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Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
1.–
Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones:
a) ¿Puede un espejo cóncavo producir una imagen virtual, derecha y menor que el objeto?
b) ¿Puede una lente convergente producir una imagen real, invertida y mayor que el objeto?
Justifique la respuesta en cada caso mediante un diagrama de rayos.
a) No; Si la imagen es virtual, ha de ser mayor y si es menor, ha de ser real ; b) Sí, si el
objeto se sitúa a mayor distancia de la distancia focal objeto, pero a menor distancia del doble de
dicha distancia focal: 2 f < s < f.
0
10
2.–
¿A qué distancia, frente a un espejo esférico cóncavo de 120 cm de radio, se debe colocar
una persona para que la imagen que ve su cara sea derecha y aumentada cuatro veces su tamaño
natural?
a) s = −45 cm.
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: a) Una imagen virtual y derecha formada por un espejo cumple que y’ > 0 y s’ > 0, por
tratarse de un espejo. Por ser menor y’ < y. Vamos a aplicar la Ecuación fundamental y la del
aumento lateral de los espejos para ver si el enunciado es válido.
𝑦𝑦′
𝑦𝑦′
1 1 1
1
−
1
1
1
1
𝑦𝑦′
𝑦𝑦
𝑦𝑦
+ =
′
= ′+
= ′+
=
⇔
𝑠𝑠
=
𝑓𝑓
�1
−
�.
𝑠𝑠 ′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓 ⇒
′
−𝑦𝑦 𝑠𝑠
𝑓𝑓 𝑠𝑠
𝑠𝑠
−𝑠𝑠 ′
𝑠𝑠 ′
𝑦𝑦
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′
𝑦𝑦 ′
Del razonamiento anterior, y dado que y’/y < 1, se concluye que s’ es
menor que 0, lo que va en contra de lo postulado. Por tanto es imposible
que un espejo cóncavo de lugar a una imagen virtual, derecha y menor.
Siempre que sea virtual, la imagen ha de ser mayor.
b) Aplicando la Ecuación fundamental de las lentes (con f' > 0 y s < 0 −esto último por
convenio−):
1 1 1
1
1
1 1 1
− =
��������
= + >0 ⇒
>
⇔ |𝑓𝑓′| < |𝑠𝑠| �������������� 𝑠𝑠 < 𝑓𝑓.
Como 𝑠𝑠 < 0 y 𝑓𝑓 =−𝑓𝑓'
|𝑓𝑓′| |𝑠𝑠|
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′ por ser real 𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
Por tanto, para dar una imagen real, el objeto deberá estar situado a la izquierda del foco objeto.
Como el tamaño de la imagen viene dado por: y' s = y s':
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
′
1 1 1
𝑓𝑓
𝑠𝑠
𝑦𝑦′
𝑠𝑠′
𝑓𝑓′
𝑓𝑓 ′ + 𝑠𝑠
− =
⇔ 𝑠𝑠 ′ = ′
; De donde
= =
= ′
.
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠
𝑠𝑠
Como la imagen es real y' es negativo por lo que, y dado que queremos una imagen mayor,
mayor, el cociente ha de ser menor que −1 (o mayor en valor absoluto que 1).
Mayor ⇒ |y'| > y ⇒ Por ser y' negativo:
𝑦𝑦′
𝑓𝑓′
< −1 ; ′
< −1 �����
𝑓𝑓 ′ > −𝑓𝑓 ′ − 𝑠𝑠
𝑓𝑓 ′ +𝑠𝑠<0
𝑦𝑦
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠
2 𝑓𝑓 ′ > −𝑠𝑠 ⇒ −2 𝑓𝑓 > −𝑠𝑠 ⇔ |𝑠𝑠| < |2 𝑓𝑓|.
El objeto tiene que estar a menos del doble de la distancia focal: 2 f < s < f.
Solución: a) Aplicando la Ecuación del aumento lateral y la Ecuación fundamental de los
espejos esféricos (el aumento es positivo porque la imagen está derecha):
𝑦𝑦 ′ −𝑠𝑠 ′
′
′
𝑦𝑦 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ⇔
=
= 4 ⇔ 𝑠𝑠 ′ = −4 𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑠𝑠
1 1 2
1
4
2
3
2
+ =
⇔
+
=
⇔
=
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅
−4 𝑠𝑠 4 𝑠𝑠 𝑅𝑅
4 𝑠𝑠 𝑅𝑅
3 𝑅𝑅 3 · (−1,20 m)
𝑠𝑠 =
=
= −0,45 m.
8
8
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
3.–
¿Dónde debe situarse un objeto delante de un espejo cóncavo para que su imagen sea real?
¿Y para que sea virtual? Razone la respuesta utilizando únicamente las construcciones
geométricas que considere oportunas.
10
4.–
¿Dónde se debe situar un objeto para que un espejo cóncavo forme imágenes virtuales?
¿Qué tamaño tienen estas imágenes en relación al objeto? Justifique la respuesta con ayuda de
las construcciones geométricas necesarias.
10
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: Aplicando la Ecuación fundamental de los
espejos esféricos (con f < 0 y s < 0 −esto último por
convenio−) y como una imagen real en un espejo debe
cumplir que s’ < 0:
1 1 1
1 1 1
+ =
��������
= − <0
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓 por ser real 𝑠𝑠′ 𝑓𝑓 𝑠𝑠
1
1
>
⇔ |𝑓𝑓| < |𝑠𝑠| �������� 𝑠𝑠 < 𝑓𝑓.
Como 𝑠𝑠 < 0
|𝑓𝑓| |𝑠𝑠|
Por tanto, para dar una imagen real, el objeto deberá
estar situado a la izquierda del foco, por lo que debe
estar más lejos del espejo que el foco.
Aplicando la Ecuación fundamental de los espejos
esféricos (con f < 0 y s < 0 −esto último por convenio−)
y como una imagen virtual en un espejo debe cumplir
que s’ > 0:
1 1 1
1 1 1
+ = ���������� = − > 0
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓 por ser virtual 𝑠𝑠′ 𝑓𝑓 𝑠𝑠
1
1
<
⇔ |𝑓𝑓| > |𝑠𝑠| �������� 𝑠𝑠 > 𝑓𝑓.
Como 𝑠𝑠 < 0
|𝑓𝑓| |𝑠𝑠|
Por tanto, para dar una imagen virtual, el objeto
deberá estar situado a la derecha del foco, lo que implica
que se encuentra entre el foco y el espejo.
Solución: Aplicando la Ecuación fundamental de los
espejos esféricos (con f < 0 y s < 0 −esto último por
convenio−) y como una imagen virtual en un espejo
debe cumplir que s’ > 0:
1 1 1
1 1 1
+ = ���������� = − > 0
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓 por ser virtual 𝑠𝑠′ 𝑓𝑓 𝑠𝑠
1
1
<
⇔ |𝑓𝑓| > |𝑠𝑠| �������� 𝑠𝑠 > 𝑓𝑓.
Como 𝑠𝑠 < 0
|𝑓𝑓| |𝑠𝑠|
Por tanto, para dar una imagen virtual, el objeto
deberá estar situado a la derecha del foco, lo que implica
que se encuentra entre el foco y el espejo.
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
5.–
¿En qué condiciones producirá un espejo cóncavo una imagen derecha? ¿Y una imagen
virtual? ¿Y una imagen menor que el objeto? ¿Y mayor que el objeto?
Datos: Es imprescindible incluir en la resolución los diagramas o esquemas oportunos
Cuando el objeto se sitúe entre el foco y el espejo ; la misma solución anterior ; Si el objeto
se sitúa a mayor distancia del espejo que el centro de curvatura ; Cuando el objeto se sitúa entre
el centro y el foco (real) o entre el foco y el espejo (virtual).
10
Solución: 1) Aplicando la Ecuación del aumento lateral y la Ecuación fundamental de los
espejos esféricos (con f' < 0, por ser cóncavo, s negativa e y positiva, por convenio, e y' positiva por
tener que estar derecha la imagen):
y s' = −y' s ⇒ s' > 0.
1 1 1
1 1
+ =
⇔
<
⇔ 𝑓𝑓′ < 𝑠𝑠 (por ser ambos negativos).
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑠𝑠 𝑓𝑓′
El objeto debe estar situado entre el foco y el espejo.
2) Aplicando sólo la Ecuación fundamental de los espejos esféricos
(con f' < 0, por ser cóncavo, s negativa e y positiva, por convenio, y s' positiva por tener que ser
virtual la imagen):
1 1 1
1 1
+ =
⇔
<
⇔ 𝑓𝑓′ < 𝑠𝑠 (por ser ambos negativos).
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑠𝑠 𝑓𝑓′
er
Es la misma solución que en el 1 caso, el objeto debe estar
situado entre el foco y el espejo.
3) Por ser la imagen menor el cociente y'/y debe oscilar entre −1
y 1 (ya que la imagen puede estar invertida o derecha).
𝑓𝑓 𝑠𝑠
− 𝑠𝑠 − 𝑓𝑓
𝑦𝑦′
−𝑠𝑠′
−𝑓𝑓
𝑓𝑓
𝑦𝑦 ′′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
=
=
=
=
.
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑠𝑠 − 𝑓𝑓 𝑓𝑓 − 𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑓𝑓 − 𝑠𝑠 > 0 ⇒ 𝑓𝑓 > 𝑠𝑠 ⇒ objeto a la izquierda del foco
𝑓𝑓
−1 <
<0 ⇒
𝑠𝑠 − 𝑓𝑓 < 𝑓𝑓 ⇒ 𝑠𝑠 < 2 𝑓𝑓 ⇒ objeto a la izquierda del centro
𝑓𝑓 − 𝑠𝑠
𝑓𝑓 − 𝑠𝑠 < 0 ⇒ 𝑓𝑓 < 𝑠𝑠 ⇒ objeto a la derecha del foco
𝑓𝑓
<1 ⇒
𝑓𝑓 > 𝑓𝑓 − 𝑠𝑠 ⇒ 0 > −𝑠𝑠 ⇒ objeto a la derecha del espejo (imposible).
𝑓𝑓 − 𝑠𝑠
Sólo sucede cuando el objeto está más lejos del espejo que el
centro de curvatura.
4) Por ser la imagen mayor el cociente y'/y debe ser menor que −1
o mayor que 1 (ya que la imagen puede estar invertida o derecha).
𝑓𝑓 𝑠𝑠
− 𝑠𝑠 − 𝑓𝑓
𝑦𝑦′
−𝑠𝑠′
−𝑓𝑓
𝑓𝑓
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
=
=
=
=
.
𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑠𝑠 − 𝑓𝑓 𝑓𝑓 − 𝑠𝑠
𝑓𝑓 − 𝑠𝑠 > 0 ⇒ 𝑓𝑓 > 𝑠𝑠 ⇒ objeto a la izquierda del foco
𝑓𝑓
< −1 ⇒
𝑓𝑓 < 𝑠𝑠 − 𝑓𝑓 ⇒ 2 𝑓𝑓 < 𝑠𝑠 ⇒ objeto a la derecha del centro
𝑓𝑓 − 𝑠𝑠
0<
𝑓𝑓 − 𝑠𝑠 < 0 ⇒ 𝑓𝑓 < 𝑠𝑠 ⇒ objeto a la derecha del foco
𝑓𝑓
⇒
𝑓𝑓 − 𝑠𝑠 > 𝑓𝑓 ⇒ −𝑠𝑠 > 0 ⇒ objeto a la izquierda del espejo.
𝑓𝑓 − 𝑠𝑠
Sucede cuando el objeto está entre el centro y el foco (imágenes reales) o entre el foco y el
espejo (imágenes virtuales) −caso 1)−.
Solución: Aplicando sólo la Ecuación fundamental de los espejos
esféricos (con f' < 0, por ser cóncavo, s negativa e y positiva, por
convenio, y s' positiva por tener que ser virtual la imagen):
1 1 1
1 1
+ =
⇔
<
⇔ 𝑓𝑓′ < 𝑠𝑠 (por ser ambos negativos).
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑠𝑠 𝑓𝑓′
El objeto debe estar situado entre el foco y el espejo.
1<
6.–
¿En qué condiciones un espejo cóncavo nos dará una imagen virtual?
El objeto ha de estar situado entre el foco y el espejo: f’ < s < 0.
