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Boletín 2. Dinámica. Curso 2013-2014
T RABAJO Y E NERGÍA .
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Grado en Ingeniería de la Salud. Física I.
1. Un tren formado por la máquina y un vagón, unidos entre sí, circula a 100 km/h. La masa de la máquina
es de 15000 kg y la masa del vagón de 20000 kg. Cuando se aplican los frenos, el sistema de frenado puede
aproximarse como si actuara una fuerza de frenado constante de 25 kN sobre la máquina y de 25 kN sobre el
vagón. Calcular: (a) El tiempo requerido para que el tren se pare después de aplicar los frenos. (b) La fuerza
en el enganche entre los vagones cuando está frenando. [Nota: Cuidado con las fuerzas en el enganche, ya que si se
considera el tren en conjunto, son fuerzas internas y no hay que tomarlas en cuenta, pero si se considera la máquina y el
vagón por separados hay que tomarlas en cuenta, y deben de ser del mismo módulo y dirección, de sentidos contrarios,
y aplicadas una en la máquina y la otra en el vagón (tercera ley de Newton)].
2. Sobre un remolque de 50 kg se transporta una caja de 100 kg. Los coeficientes de rozamiento entre ambos
son µe =0.3 y µd =0.2, y el rozamiento entre el suelo y el remolque se puede considerar despreciable.
Determinar el rango de valores posibles de la fuerza F aplicada al
remolque, y su aceleración si: (a) El remolque y la caja se mueven
juntos. (b) Se mueven por separado, deslizando la caja sobre el remolque. Calcular también, en este caso, la aceleración de la caja.
(c) Si existiera rozamiento también entre el remolque y el suelo,
dibujar el diagrama de fuerzas del sistema.
3. Una esfera de masa m = 10 kg se sujeta al techo por medio de dos cuerdas AB y CD.
De pronto se parte la cuerda AB. Calcular: (a) La tensión en la cuerda CD antes de romperse AB. (b) La tensión en la cuerda CD y
la aceleración de la esfera después de haberse roto la cuerda AB.
(c) Cuando la cuerda se ha roto, determinar la aceleración tangencial y normal de la esfera.
4. Un piloto de 80 kg ejecuta con una avioneta un rizo de 125 m de radio.
Determinar la velocidad de la avioneta en los puntos A y B sabiendo que en
A el piloto experimenta la sensación de no tener peso, y en el punto B de
tener una masa de 275 kg.
5. Un bloque de masa m 1 = 250 g se encuentra en reposo sobre un plano
que forma un ángulo de 30◦ sobre la horizontal. El coeficiente de rozamiento dinámico entre el bloque y el plano es de 0.1. Este bloque está unido a
otro de masa m 2 = 200 g que cuelga libremente de una cuerda que pasa por
una polea sin rozamiento y de masa despreciable. Partiendo del reposo, el
sistema comienza a moverse, descendiendo el bloque 2. Calcular la velocidad del segundo bloque cuando ha caído 30 cm.
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6. Determinar la máxima velocidad con la que un coche puede tomar una curva de 100 m de radio si (a) la
carretera no está peraltada y el coeficiente de rozamiento estático entre los neumáticos y la carretera es de
µe =0.8. ¿Seguro que tenemos que emplear el coeficiente estático y no el dinámico? (b) La carretera está peraltada 15º y es lisa (no hay rozamiento). (c) La carretera está peraltada 15º y el coeficiente de rozamiento estático
entre los neumáticos y la carretera es de µe =0.8. [Nota: Consultar el ejemplo 5.11 del Tipler en caso de duda.]
7. En el sistema de la figura el bloque que está sobre el plano inclinado tiene una masa m 1 = 2m 2 , donde m 2 es
p
la masa del cuerpo que cuelga. El coeficiente de rozamiento estático del bloque con la superficie es µe = 1/ 3
y las masas de la cuerda y las poleas son despreciables.
Calcular el ángulo de inclinación mínimo αc para que el sistema se mueva,
y averiguar hacia dónde se movería (por ejemplo, si el bloque 2 sube o baja).
[Nota: Es un problema algo más complicado. Analizar con cuidado cómo están relacionadas las aceleraciones de los dos bloques. Tampoco está claro el sentido de la
fuerza de rozamiento, ya que depende del sentido de movimiento. Suponer que no
hay rozamiento y averiguar hacia dónde se mueve, considerar posteriormente que
sí existe rozamiento, y calcular αc .]
8. Un bloque de 6 kg, en reposo, se eleva 3 m mediante una fuerza vertical de 80 N. Calcular: (a) El trabajo
realizado por la fuerza de 80 N. (b) El trabajo realizado por la gravedad. (c) La velocidad con la que llega a ese
punto por dos caminos distintos, resolviendo el problema dinámico para encontrar la aceleración y luego la
velocidad, y luego mediante la relación entre trabajo realizado por todas las fuerzas y la variación de la energía
cinética. (d) Si analizamos el resultado, veremos que la variación de la energía potencial gravitatoria, con signo
menos, no es igual a la variación de la energía cinética. ¿Por qué?
