1.8.138)
donde
γ=q
1−
Problemas resueltos
s
1
1
γ2
dx 2
dτ
=⇒ γ =
1+
dx
dτ
2
(1.8.139)
64
Relatividad Especial
de este modo, integrando para dx/dτ ,
d
Z
dx
dτ
q
1+
dx 2
dτ
= gτ
(1.8.140)
con el cambio de variable dx/dτ = sinh α, se tiene que
α + c1 = gτ =⇒
donde imponiendo
dx dτ τ =0
dx
= sinh gτ + C
dτ
(1.8.141)
= 0 se sigue que C = 0. As´ı entonces, integrando nueva-
mente,
x=
cosh gτ − 1
+ x0
g
(1.8.142)
Finalmente, con el resultado (1.8.141) y la ec. (1.8.139), se tiene que
γ≡
dt
sinh gτ
= cosh gτ =⇒ t =
dτ
g
Para la l´ınea de mundo se tiene entonces
p
p
1 + sinh2 gτ − 1
1 + g 2 t2 − 1
+ x0 =
+ x0
x(t) =
g
g
(1.8.143)
(1.8.144)
t
x0
x
p.33. Una part´ıcula cargada se mueve con velocidad v a lo largo de una l´ınea recta en un
~ Si el movimiento y el campo el´ectrico est´an ambos sobre
campo el´ectrico uniforme E.
la direcci´
on x, muestre que la magnitud de la aceleraci´on de la carga q est´a dada por
a=
3/2
dv
qE
=
1 − v2
dt
m
Si la part´ıcula parte del reposo con x(t = 0) = 0, encuentre la velocidad de la part´ıcula
y su posici´
on en un tiempo t, y considere los valores l´ımite para t → ∞ y la aproxiProblemas resueltos
65
Relatividad Especial
maci´
on cl´
asica.
Soluci´
on:
En el marco en que la part´ıcula est´a en reposo, por fuerza de Lorentz, la aceleraci´on
(propia) es a
˜ = dv/dτ = qE/m, de modo entonces que por (1.5.18),
a=
3/2
dv
a
˜
qE
= 3 =
1 − v2
dt
γ
m
(1.8.145)
como se esperaba. El comportamiento de esta aceleraci´on dada su dependencia en la
velocidad es
l´ım a = 0
v→c=1
(1.8.146)
como se esperaba tambi´en. Ahora bien, integrando (1.8.145) con el cambio de variable
v = cos ϕ, se tiene que
v
qE
√
=
t+C =a
˜t + C
2
m
1−v
(1.8.147)
con C la constante de integraci´on; esto puede escribirse como
a
˜t + C
v=q
1 + (˜
at + C)2
(1.8.148)
a
˜t
v=q
1 + (˜
at)2
(1.8.149)
al partir del reposo, C = 0, i.e.,
Integrando nuevamente para la posici´on,
p
1 + (˜
at)2
x=
+ C˜
a
˜
(1.8.150)
y si satisface x(0) = 0, entonces C˜ = − a˜1 , i.e.,
p
1 + (˜
at)2 − 1
x=
a
˜
(1.8.151)
l´ım v = 1 = c
(1.8.152)
l´ım x = ∞
(1.8.153)
de aqu´ı entonces,
t→∞
y tambi´en
t→∞
Problemas resueltos
66
Relatividad Especial
mientras que para la aproximaci´on cl´asica, v 1 =⇒ a
˜t 1 y
v=a
˜t
(1.8.154)
como se sabe, y tambi´en, para la posici´on,
1 2
x= a
˜t
2
(1.8.155)
como se esperaba.
p.34. Una nave espacial parte de la Tierra desplaz´andose rectil´ıneamente con aceleraci´on
propia α ∼ 10 m/s2 .
(a) Encuentre cu´
anto tiempo medir´ıa un observador terrestre que le toma a la nave
alcanzar la velocidad 0.999c. ¿Cu´anto tiempo mide un observador en la nave?
Soluci´
on:
Del problema 32 se sabe que, por la ec. (1.8.141), con C = 0 (i.e. dx/dτ = 0 en
τ = 0) y la ec. (1.8.143), que
x˙ =
p
αt
= αt 1 − x˙ 2
γ
(1.8.156)
donde se est´
a considerando α en unidades c = 1, de aqu´ı se sigue que
t=
x˙
α 1 − x˙ 2
√
(1.8.157)
por tanto, ya el resultado completo en unidades S.I. (con α ∼ 10 m/s2 , c ∼
3 × 108 m/s; se mantiene x˙ = 0.999 por facilidad de c´alculo, formalmente habr´ıa
que dividir cada velocidad 0.999c entre c expl´ıcitamente en el t´ermino se˜
nalado
de unidades c = 1 con la llave),
1
tf =
c
!
x˙
√
≈ 6.7 × 108 s ≈ 22 a˜
nos
α
2
1 − x˙
c2
|
{z
}
(1.8.158)
unidades c = 1: m
y as´ı tambi´en, desde la nave, por la ec. (1.8.143),


arcsinh α tf
c
1 
 = 1.13 × 108 s ≈ 4 a˜
τf =
nos
α
c
2
c
|
{z
}
(1.8.159)
unidades c = 1: m
son los tiempos medidos en ambos marcos que le toma a la nave alcanzar la
Problemas resueltos
67
Relatividad Especial
velocidad 0.999c.
(b) ¿Cuanto tiempo tardar´
a la nave en viajar 30000 a˜
nos luz para un observador
terrestre y otro que viaja en la nave?
Soluci´
on:
Nuevamente del problema 32 se tiene con la ec. (1.8.144) que
√
x=
1 + α2 t2
α
(1.8.160)
con x0 = 0 y α en unidades c = 1, de donde entonces
√
t=
x2 α 2 − 1
α
(1.8.161)
por tanto, ya en unidades S.I., con x ≈ (30000)(9.5 × 1015 m) y c ∼ 3 × 108 m/s,
q

2 α 2−1
(cx)
1 
c
 = 8.5 × 1028 s = 2.7 × 1021 a˜
tf =
nos
α
c
2
c
|
{z
}
(1.8.162)
unidades c = 1: m
mientras que para un tripulante de la nave, por la ec. (1.8.143),
τ=
arcsinh(αt)
α
(1.8.163)
esto es, ya en unidades S.I.,