10
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
7.–
¿En qué posición debe colocarse un objeto delante de una lente esférica convergente para
producir una imagen virtual? Obtenga gráficamente la imagen.
El objeto debe colocarse entre el foco objeto y la lente.
10
8.–
¿Qué características tiene la imagen que se obtiene con un espejo esférico convexo?
Efectúe la construcción geométrica suponiendo un objeto real.
La imagen producida en todos los casos es una imagen derecha (y’ > 0), virtual y al otro lado
del objeto (s’ > 0), de tamaño menor (|y’/y| < 1) y a menor distancia del espejo que el objeto
10 (|s’| < |s|).
9.–
¿Qué es la potencia de una lente? ¿Cuál es la distancia focal de una lente de cuarzo que
tiene una potencia de 8,0 dioptrías?
a) Es la inversa de distancia focal imagen. Se mide en dioptrías (m−1) ; f' = 12,5 cm.
10
10.–
A 10 cm de distancia del vértice de un espejo cóncavo de 30 cm de radio se sitúa un objeto
de 5,0 cm de altura.
a) Determine la altura y posición de la imagen.
b) Construya la imagen gráficamente indicando su naturaleza.
a) y' = 15 cm; s' = 30 cm.
10
11.–
A una distancia de 60 cm de un espejo cóncavo E1 de 80 cm de radio, y sobre su eje
óptico, existe una fuente luminosa puntual. ¿A qué distancia del espejo cóncavo deberá situarse
un espejo plano E2 para que los rayos, después de reflejarse sucesivamente en E1 y en E2
converjan nuevamente en P?
d = −90 cm; 90 cm a la izquierda del primer espejo.
10
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: Aplicando la Ecuación fundamental y la
Ecuación del aumento lateral de las lentes (teniendo
en cuenta que f' > 0 (por ser convergente), s < 0 (por
convenio) y s' < 0 (por ser la imagen virtual, lo que
obliga a que esté en el mismo lado que el objeto):
1 1 1
𝑓𝑓 ′ 𝑠𝑠
− =
⇔ 𝑠𝑠′ = ′
< 0.
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠
Para que esta condición se cumpla el denominador
ha de ser positivo ⇒ |f'| > |s|
O sea, el objeto ha de estar entre el foco objeto y la lente.
Solución: Aplicando la Ecuación fundamental de los espejos (con f > 0 y s < 0 −lo último por
convenio−):
1 1 1
1 1 1
+ =
⇔
= − >0
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓
𝑠𝑠′ 𝑓𝑓 𝑠𝑠
1
1
>
⇔ |𝑠𝑠′| < |𝑠𝑠| ; 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ = −𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 ⇔ |𝑦𝑦 ′ | < |𝑦𝑦|.
|𝑠𝑠′| |𝑠𝑠|
La imagen siempre estará en el otro lado del espejo (virtual),
más cerca de la lente (|s'| < |s|), derecha (y' tiene el mismo signo
que y, puesto que s tiene el mismo signo que s') y menor (y' < y).
Solución: Es la inversa de su distancia focal imagen, con el signo correspondiente. Se mide en
dioptrías (m−1). Se pone con signo positivo (que no se suprime) cuando es convergente (distancia
focal imagen positiva) y con signo negativo cuando es divergente (distancia focal imagen
negativa).
1
1
1
𝑃𝑃 =
⇔ 𝑓𝑓′ = =
= +0,125 m.
𝑓𝑓′
𝑃𝑃 +8,0 m−1
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental
y la del aumento lateral de los espejos esféricos:
1 1 2
𝑅𝑅 𝑠𝑠
+ =
⇒ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅
2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅
(
)
(
)
−0,30
m
·
−0,10
m
𝑠𝑠 ′ =
= 0,30 m.
(−0,20 m) − (−0,30 m)
𝑅𝑅 𝑠𝑠
−𝑦𝑦 2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅
−𝑦𝑦
𝑠𝑠′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔ 𝑦𝑦′ =
=
𝑠𝑠
𝑠𝑠
(
)
−𝑦𝑦
𝑅𝑅
−0,050
m
·
−0,30
m
𝑦𝑦 ′ =
=
= 0,15 m.
2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅 (−0,20 m) − (−0,30 m)
La imagen está a 0,30 m del espejo y en el otro lado (s' > 0), por lo que es virtual, está derecha
(y'/y > 0) y es el triple del objeto (|y'| = 15 cm).
b) Ver imagen.
Solución: Aunque el enunciado no lo pone, consideramos que P es el punto luminoso inicial.
Aplicando la Ecuación fundamental de los espejos esféricos al primero de los espejos, E1:
(−0,80 m) · (−0,60 m)
2
𝑅𝑅1 𝑠𝑠
1 1
+ =
⇔ 𝑠𝑠 ′ =
=
= −1,20 m.
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅1
2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅1 2 · (−0,60 m) − (−0,80 m)
La imagen está a 120 cm en el mismo lado del espejo (s' < 0), por lo que es real. No tiene ni
tamaño ni aumento por encontrarse en el eje.
Volviendo a aplicar la Ecuación fundamental al segundo espejo (E2), situándolo a una distancia
d del primer espejo:
1
1
2
𝑠𝑠 ′ + 𝑠𝑠 ′′
′
′′
′
′′
+
=
����� 𝑠𝑠 − 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑 − 𝑠𝑠 ⇒ 𝑠𝑠 + 𝑠𝑠 = 2 𝑑𝑑 ⇒ 𝑑𝑑 =
2
𝑠𝑠 ′ − 𝑑𝑑 𝑠𝑠 ′′ − 𝑑𝑑 𝑅𝑅2 𝑅𝑅2 =±∞
(−0,60 m) + (−1,20 m)
𝑑𝑑 =
= −0,90 m.
2
Hay que ponerlo 90 cm a la izquierda del primer espejo.
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
12.–
Calcule a qué distancia debe colocarse un objeto a la izquierda del vértice de un espejo
cóncavo cuyo radio de curvatura es de 12 cm para que su imagen sea tres veces mayor que el
objeto. Interprete los posibles resultados y efectúe las construcciones geométricas
correspondientes.
s = 4,0 cm (imagen virtual y derecha en s' = 12 cm) o s = 8,0 cm (imagen real e invertida en
s' = −24 cm).
10
10
13.–
Calcule las distancias focales de un dioptrio esférico convexo. El radio es 20 cm y los
índices de refracción de los dos medios transparentes son n = 1,0 y n' = 2,0.
f = −20 cm ; f' = 40 cm.
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: Como un espejo cóncavo puede crear imágenes más grandes tanto si son virtuales
como reales, resolvemos los dos posibles casos.
Aplicando la Ecuación del aumento lateral y la Ecuación fundamental de los espejos esféricos
[considerando una imagen virtual (s' > 0, por ser un espejo)
y, por tanto, derecha]:
𝑦𝑦′ −𝑠𝑠′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
=
= 3 ⇔ 𝑠𝑠 ′ = −3 𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑠𝑠
1 1 2
1
−3
2
−2
2
+ =
⇔
+
=
⇔
=
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅
−3 𝑠𝑠 −3 𝑠𝑠 𝑅𝑅
−3 𝑠𝑠 𝑅𝑅
𝑅𝑅 −0,12 m
𝑠𝑠 = =
= −0,040 m
3
3
𝑅𝑅
𝑠𝑠 ′ = −3 𝑠𝑠 = −3 = −𝑅𝑅 = −(−0,12 m) = 0,12 m.
3
Volviendo a aplicar la Ecuación del aumento lateral y la Ecuación fundamental de los espejos
esféricos [considerando una imagen real (s' < 0, por ser un espejo) y, por tanto, invertida]:
𝑦𝑦′ −𝑠𝑠′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
=
= −3 ⇔ 𝑠𝑠 ′ = 3 𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑠𝑠
1 1 2
1
3
2
4
2
+ =
⇔
+
=
⇔
=
3 𝑠𝑠 3 𝑠𝑠 𝑅𝑅
3 𝑠𝑠 𝑅𝑅
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅
2 𝑅𝑅 2 · (−0,12 m)
𝑠𝑠 =
=
= −0,080 m
3
3
2 𝑅𝑅
𝑠𝑠 ′ = 3 𝑠𝑠 = 3 ·
= 2 𝑅𝑅 = 2 · (−0,12 m) = −0,24 m.
3
Como se puede ver en las figuras, se puede obtener tanto
una imagen virtual como una real que cumplan las
características expuestas en el enunciado.
Solución: Aplicando la Ecuación fundamental de los dioptrios para cada uno de los focos
(teniendo en cuenta que para s = f ⇒ s' = +∞ y para s' = f' ⇒ s = −∞):
𝑛𝑛′
𝑛𝑛
𝑛𝑛′ − 𝑛𝑛
𝑛𝑛′
2,0
−
=
⇔ 𝑓𝑓′ = 𝑅𝑅
= 20 cm ·
= 40 cm
𝑛𝑛′ 𝑛𝑛 𝑛𝑛′ − 𝑛𝑛
𝑓𝑓′ −∞
𝑅𝑅
𝑛𝑛′ − 𝑛𝑛
2,0 − 1,0
− =
⇔
𝑛𝑛′
𝑛𝑛 𝑛𝑛′ − 𝑛𝑛
𝑛𝑛
1,0
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠
𝑅𝑅
− =
⇔ 𝑓𝑓 = 𝑅𝑅
= 20 cm ·
= −20 cm.
+∞ 𝑓𝑓
𝑅𝑅
𝑛𝑛 − 𝑛𝑛′
1,0 − 2,0
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
14.–
Considere una lente convergente de un proyector de diapositivas que tiene una distancia
focal de +16,0 cm.
a) Si se obtiene una imagen nítida de una diapositiva sobre una pantalla que se encuentra a
4,0 m de la lente, ¿a qué distancia de la lente está colocada la diapositiva? Dibuje el
correspondiente diagrama de rayos.
b) ¿Cuál es el aumento lateral de dicha imagen? ¿Cuál será el tamaño del objeto si la imagen
recogida en la pantalla es de 75 cm?
c) ¿A qué distancia de la lente se deberá colocar la pantalla para que la diapositiva, colocada a
20 cm de la lente, sea proyectada nítidamente sobre la pantalla?
a) s ≈ −17 cm ; b) y'/y = −24; y ≈ 3,1 cm ; c) s' = 80 cm.
10
15.–
Considere una lente delgada cuya distancia focal imagen vale −20 cm. Delante de la lente,
a 30 cm, se coloca un objeto (flecha vertical) de 1,0 cm de alto.
a) ¿Qué tipo de lente es? ¿Cuál es la potencia de la lente?
b) Dibuje el trazado de rayos e indique las características de la imagen.
c) Calcule la distancia a la que se forma la imagen, el tamaño de ésta y el aumento lateral.
a) Divergente; P = −5,0 D ; b) La imagen es virtual, derecha, menor, en el mismo lado de la
lente que el objeto y más cerca de la lente ; c) s’ = −12 cm; y’ = 4,0 mm; y’/y = 0,40.
10
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental de las lentes:
1 1 1
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠′
− =
⇔ 𝑠𝑠 =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓′ − 𝑠𝑠′
0,16 m · 4,0 m
𝑠𝑠 =
≅ −0,17 m
0,16 m − 4,0 m
b) Aplicando la Ecuación del aumento lateral:
𝑦𝑦′ 𝑠𝑠′
𝑠𝑠′
𝑓𝑓′ − 𝑠𝑠′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
= =
=
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠′
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑓𝑓′
𝑓𝑓′ − 𝑠𝑠′
𝑦𝑦′ 0,16 m − 4,0 m
=
= −24.
𝑦𝑦
0,16 m
𝑦𝑦′
−0,75 m
𝑦𝑦 =
=
≅ 0,031 m.
−24
−24
La diapositiva está a 17 cm de la lente en el lado
contrario a la pantalla (s < 0). La imagen es real, está
invertida (y'/y < 0) y es 24 veces mayor que la
diapositiva (3,1 cm de lado).
c) Aplicando la Ecuación fundamental de las lentes:
1 1 1
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
− =
⇔ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
0,16 m · (−0,20 m)
𝑠𝑠 ′ =
= 0,80 m.
0,16 m + (−0,20 m)
Solución: a) Por ser la distancia focal negativa, la lente es una lente divergente.
