PRACTICO DE VECTORES 1. Dada la siguiente figura, se pide determinar vectores utilizando los vértices. Por ejemplo, el vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , el vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , etcétera. Se pide indicar a. Tres vectores que tengan la misma dirección b. Un par de vectores que tengan igual dirección y sentido, pero distinto módulo c. Un par de vectores que tengan igual dirección y sentidos opuestos d. Un par de vectores colineales (es decir ubicados sobre la misma recta) y de igual sentido e. Todos los vectores que tengan igual dirección que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , pero sentido opuesto f. Un par de vectores que tengan igual módulo, pero distinta dirección g. ¿Hay vectores en el gráfico que tengan la misma dirección, sentido y módulo? En caso afirmativo, dar ejemplos. 2. Cada una de las siguientes figuras, representa dos lados de un paralelogramo. a. Dibujar los paralelogramos completos, señalar los vértices con letras. 1 b. Dar en cada caso, tres pares de vectores definidos en el gráfico con los vértices de los paralelogramos, que tengan:  Igual dirección  Igual módulo  Igual sentido  Sentidos opuestos  Igual módulo y distinta dirección  Igual dirección, sentido y módulo. 3. ¿Cuántos vectores necesita para definir un cuadrilátero? ¿qué característica deben cumplir los vectores para que el cuadrilátero sea un paralelogramo? 4. Dibujar un paralelogramo ABCD; señalar con O el punto de intersección de sus diagonales; con I, el punto medio del lado AB, y con K, el punto medio de BC. Hallar los siguientes puntos: (Es decir, el resultado de trasladar el punto A según el vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗  Explicar las respuestas anteriores utilizando la idea de equipolencia. Por ejemplo, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , porque ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 5. Las partículas M, N, R, S y T se desplazan en un sistema de coordenadas. Cada una efectúa dos movimientos en línea recta: el primero, en dirección horizontal, y a continuación en dirección vertical. La cantidad de unidades que se desplazan se señalara con números, cuyos signos indicaran el sentido de desplazamientos Desplazamiento: Horizontal: hacia la derecha (+), hacia la izquierda (-) Vertical: hacia arriba (+), hacia abajo (-) Ejemplo 2 a. Completar la tabla, graficando los movimientos de la partículas en un sistema de coordenadas cartesianas, señalando en el gráfico los vectores de desplazamiento de cada partícula, según el ejemplo. Partícula Posición inicial Desp. horizontal Desp. vertical M +4 -2 N +2 +3 R -3 .1 S -5 +4 T ….. …….. Posición final b. Para cada vector de desplazamiento, graficar un vector que sea equipolente y tenga origen en (0,0). Después completar la tabla Partícula Vector de desplaz. origen extremo Vector equipolente Origen M (0,0) N (0,0) R (0,0) S (0,0) T (0,0) extremo 6. a. En un sistema de coordenadas cartesianas, graficar los vectores ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ y ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ donde , , y b. Se sabe que ⃗⃗⃗ tiene origen en (0,0) y que ⃗⃗⃗ . ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Determinar las coordenadas del extremo de ⃗⃗⃗ . c. Si ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ y d. Si ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ y ⃗ tiene origen en (0,0), hallar las coordenadas de su extremo. e. Si ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ y , hallar las coordenadas de R. , hallar las coordenadas de S. 7. a. Representar el vector ⃗ . Dibujar y dar las coordenadas del origen y del extremo de tres vectores cuyo representante canónico sea ⃗ . b. ⃗⃗⃗ es el representante canónico de ⃗⃗⃗⃗⃗ , donde . Determinar las coordenadas de 3 es el representante canónico de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , donde c. ⃗ y . ¿Cuáles son los valores de a y b? 8. A partir de los datos, hallar lo pedido. |⃗ | Hallar , |⃗ | , . Hallar , . Hallar |⃗ | 9. a. De un vector ⃗ se sabe que |⃗ | Hallar . Determinar y , , |⃗ | y las coordenadas polares de ⃗ . b. Si |⃗⃗⃗ | y , hallar las coordenadas cartesianas y polares de ⃗⃗⃗ . 