arcsinh α tf
c
1 
 = 1.5 × 109 s = 47.6 a˜
τf =
nos
α
c
2
c
|
{z
}
(1.8.164)
unidades c = 1: m
p.35. Una part´ıcula de masa inercial m tiene una 3-velocidad ~v . Encuentre su energ´ıa
correcta hasta t´erminos de orden ~v 4 . ¿A qu´e rapidez v el valor del t´ermino O(~v 4 )
iguala el
1
2
del t´ermino de energ´ıa cin´etica 21 m~v 2 ?
Soluci´
on:
Lo m´
as sencillo es simplemente expandir la primer componente del 4-momento en
serie de Taylor en v alrededor de 0,
m
1 − ~v 2
1
9m~v 4
= m + m~v 2 +
+ O(~v 5 )
2
4!
E = P0 = √
Problemas resueltos
(1.8.165)
68
Relatividad Especial
de manera an´
aloga, puede partirse de la relaci´on de energ´ıa-momento para expandir
en serie de Taylor en v alrededor de 0, ya que
p
m2 + p~2
p
= m 1 + γ 2~v 2
s
m
~v 2
=√
=m 1+
= P0
2
~
2
1
−
~
v
1−v
E=
(1.8.166)
El t´ermino O(~v 4 ) puede escribirse como 83 m~v 4 entonces se quiere v tal que 38 ~v 4 = 21 ,
i.e. v = (4/3)1/4 .
p.36. Dos part´ıculas cuyas masas de reposo son m1 y m2 se mueven a lo largo de una l´ınea
recta con velocidades u1 y u2 , medidas en la misma direcci´on. Las part´ıculas chocan
inel´
asticamente para formar una nueva part´ıcula. Muestra que la masa de reposo y
la velocidad de la nueva part´ıcula son m3 y u3 , respectivamente, donde
m23 = m21 + m22 + 2m1 m2 γ1 γ2 1 − u1 u2 /c2
m1 γ1 u1 + m2 γ2 u2
u3 =
m1 γ1 + m2 γ2
con
γ1 = (1 − u21 /c2 )−1/2 ,
γ2 = (1 − u22 /c2 )−1/2
Soluci´
on:
Por conservaci´
on de 4-momento (escribo s´olo una componente espacial),
m1 γ1 (1, u1 ) + m2 γ2 (1, u2 ) = m3 γ3 (1, u3 )
(1.8.167)
donde γi = γ(ui ). Elevando al cuadrado toda la ecuaci´on,
m21 + m22 + 2m1 m2 γ1 γ2 (1 − u1 u2 ) = m23
(1.8.168)
que es la primera ecuaci´
on que se pide. Para la componente no nula de la 3-velocidad
de (1.8.167), se tiene que
m1 γ1 u1 + m2 γ2 u2 = m3 γ3 u3
(1.8.169)
mientras que por la componente temporal de (1.8.167),
m1 γ1 + m2 γ2 = m3 γ3
Problemas resueltos
(1.8.170)
69
Relatividad Especial
entonces tambi´en
m1 γ1 u1 + m2 γ2 u2
= u3
m1 γ1 + m2 γ2
(1.8.171)
que es la segunda relaci´
on que se pide.
p.37. Una part´ıcula de masa en reposo m0 , energ´ıa e0 , y momento p0 sufre una colisi´on
el´astica frontal (i.e. en la que las masas no se alteran) con una masa estacionaria M .
En la colisi´
on, M es botada de frente, con energ´ıa E y momento P , dejando a la
primer part´ıcula con energ´ıa e y momento p. Prueba que
P =
2p0 M (e0 + M c2 )
2M e0 + M 2 c2 + m20 c2
p=
p0 (m2 c2 − M 2 c2 )
2M e0 + M 2 c2 + m20 c2
y
¿En qu´e se tornan estas ecuaciones en el l´ımite cl´asico?
Soluci´
on:
Por conservaci´
on de 4-momento,
(e0 , p0 ) + (M, 0) = (e, p) + (E, P )
(1.8.172)
E + e = e0 + M
(1.8.173)
o bien por componentes,
p0 = p + P
(1.8.174)
Elevando (1.8.172) al cuadrado,
M e0 = Ee − pP
(1.8.175)
De aqu´ı se tienen 3 ecuaciones y 4 cantidades desconocidas E, e, p y P . Para resolver
el problema se puede reescribir (1.8.172) como
(e0 , p0 ) + (M, 0) − (E, P ) = (e, p)
(1.8.176)
(M − E)(M + e0 ) + p0 P = 0
(1.8.177)
y elevando al cuadrado,
Problemas resueltos
70
Relatividad Especial
de modo que las ecuaciones tienen soluci´on. De aqu´ı
E=M+
p0 P
M (M + e0 ) + p0 P
=
M + e0
M + e0
(1.8.178)
y entonces sustituyendo en (1.8.173),
e0 (M + e0 ) − p0 P
M + e0
e=
(1.8.179)
de este modo al sustituir (1.8.178) y (1.8.179) en (1.8.175),
pP =
[M (M + e0 ) + p0 P ][e0 (M + e0 ) − p0 P ]
− M e0
(M + e0 )2
(1.8.180)
que luego de un rato puede simplificarse como
p0 (e20 − M 2 − P p0 )
(M + e0 )2
(1.8.181)
p0 (e20 − M 2 − p20 + pp0 )
(M + e0 )2
(1.8.182)
p=
y empleando (1.8.174),
p=
de donde finalmente se sigue que
p=
p0 (e20 − p20 − M 2 )
p0 (m20 − M 2 )
=
2M e0 + M 2 + e20 − p20
2M e0 + M 2 + m20
(1.8.183)
donde, si esto est´
a correctamente hecho, al parecer en el libro hubo un error de dedo,
ya que le falta el sub´ındice 0 a la masa m0 en el enunciado (esto confunde con la masa
relativista). De aqu´ı ya simplemente usando (1.8.174) se comprueba que tambi´en que
P =
2M p0 (e0 + M )
2M e0 + M 2 + m20
(1.8.184)
En el l´ımite cl´
asico e0 → m0 y p0 es peque˜
no de modo que
m0 − M
m0 + M
2M
P = p0
m0 + M
p = p0
(1.8.185)
(1.8.186)
p.38. En la situaci´
on del ejercicio 6.7 (una bala de masa en reposo M choca de frente con
un blanco estacionario de masa m), prueba que (en mec´anica relativista como en
Newtoniana) la bala ir´
a hacia adelante o hacia atr´as luego del impacto de acuerdo a
Problemas resueltos
71
Relatividad Especial
si su masa de reposo excede la del blanco o no.
Soluci´
on:
La ecuaci´
on de conservaci´
on de 4-momento es
(E1 , P1 ) + (m, 0) = (E2 , P2 ) + (e2 , p2 )
(1.8.187)
donde Ei = M γi y e2 = mγ2 . El planteamiento b´asico de este problema es exactamente el mismo que el del problema anterior. En este caso la relaci´on (1.8.174) es la
de inter´es y en la notaci´
on que us´e en (1.8.187) para este problema, se escribe
P2 = P1
M 2 − m2
2mE1 + m2 + M 2
(1.8.188)
de modo que (ya que P1 > 0 y el denominador es positivo) M > m ⇒ P2 > 0 (la
bala sigue hacia adelante) y M < m ⇒ P2 < 0 (la bala va hacia atr´as). Por supuesto
lo mismo aplica en la versi´
on de Newton, ya que
P2 = P1
M −m
M +m
(1.8.189)
p.39. Prueba que la conservaci´
on del 4-momento prohibe una reacci´on en la que un electr´on
y un positr´
on se aniquilen y produzcan un solo fot´on (rayo γ). Prueba que la producci´
on de dos fotones no est´a prohibida.
Soluci´
on:
Por conservaci´
on de 4-momento,
ˆ
(Ee , p~e ) + (Ep , p~p ) = Ef (1, k)
(1.8.190)
donde uso sub´ındices e y p para el electr´on y el positr´on, respectivamente. Elevando
al cuadrado (1.8.190),
m2 + Ee Ep − p~e · p~p = 0
(1.8.191)
p~e · p~p = m2 + Ee Ep
(1.8.192)
p2 = E 2 − m2
(1.8.193)
donde m = me = mp , es decir
pero en general
de modo que |p| < |E| para cada part´ıcula, lo que contradice (1.8.192), entonces no
puede producirse un fot´
on a partir de la aniquilaci´on de un electr´on y un positr´on.
Problemas resueltos
72
Relatividad Especial
Si se consideran dos fotones producidos, la conservaci´on de energ´ıa-momento es
ˆ + E 0 (1, kˆ0 )
(Ee , p~e ) + (Ep , p~p ) = Ef (1, k)
f
(1.8.194)
que elevada al cuadrado,
m2 + Ee Ep − p~e · p~p = Ef Ef0 (1 − kˆ · kˆ0 )
(1.8.195)
p~e · p~p = m2 + Ee Ep − Ef Ef0 (1 − kˆ · kˆ0 )
(1.8.196)
de modo que
entonces en principio puede pedirse que
Ef Ef0 (1 − kˆ · kˆ0 ) > m2
(1.8.197)
de modo que no est´e prohibida la producci´on de dos fotones a partir de la aniquilaci´on
de un electr´
on con un positr´
on.
p.40. Una part´ıcula de masa m colisiona el´asticamente con una part´ıcula est´atica de la
misma masa. La part´ıcula incidente tiene energ´ıa cin´etica T inicial. Encontrar la
energ´ıa cin´etica T 0 de la part´ıcula despu´es de la colisi´on en t´erminos de su ´angulo de
dispersi´
on.
Soluci´
on:
Por conservaci´
on de 4-momento,
(E1i , p~1i ) + (m, ~0) = (E1f , p~1f ) + (E2f , p~2f )
(1.8.198)
donde de la primer componente se sigue la conservaci´on de energ´ıa cin´etica,
T = T 0 + E2f − m
(1.8.199)
siendo E − m la forma de la energ´ıa cin´etica. Interesa entonces conocer E2f en t´erminos de T , T 0 y m, entonces puede escribirse la relaci´on (1.8.198) como
(E1i , p~1i ) − (E1f , p~1f ) = (E2f , p~2f ) − (m, ~0)
(1.8.200)
de modo que elevando al cuadrado ambos lados,
E1i E1f − p1i p1f cos θ = E2f m
(1.8.201)
con θ el ´
angulo entre p~1i y p~1f (´angulo de dispersi´on), asumiendo que ambos se
Problemas resueltos
73
Relatividad Especial
encuentran en un mismo plano dos-dimensional. As´ı, empleando la relaci´on general
para una energ´ıa cin´etica τ ,
τ =E−m=
p
p2 + m2 − m
(1.8.202)
se sigue que (1.8.201) se escribe como
(T + m)(T 0 + m) −
p
T T 0 (T + 2m)(T 0 + 2m) cos θ = E2f m
(1.8.203)
de modo que el lector puede verificar que resolviendo (1.8.199) junto con (1.8.201),
se llega a que
T0 =
2mT cos2 θ
2m + T sin2 θ
(1.8.204)
es el resultado buscado, congruente con los casos extremos, en que cuando θ = 0 la
part´ıcula no se dispersa (i.e. no choca) y cuando θ = π/2 el choque es de frente y la
part´ıcula cede toda su energ´ıa cin´etica a la part´ıcula originalmente en reposo.
p.41. Un ´
atomo de masa M en reposo decae en un estado de energ´ıa en reposo M 0 mediante
la emisi´
on de un fot´
on de energ´ıa e. Muestra que e < M − M 0 .
Soluci´
on:
Por conservaci´
on de energ´ıa-momento,
ˆ
(M, ~0) = M 0 γ(1, ~v ) + e(1, k)
(1.8.205)
donde kˆ es un vector unitario. De la componente temporal,
M = M 0γ + e
(1.8.206)
mientras que por la componente espacial,
~0 = M 0 γ~v + ekˆ
(1.8.207)
de modo que para que se lleve a cabo el decaimiento, necesariamente |~v | =
6 0 y entonces
estrictamente γ > 1. Se sigue entonces de (1.8.206) que
e < M − M0
(1.8.208)
como se quer´ıa mostrar. Esto adem´as implica que M > M 0 , como se esperar´ıa.
p.42. El espacio est´
a lleno de rayos c´osmicos (protones de alta energ´ıa) y de radiaci´on
´
c´osmica de fondo. Estos
pueden interactuar por dispersi´on Compton. Sup´on que un
Problemas resueltos
74
Relatividad Especial
fot´
on de energ´ıa hν = 2 × 10−4 eV dispersa un prot´on de energ´ıa 109 mp = 1018 eV,
medido desde el marco de referencia de reposo del Sol. Calcula la energ´ıa m´axima
final que puede tener el fot´
on en el marco de reposo del Sol luego de la dispersi´on.
¿De qu´e rango de energ´ıa se trata (rayos-X, visible, etc.)?
Soluci´
on:
Por conservaci´
on de energ´ıa-momento del proceso visto desde el sistema del Sol,
Ei (1, kˆi ) + (ei , p~i ) = Ef (1, kˆf ) + (ef , p~f )
(1.8.209)
donde las may´
usculas representan al fot´on y las min´
usculas al prot´on (kˆ son unitarios).
Se quiere lidiar u
´nicamente con las cantidades iniciales y el estado del fot´on luego de
la dispersi´
on, entonces podemos reescribir esta ecuaci´on como
Ei (1, kˆi ) + (ei , p~i ) − Ef (1, kˆf ) = (ef , p~f )
(1.8.210)
de modo que elevando al cuadrado la ec. completa,
h
i
m2p + 2Ei (ei − p~i · kˆi ) − 2Ef (Ei + ei ) − kˆf · (Ei kˆi + p~i ) = m2p
(1.8.211)
es decir,
h
i
Ei (ei − p~i · kˆi ) − Ef (Ei + ei ) − kˆf · (Ei kˆi + p~i ) = 0
(1.8.212)
donde se tiene que lidiar con las cantidades p~i · kˆi , p~i · kˆf y kˆf · kˆi , sin embargo u
´nicamente nos interesa la situaci´on en que la energ´ıa final ser´a m´axima, de modo que
el choque debe ser frontal, i.e. p~i · kˆi = −pi , p~i · kˆf = pi y kˆf · kˆi = −1, de modo que
(1.8.212) es simplemente
− 2Ei Ef + Ei ei + Ei pi − Ef ei + pi Ef = 0
(1.8.213)
es decir (empleando mp = m, v la rapidez inicial del prot´on y γ = γ(v)),
Ef [2Ei + mγ(1 − v)] = Ei mγ(1 + v)
(1.8.214)
Se sabe que γ = 109 , entonces v ' 1 y entonces tambi´en
1+v '2
(1.8.215)
γ −2 = (1 − v 2 ) = (1 − v)(1 + v) ' 2(1 − v)
(1.8.216)
y
Problemas resueltos
75
Relatividad Especial
de modo que 1 − v ' γ −2 /2. Finalmente,
Ef '
=
2Ei mγ
m
2Ei + 2γ
8 × 1014
eV ' 8 × 1014 eV
8 × 10−4 + 1
que est´
a m´
as all´
a de la radiaci´on Gamma, lo que es de esperarse, trat´andose de
interacci´
on con rayos c´
osmicos.
p.43. Un ´
atomo en reposo en un laboratorio emite un fot´on y retrocede. Si su masa inicial
es m0 y pierde una energ´ıa en reposo e en la emisi´on, muestra que la frecuencia del
fot´
on emitido est´
a dada por
ν=
e
(1 − e/2m0 c2 )
h
Soluci´
on:
La situaci´
on es pr´
acticamente la misma que en (41). En este caso la ecuaci´on de
conservaci´
on de energ´ıa-momento es
ˆ
(m0 , ~0) = m00 γ(1, ~v ) + hν(1, k)
(1.8.217)
donde m00 = m0 − e; entonces reescribiendo esta ecuaci´on como
ˆ = (m − 0 − e)γ(1, ~v )
(m0 , ~0) − hν(1, k)
(1.8.218)
y elevando al cuadrado ambos lados de la ecuaci´on,
m20 − 2hνm0 = (m0 − e)2
(1.8.219)
− 2hνm0 = e2 − 2m0 e
(1.8.220)
es decir,
y por tanto
e
e
ν=
(2m0 − e) =
2hm0
h
1−
e
2m0
(1.8.221)
que es el resultado buscado (en unidades naturales).
p.44. Demuestre que el tensor de campo electromagn´etico contravariante difiere en un
signo negativo al definirse en las m´etricas de Minkowski con signatura (− + ++)
y (+ − −−).
Soluci´
on
Problemas resueltos
76
Relatividad Especial
Sean
ηµν ≡ diag(−1, 1, 1, 1)
(1.8.222)
η˜µν ≡ diag(1, −1, −1, −1)
(1.8.223)
entonces de las fuerzas de Minkowski respectivas, se tiene en unidades de masa unitaria,
Aµ = F µν ηνα U α
(1.8.224)
˜µ
(1.8.225)
˜ µν
A =F
˜α
η˜να U
˜ µ , de modo
y por supuesto, al tratarse del mismo sistema, para la 4-posici´on X µ = X
que las 4-velocidades y la 4-aceleraci´on tambi´en son iguales, y as´ı
F µν ηνα = F˜ µν η˜να
(1.8.226)
F µν = −F˜ µν
(1.8.227)
pero ηνα = −˜
ηνα , por tanto
como se quer´ıa mostrar.
Problemas resueltos
77
2.
Relatividad General
´n
2.1. Introduccio
De manera an´
aloga a como suced´ıa antes de la Relatividad Especial con la teor´ıa del
electromagnetismo de Maxwell, la teor´ıa de gravitaci´on de Newton resulta no ser compatible con la misma Relatividad Especial. Einstein not´o esto y sorprendentemente sigui´o un
camino poco ortodoxo (que por supuesto, una vez digerido, es por definici´on, natural) que
introducir´ıa una teor´ıa completamente nueva y revolucionaria sobre la estructura del espaciotiempo y la gravedad.
La primer idea clave de la relatividad general es el llamado Principio de Equivalencia, que b´
asicamente surge de considerar que todos los cuerpos est´an influenciados por la
gravedad y que todos caen de la misma manera en un campo gravitacional. La segunda
idea clave es que la estructura del espaciotiempo se ve afectada por la presencia de materia en ´el, lo que se ve expresado directamente en las ecuaciones de movimiento de la teor´ıa.
Los principios f´ısicos de la Relatividad General son bastante simples, sin embargo concretar estas ideas en una teor´ıa es un paso bastante amplio en el sentido matem´atico, de
hecho a Einstein le llev´
o varios a˜
nos formular la teor´ıa debido a esta raz´on. Hay diversas
formas de formular la teor´ıa y la m´as usual para introducirla es la tensorial. Aqu´ı tratar´e los conceptos b´
asicos, que luego servir´an para estudiar directamente las propiedades
del espacio AdS. Aunque la teor´ıa tiene limitaciones en casos extremos, no es descabellado
decir que la Relatividad General es la teor´ıa m´as hermosa de la f´ısica y que al estudiarla
uno adquiere un nuevo y profundo entendimiento del funcionamiento de la naturaleza.
2.2. Variedades diferenciables y Curvatura
´trica
2.2.1. Variedades, tensores y la me
De manera intuitiva, una variedad est´a hecha de pedazos de conjuntos abiertos de Rn
que pueden pegarse suavemente; algo as´ı como cortar pedazos de papel (planos) y pegarlos
en la superficie de un globo de manera que no queden bordes, i.e. en una variedad se tiene la
noci´on de que el espacio puede ser curvo y con una topolog´ıa complicada pero uno siempre
puede fijarse en una regi´
on local y ´esta se ver´
a como el espacio Eucl´ıdeo n-dimensional Rn .
De manera precisa ([21]), una variedad diferenciable real M de dimensi´on n y clase C ∞ es
un conjunto con una colecci´
on de subconjuntos Uα que satisfacen
78
Relatividad General
X Cada punto p ∈ M pertenece al menos a alg´
un Uα , i.e.
[
Uα = M .
α
X Para cada α hay una funci´
on biyectiva φα : Uα → Uβ ⊂ Rn que conforma el sistema
coordenado.
X Si Uα ∩ Uβ 6= ∅ (dos subconjuntos se traslapan), entonces la composici´on φα ◦ φ−1
β
es de clase C ∞ y lleva puntos en φβ (Uα ∩ Uβ ) ⊂ Rn sobre φα (Uα ∩ Uβ ) ⊂ Rn .
En la definici´
on de variedad diferenciable no es necesario hacer un encajamiento de la
variedad en un espacio Eucl´ıdeo de mayor dimensi´on, como ocurre, por ejemplo, cuando
visualizamos la superficie de una esfera en el espacio Eucl´ıdeo tres-dimensional, donde se
encaja la llamada 2-esfera (superficie dos-dimensional) en el espacio R3 . El producto Cartesiano M × N de dos variedades M y N es una variedad, de modo que para p ∈ M ,
q ∈ N , existen vecindades U , V con sistemas coordenados {xµ }, {y ν } que contienen a p y
q respectivamente, y entonces (p, q) ∈ M × N est´a contenido en la vecindad U × V que
asigna coordenadas (xµ , y ν ) a (p, q). Esto ser´a relevante para referirnos a la topolog´ıa de
una variedad (espaciotiempo), e.g. puede decirse que una variedad M tiene una topolog´ıa
A × B con A , B dos variedades dadas, lo que significar´a b´asicamente que uno siempre
podr´a tomar un punto de A y un punto de B y mostrar que la pareja de ´estos est´a en M .
El hecho de que localmente las variedades diferenciables M se vean como Rn introduce
la posibilidad de realizar operaciones como diferenciaci´on e integraci´on en M . Empleando
la noci´on de desplazamiento infinitesimal de vectores tangente alrededor de un punto p de
M con sistema coordenado (x1 , x2 , . . . , xn ), puede definirse el espacio vectorial tangente
Tp con base ∂x∂ 1 , ∂x∂ 2 , . . . , ∂x∂n en cada punto p de M . La justificaci´on de que el conjunto
{∂µ } en p forma una base de Tp puede leerse e.g. en [24]. De aqu´ı se sigue que los vectores
base de Tp en un sistema coordenado xµ¯ son
∂µ¯ =
∂xµ
∂µ
∂xµ¯
(2.2.1)
y as´ı cualquier vector V = V µ ∂µ transforma como
V µ ∂µ = V µ¯
es decir, para las componentes
V µ = V µ¯
∂xµ
∂µ
∂xµ¯
(2.2.2)
∂xµ
∂xµ¯
(2.2.3)
lo que por supuesto es consistente con (1.2.3). En el caso de los covectores o 1-formas, de
manera an´
aloga podemos construir en un punto p de M el espacio cotangente Tp∗ empleando
Variedades diferenciables y Curvatura
79
Relatividad General
como base el conjunto de gradientes {dxµ }, que transforman como
dxµ¯ =
∂xµ¯ µ
dx
∂xµ
(2.2.4)
y de este modo para un covector ω = ωµ dxµ ,
ωµ dxµ = ωµ¯
∂xµ¯ µ
dx
∂xµ
(2.2.5)
∂xµ¯
∂xµ
(2.2.6)
es decir, para las componentes,
ωµ = ωµ¯
consistente con (1.2.5). Los vectores son llamados tensores (de rango) 10 y los covectores,
tensores 01 . En general se pueden construir tensores τ del tipo k` definiendo el producto
tensorial ⊗ como
τ = τ µ1 ···µk ν1 ···ν` ∂µ1 ⊗ · · · ∂µk ⊗ dxν1 ⊗ · · · dxν`
(2.2.7)
que provee una forma de generar nuevos espacios vectoriales, an´alogo al producto cartesiano que genera nuevos conjuntos. Una propiedad que hace distinto el producto tensorial
del producto Cartesiano, es la R-linealidad de ⊗, i.e. para α ∈ R, se satisface α(V ⊗ W ) =
(αV ) ⊗ W = V ⊗ (αW ) ([46]). En general se advierte que no siempre las cantidades que
tienen el aspecto de tensores transforman como tensores, e.g. la parcial de una 1-forma,
∂µ ωµ ([24]).
Ahora entonces es posible apreciar un poco m´as el rol que tiene el caso especial la
m´etrica gµν , un tensor 02 sim´etrico, en una variedad. Una variedad diferenciable M con
una m´etrica (producto interno) g en Tp en cada punto p ∈ M es llamada Riemanniana,
mientras que si localmente M es equivalente al espacio de Minkowski, M es llamada una
variedad pseudo-Riemanniana. En Relatividad General por supuesto se emplean variedades
pseudo-Riemannianas y uno se refiere al espaciotiempo como (M , g). La m´etrica es el
coraz´
on de la Relatividad General (algo as´ı como las coordenadas en mec´anica cl´asica de
part´ıculas). Como se mencion´
o antes, usualmente se pide que la m´etrica no sea degenerada,
det(gµν ) 6= 0 de modo que
g µν gνσ = δ µ σ
(2.2.8)
con lo que se define un isomorfismo entre los espacios tangente y cotangente, y as´ı a su
vez se define la operaci´
on conocida como bajar y subir ´ındices. Seguido se emplea tambi´en
el t´ermino de m´etrica para designar al elemento de l´ınea ds2 , como por ejemplo para la
m´etrica de Minkowski, ds2 = ηµν dxµ dxν . Una m´etrica general gµν , contrario a la m´etrica
de Minkowski ηµν , puede tomar cualquier forma (sim´etrica).
Variedades diferenciables y Curvatura
80
Relatividad General
El concepto de signatura de la m´etrica, empleado hasta aqu´ı s´olo con referencia a la
m´etrica (1.3.3), es uno ligeramente m´as general que se refiere al n´
umero de eigenvalores
positivos, negativos y nulos de la matriz sim´etrica gµν asociada a g (como tensor). Si todos
los eigenvalores son positivos, la m´etrica es llamada Eucl´ıdea o Riemanniana (la variedad
ser´a Riemanniana) y si hay un solo signo distinto, ya sea positivo o negativo, a todos los
dem´as, la m´etrica es llamada de Lorentz o pseudo-Riemanniana (la variedad ser´a pseudoRiemanniana). Por supuesto de inter´es en Relatividad General son las m´etricas de Lorentz.
´ n Af´ın y Derivada Covariante
2.2.2. Conexio
Consid´erese un sistema coordenado xα una base {ˆeα }, de modo que para cualquier
vector V = V αˆeα ,
∂V
∂V α
∂ˆeα
=
ˆeα + V α β
β
β
∂x
∂x
∂x
(2.2.9)
y el cambio del vector ˆeα sigue siendo un vector, por lo que puede expandirse en la base,
∂ˆeα
≡ Γµ αβ ˆeµ
∂xβ
(2.2.10)
donde los coeficientes Γµ αβ son llamados en conjunto como la conexi´on af´ın, ya que son los
que permitir´
an conectar los espacios tangente en una variedad. La conexi´on af´ın depende
de la base, por lo que las componentes no forman las componentes de un tensor.
La conexi´
on no necesariamente indica si el espacio en cuesti´on es curvo o no (el ejemplo
cl´asico es el de los s´ımbolos en coordenadas polares), sin embargo siempre que la conexi´on
se anula en cierto espacio, puede asegurarse que ´este ser´a plano, como el caso del espacio
Eucl´ıdeo o de Minkowski, pues siempre pueden llevarse las coordenadas en cuesti´on a
coordenadas cartesianas. Reescribiendo entonces (2.2.11),
∂β V = (∂β V α + V µ Γα µβ ) ˆeα
(2.2.11)
y nuevamente la derivada del vector V tiene que ser un vector, por lo que se definen las
componentes de la derivada covariante de V como
∇β V α ≡ ∂β V α + V µ Γα µβ
(2.2.12)
que transforman como componentes de un tensor. De aqu´ı adem´as se hace expl´ıcito que
∂β V α y V µ Γα µβ s´
olo forman las componentes de un tensor como una suma, mientras que
∂β V α son componentes de un tensor s´olo si V µ Γα µβ = 0 para todo α, β, e.g. en Relatividad
Especial. Tambi´en n´
otese que si V es de tipo 10 , entonces ∇V es de tipo 11 . As´ı se sigue
Variedades diferenciables y Curvatura
81
Relatividad General
entonces tambi´en que
X La derivada covariante de un escalar f es una 1-forma
∇f =
∂f
dxβ =⇒ ∇α f = ∂α f
∂xβ
(2.2.13)
X La divergencia de un vector V es
∇α V α = ∂α V α + Γα µα V µ
(2.2.14)
X El Laplaciano de un escalar f es
∇α (∇f )α = ∂α (∇f )α + Γα µα (∇f )µ
= ∂α [g ασ (∇f )σ ] + Γα µα g µσ (∇f )σ
= ∂α (g ασ ∂σ f ) + g µσ Γα µα ∂σ f
(2.2.15)
Para investigar la expresi´
on para covectores, consid´erese un escalar φ = Vα V α , de modo
que
∇β φ = ∇β (Vα V α )
= V α ∇β V α + V α ∇β V α
= Vα (∂β V α + Γα µβ V µ ) + V α ∇β Vα
(2.2.16)
adem´as tambi´en por (2.2.13),
∇β φ = ∂β φ = Vα ∂β V α + V α ∂β Vα
(2.2.17)
entonces igualando ambos resultados,
V α ∇β Vα = Vα ∂β V α + V α ∂β Vα − Vα (∂β V α + Γα µβ V µ )
= V α ∂β Vα − Vα Γα µβ V µ
= V α ∂β Vα − Vµ Γµ αβ V α
(2.2.18)
y se sigue que
∇β Vα = ∂β Vα − Γµ αβ Vµ
(2.2.19)
es la derivada covariante para una 1-forma. De aqu´ı entonces puede generalizarse para
un tensor de cualquier rango, donde de manera intuitiva uno s´olo debe contar los ´ındices
contravariantes o covariantes y asociar signos positivos y negativos en los t´erminos con
Variedades diferenciables y Curvatura
82
Relatividad General
conexiones, e.g.
∇α T µν ρσ = ∂α T µν ρσ + Γµ βα T βν ρσ + Γν βα T µβ ρσ − Γβ ρα T µν βσ − Γβ σα T µν ρβ
y de manera an´
aloga para cualquier tensor
k
`
(2.2.20)
.
´sicas
2.2.3. Transporte Paralelo y Geode
Sobre el plano es muy sencillo comparar vectores con origen en distintas posiciones
puesto que el espacio tangente ser´
a de hecho el mismo para ambos, sin embargo al trabajar en variedades la situaci´
on no es tan evidente. El transporte paralelo provee una forma
de comparar vectores en distintos espacios tangente al desplazar un vector sin modificar
su magnitud y manteni´endolo paralelo a s´ı mismo a lo largo de una curva dada sobre la
variedad, justo como ocurre en el plano.
Consid´erese el cambio de un vector V = V αˆeα a lo largo de una curva x = x(λ),
dV
dV α
dˆeα
=
ˆeα + V α
dλ
dλ
dλ
y definamos las componentes del vector tangente a x como U α =
(2.2.21)
dxα
dλ ,
de modo que
∂ˆ
eα dxβ
dˆeα
=
= U β Γµ αβ ˆeµ
dλ
∂xβ dλ
(2.2.22)
dV α
∂V α dxβ
=
= ∂β V α U β
dλ
∂xβ dλ
(2.2.23)
y tambi´en
entonces (2.2.21) se escribe como
dV
= ∂β V α U β ˆeα + V α U β Γµ αβ ˆeµ = U β (∂β V α + V µ Γα µβ ) ˆeα
dλ
(2.2.24)
que en notaci´
on corta suele escribirse como
dV
= ∇U V
dλ
(2.2.25)
U β (∂β V α + V µ Γα µβ ) = U β ∇β V α
(2.2.26)
y cuyas componentes son
As´ı entonces, por nuestra definici´on, V ser´a transportado paralelamente a lo largo de
Variedades diferenciables y Curvatura
83
Relatividad General
x(λ) siempre que
∇U V = ~0 =⇒ U β ∇β V α = 0
(2.2.27)
y entonces tambi´en podemos definir lo que se entiende por una l´ınea recta o geod´esica en
un espacio curvo siguiendo nuevamente la idea del caso plano, i.e. pidiendo que el propio
vector tangente de la curva se transporte paralelamente. Esto es, las geod´esicas satisfacen
∇U U = 0
(2.2.28)
es decir,
U β (∂β U α + U µ Γα µβ ) =
d2 xα dxβ dxµ α
+
Γ µβ = 0
dλ2
dλ dλ
(2.2.29)
que conforman las ecuaciones de la geod´esica.
´ metro Af´ın
2.2.4. Para
Consideremos un cambio de par´ametro arbitrario σ = σ(λ) para la ecuaci´on de la
geod´esica, de modo que
d
dσ d
=
dλ
dλ dσ
 2 
d σ
2
2
2
2
d
dσ d
dσ d
dσ d dσ d
dσ d
dσ  dλ
d
dσ d 
=
=
+
=
+
2
2
dσ
dλ
dλ dσ
dλ dσ
dλ dσ dλ dσ dλ dσ
dλ
dσ dλ dσ 2
dλ
(2.2.30)
y entonces reescribimos (2.2.29) en el par´ametro σ como
d2 σ
dλ2
dσ
dλ
dxα dσ d2 xα dσ dxβ dxµ α
+
+
Γ µβ = 0
dσ
dλ dσ 2
dλ dσ dσ
(2.2.31)
es decir,
U β ∇β U α = −
d2 σ
dλ2
dσ 2
dλ
Uα
(2.2.32)
por lo que resulta que desde un principio se pudieron haber definido las ecuaciones de
la geod´esica como ∇U U ∝ U , sin embargo, as´ı como se obtuvo este resultado, podemos
regresar al par´
ametro λ siempre que
d2 σ
= 0 =⇒ σ = aλ + b
dλ2
Variedades diferenciables y Curvatura
(2.2.33)
84
Relatividad General
a los par´
ametros que satisfacen esta ecuaci´on se les llama par´ametros afines. V´ease que
de hecho el t´ermino ∇U U de las ecuaciones de la geod´esica puede interpretarse como la
aceleraci´
on de un observador a trav´es de la curva x en cuesti´on. Esto significa que mediante
un par´ametro af´ın, el observador no estar´a acelerado, mientras que de lo contrario, acelerar´a en direcci´
on paralela a la direcci´on de movimiento. En Relatividad General se asume
que se est´
a trabajando con par´
ametros afines, donde el tiempo propio τ es el par´ametro
af´ın por excelencia (para geod´esicas tipo tiempo); esta noci´on de las geod´esicas, f´ısicamente, es un equivalente de la primera ley de Newton, donde en ausencia de fuerzas externas
una part´ıcula se mueve a velocidad constante, aunque aqu´ı la noci´on de fuerza externa se
traduzca en distorciones de la estructura espaciotiempo.
´ n, condicio
´ n de compatibilidad y la conexio
´ n de Levi-Civita
2.2.5. Torsio
Dado que la m´etrica nos provee un isomorfismo entre espacios tangente y cotangente,
debe ser posible relacionarla con la derivada covariante y con la conexi´on af´ın.
Consideremos la derivada covariante de (las componentes de) un covector Vα = gαµ V µ ,
∇β Vα = ∇β (gαµ V µ ) = gαµ ∇β V µ + V µ ∇β gαµ
(2.2.34)
ahora bien, en una variedad pseudo-Riemanniana, localmente se tienen espacios de Minkowski, por lo que localmente es cierto que
∇β Vα = ∂β Vα = ηαµ ∇β V µ
(2.2.35)
que de cualquier modo es una cantidad tensorial, por lo que debe tener la misma forma en
cualquier sistema coordenado, entonces por comparaci´on con (2.2.34), se sigue que
∇β gαµ = 0
(2.2.36)
que es llamada condici´
on de compatibilidad de la m´etrica. V´ease que esto es una consecuencia de estar lidiando con variedades Riemannianas o pseudo-Riemannianas, no es
simplemente una imposici´
on; en general esto podr´ıa no cumplirse, sin embargo en Relatividad General esto siempre ocurrir´
a (i.e. siempre se podr´a elegir un sistema coordenado en
el que esto ocurra). Usando esta condici´on entonces se tiene que
∂β gαµ = gνµ Γν αβ + gαν Γν µβ
(2.2.37)
N´otese ahora que para cualquier φ ∈ C ∞ , ´este tendr´a componentes de primer derivada
∂α φ y componentes de segunda derivada ∇β (∂α φ) de tipo 02 . Con esto en mente, sabemos
Variedades diferenciables y Curvatura
85
Relatividad General
que localmente,
∂β (∂α φ) = ∂α (∂β φ)
0
que tambi´en es un tensor
2
(2.2.38)
, de modo que de manera an´aloga al razonamiento anterior,
se debe cumplir en este caso,
∇β (∂α φ) = ∇α (∂β φ)
(2.2.39)
∂β (∂α φ) − (∂µ φ)Γµ αβ = ∂α (∂β φ) − (∂µ φ)Γµ βα
(2.2.40)
es decir
por tanto de (2.2.38) se sigue que
Γµ αβ = Γµ βα
(2.2.41)
que es la llamada condici´
on de no-torsi´
on. El tensor de componentes T µ αβ = Γµ αβ − Γµ βα
es llamado tensor de torsi´
on (que es nulo en este caso). Esta condici´on, nuevamente, se
obtiene de que se trabaja con variedades pseudo-Riemannianas; de cualquier modo existen
teor´ıas que trabajan con t´erminos de torsi´on por diversas razones (v´ease e.g. [21]). Las
consecuencias de la condici´
on de no-torsi´on pueden verse de las ecuaciones de la geod´esica
como que implican que no hay cambios en la distancia de separaci´on de dos geod´esicas
cercanas.
Finalmente con estas condiciones debe ser posible verificar que sobre una variedad
pseudo-Riemanniana existe una conexi´on libre de torsi´on que es compatible con la m´etrica.
La forma est´
andar de obtener esta conexi´on es expandir la condici´on de compatibilidad de
la m´etrica en tres permutaciones distintas de ´ındices,
∇α gβγ = ∂α gβγ − Γλ βα gλγ − Γλ γα gβλ = 0
λ
∇β gγα = ∂β gγα − Γ
γβ gλα
λ
−Γ
αβ gγλ
(2.2.42a)
=0
(2.2.42b)
∇γ gαβ = ∂γ gαβ − Γλ αγ gλβ − Γλ βγ gαλ = 0
(2.2.42c)
de modo que se observa que
∂α gβγ − ∂β gγα − ∂γ gαβ + 2Γλ βγ gλα = 0
(2.2.43)
1
Γλ βγ = g λα (∂β gγα + ∂γ gαβ − ∂α gβγ )
2
(2.2.44)
es decir,
que recibe el nombre especial que la distingue, la conexi´on de Levi-Civita o bien, los s´ımbolos de Christoffel. Esta es una de las ecuaciones m´as relevantes para la teor´ıa y ser´a de
suma utilidad en adelante.
Variedades diferenciables y Curvatura
86
Relatividad General
2.2.6. Curvatura
El hecho de que en un espaciotiempo (M , g), localmente se tengan espacios planos,
significa que la m´etrica es de la forma
gαβ = ηαβ + O[(xµ )2 ]
(2.2.45)
Si se considerase un cambio coordenado definido por xα = xα (xµ ), puede verse, como se muestra en el problema p.12, que a primer orden siempre puede elegirse el cambio
de coordenadas de modo que gαβ = ηαβ , como se afirma para cualquier variedad pseudoRiemanniana, teniendo a´
un 6 grados de libertad para ajustar, que corresponden a los boosts
y las rotaciones. De manera an´
aloga a segundo orden apenas es posible dar coordenadas
tales que ∂γ gαβ = 0, sin grados de libertad de sobra, sin embargo a tercer orden no es posible hacer que las segundas derivadas de la m´etrica se anulen. Los 20 t´erminos sobrantes
ser´an precisamente los referidos a la curvatura del espaciotiempo (v´ease e.g. [11]).
Consid´erense cuatro curvas muy juntas como se muestra en la Figura 2.1, con intersecciones A, B, C y D, formando una curva cerrada simple infinitesimal y alg´
un vector V ,
que se quiere transportar paralelamente a trav´es de ABCD.
x1 = a + δa
x1 = a
C
B
D
A
x2 = b
x2 = b + δb
Figura 2.1: Curva cerrada simple por la que se transporta paralelamente un vector
Consideremos entonces el vector V definido en A y trasport´emoslo paralelamente hacia
B,
∂1 V α = −Γα µ1 V µ
(2.2.46)
de modo que en B el vector tiene componentes
α
α
Z
B
α
1
α
Z
∂1 V dx = V (Ai ) −
V (B) = V (Ai ) +
A
Γα µ1 V µ dx1
(2.2.47)
x2 =b
donde se escribe Ai para hacer ´enfasis de que se trata del vector inicial en A. De manera
Variedades diferenciables y Curvatura
87
Relatividad General
an´aloga, se tendr´
a que
α
C
Z
α
α
2
Z
α
∂2 V dx = V (B) −
V (C) = V (B) +
B
α
α
α
V (D) = V (C) −
1
Z
α
∂1 V dx = V (C) +
C
α
Z
α
Γα µ1 V µ dx1
(2.2.49)
x2 =b+δb
A
α
V (Af ) = V (D) −
(2.2.48)
x1 =a+δa
D
Z
Γα µ2 V µ dx2
2
Z
α
∂2 V dx = V (D) +
D
Γα µ2 V µ dx2
(2.2.50)
x1 =a
donde las u
´ltimas dos integrales cambian de signo debido al sentido (en direcci´on negativa)
del transporte. As´ı entonces, el cambio en las componentes V α en A es
δV α (A) = V α (Af ) − V α (Ai )
Z
=
Γα µ2 V µ dx2 +
x1 =a
Z a+δa
=
δb
a
Z
α
Γ
x2 =b+δb
µ
µ1 V )
dx1 −
∂x2
∂(Γα
µ1 V
Z
µ
dx −
b+δb
δa
b
Z
1
α
Γ
µ2 V
µ
2
Z
dx −
x1 =a+δa
∂(Γα µ2 V µ ) 2
dx
∂x1
Γα µ1 V µ dx1
x2 =b
(2.2.51)
que al orden m´
as bajo (δa, δb → 0) es
∂(Γα µ1 V µ ) ∂(Γα µ2 V µ )
δV (A) = δa δb
−
∂x2
∂x1
α
= δa δb [−Γα µ2 ∂1 V µ + Γα µ1 ∂2 V µ − V µ ∂1 Γα µ2 + V µ ∂2 Γα µ1 ]
h
i
= δa δb Γα µ2 Γµ β1 V β − Γα µ1 Γµ β2 V β − V µ (∂1 Γα µ2 + ∂2 Γα µ1 )
= δa δb [∂2 Γα ν1 − ∂1 Γα ν2 + Γα µ2 Γµ ν1 − Γα µ1 Γµ ν2 ] V ν
(2.2.52)
de modo que si se eligen cualesquiera coordenadas x1 = xσ y x2 = xλ ,
δV α = δa δb Rα νλσ V ν Aσ B λ
(2.2.53)
con A, B vectores en direcci´
on de xσ y xλ , y donde se define
Rα νλσ ≡ ∂λ Γα νσ − ∂σ Γα νλ + Γα µλ Γµ νσ − Γα µσ Γµ νλ
(2.2.54)
como el tensor de curvatura de Riemann. Esta interpretaci´on surge directamente de la
conexi´on y de saber e.g. que el transporte paralelo de un vector a lo largo de una curva
cerrada deja al vector inalterado. Una forma alternativa y mucho m´as sencilla de obtener
este resultado es considerar un conmutador de derivadas covariantes actuando sobre un
Variedades diferenciables y Curvatura
88
Relatividad General
vector. Esto porque el problema de transportar paralelamente al vector V puede pensarse
como calcular la diferencia entre el cambio de V en una direcci´on tras la otra y viceversa,
i.e.
[∇λ , ∇σ ]V α = ∇λ ∇σ V α − ∇σ ∇λ V α
(2.2.55)
de aqu´ı,
∇λ ∇σ V α = ∂λ (∇σ V α ) + Γα βλ ∇σ V β − Γβ σλ ∇β V α
= ∂λ ∂σ V α + V β ∂λ Γα βσ + Γα βσ ∂λ V β + Γα βλ ∇σ V β − Γβ σλ ∇β V α
= ∂λ ∂σ V α + V β ∂λ Γα βσ + Γα βσ ∂λ V β + Γα βλ (∂σ V β + Γβ µσ V µ ) − Γβ σλ ∇β V α
(2.2.56)
y de manera an´
aloga para ∇σ ∇λ V α con σ ↔ λ,
∇σ ∇λ V α = ∂σ ∂λ V α + V β ∂σ Γα βλ + Γα βλ ∂σ V β + Γα βσ (∂λ V β + Γβ µλ V µ ) − Γβ λσ ∇β V α
(2.2.57)
de modo que,
[∇λ , ∇σ ]V
α
β
α
= V (∂λ Γ
βσ
α
− ∂σ Γ
βλ )
α
+ Γ
β
βλ Γ µσ
α
−Γ
β
βσ Γ µλ
V µ − (Γβ σλ − Γβ λσ )∇β V α
= [∂λ Γα βσ − ∂σ Γα βλ + Γα µλ Γµ βσ − Γα µσ Γµ βλ ] V β − T β σλ ∇β V α
= Rα βλσ V β − T β σλ ∇β V α
(2.2.58)
donde T β σλ es el tensor de torsi´
on. Esto hace el proceso un tanto m´as general pues no se
pide que el transporte sea en un contorno muy peque˜
no ni la curva sea cerrada; de alg´
un
modo esto tambi´en da la interpretaci´on de que cuando hay torsi´on y curvatura, el transporte paralelo cambiar´
a las componentes del vector y ´este no regresar´a al mismo punto.
Vi = Vf
Vi 6= Vf
Vi
Vf
(a) No hay torsi´
on ni curvatura
(b) S´
olo hay curvatura
(c) Hay torsi´
on y curvatura
Figura 2.2: Esquema ilustrativo de curvatura y torsi´
on en t´erminos de transporte paralelo
El tensor de Riemann tiene 4 ´ındices que pueden tomar 4 valores posibles, lo que da
44
= 256 componentes. De cualquier modo, por supuesto existen simetr´ıas que reducir´an
este n´
umero a s´
olo 20 componentes independientes, lo que concuerda con las 20 restricciones
Variedades diferenciables y Curvatura
89
Relatividad General
que impiden anular las segundas derivadas de la m´etrica. Considerando el caso local, los
s´ımbolos de Christoffel se anulan, aunque en general no sus derivadas, de modo que
Rα λµν = ∂µ Γα λν − ∂ν Γα λµ
(2.2.59)
y de la expresi´
on de los s´ımbolos de Christoffel (2.2.44), localmente,
1
∂σ Γλ µν = g λα (∂σµ gνα + ∂νσ gαµ − ∂σα gµν )
2
(2.2.60)
ya que las primeras derivadas de la m´etrica se anulan localmente. As´ı entonces,
Rα λµν = ∂µ Γα λν − ∂ν Γα λµ
1
= g ασ [∂µλ gνσ + ∂νµ gσλ − ∂µσ gλν − ∂νλ gµσ − ∂µν gσλ + ∂νσ gλµ ]
2
1 ασ
(2.2.61)
= g [∂µλ gνσ − ∂µσ gλν − ∂νλ gµσ + ∂νσ gλµ ]
2
usando el hecho de que las parciales conmutan. Bajando el ´ındice α,
Rαλµν = gαδ Rδ λµν =
1
[∂µλ gνα − ∂µα gλν − ∂νλ gµα + ∂να gλµ ]
2
(2.2.62)
De aqu´ı uno puede verficiar simplemente viendo esta ecuaci´on, que
Rαλµν = −Rλαµν = −Rαλνµ = Rµναλ
(2.2.63)
Rαλµν + Rανλµ + Rαµνλ = 0
(2.2.64)
y tambi´en,
Estas relaciones de simetr´ıa son ecuaciones tensoriales, por lo que son v´alidas en cualquier sistema coordenado. De estas simetr´ıas las componentes independientes del tensor de
Riemann pueden reducirse a s´
olo 20 (v´ease e.g. [24]).
Finalmente se hace resaltar el hecho de que, a partir de (2.2.44), si se tienen coordenadas
tales que la m´etrica es constante en todo el espacio (no s´olo en un punto), entonces Γλ µν = 0,