Aplicando la definición de potencia:
1
1
𝑃𝑃 = =
= −5,0 m−1 = −5,0 D.
𝑓𝑓′ −20 cm · 1 m
100 cm
b) Ver imagen. La imagen es virtual, derecha, menor, en el mismo lado de la lente que el objeto
y más cerca de la lente.
c) Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de las lentes:
1 1 1
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
− =
⇒ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
−20 cm · ( − 30 cm)
𝑠𝑠 ′ =
= −12 cm
−20 cm + ( − 30 cm)
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑦𝑦
𝑠𝑠′
𝑦𝑦 𝑓𝑓′
𝑓𝑓′
+ 𝑠𝑠
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔ 𝑦𝑦′ =
=
=
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
1,0 cm · (−20 cm)
𝑦𝑦′ =
= 0,40 cm = 4,0 mm
−20 cm + ( − 30 cm)
𝑦𝑦′ 0,40 cm
=
= 0,40.
𝑦𝑦
1,0 cm
La imagen se encuentra en el mismo lado de la lente que el objeto y más cerca (s’ = −12 cm), de
tamaño y’ = 4,0 mm y con un aumento lateral (y’/y = 0,40) que hace que esté derecha y sea menor
que el objeto.
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
16.–
−Óptica geométrica−
02/05/2015
Construya gráficamente la imagen de:
a) un objeto situado a 0,50 m de distancia de un espejo cóncavo de 2,0 m de radio;
b) un objeto situado a la misma distancia delante de un espejo plano.
Explique en cada caso las características de la imagen y compare ambas situaciones.
Ambas imágenes son virtuales y derechas, pero menor y más cerca la del espejo plano.
10
17.–
Construya gráficamente la imagen y explique sus características para:
a) un objeto que se encuentra a 0,50 m frente a una lente delgada biconvexa de 1,0 m de
distancia focal;
b) un objeto situado a una distancia menor que la focal de un espejo cóncavo.
a) En el mismo lado de la lente (s' = −1,0 m), virtual, derecha y el doble del objeto (y'/y = 2,0) ;
c) Al otro lado del espejo (s' > 0), virtual, derecha y mayor que el objeto (y'/y > 1).
10
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental y el aumento lateral de los espejos esféricos:
(−2,0 m) · (−0,50 m)
1 1 2
𝑅𝑅 𝑠𝑠
+ = ⇔ 𝑠𝑠′ =
=
= 1,0 m.
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅
2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅 (−1,0 m) − (−2,0 m)
𝑅𝑅 𝑠𝑠
𝑦𝑦′ −𝑠𝑠′ − 2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅
′
𝑦𝑦 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠′ ⇔
=
=
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑦𝑦′
−𝑅𝑅
−(−2,0 m)
=
=
= 2,0.
𝑦𝑦
2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅 (−1,0 m) − (−2,0 m)
La imagen está 1,0 m por detrás del espejo (s' > 0), por lo que es virtual, está derecha (y'/y > 0) y
es mayor que el objeto (|y'/y| = 2,0).
b) Aplicando la Ecuación fundamental y la del aumento lateral de los espejos planos:
1 1 2
+ = = 0 ⇔ 𝑠𝑠 ′ = −𝑠𝑠 = 0,50 m.
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅
𝑦𝑦 ′ −𝑠𝑠 ′ −(−𝑠𝑠)
𝑦𝑦′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠′ ⇔
=
=
= 1,0.
𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑠𝑠
La imagen está 0,50 m por detrás del espejo (s' > 0), por lo que es
virtual, está derecha (y'/y > 0) e igual que el objeto (|y'/y| = 1).
Ambas imágenes son virtuales y derechas, pero menor y más cerca la del espejo plano.
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de las lentes:
1 1 1
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
− =
⇔ 𝑠𝑠′ = ′
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠
(
)
1,0
m
·
−0,50
m
𝑠𝑠 ′ =
= −1,0 m.
1,0 m + (−0,50 m)
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
′ + 𝑠𝑠
𝑦𝑦′
𝑠𝑠′
𝑓𝑓
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
= =
𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑓𝑓′
1,0 m
𝑦𝑦′
= ′
=
= 2,0.
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠 1,0 m + (−0,50 m)
𝑦𝑦
La imagen está a 1,0 m de la lente en el mismo
lado que el objeto (s' < 0), por lo que es virtual, está derecha (y'/y > 0) y es de tamaño doble del
objeto.
b) Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación
del aumento lateral de los espejos esféricos:
1 1 1
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
+ =
⇔ 𝑠𝑠′ =
>0
𝑠𝑠 − 𝑓𝑓′
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
puesto que 𝑓𝑓′y 𝑠𝑠 son negativas y |𝑠𝑠| < |𝑓𝑓′|
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
𝑦𝑦′
𝑠𝑠′
𝑓𝑓′
𝑠𝑠
− 𝑓𝑓′
�=�
�
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔ � � = � � = �
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑠𝑠 − 𝑓𝑓′
𝑦𝑦′
� � > 1, puesto que 𝑓𝑓′ y 𝑠𝑠 son negativas.
𝑦𝑦
Está al otro lado del espejo (s' > 0), por lo que es virtual, es mayor que el objeto (|y'/y| > 1) y está
derecha (y'/y > 0).
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
Construya la imagen de un objeto situado a una distancia entre f y 2f de una lente:
a) convergente;
b) divergente.
Explique en ambos casos las características de la imagen.
a) Imagen real, invertida, mayor, en el otro lado y más lejos de la lente que el objeto ; b)
Imagen virtual, derecha, menor, en el mismo lado y más cerca de la lente que el objeto.
18.–
10
19.–
Dada una lente delgada convergente, obtenga de forma gráfica la imagen de un objeto
situado entre el foco y la lente. Indique las características de dicha imagen.
La imagen está en el mismo lado (s' < 0), virtual, está derecha y de tamaño mayor (y'/y > 1).
10
20.–
Dada una lente delgada divergente, obtenga de forma gráfica la imagen de un objeto
situado entre el foco y la lente. Indique las características de dicha imagen.
La imagen está derecha y por tanto es virtual y'/y > 0, en el mismo lado de la lente que el
objeto pero más próxima a la lente(s < s' < 0) y menor que éste (y'/y < 1).
10
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de las lentes
(teniendo en cuenta que f' > 0 y f' < |s| < 2 f'):
1 1 1
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
− =
⇔ 𝑠𝑠′ =
>0
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
(ya que 𝑓𝑓′ < |𝑠𝑠| < 2 𝑓𝑓′)
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
𝑦𝑦′ 𝑠𝑠′ 𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
𝑓𝑓′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
= =
=
< −1
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
(ya que 𝑓𝑓 ′ < |𝑠𝑠| < 2 𝑓𝑓 ′ ).
La imagen está en el lado contrario de la lente que el objeto (s' > 0), por lo que es real, está
invertida (y'/y < 0) y mayor que el objeto.
b) Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de las lentes (teniendo
en cuenta que f' < 0 y |f'| < |s| < |2 f'|):
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
1 1 1
− =
⇔ 𝑠𝑠′ =
<0
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
(ya que 𝑓𝑓′ y 𝑠𝑠 son negativos)
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
𝑦𝑦′
𝑠𝑠′
𝑓𝑓′
1
𝑓𝑓′
+ 𝑠𝑠
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
= =
=
< 𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠 2
(positivo: 𝑓𝑓′ y 𝑠𝑠 son negativos y | 𝑓𝑓′| < |𝑠𝑠| < |2 𝑓𝑓′|).
La imagen está en el mismo lado de la lente que el objeto (s' > 0), entre ésta y el foco imagen
(|s'| < |f'|), derecha (y'/y > 0) y es menor de la mitad del objeto (|y'/y| < ½).
Solución: Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de las lentes
(teniendo en cuenta que f' > 0 (por ser convergente), s < 0 (por convenio) y |s| < |f'| (por estar el
objeto entre la lente y el foco):
1 1 1
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
− =
⇔ 𝑠𝑠′ = ′
<0
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠
(el denominador es positivo)
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
′ + 𝑠𝑠
𝑦𝑦′
𝑠𝑠′
𝑓𝑓
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
= =
𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑦𝑦′
𝑓𝑓′
𝑦𝑦′
= ′
⇒ 1< .
𝑦𝑦
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠
𝑦𝑦
Al ser f' y f' + s positivos ambos y f' > f' + s (por ser s negativo).
La imagen es virtual ya que está en el mismo lado de la lente que el objeto (s' > 0), más lejos que
éste de la lente, está derecha y es mayor que el objeto (y'/y > 1).
Solución: Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de las lentes
(teniendo en cuenta que f' < 0 y |s| < |f'|):
1 1 1
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
− =
⇔ 𝑠𝑠′ = ′
<0
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠
(ya que 𝑓𝑓' y 𝑠𝑠 son negativos).
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
′ + 𝑠𝑠
𝑦𝑦′
𝑠𝑠′
𝑓𝑓′
𝑓𝑓
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
= =
= ′
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠
(negativo: 𝑓𝑓' y 𝑠𝑠 son negativos y |𝑠𝑠| < |𝑓𝑓'|).
La imagen está en el mismo lado de la lente que el objeto (s' > 0), está derecha (y'/y > 0), es
menor que el objeto ya que |f' + s| > |f'| y se encuentra entre la lente y el objeto (s'/s < 1).
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
21.–
Dado un espejo esférico cóncavo, obtenga de forma gráfica la imagen de un objeto situado
entre el centro de curvatura y el foco del espejo. Indique las características de dicha imagen.
Imagen en el mismo lado del espejo, más lejos de éste que el centro de curvatura, real,
invertida y mayor.
10
22.–
De la lente de un proyector de cine se tienen los siguientes datos: es simétrica, está hecha
de un vidrio de índice de refracción de 1,50, y tiene una distancia focal imagen de +10,00 cm.
a) Calcule la velocidad de la luz dentro de la lente.
b) Determine los radios de curvatura de las dos superficies de la lente.
c) ¿A qué distancia habrá que colocar la pantalla para proyectar la imagen de la película, si
ésta se sitúa a 10,05 cm por delante de la lente?
Datos: Velocidad de la luz en el vacío: c = 3,00·108 m s−1
10
a) vlente = 200 Mm s−1 ;
b) R1 = 10 cm; R2 = −10 cm ;
c) s' = 20,10 m.
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de los espejos
esféricos −con f' < 0, por ser cóncavo, s negativa (R < s < f') e y positiva, por convenio−:
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
𝑓𝑓′
1 1 1
+ =
⇔ 𝑠𝑠′ =
⇔ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠
⇒ |𝑠𝑠′| > |𝑠𝑠| y 𝑠𝑠′ < 0.
𝑠𝑠 − 𝑓𝑓′
𝑠𝑠 − 𝑓𝑓′
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑅𝑅 < 𝑠𝑠 < 𝑓𝑓′ ⇒ 𝑅𝑅 − 𝑓𝑓′ < 𝑠𝑠 − 𝑓𝑓′ < 𝑓𝑓′ − 𝑓𝑓′ ⇒ 𝑓𝑓′ < 𝑠𝑠 − 𝑓𝑓′ < 0
De y s' = −y' s ⇒ y' < 0 e |y'| > |y|.
La imagen se encuentra en el mismo lado del espejo que el objeto,
se encuentra más lejos que éste del espejo, es real, está invertida y es
mayor que el objeto.
De hecho como el valor más pequeño de s' lo obtenemos cuando s
es prácticamente igual a R, y |s'| es mayor que |s|, la imagen se forma
siempre más lejos del espejo que el centro de curvatura.
Solución: a) De la expresión de la velocidad de propagación de una onda y de la de índice de
refracción:
𝑐𝑐
𝑐𝑐
3,00·108 m s−1
𝑛𝑛lente =
⇔ 𝑣𝑣lente =
=
= 2,00·108 m s−1 .
𝑣𝑣lente
𝑛𝑛lente
1,50
b) Por ser f' positiva, se puede deducir que la lente es convexa (R1 > 0 y R2 < 0). Además
|R1| = |R2| por ser simétrica. Aplicando la Ecuación fundamental de las lentes:
1 1
1
1
1
1
𝑅𝑅2 − 𝑅𝑅1
2
− = (𝑛𝑛 − 1) � − � = ⇔
= (𝑛𝑛 − 1) �
� = (𝑛𝑛 − 1)
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠
𝑅𝑅1 𝑅𝑅2
𝑓𝑓′
𝑓𝑓′
𝑅𝑅1 𝑅𝑅2
𝑅𝑅1
𝑅𝑅1
𝑓𝑓′ =
⇒ 𝑅𝑅1 = 2 (𝑛𝑛 − 1)𝑓𝑓′ = 2 · (1,5 − 1) · 0,10 m = 0,10 m.