9. Antes de abrir el paracaídas, un paracaidista en caída libre tiene una velocidad límite de, aproximadamente,
200 km/h y, una vez abierto, de 20 km/h. Si su masa es de 80 kg, calcular la potencia disipada por la fricción
con el aire antes y después de abrir el paracaídas. Nota: debido a la fricción con el aire, y después de un tiempo,
la fuerza debida al peso del paracaidista se compensa con la fricción, y cae con velocidad constante, velocidad
que se denomina velocidad límite.
10. Un tren, de masa 2 × 106 kg, recorre una distancia de 62 km a una velocidad constante de 15 km/h, subiendo una altura de 707 m. La fuerza de rozamiento total tiene módulo constante, de valor 0.8 veces su peso,
y dirección y sentido siempre opuesta al movimiento. (a) Calcular la variación de la energía cinética, energía
potencial y energía mecánica del tren. (b) La energía disipada por el rozamiento (normalmente esta energía
acaba transformándose en calor que se cede al entorno). (c) La potencia de la locomotora.
11. Una partícula, de masa m, se encuentra sobre una superficie esférica de radio R. La partícula desliza sobre la superficie
(se supone que el rozamiento es despreciable) hasta que pierde
el contacto con ella. (a) Determinar el ángulo θ correspondiente al punto en que pierde contacto con la esfera. (b) Una vez que
abandona la superficie esférica, ¿qué movimiento describirá la
partícula? (c) ¿A qué distancia del centro de la esfera impactará
contra el suelo?
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12. El bloque 1, de 4 kg, desliza sobre el suelo debido al peso del
bloque 2, de 2 kg, que baja. El coeficiente dinámico de rozamiento
entre el bloque 1 y el suelo es de 0.35, y el sistema parte del reposo. (a) Determinar la variación de la energía cinética, potencial y
mecánica del sistema cuando el bloque 2 ha bajado 2 m. (b) Calcular, en el supuesto anterior, la energía disipada por rozamiento.
(c) Calcular la velocidad de los bloques cuando el bloque 2 ha bajado 2 m. Nota: La polea y la cuerda tienen masa despreciable.
~ = y xˆ − x yˆ N (x, y en m) actúa sobre una partícula, que se mueve desde el
13. Un campo de fuerzas dado por F
punto (0, 1) m hasta el punto (1, 0) m. (a) Calcular el trabajo realizado por esta fuerza si la partícula se desplaza
en primer lugar por el eje y hasta el origen y luego por el eje x. (b) Calcular el trabajo realizado por esta fuerza
si la partícula se desplaza en línea recta desde el punto inicial al final. (c) ¿Es este campo conservativo?
14. Cuando la escuadra ABC gira muy despacio en sentido antihorario, el bloque de 6 kg comienza a deslizar hacia el muelle
cuando θ = 15◦ . En esa situación (θ = 15◦ ), el bloque desliza e
impacta contra el muelle, observándose un acortamiento máximo de 50 mm. Determinar los coeficientes de rozamiento estático y dinámico.
15. (Problema opcional, pero se puede aprender mucho).
La energía potencial correspondiente a la fuerza que existe entre dos átomos en una molécula diatómica puede
expresarse, con un alto grado de aproximación, como U (r ) = a/r 12 −b/r 6 (Potencial de Lennard-Jones), donde
r es la distancia entre los átomos y a y b dos constantes positivas. (a) Determinar la fuerza que actúa sobre un
átomo en función de r (recordar que F = −dU (r )/d r ). (b) Mediante el uso de un ordenador, y dando diversos
valores a los parámetros a y b, trazar las gráficas de U (r ) y F (r ) como funciones de r . Intentar explicar, cualitativamente, por qué este potencial puede describir bien este tipo de fuerzas (consultar en libros o Internet).
(c) Encontrar, en función de a y b, la distancia de equilibrio entre los dos átomos. ¿Es estable el equilibrio?
(observad la forma de la curva y recordar que en un mínimo, relativo, la derivada se hace nula). (d) Si los dos
átomos están en equilibrio, ¿qué energía mínima debería suministrarse a la molécula para disociarla? (es decir,
para separar los dos átomos). (e) Para la molécula de CO, la distancia de equilibrio entre los átomos de C y O es
de 1.13 Å(1 Å= 10−10 m, unidad que se utiliza bastante en este contexto ya que la distancia típica entre átomos
es de este orden) y la energía de disociación es de 9.6 eV por molécula (1eV=1.6 ×10−19 J, unidad de energía
que se utiliza bastante en este contexto, ya que el julio resulta ser muy grande, ¿es casualidad que el factor de
conversión sea numéricamente igual, en valor absoluto, a la carga del electron?). Calcular los valores de a y b.