as´ı como tambi´en ∂α Γλ µν = 0, y por tanto tambi´en Rα λµν = 0, es decir, siempre que la
m´etrica es constante, el espaciotiempo es plano (Minkowski), adem´as Rα λµν = 0 es una
relaci´on (de componentes) tensorial, de modo que en cualquier sistema coordenado que
esto suceda, debe poder hallarse un sistema coordenado en el que la m´etrica sea constante.
Probar que siempre puede hacerse esto u
´ltimo es un poco m´as laborioso, para ello puede
consultarse e.g. [24] o [6].
Variedades diferenciables y Curvatura
90
Relatividad General
2.2.7. Las identidades de Bianchi, el tensor de Ricci y el tensor de Einstein
Empleando la ecuaci´
on (2.2.62) para el tensor de Riemann local, se tiene que
∂δ Rαλµν =
1
[∂δµλ gνα − ∂δµα gλν − ∂δνλ gµα + ∂δνα gλµ ]
2
(2.2.65)
de donde usando que la m´etrica es un tensor sim´etrico y que las derivadas parciales conmutan, se verifica que
∂δ Rαλµν + ∂ν Rαλδµ + ∂µ Rαλνδ = 0
(2.2.66)
que es v´
alida en el sistema coordenado local, de modo que
∇δ Rαλµν + ∇ν Rαλδµ + ∇µ Rαλνδ = 0
(2.2.67)
´
es una ecuaci´
on tensorial v´
alida en todo sistema coordenado. Estas
son las llamadas identidades de Bianchi, que tendr´
an consecuencias importantes, como se ver´a a continuaci´on.
Primero es necesario definir el tensor de Ricci y el escalar de Ricci como sigue. Para el
tensor de Ricci, se tiene
Rαβ ≡ Rµ αµβ
(2.2.68)
que es la u
´nica contracci´
on del tensor de Riemann (salvo un signo, dadas sus simetr´ıas),
adem´as de resultar sim´etrico, Rαβ = Rβα . Para el escalar de Ricci (o escalar de curvatura),
R ≡ g αβ Rαβ = g αβ g µν Rµανβ
(2.2.69)
De aqu´ı entonces podemos regresar a la identidad de Bianchi y ver qu´e pasa cuando,
de manera an´
aloga a como se ha obtenido el tensor y el escalar de Ricci, se contrae dos
veces con la m´etrica,
g µα g δλ (∇δ Rαλµν + ∇ν Rαλδµ + ∇µ Rαλνδ ) = ∇λ Rλν − ∇ν R + ∇α Rαν = 0
(2.2.70)
es decir (cambio los ´ındices mudos solo por est´etica)
µ
∇ Rµν
1
1
µ
− ∇ν R = ∇ Rµν − gµν R = 0
2
2
(2.2.71)
y de aqu´ı se define el tensor de Einstein
1
Gµν = Rµν − gµν R
2
(2.2.72)
que es libre de divergencia por definici´on y cuya importancia en la gravitaci´on fue entendida
Variedades diferenciables y Curvatura
91
Relatividad General
por vez primera, por supuesto, por Albert Einstein. El tensor de Einstein tambi´en es
sim´etrico, Gαβ = Gβα y constituir´
a una parte de las ecuaciones de campo de la Relatividad
General.
´ sica de campo
2.3. Teor´ıa cla
Una teor´ıa cl´
asica de campo describe la interacci´on de campos f´ısicos con la materia.
En teor´ıa cl´
asica de campo se consideran sistemas con infinitos grados de libertad ya que
lo que se empleaba como coordenada en la mec´anica de part´ıculas es reemplazado por un
conjunto de i campos (tensoriales, en general) cl´asicos Φi dependientes de las coordenadas
espacio-temporales xµ .
La Lagrangiana L del sistema suele expresarse como la integral espacial de la densidad
Lagrangiana dependiente de las coordenadas espaciotemporales y sus derivadas espaciotemporales, L = L(Φi , ∂µ Φi ), i.e.
Z
L≡
L(Φi , ∂µ Φi ) d3 x
(2.3.1)
y entonces tambi´en la acci´
on est´
a dada por
Z
S≡
Z
L dt =
L(Φi , ∂µ Φi ) d4 x
(2.3.2)
La densidad Lagrangiana es un invariante de Lorentz (un escalar) y de ´el pueden obtenerse todas las ecuaciones de movimiento. De manera an´aloga al caso de la mec´anica
cl´asica, podemos obtener las ecuaciones de Euler-Lagrange mediante el principio de m´ınima acci´on (estacionario), i.e. requiriendo que la acci´on no cambie ante peque˜
nas variaciones
de los campos.
De este modo se tiene que expandiendo la densidad Lagrangiana variada en serie de
Taylor a primer orden,
L(Φi + δΦi , ∂µ Φi + ∂µ δΦi ) = L +
∂L i
∂L
δΦ +
∂µ δΦi
i
∂Φ
∂(∂µ Φi )
(2.3.3)
donde en el lado derecho L = L(Φi , ∂µ Φi ), esto significa entonces que para la variaci´on de
la acci´on,
Z δS =
Teor´ıa cl´
asica de campo
∂L i
∂L
i
δΦ +
∂µ δΦ d4 x = 0
∂Φi
∂(∂µ Φi )
(2.3.4)
92
Relatividad General
Integrando por partes el segundo sumando dentro del corchete,
Z Z
Z
∂L
∂L
∂L
4
4
i
i
δΦi d4 x
∂µ δΦ d x = ∂µ
δΦ d x − ∂µ
∂(∂µ Φi )
∂(∂µ Φi )
∂(∂µ Φi )
(2.3.5)
donde el primer t´ermino es la integral de una derivada total, que por lo tanto es un t´ermino
espaciotemporal evaluado en la frontera del sistema y que tambi´en por tanto se anular´a al
considerar el principio de m´ınima acci´on estacionario, que mantiene fija la frontera ante
variaciones; entonces se puede reescribir la variaci´on de la acci´on como
Z
δS =
δΦ
i
∂L
− ∂µ
∂Φi
∂L
∂(∂µ Φi )
d4 x = 0
(2.3.6)
de donde, a modo de satisfacerse, se siguen las ecuaciones de Euler-Lagrange para una
teor´ıa de campo en el espaciotiempo plano,
∂L
∂L
−
∂
=0
µ
∂Φi
∂(∂µ Φi )
(2.3.7)
La generalizaci´
on es pr´
acticamente inmediata para espacios curvos con una m´etrica de
signatura de Lorentz en n dimensiones (-+. . . +), para la acci´on,
Z
S=
donde L ≡
L(Φi , ∇µ Φi )dn x
(2.3.8)
p
p
|g|Lb con g = det(gαβ ) (el t´ermino |g| proviene del n-volumen con una m´etri-
ca diagonal, v´ease e.g. la §7.6 de [11]), y as´ı para las ecuaciones de Euler-Lagrange, por
principio variacional estacionario,
"
#
∂ Lb
∂ Lb
− ∇µ
=0
∂Φi
∂(∇µ Φi )
(2.3.9)
A modo de introducir el formalismo Hamiltoniano para campos, de manera an´aloga a como sucede para part´ıculas, por simplicidad, consid´erense campos escalares ϕi : (M , g) → C,
de modo que se definen las densidades de momento conjugado Πi de ϕi como
Πi ≡
∂L
∂(∇0 ϕi )
(2.3.10)
En el caso plano simplemente ∇0 ϕi → ∂0 ϕi = ϕ˙ i . Esta definici´on s´olo tiene sentido
cuando de alg´
un modo se hace una foliaci´on del espaciotiempo en hipersuperficies (n − 1)dimensionales de tiempo constante (superficies de Cauchy), ya que es de inter´es el c´omo
cambian los campos en el tiempo, lo que de alg´
un modo significa privilegiar la coordenada
temporal. Haciendo a´
un mayor ´enfasis, al considerar el campo escalar ϕ en la formulaci´on
Teor´ıa cl´
asica de campo
93
Relatividad General
Hamiltoniana, ´esta se torna en una funci´on de la forma ϕ = ϕ(x0 ; xi ) donde x0 se vuelve
el par´
ametro de tiempo en el que se trabaja. Para una discusi´on m´as completa sobre este
asunto puede consultarse bibliograf´ıa en teor´ıa cl´asica o cu´antica de campos y para una
exposici´
on introductoria para el caso de la Relatividad General puede consultarse [3]. De
aqu´ı entonces tambi´en se tiene la densidad Hamiltoniana
H ≡ Πi (∇0 ϕi ) − L(ϕi , ∇µ ϕi )
(2.3.11)
que como se mencion´
o entonces, ahora se est´a trabajando con una familia de hipersuperficies
espaciales en un par´
ametro x0 , de modo que el llamado Hamiltoniano se obtiene integrando
la densidad Hamiltoniana en el espacio,
Z
H≡
H(Πi , ϕi ) dn−1 x
(2.3.12)
que es relevante notar, ya no es un invariante de Lorentz. El formalismo puede seguirse hasta hallar e.g. la generalizaci´
on de las ecuaciones de Hamilton para campos y/o los
par´entesis de Poisson. En este trabajo basta considerar hasta este punto del formalismo
para aplicarlo a campos escalares.
En la transici´
on de la relatividad especial a la relatividad general, la m´etrica ηµν se
generaliza a la m´etrica din´
amica gµν y las parciales ∂µ se generalizan a derivadas covariantes
∇µ . La relatividad general es una teor´ıa cl´asica de campo en la variable din´amica gµν (i.e.
un campo Φi ), en donde a diferencia de la mayor´ıa de otras teor´ıas cl´asicas de campo, la
geometr´ıa est´
a determinada directamente por las ecuaciones de campo (i.e. las ecuaciones
de movimiento).
´ n de Klein-Gordon
2.3.1. La ecuacio
El caso m´
as simple de un campo escalar es un campo escalar real φ : (M , g) → R. Los
campos escalares dan lugar a part´ıculas sin esp´ın donde para campos escalares complejos
los dos grados de libertad se interpretan como pares part´ıcula-antipart´ıcula, mientras que
para campos escalares reales las part´ıculas son sus propias antipart´ıculas.
La generalizaci´
on natural para la densidad Lagrangiana a partir del Lagrangiano L =
T − V de la part´ıcula puntual, empleando la signatura (-+++), es
1
Lb = − g µν ∇ν φ∇µ φ − V (φ)
2
Teor´ıa cl´
asica de campo
(2.3.13)
94
Relatividad General
y entonces se tiene que
∂ Lˆ
dV
=−
∂φ
dφ
b
1
∂L
= g µν δνα ∇µ φ + δµα ∇ν φ
∂(∇α φ)
2
1
= (g αµ ∇µ φ + g αν ∇ν φ) = g αβ ∇β φ
2
(2.3.14)
(2.3.15)
y as´ı las ecuaciones (2.3.9) son
φ −
dV
=0
dφ
(2.3.16)
donde ≡ g αβ ∇α ∇β . En el caso plano esta ecuaci´on se escribe
dV
φ¨ − ∇2 φ +
=0
dφ
(2.3.17)
que de manera an´
aloga al caso cu´antico para una funci´on de onda ψ, es la ecuaci´on de
Klein-Gordon cuando el potencial V es uno de un oscilador arm´onico simple. En [24] o en
[21] puede leerse tambi´en sobre el caso de una teor´ıa de campo del electromagnetismo a
partir del correspondiente Lagrangiano.
´ n Lagrangiana
2.4. Espaciotiempo y la formulacio
Para 1907, Albert Einstein ya ten´ıa las ideas fundamentales de la Relatividad General
(el principio de equivalencia) y sin embargo pasar´ıa varios a˜
nos m´as d´andole a la teor´ıa su
forma final (b´
asicamente dominando toda la maquinaria matem´atica). En 1915, el inter´es
del matem´
atico David Hilbert estaba tornado hacia la Relatividad General, por lo que invitar´ıa a Einstein a G¨
ottingen a dar algunas pl´aticas sobre el tema, aunque a´
un no exist´ıan
las que hoy conocemos como las ecuaciones de Einstein.Poco tiempo despu´es, al saber Einstein que Hilbert trabajaba tambi´en con las ecuaciones de campo de la Relatividad General,
´este se puso a trabajar intensamente de modo que s´olo unos meses despu´es publicar´ıa las
ecuaciones de campo, llamadas precisamente ecuaciones de Einstein, culminando con la
formulaci´
on de la teor´ıa. Hilbert, de cualquier modo, no se quedar´ıa atras, encontrando las
mismas ecuaciones a partir de un principio variacional.
Las ecuaciones de campo entonces pueden deducirse de una manera m´as informal y
cercana a lo que hizo Einstein ([24]) al tener en mente generalizar la ecuaci´on de Poisson
para el potencial gravitacional Newtoniano, o bien, a partir de una acci´on y obteniendo
las ecuaciones de movimiento por principio variacional. La primer manera es seguramente
la m´as did´
actica y puede consultarse e.g. en [6], [11] o cualquier texto introductorio. Para
Formulaci´
on Lagrangiana
95
Relatividad General
fines de este trabajo, se procede al estilo Hilbert.
Antes de proceder a la formulaci´on Lagrangiana, hay que considerar ciertos aspectos
no discutidos hasta aqu´ı que son relevantes para la formulaci´on de la Relatividad General
(en [26] puede verse de manera precisa la formulaci´on matem´atica de la teor´ıa). Primeramente, como ya se ha mencionado, el espaciotiempo es el par (M , g) con M una variedad
diferenciable C ∞ y g una m´etrica de Lorentz en M . Tambi´en, de manera an´aloga a como ocurre en relatividad especial, la m´etrica permite catalogar vectores no nulos en un
punto p ∈ M como tipo tiempo, tipo espacio o tipo luz, dependiendo de la magnitud de
los mismos, que para m´etricas de signatura (− + ++) como se emplea aqu´ı, corresponden
a magnitudes negativas, positivas o nulas. Al considerar la formulaci´on de la Relatividad
General, adem´
as debe tomarse en cuenta que en general existir´an varios campos f´ısicos (de
materia) en M .
Las ecuaciones de campo de la teor´ıa son precisamente las que relacionan el comportamiento de estos campos en el espacio. Seguir´e aqu´ı los principios el esquema presentado
por Hawking & Ellis ([26]) para establecer dos postulados acerca de la naturaleza de las
ecuaciones que obedecen estos campos. En textos introductorios se suele considerar el llamado Principio de Equivalencia para introducir la Relatividad General; se refiere al lector
a [6], [11] o [24] para consultar esto a detalle, aqu´ı los dos postulados de Hawking & Ellis
sirven para los mismos prop´
ositos que el principio de equivalencia (quiz´a a´
un m´as para una
formulaci´
on formal) con lo ya mencionado aqu´ı sobre variedades pseudo-Riemannianas y
la m´etrica para sentar las bases f´ısicas de la teor´ıa (un tercer postulado se considera las
ecuaciones de campo). Los dos postulados son:
X Causalidad Local
Sea (M , g) un espaciotiempo arbitrario y sea p ∈ M , entonces existe una vecindad
convexa normal de p, i.e. un conjunto abierto U ⊂ M con p ∈ U tal que para todo
q, r ∈ U s´
olo existen curvas α de clase C 1 que conectan a q y r estando completamente
contenidas en U . Adem´
as α satisface que su vector tangente en cada punto es no
nulo y es tipo tiempo o tipo luz. Si una se˜
nal viaja de q a r o viceversa, depende de
la direcci´
on temporal en U . Este postulado b´asicamente se refiere a que localmente
es v´
alida la relatividad especial y se descartan los hipot´eticos taquiones.
X Conservaci´
on local de la energ´ıa-momento
Existe un tensor sim´etrico T µν , llamado el tensor de energ´ıa-momento, que depende
de los campos, sus derivadas covariantes y la m´etrica, y tiene las propiedades:
..
. T µν se anula en un conjunto abierto U ⊂ M si y s´olo si los campos se anulan
Formulaci´
on Lagrangiana
96
Relatividad General
en U
..
. T µν se conserva, i.e. ∇µ T µν = 0
Estas propiedades equivalen a que en principio todos los campos tienen energ´ıa y
que siempre puede aproximarse la conservaci´on de energ´ıa a partir de la conservaci´on
local.
Se busca construir entonces la acci´on para relatividad general, un punto de partida entonces es hallar el Lagrangiano correspondiente. En relatividad general la variable din´amica
es la m´etrica gµν . Se ha discutido antes que en cualquier punto de una variedad pseudoRiemanniana siempre pueden hallarse las coordenadas que lleven a la m´etrica a la forma
ηµν del espacio plano y en que sus primeras derivadas se anulen (tambi´en como ocurre en el
espacio plano), de modo que cualquier escalar no trivial debe involucrar al menos segundas
derivadas de gµν . El tensor de Riemann est´a hecho de segundas derivadas de la m´etrica
y el u
´nico escalar independiente construido a partir del tensor de Riemann es el escalar
de Ricci R. De hecho en general el u
´nico escalar independiente construido a partir de la
m´etrica es R. De aqu´ı entonces a partir de (2.3.8),
LH ≡
donde se tom´
o
√
−g R
(2.4.1)
p
√
|g| = −g dado que se est´a empleando la signatura (− + ++), de aqu´ı se
sigue la acci´
on
Z
SH ≡
√
−g R dn x
(2.4.2)
que es la llamada acci´
on de Hilbert (o tambi´en de Einstein-Hilbert), precisamente porque
Hilbert la propondr´ıa por vez primera.
Haciendo la variaci´
on de la acci´on respecto de la m´etrica inversa g µν (es indistinto si
se elige la m´etrica o la m´etrica inversa), dado que R = g µν Rµν ,
Z
δSH =
√
−gRµν δg µν +
√
√ −gg µν δRµν + Rδ −g dn x
(2.4.3)
Empleando (2.2.54), puede verificarse que a partir de la variaci´on de la conexi´on (que
es una diferencia de conexiones y por tanto un tensor, i.e. tiene sentido tomar su derivada
covariante) que,
δRα µσν = ∇σ (δΓα νµ ) − ∇ν (δΓα σµ )
(2.4.4)
de modo que, dado Rµν = Rσ µσν , se tiene que
g µν δRµν = g µν [∇σ (δΓσ νµ ) − ∇ν (δΓσ σµ )] = ∇λ g µν δΓλ νµ − g µλ δΓσ σµ
Formulaci´
on Lagrangiana
(2.4.5)
97
Relatividad General
y de manera an´
aloga a como se hizo en (2.3.5), al integrar la variaci´on de la conexi´on se
anula en la frontera, de modo que este t´ermino no contribuir´a a δSH . En cuanto al t´ermino
√
δ −g, a partir de la f´
ormula de Jacobi para una matriz M , dada por
δ det(M ) = det(M )Tr(M −1 δM )
(2.4.6)
se sigue que, con M = g = det(gµν ),
δg = g g µν δgµν
(2.4.7)
δg = −g gµν δg µν
(2.4.8)
√
1
1√
δ −g = − √ δg = −
−ggµν δg µν
2 −g
2
(2.4.9)
es decir,
y por tanto
y se quiere que esta variaci´
on sea nula, de modo que se sigue que
√
1
δg µν Rµν − gµν dn x
2
(2.4.10)
1
1 δSH
√
= Rµν − gµν R = Gµν = 0
µν
−g δg
2
(2.4.11)
δSH =
Z
−g
de donde se obtiene que
que son las ecuaciones de Einstein, i.e. las ecuaciones de campo, en el vac´ıo. Para generalizar
simplemente hay que considerar la contribuci´on de los campos de materia con una acci´on
SM en una acci´
on total, e.g.
S = SH + SM
(2.4.12)
El tomar (2.4.12) con esta forma hace que los resultados para Tµν concuerden para una
teor´ıa de campo escalar; e.g. en [21] se elige una forma m´as general, S = SH + αM SM con
αM una constante por determinar. Con el proceso an´alogo de hacer estacionaria la acci´on
(2.4.12), se sigue que
1 δS
√
=
−g δg µν
de donde se define
Formulaci´
on Lagrangiana
1 δSM
1
Rµν − gµν R + √
=0
2
−g δg µν
1 δSM
Tµν ≡ − √
−g δg µν
(2.4.13)
(2.4.14)
98
Relatividad General
de modo que
Gµν = Tµν
(2.4.15)
son las ecuaciones de campo (se estan asumiendo unidades naturales y adem´as con 8πG = 1,
donde G es la constante de gravitaci´on universal). La definici´on (2.4.14) concuerda con las
propiedades b´
asicas del tensor de energ´ıa-momento por lo que resulta natural definirlo de
este modo ([24]). Hay adem´
as muy diversas formas de considerar las ecuaciones de campo;
aqu´ı en espec´ıfico ser´
an de inter´es las que contienen a la constante cosmol´ogica Λ, con la
acci´on
Z
S=
√
−g(R − 2Λ)dn x
(2.4.16)
de modo que evidentemente las ecuaciones de campo son
Gµν + gµν Λ = Tµν
(2.4.17)
Es bien conocida la an´ecdota de que Einstein se incomod´o con el resultado de un universo que no es est´
atico e introdujo la constante cosmol´ogica Λ, misma que luego llamar´ıa
su m´as grande metida de pata. Un hecho caracter´ıstico de la relatividad general es que
relaciona v´ıa las ecuaciones de Einstein el tensor de energ´ıa-momento con el campo gravitacional.
En gravitaci´
on, a diferencia de la f´ısica que no incorpora la gravedad, los valores puntuales de la energ´ıa importan, no s´olo las diferencias de energ´ıa de uno a otro estado, lo
que abre la posibilidad de introducir una energ´ıa de vac´ıo, i.e. una densidad de energ´ıa
caracter´ıstica del espacio vac´ıo ([24]).
Para construir el tensor de energ´ıa-momento del vac´ıo, lo primero que se pedir´ıa es que
sea un invariante de Lorentz, de modo que no tenga direcciones privilegiadas. La forma de
que esto ocurra es que Tµν sea proporcional a la m´etrica,
(vac)
Tµν
≡ −ρvac gµν
(2.4.18)
donde ma˜
nosamente se ha escrito la densidad de energ´ıa −ρvac (constante), pues de aqu´ı puede verse que el vac´ıo es un fluido perfecto (v´ease [24]) tal que la presi´on es igual a la densidad
de energ´ıa con signo opuesto,
pvac = −ρvac
(2.4.19)
De aqu´ı entonces al considerar el tensor de energ´ıa-momento del vac´ıo, las ecuaciones
de Einstein se escriben
Gµν = (Tµν − ρvac gµν )
Formulaci´
on Lagrangiana
(2.4.20)
99
Relatividad General
que comparando con la ecuaci´
on que incluye la hist´orica metida de pata Λ de Einstein
(3.8.19), se sigue que
Λ ≡ ρvac
(2.4.21)
de modo que los t´erminos constante cosmol´
ogica y densidad de energ´ıa del vac´ıo son intercambiables.
En mec´
anica cu´
antica, siendo una teor´ıa sin gravedad, b´asicamente del principio de
incertidumbre surge este tipo de densidad de energ´ıa del vac´ıo como la llamada energ´ıa de
punto cero, que existe aunque no haya part´ıculas presentes. Aunque a veces se trata a la
constante cosmol´
ogica como nula, como se ha mencionado, ´esta es una de las mejores candidatas para representar a la energ´ıa oscura y/o la actual expansi´on acelerada del universo.
Desde el punto de vista hist´
orico, se vio que la constante cosmol´ogica pod´ıa producir
un universo est´
atico si ´esta se escog´ıa de manera muy espec´ıfica y que era inestable ante
peque˜
nas perturbaciones, lo que la hizo muy poco plausible luego de las observaciones de
Edwin Hubble ([39]) sobre la expansi´on del universo. Aqu´ı de hecho ser´an de inter´es las
soluciones a la ecuaci´
on de Einstein en el vac´ıo con constante cosmol´ogica no nula, llamadas
soluciones (Anti)-de Sitter, llamadas as´ı por Willem de-Sitter (1872-1934), que a trav´es de
varias discusiones con Einstein, llegar´ıa a sus propias soluciones.
2.4.1. Acoplamiento a un campo escalar
Existen diversas formas de proponer una acci´on, lo que interesa en este caso es explorar
qu´e pasa cuando SM es la acci´
on para un campo escalar. La densidad Lagrangiana est´a dada
por (2.3.13), entonces se define la acci´on
Z
Sφ ≡ −
donde nuevamente se emplea
√
√
1 µν
−g g ∇µ φ∇ν φ + V (φ) d4 x
2
(2.4.22)
−g directamente para la m´etrica de signatura (− + ++),
y podemos hallar el tensor de energ´ıa-momento v´ıa (2.4.14). En este caso se quiere la
variaci´on respecto a la m´etrica inversa,
Z δSφ = −
√
1√
−gδg µν ∇µ φ∇ν φ + δ −g
2
1 µν
g ∇µ φ∇ν φ + V (φ) dn x
2
(2.4.23)
√
de donde se conoce el t´ermino δ −g en t´erminos de variaciones de la m´etrica inversa, de
modo que (2.4.23) se escribe
δSφ =
√
Z −g
1
− ∇µ φ∇ν φ +
2
Formulaci´
on Lagrangiana
1
gµν
2
1 αβ
g ∇α φ∇β φ + V (φ) δg µν dn x
2
(2.4.24)
100
Relatividad General
y entonces se sigue que
2 δSφ
(φ)
2Tµν
= −p
|g| δg µν
1
= ∇µ φ∇ν φ − gµν g αβ ∇α φ∇β φ − gµν V (φ)
2
(2.4.25)
y as´ı es que puede acoplarse un campo escalar a las ecuaciones de Einstein junto con cualquier otra contribuci´
on de materiae.g. en el modelo FLRW de la §3.8.
Otro tipo de modelos de gravitaci´on que son de inter´es actual son las llamadas teor´ıas
escalar-tensor, que no solo agregan la contribuci´on de materia como un campo escalar, si no
que lo involucran directamente en la gravedad. En las teor´ıas escalar-tensor el coeficiente
proporcional a la constante universal G se reemplaza por una funci´on del campo escalar
que puede variar a trav´es del espaciotiempo. Una de las teor´ıas de mayor atenci´on es
la llamada de Brans-Dicke, inspirada precisamente por una sugerencia de Dirac de que la
constante gravitacional (u otras constantes fundamentales) podr´ıa de hecho variar. Aqu´ı no
se expondr´
a la teor´ıa de Brans-Dicke, pero se incluye esto como un peque˜
no par´entesis
cultural a modo de evitar confusi´
on con otras teor´ıas y simplemente por completitud.
2.5. Problemas resueltos
p.1. Considere una superficie esf´erica de radio a. Verifique que la suma de los ´angulos
internos de un tri´
angulo esf´erico de ´area A sobre esta superficie es
X
A
(´angulos interiores) = π + 2
a
(2.5.1)
(a) El caso en que dos de los ´angulos son rectos.
Sean α, β, γ los tres ´
angulos en cuesti´on. En este caso, fijando α, β = π/2
α+β+γ =π+γ
(2.5.2)
Consid´erese la configuraci´on mostrada en la Figura 2.3 para la cual esto ocurre.
Ahora bien, el elemento de ´area en coordenadas esf´ericas para un radio fijo a es
dA ≡ a2 sin θ dφ dθ
(2.5.3)
con θ el ´
angulo polar y φ el ´angulo azimutal, entonces el ´area del polo norte de
Problemas resueltos
101
Relatividad General
C
γ
α
β
A
B
Figura 2.3: Caso para el que dos ´
angulos son rectos. Los tres c´ırculos trazados son “c´ırculos mayores” (son resultantes de una secci´
on plana que pasa por el centro de la esfera y
la divide en dos hemisferios) de modo que los puntos se unen mediante geod´esicas
(definiendo tri´
angulos esf´ericos) y son tales que el c´ırculo que contiene el segmento
AB es por definici´
on el ecuador y los c´ırculos negros u
´nicamente est´
an restringidos a
intersectarse en los polos.
la esfera de la figura, i.e. para θ ∈ [0, π/2], en t´erminos del ´angulo azimutal es
2
Z
π/2
AN = a φ
sin θ dθ = a2 φ
(2.5.4)
0
pero en este caso γ es precisamente id´entico al ´angulo azimutal y entonces AN
es precisamente el ´
area A del tri´angulo ABC, de modo que
γ=
A
a2
(2.5.5)
de donde se sigue que
α+β+γ =π+
A
a2
(2.5.6)
(b) En general.
Soluci´
on:
Seguramente lo m´
as sencillo es de nuevo relacionar el ´area de la esfera con alguna
propiedad del tri´
angulo. Consid´erse el tri´angulo de la Figura 2.4.
C
A B
Figura 2.4: 4ABC
Se puede seccionar el ´
area de la esfera considerando los bi´
angulos de la Figura 2.5.
Problemas resueltos
102
Relatividad General
(a) Bi´
angulos con A
(b) Bi´
angulos con B
(c) Bi´
angulos con C
Figura 2.5: Bi´
angulos relacionados a cada v´ertice A, B y C.
Evidentemente el tri´
angulo ABC est´a contenido dos veces (el otro en la parte
punteada de los dibujos) en cada uno de los bi´angulos, digamos BA , BB y BC .
Esto significa que,
A(S 2 ) = A(BA ) + A(BB ) + A(BC ) − 4A(4ABC)
(2.5.7)
para las ´
areas A correspondientes. Ahora bien, para cualquier bi´angulo Bx uno
puede fijar su v´ertice en un polo y calcular su ´area a partir del elemento (2.5.3),
A(Bx ) = a2 χ
Z
π
sin θ dθ = 2a2 χ
(2.5.8)
0
donde χ es el ´
angulo asociado al bi´angulo (equivalente al ´angulo azimutal en el
c´
alculo), entonces se sigue que
4πa2 = a2 (4α + 4β + 4γ) − 4A
(2.5.9)
donde A es el ´
area de 4ABC, es decir
α+γ+β =π+
A
a2
(2.5.10)
como se quer´ıa demostrar.
p.2. Dibuje ejemplos de un tri´
angulo sobre la superficie de una esfera para los cuales
(a) La suma de los ´
angulos interiores es ligeramente mayor a π.
Soluci´
on:
Por (2.5.42), b´
asicamente se requiere que 0 < A/a2 1, entonces el tri´angulo
esf´erico de la Figura (2.4) es un ejemplo.
(b) La suma de los ´
angulos es igual a 2π.
Soluci´
on:
De manera an´
aloga se requiere que A = πa2 , i.e. el ´area de un disco de radio
Problemas resueltos
103
Relatividad General
a. El ´
area superficial de la esfera de radio a es 4πa2 , por tanto basta tomar un
tri´
angulo que cubra 1/4 de la superficie de la esfera.
C
A
B
Figura 2.6: Suma de a
´ngulos interiores en 4ABC igual a 2π.
(c) Seg´
un la relaci´
on (2.5.42), ¿cu´al es el valor m´aximo posible de la suma de los ´angulos interiores? ¿Puede usted exhibir un tri´angulo donde la suma de los ´angulos
alcance este valor?
Soluci´
on:
El valor l´ımite es aqu´el para el cual el ´area del tri´angulo tiende a la mitad del ´area
de la esfera, ya que por definici´on cualesquiera tres puntos sobre la esfera que
forman un tri´
angulo esf´erico, estar´an unidos por geod´esicas o c´ırculos mayores,
entonces
l´ım
A→2πa2
X
(´angulos interiores) = 3π
(2.5.11)
esto significa que
0<
X
(´angulos interiores) < 3π
(2.5.12)
Para el gr´
afico, a partir de la Figura 2.6, s´olo hay que rotar el c´ırculo mayor en
el ecuador de modo que los ´angulos ∠ABC y ∠BAC casi formen ´angulos de π.
C
A
B
Figura 2.7: Suma de a
´ngulos interiores en 4ABC pr´
acticamente igual a 3π.
p.3. Considere nuevamente nuestra geometr´ıa curva favorita en 2 dimensiones: la superficie
de una esfera. Calcule el ´
area de un c´ırculo de radio r en esta geometr´ıa y muestre
Problemas resueltos
104
Relatividad General
que ´esta se reduce en el l´ımite r a al valor πr2 .
Soluci´
on:
Situando el centro del c´ırculo –sin p´erdida de generalidad– en el polo norte de la
esfera, el radio del c´ırculo puede relacionarse con el ´area de la esfera mediante
r = θa
(2.5.13)
donde θ es el ´
angulo polar. En coordenadas esf´ericas el elemento de ´area est´a dado
por (2.5.3), entonces el ´
area de un c´ırculo de radio r sobre la esfera es
Ac = 2π
θ
r 2 Z
θ
sin Θ dΘ = 2πr2
0
1 − cos θ
θ2
(2.5.14)
El l´ımite r a implica θ 1, de modo que a orden cero (en la serie de Taylor para
Ac alrededor de θ = 0), se tiene por regla de L’Hˆopital
1 − cos θ
l´ım Ac = 2πr l´ım
θ→0
θ→0
θ2
sin θ
= 2πr2 l´ım
θ→0
2θ
2
= πr2 l´ım cos θ = πr2
θ→0
(2.5.15)
como se esperaba.
p.4. Considere la siguiente transformaci´on de coordenadas que va de nuestro bien conocido
sistema coordenado rectangular (x, y) al sistema coordenado (µ, ν) definido por
x = µν,
y=
1 2
µ − ν2
2
(2.5.16)
(a) Dibuje las curvas µ = cte y ν = cte en el plano xy.
Soluci´
on:
Sustituyendo ν = x/µ en la expresi´on para y, se tiene que
µ4 − 2yµ2 − x2 = 0
(2.5.17)
entonces
q
p
µ = ± y ± y 2 + x2 ,
ν=
x
q
p
± y ± y 2 + x2
(2.5.18)
y de aqu´ı el gr´
afico para la parte real de µ = cte y ν = cte en el plano xy se
muestra en la Figura 2.8.
Problemas resueltos
105
y
Relatividad General
0
0
x
Figura 2.8: Curvas de nivel ν, µ = ctepara la transformaci´
on (x, y) → (µ, ν).
(b) Transforme el elemento de l´ınea ds2 = dx2 + dy 2 a las coordenadas (µ, ν).
Soluci´
on:
Se tiene que
dx = νdµ + µdν
(2.5.19a)
dy = µ dµ − ν dν
(2.5.19b)
dx2 = ν 2 dµ2 + µ2 dν 2 + 2µν dµ dν
(2.5.20a)
dy 2 = µ2 dµ2 + ν 2 dν 2 − 2µ ν dµ dν
(2.5.20b)
ds2 = (µ2 + ν 2 )(dµ2 + dν 2 )
(2.5.21)
es decir,
por tanto
(c) En coordenadas cartesianas las intersecciones de las curvas x = cte y y = cte
forman ´
angulos rectos. Lo mismo sucede en coordenadas polares, donde las intersecciones de las curvas r = cte y φ = cte tambi´en forman ´angulos rectos. ¿Las
intersecciones de las curvas µ = cte y ν = cte tambi´en forman ´angulos rectos?
Soluci´
on:
De (2.5.21), se tiene que
gαβ = (µ2 + ν 2 )δαβ
(2.5.22)
por tanto en la base {~eα }α=µ,ν del espacio (µ, ν),
~eα · ~eβ = 0, si α 6= β
Problemas resueltos
(2.5.23)
106
Relatividad General
y se sigue que las intersecciones de las curvas µ = cte y ν = cte tambi´en forman
angulos rectos.
´
(d) Encuentre la ecuaci´
on de un c´ırculo de radio r centrado en el origen en t´erminos
de las coordenadas µ y ν.
Soluci´
on:
Se tiene a partir de la ecuaci´on cartesiana del c´ırculo
r 2 = x2 + y 2
1
1
1
1
= µ2 ν 2 + (µ2 − ν 2 )2 = µ2 ν 2 + (µ4 + ν 4 ) = (µ2 + ν 2 )2
4
2
4
4
es decir
1
r = (µ2 + ν 2 )
2
(2.5.24)
(2.5.25)
(e) Calcule el cociente entre la circunferencia de un c´ırculo y su di´ametro utilizando
las coordenadas (µ, ν) ¿Obtuvo la respuesta esperada?
Soluci´
on:
Para la circunferencia se tiene
I
I p
C = ds =
(µ2 + ν 2 )(dµ2 + dν 2 )
s
2
√ I
dν
= 2r
dµ
1+
dµ
s
√ I
µ2
dµ
= 2r
1+
2r − µ2
r
√ I
2r
= 2r
dµ
2r − µ2
(2.5.26)
√ √
y ya que en este caso µ ∈ [− 2r, 2r], calculando la integral (2.5.26) en la computadora (Mathematica),
√ Z
C = 2 2r
0
√
2r
r
2r
dµ = 2πr
2r − µ2
(2.5.27)
entonces el cociente entre la circunferencia de un c´ırculo y su di´ametro sigue siendo π, como se esperaba al tratarse del espacio Eucl´ıdeo aunque est´e en distintas
coordenadas.
p.5. Considere el elemento de l´ınea
ds2 = r2 dθ2 + f 2 (θ)dφ2
Problemas resueltos
(2.5.28)
107
Relatividad General
Como hemos visto, si f (θ) = sin θ tenemos una geometr´ıa esf´erica. Dado que el elemento de l´ınea es el mismo para cualquier valor de φ entonces el elemento de l´ınea
(2.5.28) corresponde a una superficie que es axisim´etrica alrededor de un eje.
(a) Calcule la circunferencia C(θ) de un c´ırculo a r = cte.
Soluci´
on:
˜
Se tiene que, fijando alg´
un θ = θ,
I
C=
ds
˜
= rf (θ)
I
dφ = 2πrf
(2.5.29)
θ=θ˜
(b) Calcule la distancia entre polos.
Soluci´
on:
˜
En este caso se fija φ = φ,
I
ds
I
=r
dθ = πr
(2.5.30)
φ=φ˜
(c) Considere la superficie especificada por
3
f (θ) = sin θ 1 − sin2 θ
4
(2.5.31)
Haga un dibujo esquem´
atico de esta superficie. ¿A qu´e elemento de las posadas
navide˜
nas le recuerda esta geometr´ıa?
Soluci´
on:
En este caso la circunferencia ser´a
(2.5.32)
C
3
C = 2πr sin θ 1 − sin2 θ
4
0
Π
Π
2
Θ
Figura 2.9: Circunferencia respecto al ´
angulo polar θ.
y la distancia entre polos es fija para un radio dado, entonces la geometr´ıa especificada por (2.5.31) es algo parecido a la de un cacahuate.
Problemas resueltos
108
Relatividad General
Figura 2.10: Bosquejo de la geometr´ıa determinada por (2.5.31).
(d) ¿Cu´
al es el valor de la circunferencia en el ecuador? ¿Para qu´e ´angulo se obtiene
la circunferencia m´ınima? ¿Para cu´al la m´axima?
Soluci´
on:
En el ecuador, θ = π/2, de modo que
C(π/2) =
π 2
r
(2.5.33)
Para θ = 0, π se tiene la circunferencia m´ınima global (nula), o bien en el ecuador
se tiene un m´ınimo local, y para la circunferencia m´axima, se encuentra con la
computadora, resolviendo num´ericamente C 0 (θ) = 0 para θ, que en θ ≈ 0.79 rad =
41.8◦ y en θ ≈ 2.41 rad = 138.2◦ est´an los m´aximos.
p.6. La superficie de la Tierra no es una esfera perfecta. El radio polar de la Tierra
(6357 km) es ligeramente menor que el radio ecuatorial medio (6378 km). Suponiendo
que modelamos la superficie de la Tierra mediante una geometr´ıa axisim´etrica cuyo
elemento de l´ınea es de la forma (2.5.28) con
f (θ) = sin θ(1 + ε sin2 θ)
(2.5.34)
para alg´
un valor ε peque˜
no. ¿Qu´e valores de r y ε reproducen mejor los valores del
radio ecuatorial y polar?
Soluci´
on:
Problemas resueltos
109
Relatividad General
La circunferencia en t´erminos del ´angulo polar es
C = 2πr sin θ(1 + ε sin2 θ)
Ε = 0.05
(2.5.35)
Ε = 500.
C
C
1
,
0
1
Π
Π
Π
0
2
2
Θ
Θ
Π
Figura 2.11: Circunferencia respecto al a
´ngulo polar θ para valores ‘extremos’ de ε.
que puede verse en los gr´
aficos, la correcci´on en ε volver´ala esfera en un esferoide
oblato, achat´
andola en los polos y estir´
andola en el ecuador. Precisamente en el
ecuador θ = π/2, la circunferencia del esferoide vale
C(π/2) = 2πr(1 + ε)
(2.5.36)
La distancia entre polos s´
olo depende de r, por lo tanto puede fijarse
r = 6357 km
(2.5.37)
de modo que ´este seguir´
a siendo el radio del centro al polo. De aqu´ı tambi´en, se sabe
que el valor de la circunferencia en el ecuador debe ser el mismo que el de la esfera,
2πre , donde re = 6378 km, entonces se sigue que
ε=
re
− 1 ≈ 0.0033
r
(2.5.38)
de modo que (2.5.37) y (2.5.38) son los valores de r y ε reproducen mejor los valores
del radio ecuatorial y polar con la geometr´ıa definida por (2.5.34).
p.7. El elemento de l´ınea siguiente corresponde a un espacio-tiempo plano
ds2 = −dt2 + 2dx dt + dy 2 + dz 2
(2.5.39)
Encuentre la transformaci´
on de coordenadas que lleva al elemento de l´ınea a su forma
est´
andar
2
2
2
ds2 = −dt0 + dx0 + dy 0 + dz 0
2
(2.5.40)
Soluci´
on:
Problemas resueltos
110
Relatividad General
En y y z no est´
an involucradas t ni x, por tanto se puede proponer que la transformaci´
on sea de la forma
t = f (t0 , x0 ), x = g(t0 , x0 ), y = y 0 , z = z 0
(2.5.41)
con f, g : R2 → R, de donde para prop´osito del problema es relevante que
2
− dt2 + 2dx dt = −dt0 + dx0
2
(2.5.42)
Se tiene entonces que
∂f 2 02
∂f 2 02
∂f
∂f
dt =
dt +
dx + 2
dx0 dt0
∂t0
∂x0
∂t0
∂x0
∂f
∂g
∂f
∂g
2
02
dx dt =
dt
+
dx0
∂t0
∂t0
∂x0
∂x0
∂f
∂g
∂f
∂g
+
+
dt0 dx0
0
0
0
∂t
∂x
∂x
∂t0
2
(2.5.43)
(2.5.44)
es decir
−dt2 + 2dx dy = −
∂f
∂g
∂f
∂g
∂f
2
02
−
2
dt
+
2
−
dx0
∂t0
∂t0
∂x0
∂x0 ∂x0
∂f
∂g
∂f
∂g
∂f
∂f
+2
+
−
dt0 dx0
∂t0
∂x0
∂x0
∂t0
∂t0
∂x0
(2.5.45)
∂f
∂t0
De aqu´ı el sistema de ecuaciones est´a planteado al igualar (2.5.42) con (2.5.45) y lo
m´
as sencillo es aplicar fuerza bruta y obtener la soluci´on m´as general con software
(e.g. Mathematica) en t´erminos de alguna de las parciales, e.g.
1 − (∂x0 f )2
2∂x0 f
1 + (∂x0 f )2
∂ x0 g =
2∂x0 f
∂t0 g = ±
(2.5.46a)
(2.5.46b)
∂t0 f = ∓∂x0 f
(2.5.46c)
para cualquier f no constante en x, y luego integrar para obtener finalmente la
soluci´
on m´
as general. Sin embargo si uno no tuviera la computadora, quiz´a lo m´as
pr´
actico es considerar las distintas posibilidades, y de hecho lo mejor es buscar la
transformaci´
on m´
as simple. El t´ermino en dt0 dx0 se anula, por lo que se satisface
Problemas resueltos
∂f
∂t0
∂g
∂x0
+
∂f
∂x0
∂g
∂t0
=
∂f
∂t0
∂f
∂x0
(2.5.47)
111
Relatividad General
Lo m´
as sencillo que puede ocurrir es que una de las parciales se anule y nos d´e una
nueva relaci´
on entre parciales. Para que esto ocurra sin que necesariamente se anule
otra parcial, se debe tener ∂x0 g = 0 o bien ∂t0 g = 0. Si se considera la primer opci´on,
2
v´ease que para el t´ermino en dx0 se tendr´a que −(∂x0 f )2 = 1, lo que no es factible si
se quiere ∂x0 f ∈ R (como asumo aqu´ı). As´ı entonces tomemos
∂t0 g = 0
(2.5.48)
2
de modo que quedamos con x = g(x0 ), y tambi´en del t´ermino en dt0 se sigue que
∂f
∂t0
2
=1
(2.5.49)
entonces
t = f (t0 , x0 ) = ±t0 + f˜(x0 )
(2.5.50)
2
para alguna f˜ = f˜(x0 )y ahora por el t´ermino en dx0 ,
∂ f˜
∂x0
∂g
∂ f˜
2 0− 0
∂x
∂x
!
=1
(2.5.51)
y nuevamente lo m´
as simple para que esto ocurra es que
∂ f˜
∂g
=
=1
0
∂x
∂x0
(2.5.52)
f = ±t0 + x0 + α, g = x0 + β
(2.5.53)
de modo que
con α, β constantes, que son simples traslaciones, entonces se tiene finalmente que
t = t0 + x0 , x = x0 , y = y 0 , z = z 0
(2.5.54)
es una transformaci´
on de coordenadas que lleva (2.5.39) a su forma est´andar.
p.8. Considere el espacio-tiempo de dos dimensiones generado por las coordenadas (v, x)
cuyo elemento de l´ınea es
ds2 = −xdv 2 + 2dv dx
(2.5.55)
(a) Calcule el cono de luz en el punto (v, x).
Soluci´
on:
El cono de luz est´
a definido por las l´ıneas de mundo tipo luz ds2 = 0. Se tiene
Problemas resueltos
112
Relatividad General
entonces que las curvas tipo luz satisfacen
2dv dx = xdv 2
es decir
dv
=0
dx
o bien
(2.5.56)
dv
2
=
dx
x
⇐⇒