2 (𝑛𝑛 − 1)
R2 = −R1 = −0,10 m.
c) Aplicando la Ecuación fundamental de las lentes:
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
1 1 1
− =
⇔ 𝑠𝑠′ = ′
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
0,100 0 m · (−0,100 5 m)
𝑠𝑠 ′ =
= 20,10 m.
0,100 0 m + (−0,100 5 m)
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
23.–
Delante de un espejo cóncavo de 1,0 m de radio y a una distancia de 0,75 m se coloca un
objeto luminoso de tamaño 10 cm.
a) Determine la posición, la naturaleza y el tamaño de la imagen formada por el espejo.
b) Si desde la posición anterior el objeto se acerca 0,50 m hacia el espejo, calcule la posición,
la naturaleza y el tamaño de la imagen formada por el espejo en este caso.
Efectúe la construcción geométrica en ambos casos.
a) s' = −1,50 m; real, invertida y el doble ; b) s' = 50 cm; virtual derecha y el doble.
10
10
24.–
Delante de un espejo cóncavo de radio R se coloca una aguja perpendicular al eje óptico,
con la punta sobre el eje, a una distancia del espejo que es el doble de la distancia focal.
Determine la imagen gráficamente utilizando los tres rayos principales.
La imagen está en el mismo punto que la aguja (s’ = s), en posición invertida y es del mismo
tamaño que la aguja (y’ = −y).
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental y la del aumento lateral de los espejos
esféricos:
1 1 2
𝑅𝑅 𝑠𝑠
+ = ⇔ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅
2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅
(−1,00 m) · (−0,75 m)
𝑠𝑠′ =
= −1,50 m.
(−1,50 m) − (−1,00 m)
𝑅𝑅 𝑠𝑠
−𝑦𝑦 2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅
−𝑦𝑦
𝑠𝑠′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔ 𝑦𝑦′ =
=
𝑠𝑠
𝑠𝑠
(
)
−𝑦𝑦
𝑅𝑅
−0,10
m
·
−1,00
m
𝑦𝑦 ′ =
=
= −0,20 m.
2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅 (−1,50 m) − (−1,00 m)
La imagen está a 1,50 m del espejo en el mismo lado que el objeto (s' < 0), por lo que es real,
está invertida (y'/y < 0) y es el doble del objeto (|y'| = 20 cm).
b) Aplicando las mismas ecuaciones con los datos nuevos:
1 1 2
𝑅𝑅 𝑠𝑠
+ =
⇔ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅
2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅
(
)
(
)
−1,00
m
·
−0,25
m
𝑠𝑠 ′ =
= 0,50 m.
(−0,50 m) − (−1,00 m)
𝑅𝑅 𝑠𝑠
−𝑦𝑦 𝑠𝑠′ −𝑦𝑦 2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅
′
′
𝑦𝑦 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ⇔ 𝑦𝑦′ =
=
𝑠𝑠
𝑠𝑠
(
)
−𝑦𝑦
𝑅𝑅
−0,10
m
·
−1,00
m
𝑦𝑦 ′ =
=
= 0,20 m.
2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅 (−0,50 m) − (−1,00 m)
La imagen está 0,50 m por detrás del espejo (s' > 0), por lo que es virtual, está derecha (y'/ y > 0)
y es el doble del objeto (|y'| = 20 cm).
Solución: La imagen pedida es:
Aplicando la Ecuación fundamental y el aumento lateral de
los espejos esféricos:
1 1 1
1
2
1
1
+ =
=
−
=
⇔ 𝑠𝑠 ′ = 2 𝑓𝑓.
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓 ⇔
𝑠𝑠′ 2 𝑓𝑓 2 𝑓𝑓 2 𝑓𝑓
𝑠𝑠 = 2 𝑓𝑓
𝑦𝑦 ′ −𝑠𝑠 ′ −2 𝑓𝑓
=
=
= −1,0.
𝑦𝑦′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠′ ⇔
𝑦𝑦
𝑠𝑠
2 𝑓𝑓
La imagen está en el mismo punto que el objeto (s' = s = 2 f), y es real, está invertida (y'/y < 0) y
es igual que el objeto (|y'/y| = 1,0).
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
25.–
Delante de un espejo convexo, de 30 cm de radio, se sitúa un objeto de 6,0 mm de altura a
12 cm del espejo. Calcule:
a) la distancia focal del espejo;
b) la posición y el tamaño de la imagen;
c) cómo sería la imagen si el espejo fuera cóncavo en vez de convexo.
a) f' = 15 cm ; b) s' ≈ 6,7 cm; y' ≈ 3,3 mm; virtual, derecha y menor ; c) s' = 60 cm;
y' = 3,0 cm; virtual, derecha y mayor.
10
26.–
Delante de una lente convergente de 14 cm de distancia focal y a 18 cm de su centro
óptico se encuentra un objeto cuya altura, perpendicular al eje, es de 1,0 cm. Halle:
a) la posición de la imagen;
b) el aumento;
c) si la imagen es real o virtual;
d) si la imagen está derecha o invertida.
Datos: Dibuje un diagrama de rayos.
10
a) s' = 63 cm ; b) ML = −3,5 ; c) Real (al otro lado de la lente) ; d) Invertida (ya que el
aumento es negativo −las imágenes reales de un solo objeto óptico siempre están invertidas).
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: a) En un espejo esférico, la distancia focal es la mitad del radio por lo que:
f' = R/2 = 0,30 m/2 = 0,15 m.
b) Aplicando la Ecuación fundamental y la del
aumento lateral de los espejos esféricos:
1 1 2
𝑅𝑅 𝑠𝑠
+ =
⇔ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅
2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅
(
)
0,30
m
·
−0,12
m
𝑠𝑠 ′ =
≅ 0,067 m.
(−0,24 m) − 0,30 m
𝑅𝑅 𝑠𝑠
−𝑦𝑦 2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅
−𝑦𝑦
𝑠𝑠′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔ 𝑦𝑦′ =
=
𝑠𝑠
𝑠𝑠
−𝑦𝑦 𝑅𝑅
−0,006 0 m · 0,30 m
𝑦𝑦′ =
=
≅ 0,003 3 m.
2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅 (−0,24 m) − 0,30 m
La imagen está 6,7 cm por detrás del espejo (s' > 0), por lo que es virtual, está derecha (y'/y > 0)
y es menor que el objeto (|y'| ≈ 3,3 mm).
c) Aplicando las mismas ecuaciones con los datos nuevos:
1 1 2
𝑅𝑅 𝑠𝑠
+ =
⇔ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅
2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅
(
)
(
)
−0,30
m
·
−0,12
m
𝑠𝑠 ′ =
= 0,60 m.
(−0,24 m) − (−0,30 m)
𝑅𝑅 𝑠𝑠
−𝑦𝑦 2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅
−𝑦𝑦
𝑠𝑠′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔ 𝑦𝑦′ =
=
𝑠𝑠
𝑠𝑠
(
)
−𝑦𝑦
𝑅𝑅
−0,006 0
m
·
−0,30
m
𝑦𝑦 ′ =
=
= 0,030 m.
2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅 (−0,24 m) − (−0,30 m)
La imagen está 60 cm por detrás del espejo (s' > 0), por lo que es virtual, está derecha (y'/y > 0) y
es cinco veces mayor que el objeto (|y'| = 3,0 cm).
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental de las lentes:
1 1 1
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
− =
⇔ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
0,14 m · (−0,18 m)
𝑠𝑠 ′ =
= 0,63 m.
0,14 m + (−0,18 m)
A 63 cm de la lente al otro lado del objeto.
b) Aplicando la ecuación del aumento
lateral:
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
𝑦𝑦′
𝑠𝑠′
𝑓𝑓′
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
= =
=
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
𝑦𝑦′
0,14 m
=
= −3,5.
𝑦𝑦 0,14 m + (−0,18 m)
La imagen es 3,5 veces mayor que el objeto.
c) Es real ya que está en el lado contrario de la lente que el objeto (s' > 0).
d) La imagen está invertida ya que el aumento es negativo (y'/y < 0).
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
27.–
Delante de una lente convergente se coloca un objeto perpendicularmente a su eje óptico.
a) ¿A qué distancia de la lente debe colocarse para obtener una imagen de igual tamaño e
invertida? ¿Cuál es la naturaleza de esta imagen?
b) ¿A qué distancia de la lente debe colocarse para obtener una imagen de doble tamaño y
derecha? ¿Cuál es la naturaleza de esta imagen?
Efectúe la construcción geométrica en ambos apartados.
a) s = −2 f'; la imagen es real y está situada al doble de la distancia del foco imagen ; b)
s = −0,5 f'; la imagen es virtual y está sobre el foco objeto.
10
28.–
Delante de una lente de 50 cm de distancia focal y a 25 cm de su centro óptico se
encuentra un objeto cuya altura, perpendicular al eje, es de 1,0 cm. Calcule la posición, tamaño
y naturaleza de la imagen si,
a) la lente es convergente;
b) la lente es divergente.
a) Imagen a 50 cm en el mismo lado de la lente, virtual, derecha y doble que el objeto
(y' = 2,0 cm) ; b) Imagen a 17 cm en el mismo lado de la lente, virtual, derecha y algo menor
que el objeto (y' ≈ 6,7 mm).
10
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
a) Aplicando la Ecuación del aumento lateral y la
Ecuación fundamental de las lentes:
𝑦𝑦′
𝑠𝑠′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
= = −1 ⇔ 𝑠𝑠′ = −𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑠𝑠
1
1 −2 1
1 1 1
− =
⇒
− =
=
⇔ 𝑠𝑠 = −2 𝑓𝑓′.
−𝑠𝑠 𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑓𝑓′
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
El objeto debe situarse por delante de la lente (s < 0, tenemos en cuenta que f' > 0, por ser
convergente) a una distancia doble de la focal. La imagen es real, ya que está por detrás de la lente
(s' > 0). Está situada al doble de la distancia del foco imagen (s' = 2 f').
b) Aplicando otra vez las mismas ecuaciones:
𝑦𝑦′
𝑠𝑠′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
=
= 2 ⇔ 𝑠𝑠′ = 2 𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑠𝑠
1 1 1
1
1 −1 1
−𝑓𝑓′
− =
⇒
− =
=
⇔ 𝑠𝑠 =
.
2 𝑠𝑠 𝑠𝑠 2 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
2
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
El objeto debe situarse por delante de la lente (s < 0), tenemos en cuenta que f' > 0, por ser
convergente) a la mitad de distancia de la focal. La imagen es virtual, ya que está por delante de la
lente (s' < 0) y está situada en el foco ( s' = −f').
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de las lentes:
1 1 1
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
− =
⇔ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
(
)
0,50
m
·
−0,25
m
𝑠𝑠 ′ =
= −0,50 m.
0,50 m + (−0,25 m)
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑦𝑦
𝑠𝑠′
𝑦𝑦 𝑓𝑓′
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔ 𝑦𝑦′ =
=
=
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
0,010
m
·
0,50
m
𝑦𝑦 ′ =
= 0,020 m.
0,50 m + (−0,25 m)
La imagen está a 50 cm de la lente y en el mismo lado que el objeto (s' < 0), por lo que es
virtual, está derecha (y'/y > 0) y es el doble del objeto (|y'| = 0,020 m).
b) Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de las lentes:
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
1 1 1
− =
⇔ 𝑠𝑠′ = ′
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
(−0,50 m) · (−0,25 m)
𝑠𝑠′ =
≅ −0,17 m
−0,50 m + (−0,25 m)
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑦𝑦
𝑠𝑠′
𝑦𝑦 𝑓𝑓′
𝑓𝑓′
+ 𝑠𝑠
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔ 𝑦𝑦′ =
=
=
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
0,010 m · (−0,50 m)
𝑦𝑦′ =
≅ 0,006 7 m.
