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Intensivkurs
Analysis
April 15
1. Eine Polynomfunktion 3. Grades hat im Ursprung einen Wendepunkt und geht durch
die Punkte A(−1|3) und B(2|0) .
a) Wie lautet die Funktionsgleichung?
b) Welche Gleichung hat die Wendetangente?
c) Wie gross ist die Gesamtfl¨ache, die durch den Graph der Polynomfunktion und den
Graph der Funktion p(x) = −2x + x2 begrenzt wird?
d) F¨
ur welchen x-Wert im Bereich −1 < x < 2 ist die y-Koordinatendifferenz der
beiden Kurven maximal? Wie gross ist diese maximale Differenz?
√
2. Die Kurve k mit der Gleichung y = (1−x) x bildet zwischen ihren Nullstellen zusammen
mit ihrem Spiegelbild k ′ eine zur x-Achse symmetrische Figur.
a) Bestimmen Sie den Definitionsbereich und die Nullstellen von k. Skizzieren Sie diese
symmetrische Figur.
b) Wie gross ist der Innenwinkel α der Figur bei der Spitze S (S ist die positive
Nullstelle)?
c) Bei der Rotation der Kurve k um die x-Achse entsteht ein 3-dimensionaler tropfenf¨
ormiger K¨
orper. Wie gross ist sein Volumen?
d) Welches ist die gr¨osste Breite (parallel zur y-Achse gemessen) des Tropfens?
e) Diesem K¨
orper wird ein Kreiskegel mit der Spitze im Ursprung und der H¨ohe h
auf der x-Achse einbeschrieben. F¨
ur welche H¨ohe h wird das Volumen des Kegels
maximal?
3. Eine ebene 400m-Bahn soll so angelegt werden, dass sie ein Rechteck mit zwei Halbkreisen begrenzt, wobei die Halbkreise den gegen¨
uberliegenden Rechteckseiten angesetzt
sind. Wie gross muss der Kreisradius x und wie lang ein gerades St¨
uck l zwischen den
Kurven sein, wenn das Rechteck (Fussballfeld) maximalen Fl¨acheninhalt haben soll?
4. Betrachten Sie offene zylindrische Beh¨alter mit einem Volumen von 100 Liter. Gesucht
ist der Radius und die H¨ohe des Zylinders, der am wenigsten Material f¨
ur die Oberfl¨ache
verbraucht.
5. Im Punkt B in der folgende Graphik befindet sich ein Ruderboot. Es ist 5 km vom Uferpunkt A entfernt. AC ist ein gerader sandiger Strand der L¨ange 6 km. Peter erreicht beim
Rudern eine Geschwindigkeit von 8 km/h. Seine Laufgeschwindigkeit auf dem Standst¨
uck
betr¨
agt 17 km/h. Nehmen Sie an, dass Peter direkt von B zum Uferpunkt X rudert,
wobei X ein Punkte auf dem Geraden Sandstrand AC ist. Es sei AX = x.
a) Es sei T (x) die totale Zeit (in Stunden), die Peter ben¨otigt, um von B nach X zu
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rudern und anschliessend dem Strand entlang nach C zu rennen. Zeigen Sie dass,
√
2
f¨
ur T (x) gilt: T (x) = x 8+25 + 6−x
17
b) Gesucht ist x so dass T ′ (x) = 0. Was bedeutet dieser Wert? Begr¨
unden Sie ihre
Antwort.
6. Gegeben ist die Funktion f (x) =
x2
x
.
+1
a) Diskutiere die Funktion f (x) . Verlangt sind Definitionsbereich, Symmetrie, Nullstellen, Asymptoten, Extremal- und Wendepunkte. Skizziere den Graphen der Funktion.
b) Der Punkt A sei die Nullstelle der Funktion und der Punkt B der Wendepunkt mit
positiver x-Koordinate. Der Punkt C liege zwischen A und B auf dem Graph von
f (x) . Bestimme C so, dass die Fl¨ache des Dreiecks ABC maximal wird.
1
c) Zeige, dass die Funktion F (x) = ln (x2 + 1)−11 eine Stammfunktion der Funktion
2
f (x) ist.
d) Der Graph von f (x) schliesst zusammen mit der positiven x-Achse und der Gerade
√
uck A ein. Das Fl¨achenst¨
uck A soll von der
x = 3 im 1. Quadranten ein Fl¨achenst¨
Gerade x = q halbiert werden. Wie ist q zu w¨ahlen?
e) Die in d) definierte Fl¨ache A soll um die
i. x-Achse
ii. y-Achse
gedreht werden. Berechnen Sie die Volumen Vx und Vy .
7. Gegeben ist die Funktion f (x) = t · x + e−x mit dem Parameter t > 0.
a) f (x) ist auf Extremal- und Wendestellen zu untersuchen. F¨
ur welche Werte von t
hat die Funktion an der Stelle x = 1 eine Extremalstelle?
b) Wie lautet die Tangentengleichung im Schnittpunkt S der Kurve von f (x) mit der
y-Achse? F¨
ur welchen Wert von t betr¨agt der Steigungswinkel dieser Tangente 45◦ ?
In welchem Punkt Q schneidet die Normale in S die x-Achse? F¨
ur welchen Wert
√
von t betr¨
agt die Entfernung zwischen S und Q 5 L¨angeneinheiten?
c) Die Kurve von f (x) mit t = 2 , die Geraden y = 2x, x = − ln 2 und x = b schliessen
eine Fl¨
ache A ein. Beachte dabei, dass die Gerade y = 2x die schiefe Asymptote der
gegebenen Funktion f (x) ist. Berechne den Inhalt der Fl¨ache A in Abh¨angigkeit
von b. Bestimme den Grenzwert lim A(b).
b→∞
d) Die Gerade x = t schneidet die Gerade y = t · x im Punkt D und die Kurve von
f (x) im Punkt E. F¨
ur welches t nimmt der Fl¨acheninhalt des Dreiecks DEF mit
F (0|0) einen Extremalwert an? Wie gross ist diese extremale Fl¨ache? Zeige, dass
es sich bei dieser Fl¨ache um ein Maximum handelt.
8. Gegeben ist die Funktion f (x) = (2x − 1) · eax , mit a ∈ R+
a) Gesucht sind die Nullstellen, Extremal- und Wendestellen der Funktion.
b) Wie gross ist die von x-Achse und der Kurve von f (x) begrenzte, unterhalb der
x-Achse liegende, ins Unendliche reichende Fl¨ache?
c) Es sei a = 3. F¨
ur welchen Wert von u (u < 0) hat das Dreieck mit den Eckpunkten
O(0|0), P (u|0) und Q(u|f (u)) maximale Fl¨ache?
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