2 ln x + β,
v = α, v =
2 ln(−x) + β,
x>0
(2.5.57)
(2.5.58)
x<0
α, β constantes,
i.e. los conos est´an definidos por (2.5.58) para cada punto (ν, x) =
α−β
α, e 2 .
(b) Dibuje un diagrama de espaciotiempo que muestre c´omo cambian los conos de
luz en x.
Soluci´
on:
1.0
v
0.5
0.0
- 0.5
- 1.0
- 1.0
- 0.5
0.0
0.5
1.0
x
Figura 2.12: Conos de luz en el espacio-tiempo (v, x).
(c) Muestre que una part´ıcula puede cruzar de la regi´on de x positivas a la regi´on de
x negativas, pero no puede cruzar de la regi´on de x negativas a la de x positivas.
Nota: La estructura de conos de luz de este modelo de espacio-tiempo es en muchas formas an´
aloga a la de los espacio-tiempo que representan agujeros negros,
en particular en el hecho de tener una superficie tal como x = 0, de la cual no se
puede salir.
Soluci´
on:
En este caso v es la coordenada de tiempo, entonces las l´ıneas de mundo tipo
Problemas resueltos
113
Relatividad General
tiempo ser´
an aquellas tales que localmente ds2 < 0, i.e.

dv


dx

 dv
dx

dv


dx

 dv
dx






x > 0,










x < 0,



dv
dx
dv
⇐⇒
dx
dv
⇐⇒
dx
dv
⇐⇒
dx
⇐⇒
>0
<0
>0
<0
2
x
2
<
x
2
<
x
2
>
x
>
(2.5.59)
es decir,




