Lección
50
Funciones II
Plano cartesiano
Un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas, llamado también plano cartesiano
o plano xy, está formado por dos rectas coordenadas perpendiculares (rectas reales,
usualmente una horizontal y la otra vertical), llamadas ejes coordenados, que se interceptan
en un punto llamado origen.
La recta horizontal se llama eje x y la recta vertical eje y. Generalmente se escoge la dirección
positiva del eje x hacia la derecha y la dirección positiva del eje y hacia arriba.
Los ejes con sus direcciones dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes (ver
figura 50.1).
Figura 50.1
A cada punto P del plano le corresponde una pareja de números reales (a, b), donde a es
el punto de corte sobre el eje x de la recta perpendicular a este eje, que pasa por el punto
(a, b), y b es el punto sobre el eje y del corte de la perpendicular a este eje, que pasa por
(a, b). Los números a y b se llaman componentes o coordenadas de (a, b) en x y en y
respectivamente.
239
Recíprocamente, todo par ordenado (a, b) se representa mediante un punto P que es la
intersección de las rectas perpendiculares a los ejes coordenados que pasan, por a en el eje
x, y por b en el eje y, respectivamente.
Es decir, los elementos de
R2 = {(x, y) | x ∈ R, y ∈ R}
están en correspondencia biunívoca con los puntos del plano cartesiano, y por ello escribimos
P = (a, b), en vez de “P es el punto cuyo par de coordenadas es (a, b)”.
Ejemplo 50.1
Ubique los puntos P = (−3, 4), Q = (−1, −2), R = (2, 5) y S = (3, −3) en el plano
cartesiano.
Solución
Para representar el punto P en el plano debemos movernos tres unidades a la izquierda con
respecto al origen y cuatro unidades hacia arriba en forma paralela al eje y. Notemos que el
punto P pertenece al segundo cuadrante.
Para representar el punto Q nos movemos una unidad a la izquierda con respecto al origen y dos unidades hacia abajo en forma paralela al eje y; el punto Q pertenece al tercer
cuadrante.
Para representar el punto R nos movemos dos unidades a la derecha con respecto al origen
y cinco unidades hacia arriba en forma paralela al eje y; el punto R pertenece al primer
cuadrante.
Finalmente, para representar el punto S nos movemos tres unidades a la derecha con respecto
al origen y tres unidades hacia abajo en forma paralela al eje y; el punto S pertenece al cuarto
cuadrante.
La figura 50.2 nos muestra la ubicación de estos puntos en el plano cartesiano.
Figura 50.2
240
Gráfica de una función
Definición
Si f es una función con dominio A, la gráfica de f es el conjunto de pares ordenados
{(x, f (x)) / x ∈ A} .
Se puede interpretar el valor de f (x) (cuando éste es positivo), en la gráfica, como la altura
de ésta arriba del punto x, como se ve en la figura 50.3
Figura 50.3
Observamos que la gráfica de f es un subconjunto del plano cartesiano R2 .
Prueba de la recta vertical
Una curva en el plano xy es la gráfica de una función si y sólo si ninguna recta vertical corta
la curva más de una vez.
Ejemplo 50.2
Consideremos las siguientes curvas de la figura 50.4, en el plano xy y veamos si corresponden
a gráficas de funciones.
241
(a) No corresponde a la grá- (b) No corresponde a la gráfica de (c) Sí corresponde a la gráfica de una función ya que
una función ya que existen recfica de una función ya
existen rectas verticales que
tas verticales que cortan la curva
que cualquier recta vertical
cortan la curva en dos punen tres puntos distintos.
corta la gráfica a lo sumo
tos distintos
en un punto.
Figura 50.4
Distancia
La distancia entre dos puntos P = (x1 , y1 ) y Q = (x2 , y2 ) del plano, denotada por d(P, Q),
es la longitud del segmento de recta que los une, y está dada por
d(P, Q) =
p
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 .
Ejemplo 50.3
¿Cuál de los puntos A = (−6, 3) ó B = (3, 0) está más cercano al punto C = (−2, 1)?
Solución
Calculamos la distancia de los puntos A y B al punto C
q
√
√
d(A, C) = (−6 − (−2))2 + (3 − 1)2 = 16 + 4 = 20 ,
p
√
√
d(B, C) = (3 − (−2))2 + (0 − 1)2 = 25 + 1 = 26.
Luego, d(A, C) < d(B, C), entonces el punto A está más cercano al punto C.
Ejercicios
√ 1
3
1. Ubique los puntos P = (2, −3), Q = − , 6 y S =
2,
en el plano cartesiano.
5
3
2. Dados los puntos en el plano cartesiano, de la figura 50.5, encuentre sus coordenadas.
242
Figura 50.5
3. ¿Cuáles de las curvas de la figura 50.6 representan la gráfica de una función?
(a)
(b)
(c)
Figura 50.6
4. Demuestre que el triángulo cuyos vértices son P = (−2, 1), Q = (1, 5) y S = (4, 1) es
un triángulo isósceles.
243
244