−0,50 m + (−0,25 m)
La imagen está a 17 cm de la lente y en el mismo lado que el objeto (s' < 0), por lo que es
virtual, está derecha (y'/y > 0) y es menor: las dos terceras partes del objeto (|y'| ≈ 0,006 7 m).
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
29.–
Determine el tipo de imagen y el aumento lateral que se obtiene al situar un objeto delante
de una lente divergente en los siguientes casos:
a) El objeto se sitúa a una distancia igual al doble de la distancia focal.
b) El objeto se sitúa a una distancia la mitad de la distancia focal de la lente.
Efectúe la construcción geométrica en ambos casos.
a) En el mismo lado de la lente, virtual, derecha y la tercera parte de tamaño ; b) En el
mismo lado de la lente, virtual, derecha y las dos terceras parte de tamaño.
10
10
30.–
Dibuje el esquema de rayos de un objeto situado frente a un espejo esférico convexo
¿Dónde está situada la imagen y qué características tiene? Razone la respuesta.
Es una imagen virtual, derecha, menor, situada en el lado contrario del espejo al que se
encuentra el objeto y está siempre situada más cerca del espejo que el objeto.
31.–
Dibuje la marcha de los rayos e indique el tipo de imagen formada con una lente
convergente si:
a) la distancia objeto, s, es igual al doble de la focal, f;
b) la distancia objeto es igual a la focal.
a) Imagen real, invertida, a doble distancia que el foco y del mismo tamaño ; b) No se forma
imagen.
10
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental de las lentes (con s = 2 f'):
1 1 1
1
1
1
− =
⇔
−
=
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑠𝑠′ 2 𝑓𝑓′ 𝑓𝑓′
1
1
1
3
2 𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
= +
=
⇔ 𝑠𝑠′ =
= .
𝑠𝑠′ 𝑓𝑓′ 2 𝑓𝑓′ 2 𝑓𝑓′
3
3
La imagen es virtual (s' < 0, en el mismo lado de la lente),
derecha (como toda imagen virtual en un solo dispositivo
óptico) y la tercera parte de tamaño (estas dos últimas
puntualizaciones se pueden obtener de y s' = −y' s).
b) Aplicando la Ecuación fundamental de las lentes (con s = ½ f'):
1 1 1
1 1
1
− =
⇔
− =
𝑠𝑠′ 𝑓𝑓′ 𝑓𝑓′
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
2
1
1 2
3
𝑓𝑓′ 2 𝑠𝑠
= + =
⇔ 𝑠𝑠′ = =
.
𝑠𝑠′ 𝑓𝑓′ 𝑓𝑓′ 𝑓𝑓′
3
3
virtual (s' < 0, en el mismo lado de la lente), derecha
(como toda imagen virtual en un solo dispositivo óptico) y
las dos terceras parte de tamaño (estas dos últimas
puntualizaciones se pueden obtener de y s' = −y' s).
Solución: Ver la imagen. La imagen está siempre
situada al otro lado del espejo, por lo que es virtual,
está derecha, ya que la prolongación del rayo que se
dirige al centro óptico siempre se encuentra por
encima del eje óptico y se encuentra entre el foco y el
espejo. Siempre es menor que el objeto ya que la
prolongación del rayo que sale del objeto paralelo al
eje óptico, siempre está a altura menor que el objeto ya
que desciende hacia el foco.
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de las lentes:
1 1 1
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
− =
⇔ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
−𝑓𝑓 · 2𝑓𝑓
𝑠𝑠′ =
= −2𝑓𝑓 = 2 𝑓𝑓′
−𝑓𝑓 + 2𝑓𝑓
𝑦𝑦 (−2𝑓𝑓)
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔ 𝑦𝑦 ′ =
= −𝑦𝑦.
2𝑓𝑓
La imagen está a una distancia de la lente dos veces la focal al otro lado del objeto (s' = 2 f' > 0),
por lo que es real, está invertida (y'/y < 0) y es igual que el objeto (|y'| = |y|).
a) Aplicando la Ecuación fundamental de las lentes:
1 1 1
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
− =
⇔ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
(−𝑓𝑓)𝑓𝑓
𝑠𝑠′ =
= ±∞.
−𝑓𝑓 + 𝑓𝑓
No forma imagen de ningún tipo.
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
32.–
Dibuje la marcha de los rayos en una lente convergente, cuando la imagen producida es
virtual.
El objeto debe estar entre la lente y el foco objeto. Imagen en el mismo lado que el objeto
(s' < 0) y a mayor distancia de la lente (s' < s), virtual, derecha (y' > 0), y de mayor tamaño
(y'/y > 1).
10
33.–
Diga si la siguiente frase es cierta o falsa y razone la respuesta: “La imagen producida por
un dioptrio plano es real y de mayor tamaño que el objeto”.
La imagen es virtual y del mismo tamaño que el objeto. La frase es falsa.
10
34.–
Disponemos de una lente divergente de distancia focal 6,0 cm y colocamos un objeto de
4,0 cm de altura a una distancia de 12 cm de la lente. Obtenga, mediante el trazado de rayos, la
imagen del objeto indicando qué clase de imagen se forma. Calcule la posición y el tamaño de la
imagen.
A 4,0 cm de la lente en el mismo lado que el objeto y de tamaño 1,3 cm.
10
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de las lentes
[teniendo en cuenta que f' > 0 (por ser convergente), s < 0 (por convenio) y s' < 0 (una imagen
virtual producida por una lente siempre ha de estar en el mismo lado de la lente que el objeto)]:
1 1 1
1 1
− = >0 ⇔
>
⇔ 𝑠𝑠′ < 𝑠𝑠
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠
1 1 1
1 1 1
1 1
− =
⇔
− = <0 ⇔
<
⇔ 𝑓𝑓 < 𝑠𝑠 < 0
𝑠𝑠 𝑓𝑓 𝑠𝑠′
𝑠𝑠 𝑓𝑓
𝑠𝑠 𝑠𝑠′ 𝑓𝑓
𝑦𝑦′ 𝑠𝑠′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
= > 1.
𝑦𝑦
𝑠𝑠
El objeto debe estár más cerca de la lente que el foco (|f| < |s|). La imagen está más lejos de la
lente que el objeto, está derecha y es mayor que él (y'/y > 1).
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental de los dioptrios (con R = ∞):
𝑛𝑛′ 𝑛𝑛 𝑛𝑛′ − 𝑛𝑛
𝑛𝑛′ 𝑛𝑛
𝑛𝑛 𝑛𝑛′
𝑛𝑛′ 𝑠𝑠
− =
⇔
− =0 ⇔
=
⇔ 𝑠𝑠′ =
.
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠
𝑅𝑅
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠
𝑠𝑠 𝑠𝑠′
𝑛𝑛
Teniendo en cuenta que el tamaño de una imagen viene dado por: y n s' = y' n' s:
𝑛𝑛′ 𝑠𝑠
𝑦𝑦 𝑛𝑛
= 𝑦𝑦 ′ 𝑛𝑛′ 𝑠𝑠 ⇔ 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦 ′ .
𝑛𝑛
La imagen es del mismo tamaño que el objeto y está derecha. Se forma en el mismo lado del
objeto por lo que se forma con las prolongaciones de los rayos: es virtual. La frase es falsa.
Solución: Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de las lentes:
1 1 1
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
− =
⇔ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
−0,060 m · (−0,12 m)
𝑠𝑠′ =
= −0,040 m.
−0,060 m + (−0,12 m)
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑦𝑦
𝑠𝑠′
𝑓𝑓′
+ 𝑠𝑠
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔ 𝑦𝑦′ =
=
𝑠𝑠
𝑠𝑠
(
)
𝑦𝑦 𝑓𝑓′
0,040 m · −0,060 m
𝑦𝑦′ =
=
≅ 0,013 m.
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠 −0,060 m + (−0,12 m)
La imagen está a 4,0 cm de la lente en el mismo lado que el objeto (s' > 0), por lo que es virtual,
está derecha (y'/y < 0) y es menor que el objeto (y' ≈ 1,3 cm; la tercera parte).
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
35.–
Dos lentes delgadas convergentes forman el sistema óptico centrado que muestra la figura.
La focal de la primera lente es 20 cm, y la de la segunda 10 cm. La distancia entre las lentes es
60 cm. Un objeto perpendicular al eje óptico de las lentes se sitúa 60 cm a la izquierda de la
primera lente.
a) Obtenga la imagen del objeto a través de las dos lentes mediante trazado de rayos.
b) Indique si esta imagen es real o virtual, derecha o invertida, mayor o menor que el objeto.
c) Calcule numéricamente la posición de esta imagen.
Nota: Explique el procedimiento seguido para trazar los rayos y razone las respuestas.
b) Al otro lado de las lentes (s2' = 15 cm; s1' = 75 cm), real, derecha (por doble inversión) y la
cuarta parte del objeto (y'/y = 0,25) ; c) Al otro lado de las lentes (s2' = 15 cm; s1' = 75 cm).
𝑓𝑓 ′ 2 𝑠𝑠2
𝑦𝑦2 ′
𝑦𝑦2 𝑓𝑓 ′ 2
𝑓𝑓 2 + 𝑠𝑠2
𝑦𝑦2 𝑠𝑠 ′
−0,50 𝑦𝑦 · 0,10 m
′
′
′
𝑦𝑦 𝑠𝑠2 = 𝑦𝑦2 𝑠𝑠 ⇔ 𝑦𝑦 =
=
= ′
=
= 0,25 𝑦𝑦.
𝑠𝑠2
𝑠𝑠2
𝑓𝑓 2 + 𝑠𝑠2 0,10 m + (−0,30 m)
10
10
Solución: a y c) Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral a la
primera de las lentes:
1
1
𝑓𝑓′1 𝑠𝑠
0,20 m · (−0,60 m)
1
− =
⇔ 𝑠𝑠′1 =
=
= 0,30 m.
𝑓𝑓′1 + 𝑠𝑠 0,20 m + (−0,60 m)
𝑠𝑠′1 𝑠𝑠 𝑓𝑓′1
𝑓𝑓′1 𝑠𝑠
𝑦𝑦 𝑠𝑠′1 𝑦𝑦 𝑓𝑓′1 + 𝑠𝑠
𝑦𝑦 𝑓𝑓′1
𝑦𝑦 · 0,20 m
𝑦𝑦′1 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠′1 ⇔ 𝑦𝑦′1 =
=
=
=
= −0,50 𝑦𝑦.
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑓𝑓′1 + 𝑠𝑠 0,20 m + (−0,60 m)
La imagen formada por esta primera lente actúa de objeto para la segunda (y'1 = y2), y como
entre las dos lentes hay una distancia de 60 cm, la imagen formada estará a:
s2 = s1' − d = 30 cm − 60 cm = −30 cm.
Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral a la segunda de las lentes:
𝑓𝑓 ′ 2 𝑠𝑠2
1
0,10 m · (−0,30 m)
1 1
′
− =
⇔ 𝑠𝑠 = ′
=
= 0,15 m.
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠2 𝑓𝑓′2
𝑓𝑓 2 + 𝑠𝑠2 0,10 m + (−0,30 m)
36.–
El ojo humano se asemeja a un sistema óptico formado por una lente convergente (el
cristalino) de +15 mm de distancia focal. La imagen de un objeto lejano (en el infinito) se forma
sobre la retina, que se considera como una pantalla perpendicular al sistema óptico. Calcule:
a) la distancia entre la retina y el cristalino;
b) la posición de la imagen de un árbol que está a 50 m del cristalino del ojo;
c) el tamaño de la imagen de un árbol de 10 m de altura que está a 100 m del ojo.
a) s' = 1,5 cm ; b) s' ≈ 1,5 cm ; c) y' = −1,5 mm.
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
b) La imagen está a 15 cm de la segunda lente, en el lado contrario del objeto (s' > 0), por tanto
75 cm detrás de la primera lente, siempre se ha formado por unión de rayos, por lo que es real, está
derecha (y’/y > 0) y mide la cuarta parte del objeto.
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental de las lentes (con s = −∞):
1 1 1
1
1
− =
���� =
⇒ 𝑠𝑠′ = 𝑓𝑓′ = 15 mm.
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′ 𝑠𝑠 =−∞ 𝑠𝑠′ 𝑓𝑓′
b) Aplicando otra vez la Ecuación fundamental de las lentes:
1 1 1
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
− =
⇔ 𝑠𝑠′ = ′
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠
0,015 m · (−50 m)
𝑠𝑠′ =
≅ 0,015 m.