x > 0,








x < 0,
(
v>α
⇐⇒ v > 2 ln x + β
v<α
(
v>α
⇐⇒ v < 2 ln x + β
(2.5.60)
⇐⇒ v < 2 ln(−x) + β
⇐⇒ v > 2 ln(−x) + β
v<α
Como caso particular, consid´erese α = β = 0, de modo que se tienen las curvas
de la Figura 2.13.
2
v
1
0
-1
-2
-2
-1
0
1
2
x
Figura 2.13: Conos de luz en el espacio-tiempo (v, x) para α = β = 0.
Las regiones con separaci´
on tipo tiempo con cada cono, localmente en (v, x) = (0, ±1)
ser´
an entonces las de la Figura 2.14.
2
v
1
0
-1
-2
-2
-1
0
1
2
x
Figura 2.14: Regiones con separaci´
on local temporaloide en (v, x) = (0, ±1).
entonces se puede ver que en general las regiones con separaci´on temporaloide en el
Problemas resueltos
114
Relatividad General
futuro para cada v = α localmente se ver´an algo as´ı como la Figura 2.15.
v
v=α
x
Figura 2.15: Regiones con separaci´
on local temporaloide respecto a algunos puntos (α, e
futuro para alg´
un v = α.
α−β
2
) en el
por lo que se sigue que, en efecto, una part´ıcula no superlum´ınica puede viajar de x
positivas a x negativas pero no puede regresar de x negativas hacia las x positivas.
p.9. Leyes de transformaci´
on de la m´etrica: Una transformaci´on general de coordenadas
se especifica mediante cuatro funciones x0α = x0α (xβ ).
(a) Muestre que la regla de la cadena se puede expresar como
dxα =
∂xα 0γ
dx
∂x0γ
(2.5.61)
Soluci´
on:
Para cualquier α fija, la regla de la cadena es
dxα =
∂xα 00 ∂xα 01 ∂xα 02 ∂xα 03
dx + 01 dx + 02 dx + 03 dx
∂x00
∂x
∂x
∂x
(2.5.62)
que se escribe simplemente como
dxα =
∂xα 0γ
dx
∂x0γ
(2.5.63)
por notaci´
on de suma de ´ındices repetidos.
(b) Sustituya esta expresi´
on en el elemento de l´ınea
ds2 = gαβ (x)dxα dxβ
(2.5.64)
y muestre que la m´etrica transformada est´a dada por
0
gγδ
= gαβ
∂xα ∂xβ
∂x0γ ∂x0δ
(2.5.65)
Aseg´
urese de que su respuesta sea consistente con la convenci´on de suma.
Soluci´
on:
Problemas resueltos
115
Relatividad General
Sustituyendo se tiene que
β
dx
dxα 0γ
0δ
dx
ds = gαβ
dx
dx0γ
dx0δ
∂xα ∂xβ
= gαβ 0γ 0δ dx0γ dx0δ
∂x ∂x
2
(2.5.66)
de modo que este elemento ser´a invariante siempre que se puede definir
0
gγδ
≡ gαβ
∂xα ∂xβ
∂x0γ ∂x0δ
(2.5.67)
que es la m´etrica transformada.
p.10. En cierta una geometr´ıa espaciotemporal la m´etrica es
ds2 = −(1 − Ar2 )2 dt2 + (1 − Ar2 )2 dr2 + r2 (dθ2 + sin2 θ dφ2 )
(2.5.68)
(a) Calcula la distancia propia a lo largo de una l´ınea radial desde el centro r = 0 a
un radio coordenado r = R.
Soluci´
on:
Aqu´ı t, θ, φ son constantes, entonces
R
Z
AR2
(1 + Ar )dr = R 1 +
3
2
S=
0
(2.5.69)
(b) Calcula el ´
area de una esfera de radio r = R
Soluci´
on:
Aqu´ı r, t son constantes, entonces suponiendo θ el ´angulo polar y φ el azimutal,
Z
A=
Z
dA =
√
g22 g33 dθ dφ
Z
R2 sin θdθ dφ
Z π
2
= 2πR
sin θdθ = 4πR2
=
(2.5.70)
0
(c) Calcula el 3-volumen de una esfera de radio r = R
Soluci´
on:
Aqu´ı t es constante, entonces
Z
V=
dV =
Z
=
Problemas resueltos
Z
√
g11 g22 g33 dr dθ dφ
r2 sin θ(1 − Ar2 ) dr dθ dφ
116
Relatividad General
Z
π
R
Z
r2 sin θ(1 − Ar2 ) dr dθ
= 2π
0
Z
0
R
r2 (1 − Ar2 ) dr
1 AR2
= 4πR3
−
3
5
= 4π
0
(2.5.71)
(d) Calcula el 4-volumen de un tubo 4-dimensional acotado por una esfera de radio
R y dos planos t = cte separados por un tiempo T .
Soluci´
on:
Aqu´ı nada es constante y como lo entiendo, el ‘tubo’ 4-dimensional al que se
refiere (espaciotemporal) puede pensarse como el formado al ‘barrer ’ (es decir,
integrar) con el 3-volumen de la esfera el dominio en t tal que ∆t = T . Entonces
se tiene que
Z
v=
Z p
d x=
− det(g) dt dr dθ dφ
4
Z
r2 sin θ(1 − Ar2 )2 dt dr dθ dφ
Z R
= 4πT
r2 (1 − Ar2 )2 dr
0
2AR2 A2 R4
3 1
= 4πT R
−
+
3
5
7
=
(2.5.72)
p.11. La superficie de una esfera de radio R en el plano Eucl´ıdeo 4-dimensional est´a dada
por
X 2 + Y 2 + Z 2 + W 2 = R2
(2.5.73)
(a) Muestra que los puntos sobre la esfera pueden localizarse por las coordenadas
(χ, θ, φ), donde
X = R sin χ sin θ cos φ,
Z = R sin χ cos θ
Y = R sin χ sin θ sin φ,
W = R cos χ
(2.5.74)
Soluci´
on:
B´
asicamente se debe mostrar que la correspondencia es biyectiva o al menos
sobreyectiva, de modo que cualquier (X, Y, Z, W ) est´a dado una vez especificado
(χ, θ, φ). Para esto se tienen las componentes del Jacobiano J,
Jµν = ∂µ fν
Problemas resueltos
(2.5.75)
117
Relatividad General
T
donde µ, ν = r, χ, θ, φ y f = X Y Z W . Esto puede calcularse en la computadora, y de ah´ı se obtiene el determinante en r = R,
det J = −R3 sin θ sin χ2
(2.5.76)
r=R
de modo que de manera an´aloga al caso de las coordenadas esf´ericas, la transformaci´
on para un radio fijo r = R no ser´a invertible en general en θ, χ = nπ, n =
0, ±1, ±2, . . ., es decir, los ‘polos’ son los u
´nicos puntos en los que la transformaci´
on no es invertible. Esto significa que la transformaci´on es sobreyectiva en
el sentido de que cualquier punto sobre la esfera puede localizarse un´ıvocamente por las coordenadas (χ, θ, φ) salvo los polos, que aunque tambi´en est´an en
correspondencia, ´esta no es uno a uno.
(b) Encuentra la m´etrica que describe la geometr´ıa en la superficie de la esfera en
estas coordenadas.
Soluci´
on:
Se tiene que
dσ 2 = dX 2 + dY 2 + dZ 2 + dW 2
= R2 d(sχ sθ cφ)2 + d(sχ sθ sφ)2 + d(sχ cθ)2 + d(cχ)2
2
=R
c2 χ s2 θ c2 φ + c2 χ s2 θ s2 φ + c2 χ c2 θ + s2 χ dχ2
+ s2 χ c2 θ c2 φ + s2 χ c2 θ s2 φ + s2 χ s2 θ dθ2
2
2
2
2
2
2
2
+ s χ s θ s φ + s χ s θ c φ dφ
= R2 dχ2 + s2 χ dθ2 + s2 χ s2 θ dφ2
(2.5.77)
donde empleo s y c como sin y cos, respectivamente, es el elemento de l´ınea
espacial en las coordenadas (χ, θ, φ) entonces la correspondiente m´etrica espacial
es
gij = R2 diag(1, sin2 χ, sin2 χ sin2 θ)
(2.5.78)
p.12. En un punto P de una variedad existen coordenadas en las cuales el valor de la
m´etrica toma su forma de espacio-tiempo plano ηαβ . ¿Existen coordenadas en las
cuales las primeras derivadas de la m´etrica se anulen en P como lo hacen en el
espacio plano? ¿Qu´e sucede con las segundas derivadas? El siguiente argumento de
conteo, a pesar de no ser conclusivo, muestra qu´e tan lejos podemos ir. Desarrollando
la regla para transformar la m´etrica entre un sistema coordenado y otro en serie de
Problemas resueltos
118
Relatividad General
Taylor alrededor del punto xp ,
α
0β
x (x ) = x
α
(x0β
p )
+
∂xα
∂x0β
1
+
2
∂ 2 xα
∂x0β ∂x0γ
1
+
6
∂ 3 xα
(x0β − x0β
p )
xp
0γ
0γ
(x0β − x0β
p )(x − xp )
xp
∂x0β ∂x0γ ∂x0δ
0γ
0γ
0δ
0δ
(x0β − x0β
p )(x − xp )(x − xp ) + . . .
xp
En el punto x0α
umeros (∂xα /∂x0β )xp que podemos ajustar para hacer que
p hay 16 n´
0 sean iguales a η . Dado que existen s´
los valores transformados de la m´etrica gαβ
olo
αβ
0 , podemos hacer esto y tenemos a´
10 gαβ
un seis n´
umeros disponibles (rotaciones y
boosts). Siguiendo esta l´ınea de razonamiento, concluya lo que sucede con las primeras
y segundas derivadas.
Soluci´
on
En general en un tensor n dimensional de rango r sim´etrico en s ´ındices, el n´
umero
de componentes independientes es
n
r−s
n+s−1
s
(2.5.79)
A segundo orden se tiene el t´ermino
∂ 2 xα
∂x0 β ∂x0 γ
(2.5.80)
∂ 2 xα
∂ 2 xα
=
∂x0 β ∂x0 γ
∂x0 γ ∂x0 β
(2.5.81)
que tiene la simetr´ıa
Aqu´ı puede verse f´
acilmente que hay 43 − (6)(4) = 40 componentes independientes,
i.e. t´erminos que pueden ajustarse. Se puede comprobar de (2.5.79), que
3−2
4
4+2−1
2
5
5!
=4
=4·
= 40
3!2!
2
(2.5.82)
Para la primer derivada de la m´etrica se tiene que
0
∂gαβ
∂x0γ
=
0
∂gβα
∂x0γ
(2.5.83)
que tambi´en tiene 40 t´erminos, entonces es posible dar coordenadas en las cuales las
Problemas resueltos
119
Relatividad General
primeras derivadas se anulen. A tercer orden,
∂ 3 xα
∂x0 β ∂x0 γ ∂x0 δ
(2.5.84)
tiene las simetr´ıas
∂ 3 xα
∂ 3 xα
=
∂x0 β ∂x0 γ ∂x0 δ
∂x0 β ∂x0 δ ∂x0 γ
∂ 3 xα
=
∂x0 γ ∂x0 β ∂x0 δ
∂ 3 xα
=
∂x0 γ ∂x0 δ ∂x0 β
∂ 3 xα
=
∂x0 δ ∂x0 γ ∂x0 β
∂ 3 xα
=
∂x0 δ ∂x0 β ∂x0 γ
(2.5.85)
entonces por (2.5.79), se tienen
44−3
4+3−1
3
6
6!
=4
=4·
= 80
3
3!3!
(2.5.86)
t´erminos que pueden ajustarse. Para la segunda derivada de la m´etrica,
0
∂ 2 gαβ
∂x0γ ∂x0δ
=
=
=
0
∂ 2 gβα
∂x0γ ∂x0δ
0
∂ 2 gβα
∂x0δ ∂x0γ
0
∂ 2 gαβ
∂x0δ ∂x0γ
(2.5.87)
que es sim´etrica en cada pareja, entonces puede verse primero las componentes independientes de un tensor sim´etrico de n = 4, r = 2, s = 2 en (2.5.79) y multiplicar
luego nuevamente por las componentes independientes de un tensor sim´etrico de
n = 4, r = 2, s = 2, es decir, simplemente tomar el cuadrado, entonces hay
2
5
= 102 = 100
2
(2.5.88)
t´erminos que deber´ıan ajustarse, por tanto no hay suficiente libertad en transformaciones de coordenadas para hacer que las segundas derivadas de la m´etrica de
anulen.
Problemas resueltos
120
Relatividad General
p.13. Considere la geometr´ıa de dos dimensiones cuyo elemento de l´ınea es
dΣ2 =
dr2
+ r2 dφ2
1 − 2M
r
Encuentre una superficie dos dimensional encajada en el espacio-tiempo plano tresdimensional que tiene la misma geometr´ıa intr´ınseca que la superficie dos-dimensional.
Dibuje esta superficie.
Soluci´
on
El elemento de l´ınea deber´ıa poder llevarse a la forma ‘can´onica’ de coordenadas
polares
dσ 0 2 = dr0 2 + r0 2 dφ0
2
(2.5.89)
entonces tambi´en debe poderse relacionar el elemento de l´ınea original dos dimensional con el elemento tres dimensional de coordenadas cil´ındricas
ds2 = dr2 + r2 dφ2 + dz 2
(2.5.90)
siempre que se tenga a z como funci´on de alguna de las otras variables. Por comparaci´
on, lo m´
as conveniente es poner z = z(r), adem´as el elemento de l´ınea original es
sim´etrico en φ, por lo que z no depender´a de φ. De este modo que se tendr´a que
dΣ2 =
de donde se identifica
es decir
Z
z=
0
r
r
dz
dr
dz 2
+
1
dr2 + r2 dφ2
dr2
2
+1=
1
1 − 2M
r
p
2M
d˜
r = 2 2M (r − 2M )
r˜ − 2M
(2.5.91)
(2.5.92)
(2.5.93)
De este modo, por la simetr´ıa en el ´angulo azimutal φ, basta rotar la curva z(r) en
0 < φ ≤ 2π, e.g. con Mathematica:
RevolutionPlot3D@8r, 2 Sqrt@2 M Hr - 2 MLD . 8M ® 0.15<<,
8r, 0, 2<, 8Θ, 0, 2 Π <, Boxed ® False, Axes ® None,
PlotStyle ® NoneD
y se obtiene el g´rafico de la Figura 2.16.
p.14. En coordenadas esf´ericas usuales, la m´etrica sobre una esfera dos-dimensional de
Problemas resueltos
121
Relatividad General
Figura 2.16: Superficie dos dimensional con la misma geometr´ıa intr´ınseca del elemento de l´ınea
dr 2
dΣ2 = 1−2M/r
+ r2 dφ2 encajada en el espacio plano tres dimensional.
radio a es
ds2 = a2 (dθ2 + sin2 θ dφ2 )
(2.5.94)
a) Calcule los s´ımbolos de Christoffel.
Soluci´
on:
A partir de la definici´
on,
1
Γα βγ = g ασ (∂β gσγ + ∂γ gσβ − ∂σ gβγ )
2
(2.5.95)
gµν = diag(gθθ , gφφ ) = diag(a2 , a2 sin2 θ)
(2.5.96)
y con
se sigue que
1
Γθ θθ = g θθ (0) = 0 = Γθ θφ = Γθ φθ
2
1
Γθ φφ = − g θθ (∂θ gφφ ) = − sin θ cos θ
2
1 φφ
φ
Γ φφ = g (0) = 0 = Γφ θθ
2
1 φφ
φ
Γ φθ = g (∂θ gφφ ) = cot θ = Γφ θφ
2
(2.5.97)
b) Muestre que los c´ırculos mayores (meridianos) son soluciones de la ecuaci´on geod´esica.
Soluci´
on:
En general, para esta geometr´ıa las ecuaciones de la geod´esica en un par´ametro λ
son
d2 θ
+ Γθ φφ
dλ2
Problemas resueltos
dφ
dλ
2
=0
(2.5.98a)
122
Relatividad General
dθ dφ
d2 φ
+ 2Γφ θφ
=0
2
dλ
dλ dλ
(2.5.98b)
Lo m´
as sencillo es tomar el c´ırculo grande en θ = π/2, haciendo variar al ´angulo
φ con el par´
ametro de arco λ → s = aφ; de este modo los s´ımbolos de Christoffel
se anulan y las segundas derivadas tambi´en. Ya que siempre se pueden orientar
las coordenadas a este c´ırculo grande, cualquier otro c´ırculo grande satisface las
ecuaciones de la geod´esica.
p.15. Un espaciotiempo tres-dimensional tiene el elemento de l´ınea
2M
2M −1 2
2
ds = − 1 −
dr + r2 dφ2
dt + 1 −
r
r
2
a) Encuentre el Lagrangiano expl´ıcito para el principio variacional para las geod´esicas
en este espaciotiempo, en estas coordenadas.
Soluci´
on:
Empleando un par´
ametro af´ın λ,
"
L=
2M
1−
r
#1/2
−1
2M
t˙2 − 1 −
r˙ 2 − r2 φ˙ 2
r
(2.5.99)
donde el punto indica derivada en λ.
b) Utilizando el resultado anterior, escriba las componentes de la ecuaci´on geod´esica
calcul´
andolas directamente del Lagrangiano.
Soluci´
on:
A partir del Lagrangiano, las ecuaciones de la geod´esica son las ecuaciones de
Euler-Lagrange
d
dλ
∂L
∂ x˙ α
−
∂L
=0
∂xα
(2.5.100)
Por definici´
on del tiempo propio τ , el Lagrangiano satisface dτ = L dλ, de modo
que los factores
1
L
que aparecen en cada derivada parcial pueden usarse para poner
las derivadas en t´erminos de τ .
Se˜
nalando ahora con tildes 0 las derivadas en τ , para xα = t,
d
dτ
Problemas resueltos
2M 0
1−
t =0
r
(2.5.101)
123
Relatividad General
para xα = r,
d
−
dτ
"
2M
1−
r
#
−1 # "
M 02
2M −2 M
0
02
02
r − 2t + 1−
r − rφ
=0
r
r
r2
(2.5.102)
y para xα = φ,
d 2 0
r φ =0
dτ
(2.5.103)
c) Lea los s´ımbolos de Christoffel para esta m´etrica a partir de los resultados del
inciso anterior.
Soluci´
on:
La ecuaci´
on (2.5.101) se escribe tambi´en como
d2 t
2M −1 2M
+ 1−
r0 t0 = 0
dτ 2
r
r2
(2.5.104)
de modo que por comparaci´on con la ecuaci´on de la geod´esica
dt dr
d2 t
+ 2Γt tr
=0
dτ 2
dτ dτ
(2.5.105)
se sigue que
t
Γ
t
=Γ
tr
rt
2M −1 M
= 1−
r
r2
(2.5.106)
De manera an´
aloga con la ec. (2.5.103) se sigue que
Γφ φr = Γφ rφ =
1
r
(2.5.107)
Finalmente la ec. (2.5.102) puede escribirse como
dr2
2M −1 M
2M
M 02
2M
02
− 1−
r + 1−
t − 1−
r φ0 2 = 0
dτ 2
r
r2
r
r2
r
(2.5.108)
y se sigue de manera an´
aloga, por la ecuaci´on de la geod´esica con xα = r, que
r
Γ
rr
Γr tt
2M −1 M
=− 1−
r
r2
2M
M
= 1−
r
r2
Γr φφ = 2M − r
Problemas resueltos
(2.5.109)
(2.5.110)
(2.5.111)
124
Relatividad General
Ya empleadas las tres ecuaciones, los s´ımbolos restantes son nulos.
p.16. En un espaciotiempo plano 3-dimensional, las coordenadas parab´olicas (µ, ν, φ) est´an
definidas por
x = µν cos φ,
y = µν sin φ
z=
µ2 − ν 2
2
a) Dibuje las l´ıneas de µ = cte y ν = cte en el plano φ = 0
Soluci´
on:
En el plano φ = 0 se tiene x = µν, y = 0, entonces resolviendo para µ, ν en x, z,
se tiene
z
q
p
µ = ± z ± z 2 + x2
x
ν= p
√
± z ± z 2 + x2
(2.5.112a)
(2.5.112b)
0
0
x
Figura 2.17: L´ıneas µ = constante, ν = constante con φ = 0.
b) Encuentre el elemento de l´ınea de espacio plano en las coordenadas µ, ν.
Soluci´
on:
Se tiene que, en general cuando φ no es constante,
dx = cos φ (µ dν + ν dµ) − sin φµν dφ
(2.5.113a)
dy = sin φ (µ dν + ν dµ) + cos φµν dφ
(2.5.113b)
dz = µ dµ − ν dν
(2.5.113c)
dx2 = cos2 φ µ2 dν 2 + ν 2 dµ2 + 2µν dµ dν
+ sin2 φ µ2 ν 2 dφ2 − 2 sin φ cos φµν(µ dν + ν dµ)dφ
Problemas resueltos
(2.5.114a)
125
Relatividad General
dy 2 = sin2 φ µ2 dν 2 + ν 2 dµ2 + 2µν dµ dν
+ cos2 φµ2 ν 2 dφ2 + 2 sin φ cos φµν(µ dν + ν dµ)dφ
dz 2 = µ2 dµ2 + ν 2 dν 2 − 2µν dµ dν
(2.5.114b)
(2.5.114c)
y entonces
ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2
= (µ2 + ν 2 )(dµ2 + dν 2 ) + µ2 ν 2 dφ2
(2.5.115)
p.17. Obtenga las expresiones para el gradiente, divergencia, rotacional y el Laplaciano en
estas coordenadas.
Soluci´
on:
Las expresiones en t´erminos de
p
|g| pueden consultarse e.g. en [11] o en [24]. En
general, el vector gradiente de un campo escalar f es
∂f ˜ β
∂f
∇f =
dx = g αβ β
β
∂x
∂x
∂~r
∂xα
(2.5.116)
donde ~r = (x, y, z). En este caso la m´etrica es
gαβ = diag(gµµ , gνν , gφφ ) = diag(µ2 + ν 2 , µ2 + ν 2 , µ2 ν 2 )
(2.5.117)
∂φ f φˆ ∂~r
+ 2 2
µ ν
∂φ
(2.5.118)
entonces
∂µ f
∇f = 2
µ + ν2
∂~r
∂µ
∂ν f
+ 2
µ + ν2
∂~r
∂ν
y en este caso tambi´en
∂µ~r = (ν cos φ, ν sin φ, µ)
(2.5.119a)
∂µ~r = (µ cos φ, µ sin φ, ν)
(2.5.119b)
∂φ~r = (−µν sin φ, µν cos φ, 0)
(2.5.119c)
que pueden normalizarse de modo que
∂φ f φˆ ˆ
∂µ f
∂ν f
∇f = p
µ
ˆ+ p
νˆ +
φ
µν
µ2 + ν 2
µ2 + ν 2
(2.5.120)
Luego para la divergencia de un campo vectorial de componentes V α , en general
∇α V α = ∂µ V α + Γα αλ V λ
Problemas resueltos
(2.5.121)
126
Relatividad General
y sabiendo que
p
1
Γα αλ = p ∂λ |g|
|g|
(2.5.122)
se sigue que
p
Vλ
∇α V α = ∂α V α + p ∂λ |g|
|g|
p
1
= p ∂α
|g| V α
|g|
(2.5.123)
donde g = det(gαβ ). En este caso entonces para α = µ, ν, φ,
∇α V α =
1
2
2
α
∂
µν(µ
+
ν
)
V
α
µν(µ2 + ν 2 )
(2.5.124)
Para el Laplaciano en general, de (2.5.116) se tiene que ∇α f = g αβ ∂β f , entonces
empleando la definici´
on de la divergencia (2.5.123),
p
1
∇α ∇α f = p ∂α
|g|g αβ ∂β f
|g|
(2.5.125)
y para este caso solo hay que sustituir los valores de g y sus componentes y hacer las
contracciones correspondientes en µ, ν, φ.
Finalmente para el rotacional, en general las componentes son
~ )α = αµν ∇µ V ν
(∇ × V
h
i
= αµν ∂µ V ν + Γν µλ V λ
(2.5.126)
donde al parecer no queda m´as que recurrir a la definici´on (2.5.95) en t´erminos de la
m´etrica, lo que puede simplificarse, siendo que ´esta es diagonal. De cualquier modo
lo m´
as conveniente es hacer el c´alculo con software, y una vez calculado el t´ermino
entre corchetes simplemente hay que considerar los casos para cada α con el s´ımbolo
de Levi-Civita.
p.18. Muestra que en la aproximaci´on de campo gravitacional d´ebil, i.e. gµν = ηµν + hµν
con |hµν | 1, a primer orden en hµν , el tensor de Riemann es de la forma
Rρσµν =
1
(∂µσ hρν + ∂ρν hµσ − ∂µρ hνσ − ∂νσ hµρ )
2
y muestra que si hαβ = ∂β ζα + ∂α ζβ , este tensor de Riemann se anula. Interpreta este
Problemas resueltos
127
Relatividad General
resultado.
Soluci´
on:
La definici´
on del tensor de Riemann es
Rρ σµν = ∂µ Γρ νσ − ∂µ Γρ µσ + Γρ µλ Γλ νσ − Γρ νλ Γλ µσ
(2.5.127)
y as´ı Rρσµν = gρα Rα σµν . La definici´on de los s´ımbolos de Christoffel es
1
Γρ µν = g ρσ (∂µ gσν + ∂ν gσµ − ∂σ gµν )
2
(2.5.128)
entonces empleando gµν = ηµν + hµν con |hµν | 1, a primer orden en hµν ,
1
Γρ µν ' g ρσ (∂µ hσν + ∂ν hσµ − ∂σ hµν )
2
(2.5.129)
Rρσµν ' gρα (∂µ Γα νσ − ∂ν Γα µσ )
(2.5.130)
1
∂µ Γα νσ ' g αβ (∂µν hβσ + ∂µσ hβν − ∂µβ hνσ )
2
(2.5.131)
y tambi´en
donde por (2.5.129),
por tanto, empleando gρα g αβ = δρ β , y asumiendo hαβ ∈ C ∞ , se sigue que
Rρσµν =
1
(∂µσ hρν + ∂ρν hµσ − ∂µρ hνσ − ∂νσ hµρ )
2
(2.5.132)
como se esperaba. Adem´
as si hαβ = ∂β ζα + ∂α ζβ , nuevamente asumiendo buen comportamiento de las funciones ζα ,
1
∂µσ (∂ρ ζν + ∂ν ζρ ) + ∂ρν (∂µ ζσ + ∂σ ζµ ) − ∂µρ (∂ν ζσ + ∂σ ζν ) − ∂νσ (∂µ ζρ + ∂ρ ζµ )
2
=0
(2.5.133)
Rρσµν =
al poder intercambiar el orden de las derivadas parciales. El resultado significa que
(2.5.129) es invariante ante la transformaci´on hαβ → hαβ − ∂α ζβ − ∂β ζα , i.e. (2.5.129)
es un invariante de norma.
Problemas resueltos
128
3.
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
´n
3.1. Introduccio
Una soluci´
on a las ecuaciones de Einstein es un espaciotiempo (M , g) en el cual ´estas
ecuaciones se satisfacen con un tensor de energ´ıa-momento T µν de alguna forma de materia
(que puede ser el mismo vac´ıo) que obedece los postulados de causalidad local y conservaci´on local. Las soluciones exactas son diversas aunque especiales en tanto que todas tienen
en com´
un un alto grado de simetr´ıa y por ello seguido representan modelos idealizados;
de cualquier modo estas soluciones pueden explotarse para conocer muchas de las caracter´ısticas que pueden surgir en la Relatividad General.
En el caso de los espacios de (Anti)-de Sitter, se trata de las soluciones m´as simples
(i.e. sin materia ordinaria) con constante cosmol´ogica Λ 6= 0, i.e. son los an´alogos curvos
del espacio de Minkowski. Espec´ıficamente Anti-de Sitter corresponde a la soluci´on de
vac´ıo con constante cosmol´
ogica negativa, lo que significa adem´as una constante de tipo
atractivo, contrario a la interpretaci´on f´ısica de la constante cosmol´ogica como una densidad
de vac´ıo. Aunque el car´
acter de la constante cosmol´ogica del espacio de Anti-de Sitter no
corresponda a la gravedad en Relatividad General, puede resultar relevante en otras teor´ıas
de gravedad, como teor´ıa de cuerdas por medio de la correspondencia AdS/CFT. En esta
secci´on se presentan primero algunos de los elementos b´asicos de geometr´ıa que seguido se
utilizan para estudiar propiedades del espacio AdS y luego se presentan algunas de estas
propiedades, mismas que servir´
an para tener una idea m´as clara acerca del espacio AdS.
3.2. Mapeos de variedades
3.2.1. Pullback y Pushforward
Consid´erense dos variedades M y N , no necesariamente de la misma dimensi´on, con
sistema coordenado {xµ } y {y ν } en sus respectivos espacios tangente para cada punto y
dos funciones suaves ϕ : M → N y f : N → R.
La composici´
on de f ◦ ϕ : M → R tiene su propio nombre y notaci´on, llamado el pullback (en espa˜
nol puede ser referido como regrediente) de f por ϕ y definido como
ϕ∗ f ≡ f ◦ ϕ
(3.2.1)
donde el nombre sugiere que ϕ∗ jala a f hacia M para llevar ϕ∗ f a R (la notaci´on del
129
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
f ◦ϕ
ϕ
M
f
R
N
yν
xµ
Rm
Rn
Figura 3.1: Mapeos de variedades: pullback y pushforward
sub-asterisco se emplea como en [21], otras fuentes podr´ıan usar e.g. un super-asterisco).
Consid´erense ahora dos puntos p ∈ M y ϕ(p) ∈ N , en donde se tienen espacios tangente
Tp y Tϕ(p) , respectivamente. De este modo puede definirse el mapeo ϕ∗ : Tp → Tϕ(p) llamado
pushforward (o progrediente), como sigue (nuevamente se debe ser cuidadoso con la notaci´on
del asterisco, e.g. [24] intercambia la notaci´on en sus notas y en su libro). Para V ∈ Tp ,
definimos el vector pushforward ϕ∗ V ∈ Tϕ(p) por medio de
(ϕ∗ V )(f ) ≡ V (ϕ∗ f ) = V (f ◦ ϕ)
(3.2.2)
El nombre surge como un an´
alogo de lo que ser´ıa el contrario al pullback de funciones; de
hecho puede pensarse de este modo viendo al vector como un mapeo de funciones suaves
(1-formas) en n´
umeros reales, e.g. para W de tipo 01 , se tiene V (W ) = V (Wα dy α ) =
Wα V (dxα ) = Wα V α ∈ R, de modo que aqu´ı el nombre sugiere que ϕ empuja (dicho
as´ı solo para oponerlo a jalar ) vectores de espacios tangente de M en un punto a espacios
tangente de N en el punto correspondiente. Podemos ver entonces c´omo se relacionan las
componentes del vector pushforward con el vector mismo usando las bases ∂µ y ∂ν ,
(ϕ∗ V )ν ∂ν f = V µ ∂µ (ϕ∗ f )
= V µ ∂µ (f ◦ ϕ)
∂f ∂ϕ
∂ϕ ∂xµ
∂y ν
= V µ µ ∂ν f
∂x
=Vµ
(3.2.3)
de donde se sigue que el pushforward ϕ∗ puede pensarse como un operador matricial, ya
que
(ϕ∗ V )ν = (ϕ∗ )ν µ V µ
con
(ϕ∗ )ν µ ≡
∂y ν
∂xµ
(3.2.4)
´
Esta
relaci´
on puede pensarse como que generaliza el Jacobiano o regla de transformaMapeos de variedades
130
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
ci´on ante cambio de coordenadas, que no necesariamente es invertible (e.g. si m > n).
Naturalmente al ser las 1-formas vectores duales, puede construirse el pullback de 1formas pens´
andolas como funciones de vectores a n´
umeros reales, e.g. W (V ) = W (V α ∂α ) =
V α W (∂α ) = V α Wα ∈ R. De manera an´aloga al pushforward, se define naturalmente el
∗
∗
mapeo pullback ϕ∗ : Tϕ(p)
→ Tp∗ por medio del covector pullback ϕ∗ W ∈ Tϕ(p)
definido
como
(ϕ∗ W )(V ) = W (ϕ∗ V )
(3.2.5)
de manera an´
aloga aqu´ı el nombre sugiere que ϕ jala covectores de espacios cotangente de
N en un punto a espacios cotangente de M en el punto correspondiente.
En cuanto a las componentes podemos ver ahora que
(ϕ∗ W )µ V µ = Wµ (ϕ∗ V )µ
= Wµ (ϕ∗ )µ ν V ν
= V µ (ϕ∗ )µ ν Wν
es decir
(ϕ∗ W )µ = (ϕ∗ )µ ν Wν
con
(ϕ∗ )µ ν ≡
(3.2.6)
∂y ν
∂xµ
(3.2.7)
que tiene exactamente la misma forma de las componentes de la matriz de pushforward
pero contrayendo el ´ındice correspondiente con el de 1-formas.
De aqu´ı puede extenderse tambi´en el pullback ϕ∗ para mapear tensores W de tipo
en un punto ϕ(p) ∈ N a tensores 0` en el punto p ∈ M por medio de
(ϕ∗ W)µ1 ...µ` (V1 )µ1 · · · (V` )µ` = Wµ1 ...µ` (ϕ∗ V1 )µ1 · · · (ϕ∗ V` )µ`
(3.2.8)
as´ı como puede extenderse tambi´en el pushforward ϕ∗ para mapear tensores V de tipo
en un punto p ∈ M a tensores k0 en el punto ϕ(p) ∈ N por medio de
(ϕ∗ V)ν1 ...νk (W1 )ν1 · · · (Wk )νk = V ν1 ...νk (ϕ∗ W1 )ν1 · · · (ϕ∗ Wk )νk
0
`
k
0
(3.2.9)
consistente con la definici´
on (3.2.2) v´ıa (3.2.5). De aqu´ı puede verse expl´ıcitamente para
las componentes, que
Mapeos de variedades
(ϕ∗ W)µ1 ...µ` = (ϕ∗ )µ1 ...µ` ν1 ...ν` Wν1 ...ν`
(3.2.10a)
(ϕ∗ V)ν1 ...νk = (ϕ∗ )ν1 ...νk µ1 ...µk V µ1 ...µk
(3.2.10b)
131
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
3.2.2. Difeomorfismos
En general no puede extenderse un pushforward ϕ∗ o un pullback ϕ∗ aplicado a tensores
mixtos. De cualquier modo si ϕ es un difeomorfismo (an´alogo a isomorfismo pero en variedades: biyectiva y con inversa de clase C ∞ ) puede emplearse la inversa del pushforward y
el pullback para extender su aplicaci´on en tensores mixtos. Un difeomorfismo implica que
m = n y M y N se dicen difeomorfos, siendo id´enticos al menos en su estructura diferencial.
En el caso de un tensor mixto τ , se tienen las componentes de e.g. un pushforward,
(ϕ∗ τ )ν1 ...νk µ1 ...µ` = (ϕ∗ )ν1 ...νk β1 ...βk [(ϕ−1 )∗ ]µ1 ...µ`
=
α1 ...α` β1 ...β`
τ
α1 ...αk
∂y ν1
∂y νk ∂xα1
∂xα` β1 ...β`
·
·
·
τ
·
·
·
α1 ...αk
∂y µ`
∂xβ1
∂xβk ∂y µ1
(3.2.11)
Uno no debe confundir un difeomorfismo con una transformaci´on de coordenadas. Un
punto p en una variedad puede describirse por dos conjuntos de coordenadas {xµ } y {y µ }
definidos en su vecindad, sin embargo estas coordenadas est´an referidas al mismo punto
p. Un difeomorfismo mapea todos los puntos de la variedad en otros puntos de la variedad, aunque ´estos se encuentren en la misma vecindad de p. De cualquier modo de manera
pr´actica uno puede pensarlos como dos formas equivalentes, ya que si uno tiene coordenadas
xµ en la vecindad de un punto de una variedad M , uno puede obtener nuevas coordenadas
mediante un difeomorfismo ϕ : M → M como los pullbacks (ϕ∗ x)µ en los nuevos puntos
ϕ(p), que en el sentido pr´
actico resulta equivalente a transformar coordenadas.
Si se considera un tensor τ ∈ Tp y un difeomorfismo ϕ : M → M tal que ϕ∗ τ = τ , la
aplicaci´on ϕ es llamada transformaci´on de simetr´ıa de τ , i.e. es una transformaci´on que
deja invariante a τ . Para el caso de la m´etrica g, una transformaci´on de simetr´ıa ϕ∗ g = g
recibe el nombre de isometr´ıa. Esto significa que una vecindad de ϕ(p) se ve id´entica a una
vecindad de p y se dice que pueden mapearse isom´etricamente de modo que se preservan
las propiedades m´etricas como la distancia.
3.3. Derivada de Lie
Una curva suave c : I → M de un intervalo I ⊂ R a una variedad M , define vectores
tangente a lo largo de s´ı misma. Consideremos un campo vectorial V = V µ ∂µ , entonces
si existen vectores V en un punto p, tangentes a c parametrizada en un par´ametro t con
coordenadas xµ (t), se definen las curvas integrales del campo V como aquellas que satisfacen
dxµ
=Vµ
dt
Derivada de Lie
(3.3.1)
132
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
de hecho puede hallarse una familia de curvas integrales C en una vecindad U de p y se
dice que son curvas integrales del campo vectorial centradas en p.
Definimos entonces los difeomorfismos ϕt : U → U para t ∈ R fijo tal que ϕt (p) ≡ C(t) y
que para s ∈ R fijo ϕs ◦ ϕt = ϕs+t , i.e. que mapea puntos p en puntos a lo largo de la curva
C a trav´es de ellos. As´ı entonces los ϕt representan un flujo a lo largo de las curvas integrales y se dice que el campo vectorial V genera el difeomorfismo. Nuevamente las curvas
integrales son algo que ya resulta familiar desde el punto de vista pr´actico, e.g. en las l´ıneas
de campo magn´etico, en las l´ıneas de flujo de un fluido o en las ´orbitas de las ecuaciones
y
y
diferenciales que gobiernan un sistema din´amico (todos estos nombres son intercambiables).
x
x
(a) Campo vectorial V = (−y, x)
(b) Curvas integrales del campo V
Figura 3.2: Curvas integrales de un campo vectorial
La pregunta natural que surge es la de c´omo cambia un campo tensorial τ a lo largo
de las curvas integrales C de V , i.e. c´omo se compara τ en q = ϕt (p) = C(t) con τ en p,
espec´ıficamente cuando t → 0. Se trata de dos cantidades en dos espacios tangente distintos
en puntos distintos, por lo que puede entonces emplearse la familia de difeomorfismos ϕt
para hacer el pullback de τ desde q = ϕt (p) = C(t) a p y encontrar la diferencia con el τ
original en p. De esta idea entonces podemos definir cuando t → 0 la derivada de Lie de τ
a lo largo de V como
ϕt∗ τ − τ
t
k
k
que es una funci´
on de campos ` en campos ` que satisface linealidad
LV τ = l´ım
t→0
(3.3.2)
LV (aτ + bσ) = aLV τ + bLV σ
(3.3.3)
LV (τ ⊗ σ) = (LV τ ) ⊗ σ + τ ⊗ (LV σ)
(3.3.4)
y la regla de Leibniz
Derivada de Lie
133
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
• Derivada de Lie de un campo escalar
Para calcular algunas derivadas de Lie, consid´erense un conjunto de coordenadas tales
que el campo vectorial tiene componentes V µ y sean xµ , y µ las coordenadas de p y de ϕt (p),
respectivamente, de modo que para t suficientemente peque˜
no, y µ ' xµ + tV µ . En general
emplear´e puntos x ∈ M , y ∈ N . Para un campo escalar f , se tiene el pullback (v´ease que
s´olo es necesario expandir hasta el orden lineal en t, lo mismo ocurrir´a en los c´alculos
siguientes),
ϕt∗ f (x) = (f ◦ ϕt )(x) = f (ϕt (x))
= f (y) = f (x + tV + . . .)
= f (x) + tV µ ∂µ f + . . .
(3.3.5)
de modo que
LV f = V µ ∂µ f
(3.3.6)
• Derivada de Lie de un campo vectorial
En el caso de un campo vectorial W = W µ ∂µ , a partir del pushforward (3.2.4), cuya
dependencia expl´ıcita en las coordenadas es
(ϕ∗ W )ν (y) =
∂y ν µ
W (x)
∂xµ
(3.3.7)
y se sigue entonces que
∂xµ ν
W (y)
∂y ν
∂
µ
µ
=
(y − tV + . . .) [W ν (x + tV + . . .)]
∂y ν
∂V µ
= W µ (x + tV + . . .) − tW ν (x + tV + . . .) ν + . . .
∂y
∗
µ
µ
[(ϕ−1
t ) W ) (x) = (ϕt∗ W ) (x) =
= W µ (x) + tV ν ∂ν W µ − tW ν (x)∂ν V µ + . . .
(3.3.8)
y por tanto
LV W µ = V ν ∂ν W µ − W ν ∂ν V µ
(3.3.9)
que es tambi´en un vector, e.g. en t´erminos de derivadas covariantes (libres de torsi´on ([24]))
LV W µ = ∇V W µ − ∇W V µ
Derivada de Lie
(3.3.10)
134
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
se hace expl´ıcito que LV W es un vector. Tambi´en, siendo antisim´etrico en V y W , la
derivada de Lie define el llamado corchete de Lie, que es simplemente un conmutador de
los campos vectoriales V y W , en componentes,
[V, W ]µ ≡ LV W µ = −LW V µ
(3.3.11)
que en general es un conmutador de operadores diferenciales,
[V, W ] = [V µ ∂µ , W ν ∂ν ] = V µ ∂µ (W ν ∂ν ) − W ν ∂ν (V µ ∂µ )
= V µ W ν ∂µν + V µ (∂µ W ν )∂ν − W ν V ν ∂µν − W ν (∂ν V µ )∂µ
= (V ν ∂ν W µ − W ν ∂ν V µ ) ∂µ
= LV W µ ∂µ = [V, W ]µ ∂µ
(3.3.12)
y que satisface la identidad de Jacobi
[U, [V, W ]]µ + [W, [U, V ]]µ + [V, [W, U ]]µ = 0
(3.3.13)
que puede escribirse como ([46])
LU [V, W ]µ = [LU V, W ]µ + [V, LU W ]µ
(3.3.14)
El corchete de Lie adem´
as satisface [aU + bV, W ] = a[W, U ] + b[W, V ] (bilinealidad) y
[V, V ] = 0, entonces de aqu´ı se dice que se ha equipado a los campos vectoriales con un
´algebra de Lie del grupo de difeomorfismos (equivalentemente puede decirse del grupo de
transformaciones de coordenadas ([46])).
• Derivada de Lie de 1-formas
De manera an´
aloga para 1-formas, a partir de (3.2.7), que con dependencia expl´ıcita en
las coordenadas es
(ϕ∗ W )µ (x) =
∂y ν
Wν (y)
∂xµ
(3.3.15)
se sigue que
∂y ν
Wν (y)
µ
∂x
∂
ν
ν
=
(x + tV + . . .) [Wν (x + tV + . . .)]
∂xµ
(ϕt∗ W )µ (x) =
= [δµ ν + t∂µ V ν + . . .] [Wν (x) + tV σ ∂σ Wν ]
= Wµ (y) + tV σ ∂σ Wµ (x) + tWν (x)∂µ V ν
Derivada de Lie
(3.3.16)
135
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
y por tanto
LV Wµ = V σ ∂σ Wµ + Wν ∂µ V ν
(3.3.17)
que nuevamente en t´erminos de derivadas covariantes puede escribirse como
LV W µ = V σ ∇ σ W µ + W ν ∇ µ V ν
(3.3.18)
de modo que sea una relaci´
on evidentemente tensorial.
• Derivada de Lie de cualquier campo tensorial
Aunque se ha hecho evidente que la derivada de Lie es una relaci´on tensorial a trav´es
de la derivada covariante, debe notarse que la derivada de Lie no invoca a la conexi´on
(si uno emplea la derivada covariante, la conexi´on se anula) ni hace referencia a m´etrica
alguna. De cualquier modo, de manera an´aloga a la derivada covariante, puede seguirse de
manera inmediata la generalizaci´
on de la derivada de Lie a lo largo de un campo vectorial
V para tensores mixtos. Como en una derivada covariante, la derivada de Lie de un tensor
τ de tipo k` ser´
a la suma de la derivada covariante a lo largo de V , k t´erminos con signo
negativo de la derivada covariante de V contra´ıda con cada super´ındice y ` t´erminos con
signo positivo de la derivada covariante de V contra´ıda con cada sub´ındice, e.g en un tensor
1
1 ,
LV τ µ ν = V σ ∇σ τ µ ν + τ µ σ ∇ν V σ − τ σ ν ∇σ V µ
(3.3.19)
de modo que an´
alogo a esta expresi´on puede hallarse la derivada de Lie para cualquier
tensor.
3.4. Campos de Killing
Un resultado particularmente relevante es el de la derivada de Lie de la m´etrica. Haciendo uso de la compatibilidad de la m´etrica,
LV gµν = gσν ∇µ V σ + gµσ ∇ν V σ
(3.4.1)
LV gµν = ∇µ Vν + ∇ν Vµ = ∇(µ Vν)
(3.4.2)
es decir
Ahora recu´erdese de la §3.2.2 que una isometr´ıa es aquella ϕ para la cual ϕ∗ g = g. De
la definici´
on (3.3.2), se sigue que de manera equivalente una isometr´ıa satisface
∇(µ Vν) = 0
Campos de Killing
(3.4.3)
136
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
y se dice que V genera una isometr´ıa. Los campos V son llamados campos de Killing (o
vectores de Killing), por el matem´
atico alem´an del siglo XIX Wilhelm Killing (que incluso
invent´o el ´
algebra de Lie independientemente de Sophus Lie alrededor del a˜
no 1880). Las
isometr´ıas est´
an asociadas a simetr´ıas del espaciotiempo (i.e. el espaciotiempo no cambia
a lo largo de las curvas integrales de un vector de Killing) y por el teorema de Noether,
estas simetr´ıas est´
an asociadas a cantidades conservadas.
Una implicaci´
on, en general, de una simetr´ıa, es que si un tensor τ es sim´etrico bajo alguna familia de difeomorfismos en un par´ametro, siempre puede hallarse un sistema
coordenado en el cual las componentes de τ sean todas independientes de una de las coordenadas, y viceversa, si todas las componentes son independientes de una de las coordenadas,
entonces la componente de la base del campo vectorial asociada con esa coordenada genera una simetr´ıa del tensor. As´ı entonces, si las componentes de la m´etrica son todas
independientes de una coordenada particular x, entonces V = ∂x es un vector de Killing,
i.e.
∂x gµν = 0, ∀µ, ν ⇐⇒ LV gµν = 0, V = ∂x (es un vector de Killing)
(3.4.4)
esto puede verse f´
acilmente al considerar un sistema coordenado en que las curvas integrales de V son una familia de l´ıneas coordenadas, e.g. para la coordenada x, i.e. V =
(V x , 0, . . . , 0) = (1, 0, . . . , 0). Primero v´ease que a partir de la condici´on de compatibilidad
de la m´etrica (2.2.37),
LV gµν = gλν ∇µ V λ + gµλ ∇ν V λ
= gλν ∂µ V λ + Γλ σµ V σ + gµλ ∂ν V λ + Γλ σν V σ
= gλν ∂µ V λ + gµλ ∂ν V λ + gλν Γλ σµ V σ + gµλ Γλ σν V σ
= gλν ∂µ V λ + gµλ ∂ν V λ + V σ gλν Γλ σµ + gµλ Γλ σν
= gλν ∂µ V λ + gµλ ∂ν V λ + V σ ∂σ gµν
(3.4.5)
i.e. simplemente la forma no evidentemente tensorial de la derivada de Lie de la m´etrica;
de este modo para el caso de inter´es V = (V x , 0, . . . , 0) = (1, 0, . . . , 0), efectivamente
∂x gµν = 0
(3.4.6)
este tipo de sistema coordenado, en el que una de las l´ıneas coordenadas coincide con las
curvas integrales del vector de Killing se dice estar adaptado al vector de Killing o a la
isometr´ıa en cuesti´
on.
De cualquier modo la propiedad m´as importante de los vectores de Killing ([24]) es
Campos de Killing
137
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
que los vectores de Killing implican cantidades conservadas asociadas con el movimiento
de part´ıculas libres; esto se sigue directamente del teorema de Noether, pues las simetr´ıas
llevan a cantidades conservadas. Consid´erese un campo de Killing de componentes V µ y
una geod´esica xµ (λ) con λ un par´
ametro af´ın, entonces
dVµ
d
dx˙ µ
(Vµ x˙ µ ) = x˙ µ
+ Vµ
dλ
dλ}
| dλ {z
(2.2.25)
= x˙ µ x˙ ν ∇ν Vµ + Vµ x˙ ν ∇ν x˙ µ
| {z }
(2.2.28),=0
µ ν
= x˙ x˙ ∇ν Vµ
donde µ, ν son mudos, de modo que aqu´ı x˙ µ x˙ ν ∇ν Vµ =
(3.4.7)
1
2
(x˙ µ x˙ ν ∇ν Vµ + x˙ ν x˙ µ ∇µ Vν ), es decir,
d
1
(Vµ x˙ µ ) = ∇(ν Vµ) x˙ µ x˙ ν = 0
dλ
2
(3.4.8)
por ecuaci´
on de Killing, lo que significa entonces que Vµ x˙ µ se conserva a lo largo de la
geod´esica xµ (λ) (esto puede causar un poco de confusi´on; v´ease que aqu´ı u
´nicamente
x˙ µ x˙ ν (∇µ Vν − ∇ν Vµ ) = 0 pero no en general ∇µ Vν − ∇ν Vµ = 0, esto es cierto en general
s´olo si V es un campo gradiente, i.e. si Vµ = ∂µ f ). Esto puede interpretarse como que la
componente del momento de una part´ıcula libre en la direcci´on de su l´ınea de mundo se
conservar´
a.
´ ximamente sime
´tricos
3.5. Espacios ma
Un espacio m´
aximamente sim´etrico es uno que tiene el mayor n´
umero posible de vectores
de Killing. AdS es precisamente un espacio m´aximamente sim´etrico, por lo que aqu´ı se
obtienen algunas caracter´ısticas de los mismos.
3.5.1. Curvatura
Consideremos la relaci´
on (2.2.58) para el tensor de Riemann con torsi´on nula,
[∇µ , ∇ν ]Vσ = Rα βµν V β gασ = −Rδ σµν Vδ
(3.5.1)
y la relaci´
on (2.2.64), de modo que
−(Rδσµν + Rδνσµ + Rδµνσ )V δ = [∇µ , ∇ν ]Vσ + [∇σ , ∇µ ]Vν + [∇ν , ∇σ ]Vµ
= ∇µν Vσ − ∇νµ Vσ + ∇σµ Vν − ∇µσ Vν + ∇νσ Vµ − ∇σν Vµ
=0
Espacios m´
aximamente sim´etricos
(3.5.2)
138
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
y ahora tomemos a V µ como un vector de Killing, de modo que ∇α Vβ = −∇β Vα , entonces
tambi´en se satisface ∇µν Vσ = −∇µσ Vν , y puede escribirse (3.5.2) como
∇µν Vσ + ∇σµ Vν − ∇νµ Vσ = [∇µ , ∇ν ]Vσ + ∇σµ Vν = 0
(3.5.3)
∇σµ Vν = Rδ σµν Vδ
(3.5.4)
es decir,
que es una identidad b´
asica entre los vectores de Killing y el tensor de Riemann (sobre la
interpretaci´
on de este resultado v´ease la §12.1 de [46]). De aqu´ı se sigue tambi´en que, para
el tensor de Ricci,
∇µ ∇ν Vµ = V µ Rµν
(3.5.5)
Estas dos expresiones son sumamente relevantes en el sentido de que las segundas
derivadas de un vector de Killing en un punto p est´an expresadas en t´erminos del valor
del vector de Killing en ese punto. De manera an´aloga ocurrir´a para derivadas de mayor
orden, entonces de este modo uno puede determinar completamente el campo de Killing
V a partir de los valores Vµ y ∇µ Vν en p desarrollando en serie de Taylor en una vecindad
de p. De aqu´ı entonces se tiene que en un espaciotiempo n-dimensional pueden haber a lo
m´as n componentes independientes Vµ en un punto p y a lo m´as n(n − 1)/2 componentes
independientes de las matrices antisim´etricas ∇µ Vν en el mismo punto p, y por tanto se
sigue que hay a lo m´
as
1
1
n + n(n − 1) = n(n + 1)
2
2
(3.5.6)
vectores de Killing independientes en un espaciotiempo de dimensi´on n. Estos son precisamente los espacios m´
aximamente sim´etricos, que curiosamente tienen un tope de n´
umero
de simetr´ıas posibles, aunque para n > 1 de hecho pueden ser m´as las simetr´ıas que las
dimensiones.
Cuando se tiene la posibilidad de que la m´etrica admita vectores de Killing cuyas componentes puedan tomar todos los valores posibles en un punto p, se dice que el espacio es
homog´eneo alrededor de p. Claramente todo el espacio es homog´eneo si esto ocurre para
todo punto del espacio y ´este admite n vectores de Killing (de traslaci´on: existen isometr´ıas
que llevan a cualquier p a cualquier otro punto de su vecindad). De manera an´aloga, si la
m´etrica admite vectores de Killing tales que todas sus componentes se anulan, pero ∇µ Vν
es arbitraria para un punto p, se dice que el espacio es is´
otropo alrededor de p y admite
n(n − 1)/2 vectores de Killing (de rotaci´on: existen isometr´ıas que dejan fijo p pero rotan
cualquier vector en p a cualquier otro vector en p). As´ı un espacio homog´eneo e is´otropo es
m´aximamente sim´etrico. V´ease tambi´en que un espacio que es is´otropo alrededor de cualquier punto ser´
a tambi´en homog´eneo (aunque no viceversa), i.e. m´aximamente sim´etrico.
Espacios m´
aximamente sim´etricos
139
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
Otras relaciones cruciales respecto a la curvatura para un espacio m´aximamente sim´etrico, son las siguientes (aqu´ı he preferido limitarme a presentarlas, se refiere al lector a
consultar e.g. [46] sobre su justificaci´
on)
X El escalar de curvatura R es constante
X El tensor de Ricci es proporcional a la m´etrica, Rµν =
X El tensor de Riemann est´
a dado por Rµνρσ =
1
Rgµν
n
R
(gµρ gνσ − gνρ gµσ )
n(n − 1)
´ Cartan (para el lector con inclinaci´on mucho
que fueron estudiadas por vez primera por Elie
m´as rigurosamente matem´
atica v´ease [4]). En el contexto de la Relatividad General, para
espacios m´
aximamente sim´etricos, se tiene para las ecuaciones de Einstein en el vac´ıo
Gµν + Λgµν = Rµν
1
− Rgµν + Λgµν =
2
1
− R + Λ gµν = 0
4
(3.5.7)
por lo que estos espacios pueden considerarse soluciones de las ecuaciones de campo en el
vac´ıo con constante cosmol´
ogica Λ = 14 R. En general simplemente
Gµν =
2−n
2n
i.e.
Λ=
R + Λ gµν = 0
n−2
2n
(3.5.8)
(3.5.9)
que en espec´ıfico son de inter´es para n > 2.
3.5.2. Encajamientos
Consideremos primero el espacio de Minkowski 4-dimensional: ´este tiene 4 × 3/2 = 6
transformaciones de Lorentz (3 boosts y 3 rotaciones) y 4 traslaciones espaciotemporales,
lo que da
n(n+1)
2
=
4×5
2
= 10 transformaciones de simetr´ıa, i.e. Minkowski es un espacio
m´aximamente sim´etrico. En el caso del espacio Eucl´ıdeo 3-dimensional, de manera an´aloga
se tienen 3 traslaciones y 3 rotaciones, de modo que en total hay 6 isometr´ıas y tambi´en es
m´aximamente sim´etrico. En [46] puede verse el c´alculo expl´ıcito de los vectores de Killing
de la m´etrica de Minkowski para el grupo de Poincar´e y los vectores de Killing en la esfera
S 2 (ec. (8.48) y (8.53)).
Sabiendo que la curvatura de los espacios m´aximamente sim´etricos es constante, uno
puede considerar, junto con Rn , u
´nicamente los casos de curvatura positiva y negativa como
Espacios m´
aximamente sim´etricos
140
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
los casos no triviales, lo que se reduce u
´nicamente a considerar la esfera S n y su contraparte
de curvatura negativa, el espacio hiperb´olico Hn . Para hacerlo, uno puede encajar la esfera
y el hiperboloide n-dimensional en un espacio plano n + 1-dimensional, i.e. uno construye
el espacio m´
aximamente sim´etrico al eliminar una dimensi´on del espacio n + 1 dimensional
por medio de una condici´
on invariante.
Como ejemplo sencillo, consideremos un espacio Eucl´ıdeo (n + 1)-dimensional con coordenadas {xµ }nµ=0 y m´etrica
2
0 2
ds = (dx ) +
n
X
(dxi )2
(3.5.10)
i=1
Consideremos entonces encajar la esfera unitaria S n en este Rn+1 ; su definici´on es
S n : (x0 )2 +
n
X
(xi )2 = 1
(3.5.11)
xi dxi = 0
(3.5.12a)
i=1
y entonces se sigue que,
0
0
2x dx + 2
=⇒
dx0 =
n
X
i=1
P i i
x dx
− i 0
x
P i i
x dx
= p iP
1 − i (xi )2
(3.5.12b)
es decir,
P
( i xi dxi )2 X i 2 (~x · d~x)2
P
+
ds =
(dx ) =
+ |d~x|2
1 − i (xi )2
1 − |~x|2
2
(3.5.13)
i
para |~x|2 < 1, y que en coordenadas esf´ericas toma la forma com´
un de la m´etrica de S n , que
es invariante ante las n(n + 1)/2 rotaciones de Rn+1 (grupo SO(n+1)), por lo que en efecto
es un espacio m´
aximamente sim´etrico (por simplicidad consid´erese n + 1 = 3 o cons´
ultese
[40] sobre el grupo Eucl´ıdeo). Si uno realiza exactamente el mismo procedimiento para
ds2 = −(dx0 )2 +
n
X
(dxi )2
(3.5.14a)
(xi )2 = 1
(3.5.14b)
i=1
dSn : − (x0 )2 +
n
X
i=1
´
llegar´a exactamente a la m´etrica inducida (3.5.13) para |~x|2 > 1. Este
es el espacio ndimensional de de Sitter dSn (con radio unitario), que es precisamente el an´alogo Lorentziano de la n-esfera, en este caso invariante ante el grupo de Lorentz SO(n,1). En general
puede verse que un grupo SO(p,q) tiene
Espacios m´
aximamente sim´etricos
(p+q)(p+q−1)
2
isometr´ıas de rotaci´on espaciotempo141
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
ral. En [10], [18] y [46] puede leerse el procedimiento en general, o bien en la §3.8.2 donde
se obtiene como un caso el mismo (A)dSn , que yo considerar´e aqu´ı en adelante de forma
particular a modo de obtener diversas propiedades sobre el mismo.
3.6. El espacio AdSn
Primeramente, de manera an´
aloga a como se considera en (3.5.14), consideremos ahora
un espacio plano (n + 1)-dimensional con m´etrica de signatura (+, −) = (n − 1, 2),
ds2 = −(dx0 )2 − (dx1 )2 +
n
X
(dxj )2
(3.6.1)
j=2
y encajemos en ´el la esfera (que podemos imaginar en el espacio Eucl´ıdeo como un hiperboloide de una hoja, parecido al de la Figura 3.3; seguido se refiere a ´el como hiperboloide),
n
X
AdSn : −(x ) − (x ) +
(xj )2 = −α2
0 2
1 2
(3.6.2)
j=2
donde α > 0 es el radio de curvatura de la esfera en este espacio, cuyo cuadrado est´a relacionado por definici´
on con el escalar de curvatura de Ricci como
R
1
=
2
(−α )
n(n − 1)
(3.6.3)
de modo que este espacio, al ser m´aximamente sim´etrico, en el contexto de la Relatividad
General, ser´
a soluci´
on de (3.5.8) con
Λ=−
(n − 1)(n − 2)
2α2
(3.6.4)
que es negativa. A partir de (3.6.1) y de (3.6.2) entonces, se sigue la m´etrica inducida,
0
dx =
−x1 dx1 +
P
j
xj dxj
x0 P
1
X
(−x dx1 + j xj dxj )2
1 2
ds2 = − P j 2
−
(dx
)
+
(dxj )2
2 − (x1 )2
(x
)
+
α
j
=⇒
(3.6.5a)
(3.6.5b)
j
donde
P
j (x
j )2
+ α2 > (x1 )2 , que se sigue de (3.6.2). De aqu´ı puede verse que este espacio
tiene el grupo de isometr´ıa SO(n-1,2) inducido precisamente por la m´etrica de signatura
(+, −) = (n − 1, 2), que tiene las n(n + 1)/2 isometr´ıas de rotaci´
on del espacio Rn−1,2 y
entonces en efecto es un espacio m´
aximamente sim´etrico. Naturalmente en AdSn un vector
V = (x0 , x1 , ~x) ∈ Rn−1,2 es tipo tiempo si V 2 = −α2 . El espacio AdSn es un an´alogo de
El espacio AdSn
142
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
un espacio hiperb´
olico definido en Minkowski R1,n , s´olo que con dos dimensiones temporales. Podemos visualizar el espacio AdS de manera intuitiva en (una proyecci´on de) 3
dimensiones empleando (3.6.2) como
(x0 )2 + (x1 )2 − |~x|2 = α2
(3.6.6)
donde ~x = (x2 , . . . , xn ), de modo que podemos considerar un continuo de valores constantes
para |~x| con un α constante y formar un gr´afico en el espacio tridimensional como un
hiperboloide de una hoja en el eje |~x| (Figura 3.3).
Figura 3.3: AdS visualizado en un espacio plano 3-dimensional
Se debe ser cuidadoso en interpretar el gr´afico, pues al dibujar ambos lados del hiperboloide, uno en realidad est´
a tomando en cuenta dos veces los valores 0 ≤ |~x| < ∞; esto se
hace para evitar interpretar |~x| = 0 como una frontera del espacio. Algo parecido ocurre en
f´ısica e.g. en mec´
anica cu´
antica al considerar una funci´on de onda radial, donde la funci´on
de onda se extiende en realidad en todo el espacio. V´ease que para el gr´afico cada punto |~x|
del hiperboloide puede interpretarse como media (n − 2)-esfera de radio |~x|, i.e. para todo
|~x| tal que |~x|2 = (x0 )2 + (x1 )2 − α2 , se tendr´a 21 S n−2 (~x). V´ease adem´as que en el origen
estas esferas tienen radio nulo (lo que podr´ıa hacer nueva y erroneamente que |~x| = 0 se
interpretara como una frontera del espacio) y que no se definen esferas para todo par x0 , x1 ,
por lo que uno no debe apresurarse a sacar conclusiones de la topolog´ıa del espacio a partir
de esta interpretaci´
on.
En la literatura com´
unmente se puede leer que la topolog´ıa de AdSn es S 1 × Rn−1 e.g.
[26]) o bien Rn−1 × S 1 e.g. [44] (que de hecho emplea err´oneamente ⊗, ya que S 1 no es
espacio vectorial). Como se se˜
nala en la §2.2, lo que esto significa es que el espacio tiene
topolog´ıa S 1 en una dimensi´
on (en este caso temporal) y topolog´ıa Rn−1 en las dimensiones
restantes. Como ejemplo sencillo consid´erese dSn , que de manera opuesta se dice tiene topolog´ıa S n−1 × R (en notaci´
on de [26]); esto porque a partir de (3.5.14b) para una x0 fija,
i.e. en R, se tiene que (x1 )2 + |~x|2 = α2 + (x0 )2 define una esfera S n−1 , y en efecto se habla
El espacio AdSn
143
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
de una topolog´ıa global de dSn como S n−1 × R. En el caso de AdSn de manera an´aloga
puede pensarse (de forma un tanto informal pero igualmente intuitiva) en que a partir
de (3.6.2) se fijan n − 1 dimensiones, i.e. en Rn−1 , de modo que (x0 )2 + (x1 )2 = α2 + |~x|2
define un c´ırculo S 1 , y por ello se habla de una topolog´ıa global de AdSn como S 1 × Rn−1 .
V´ease adem´
as que estos c´ırculos est´an definidos en las coordenadas temporales, de
modo que hay curvas de tipo tiempo cerradas, inherentes a la geometr´ıa de AdSn . Esto es
pr´acticamente una consecuencia natural de trabajar con dos dimensiones temporales, que
sin embargo se puede evitar empleando la llamada cubierta universal, como se ver´a m´as
´
adelante. Este
es un primer esquema de AdS; para estudiar varias propiedades m´as, pueden
considerarse diversos sistemas coordenados, como se hace a continuaci´on.
3.6.1. Diagramas de Penrose
Los diagramas de Penrose (tambi´en llamados diagramas conformes de Carter-Penrose)
son una herramienta muy u
´til para visualizar la estructura causal y global de un espaciotiempo. La intenci´
on de los diagramas de Penrose es condensar toda la informaci´
on de un
espaciotiempo (3 + 1)-dimensional en un diagrama (1 + 1)-dimensional sin tener p´erdida
de la misma. La idea b´
asica entonces es realizar una transformaci´
on de coordenadas conforme o de Weyl, i.e. una transformaci´on de coordenadas que preserva ´angulos en distancias
infinitesimales, tal que el infinito se encuentre a una distancia coordenada finita y que los
rayos de luz est´en siempre a ±45◦ . La Figura 3.4 puede verse como un ejemplo precisamente
de una transformaci´
on conforme que mapea un espacio infinito en uno finito.
Figura 3.4: Circle Limit III de M.C. Escher. Una representaci´
on art´ıstica en el llamado disco de
Poincar´e, un espacio 2-dimensional con geometr´ıa hiperb´
olica en el que se representa
un mapeo conforme.
Lo que importar´
a aqu´ı ser´
a el diagrama de Penrose de AdS, pero como siempre, el
primer paso es tomar el caso m´
as sencillo: el espacio de Minkowski (3 + 1)-dimensional.
Las coordenadas m´
as acordes para trabajar son las esf´ericas, dada la simetr´ıa del espacio,
ya que esto permitir´
a aislar la parte esf´erica de la m´etrica. Se tiene entonces el elemento
El espacio AdSn
144
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
de l´ınea en coordenadas esf´ericas
ds2 = −dt2 + dr2 + r2 dΩ2
(3.6.7)
con t ∈ R, r ∈ R+ y dΩ2 el elemento usual de S 2 (2.5.94). Para lograr que los rayos de luz
se mantengan a ±45◦ , podemos introducir las llamadas coordenadas de cono de luz ,
1
u = (t + r)
2
1
v = (t − r)
2
(3.6.8a)
(3.6.8b)
donde evidentemente u, v ∈ R con v ≤ u. Invirtiendo estas relaciones, se tiene que
t=u+v
(3.6.9a)
r =u−v
(3.6.9b)
entonces en t´erminos de estas coordenadas, la m´etrica (3.6.7) toma la forma
ds2 = −4du dv + (u − v)2 dΩ2
(3.6.10)
de aqu´ı, los rayos de luz radiales satisfacen dudv = 0, donde v constante describir´a rayos
emergentes y u constante rayos entrantes. Podemos visualizar una foliaci´on de estos rayos
en la Figura 3.5, donde al suprimir la informaci´on angular, cada punto en el diagrama
representa una S 2 esfera.
t
v = cte
r
u = cte
Figura 3.5: Coordenadas de cono de luz
Ahora para cambiar a coordenadas en las que el infinito tome un valor finito, puede
elegirse cualquier funci´
on bien comportada y acotada, e.g.
U = arctan u
El espacio AdSn
(3.6.11a)
145
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
V = arctan v
de modo que U, V ∈ (−π/2, π/2) y tambi´en U ≥ V . Se tiene entonces que dU =
tambi´en dV =
dv
, por tanto
1 + v2
(3.6.11b)
du
y
1 + u2
du dv = (1 + u2 )(1 + v 2 )dU dV
= (1 + tan2 U )(1 + tan2 V )dU dV = sec2 U sec2 V dU dV
(3.6.12)
y tambi´en
(u − v)2 = (tan U − tan V )2
sin V 2
sin U
−
=
cos U
cos V
= sec2 U sec2 V (sin U cos V − sin V cos U )2
= sec2 U sec2 V sin2 (U − V )
(3.6.13)
entonces para la m´etrica,
ds2 = sec2 U sec2 V −4dU dV + sin2 (U − V )dΩ2
(3.6.14)
que ya tiene una forma sencilla y que cumple con llevar infinitos a una regi´on finita, sin
embargo puede hacerse algo mejor, que es llevar estas coordenadas a unas de tipo temporal
y radial de manera an´
aloga (de vuelta) a como se hizo con (3.6.8a), i.e.
T = U + V,
R=U −V
(3.6.15)
con T ∈ (−π, π) y R ∈ [0, π) (dado que U ≥ V ). De este modo la m´etrica se torna en
ds2 = ζ −2 (−dT 2 + dR2 + sin2 R dΩ2 )
(3.6.16)
con ζ = 21 (cos T + cos R), que es exactamente de la misma forma que la m´etrica original
salvo este llamado factor conforme ζ −2 . Este espacio sigue siendo Minkowski, aunque por
supuesto si consider´
aramos el dominio T ∈ R y R una coordenada de ´angulo polar (que
de hecho toma un intervalo de tal), se tendr´ıa una m´etrica en un espacio con topolog´ıa
S 3 × R. En tal caso, la 3-esfera es m´aximamente sim´etrica y est´atica, por lo que a esta
m´etrica sin el factor conforme, vista como una soluci´on de las ecuaciones de Einstein, se
le llam´o el Universo est´
atico de Einstein (UEE) por razones hist´oricas. El espacio de Minkowski entonces puede pensarse como conformemente equivalente a un subespacio del UEE.
El espacio AdSn
146
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
Visualizar a partir de aqu´ı el diagrama de Penrose del espacio de Minkowski es bastante
sencillo. Primero, no consideraremos la parte angular de la m´etrica, dada su simetr´ıa,
qued´andonos con una m´etrica de un espacio (1 + 1) dimensional sin perder informaci´on
esencial sobre la m´etrica original; luego podemos ignorar tambi´en el factor conforme ζ −2 ,
lo que ignorar´
a la estructura de distancia propia de la m´etrica, mientras que permite
extender la m´etrica para incluir los puntos de la frontera para T y R en que ζ −2 diverge
([46]). Esto es, se est´
a considerando la m´etrica
d˜
s2 = −dT 2 + dR2
(3.6.17)
en T ∈ (−π, π) y R ∈ [0, π). Primero relacionemos T, R con t, r; se tiene que
1
1
T = U + V = arctan u + arctan v = arctan (t + r) + arctan (t − r)
2
2
1
1
R = U − V = arctan u − arctan v = arctan (t + r) − arctan (t − r)
2
2
(3.6.18a)
(3.6.18b)
de modo entonces que,
(t, r) = (∞, r) → (T, R) = (π, 0)
(3.6.19a)
(t, r) = (−∞, r) → (T, R) = (−π, 0)
(3.6.19b)
(t, r) = (t, ∞) → (T, R) = (0, π)
(3.6.19c)
T + R = π. De manera an´
aloga, T − R =
1
+ r) , de modo que cuando t + r → ∞,
2 (t
1
2 arctan 2 (t − r) y cuando t − r → ∞, T − R = −π.
Ahora bien, se tiene que T + R = 2 arctan
Esto nos da las fronteras correspondientes a los infinitos asociados al espacio de Minkowski. Adem´
as de esto, uno puede tratar de analizar los valores en el diagrama (R, T ) para
r, t = cte, o bien, resolver en alg´
un software y trazar las l´ıneas correspondientes.
En el software Wolfram Mathematica 8, el comando para resolver r, t en R, T puede
escribirse como
Sols =
SolveB:T Š ArcTanB
1
Ht + rLF + ArcTanB
2
R Š ArcTanB
1
2
Ht + rLF - ArcTanB
1
Ht - rLF,
2
1
Ht - rLF>, 8t, r<F  Simplify;
2
y as´ı entonces graficar con
El espacio AdSn
147
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
Show@
ContourPlot@8If@T + R < Π && T - R > - Π , t . Sols@@2DD@@1DD, NoneD<,
8R, 0, Π <, 8T, - Π , Π <, Contours ® 30, ContourShading ® None,
AspectRatio ® 2, FrameTicks ® 8880, Π <, None<, 880, Π <, None<<,
FrameLabel ® 8R, T<D,
ContourPlot@If@T + R < Π && T - R > - Π , r . Sols@@2DD@@2DDD,
8R, 0, Π <, 8T, - Π , Π <, Contours ® 30, ContourShading ® NoneD,
ContourPlot@8T + R Š Π , T - R Š - Π <, 8R, 0, Π <, 8T, - Π , Π <,
ContourStyle ® 88Black, Dashed<<DD
Figura 3.6: C´
odigo: Diagrama de Penrose del espacio de Minkowski
lo que da como salida
T
Π
0
0
Π
R
Figura 3.7: Diagrama de Penrose del espacio de Minkowski en (R, T ). El espacio de Minkowski
es u
´nicamente el ‘interior’ del tri´
angulo, sin el infinito conforme; aqu´ı se marca el
infinito conforme con l´ıneas punteadas (el comando If del c´
odigo de Mathematica se
escribe con una desigualdad estricta).
que es el diagrama de Penrose u
´nicamente de Minkowski en la coordenada de tipo
radial R y la tipo temporal T , y donde las l´ıneas horizontales corresponden a t = cte,
mientras que las verticales corresponden a r = cte. En el diagrama, al estar suprimiendo
las dimensiones de tipo angular, cada punto corresponde a una esfera S 2 de radio sin R
(v´ease la ec. (3.6.16)). En cuanto a las fronteras, ´estas no pertenecen en realidad al espacio
de Minkowski, sino m´
as bien se˜
nalan en d´onde el espacio deja de ser Minkowski; a ´estas se
les refiere como el infinito conforme (del ingl´es conformal infinity, [24]) o frontera conforme.
Hay toda una nomenclatura para los infinitos conformes:
X I + es el infinito futuro tipo luz (T + R = π, R ∈ [0, π))
X I − es el infinito pasado tipo luz (T − R = −π, R ∈ [0, π))
X i+ es el infinito futuro tipo tiempo (T = π, R = 0)
El espacio AdSn
148
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
X i0 es el infinito tipo espacio (T = 0, R = π)
X i− es el infinito pasado tipo tiempo (T = −π, R = 0)
V´ease que los infinitos i± , i0 son puntos, i.e. esferas de radio nulo, mientras que los
infinitos I ± son hiperfuperficies tipo luz o nulas de topolog´ıa S 2 × R. En general, todas
las geod´esicas tipo tiempo de extensi´on infinita comienzan en i− y terminan en i+ , mientras que las tipo espacio comienzan en i0 , se reflejan en R = 0 y terminan nuevamente en
i0 . Uno puede naturalmente extender este diagrama si emplea originalmente una m´etrica
ds2 = −dt2 + dx2 y se obtiene algo parecido a un diamante para el diagrama del espacio de
Minkowski, como se ve a continuaci´on. En una versi´on pedestre del diagrama de Penrose
(hecho sin la precisi´
on de Mathematica) en T, X, los infinitos conformes se localizan en la
Figura 3.8.
i+
T
X
+
Iizq
+
Ider
i0izq
i0der
−
Iizq
−
Ider
i−
Figura 3.8: Infinitos conformes en el diagrama de Penrose del espacio de Minkowski. Se agregan
los lados derecho e izquierdo y en azul se marcan las direcciones de dos geod´esicas tipo
luz.
Sobre esto y m´
as sobre diagramas de Penrose (e.g. de soluciones tipo agujero negro)
puede consultarse [24] o [46]; aqu´ı ser´a de inter´es particular AdSn .
3.6.2. Coordenadas Globales, Coordenadas Conformes y Diagramas de Penrose
Una posible parametrizaci´
on del hiperboloide completo (3.6.2) es a trav´es de
x0 = α cosh σ cos τ
(3.6.20b)
2
x = α sinh σ cos θ1
(3.6.20c)
x3 = α sinh σ sin θ1 cos θ2
(3.6.20d)
x = α cosh σ sin τ
El espacio AdSn
(3.6.20a)
1
149
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
..
.
xn−1 = α sinh σ sin θ1 . . . sin θn−3 cos θn−2
(3.6.20e)
xn = α sinh σ sin θ1 . . . sin θn−3 sin θn−2
(3.6.20f)
con τ ∈ [0, 2π), σ ∈ R+ y θi son par´ametros de S n−2 , i.e. con θn−2 ∈ [0, 2π) y los dem´as
valores en [0, π]. Evidentemente (3.6.2) se satisface id´enticamente, de hecho esta parametrizaci´on puede pensarse como motivada por la soluci´on
0 2
1 2
2
2
(x ) + (x ) = α cosh σ,
n
X
(xj )2 = α2 sinh2 σ
(3.6.21)
j=2
Empleando entonces esta parametrizaci´on en (3.6.1), se sigue que
ds2 = α2 − cosh2 σ dτ 2 + dσ 2 + sinh2 σ dΩ2n−2
(3.6.22)
esta es la forma de la m´etrica inducida en coordenadas globales. De aqu´ı puede hacerse el
cambio r = α sinh σ, de modo que
r2
ds = − 1 + 2
α
2
−1
r2
dr2 + r2 dΩ2n−2
dτ + 1 + 2
α
2
(3.6.23)
dado que se identifica f´
acilmente como la contraparte negativa de dSn (§3.7); de cualquier
modo podemos seguir trabajando con (3.6.22). Recu´erdese del final de la §3.6, que AdSn
tiene curvas tipo tiempo cerradas, i.e. uno podr´ıa regresar a un mismo instante en el tiempo. En la m´etrica (3.6.22) de hecho se hace evidente nuevamente que se tienen estas curvas
cerradas. Es aqu´ı cuando se extiende nuestro espacio original de AdSn a la llamada cubierta
universal ; de hecho la gente al referirse a AdSn , seguido se refiere a esta cubierta universal
(como se har´
a aqu´ı tambi´en). La idea b´asica es desenrollar la dimensi´on de topolog´ıa S 1
en R, lo que intuitivamente puede pensarse como desenrollar el c´ırculo en una h´elice como
si fuera un acorde´
on.
S1
R
Figura 3.9: Esquematizaci´
on de una cubierta universal
El que visualizamos como un hiperboloide (una esfera, de cualquier modo) encajado en
El espacio AdSn
150
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
Rn−1,2 no es simplemente conexo (i.e. tiene un hueco), por lo que en efecto podemos desenrollar la cubierta universal de AdSn ([26]), i.e. simplemente, hacer que τ ∈ R en (3.6.22)
sin la identificaci´
on τ ∼ τ + 2π. Con esto en mente, lo que se quiere ahora es bosquejar el diagrama de Penrose de AdSn . Una forma es introducir un cambio de coordenadas
tan R = sinh σ, de modo que
ds2 = α2 sec2 R −dτ 2 + dR2 + sin2 R dΩ2n−2
(3.6.24)
con R ∈ [0, π/2), y entonces AdSn es conforme a
d˜
s2 = −dτ 2 + dR2 + sin2 R dΩ2n−2
(3.6.25)
que es la mitad del universo est´
atico de Einstein (3.6.16 sin factor conforme, ya que tendr´ıa
R ∈ [0, π/2) y en n-dimensiones). Las superficies para cada τ constante ser´an esferas S n−2
de radio sin R. En este caso el infinito conforme I corresponde a R = π/2, donde σ → ∞,
es de tipo tiempo y tiene topolog´ıa S n−2 × R, lo que corresponde a una compactificaci´on
conforme de Minkowski (n − 1)-dimensional,
Rn−2,1 → I : R × S n−2
(3.6.26)
lo que forma parte del coraz´
on de la correspondencia AdS/CFT, como se ver´a m´as adelante, pues al considerar AdS5 , puede trabajarse con una teor´ıa de campo conforme en su
frontera, que es un espacio de Minkowski usual R1,3 . Como primer visualizaci´on de este espacio uno puede considerar un cilindro s´olido que se extiende infinitamente en la direcci´on
temporal.
S n−2
τ
I
R
Figura 3.10: AdSn como un cil´ındro s´
olido. La direcci´
on temporal τ se extiende en sentido vertical,
mientras que R se toma como la direcci´
on radial. La frontera conforme I contiene la
direcci´
on temporal y la esfera S n−2 , que aqu´ı se representa con un c´ırculo para tres
τ constantes.
Para visualizar un diagrama bidimensional de Penrose, dada la simetr´ıa esf´erica en
El espacio AdSn
151
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
(3.6.25), tomemos la m´etrica
d˜
s2 = −dτ 2 + dR2
(3.6.27)
y s´olo debemos tomar en cuenta que en cada punto del diagrama (R, τ ) habr´a una esfera
S n−2 . El diagrama de Penrose, de cualquier manera, dado que estamos considerando la
cubierta universal τ ∈ R, ser´
a una tira infinita, y si se intentara comprimir a´
un mediante
una transformaci´
on conforme, o se perder´ıan los rayos de luz diagonales o se reducir´ıa el
dominio de R a un punto ([26, 46]). Podemos entonces esquematizar el diagrama bidimensional de Penrose como se muestra en la Figura 3.11.
i+
i+
τ =π
S n−2
I
tipo tiempo
τ
tipo espacio
τ =0
I
R
R=0
R = π/2
i−
i−
(b) Como cilindro s´
olido
(a) Bidimensional
Figura 3.11: Esquema del diagrama de Penrose del espacio AdSn (n > 2). En azul se ’ilustran’
geod´esicas tipo luz y se distinguen las geod´esicas tipo tiempo de las tipo espacio.
donde cada punto es una esfera S n−2 de radio sin R (de modo que en R = 0 se tornan
en puntos). En cuanto a los infinitos conformes, se han se˜
nalado esquem´aticamente los
infinitos tipo tiempo i± aunque no los podamos asignar a un punto de los diagramas;
adem´as v´ease que el infinito conforme I une los infinitos conformes de tipo nulo I ± y el
infinito conforme tipo espacio i0 , i.e.
I = I + ∪ I − ∪ i0
(3.6.28)
cuya propiedad m´
as relevante es que es de tipo tiempo, o bien, de signatura Lorentziana.
Como se ha mencionado tambi´en, cada punto en el diagrama es una (n − 2)-esfera,
excepto para R = 0, donde se tienen puntos 0-dimensionales. Las geod´esicas tipo tiempo y
El espacio AdSn
152
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
espacio son sugerentes, pero cualitativamente sabemos que se comportan del modo descrito
en los diagramas dado que las geod´esicas de tipo luz son diagonales en el diagrama (R, τ ).
Esto lleva a las siguientes conclusiones
X Al recorrer una geod´esica de tipo tiempo desde el punto p ≡ (R, τ ) = (0, 0), uno
alcanza el punto q ≡ (R, τ ) = (0, π) en un tiempo coordenado τ = π y nunca alcanza
la frontera conforme I.
X Al recorrer una geod´esica de tipo espacio partiendo de R = 0, a uno le llevar´a un
tiempo coordenado infinito alcanzar R = π/2.
X Al recorrer una geod´esica de tipo luz partiendo de R = 0, uno alcanza la frontera
conforme I en un tiempo coordenado finito, τ = π/2 y luego regresa a R = 0 en otro
tiempo τ = π/2.
En efecto, seguramente el u
´ltimo punto es el m´as sobresaliente y puede verificarse de
manera sencilla. Las geod´esicas tipo luz son tales que d˜
s2 = 0, i.e.
dτ 2 = dR2 = d [arctan(sinh σ)]2 = sech2 σ dσ 2
(3.6.29)
de modo que,
Z
τ=
sechσ dσ = 2 arctan[tanh(σ/2)] =⇒ tan
entonces, en efecto
l´ım τ (σ) =
σ→∞
τ
σ
= tanh
2
2
π
2
(3.6.30)
(3.6.31)
por lo que le lleva un tiempo coordenado finito a la luz alcanzar la frontera conforme. Ahora
bien, consid´erese un par´
ametro af´ın λ; entonces la ec. (3.6.29) puede escribirse como
τ˙ 2 = sech2 σ σ˙ 2
(3.6.32)
y si adem´
as recordamos un poco acerca de los vectores de Killing en la §3.4, el campo ∂τ
es un campo de Killing, i.e. el vector de componentes V τ = 1, V ν = 0 es Killing, de modo
que se sigue que (v´ease espec´ıficamente la ec. (3.4.8)),
Vτ τ˙ = gτ ν V ν τ˙ = − cosh2 σ τ˙ = cte ≡ −E
(3.6.33)
donde el signo negativo se introduce u
´nicamente con el prop´osito de que τ˙ > 0. Esta
cantidad E, al resultar de una invariancia τ -traslacional,es energ´ıa conservada. De aqu´ı,
junto con (3.6.32), se sigue que
σ˙ 2 = sech2 σ E 2
El espacio AdSn
(3.6.34)
153
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
es decir,
d
sinh σ = ±E
dλ
(3.6.35)
y por tanto para rayos salientes, i.e. la ra´ız positiva,
sinh σ = Eλ
(3.6.36)
salvo una constante, de modo entonces que cuando σ → ∞, tambi´en λ → ∞. Esto es de
relevancia porque se˜
nala que el espacio AdSn es geod´esicamente completo ([9, 20]), lo que
significa que se extiende infinitamente en el par´ametro af´ın λ (que puede ser un tiempo
propio: no confundir con el tiempo coordenado, que aqu´ı se ha designado como τ ); esto se
se˜
nala de manera opuesta y err´
onea en [45], donde posiblemente se confunde el t´ermino
con geod´esicamente convexo, con el cual e.g. [44] al decir (correctamente) que no lo es, se
refiere a que existen pares de puntos que no pueden unirse mediante geod´esica alguna, e.g.
en la Figura 3.11a no hay forma de unir mediante alguna geod´esica el punto (τ, R) = (0, 0)
con la parte de separaci´
on espacial de τ > π/2.
La consecuencia m´
as importante de que AdSn sea geod´esicamente completo es que por
los c´elebres teoremas de singularidad de Penrose-Hawking ([41]), este espacio en principio
no tendr´
a singularidades.
Finalmente esta propiedad de que una geod´esica luzaloide alcanza la frontera conforme en un tiempo coordenado finito, implica que el espacio no es globalmente hiperb´
olico.
Esto significa que no existen superficies de Cauchy, i.e. superficies a τ = cte tales que toda
geod´esica de tipo luz las intersecte. Esto es f´acil de ver en la Figura 3.11a, dado que si uno
toma e.g. Σ : τ = 0 y se fija en cualquier τ > 0, siempre hay geod´esicas de tipo luz que
antes de llegar a Σ llegan a I. De manera an´aloga, siempre habr´a geod´esicas provenientes
de I que intersecten a Σ (lo que puede pensarse como un derrame de informaci´
on desde
el infinito).
Esto hace que si uno quiere ver un sistema en AdSn como un sistema din´amico (v´ease
la §2.3 o directamente [3]), especificar condiciones iniciales para dados campos (e.g. campos
escalares) en una hipersuperficie no ser´a suficiente para determinar la evoluci´on temporal
de los mismos. De cualquier modo esta relaci´on y la necesidad de imponer condiciones
de frontera en I resultan de valor en AdS/CFT, pues por (3.6.25) AdSn es conforme al
universo est´
atico de Einstein y por (3.6.26) I corresponde a una compactificaci´on conforme
de Rn−2,1 , ambos globalmente hiperb´olicos.
El espacio AdSn
154
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
´sicas tipo tiempo y tipo espacio en AdS
3.6.3. Geode
En la secci´
on anterior, en la Figura 3.11 se muestra un diagrama de Penrose con las
geod´esicas trazadas a mano, y se analiz´o el caso de los rayos de luz, que se comprob´o que
alcanzan el infinito de AdS en un tiempo coordenado finito. En este caso resulta de alg´
un
modo conveniente emplear la m´etrica de AdSn en la forma (3.6.23), fijando las variables
angulares y tomando α = 1 sin p´erdida de generalidad. Para las geod´esicas de tipo tiempo,
tomando λ como el tiempo propio, ya que s˙ 2 = −1, se tiene que
− (1 + r2 )τ˙ 2 + (1 + r2 )r˙ 2 = −1
(3.6.37)
ahora bien, ∂t es un vector de Killing global, entonces reescribiendo (3.6.33), se tiene
− (1 + r2 ) τ˙ ≡ −E
(3.6.38)
r˙ 2 + (1 + r2 ) − E 2 = 0
(3.6.39)
dr
p
= dλ
2
± (E − 1) − r2
(3.6.40)
y de aqu´ı entonces usando (3.6.37),
es decir
cuya soluci´
on m´
as general, con la condici´on (arbitraria) r(0) = 0, es
p
r(λ) = ± E 2 − 1 tan λ | cos λ|
(3.6.41)
que de cualquier modo, restringiendo r(λ) > 0, se tiene que reducir inevitablemente el
dominio de λ a intervalos de π/2 respecto a λ = 0, es decir,
r(λ) =
p


