Intensivkurs Analysis April 15 1. Eine Polynomfunktion 3. Grades hat im Ursprung einen Wendepunkt und geht durch die Punkte A(−1|3) und B(2|0) . a) Wie lautet die Funktionsgleichung? b) Welche Gleichung hat die Wendetangente? c) Wie gross ist die Gesamtfl¨ache, die durch den Graph der Polynomfunktion und den Graph der Funktion p(x) = −2x + x2 begrenzt wird? d) F¨ ur welchen x-Wert im Bereich −1 < x < 2 ist die y-Koordinatendifferenz der beiden Kurven maximal? Wie gross ist diese maximale Differenz? √ 2. Die Kurve k mit der Gleichung y = (1−x) x bildet zwischen ihren Nullstellen zusammen mit ihrem Spiegelbild k ′ eine zur x-Achse symmetrische Figur. a) Bestimmen Sie den Definitionsbereich und die Nullstellen von k. Skizzieren Sie diese symmetrische Figur. b) Wie gross ist der Innenwinkel α der Figur bei der Spitze S (S ist die positive Nullstelle)? c) Bei der Rotation der Kurve k um die x-Achse entsteht ein 3-dimensionaler tropfenf¨ ormiger K¨ orper. Wie gross ist sein Volumen? d) Welches ist die gr¨osste Breite (parallel zur y-Achse gemessen) des Tropfens? e) Diesem K¨ orper wird ein Kreiskegel mit der Spitze im Ursprung und der H¨ohe h auf der x-Achse einbeschrieben. F¨ ur welche H¨ohe h wird das Volumen des Kegels maximal? 3. Eine ebene 400m-Bahn soll so angelegt werden, dass sie ein Rechteck mit zwei Halbkreisen begrenzt, wobei die Halbkreise den gegen¨ uberliegenden Rechteckseiten angesetzt sind. Wie gross muss der Kreisradius x und wie lang ein gerades St¨ uck l zwischen den Kurven sein, wenn das Rechteck (Fussballfeld) maximalen Fl¨acheninhalt haben soll? 4. Betrachten Sie offene zylindrische Beh¨alter mit einem Volumen von 100 Liter. Gesucht ist der Radius und die H¨ohe des Zylinders, der am wenigsten Material f¨ ur die Oberfl¨ache verbraucht. 5. Im Punkt B in der folgende Graphik befindet sich ein Ruderboot. Es ist 5 km vom Uferpunkt A entfernt. AC ist ein gerader sandiger Strand der L¨ange 6 km. Peter erreicht beim Rudern eine Geschwindigkeit von 8 km/h. Seine Laufgeschwindigkeit auf dem Standst¨ uck betr¨ agt 17 km/h. Nehmen Sie an, dass Peter direkt von B zum Uferpunkt X rudert, wobei X ein Punkte auf dem Geraden Sandstrand AC ist. Es sei AX = x. a) Es sei T (x) die totale Zeit (in Stunden), die Peter ben¨otigt, um von B nach X zu Kantonsschule Baden 5400 Baden www.kanti-baden.ch rudern und anschliessend dem Strand entlang nach C zu rennen. Zeigen Sie dass, √ 2 f¨ ur T (x) gilt: T (x) = x 8+25 + 6−x 17 b) Gesucht ist x so dass T ′ (x) = 0. Was bedeutet dieser Wert? Begr¨ unden Sie ihre Antwort. 6. Gegeben ist die Funktion f (x) = x2 x . +1 a) Diskutiere die Funktion f (x) . Verlangt sind Definitionsbereich, Symmetrie, Nullstellen, Asymptoten, Extremal- und Wendepunkte. Skizziere den Graphen der Funktion. b) Der Punkt A sei die Nullstelle der Funktion und der Punkt B der Wendepunkt mit positiver x-Koordinate. Der Punkt C liege zwischen A und B auf dem Graph von f (x) . Bestimme C so, dass die Fl¨ache des Dreiecks ABC maximal wird. 1 c) Zeige, dass die Funktion F (x) = ln (x2 + 1)−11 eine Stammfunktion der Funktion 2 f (x) ist. d) Der Graph von f (x) schliesst zusammen mit der positiven x-Achse und der Gerade √ uck A ein. Das Fl¨achenst¨ uck A soll von der x = 3 im 1. Quadranten ein Fl¨achenst¨ Gerade x = q halbiert werden. Wie ist q zu w¨ahlen? e) Die in d) definierte Fl¨ache A soll um die i. x-Achse ii. y-Achse gedreht werden. Berechnen Sie die Volumen Vx und Vy . 7. Gegeben ist die Funktion f (x) = t · x + e−x mit dem Parameter t > 0. a) f (x) ist auf Extremal- und Wendestellen zu untersuchen. F¨ ur welche Werte von t hat die Funktion an der Stelle x = 1 eine Extremalstelle? b) Wie lautet die Tangentengleichung im Schnittpunkt S der Kurve von f (x) mit der y-Achse? F¨ ur welchen Wert von t betr¨agt der Steigungswinkel dieser Tangente 45◦ ? In welchem Punkt Q schneidet die Normale in S die x-Achse? F¨ ur welchen Wert √ von t betr¨ agt die Entfernung zwischen S und Q 5 L¨angeneinheiten? c) Die Kurve von f (x) mit t = 2 , die Geraden y = 2x, x = − ln 2 und x = b schliessen eine Fl¨ ache A ein. Beachte dabei, dass die Gerade y = 2x die schiefe Asymptote der gegebenen Funktion f (x) ist. Berechne den Inhalt der Fl¨ache A in Abh¨angigkeit von b. Bestimme den Grenzwert lim A(b). b→∞ d) Die Gerade x = t schneidet die Gerade y = t · x im Punkt D und die Kurve von f (x) im Punkt E. F¨ ur welches t nimmt der Fl¨acheninhalt des Dreiecks DEF mit F (0|0) einen Extremalwert an? Wie gross ist diese extremale Fl¨ache? Zeige, dass es sich bei dieser Fl¨ache um ein Maximum handelt. 8. Gegeben ist die Funktion f (x) = (2x − 1) · eax , mit a ∈ R+ a) Gesucht sind die Nullstellen, Extremal- und Wendestellen der Funktion. b) Wie gross ist die von x-Achse und der Kurve von f (x) begrenzte, unterhalb der x-Achse liegende, ins Unendliche reichende Fl¨ache? c) Es sei a = 3. F¨ ur welchen Wert von u (u < 0) hat das Dreieck mit den Eckpunkten O(0|0), P (u|0) und Q(u|f (u)) maximale Fl¨ache? Kantonsschule Baden 5400 Baden www.kanti-baden.ch
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