0,015 m + (−50 m)
Como conclusión, todo lo que está a una distancia del ojo mucho mayor que los 15 mm de
distancia entre la retina y el cristalino, se proyecta nítidamente sobre la retina.
c) Aplicando la Ecuación del aumento lateral:
𝑦𝑦 𝑠𝑠′ 10 m · 0,015 m
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔ 𝑦𝑦′ =
=
= −0,001 5 m = −1,5 mm.
(−100 m)
𝑠𝑠
La imagen es mucho más pequeña y está invertida.
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
37.–
Elija la respuesta correcta, sin que sea necesario que la justifique.
a) La imagen de un objeto producida por un espejo plano es:
a.1) derecha, real, del mismo tamaño y simétrica respecto de la superficie del espejo;
a.2) derecha, virtual, del mismo tamaño y simétrica respecto de la superficie del
espejo;
a.3)
derecha, virtual, de distinto tamaño y simétrica respecto de la superficie del
10
espejo.
b) La imagen que forma una única lente divergente es siempre:
b.1) virtual, derecha y de menor tamaño que el objeto;
b.2) derecha o invertida, según el lugar donde esté situado el objeto;
b.3) virtual, derecha y de mayor tamaño que el objeto.
a) La respuesta correcta es la a.2) ; b) La respuesta correcta es la b.1).
38.–
En el banco óptico del laboratorio disponemos de una lente cuya distancia focal es
−20 cm.
a) Determine la posición y tamaño de la imagen de un objeto de 5,0 cm de altura cuando se
coloca a 30 cm de la lente.
b) Determine la posición y tamaño de la imagen de un objeto de 5,0 cm de altura cuando se
coloca a 10 cm de la lente.
c) Calcule la potencia de la lente.
a) A 12 cm de la lente en el mismo lado que el objeto y de tamaño 2,0 cm ; b)
Aproximadamente a 6,7 cm de la lente en el mismo lado que el objeto y de tamaño aproximado
3,3 cm ; c) P = −5,0 D.
10
39.–
En el esquema adjunto se representa un objeto de altura y, así como su imagen, de altura
y', proporcionada por una lente delgada convergente. Determine, explicando el procedimiento
seguido, la distancia focal imagen f’ de la lente. ¿La imagen es real o virtual? ¿Cuál es el
aumento lateral que proporciona la lente para ese objeto?
Datos: Cada una de las divisiones (horizontales y verticales) equivale a 10 cm
f’ = 20 cm; La imagen es virtual por estar al mismo lado de la lente que el objeto; y’/y = 2,0.
10
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: Las soluciones correctas son la a.2) y la b.1).
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de las lentes:
1 1 1
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
− =
⇔ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
(
)
−0,20 m · −0,30 m
𝑠𝑠′ =
= −0,12 m.
−0,20 m + (−0,30 m)
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑦𝑦 𝑠𝑠′
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔ 𝑦𝑦′ =
=
𝑠𝑠
𝑠𝑠
′
(
)
𝑦𝑦
𝑓𝑓
0,050
m
·
−0,20
m
=
= 0,020 m.
𝑦𝑦 ′ = ′
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠 −0,20 m + (−0,30 m)
La imagen está a 12 cm de la lente en el mismo lado que el objeto (s' > 0), por lo que es virtual,
está derecha (y'/ y < 0) y es menor que el objeto (las dos quintas partes).
b) Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de las lentes:
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
1 1 1
− =
⇔ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
−0,20 m · (−0,10 m)
𝑠𝑠′ =
≅ −0,067 m.
−0,20 m + (−0,10 m)
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑦𝑦
𝑠𝑠′
𝑓𝑓′
+ 𝑠𝑠
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔ 𝑦𝑦′ =
=
𝑠𝑠
𝑠𝑠
(
)
𝑦𝑦 𝑓𝑓′
0,050 m · −0,20 m
𝑦𝑦′ =
=
≅ 0,033 m.
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠 −0,20 m + (−0,10 m)
La imagen está a 6,7 cm de la lente en el mismo lado que el objeto (s' > 0), por lo que es virtual,
está derecha (y'/ y < 0) y es menor que el objeto (las dos terceras partes).
c) Aplicando la definición de potencia: P = 1/ f' = 1/ −0,20 m = −5,0 D.
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental de las lentes:
1 1 1
𝑠𝑠 𝑠𝑠′
− =
⇔ 𝑓𝑓′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑠𝑠 − 𝑠𝑠′
−0,10 m · (−0,20 m)
𝑓𝑓 ′ =
= 0,20 m.
−0,10 m − (−0,20 m)
La distancia focal imagen es +20 cm (lente convergente).
La imagen es virtual, ya que está al mismo lado de la lente que el objeto (también se podría
haber alegado que una imagen derecha, creada por un solo objeto óptico, ha de ser virtual, ya que
ambas cualidades van asociadas).
Aplicando la ecuación del aumento lateral de las lentes:
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 ′ −0,20 m
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
= =
= 2,0.
𝑦𝑦
𝑠𝑠 −0,10 m
La imagen mide el doble que el objeto (también se podría hacer leyendo en el esquema la
proporción entre objeto e imagen).
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
40.–
Entre los instrumentos que acarrea el Curiosity está la cámara Mars Hand Lens para
fotografiar en color los minerales del suelo marciano. La lente de la cámara posee una distancia
focal de 18,3 mm, y lleva un filtro que sólo deja pasar la luz comprendida en el intervalo
380−680 nm (1 nm = 10−9 m). Calcule:
a) la potencia de la lente;
b) la frecuencia más alta de la luz que puede fotografiarse;
c) la posición de la imagen formada por la lente de un objeto situado a 10 cm.
10
a) P ≈ +54,6 D ; b) f ≈ 789 THz ; c) s’ ≈ 2,24 cm.
41.–
Entre un objeto de 2,0 cm de tamaño y una pantalla que dista de él 60 cm se coloca una
lente convergente. Se obtienen imágenes nítidas en la pantalla para dos posiciones de la lente
separadas entre sí 40 cm. Calcule:
a) la distancia focal de la lente y su potencia;
b) el tamaño de las imágenes en las dos posiciones de la lente.
a) f’ ≈ 8,3 cm; P ≈ +12 D ; b) y1’ = −4,0 mm; y2 ’ = −10 cm.
Solución: a) La potencia de la lente viene dada por:
1
1
𝑃𝑃 = ′ =
≅ +54,6 m−1 = +54,6 D.
1m
𝑓𝑓
18,3 mm · 1 000 mm
b) La frecuencia se obtiene de la expresión de la velocidad de la luz:
𝜆𝜆
𝑐𝑐
3,00·108 m s −1
𝑐𝑐 = = 𝜆𝜆 𝑓𝑓 ⇒ 𝑓𝑓 = =
≅ 7,89·1014 Hz.
10−9 m
𝑇𝑇
𝜆𝜆
380 nm ·
1 nm
Como la longitud de onda está en el denominador, hemos utilizado el valor más bajo de la
longitud de onda.
c) Aplicando la Ecuación fundamental de las lentes:
1 1 1
− =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓 ′ 𝑠𝑠
1,83 cm · ( − 10,0 cm)
𝑠𝑠 ′ = ′
=
≅ 2,24 cm.
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠 1,83 cm + ( − 10,0 cm)
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental de las lentes a las dos posiciones de la lente
(teniendo en cuenta que la distancia entre s2 y s1 es df = 40 cm, la distancia entre s2’ y s1’ es
−df = −40 cm y ds = 60 cm):
1 1 1
𝑠𝑠1 𝑠𝑠1′
𝑠𝑠2 𝑠𝑠2′
𝑠𝑠1 𝑠𝑠1′ 𝑠𝑠2 𝑠𝑠2′
−
=
⇔
𝑓𝑓′
=
=
⇒
=
⇒ 𝑠𝑠1 𝑠𝑠1′ = 𝑠𝑠2 𝑠𝑠2′
𝑠𝑠 ′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑠𝑠1 − 𝑠𝑠1′ 𝑠𝑠2 − 𝑠𝑠2′
−𝑑𝑑
−𝑑𝑑
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑑𝑑𝑠𝑠 = 𝑠𝑠1′ − 𝑠𝑠1 = 𝑠𝑠2′ − 𝑠𝑠2 ; 𝑠𝑠1′ = 𝑑𝑑𝑠𝑠 + 𝑠𝑠1 ; 𝑠𝑠2′ = 𝑑𝑑𝑠𝑠 + 𝑠𝑠2
𝑠𝑠1 (𝑑𝑑𝑠𝑠 + 𝑠𝑠1 ) = 𝑠𝑠2 (𝑑𝑑𝑠𝑠 + 𝑠𝑠2 )
⇒ 𝑠𝑠1 (𝑑𝑑𝑠𝑠 + 𝑠𝑠1 ) = �𝑑𝑑𝑓𝑓 + 𝑠𝑠1 ��𝑑𝑑𝑠𝑠 + 𝑑𝑑𝑓𝑓 + 𝑠𝑠1 �
𝑑𝑑𝑓𝑓 = 𝑠𝑠2 − 𝑠𝑠1 ; 𝑠𝑠2 = 𝑑𝑑𝑓𝑓 + 𝑠𝑠1
𝑠𝑠1 𝑑𝑑𝑠𝑠 + 𝑠𝑠12 = 𝑑𝑑𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑠𝑠 + 𝑑𝑑𝑓𝑓2 + 𝑑𝑑𝑓𝑓 𝑠𝑠1 + 𝑠𝑠1 𝑑𝑑𝑠𝑠 + 𝑑𝑑𝑓𝑓 𝑠𝑠1 + 𝑠𝑠12 ⇒ 0 = 𝑑𝑑𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑠𝑠 + 𝑑𝑑𝑓𝑓2 + 2 𝑑𝑑𝑓𝑓 𝑠𝑠1
𝑑𝑑𝑓𝑓 + 𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑠𝑠 − 𝑑𝑑𝑓𝑓
�−
�𝑑𝑑𝑓𝑓 + 𝑑𝑑𝑠𝑠 ��𝑑𝑑𝑠𝑠 − 𝑑𝑑𝑓𝑓 � 𝑑𝑑𝑠𝑠2 − 𝑑𝑑𝑓𝑓2
𝑑𝑑𝑓𝑓 + 𝑑𝑑𝑠𝑠
2 �� 2 �
𝑠𝑠1 = −
; 𝑓𝑓 ′ =
=
=
𝑑𝑑𝑓𝑓 + 𝑑𝑑𝑠𝑠
𝑑𝑑𝑠𝑠 − 𝑑𝑑𝑓𝑓
2
4 𝑑𝑑𝑠𝑠
4 𝑑𝑑𝑠𝑠
�− 2 � − � 2 �
(60 cm)2 − (40 cm)2
1
4 𝑑𝑑𝑠𝑠
𝑓𝑓 ′ =
≅ 8,3 cm ; 𝑃𝑃 = ′ = 2
= +12 m−1 = +12 D.
4 · 60 cm
𝑓𝑓
𝑑𝑑𝑠𝑠 − 𝑑𝑑𝑓𝑓2
La distancia focal imagen es aproximadamente +8,3 cm (lente convergente).
b) Aplicando la ecuación del aumento lateral de las lentes:
𝑑𝑑𝑠𝑠 − 𝑑𝑑𝑓𝑓
′
𝑦𝑦
𝑦𝑦 �𝑑𝑑𝑠𝑠 − 𝑑𝑑𝑓𝑓 � 2,0 cm · 20 cm
𝑦𝑦
𝑠𝑠
1
2
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔ 𝑦𝑦1′ =
=
=
=
= −4,0 mm.
𝑑𝑑𝑓𝑓 + 𝑑𝑑𝑠𝑠 −�𝑑𝑑𝑠𝑠 + 𝑑𝑑𝑓𝑓 �
𝑠𝑠1
−100 cm
− 2
La imagen mide la quinta parte del objeto.
𝑑𝑑𝑠𝑠 + 𝑑𝑑𝑓𝑓
′
𝑦𝑦
𝑦𝑦 �𝑑𝑑𝑠𝑠 + 𝑑𝑑𝑓𝑓 � 2,0 cm · 100 cm
𝑦𝑦
𝑠𝑠
2
2
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔ 𝑦𝑦2′ =
=
=
=
= −10 cm.