E 2 − 1 tan λ | cos λ|,



p


− E 2 − 1 tan λ | cos λ|,
(2n + 1)π
si λ ∈ nπ,
2
,n∈Z
(2n + 1)π
si λ ∈
, (n + 1)π
2
(3.6.42)
esto por supuesto de alg´
un modo est´a relacionado con que AdS no est´a extendido a-priori,
o que est´
a enrollado en la coordenada temporal. Tomando cualquier caso, de la ec. (3.6.38)
con τ (0) = 0, se sigue que
τ (λ) = arctan(E tan λ)
(3.6.43)
y as´ı entonces escribiendo λ = λ(τ ), se sigue finalmente que (asumiendo E > 0; si se asume
lo contrario los intervalos se invierten correspondientemente y la siguiente expresi´on no es
El espacio AdSn
155
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
la m´as general),
(2n + 1)π
si τ ∈ nπ,
2
r(τ ) =
,n∈Z

p

tan
τ
(2n
+
1)π

− E 2 − 1 √
, si τ ∈
, (n + 1)π
2
E 2 + tan2 τ
p
tan τ

 E2 − 1 √
,

2

E + tan2 τ
(3.6.44)
y simplemente hay que usar R = arctan r para trazar las geod´esicas en el diagrama de
Penrose. De aqu´ı uno puede procurar simplificar cosas e.g. tomar intervalos de π respecto
a τ = 0 haciendo tan τ → | tan τ |, lo que puede justificarse ya que la discontinuidad entre cada π/2 respecto a 0 es removible; de alg´
un modo esto recupera la 2π-periodicidad
temporal de AdSn en la cubierta universal. Esta cuesti´on de los intervalos vuelve un poco
delicado el tratamiento de este problema de obtener anal´ıticamente las expresiones para
las geod´esicas; el caso de las geod´esicas de tipo espacio es enteramente an´alogo tomando
s˙ 2 = 1 en el tiempo propio λ, pero nuevamente uno debe ser cuidadoso al considerar en
d´onde est´
an definidas las soluciones f´ısicamente relevantes.
Graficando entonces las soluciones para distintos valores de E y extendiendo a la cubierta universal, se obtiene el gr´
afico de la Figura 3.12, como se esperaba.
Π
R
2
0
0
Π
Π
2
t
Figura 3.12: Diagrama de Penrose: Geod´esicas en AdSn . Se toman valores de |E| ∈ [0.25, 7] en
pasos de 0.25. En azul se muestra el caso E → ∞, i.e. geod´esicas tipo luz.
Finalmente una cuesti´
on relevante es que, independientemente del signo que tenga, en
el caso de geod´esicas tipo tiempo, la cantidad E debe satisfacer |E| ≥ 1. No es descabellado
que estas geod´esicas tengan una restricci´on en la energ´ıa pues implican movimiento masivo
y la cantidad 1 est´
a asociada al cambio de longitud de arco en el tiempo propio s,
˙ de modo
que para que una part´ıcula se mueva en una de estas geod´esicas es coherente que su energ´ıa
deba exceder o igualar en proporci´
on esta raz´on de cambio (en unidades correspondientes),
si la iguala, simplemente no se mueve (i.e. se queda en el polo R = 0). Tambi´en debe notarse
que cuando E → ∞, las geod´esicas se tornan de tipo luz, como tambi´en se esperaba.
El espacio AdSn
156
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
´ n de Anti-de Sitter
3.6.4. Coordenadas de Foliacio
Se conocen varios sistemas coordenados tales que el espacio de AdSn se rebana en
espacios dados particulares de una dimensi´on menor, e.g. en rebanadas hiperb´olicas. En
este caso parece relevante incluir las rebanadas de AdS, para el lector interesado en otras
coordenadas de rebanada, se sugiere [46, 45, 44]. Se considera escribir la ec. (3.6.2) como
0 2
1 2
− (x ) − (x ) +
n−1
X
(x0 )2 = −α2 − (xn )2
(3.6.45)
j=2
de modo que para cada xn fijo se tiene AdSn−1 . Notando que el lado derecho es siempre
negativo, h´
agase ([46])
α2 + (xn )2 = α2 cosh2 λ =⇒ xn = α sinh λ
(3.6.46)
y la parametrizaci´
on
x0 = α cosh λ cosh σ cos τ
(3.6.47a)
1
(3.6.47b)
2
(3.6.47c)
x = α cosh λ cosh σ sin τ
x = α cosh λ sinh σ cos θ1
..
.
xn−1 = α cosh λ sinh σ sin θ1 . . . sin θn−2 sin θn−3
(3.6.47d)
con τ ∈ R (cubierta universal), σ ∈ R+ , los θi parametrizan una (n − 3)-esfera y λ ∈ R. En
este caso la m´etrica inducida es
ds2 = α2 dλ2 + cosh2 λ − cosh2 σ dτ 2 + dσ 2 + sinh2 σ dΩ2n−3
i
h
= α2 dλ2 + cosh2 λ ds2AdSn−1
(3.6.48)
donde, en efecto, cada λ = cte corresponde a una rebanada de AdSn−1 .
´
3.6.5. Coordenadas de Poincare
Esta parametrizaci´
on (y su motivaci´on) son un tanto menos evidentes que las dos
anteriores, sin embargo son u
´tiles para entender ciertos aspectos de AdS. Se considera la
parametrizaci´
on
"
#
X
1
x0 =
α2 + u2 − τ 2 +
(z i )2
2u
(3.6.49a)
i
El espacio AdSn
157
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
ατ
2 "
#
X
1
2
2
2
2
i 2
x =
α −u +τ −
(z )
2u
x1 =
(3.6.49b)
(3.6.49c)
i
zi
xi = α
u
(3.6.49d)
con i = 3, . . . , n y u ∈ R+ ; z i , τ ∈ R y es tal que
x0 − x2 = u + u−1
"
X
#
(z i )2 − τ 2 ,
x0 + x2 =
i
α2
u
(3.6.50)
entonces para la m´etrica inducida,
"
#
X
α2
2
2
i 2
ds = 2 −dτ + du +
(dz )
u
2
(3.6.51)
i
y es claro que para u = cte, se rebana AdSn en planos tipo Minkowski, i.e. la m´etrica es
conforme al plano. En la literatura puede encontrarse tambi´en, haciendo el cambio r = u−1 ,
como
(
ds2 = α2
"
#)
X
dr2
+ r2 −dτ 2 +
(dz i )2
r2
(3.6.52)
i
o bien, con u = αe∓ρ/α , como
"
ds2 = dρ2 + e±2ρ/α
#
X
−dτ 2 +
(dz i )2
(3.6.53)
i
con ρ ∈ R. Estas coordenadas no cubren todo AdSn , como puede verse directamente de
(3.6.50), si no que cubren u
´nicamente la regi´on
x0 + x2 = α2 r > 0
(3.6.54)
Si consideramos geod´esicas tipo luz, de modo que empleando un par´ametro af´ın ζ, con
zi
= cte, a partir de (3.6.52),
ds2 = 0 =⇒ r˙ 2 = r4 τ˙ 2
(3.6.55)
Vτ τ˙ = gτ τ τ˙ = −r2 τ˙ = E
(3.6.56)
y en analog´ıa con (3.6.33),
entonces para rayos entrantes, i.e. la ra´ız negativa,
r˙ 2 = E 2 =⇒ r = −E(ζ − ζ0 )
El espacio AdSn
(3.6.57)
158
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
de modo que r → 0 o u → ∞ cuando ζ → ζ0 , y entonces los rayos de luz salen de este
llamado parche de Poincar´e para el par´ametro af´ın ζ = ζ0 finito; se dice entonces que la
frontera r = 0 o u = ∞ del parche de Poincar´e es el horizonte de Poincar´e de AdS.
Por supuesto, en cuanto a los rayos salientes o la ra´ız positiva, se sigue teniendo que
r → ∞ cuando σ → ∞ y un tiempo coordenado finito, de modo que esta cubierta o parche
sigue siendo geod´esicamente completo, simplemente no es una cubierta global (no cubre
todo AdS). De este modo el infinito conforme I reside en r → ∞ o u → 0, con el cual de la
m´etrica (3.6.52), se tiene que la m´etrica inducida en I es, salvo un factor conforme infinito,
una m´etrica de Minkowski Rn−2,1 .
Para visualizar el diagrama de Penrose, podemos relacionar de manera inteligente estas
coordenadas con las coordenadas globales. Llamemos provisionalmente t al tiempo coordenado de Poincar´e, de modo que se quiere relacionar t, u ∼ τ, R. Consideremos primero el
caso m´as sencillo para n = 2, de modo que no hay esfera y x2 = α sinh σ y σ ∈ R, de modo
que R ∈ (−π/2, π/2), entonces
x0 + x2 =
α2
= α [sec R cos τ + tan R]
u
(3.6.58)
u
cos R
=
α
cos τ + sin R
(3.6.59)
y por tanto
que es una relaci´
on, ahora bien,
x1 =
sin τ
α sin τ
αt
= α sec R sin τ =⇒ t = u
=
u
cos R
cos τ + sin R
(3.6.60)
y de este modo puede procederse de manera an´aloga a como se hizo en la §3.6.1 con el
espacio de Minkowski, s´
olo que aqu´ı trazar las curvas para t/α y u/α constantes en un
espacio (τ, R). El diagrama es muy similar al diagrama de Minkowski, y puede graficarse
en Mathematica de manera an´
aloga a como se hizo para Minkowski, i.e. a partir del c´odigo
3.6, como se muestra en la Figura 3.13.
Al considerar AdS3 , de manera an´aloga se encuentra que
u
cos R
=
,
α
cos τ + sin R cos θ1
t
sin τ
=
,
α
cos τ + sin R cos θ1
z3
sin R sin θ1
=
α
cos τ + sin R cos θ1
(3.6.61)
sin embargo aqu´ı puede ser bastante complicado visualizar cada superficie constante; por
esta raz´
on, ya conociendo el caso n = 2, la gente suele simplemente visualizar la regi´on
El espacio AdSn
159
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
τ
Π
i+ : t → ∞
R
Τ
u→∞
0
I:u→0
u→∞
t=0
-Π
-
Π
0
2
Π
2
i− : t → −∞
R
(a) Diagrama hecho en Mathematica
(b) Regiones del diagrama de Penrose
Figura 3.13: Diagrama de Penrose de AdS2 en coordenadas de Poincar´e. Las l´ıneas ‘verticales’
son de u = cte, mientras que las ‘horizontales’ corresponden a t = cte. El diagrama
es muy similar al de Minkowski; en l´ıneas punteadas se muestra el horizonte de Poincar´e u → ∞, que de (3.6.59) se sigue que es tal que τ − R = π/2 y τ + R = −π/2.
Adem´
as el intervalo de τ se reduce a (−π, π), siendo que i± (i.e. t → ±∞) corresponden a (τ, R) = (±π, π/2), respectivamente.
que cubre el parche de Poincar´e x0 + x2 > 0, teniendo en cuenta que σ ∈ R+ y entonces
R ∈ [0, π/2), como se muestra en la Figura 3.14.
S n−2
τ =π
θ1 = 0
τ
θ1
τ =0
θ1 = π
I
τ = −π
(a) Regi´
on graficada en Mathematica
R ∈ [0, π/2)
(b) Bosquejo usual del parche de Poincar´e
Figura 3.14: Parche de Poincar´e de AdSn con n > 2 (regi´
on azul en (b)). Las tapas del cilindro
corresponden a τ = ±π, mientras que la superficie del mismo es la frontera conforme
I de topolog´ıa S n−2 × R. Cada contorno a τ constante corresponde a S n−2 y el ´
angulo
azimutal corresponde a θ1 .
El espacio AdSn
160
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
3.6.6. Coordenadas de Onda Plana
Consid´erese introducir unas coordenadas de tipo de cono de luz µ, ν ∈ R en el parche
de Poincar´e a trav´es de
τ =ν+
µ
,
2
z3 = ν −
µ
2
(3.6.62)
de modo que la m´etrica (3.6.51) se escribe como