10. i. Realizar la suma geométricamente y analíticamente para los siguientes vectores a. b. c. d. , e. ii. Realizar la resta de los siguientes vectores para el caso de los vectores dados en la parte i. (analítica y gráficamente) 4 11. a. Un punto A del plano se desplaza a B por la traslación del vector se desplaza a C, según la traslación del vector . Luego B : ¿Cuál es el vector de traslación que permite trasladar A hasta C directamente?. Dar sus coordenadas y representar los 3 vectores en el mismo sistema. b. Un punto P del plano se desplaza hasta Q según la traslación del vector . Luego, Q se desplaza hasta R según la traslación del vector . El vector permite trasladar directamente P hasta R. ¿Cuáles son las coordenadas de ? Representar los 3 vectores en el mismo sistema. c. El punto D se traslada hasta D” con dos traslaciones sucesivas de vectores y , respectivamente. El vector que permite desplazar directamente D hasta D” es ¿Cuáles pueden ser las coordenadas de . y ? Representar gráficamente los tres vectores. ¿Hay otras respuestas posibles ?¿Por qué? 12. El vector un ángulo de 13. Sea ⁄ , y forma con el semieje positivo de las x representa una velocidad de : Representar gráficamente y dar las coordenadas polares de los vectores una fuerza de 14kg aplicada en el punto (0,0), en dirección vertical hacia abajo. Representar gráficamente y dar las coordenadas polares de los vectores , , ; . 14. En un sistema de coordenadas cartesianas, se representan las fuerzas y , con origen en (0,0). tiene una intensidad de 2 kg, dirección horizontal y sentido del semieje x positivo. tiene una intensidad de 3 kg, dirección vertical y sentido del semieje y positivo. Representar gráficamente las siguientes fuerzas y determinar sus coordenadas , , 2. , 15. Demostrar para , ( ), ( )y ( ) las propiedades de la suma de vectores y la de multiplicación de un escalar por un vector. 16. Si un niño que pesa 20 kg se tira por un tobogán que forma un ángulo de con el piso ¿Cuál es la intensidad de la fuerza que lo hace deslizar por el tobogán? ¿Y la de la fuerza que actúa perpendicularmente al plano del mismo? Indicamos con la fuerza de deslizamiento, con la fuerza perpendicular al plano, p el peso del niño. 5 17. Encuentre la medida del ángulo ABC donde A = (4,3), B = (1,-1) y C = (6,-4). Realice una representación gráfica. 18. Encuentre el coseno del ángulo comprendido entre ⃗ ⃗ a. ⃗ b. ⃗ 19. Encuentre un vector unitario ⃗ en la dirección de ⃗ y expréselo en la forma de los vectores bases a. ⃗ b. ⃗ c. ⃗ 20. Demuestre las propiedades del producto escalar. 21. Si ⃗ ⃗ es perpendicular a ⃗ ⃗ ¿Qué se puede decir sobre las magnitudes relativas de ⃗ y⃗. 22. Demuestre que los siguientes vectores son ortogonales ⃗ a. ⃗ b. ⃗ √ ⃗ √ 23. Encuentre un vector que tenga sentido opuesto a 5i+12j y sea unitario. ⃗ 24. Para que valores de c son ortogonales los siguientes vectores ⃗ 25. Analizar el signo del producto escalar, Si los vectores son paralelos. 26. Encuentre la si a. b. 27. Demuestre que el área del paralelogramo cuyos lados adyacentes son y b es | | 28. Demuestre que el volumen del paralelepípedo que determinan tres vectores no colineales | b y c es 29. Si dos vectores y b , son perpendiculares a que es igual | ,⃗ 30. Sean ⃗ a. | b) y⃗ c) |. . Encuentre lo siguiente d) 31. Demuestre las propiedades de producto vectorial 6