𝑑𝑑𝑓𝑓 − 𝑑𝑑𝑠𝑠
𝑠𝑠2
𝑑𝑑𝑓𝑓 − 𝑑𝑑𝑠𝑠
−20 cm
2
La imagen es cinco veces mayor que el objeto.
10
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Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
42.–
Es corriente utilizar espejos convexos como retrovisores en coches y camiones o en
vigilancia de almacenes, con objeto de proporcionar mayor ángulo de visión con un espejo de
tamaño razonable.
a) Explique con ayuda de un esquema las características de la imagen formada en este tipo de
espejos.
b) En estos espejos se suele indicar: “Atención, los objetos están más cerca de lo que parece”.
10
¿Por qué parecen estar más alejados?
a) Imagen al otro lado del espejo, más cerca de éste que el objeto, virtual, derecha y menor ;
b) Al ser la imagen más pequeña, nos da la impresión de estar más lejos.
43.–
Explique dónde debe estar situado un objeto respecto a una lente delgada para obtener una
imagen virtual y derecha:
a) si la lente es convergente;
b) si la lente es divergente.
Realice en ambos casos las construcciones geométricas e indique si la imagen es mayor o
menor que el objeto.
a) Entre el foco y la lente; la imagen será mayor y estará situada a la izquierda del objeto ; b)
En cualquier sitio a la izquierda de la lente; la imagen será menor y estará situada entre el foco
10 imagen y la lente y siempre más cerca de la lente que el objeto.
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental y la del
aumento lateral de los espejos esféricos:
𝑓𝑓 ′ 𝑠𝑠
1 1 1
+ =
⇔ 𝑠𝑠′ =
> 0.
𝑠𝑠 − 𝑓𝑓 ′
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
ya que f' es positivo y s negativo.
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
−
𝑦𝑦′
−𝑠𝑠′
−𝑓𝑓′
𝑦𝑦′
𝑠𝑠
− 𝑓𝑓′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
=
=
=
⇔
< 1.
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑠𝑠 − 𝑓𝑓′
𝑦𝑦
La imagen está en el otro lado del espejo (s' > 0), por lo que es virtual, más cerca de la lente que
el objeto, derecha (y'/y > 0), y es menor que el objeto (|y'/y| < 1).
Dan imágenes virtuales, derechas, menores y más cercanas al dispositivo óptico que el objeto.
b) Al ser de tamaño menor que el objeto, nuestro cerebro, que conoce el tamaño real del objeto,
interpreta que está más lejos, por lo que la sensación que nos produce es la de lejanía.
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental de las lentes (con f' > 0 y s' < 0 −si s < 0−):
1 1 1
1 1
𝑠𝑠 𝑠𝑠 ′
′
− =
⇔
>
⇔ 𝑠𝑠 > 𝑠𝑠 ; Como 𝑓𝑓 =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠
𝑠𝑠′ − 𝑠𝑠
′
′
2
′
2
𝑠𝑠 𝑠𝑠
𝑠𝑠 𝑠𝑠 − 𝑠𝑠 − 𝑠𝑠 𝑠𝑠
− 𝑠𝑠
𝑠𝑠 − 𝑓𝑓 = 𝑠𝑠 −
=
=
> 0.
𝑠𝑠′ − 𝑠𝑠
𝑠𝑠′ − 𝑠𝑠
𝑠𝑠′ − 𝑠𝑠
El objeto ha de estar entre el foco y la lente, y la imagen estará a
la izquierda del objeto y será mayor que éste (y' s = y s' por lo que,
como s y s' son menores que 0,al ser |s| < |s'| tiene que ser y < y').
b) Aplicando la Ecuación fundamental de las lentes (con f' < 0 y s' < 0 −si s < 0−):
1 1 1
1 1
𝑠𝑠 𝑠𝑠′
− =
⇔
<
⇔ 𝑠𝑠 < 𝑠𝑠′ ; Como 𝑓𝑓′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠
𝑠𝑠 − 𝑠𝑠′
2
2
𝑠𝑠 𝑠𝑠′
𝑠𝑠 𝑠𝑠′ − 𝑠𝑠′ − 𝑠𝑠 𝑠𝑠′
− 𝑠𝑠′
𝑠𝑠 ′ − 𝑓𝑓 ′ = 𝑠𝑠 ′ −
=
=
> 0.
𝑠𝑠 − 𝑠𝑠′
𝑠𝑠 − 𝑠𝑠′
𝑠𝑠 − 𝑠𝑠′
Virtual (s' < 0, en el mismo lado de la lente y entre el foco
imagen y la lente), derecha (como toda imagen virtual en un solo
dispositivo óptico) y menor (y' s = y s' por lo que, como s y s' son
menores que 0, al ser |s| > |s'| tiene que ser y > y').
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
44.–
Explique mediante construcciones geométricas qué posiciones debe ocupar un objeto,
delante de una lente delgada convergente, para obtener:
a) una imagen real de tamaño menor, igual o mayor que el objeto;
b) una imagen virtual. ¿Cómo está orientada esta imagen y cuál es su tamaño en relación con
el objeto?
a) A más, justo igual o menos de dos veces la distancia focal ; b) Está derecha y su tamaño
siempre es mayor al del objeto: y’/y = f’/(f’ + s).
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental de las lentes (con f' > 0 y s < 0 −esto último por
convenio−):
1 1 1
1 1 1
1
1
− =
��������
= + >0 ⇒
>
⇔ |𝑓𝑓′| < |𝑠𝑠| �������������� 𝑠𝑠 < 𝑓𝑓.
Como 𝑠𝑠 < 0 y 𝑓𝑓 =−𝑓𝑓'
|𝑓𝑓′| |𝑠𝑠|
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′ por ser real 𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
Por tanto, para dar una imagen real, el objeto deberá estar situado a la izquierda del foco objeto.
Como el tamaño de la imagen viene dado por: y' s = y s':
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
′
′ + 𝑠𝑠
𝑠𝑠
1 1 1
𝑓𝑓
𝑦𝑦′
𝑠𝑠′
𝑓𝑓′
𝑓𝑓
− =
⇔ 𝑠𝑠 ′ = ′
; De donde
= =
= ′
.
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠
Como la imagen es real y' es negativo por lo que, para comprobar si la imagen es menor, igual o
mayor, tenemos que escoger este cociente comparándolo con −1 (situación en la que y' es igual a y
pero invertida.
Menor ⇒ |y'| < y ⇒ Por ser y' negativo:
𝑦𝑦′
𝑓𝑓′
> −1 ; ′
> −1 ⇒ 𝑓𝑓 ′ < −𝑓𝑓 ′ − 𝑠𝑠 ⇒ 2 𝑓𝑓 ′ < −𝑠𝑠 ⇒ −2 𝑓𝑓 < −𝑠𝑠 ⇔ |𝑠𝑠| > |2 𝑓𝑓|.
𝑦𝑦
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠
El objeto tiene que estar a más del doble de la distancia focal.
Siguiendo el mismo razonamiento cuando este a una distancia igual a 2 f, la imagen será del
mismo tamaño, y si está entre una y dos veces la distancia focal, la imagen será mayor.
10
b) Aplicando la Ecuación fundamental de las lentes (con f' > 0 y s < 0 −esto último por
convenio−):
1 1 1
1 1 1
1
1
− =
���������� = + < 0 ⇒
<
⇔ |𝑓𝑓′| > |𝑠𝑠| �������������� 𝑠𝑠 > 𝑓𝑓.
Como 𝑠𝑠 < 0 y 𝑓𝑓 =−𝑓𝑓'
|𝑓𝑓′| |𝑠𝑠|
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′ por ser virtual 𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
Por tanto, para dar una imagen virtual, el objeto deberá estar situado a la derecha del foco objeto.
Como el tamaño de la imagen viene dado por: y' s = y s':
1 1 1
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
− =
⇔ 𝑠𝑠′ = ′
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
𝑓𝑓′
𝑦𝑦′ 𝑠𝑠′ 𝑓𝑓 ′ + 𝑠𝑠
De donde = =
= ′
.
𝑠𝑠
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑠𝑠
Como f' es positivo y s es negativo, este cociente es
siempre mayor que 1 por lo que la imagen es mayor y derecha.
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
45.–
La distancia focal de un espejo esférico es de 20 cm en valor absoluto. Si se coloca un
objeto delante del espejo a una distancia de 10 cm de él, determine la posición y la naturaleza de
la imagen formada en los dos casos siguientes:
a) El espejo es cóncavo.
b) El espejo es convexo.
Efectúe la construcción geométrica de la imagen en ambos casos.
a) s' = 20 cm; virtual, derecha y el doble ; b) s' ≈ 6,7 cm; virtual, derecha y menor (2/3).
10
10
46.–
La lente convergente de un proyector tiene una distancia focal de 15,0 cm y proyecta una
imagen de una diapositiva de 3,50 cm de lado sobre una pantalla situada a una distancia de
5,00 m de la lente. Calcule:
a) la distancia entre la lente y la diapositiva;
b) el aumento de la imagen en la pantalla.
c) Represente esquemáticamente la formación de la imagen.
a) La diapositiva está a 15,5 cm de la lente ; b) La imagen (invertida) tiene 1,13 m de lado.
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental y la del aumento lateral de los espejos
esféricos:
1 1 1
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
+ =
⇔ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑠𝑠 − 𝑓𝑓′
(−0,20 m) · (−0,10 m)
𝑠𝑠 ′ =
= 0,20 m.
(−0,10 m) − (−0,20 m)
𝑓𝑓′𝑠𝑠
−
𝑦𝑦′
−𝑠𝑠′
𝑠𝑠
− 𝑓𝑓′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
=
=
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑦𝑦′
−𝑓𝑓′
−(−0,20 m)
=
=
= 2,0.
𝑦𝑦 𝑠𝑠 − 𝑓𝑓′ (−0,10 m) − (−0,20 m)
La imagen está 20 cm por detrás del espejo (s' > 0), por lo que es virtual, está derecha (y'/y > 0) y
es el doble del objeto (|y'|/|y| = 2,0).
b) Aplicando las mismas ecuaciones con los datos nuevos:
1 1 1
𝑓𝑓′𝑠𝑠
+ =
⇔ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑠𝑠 − 𝑓𝑓′
0,20 m · (−0,10 m)
𝑠𝑠′ =
≅ 0,067 m.
(−0,10 m) − 0,20 m
𝑓𝑓′𝑠𝑠
−
𝑦𝑦′
−𝑠𝑠′
𝑠𝑠
− 𝑓𝑓′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
=
=
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑦𝑦′
−𝑓𝑓′
−0,20 m
=
=
≅ 0,67.
𝑦𝑦 𝑠𝑠 − 𝑓𝑓′ (−0,10 m) − 0,20 m
La imagen está 6,7 cm por detrás del espejo (s' > 0), por lo que es virtual, está derecha (y'/y > 0)
y es las dos terceras partes del objeto (|y'|/|y| ≈ 0,67).
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental de las lentes:
1 1 1
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠′
− =
⇔ 𝑠𝑠 =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓′ − 𝑠𝑠′
0,150 m · 5,00 m
𝑠𝑠 =
≅ −0,155 m.
0,150 m − 5,00 m
b) Aplicando la Ecuación del aumento lateral:
𝑦𝑦 𝑠𝑠′
𝑦𝑦 𝑠𝑠′
𝑦𝑦 (𝑓𝑓′ − 𝑠𝑠′)
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔ 𝑦𝑦′ =
=
=
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠′
𝑠𝑠
𝑓𝑓′
𝑓𝑓′ − 𝑠𝑠′
(
0,0350 m · 0,150 m − 5,00 m)
𝑦𝑦′ =
≅ −1,13 m.
0,150 m
La diapositiva está a 15,5 cm de la lente en el lado contrario a la pantalla (s < 0). La imagen es
real, está invertida (y'/y < 0) y es más de 32 veces mayor que la diapositiva (de 1,13 m de lado).
c) Ver imagen.
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
47.–
La lente de la cámara de un teléfono móvil es biconvexa de radio 7,0 mm, y está hecha de
un plástico de 1,55 de índice de refracción.
a) Calcule la velocidad de la luz en el interior de la lente.
b) Calcule la distancia focal imagen de la lente y su potencia.
c) Se extrae la lente y se sitúa 4,0 cm a su izquierda una vela encendida. Indique si la imagen a
través de la lente es real o virtual, y determine la posición de dicha imagen.