n
2
X
α
ds2 = 2 −2 dµ dν + du2 +
(dz j )2 
u
(3.6.63)
j=4
entonces realizando la transformaci´on de coordenadas ([46])
µ = tan U
1
~ 2 ) tan U
ν = V + (Z 2 + X
2
Z
u=
cos U
Xj
zj =
cos U
(3.6.64a)
(3.6.64b)
(3.6.64c)
(3.6.64d)
~ 2 ≡ P (X j )2 ) y Z ∈ R+ , que tambi´en resuelve
con U ∈ (−π/2, π/2); V, X j ∈ R (escribo X
j
la ec. (3.6.2) para la cu´
adrica de AdSn , se tiene entonces para la m´etrica,
i
α2 h
2
~ 2 )dU 2 + dZ 2 + dX
~2
−2
dU
dV
−
(Z
+
X
Z2
ds2 =
(3.6.65)
que es la m´etrica para AdSn de onda plana en coordenadas de Brinkmann. La motivaci´on
b´asica y la justificaci´
on del nombre viene de las soluciones de tipo onda gravitacional.
Cuando uno considera perturbaciones peque˜
nas de la m´etrica de Minkowski, de modo que
el tensor m´etrico sea de la forma
gµν = ηµν + hµν
(3.6.66)
a orden lineal en hµν las ecuaciones de Einstein toman la forma de una ecuaci´on de onda y
se encuentra que la m´etrica que describe una onda gravitacional viajando en una direcci´on
xα puede escribirse como
d˜
s2 = −dt2 + (δij + hij )dxi dxj + (dxα )2
(3.6.67)
con hij = hij (t − xα ). De este modo pasando a coordenadas de cono de luz, t = 21 (v + u) y
xα = 12 (v − u), la m´etrica anterior toma la forma
El espacio AdSn
161
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
d˜
s2 = −dudv + (δij + hij )dxi dxj
(3.6.68)
es decir, en general permitiendo que hij (u) no necesariamente sea peque˜
na,
d˜
s2 = −dudv + g˜(u)dxi dxj
(3.6.69)
y de aqu´ı entonces puede llevarse esta m´etrica a una en coordenadas de Brinkmann, que
en general tiene la forma
~2
d˜
s2 = −2 dU dV + fij (u)xi xj dU 2 + dX
(3.6.70)
(la discusi´
on b´
asica sobre ondas gravitacionales puede encontrarse en [24] y los detalles de
la m´etrica en coordenadas de Brinkmann en [46]), esto es, la m´etrica (3.6.65) es conforme
a la de onda plana en coordenadas de Brinkmann.
Es notable que la m´etrica de onda plana (3.6.65) y la m´etrica en coordenadas de cono de
luz de Poincar´e (3.6.63) son muy parecidas. A pesar de esto, podemos probar que de hecho
son muy diferentes en tanto que las coordenadas de onda plana proveen una cubierta global
de AdSn . Primero notemos que si se introduce un par´ametro ω ∈ [0, 1] en la transformaci´on
de coordenadas como
tan(ωU )
ω
ω
~ 2 ) tan(ωU )
ν = V + (Z 2 + X
2
Z
u=
cos(ωU )
Xj
zj =
cos(ωU )
µ=
(3.6.71a)
(3.6.71b)
(3.6.71c)
(3.6.71d)
se tendr´
a una familia de m´etricas
ds2 =
i
α2 h
2
2
~ 2 dU 2 + dZ 2 + dX
~2
−2
dU
dV
−
ω
Z
+
X
Z2
(3.6.72)
que va de la m´etrica de Poincar´e en coordenadas de cono de luz (ω = 0) extendiendo el
dominio de U , a la m´etrica de onda plana (ω = 1). De manera similar es posible encontrar
una familia de m´etricas en un par´
ametro que lleve de la m´etrica en coordenadas de Poincar´e a la m´etrica usual en coordenadas globales ([17]). Aqu´ı es de inter´es primero mostrar
que en efecto las coordenadas de onda plana llevan a una cubierta global de AdSn , lo que
puede lograrse mostrando, de manera an´aloga a los casos anteriores, que todas las geod´esicas pueden extenderse a valores infinitos de cualquier par´ametro af´ın. Esto sin embargo
El espacio AdSn
162
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
ser´a ligeramente distinto al proceso de los casos anteriores, requiriendo usar directamente
las ecuaciones de la geod´esica, aunque la idea b´asicamente ser´a la misma en tanto que se
aprovechar´
an las cantidades conservadas en cada caso.
3.6.7. Coordenadas de Onda Plana como Cubierta Global
Para mostrar que en efecto las coordenadas de onda plana proveen una cubierta global
de AdSn , en principio tendr´ıamos que resolver las ecuaciones de la geod´esica; sin embargo
podemos usar las cantidades conservadas para estudiar el comportamiento de las geod´esicas respecto a un par´
ametro af´ın como se muestra a continuaci´on.
Como se ilustra en el problema p.15, un buen punto de partida es el Lagrangiano para
el principio variacional L = gµν x˙ µ x˙ ν (utilizo L y no L simplemente para no mezclar con la
notaci´on de la derivada de Lie) con los puntos denotando derivadas en un par´ametro af´ın
ζ, de modo que con la familia de m´etricas (3.6.72) se sigue que
L=
i
α2 h
~˙ 2
~ 2 U˙ 2 + Z˙ 2 + X
˙ V˙ − ω 2 Z 2 + X
−2
U
Z2
(3.6.73)
de aqu´ı entonces U y V son variables c´ıclicas y su momento conjugado se conserva, i.e de
∂L
las ecuaciones de Euler-Lagrange, se sigue que
= cte para xα = U, V . Se tiene entonces
∂ x˙ α
que
i
∂L
2α2 h
~ 2 U˙ ≡ P
= − 2 V˙ + ω 2 Z 2 + X
U
Z
∂ U˙
∂L
2α2
= − 2 V˙ ≡ PV
Z
∂ V˙
(3.6.74a)
(3.6.74b)
para PU , PU constantes. Ahora bien, retomando la §2.2.3, notemos que a lo largo de una
geod´esica xα , se satisface
∇µ (gµν x˙ µ x˙ ν ) = gµν (x˙ µ ∇µ x˙ ν + x˙ ν ∇µ x˙ ν ) = 0
(3.6.75)
es decir, precisamente, a trav´es de (2.2.25), aqu´ı en el par´ametro af´ın ζ,
dL
=0
dζ
(3.6.76)
y el Lagrangiano es en s´ı mismo una constante a lo largo de la geod´esica, digamos ϕ, que es
igual a −1, 0, 1 dependiendo si se trata de una geod´esica tipo tiempo, luz o espacio, respectivamente. Entonces podemos emplear estas constantes en (3.6.73) (todas las constantes,
no s´olo sustituir en el Lagrangiano, lo cual es algo as´ı como un pecado mortal), para lo
El espacio AdSn
163
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
cual, por simplicidad, consideramos α = 1 sin p´erdida de generalidad y simplificando,
Z˙ 2
ϕ = 2 + Z2
Z
"
!
#
~2
~˙ 2 ω 2 P 2 X
Z 4 PV2 ω 2
X
P
P
U V
V
−
+
+
Z4
4
2
4
donde por conveniencia puede tomarse una constante P˜V ≡
PV
2
y P˜U ≡
(3.6.77)
PU
2
; y de hecho
puede verse que el t´ermino
~˙ 2
X
~ 2 ≡ ε2
+ ω 2 P˜V2 X
Z4
(3.6.78)
es otra constante de tipo energ´ıa asociada a un oscilador arm´onico transversal (v´ease [17]),
i.e. derivando esta u
´ltima ecuaci´
on en ζ, se tiene que
~˙ d 1 d 2X
~ + 2ω 2 P˜ 2 X
~X
~˙ = 0
X
V
Z 2 dζ Z 2 dζ
(3.6.79)
1 d
1 d ~
~
X = −ω 2 P˜V2 X
Z 2 dζ Z 2 dζ
(3.6.80)
es decir
que en efecto corresponde a un oscilador arm´onico (n − 2)-dimensional transversal, y que
~ As´ı entonces se tiene concretamente que
limita as´ı la din´
amica en X.
ϕ=
h
i
Z˙ 2
2
2
˜ P˜ + Z 4 P˜ 2 ω 2
ε
−
2
P
+
Z
U
V
V
Z2
(3.6.81)
y de aqu´ı por supuesto para el caso ω = 0 extendiendo U ∈ R se tienen coordenadas de
Poincar´e y no se tiene una cubierta global, lo que se relaciona con el l´ımite en Z → ∞, que
se sabe puede alcanzarse en un ζ finito.
Si este procedimiento se hubiera hecho desde un principio con ω = 0, por supuesto se
hubiera llegado (con un ε distinto) a una expresi´on que diferir´ıa de (3.6.81) s´olo en el
t´ermino Z 4 P˜ 2 ω 2 , i.e. ´este es el t´ermino que hace toda la diferencia entre el parche de PoinV
car´e y una cubierta global. Por supuesto cuando ω > 0 este t´ermino es el dominante para
valores grandes de Z y b´
asicamente esto hace que no pueda alcanzarse Z → ∞ en cualquier
tipo de geod´esica (ϕ = 0, ±1); uno puede convencerse de esto e.g. integrando y tomando
el l´ımite para Z → ∞ para distintos valores de las constantes. El caso m´as sencillo es por
supuesto P = ε = 0, para el cual Z˙ 2 = Z 2 (n´otese adem´as que s´olo es posible ϕ = 1) de
V
modo que Z → ∞ s´
olo cuando ζ → ∞.
Se recomienda consultar e.g. la §42.3 de [46] para el procedimiento en general para onda
plana en coordenadas de Brinkman.
El espacio AdSn
164
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
´ gicas) de foliacio
´ n hiperbo
´ lica
3.6.8. Coordenadas (cosmolo
Se considera escribir la ecuaci´
on (3.6.2) como
− (x0 )2 +
n
X
(xj )2 = (x1 )2 − α2
(3.6.82)
j=2
de este modo las rebanadas para x1 constante tal que |x1 | < α son hiperboloides Hn−1 .
Una parametrizaci´
on posible es
x0 = α sin
τ cosh ψ
ατ x1 = α cos
τα
2
sinh ψ cos θ1
x = α sin
α
..
.
(3.6.83a)
(3.6.83b)
(3.6.83c)
con τ ∈ R para la cubierta universal, ψ ∈ R+ y las θi parametrizan una (n − 2)-esfera. La
m´etrica inducida toma la forma
ds2 = −dτ 2 + sin2
τ α
dψ 2 + sinh2 ψ dΩ2n−2
(3.6.84)
donde se puede ver f´
acilmente (encajando un hiperboloide de dos hojas en R1,n ) que
ds2Hn−1 dψ 2 + sinh2 ψ dΩ2n−2
(3.6.85)
es de hecho la m´etrica de un hiperboloide Hn−1 en coordenadas polares, i.e.
ds2 = −dτ 2 + sin2
τ α
ds2Hn−1
(3.6.86)
de modo que a cada τ = cte corresponde un espacio hiperb´olico Hn−1 . Estas coordenadas
ser´an relevantes al considerar el papel de (A)dS en el contexto cosmol´ogico.
El espacio AdSn
165
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
3.7. El espacio dSn
De aqu´ı, se puede procurar abordar de manera an´aloga el espacio de de Sitter dSn .
Por supuesto, nuevamente encontrando parametrizaciones de la superficie que define dSn
se pueden definir diversos sistemas coordenados an´alogos a los estudiados en AdSn . En
este caso se piensa en escribir la ecuaci´on de la superficie (3.5.14b) para un radio α > 0
arbitrario,
0 2
dSn : −(x ) +
n
X
(xj )2 = α2
(3.7.1)
i=1
que se inducir´
a en la m´etrica usual R1,n , y en cuyo caso se tiene la relaci´on con el escalar
de curvatura de Ricci R,
1
R
=
2
α
n(n − 1)
(3.7.2)
y entonces en el contexto de la Relatividad General, este espacio es soluci´on de
Λ=
(n − 1)(n − 2)
2α2
(3.7.3)
que ahora es positiva. Se puede visualizar este espacio de manera an´aloga al hiperboloide
de la Figura 3.3, ahora extendido en la variable x0 . Este espacio se considera aqu´ı b´asicamente con objetivo de conocer algunos elementos geom´etricos de la contraparte de AdSn ;
finalmente en la secci´
on siguiente se ver´a la relevancia del mismo en el contexto de la
cosmolog´ıa.
3.7.1. Coordenadas Globales y Coordenadas Conformes
Ahora se piensa en escribir la ecuaci´on (3.7.1) como
n
X
(xj )2 = α2 + (x0 )2
(3.7.4)
i=1
de modo que una soluci´
on posible es la parametrizaci´on
τ
α
τ
x1 = α cosh cos θ1
α
..
.
x0 = α sinh
(3.7.5a)
(3.7.5b)
(3.7.5c)
donde nuevamente los par´
ametros θi parametrizan una esfera S n−1 y τ ∈ R. La m´etrica
inducida en R1,n es
ds2 = −dτ 2 + α2 cosh2
El espacio dSn
τ α
dΩ2n−1
(3.7.6)
166
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
estas coordenadas cubren completamente el hiperboloide, lo que puede verse directamente
de que (3.7.4) no impone restricci´on alguna; u
´nicamente se desechan los polos θ1 = 0, π,
que son singularidades triviales.
Adem´
as se vuelve evidente que este espacio es la contraparte esf´erica de S n a trav´es de
una rotaci´
on de Wick (b´
asicamente hacer que una coordenada tome valores imaginarios;
esto se antoja particularmente interesante y matem´aticamente perverso; de manera an´aloga
a como se hace aqu´ı, uno puede pasar del espacio de Minkowski al espacio Eucl´ıdeo o
viceversa por una rotaci´
on de Wick), i.e.
τ → iαϕ =⇒ −dτ 2 + α2 cosh2
τ α
dΩ2n−1 → α2 dϕ + cos2 ϕ dΩ2n−1 = α2 dΩ2n (3.7.7)
siempre que ϕ ∈ (−π/2, π/2) y donde α se vuelve simplemente un factor de escala.
Para construir el diagrama de Penrose nuevamente puede pasarse a coordenadas conformes de modo que τ se vuelva finita; e.g. a trav´es de cosh ατ = sec t, de modo que
t ∈ (−π/2, π/2) y la m´etrica inducida toma la forma
ds2 = α2 sec2 t −dt2 + dΩ2n−1
(3.7.8)
que es conforme al universo est´
atico de Einstein definido a trav´es de (3.6.16), en una secci´on S n−1 × (−π/2, π/2). De aqu´ı podemos visualizar este espacio como se muestra en la
Figura 3.15.
Ahora bien, una cuesti´
on relevante que se puede hacer evidente en el diagrama de Penrose de dSn es su estructura causal. Recu´erdese que establecimos que los diagramas de
Penrose deben satisfacer que las geod´esicas tipo luz sean diagonales, lo que en efecto se
satisface en nuestro caso con la m´etrica (3.7.8). De aqu´ı se sigue evidentemente que en el
caso extremo de un rayo de luz proveniente del polo norte θ1 = 0 y la frontera conforme
I − , ´este alcanzar´
a el polo sur θ1 = π u
´nicamente en un futuro infinito I + . De manera an´aloga, un observador com´
ovil en el polo norte puede recibir se˜
nales luminosas de un
observador en el polo sur u
´nicamente si ´este se encuentra en I + y recibe una se˜
nal desde I − .
Todo lo que queda fuera de estas regiones es inalcanzable por un observador en el polo
norte en el sentido de que ´este no puede enviar o recibir informaci´on por se˜
nales luminosas
o de tipo tiempo. Esta caracter´ıstica es peculiar del espacio dSn , y se sigue que no existe
observador alguno que tenga acceso al espacio completo, en contraste e.g. con el espacio
de Minkowski, en el que eventualmente cualquier observador causal tiene acceso a todo
El espacio dSn
167
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
t = π/2
τ
I+
θ1
τ =0
τ =0
τ = cte
t = −π/2
θ1 = 0
Sup. de Cauchy
S n−1 , τ = cte
Geod´esicas
I−
θ1 = cte
θ1 = π
(a) Diagrama de Penrose bidimensional
(b) Visualizaci´
on de dSn como un hiperboloide
Figura 3.15: Espacio de de Sitter en un diagrama de Penrose y como un hiperboloide. Cada punto
en el diagrama (a) representa una esfera S n−2 de radio sin θ1 (en los polos se tienen
esferas de radio nulo o puntos), mientras que cada rebanada a τ = cte es una superficie de Cauchy de topolog´ıa S n−1 . Se muestran tambi´en los infinitos conformes
pasado I − y futuro I + . En (b) se representa dSn en coordenadas globales como un
hiperboloide con θ1 ∈ (0, π) en ambos sentidos; cada punto corresponde a S n−2 /2.
Esta interpretaci´
on surge de n = 2 en donde θ1 ∈ (0, 2π) y seguir´
a siendo u
´til para
los diagramas en el espacio coordenado {xi }ni=0 .
el pasado o bien a todo el futuro del espacio mediante su cono de luz. A estas regiones
inalcanzables se les llama horizonte de part´ıculas (que la part´ıcula no puede influenciar)
y horizonte de eventos (que no pueden influenciar a la part´ıcula). Estas dos regiones se
muestran en la Figura 3.16.
I+
I+
Observador
H de P
H de E
Observador
θ1 = 0
I−
θ1 = π
(a) Horizonte de part´ıculas
θ1 = 0
I−
θ1 = π
(b) Horizonte de eventos
Figura 3.16: Horizonte de eventos y de part´ıculas (regiones rayadas de separaci´
on espacial: no
accesibles) para un observador causal en el polo norte θ1 = 0 y en (a) I − , (b) I + .
El complemento de los horizontes de eventos y part´ıculas (i.e. las regiones blancas
en la Figura 3.16) son regiones alcanzables por el observador y son llamadas regiones de
influencia. De manera an´
aloga puede analizarse el caso de un observador en el polo sur
θ1 = π. La intersecci´
on de las regiones de influencia para ambos observadores define su
El espacio dSn
168
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
correspondiente diamante causal, ya sea sur o norte, que es la u
´nica regi´on completamente
accesible por los observadores correspondientes; estas regiones se bosquejan en la Figura
3.17. Cada diamante causal adem´
as est´a causalmente desconectado del otro, i.e. no hay
regiones completamente accesibles simult´
aneamente a ambos observadores.
I+
I−
θ1 = 0
θ1 = π
Figura 3.17: Diamantes causales (espacios en blanco) correspondientes a observadores com´
oviles
del polo norte θ1 = 0 (izquierda) y del polo sur θ1 = π (derecha) del espacio dSn .
´ n de de Sitter
3.7.2. Coordenadas de Foliacio
De manera an´
aloga al caso de Anti-de Sitter, el espacio de de Sitter puede foliarse en
espacios de de Sitter de una dimensi´on menos. Escribiendo la ecuaci´on (3.7.1) como
0 2
− (x ) +
n−1
X
(xj )2 = α2 − (xn )2
(3.7.9)
i=1
se sigue que para |xn | < α, que ser´a la regi´on que cubran nuestras coordenadas, en efecto
se tienen espacios dSn−1 . Una parametrizaci´on posible que da soluci´on a esta ecuaci´on es
x0 = α sin σ sinh τ
(3.7.10a)
x1 = α cos σ
(3.7.10b)
x2 = α sin σ cosh τ cos θ1
(3.7.10c)
x3 = α sin σ cosh τ sin θ1 cos θ2
..
.
(3.7.10d)
con τ ∈ R, los θi parametrizan S n−2 y σ ∈ (−π, π) excepto 0, que es una singularidad
trivial. La m´etrica inducida toma la forma
h
i
ds2 = α2 dσ 2 + sin2 σ −dτ 2 + cosh2 τ dΩ2n−2 = α2 dσ 2 + sin2 σ ds2dSn−1
El espacio dSn
(3.7.11)
169
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
de donde se puede ver que para cada σ constante se tienen rebanadas de de Sitter dSn−1 . En
este caso es sencillo visualizar esta porci´on del hiperboloide en el espacio original y trazar
las l´ıneas para τ constante y para σ constante empleando software, e.g. Mathematica, como
se muestra en la Figura 3.18.
Figura 3.18: Regi´
on en el espacio coordenado {xi }ni=0 que cubre las coordenadas de foliaci´
on de
de Sitter. En la direcci´
on vertical est´
a el eje x0 ; las curvas verticales describen σ =
cte y representan espacios dSn−1 , mientras que las curvas que las intersectan son
τ = cte y se extienden hasta τ → ±∞. Justo en medio se encuentra τ = 0 (no
trazado) y σ puede de hecho pensarse como un ´
angulo azimutal, que en los polos es
singular. El software traza peque˜
nos picos cerca de estas singularidades triviales, lo
que b´
asicamente se puede atribuir un error num´erico del software mismo.
Para trazar el diagrama de Penrose, de manera an´aloga a como se hizo con las coordenadas de Poincar´e en AdSn en la §3.6.5, se relacionan las coordenadas de cubierta de
de Sitter (3.7.10) con las coordenadas conformes en el espacio coordenado bidimensional
(t, θ1 ). En este caso se encuentra que,
σ = arc cos
cos θ1
cos t
,
τ = arcsinh
| sin t|
√
cos2 t − cos2 θ
(3.7.12)
y el correspondiente diagrama de Penrose se muestra en la Figura 3.19.
3.7.3. Coordenadas Planares
La idea de las coordenadas planares es hacer una foliaci´on de dSn en rebanadas Rn−1 .
La parametrizaci´
on del hiperboloide est´a dada por
~z 2 τ /α
e
α
2α
τ ~z 2
x1 = α cosh
−
eτ /α
α
2α
xj = z j eτ /α
x0 = α sinh
τ +
(3.7.13a)
(3.7.13b)
(3.7.13c)
con j = 2, . . . , n y ~z = (z 1 , . . . , z n ) y donde τ, z i ∈ R, i = 1, . . . , n. Estas coordenadas
El espacio dSn
170
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
Π
2
t
0
-
Π
2
0
Π
Θ1
Figura 3.19: Diagrama de Penrose para dSn en coordenadas de foliaci´
on de de Sitter. Las l´ıneas
‘horizontales’ corresponden a τ = cte, mientras que las l´ıneas verticales corresponden
σ = cte. Estas coordenadas cubren s´
olo parte de los diamantes causales.
no cubren todo dSn , ya que satisfacen
x0 + x1 = αeτ /α ,
x0 − x1 =
~z 2 τ /α
e
− αe−τ /α
α
(3.7.14)
de donde, por la primera ecuaci´
on, se sigue que cubren la regi´on x0 + x1 > 0. La m´etrica
inducida toma la forma
ds2 = −dτ 2 + e2τ /α d~z 2 = −dτ 2 + e2τ /α ds2Rn−1
(3.7.15)
de modo que para τ = cte se tienen rebanadas de espacio plano Rn−1 . Podemos visualizar
este espacio en la regi´
on que cubre del hiperboloide y en un diagrama de Penrose como
se muestra en la Figura 3.20. Para trazar el diagrama de Penrose, nuevamente podemos
relacionar las coordenadas planares con las coordenadas conformes. En este caso se sigue
simplemente que
τ
sin t + cos θ1
= ln
,
α
cos t
z
sin θ1
=
α
sin t + cos θ1
(3.7.16)
con z = |~z|. De aqu´ı entonces pueden graficarse las l´ıneas constantes correspondientes.
Las coordenadas planares cubren el diamante causal norte, mientras que no cubren
nada del diamante causal sur. Uno puede adem´as considerar diversos cambios como e.g.
τ → −τ , de modo que la m´etrica inducida puede generalizarse en cierto modo a
ds2 = −dτ 2 + e±2τ /α ds2Rn−1
(3.7.17)
lo que considera u
´nicamente una inversi´on de la orientaci´on temporal. O bien, si uno
El espacio dSn
171
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
Π
2
t
0
-
Π
2
0
Π
Θ1
(a) Regi´
on del hiperboloide
(b) Diagrama de Penrose
Figura 3.20: Diagrama de Penrose y regi´
on del hiperboloide para dSn en coordenadas planares. En
(a) se muestra la regi´
on en el espacio coordenado {xi }ni=0 cubierta por las coordenadas
planares y las curvas de nivel son rebanadas Rn−1 tales que τ = ln(x0 + x1 ) = cte.
En (b) se muestra el diagrama de Penrose de dSn en coordenadas conformes para la
regi´
on que cubre las coordenadas planares. Las l´ıneas ‘verticales’ son superficies z =
cte y aumentan de izquierda a derecha de 0 a ∞, mientras que las l´ıneas ‘horizontales’
son superficies a τ = cte y van de −∞ a ∞, congruente con I − e I + .
considera x0 → −x0 , se cubre la regi´on x0 < x1 , mientras que si se considera x1 → −x1 se
cubre la regi´
on x0 > x1 , en cuyo caso la m´etrica inducida se mantiene de la forma (3.7.17).
´ ticas
3.7.4. Coordenadas Esta
Ahora se considera que la ec. (3.7.1) puede escribirse tambi´en como
n−1
X
(xi )2 = α2 + (x0 )2 − (xn )2
(3.7.18)
i=1
y se introduce la parametrizaci´
on
p
τ
α2 − r2 sinh
α
p
τ
1
2
2
x = α − r cosh
α
2
x = r cos θ1
..
.
x0 =
(3.7.19a)
(3.7.19b)
(3.7.19c)
con τ ∈ R, los θi parametrizan S n−2 y r ∈ (0, α) es una coordenada radial. De aqu´ı se sigue
que
(x1 )2 − (x0 )2 = α2 − r2 > 0 =⇒ x1 > |x0 |
El espacio dSn
(3.7.20)
172
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
que es la regi´
on cubierta por estas coordenadas. De aqu´ı nuevamente se pueden considerar
inversiones de signo de modo que se cambie la regi´on cubierta por estas coordenadas. La
m´etrica inducida toma la forma
r2
ds = − 1 − 2
α
2
−1
r2
dτ + 1 − 2
dr2 + r2 dΩ2n−2
α
2
(3.7.21)
que es est´
atica en el sentido de que no contiene expl´ıcitamente la coordenada temporal τ , i.e.
∂τ es un vector de Killing en este sistema coordenado. Nuevamente para trazar un diagrama
de Penrose, podemos relacionar estas coordenadas con las coordenadas conformes. En este
caso se verifica que
r
sin θ1
=
,
α
cos t
τ
= arcsinh
α
| sin t|
!
(3.7.22)
p
cos2 t − sin2 θ1
lo que puede visualizarse como en la Figura 3.21.
Π
2
t
0
-
Π
2
0
Π
Θ1
(a) Regi´
on del hiperboloide
(b) Diagrama de Penrose
Figura 3.21: Coordenadas est´
aticas: Diagrama de Penrose y regi´
on del hiperboloide. En (a) se
visualiza la regi´
on que cubre estas coordenadas y se trazan las superficies a τ = cte
y a r = cte; en el primer caso se trata de las l´ıneas ‘horizontales’ que se abren de
−∞ a ∞, mientras que el segundo caso son las l´ıneas ‘verticales’ que van de 0 a α
hacia un lado y hacia otro de manera sim´etrica. De manera an´
aloga en (b), donde
las l´ıneas verticales que m´
as se curvan hacia θ1 = π/2 corresponden a r → α en
ambos casos, correspondiendo cada uno al diamante causal sur (derecha) y norte
(izquierda). Aqu´ı cada punto sigue representando S n−2 de radio sin θ1 .
Del diagrama de Penrose puede pensarse que este sistema coordenado est´a adaptado a
cada observador en los polos θ1 = 0, π, cubriendo su correspondiente diagrama causal. En
efecto, ya que ∂τ es un vector de Killing, se tiene que, en un par´ametro af´ın ζ,
r2
Vτ τ˙ = gτ τ τ˙ = − 1 − 2 τ˙ = E
α
El espacio dSn
(3.7.23)
173
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
es constante. Adem´
as a partir de la m´etrica (3.7.21), siguiendo el procedimiento de la
§3.6.7, suprimiendo las coordenadas con simetr´ıa esf´erica, se tiene el Lagrangiano
−1
r2
r2
2
L = − 1 − 2 τ˙ + 1 − 2
r˙ 2
α
α
(3.7.24)
que adem´
as es constante a lo largo de las geod´esicas, tomando el valor −1 para geod´esicas
tipo tiempo, es decir,
−1
r2
r2
2
− 1 − 2 τ˙ + 1 − 2
r˙ 2 = −1
α
α
(3.7.25)
entonces empleando (3.7.23) se sigue que
r˙ 2 =
r2
+ E2 − 1
α2
(3.7.26)
que tiene una soluci´
on anal´ıtica (de una rama de soluciones),
r(ζ) = r0 cosh
q
ζ
ζ
+ r02 + α2 (E 2 − 1) sinh
α
α
(3.7.27)
de donde en principio puede verse que (puede comprobarse, e.g. con software) estas geod´esicas alcanzan r = α en un par´
ametro ζ finito. Para verlo claramente se puede tomar el caso
particular E = 1 de modo que
r(ζ) = r0 eζ/α = α =⇒ ζ = α ln
α
r0
(3.7.28)
y evidentemente ζ es finito cuando r → α; de aqu´ı puede verse tambi´en que para τ (ζ),
nuevamente por (3.7.23),
α
τ (ζ) = ln
2
α2 − r 2
α2 − r02
−ζ
(3.7.29)
que diverge para r → α, como se espera del diagrama de Penrose, donde podemos pensar
que las curvas constantes l´ımite r → α y τ → ±∞ se vuelven la misma.
´ n hiperbo
´ lica
3.7.5. Coordenadas de foliacio
Se considera escribir la ec. (3.7.1) como
− (x0 )2 +
n−1
X
(xi )2 = α2 − (xn )2
(3.7.30)
i=1
El espacio dSn
174
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
as´ı como se hizo para foliaci´
on de de Sitter, s´olo que ahora consideramos |xn | > α, de modo
que las rebanadas a xn constante sean hiperboloides Hn−1 . Una parametrizaci´on posible es
x0 = α sinh
τ cosh ψ
ατ x1 = α cosh
τα
2
sinh ψ cos θ1
x = α sinh
α
..
.
(3.7.31a)
(3.7.31b)
(3.7.31c)
con τ ∈ R, ψ ∈ R+ y los θi que parametrizan S n−2 . La m´etrica inducida es
ds2 = −dτ 2 + α2 sinh2
2
2
2
= −dτ + α sinh
τ α
τ
α
dψ 2 + sinh2 ψ dΩ2n−2
ds2Hn−1
(3.7.32)
donde ds2Hn−1 = dψ 2 + sinh2 ψ dΩ2n−2 es la m´etrica para un hiperboloide Hn−1 . La relaci´on
con las coordenadas conformes es
τ
cos θ1
= arccosh
,
α
sec t
ψ = arccosh
| sin t|
√
cos2 θ − cos2 t
(3.7.33)
Se puede visualizar este espacio como en la Figura 3.22.
Π
2
t
0
-
Π
2
0
Π
Θ1
(a) Regi´
on del hiperboloide
(b) Diagrama de Penrose
Figura 3.22: Foliaci´
on hiperb´
olica de dSn : Diagrama de Penrose y regi´
on del hiperboloide. Las
l´ıneas ‘horizontales’ y ‘verticales’ corresponden a τ y ψ constantes, respectivamente.
Las curvas τ = cte son rebanadas Hn−1 . Estas coordenadas cubren la regi´
on ‘complemento’ de la regi´
on de las Figuras 3.18 y 3.19 de foliaci´
on dS.
El espacio dSn
175
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
´ gico
3.8. (A)dS en el contexto cosmolo
La esencia de la Relatividad General es que el espaciotiempo es una variedad cuatrodimensional dotada de una m´etrica gαβ de signatura de Lorentz (− + ++) relacionada con
la densidad de materia v´ıa las ecuaciones de campo de Einstein. Una cuesti´on vital de la
Relatividad General es conocer qu´e soluci´on a las ecuaciones de Einstein corresponde a
nuestro universo, o al menos a un modelo idealizado de nuestro universo.
El principio cosmol´
ogico declara que en gran escala el universo es is´otropo y homog´eneo.
La principal evidencia para considerar este principio como un prejuicio b´asico para un modelo cosmol´
ogico es la estabilidad de la temperatura de la radiaci´on c´osmica de fondo o
radiaci´on de fondo de microondas (CMB por sus siglas en ingl´es: cosmic microwave background ) medida hasta la actualidad por el explorador COBE y la sonda WMAP. La forma
de obtener el modelo de Friedmann-Lemaˆıtre-Robertson-Walker o simplemente FLRW, que
constituye el modelo cosmol´
ogico por excelencia, es precisamente aplicar las simetr´ıas de
homogeneidad e isotrop´ıa a las ecuaciones de Einstein. En seguida se investiga entonces la
estructura del espaciotiempo bajo estas condiciones.
3.8.1. Homogeneidad e Isotrop´ıa
Otro principio que germin´
o desde el tiempo de Cop´ernico es el que dice que (los terr´ıcolas) no ocupamos una posici´
on privilegiada en nuestro universo, y que si nos movi´eramos a
alguna otra regi´
on del mismo, las caracter´ısticas b´asicas de los alrededores parecer´ıan ser
las mismas. Asimismo suele asumirse que no importa en qu´e direcci´on miremos, las observaciones a gran escala ser´
an b´
asicamente las mismas. Esto constituye el llamado principio
de Cop´ernico.
(a) Homogeneidad
(b) Isotrop´ıa
Figura 3.23: Esquematizaci´
on de la diferencia entre homogeneidad e isotrop´ıa
Estas ideas son de alg´
un modo hip´otesis que se hacen sobre la estructura del universo
y corresponden al concepto de homogeneidad e isotrop´ıa, respectivamente. Como se menciona en la introducci´
on, estos principios han recibido apoyo por distintas observaciones,
lo que las hace un buen candidato de estudio.
(A)dS en el contexto cosmol´
ogico
176
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
Un espaciotiempo (M , g) se dice homog´eneo si existe una foliaci´on σt de hipersuperficies tipo espacio en un par´
ametro t tal que para cada t y cualesquiera puntos p, q ∈ σt
existe una isometr´ıa φ tal que φ(p) = q. Esto significa que en cualquier instante de tiempo
todo punto del espacio debe verse como cualquier otro.
El espaciotiempo (M , g) ser´
a is´otropo si existe una foliaci´on α de curvas congruentes
tipo tiempo con vector tangente u tales que para cualquier p ∈ α y cualesquiera vectores tangente unitarios tipo espacio v, w ∈ Tp (M ) existe una isometr´ıa ϕ tal que ϕ(p) = p,
ϕ∗ (u) = u y ϕ∗ (v) = w. Esto significa que en cualquier punto es imposible construir vectores espaciales preferidos.
Las hipersuperficies homog´eneas σt son ortogonales a cada vector u, es decir, a las
l´ıneas de mundo de los observadores isotr´opicos. V´ease que isotrop´ıa para todos los observadores implica homogeneidad para todos los observadores. Es posible construir universos
homog´eneos y anisotr´
opicos pero no universos inhomogn´eneos e isotr´opicos. Un universo
is´otropo implica que no hay un centro para el universo. Esto es relevante al considerar el
origen del universo o Big Bang, pues debido a la isotrop´ıa, no hay un punto privilegiado o
centro en el cual ´este haya ocurrido (de hecho, de haber ocurrido, fue en todos lados).
Ya hemos tratado los conceptos de homogeneidad e isotrop´ıa en t´erminos de vectores
de Killing en la §3.5, donde se concluy´o que un espacio homog´eneo e is´otropo es m´aximamente sim´etrico. Esto, por supuesto, ser´a lo que nos permitir´a construir la m´etrica de estos
espacios, llamados de Friedmann-Lemaˆıtre-Robertson-Walker.
Por supuesto el universo no es exactamente homog´eneo; hay irregularidades locales
como las estrellas y las galaxias, al referirse a que lo es en gran escala, uno se refiere en un
orden de millones de a˜
nos luz. El principio de Cop´ernico entonces puede traducirse en que
a gran escala el universo es esf´ericamente sim´etrico en cada punto.
´trica FLRW
3.8.2. La me
En el modelo cosmol´
ogico, lo que interesa es que la parte espacial de la m´etrica sea
homog´enea e is´
otropa. Esto es, se quiere construir la m´etrica para los espacios m´aximamente sim´etricos. Para lograrlo podemos partir del caso conocido para espacios planos y
argumentar entonces que los espacios m´aximamente sim´etricos tienen en particular una
simetr´ıa esf´erica, i.e. la parte espacial de nuestra m´etrica FLRW se podr´a escribir de la
(A)dS en el contexto cosmol´
ogico
177
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
forma
ds2 = A(r) dr2 + r2 dΩ2
(3.8.1)
donde en general en n dimensiones simplemente se considerar´ıa dΩ2n−1 . Consideremos entonces encajar una 3-esfera en R4 . Tomemos la m´etrica
ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2 + dw2 = dρ2 + ρ2 dΩ2 + dw2
(3.8.2)
donde se ha escrito la parte 3-dimensional en t´erminos de coordenadas esf´ericas con coordenada radial ρ; y entonces encajando la superficie
x2 + y 2 + z 2 + w2 = ρ2 + w2 = α2
(3.8.3)
se sigue la m´etrica inducida
dσ 2 ≡
dρ2
+ ρ2 dΩ2
1 − (ρ/α)2
(3.8.4)
que es la m´etrica de un espacio m´
aximamente sim´etrico 3-dimensional de curvatura α−2 .
Ahora bien, las u
´nicas contrapartes de este espacio, con esta misma simetr´ıa, son aquellos
en los que la curvatura es negativa o nula, entonces definamos k = 0, ±α−2 para los diversos
casos, de modo que podemos generalizar (3.8.4) como
dσ 2 =
dρ2
+ ρ2 dΩ2
1 − kρ2
(3.8.5)
que es en general una forma para la m´etrica de cualquier espacio m´aximamente sim´etrico
y de donde puede interpretarse entonces que para k = 0 se tienen planos, para k > 0
esferas y para k < 0 hiperboloides. En los casos nulo y negativo, los espacios son infinitos y
las posibilidades para el universo son llamadas universos abiertos, mientras que en el caso
positivo los espacios son compactos, que son finitos y sin frontera, y naturalmente los universos son llamados universos cerrados. De esta manera, al saber que estas soluciones son
buenos candidatos para modelar aproximadamente nuestro universo, se abre la pregunta
acerca de si el universo es abierto o cerrado.
V´ease adem´
as que para k 6= 0 esencialmente s´olo importa el signo de k. En efecto, si
consideramos κ = ka2 y r = ρ/a,
2
dσ = a
2
dr2
+ r2 dΩ2
1 − κr2
(3.8.6)
de modo que un reescalamiento de k por un factor constante es equivalente a un reescala(A)dS en el contexto cosmol´
ogico
178
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
miento global de la m´etrica. Por esto basta considerar κ = 0, ±1 y cualquier reescalamiento
´
estar´a absorbido en el factor de escala a. Unicamente
el caso κ = 1 restringe el valor de
r a r ≤ 1. Para construir finalmente la m´etrica FLRW completa, se llevan las coordenadas de cada σt a cada una de las otras superficies por medio de cada observador is´otropo
(se asignan coordenadas fijas a cada observador) y se dota de un reloj a cada uno, i.e. se
etiqueta cada hipersuperficie por un tiempo propio τ (tambi´en llamado en este contexto
tiempo c´
osmico), de modo que todo evento en el universo est´a dado por τ y las coordenadas
espaciales.
De este modo entonces la m´etrica FLRW es
dr2
2
2
2
2
2
ds = −dτ + a (τ )
+ r dΩ
1 − κr2
(3.8.7)
donde el factor de escala (determinar´a la escala total de la m´etrica espacial en cada τ )
est´a por determinarse y en efecto puede depender de τ (no de posici´on o se destruir´ıa
la homogeneidad). Esta m´etrica fue estudiada por vez primera por Alexander Friedmann
alrededor del a˜
no 1922, a˜
nos m´
as tarde independientemente por Georges Lemaˆıtre, y finalmente de manera m´
as amplia por Howard Percy Robertson y Arthur Geoffrey Walker,
quienes mostraron que en efecto ´esta es la u
´nica posibilidad para espacios m´aximamente
sim´etricos.
3.8.3. Las ecuaciones de Friedmann
La m´etrica entonces es conocida y se puede conocer f´acilmente el tensor de energ´ıamomento dada la propiedad de isotrop´ıa del universo FLRW, entonces las ecuaciones de
Einstein
1
Gµν ≡ Rµν − gµν R = Tµν
2
(3.8.8)
(recu´erdese que se emplean unidades c = 8πG = 1) ser´an u
´tiles para determinar la evoluci´on din´
amica espacial del universo, i.e. el factor de escala a(τ ).
La distribuci´
on de materia en este caso debe ser tambi´en homog´enea e is´otropa, de
modo que el tensor de energ´ıa-momento puede modelarse por un fluido perfecto, i.e. un
fluido que est´
a completamente especificado por la densidad de energ´ıa propia (i.e. en un
marco de reposo) ρ y una presi´
on isotr´opica propia p, i.e. que toma la forma
Tµν = (p + ρ)uµ uν + pgµν
(3.8.9)
donde uα es la 4-velocidad del fluido. Por isotrop´ıa, el fluido debe estar en reposo en las
(A)dS en el contexto cosmol´
ogico
179
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
coordenadas com´
oviles (las coordenadas propias de cada punto del fluido), entonces
uµ = (1, ~0)
(3.8.10)
y el tensor de energ´ıa-momento es de la forma
Tµν =
!
ρ ~0 T
~0 gij p
(3.8.11)
Para calcular las componentes Gαβ lo m´as sencillo es recurrir a la computadora, siempre
que se entienda qu´e es lo que se est´a haciendo. Aqu´ı emplear´e nuevamente Mathematica.
El c´odigo de la Figura 3.24 tiene la ventaja de que funcionar´a para cualquier m´etrica. La
idea b´asica de los comandos es escribir las definiciones como una funci´on para la m´etrica
y pedir que ´esta trabaje con las coordenadas apropiadas.
n = 4;
Christoffel@ g_ , X_ D :=
Block B8G<,
G =
Table B
1
â Inverse @ g DP Μ, Σ T I- ¶ X P Σ T g P Α , ΒT + ¶ X P Β T g P Α , Σ T + ¶ X P Α T g P Σ , ΒTM,
n
2 Σ =1
8Μ, 1, n <, 8Α , 1, n <, 8Β, 1, n <F; Simplify @ GDF
Riemann @ g_ , X_ D := Block B8Chr , Riem <, Chr = Christoffel@ g , X D;
Riem = Table B ¶ X P Β T Chr P Α , Μ, Ν T - ¶ X P Ν T Chr P Α , Μ, ΒT +
â Chr P Α , Σ , ΒT Chr P Σ , Μ, Ν T - â Chr P Α , Σ , Ν T Chr P Σ , Μ, ΒT,
n
n
Σ =1
Σ =1
8Α , 1, n <, 8Μ, 1, n <, 8Β, 1, n <, 8Ν , 1, n <F; Simplify @ Riem DF
RicciT @ g_ , X_ D := Block B8Rie , RiccT <, Rie = Riemann @ g , X D;
RiccT = Table B â Rie P Σ , Μ, Σ , Ν T, 8Μ, 1, n <, 8Ν , 1, n <F; Simplify @ RiccT DF
n
Σ =1
RicciS@ g_ , X_ D := Block B8RiccT , RiccS<, RiccT = RicciT @ g , X D;
RiccS = â
n
â Inverse @ g DP Α , ΒT RiccT P Α , ΒT; Simplify @ RiccSDF
n
Α =1 Β =1
H* ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ******L
X = 8t, r , Θ , Φ <;
g = :8- 1, 0, 0, 0<, :0,
a @tD 2
1- Κ r2
, 0, 0> , :0, 0, a @tD 2 r 2 , 0> ,
:0, 0, 0, a @tD 2 r 2 Sin @ Θ D 2 > > ;
Figura 3.24: C´
odigo: Tensor de Einstein a partir de la m´etrica
De este c´
odigo pueden calcularse los s´ımbolos de Christoffel, el tensor de Riemann, el
tensor de Ricci, el escalar de Ricci, y finalmente el tensor Gαβ . Se emplea la m´etrica FLRW
(A)dS en el contexto cosmol´
ogico
180
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
general del elemento (3.8.7),
gαβ
= diag −1,
a2
, a2 r2 , a2 r2 sin2 θ
1 − κr2
(3.8.12)
en las coordenadas (t, r, θ, φ). Finalmente se obtiene que
κ + a˙ 2
a2
κ + a˙ 2 + 2a¨
a
=−
1 − kr2
G00 = 3
(3.8.13a)
G11
(3.8.13b)
G22 = −r2 κ + a˙ 2 + 2a¨
a
G33
= −r2 sin2 θ κ + a˙ 2 + 2a¨
a
(3.8.13c)
(3.8.13d)
con todas las dem´
as componentes nulas. De aqu´ı es evidente que
κ + a˙ 2
a2
1
Gi j δij = g iα Gαi δij = − 2 κ + a˙ 2 + 2a¨
a
a
G0 0 = g 0α Gα0 = −3
(3.8.14a)
(3.8.14b)
y adem´as de (3.8.11),
T µ ν = diag(−ρ, p, p, p)
(3.8.15)
de modo que resulta conveniente (de forma equivalente, simplemente es m´as evidente)
escribir las ecuaciones de movimiento de Einstein como
Gµ ν = T µ ν
(3.8.16)
y las ecuaciones de Einstein se reducen a
2
a˙
+
a
2
a
¨
a˙
+
2 +
a
a
ρ
κ
=
a2
3
(3.8.17a)
κ
= −p
a2
(3.8.17b)
que a su vez pueden combinarse para producir la ecuaci´on independiente de la curvatura
1
a
¨
= − (ρ + 3p)
a
6
(3.8.18)
A (3.8.17a) junto con (3.8.18) suele llam´arsele las ecuaciones de Friedmann, o algunos autores le llaman ecuaci´
on de Friedmann a (3.8.17a) y a (3.8.18) ecuaci´
on de aceleraci´
on.
(A)dS en el contexto cosmol´
ogico
181
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
Recu´erdese ahora la interpretaci´on de a(τ ) como un factor que determina la escala total
de la m´etrica espacial en cada τ . Un resultado impresionante que se sigue de (3.8.18), es
que el universo no es est´
atico dados ρ, p > 0 para la materia ordinaria. Esto significa que
el universo est´
a expandi´endose si a˙ > 0 o contray´endose si a˙ < 0 y de modo tal que a en
el pasado sea m´
as peque˜
na hasta que en alg´
un momento a = 0 en donde las componentes
del tensor de curvatura divergen y se tiene una singularidad. De esto u
´ltimo se sigue la
interpretaci´
on del Big Bang, misma que es vigente, sin embargo desde hace algunos a˜
nos
se sabe que el universo de hecho se est´a expandiendo y no contrayendo ([2]).
Es bien conocida la an´ecdota de que Einstein se incomod´o con el resultado de un
universo que no es est´
atico e introdujo la constante cosmol´ogica Λ, desarrollando su famoso
universo est´
atico misma que luego llamar´ıa su m´as grande metida de pata. La idea se
desechar´ıa definitivamente hasta las observaciones hechas en [2]. Las ecuaciones de Einstein
con la modificaci´
on Λ pueden escribirse como
Gµν + Λgµν = Tµν
(3.8.19)
de donde se siguen soluciones an´
alogas con el t´ermino Λ, lo que puede cambiar el car´acter
de (3.8.18). La constante cosmol´
ogica seguido se interpreta como una presi´
on negativa
(aunque esto disgusta a m´
as de uno, incluyendo cosm´ologos) y puede incluirse por medio
de las transformaciones
ρ → ρ + Λ,
p→p−Λ
(3.8.20)
de hecho de inter´es aqu´ı ser´
au
´nicamente el caso en que el universo contiene u
´nicamente
(o est´a dominado por) Λ. De cualquier modo consideremos primero que (3.8.17a) puede
escribirse como,
ρa3 = 3a a˙ 2 + κ
(3.8.21)
ρa
˙ 3 + 3a2 aρ
˙ = 3a˙ a˙ 2 + κ + 2a¨
a
(3.8.22)
cuya derivada es
y tambi´en por (3.8.17b) se tiene que
− 3a2 ap
˙ = 3a˙ a˙ 2 + κ + 2a¨
a
(3.8.23)
a˙
ρ˙ + 3 (ρ + p) = 0
a
(3.8.24)
y entonces se sigue que
que es la misma ecuaci´
on que puede obtenerse por conservaci´on de energ´ıa-momento, i.e.
(A)dS en el contexto cosmol´
ogico
182
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
resolviendo
∇µ T µν = 0
(3.8.25)
que nuevamente empleando el c´
odigo escrito en Mathematica puede calcularse f´acilmente.
´ n de FLRW
3.8.4. (Anti)-de Sitter como solucio
Diversos problemas actuales muy activos en relaci´on a la llamada inflaci´
on cosmol´
ogica,
que b´asicamente se trata de un modelo que considera una etapa de expansi´on exponencial
en el universo temprano, generan este mecanismo por medio de algo que se comporta efectivamente como una constante cosmol´ogica. Lo que se busca es entonces hallar la soluci´on
de las ecuaciones de Friedmann cuando el t´ermino dominante es Λ.
Consideramos entonces las ecuaciones de Friedmann (3.8.17a) y (3.8.18), con ρ → ρ + Λ
y donde ρ = 0, i.e.
a˙ 2 = −κ +
a
¨=
Λ 2
a
3
(3.8.26a)
Λ
a
3
(3.8.26b)
de donde se sigue que si Λ < 0, u
´nicamente κ = −1 es posible. Obteniendo las soluciones
se podr´a justificar expl´ıcitamente que los espacios que se obtienen son (Anti)-de Sitter, por
ello recordemos las ec. (3.6.4) y (3.7.3), de modo que aqu´ı
Λ=±
Para Λ =
3
α2
3
α2
(3.8.27)
> 0, se tienen los siguientes casos:
X En general, de la ecuaci´
on de aceleraci´on (3.8.26b),
a
¨=
a
=⇒ a = A eτ /α + Be−τ /α
α2
(3.8.28)
y estableciendo a(0) = a0 y a(0)
˙
= a˙ 0 , se tiene que
A + B = a0
(3.8.29a)
A − B = α a˙ 0
(3.8.29b)
y finalmente
a(τ ) = a0 cosh
(A)dS en el contexto cosmol´
ogico
τ α
+ αa˙ 0 sinh
τ α
(3.8.30)
183
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
de donde, con la ecuaci´
on (3.8.26a) se podr´an fijar las constantes para cada κ.
X Para κ = 0, simplemente se tiene que
a˙ = ±
a
=⇒ a(τ ) = a0 e±τ /α
α
(3.8.31)
que respecto a (3.8.30) s´
olo debe satisfacer a0 = ±αa˙ 0 , lo que podemos simplemente fijar
arbitrariamente como a0 = 1, de modo que las m´etricas que describen el universo FLRW
es
ds2 = −dτ 2 + e±2τ /α ds2R3
(3.8.32)
que es precisamente dS4 en coordenadas planares (3.7.17), tomando en cuenta la relaci´on
entre ambas de τ → −τ .
X Para κ = ±1, se tiene la ec. (3.8.26a) de Friedmann,
a˙ 2 =
a2
∓1
α2
(3.8.33)
y una soluci´
on (de una rama de soluciones) est´a dada por
a(τ ) = a0 cosh
τ α
+
q
τ a20 ∓ α2 sinh
α
(3.8.34)
y considerando entonces tambi´en (3.8.30), se tiene que
p
a20 ∓ α2
a˙ 0 =
α
(3.8.35)
X Entonces para κ = 1, u
´nicamente se requiere en general que a0 ≥ α, entonces en el
caso m´as simple, a0 = α y la m´etrica que describe el universo FLRW es
2
2
2
2
ds = −dτ + α cosh τ
dr2
+ r2 dΩ2
1 − r2
(3.8.36)
que con el cambio r = sin ψ ≤ 1 puede escribirse en la forma expl´ıcita para S 3 ,
ds2 = −dτ 2 + α2 cosh2 τ dΩ23
(3.8.37)
y es precisamente la m´etrica para dS4 en coordenadas globales (3.7.6).
X Para κ = −1, el caso m´
as sencillo es simplemente a0 = 0, de modo entonces que la
(A)dS en el contexto cosmol´
ogico
184
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
m´etrica que describe el universo FLRW es
2
2
2
2
ds = −dτ + α sinh τ
dr2
+ r2 dΩ2
1 + r2
(3.8.38)
que puede ponerse en t´erminos expl´ıcitos para H3 empleando r = sinh ψ ∈ R,
ds2 = −dτ 2 + α2 sinh2 τ ds2H3
(3.8.39)
y que es precisamente la m´etrica para dS4 en coordenadas de foliaci´on hiperb´olica (3.7.32).
Esto significa que de hecho las tres m´etricas representan el espaciotiempo de de Sitter
dS4 en diversas coordenadas de foliaci´on de τ = cte, siendo R3 para κ = 0, S 3 para κ = 1 y
H3 para κ = −1. En cuanto a la interpretaci´on cosmol´ogica, las tres m´etricas exhiben una
expansi´on o contracci´
on exponencial para un universo temprano o tard´ıo. Adem´as para el
caso κ = 1, la m´etrica es de hecho la que cubre todo el espacio de de Sitter, de modo que
el comportamiento global de la soluci´on de de Sitter en esta m´etrica, a ∼ cosh τ nos da la
informaci´
on necesaria: Para τ → ±∞, el espacio S 3 tendr´a un radio infinito, contray´endose exponencialmente desde τ → ∞ hasta τ = 0 a S 3 (α) y expandi´endose nuevamente de
manera exponencial cuando τ → ∞. De manera an´
aloga ocurre en los otros dos casos; en
particular en κ = 0 se tiene que las dos m´etricas cubren ya sea el periodo de contracci´on o
expansi´on del universo para los signos negativo y positivo, respectivamente, y para κ = −1,
se puede ver (e.g. en [46]), que τ → 0 es simplemente una singularidad trivial de coordenadas.
Para Λ = − α32 < 0, como ya se ha mencionado, el u
´nico caso f´ısicamente posible es
κ = −1. En este caso la ecuaci´
on de aceleraci´on (3.8.26b) es
a
¨=−
a
α2
(3.8.40)
cuya soluci´
on general es simplemente
a(τ ) = a0 cos
τ α
+ α a˙ 0 sin
τ α
(3.8.41)
mientras que para la ec. (3.8.26a) de Friedmann,
a˙ 2 = 1 −
una soluci´
on es
a˙ 2
α2
τ
a(τ ) = α sin
+ arctan
α
(A)dS en el contexto cosmol´
ogico
(3.8.42)
a0
2
α − a20
(3.8.43)
185
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
De aqu´ı junto con (3.8.41), la soluci´on m´as simple es tal que a0 = 0. Es decir, simplemente
a(τ ) = α sin
τ (3.8.44)
α
lo que implica consistentemente que
a(τ
˙ ) = cos
τ
=⇒ a(0)
˙
= a˙ 0 = 1
α
(3.8.45)
De este modo, la m´etrica FLRW en este caso es
ds2 = −dτ 2 + α2 sin2
τ α
ds2H3
(3.8.46)
que es precisamente la m´etrica del espacio AdS4 en coordenadas de foliaci´on hiperb´olica o
justamente llamadas coordenadas cosmol´ogicas, (3.6.86). De manera an´aloga a como sucede
con dS4 , el valor τ → 0 es una singularidad trivial de las coordenadas (en [46] se puede ver
exactamente la raz´
on, aqu´ı se tendr´ıa que definir el llamado universo de Milne), adem´as de
que estas coordenadas no cubren completamente el espacio AdS4 . Por otra parte aunque
se emplee la cubierta universal, la escala espacial estar´a acotada.
La principal (o al menos la m´as popular) raz´on de que AdS no sea considerado un
buen candidato cosmol´
ogico es que el universo necesariamente tuvo que haberse expandido
exponencialmente y no contra´ıdo en una ´epoca de dominio de la constante cosmol´ogica,
lo que constituye una hip´
otesis clave de la inflaci´on cosmol´ogica [25], as´ı como que las
observaciones ([19]) apuntan a que actualmente existe una constante cosmol´ogica (debida
probablemente a la no observada a´
un materia obscura) que es positiva, que corresponde a
una expansi´
on y no una contracci´
on del universo.
(A)dS en el contexto cosmol´
ogico
186
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
3.9. Agujeros Negros en Anti-de Sitter: AdS-Schwarzschild
´ mica de Agujeros Negros
3.9.1. Termodina
Una caracter´ıstica impresionante de la Relatividad General es la predicci´on de Agujeros
Negros. Experimentalmente existen formas diversas de comprobar la existencia de Agujeros
Negros y se sabe que surgen del colapso o muerte de estrellas altamente masivas. En
t´erminos de la Relatividad General se distinguen dos tipos de soluciones para Agujeros
Negros:
X Soluciones estacionarias: La geometr´ıa del espaciotiempo no cambia en el tiempo
X Soluciones no-estacionarias: La geometr´ıa del espaciotiempo evoluciona en el tiempo
Resulta plausible resaltar esta distinci´on, dado que dentro de las soluciones estacionarias
a´
un podemos distinguir soluciones est´
aticas, o en las que no hay din´amica alguna (los
nombres pueden llegar a intercambiarse, el punto es saber a qu´e se hace referencia). Dentro
de estas soluciones estacionarias se tienen algunas de las m´as comunes:
Schwarzschild
Kerr
Kerr-Newman
Masa
Masa
Masa
Sin rotaci´
on
Rotaci´on
Rotaci´on
Sin carga
Sin carga
Carga
Por supuesto, por sus caracter´ısticas, la m´as sencilla (y la u
´nica est´
atica) es la de
Schwarzschild. Esta soluci´
on surge de hecho como una soluci´on cuya u
´nica caracter´ıstica es
poseer simetr´ıa esf´erica en el vac´ıo (es de hecho la u
´nica soluci´on por el llamado teorema de
Birkhoff, v´ease e.g. [24, 11, 6]) y suele emplearse para estudiar (al menos hasta cierto nivel)
estrellas y/o planetas. La soluci´
on de Schwarzschild es ya un tema com´
un en la bibliograf´ıa
introductoria a la Relatividad General; puede consultarse e.g. [24, 6, 11] para su derivaci´on;
´esta toma la forma
rs 2 rs −1 2
ds2 = − 1 −
dr + r2 dΩ2
dt + 1 −
r
r
(3.9.1)
en coordenadas esf´ericas, donde rs ≡ 2M (unidades G = c = 1) es el llamado radio de
Schwarzschild, con M la masa Newtoniana usual (v´ease que tanto M → 0 como r → ∞
lleva a R1,3 , como se esperar´ıa). De aqu´ı precisamente se define un Agujero Negro como
aqu´el objeto tal que su radio es menor que rs . Puede argumentarse e.g. como en [6] que
para cuerpos con simetr´ıa esf´erica que no son Agujeros Negros, de hecho rs = rs (r).
Este u
´ltimo hecho es relevante porque es evidente que la m´etrica (3.9.1), presenta singularidades en r = 0, rs ; esto no ocurre en estrellas o en general en cuerpos que no son
Agujeros Negros en Anti-de Sitter: AdS-Schwarzschild
187
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
Agujeros Negros. En [24] puede leerse un argumento del por qu´e r = rs es una singularidad
trivial o de coordenadas y puede remediarse eligiendo un sistema coordenado ´optimo, mientras que r = 0 es una singularidad que ocurre realmente en la soluci´on de Schwarzschild
en el sentido de que la m´etrica realmente no est´a definida all´ı. F´ısicamente significa que
existen geod´esicas que terminan en un par´ametro af´ın finito y que no pueden continuarse
m´as all´a de este punto r = 0.
El t´ermino rs es el llamado radio de Schwarzschild . Sabemos que podemos estudiar la
estructura causal de el espacio de Schwarzschild dibujando sus conos de luz y/o a trav´es de
diagramas de Penrose. Lo m´
as sencillo es trazar los conos de luz, i.e. trazar las geod´esicas
tipo luz tales que ds2 = 0. Si hacemos esto en las coordenadas originales de la m´etrica
(3.9.1), obtenemos que estas geod´esicas son tales que
± t = r + ln |r − rs |
(3.9.2)
t
y se ven como en la Figura 3.25.
rs
r
Figura 3.25: Conos de luz en la soluci´
on de Schwarzschild
El problema con la visualizaci´
on en estas coordenadas, es que aparentemente los rayos
de luz no alcanzan el radio de Schwarzschild. Esto en realidad no sucede y los rayos de luz
pueden cruzar sin problemas la l´ınea r = rs (como puede verse pasando a alg´
un sistema
coordenado conveniente), sin embargo lo realmente importante es que las regiones r ≤ rs
y r > rs est´
an causalmente desconectadas yendo de la segunda a la primera, ya que tanto
un rayo de luz, como una part´ıcula masiva, una vez que se encuentra en la regi´on r ≤ rs ,
no puede volver a r > rs (ya se ha aparecido esta situaci´on antes, v´ease la Figura 2.15).
´
Esta
y otras caracter´ısticas de los Agujeros Negros los vuelven sumamente interesantes
en la Relatividad General, de cualquier modo quiz´a la caracter´ıstica m´as sorprendente de
Agujeros Negros en Anti-de Sitter: AdS-Schwarzschild
188
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
los Agujeros Negros, es que exhiben propiedades termodin´amicas. Cuenta la historia que
alrededor del a˜
no 1970, el f´ısico estadounidense John A. Wheeler (el responsable tambi´en
de popularizar el t´ermino Agujero Negro o Black Hole) sugiri´o la pregunta:¿Qu´e sucede si
tiro una taza de t´e en un Agujero Negro? El meollo del asunto es qu´e es lo que pasa con la
entrop´ıa del t´e caliente, ¿acaso simplemente se pierde para siempre?
Ya antes se hab´ıa tenido indicaciones de que los Agujeros Negros presentaban propiedades termodin´
amicas u
´nicamente a partir de propiedades cl´asicas empleando la Relatividad
General, como el llamado teorema del ´
area, que se ver´a adelante y otras propiedades din´amicas que ten´ıan una perfecta analog´ıa con las leyes de la Termodin´amica Cl´asica. Uno de los
alumnos de Wheeler, llamado Jacob Bekenstein, pocos a˜
nos despu´es, junto con (de manera
independiente) Stephen Hawking obtendr´ıan el resultado
TH ≡
κ
,
2π
SBH ≡
A
4
(3.9.3)
(en unidades ~ = kB = c = G = 1) donde κ es la llamada gravedad de superficie y A es
el ´area superficial del Agujero Negro. Este resultado tiene gran relevancia, y vale la pena
notar que estas cantidades nos dan informaci´on acerca del Agujero Negro entero u
´nicamente conociendo su frontera. En cuanto a κ nos bastar´a pensarla como la aceleraci´on
debida a la gravedad experimentada por una part´ıcula de prueba (de masa despreciable)
en la superficie del Agujero Negro (en general en la superficie de cualquier objeto).
La definici´
on en el contexto de la Relatividad General puede basarse en la idea de un
horizonte de Killing, i.e. una hipersuperficie donde un vector de Killing V de la m´etrica se
anula. Para espaciotiempos estacionarios y asint´oticamente planos (i.e. que en infinito se
vuelven Minkowski), como Schwarzschild, el vector de Killing t-traslacional puede normalizarse tal que Vµ V µ = −1 en infinito. Dado que V µ Vµ = 0 en el horizonte de Killing y que
V es normal a este mismo horizonte, entonces ∇ν (V µ Vµ ) tambi´en es normal al horizonte,
de modo que ∇ν (V µ Vµ ) ∝ Vν o bien, de manera equivalente (empleando ∇ν (V µ Vµ ) = 0 y
la ec. de Killing ∇(µ Vν) = 0), existe alg´
un κ tal que
V µ ∇µ Vν = κVν
(3.9.4)
que es la gravedad de superficie, adem´as, por el llamado teorema de Fr¨obenius (v´ease [21]),
se tiene que tambi´en en el horizonte,
V[µ ∇ν Vσ] = 0
Agujeros Negros en Anti-de Sitter: AdS-Schwarzschild
(3.9.5)
189
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
y finalmente contrayendo esta u
´ltima ecuaci´on con ∇µ V ν y usando la ec. de Killing, se
obtiene finalmente que
1
κ2 = − (∇µ V ν )(∇µ Vν )
2
(3.9.6)
En el caso de espacios esf´ericamente sim´etricos y est´aticos es relativamente sencillo
calcular la gravedad de superficie. Consideremos en general toda m´etrica de la forma
ds2 = gtt (r)dt2 + grr (r)dr2 + r2 dΩ2
(3.9.7)
Sabemos que V = ∂t = (1, 0, 0, 0) es nuestro vector de Killing (n´otese que en efecto
V
µV
µ
r
∇ Vt
= −1 en r = rs , i.e. en el horizonte de Killing). Primero v´ease que s´olo los t´erminos
y ∇t V r (y la contraparte con ´ındices covariantes) contribuyen; para ello se necesitan
las conexiones
1
Γt rt = g tt (∂r gtt ),
2
1
Γr tt = − g rr (∂r gtt )
2
(3.9.8)
de donde se sigue que (usando que g αα = (gαα )−1 en este caso),
∂r gtt
2gtt grr
∂r gtt
=−
2gtt grr
∇r V t = g rr Γt rt =
(3.9.9a)
∇t V r = g tt Γr tt
(3.9.9b)
es decir, ∇r V t = −∇t V r , lo que ya se sab´ıa, siendo V = ∂t un vector de Killing. As´ı entonces, finalmente
κ2 = −
1
(−∂r gtt )2
∇t V r ∇t Vr + ∇r V t ∇r Vt =
2
−4(gtt grr )3
(3.9.10)
lo que nos da como resultado para Schwarzschild (siendo rs el radio del horizonte de Killing),
κ2 = l´ım
r→rs
1 rs 2
1
1
1
= 2 =⇒ κ =
=
2
4 r
4rs
2rs
4M
(3.9.11)
Esto es, la temperatura y la entrop´ıa de un Agujero Negro tipo Schwarzschild est´an
dados por
TH =
1
,
8πM
SBH = πrs2
(3.9.12)
Como se mencion´
o, ya antes se hab´ıan hallado algunos resultados como el llamado
teorema de no pelo, que afirma que cl´asicamente un observador externo s´olo puede medir
masa, carga y momento angular de un Agujero Negro, i.e. que no parece haber grados
de libertad para tomar en cuenta Entrop´ıa o Temperatura, pero estas c´elebres relaciones
halladas por Hawking y Bekenstein arrojaban nueva luz sobre la ahora no solo din´
amica,
Agujeros Negros en Anti-de Sitter: AdS-Schwarzschild
190
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
sino propiamente Termodin´
amica de Agujeros Negros. De aqu´ı entonces, en analog´ıa con las
leyes de la Termodin´
amica Cl´
asica, se justificaron las llamadas Leyes de la Termodin´
amica
de los Agujeros Negros (antes halladas s´olo como propiedades din´amicas), que afirman que
0. En el horizonte de eventos la gravedad de superficie κ se mantiene constante.
1. Conservaci´
on de masa (energ´ıa)
dM =
κ
dA + Ω dJ + Φ dQ
8π
en el caso de Schwarzschild simplemente dM =
dA
32πM
(3.9.13)
(en analog´ıa con dE = T dS).
2. Teorema del ´
area (Hawking): Para Agujeros Negros con singularidades no-desnudas
(con horizonte de eventos) y energ´ıa total positiva (materia ordinaria dominante), el
´area de un Agujero Negro nunca disminuye.
3. No puede reducirse a cero la gravedad de superficie κ en un n´
umero finito de pasos.
Adem´
as de esto, es bien conocido ya el resultado de Stephen Hawking acerca de que
los Agujeros Negros en realidad emiten radiaci´on infrarroja con temperatura TH . En la
actualidad este tipo de cuestiones son tema de investigaci´on de gran relevancia, siendo que
presentan varias problem´
aticas si uno se queda u
´nicamente con la imagen cl´asica.
De cualquier modo, para lo que nos interesa, se debe notar
que el calor espec´ıfico de
∂M
< 0. Esto lo vuelve
un Agujero Negro de Schwarzschild es negativo, i.e. CV = ∂T
H
termodin´
amicamente inestable, de modo que al estar en equilibrio t´ermico, ante una fluctuaci´on negativa de temperatura, la masa aumentar´a absorbiendo mayor radiaci´on de la
que emite, se enfriar´
a y as´ı crecer´
a indefinidamente, mientras que una fluctuaci´on positiva
de temperatura har´
a que el Agujero Negro emita radiaci´on y pierda masa, incrementando
m´as su temperatura y disminuyendo su masa indefinidamente hasta que se evaporar´a.
´ n AdS-Schwarzschild
3.9.2. La solucio
Una forma de deshacerse de esta inestabilidad es disponer el Agujero Negro de Schwarzschild en una caja ([27]). Pues resulta que AdSn es de hecho una caja sofisticada, ya
que tiene una energ´ıa finita y puede pensarse como que tiene una barrera de potencial
infinita en el infinito asint´
otico.
Por teorema de Noether, en AdS la energ´ıa es una carga conservada, E = −Pµ V µ (el
signo negativo es simplemente por consistencia, de cualquier modo siempre se le puede
cargar a E que es constante); en este caso nos interesa la energ´ıa Eloc medida por un
Agujeros Negros en Anti-de Sitter: AdS-Schwarzschild
191
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
observador local (es decir, que localmente est´a en un sistema plano) est´atico, en donde
tendr´ıamos simplemente que P = (E, ~0) y V = (1, ~0). Lo que nos interesa es encontrar esta
relaci´on para este observador en el sistema global de coordenadas de AdS (esf´ericas).
Consid´erense los vectores transformados p y v. Primero empleemos la condici´on de
normalizaci´
on v µ vµ = −1 y el hecho de que el observador es est´atico tambi´en en el sistema
√
global de AdS, i.e. v = (v t , ~0), esto implica que v t = 1/ −gtt , entonces en este sistema
coordenado,
Eloc = −pµ v µ = −gµν pµ v ν =
√
−gtt pt
(3.9.14)
Ahora bien, en el sistema del observador local est´atico simplemente pt = mt˙ con m
la masa de la part´ıcula (el observador), que podemos llevar a la forma en coordenadas de
0
AdS sabiendo que P t = gtt t˙ = −E en AdS, de modo que pt = −mE/gtt ≡ − E
ı,
gtt y as´
E0
Eloc (r) = p
−gtt (r)
(3.9.15)
de donde se lee que la energ´ıa medida por un observador local en alg´
un punto r tiene un
corrimiento al rojo (debido al campo gravitacional) respecto a la energ´ıa E0 . En [48] se
escribe E0 como E∞ , sin embargo la notaci´on se antoja un poco desafortunada, ya que
´esta es la energ´ıa medida por un observador local est´atico en r = 0; la notaci´on probablemente proviene de la interpretaci´on de ser la energ´ıa medida por un observador alejado
infinitamente del campo gravitacional del espacio, lo que resulta u
´til e.g. en Schwarzschild,
donde E en efecto es la energ´ıa medida por un observador local est´atico en r → ∞, aqu´ı de
hecho Eloc → 0 cuando r → ∞, contrario a Schwarzschild, en donde Eloc → mE cuando
r → ∞ y Eloc → ∞ cuando r → rs , esto hace la gran diferencia para ver a AdS como una
caja. Aunque un fot´
on en AdS puede alcanzar el infinito conforme, ´este a su vez sufre un
corrimiento al rojo infinito. N´
otese tambi´en que los vectores de momento y de velocidad
(i.e. el vector de Killing transformado) se recuperan para el caso local en AdS con r = 0 y
en Schwarzschild con r → ∞. Como se ver´a adelante, pueden construirse estados t´ermicos
en AdS identificando peri´
odicamente una coordenada de tiempo imaginaria con periodo
τ0 = T −1 . Esto significa entonces que (3.9.15) puede escribirse tambi´en como Tloc =
√T
−gtt
y que la energ´ıa total de la radiaci´on t´ermica en AdS es finita sin necesidad de encerrarla
en una caja.
As´ı entonces la idea es que partiendo de una m´etrica esf´ericamente sim´etrica en forma
de Schwarzschild,
ds2 = −f (r) dt2 + f −1 (r) dr2 + r2 dΩ2
(3.9.16)
uno puede tomar f tal que cerca del origen se tenga un espacio de Schwarzschild y asint´otiAgujeros Negros en Anti-de Sitter: AdS-Schwarzschild
192
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
camente se tenga AdS4 (para una obtenci´on m´as met´odica de esta m´etrica v´ease e.g. la
p.823 de [46]). Se puede definir entonces la m´etrica de AdS-Schwarzschild como
−1
rs
r2
rs
r2
dt2 + 1 + 2 −
ds2 = − 1 + 2 −
dr2 + r2 dΩ2
α
r
α
r
(3.9.17)
con α2 = − Λ3 por la ec. (3.6.4), y que en efecto se comporta como un Agujero Negro de
Schwarzschild para r peque˜
na y como AdS4 para r grande. Lo propio puede hacerse empleando de Sitter.
Luego entonces, tomando r = r+ el horizonte de eventos de AdS-Schwarzschild, i.e. la
ra´ız m´as grande de
V (r) ≡ 1 −
rs
r2
+ 2
r
α
se fija el valor de rs a
V (r+ ) = 0 =⇒ rs =
2)
r+ (α2 + r+
α2
(3.9.18)
(3.9.19)
De aqu´ı podemos calcular directamente la gravedad de superficie utilizando (3.9.10),
encontrando finalmente que
TBH =
2
α2 + 3r+
4πα2 r+
(3.9.20)
De cualquier modo, vale la pena hacerlo del siguiente modo, como se muestra en [48]. Al
ver la m´etrica cerca del horizonte, i.e. con r = r+ + 2 con || 1, para el orden dominante
en ,
V (r+ + 2 ) ≈
2
α2 + 3r+
2
α2 r+
(3.9.21)
y haciendo una rotaci´
on de Wick, τ = it, se sigue para la m´etrica AdS-Schwarzschild,
"
#
2
2 2
2r
α
+
3r
4α
+
+
2
ds2 = 2
2 dτ 2 + (r+ + 2 )2 dΩ2
2 d +
2α2 r+
α + 3r+
(3.9.22)
Aqu´ı puede resultar poco claro c´omo ver que necesariamente τ es peri´odica. El punto
es entender lo que significa que se tenga una singularidad c´onica. La idea es b´asicamente
que si τ tiene un cierto periodo β0 , el espacio se cubrir´a completamente, lo que no suceder´a necesariamente con cualquier otro valor; la analog´ıa que se utiliza en [48] es la de las
coordenadas polares ds2 = dr2 + r2 dθ2 , donde θ debe tener un periodo de 2π para corresponder a la m´etrica del plano, de otro modo se tiene un hueco del tipo de una rebanada
de pastel (Figura 3.26), lo que lleva a algo as´ı como un pico de un cono en las dimensiones
completas del espacio, lo que es la singularidad c´onica.
Agujeros Negros en Anti-de Sitter: AdS-Schwarzschild
193
Geometr´ıa y el espacio (A)dS
Figura 3.26: Ilustraci´
on de una singularidad c´
onica
En este caso es particularmente f´acil verificar cu´al es el periodo τ0 de τ , dado que el
t´ermino entre corchetes de la m´etrica AdS-Schwarzschild cerca del horizonte es an´aloga a
la del plano en coordenadas polares. Se debe satisfacer entonces que
2
α2 + 3r+
2α2 r+
τ0
Z
Z
dτ
0
r+
2
d = πr+
=⇒ τ0 =
0
4πα2 r+
2
α2 + 3r+
(3.9.23)
lo que en efecto recupera (3.27) como TBH = τ0−1 .
De aqu´ı entonces podemos ver que ha desaparecido el comportamiento monot´onico
de la temperatura respecto a la masa, que en el caso de Schwarzschild simplemente va
como M −1 . Para hacer esto, lo m´as sencillo es tomar un software simb´olico y encontrar
T BH
TBH = TBH (M ) y graficar; lo que se obtiene es la Figura 3.27.
T0
0
M0
M
Figura 3.27: Temperatura de un Agujero Negro AdS-Schwarzschild en t´erminos de su masa
2α
√
√3 3
−Λ
2π .
Esta temperatura tiene un m´ınimo en M ≡ M0 =
en r ≡ r0 =
α
√
3
=
√1
−Λ
√
con valor de T0 =
3
2πα
=
=
√2 ,
3 −Λ
o equivalentemente
En T < T0 no hay Agujeros
Negros y el espacio contiene u
´nicamente radiaci´on; en caso contrario, para M < M0 se
tienen Agujeros Negros en equilibrio termodin´amico inestable con la radiaci´on con calor
espec´ıfico CV < 0, mientras que para Agujeros Negros m´as masivos tales que M > M0 ,
´estos tienen CV > 0 y se tornan termodin´amicamente estables. Puede consultarse m´as
acerca de la muy abundante termodin´amica en AdS-Schwarzschild en [28] o bien en [48].
Agujeros Negros en Anti-de Sitter: AdS-Schwarzschild
194
4.
Conclusiones
En este trabajo se han presentado los elementos geom´etricos b´asicos de la geometr´ıa
de los espacios de (Anti)-de Sitter cl´asicos (en el sentido de que no se han incorporado
campos cu´
anticos o gravedad cu´
antica) para todo aqu´el estudiante de f´ısica o matem´aticas
que apenas est´e familiarizado con la Relatividad Especial. Este trabajo entonces puede ser
un buen pre´
ambulo para los lectores que decidan estudiar temas m´as avanzados.
La generalidad de conceptos tratados en los espacios de (Anti)-de Sitter, los hace sumamente u
´tiles en la f´ısica te´
orica y particularmente en e.g. teor´ıa de cuerdas, en la que
se tiene libertad y comodidad para trabajar con m´as de cuatro dimensiones. En particular las correspondencias del tipo AdS/CFT revivieron el inter´es por estos espacios y son
temas de gran inter´es en la f´ısica de frontera actual. Con los elementos aqu´ı presentados,
el lector tiene disponible la parte que concierne a la gravedad en esta dualidad; los temas
que pueden ser abordados luego para los interesados en AdS/CFT, son e.g. teor´ıa cu´antica
de campos y por supuesto teor´ıa de cuerdas.
El alcance del tema, de cualquier modo, es bastante amplio y tambi´en puede ser de
gran utilidad para aquellos interesados en Cosmolog´ıa o incluso en F´ısica-Matem´atica.
Cualquiera que sea el enfoque que se adquiera, la Relatividad General es una teor´ıa esencial
en la f´ısica, y los espacios (A)dS, que surgen como una soluci´on particular en la teor´ıa,
prometen aportar a´
un mucho m´
as en la frontera de la f´ısica misma.
195
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199
´Indice de figuras
1.1
Cono de luz en un diagrama de espaciotiempo de dos dimensiones espaciales . .
1.2
Diagrama de espaciotiempo en una dimensi´on espacial en el cual una part´ıcula se
11
mueve con velocidad v < c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.3
L´ınea de mundo de una part´ıcula acelerada. . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.4
Un boost como cambio de coordenadas respecto al ´angulo hiperb´olico φ . . . .
15
2.1
Curva cerrada simple por la que se transporta paralelamente un vector. . . . .
87
2.2
Esquema ilustrativo de curvatura y torsi´on en t´erminos de transporte paralelo . .
89
2.3
Suma de los ´
angulos internos de un tri´angulo esf´erico: Caso Particular . . . . . 102
2.4
Suma de los ´
angulos internos de un tri´angulo esf´erico: Caso General . . . . . . 102
2.5
Bi´angulos relacionados a un tri´angulo esf´erico . . . . . . . . . . . . . . . 103
2.6
Suma de ´
angulos interiores en un tri´angulo esf´erico igual a 2π . . . . . . . . 104
2.7
Suma de ´
angulos interiores en un tri´angulo esf´erico pr´acticamente igual a 3π . . 104
2.8
Curvas de nivel en una transformaci´on (x, y) → (µ, ν)
2.9
Circunferencia respecto al ´
angulo polar θ. . . . . . . . . . . . . . . . . 108
. . . . . . . . . . . 106
2.10 Bosquejo de la geometr´ıa determinada por (2.5.31). . . . . . . . . . . . . 109
2.11 Circunferencia respecto al ´
angulo polar θ con variaci´on . . . . . . . . . . . 110
2.12 Conos de luz en el espacio-tiempo (v, x). . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
2.13 Conos de luz en el espacio-tiempo (v, x) para α = β = 0. . . . . . . . . . . 114
2.15 Regiones con separaci´
on local temporaloide respecto a . . . . . . . . . . . 115
2.16 Superficie dos dimensional con la misma geometr´ıa intr´ınseca de . . . . . . . 122
2.17 L´ıneas µ = constante, ν = constante con φ = 0. . . . . . . . . . . . . . . 125
3.1
Mapeos de variedades: pullback y pushforward . . . . . . . . . . . . . . 130
3.2
Curvas integrales de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.3
AdS visualizado en un espacio plano 3-dimensional
3.4
Circle Limit III de M.C. Escher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
200
. . . . . . . . . . . . 143
3.5
Coordenadas de cono de luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.6
C´odigo: Diagrama de Penrose del espacio de Minkowski . . . . . . . . . . . 148
3.7
Diagrama de Penrose del espacio de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . 148
3.8
Infinitos conformes en el diagrama de Penrose del espacio de Minkowski . . . . 149
3.9
Esquematizaci´
on de una cubierta universal . . . . . . . . . . . . . . . . 150
3.10 AdSn como un cil´ındro s´
olido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
3.11 Diagrama de Penrose del espacio AdSn . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
3.12 Diagrama de Penrose: Geod´esicas en AdSn . . . . . . . . . . . . . . . . 156
3.13 Diagrama de Penrose de AdS2 en coordenadas de Poincar´e . . . . . . . . . 160
3.14 Parche de Poincar´e de AdSn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
3.15 Espacio de de Sitter: diagrama de Penrose e hiperboloide . . . . . . . . . . 168
3.16 Horizonte de eventos y de part´ıculas para un observador causal en dSn . . . . . 168
3.17 Diamantes causales en dSn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
3.18 Regi´
on que cubre las coordenadas de foliaci´on de de Sitter. . . . . . . . . . 170
3.19 Diagrama de Penrose para dSn en coordenadas de foliaci´on de de Sitter . . . . 171
3.20 Coordenadas planares: diagrama de Penrose y regi´on del hiperboloide . . . . . 172
3.21 Coordenadas est´
aticas: Diagrama de Penrose y regi´on del hiperboloide . . . . . 173
3.22 Foliaci´
on hiperb´
olica de dSn : Diagrama de Penrose y regi´on del hiperboloide . . 175
3.23 Esquematizaci´
on de la diferencia entre homogeneidad e isotrop´ıa . . . . . . . 176
3.24 C´odigo: Tensor de Einstein a partir de la m´etrica . . . . . . . . . . . . . 180
3.25 Conos de luz en la soluci´
on de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . 188
3.26 Singularidad C´
onica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
3.27 Temperatura de un Agujero Negro AdS-Schwarzschild en t´erminos de su masa. . 194
201
´Indice Alfabe
´tico
A
cono de luz, 11
aceleraci´
on en Relatividad Especial, 12,
constante cosmol´ogica, 99, 182
21
contracci´on de longitud, 18
acoplamiento minimal, 36
contracci´on de un tensor, 7
agujeros negros, 149, 187
convenci´on de notaci´on, 2
AdS-Schwarzschild, 193
´ındices, 10
entrop´ıa, 189
convenci´on de suma, 3
Schwarzschild, 187, 190
coordenadas
temperatura, 189
conformes, 151, 167
Albert Einstein, 1, 95
de Brinkmann, 161
Anti-de Sitter
de cono de luz, 145, 161
corrimiento al rojo, 192
de foliaci´on de Anti-de Sitter, 157
diagrama de Penrose, 152, 159
de foliaci´on de de Sitter, 169
encajamiento, 142
de foliaci´on hiperb´olica, 165, 175,
frontera conforme, 151, 153
185
geod´esicas, 153, 155
de Poincar´e, 157
parche de Poincar´e, 157
est´aticas, 172
simetr´ıa, 142
globales, 149, 150, 167, 184
topolog´ıa, 143
planares, 171, 184
visualizaci´
on, 143
cuadrivector de
antimateria, 33, 36, 37
corriente, 29, 35
fuerza, 20
B
momento, 19
big bang, 177, 182
potencial, 32
boosts, 15, 140
velocidad, 19
cubierta universal, 150, 159, 162
curva integral, 132
C
campo
de Killing, 137, 153, 189
D
de materia, 96
David Hilbert, 95
escalar real, 94
de Sitter
causalidad local, 96
diagrama de Penrose, 167
conexi´on af´ın, 81
encajamiento, 141
conexi´on de Levi-Civita, 86
estructura causal, 167
202
Schr¨odinger, 33
topolog´ıa, 143
efecto Doppler relativista, 23
visualizaci´
on, 166
encajamiento, 79
delta de Kronecker, 5
esfera S n , 141
densidad
de momento conjugado, 93
encaje, 141
Hamiltoniana, 94
energ´ıa de vac´ıo, v´ease constante
cosmol´ogica
Lagrangiana, 92, 94
energ´ıa relativista, 20
derivada covariante
escalar de curvatura de Ricci, 91
de un escalar, 82
espacio vectorial
derivada covariante de
covectores, 82
cotangente, 79
cualquier tensor, 83
tangente, 79
espaciotiempo, 9
vectores, 81
AdS-Schwarzschild, v´ease agujeros
derivada de Lie, 133
negros
de 1-formas, 135
de cualquier campo tensorial, 136
de Sitter, 141
de un campo escalar, 134
geod´esicamente completo, 154
de un campo vectorial, 134
globalmente hiperb´olico, 154
m´aximamente sim´etrico, 138, 177,
diagrama de espaciotiempo, 10
178
diagramas de Penrose, 144
plano o de Minkowski, 10
de AdSn , 152, 159
evento, 9
de Minkowski, 147
difeomorfismo, 132, 133
y transformaci´
on de coordenadas,
F
132
factor de escala, 179
dilataci´on temporal, 17
fluido perfecto, 179
divergencia de un vector, 82
formalismo ADM, 94
fotones, 23
frontera conforme, v´ease infinito
E
conforme
ecuaci´on de
fuerza de Minkowski, 30
continuidad, 35
Dirac, 37
Einstein, 98, 176
G
Euler-Lagrange, 93, 95
geod´esica, 84, 163
Friedmann, 181
gravedad de superficie, 189
esf´ericamente sim´etrico y est´atico,
Klein-Gordon, 33, 34, 95
190
la geod´esica, 84, 163
grupo de
Maxwell (forma covariante), 30, 33
203
modelo FLRW, 101, 176
Eucl´ıdeo, 141
Lorentz, 14, 140
Poincar´e, 14
O
SO(p,q), 141
operador d’Alembertiano, 32, 34
H
P
horizonte de Killing, 189
par´ametro af´ın, 23, 85, 153
horizonte de Poincar´e, 159
paradoja de Klein, 36
parche de Poincar´e, 159
partes sim´etrica y antisim´etrica de un
I
tensor, 7
identidades de Bianchi, 91
periodo imaginario, 193
index
postulados de la Relatividad Especial, 1
espaciotiempo
principio de equivalencia, 78, 96
de Schwarzschild, 187
producto
´ındice mudo, 3
infinito conforme, 148
Cartesiano y tensorial, 79, 80, 143
inflaci´on cosmol´
ogica, 183, 186
externo de tensores, 7
Invariantentheorie, 2
interno de tensores, 7
isometr´ıa, v´ease transformaci´
on de
pullback, 129
simetr´ıa
pushforward, 130
L
R
l´ınea de mundo, 9, 19
radio de Schwarzschild, 188
Laplaciano de un escalar, 82
rapidity, 15
leyes de la termodin´
amica de agujeros
regla relativista de adici´on de
negros, 191
velocidades, 18
rotaci´on de Wick, 167, 193
M
m´etrica, 8, 80
S
condici´
on de compatibilidad, 85, 136
s´ımbolo de Levi-Civita, 5, 32
de Lorentz, 81
s´ımbolos de Christoffel, 86
de Minkowski, 10
separaci´on espaciotemporal, 11
esfera
S 2,
122
singularidad
isomorfismo, 8, 80
c´onica, 193
signatura, 28, 81
desnuda, v´ease leyes de la
subir y bajar ´ındices, 8, 80
termodin´amica de agujeros
mar de Dirac, 37
negros
204
transformaci´on
en FLRW, v´ease big bang
horizonte, 188, 189, 193
conforme, 144, 151
teoremas de Penrose-Hawking, 154
de Lorentz, 13
trivial, 167, 185
de simetr´ıa, 132
superficie de Cauchy, 93, 154
del Campo Electromagn´etico, 27
transporte paralelo, 83, 163
T
tensor de
U
campo electromagn´etico, 28
unidades naturales, 10
curvatura de Riemann, 88
universo est´atico de Einstein, 146, 167,
componentes de, 90
182
Einstein, 91
energ´ıa-momento, 96, 99, 179
V
Ricci, 91
variedad diferenciable, 78
tensor mixto, 5, 80
Riemanniana y
teor´ıa cl´
asica de campo, 92
pseudo-Riemanniana, 80
acci´
on, 92
vector contravariante, 3, 79
acci´
on de Hilbert, 97
teorema del ´
area, 189
vector covariante, 4, 80
tiempo propio, 12, 19, 179
vector de Killing, v´ease campos de
Killing
topolog´ıa de una variedad, 79
torsi´on
condici´
on de no-, 86
W
tensor de, 86, 89
Willem de-Sitter, 100
205