Datos: Velocidad de la luz en el vacío: c = 3,00·108 m s−1
10
a) v ≈ 194 Mm s−1 ; b) f' ≈ 6,4 mm; P ≈ +1,6 hD ; c) La imagen es real, invertida y menor y
se encuentra aproximadamente a 7,6 mm de la lente.
48.–
La lente de un proyector tiene una distancia focal de 0,50 cm. Se sitúa a una distancia de
0,51 cm de la lente un objeto de 5,0 cm de altura. Calcule:
a) la distancia a la que hay que situar la pantalla para observar nítida la imagen del objeto;
b) el tamaño mínimo de la pantalla para que se proyecte entera la imagen del objeto.
a) s' ≈ 25 cm ; b) y' = 2,5 m.
10
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: a) Por la definición de índice de refracción:
𝑐𝑐
𝑐𝑐 3,00·108 m s −1
𝑛𝑛 =
⇒ 𝑣𝑣 = =
≅ 1,94·108 m s−1 .
𝑣𝑣
𝑛𝑛
1,55
b) La lente, ya que lo dice el problema, es biconvexa (R1 > 0 y R2 < 0) y |R1| = |R2| = 7,0 mm
porque lo dice el enunciado. Aplicando la Ecuación fundamental de las lentes:
1 1
1
1
1
1
𝑅𝑅2 − 𝑅𝑅1
2
− = (𝑛𝑛 − 1) � − � = = 𝑃𝑃 ⇔ 𝑃𝑃 = = (𝑛𝑛 − 1) �
� = (𝑛𝑛 − 1)
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠
𝑅𝑅1 𝑅𝑅2
𝑓𝑓′
𝑓𝑓′
𝑅𝑅1 𝑅𝑅2
𝑅𝑅
𝑅𝑅
7,0 mm
2 (𝑛𝑛 − 1) 2 (1,55 − 1)
𝑓𝑓′ =
=
≅ 6,4 mm ; 𝑃𝑃 =
=
≅ +157 D.
2 (𝑛𝑛 − 1) 2 (1,55 − 1)
𝑅𝑅
7,0 mm
c) Aplicando la Ecuación fundamental de las lentes:
1 1 1
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
− =
⇔ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
0,006 4 m · (−0,040 m)
𝑠𝑠′ ≅
≅ 0,007 6 m.
0,006 4 m + (−0,040 m)
La imagen está a 7,6 mm de la lente y en el otro lado del objeto
(s' > 0), por lo que es real, está invertida (y' < 0) y es de tamaño
menor que el del objeto (está más cerca de la lente que el objeto).
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental de las lentes:
1 1 1
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
− =
⇔ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
(
0,005 0 m · −0,005 1 m)
𝑠𝑠′ =
≅ 25 cm.
0,005 0 m + (−0,005 1 m)
Hay que situar la pantalla a unos 25 cm.
b) Aplicando la ecuación del aumento lateral de las lentes:
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
𝑦𝑦′
𝑠𝑠′
𝑓𝑓′
𝑓𝑓′
+ 𝑠𝑠
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
= =
=
𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
′
𝑓𝑓
0,005 0
m
𝑦𝑦 ′ = 𝑦𝑦 ′
= 0,05 0 m ·
= −2,5 m.
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠
0,005 0 m+(−0,005 1 m)
Como la imagen tiene 2,5 m de altura, la pantalla ha de tener al menos ese tamaño.
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
49.–
−Óptica geométrica−
02/05/2015
La lente delgada convergente de la figura tiene una distancia focal imagen f' = 40 cm.
a) Calcule la posición y el tamaño de la imagen de cada uno de los dos objetos indicados en la
figura, O1 y O2, ambos de altura y = 2,0 cm.
b) Compruebe gráficamente sus resultados, mediante trazados de rayos.
a) s1' = 1,2 m; y1 ' = −4,0 cm ; b) s2' = −1,2 m; y2' = 8,0 cm.
10
50.–
La lente delgada divergente de la figura tiene una focal imagen f' = −10 cm. El objeto O,
de 5,0 cm de altura, está situado a 15 cm de la lente.
a) Calcule la posición y tamaño de la imagen.
b) Compruebe gráficamente sus resultados mediante un trazado de rayos.
a) s' = −6,0 cm; y' = 2,0 cm.
10
51.–
La potencia óptica, medida en dioptrías, de una lente es el doble de la distancia focal,
medida en metros. ¿Cuánto valen ambos parámetros?
P ≈ ±1,4 D ; f' ≈ ±0,71 m.
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental
y la Ecuación del aumento lateral de las lentes:
1 1 1
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
− =
⇔ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
0,40 m · (−0,60 m)
𝑠𝑠 ′ =
= 1,2 m.
0,40 m + (−0,60 m)
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑦𝑦 𝑠𝑠′
𝑦𝑦 𝑓𝑓′
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔ 𝑦𝑦′ =
=
=
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
0,020 m · 0,40 m
𝑦𝑦 ′ =
= −0,040 m.
0,40 m + (−0,60 m)
La imagen está a 1,2 m de la lente por el otro lado (s' > 0), por lo que es real, está invertida
(y'/y < 0) y el doble del objeto (|y'| = 0,040 m).
b) Aplicando la Ecuación fundamental y la
Ecuación del aumento lateral de las lentes:
1 1 1
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
− =
⇔ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
0,40 m · (−0,30 m)
𝑠𝑠 ′ =
= −1,20 m.
0,40 m +(−0,30 m)
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑦𝑦
𝑠𝑠′
𝑦𝑦 𝑓𝑓′
𝑓𝑓′
+ 𝑠𝑠
=
=
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔ 𝑦𝑦′ =
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
0,020 m · 0,40 m
𝑦𝑦 ′ =
= 0,080 m.
0,40 m + (−0,30 m)
La imagen está a 1,20 m de la lente y en el mismo lado que el objeto (s' < 0), por lo que es
virtual, está derecha (y' > 0) y es de tamaño cuádruple del del objeto (y' = 0,080 m).
b) Ver imágenes.
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de las lentes:
1 1 1
− =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
−0,10 m · (−0,15 m)
𝑠𝑠′ =
=
= −0,060 m.
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠 −0,10 m + (−0,15 m)
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑦𝑦
𝑠𝑠′
𝑦𝑦 𝑓𝑓′
𝑓𝑓′
+ 𝑠𝑠
=
=
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔ 𝑦𝑦′ =
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
0,050 m · (−0,10 m)
𝑦𝑦′ =
= 0,020 m.
−0,10 m + (−0,15 m)
b) Ver imagen.
Solución: P = 2 f' porque si lo igualáramos a f no habría solución:
𝑃𝑃 = 2 𝑓𝑓 ′ y 𝑃𝑃 =
10
𝑓𝑓 ′ = ±
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
1
1
⇔ 2 𝑓𝑓′2 = 1 ⇔ 𝑓𝑓 ′ = ±�
′
𝑓𝑓
2
√2
m = ±0,71 m ;
2
1
𝑃𝑃 = 2 𝑓𝑓 ′ = 2 · �±� � = ±√2 D = ±1,4 D.
2
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
52.–
Las lentes convergentes producen imágenes: ¿sólo reales, sólo virtuales o de ambos tipos?
Justifique la respuesta.
Forma imágenes de los dos tipos: reales, si el objeto se sitúa más lejos de la lente que el foco
objeto, y virtuales, si el objeto se sitúa entre la lente y el foco objeto.
Solución: Aplicando la Ecuación fundamental de las lentes
(con f' > 0 y s < 0 −esto último por convenio−) y teniendo en
cuenta que para una imagen real s’ > 0:
1 1 1
1 1 1
1
1
− =
��
= + >0 ⇒
>
|𝑓𝑓′| |𝑠𝑠|
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′ real 𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
|𝑓𝑓′| < |𝑠𝑠| �������������� 𝑠𝑠 < 𝑓𝑓.
Como 𝑠𝑠 < 0 y 𝑓𝑓 =−𝑓𝑓'
10
53.–
Mediante una lente delgada de focal f' = 10 cm se quiere obtener una imagen de tamaño
doble del objeto. Calcule la posición donde debe colocarse el objeto si la imagen debe ser:
a) real e invertida;
b) virtual y derecha.
c) Compruebe gráficamente sus resultados, en ambos casos, mediante trazados de rayos.
a) El objeto debe situarse en s = −15 cm, o sea, a la izquierda de la lente y a 15 cm de ésta ;
b) El objeto debe situarse en s = −5,0 cm, o sea, a la izquierda de la lente y a 5,0 cm de ésta.
10
54.–
Observamos una pequeña piedra que está incrustada bajo una plancha de hielo. Razone si
su profundidad aparente es mayor o menor que su profundidad real. Trace un diagrama de rayos
para justificar su respuesta.
Aparenta estar a menor profundidad de la que está: s' = s/n, donde n es el índice de refracción
del hielo, y es una imagen, virtual, derecha e igual.
10
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Por tanto, para dar una imagen real, el objeto deberá estar
situado a la izquierda del foco objeto.
Para una virtual s’ < 0:
1 1 1
1 1 1
1
1
− =
���� = + < 0 ⇒
<
|𝑓𝑓′| |𝑠𝑠|
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′ virtual 𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
|𝑓𝑓′| > |𝑠𝑠| �������������� 𝑠𝑠 > 𝑓𝑓.
Como 𝑠𝑠 < 0 y 𝑓𝑓 =−𝑓𝑓'
Por tanto, para dar una imagen virtual, el objeto deberá estar situado a la derecha del foco objeto.
Solución: a) Aplicando la Ecuación del aumento lateral y la Ecuación fundamental de las lentes
(el aumento es negativo porque la imagen se forma invertida):
𝑦𝑦′ 𝑠𝑠′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
= = −2,0 ⇔ 𝑠𝑠′ = −2 𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑠𝑠
1 1 1
1
1 1
3
1
− =
⇔
− =
⇔
=
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
−2 𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
−2 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
3 𝑓𝑓′
3 · 10 cm
𝑠𝑠 =
=
= −15 cm.
−2
−2
b) Aplicando las mismas ecuaciones:
𝑦𝑦′ 𝑠𝑠′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
= = 2,0 ⇔ 𝑠𝑠′ = 2 𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑠𝑠
1 1 1
1
1 1
−1
1
− =
⇔
− =
⇒
=
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
2 𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
2 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
−𝑓𝑓′
−10 cm
𝑠𝑠 =
=
= −5,0 cm.
2
2
Solución: Aplicando la Ecuación fundamental de los dioptrios con n' < n (va del hielo al aire) y
R = ±∞ (por ser plana la superficie de separación):
𝑛𝑛′ 𝑛𝑛 𝑛𝑛′ − 𝑛𝑛
𝑛𝑛′ 𝑠𝑠
− =
= 0 ⇔ 𝑠𝑠′ =
⇔ |𝑠𝑠′| < |𝑠𝑠|
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠
𝑅𝑅
𝑛𝑛
Como n' = 1 (índice de refracción del aire) nos
queda: s' = s/n (n = índice refracción del hielo)
Para hallar el tamaño de la imagen (no lo pide el
problema) utilizamos la expresión: y n s' = y' n' s, por
lo que:
𝑛𝑛′ 𝑠𝑠
𝑦𝑦′ 𝑛𝑛 𝑠𝑠′ 𝑛𝑛 𝑛𝑛
=
=
= 1.
𝑦𝑦 𝑛𝑛′ 𝑠𝑠
𝑛𝑛′ 𝑠𝑠
La imagen se forma en el mismo lado del objeto (s' tiene el mismo signo que s), por lo que la
imagen es virtual, está más cerca de la superficie de separación que el objeto, por lo que la
profundidad aparente será menor que la real y es del mismo tamaño que el objeto.
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
55.–
Obtenga de forma gráfica la imagen de un objeto en un espejo esférico convexo. Indique
las características de dicha imagen.
La imagen siempre es menor, derecha y virtual, encontrándose entre el foco y el espejo.
10
56.–
Obtenga gráficamente la imagen de un objeto situado a una distancia de una lente delgada
convergente mayor que el doble de la distancia focal. Indique las características de la imagen
obtenida.
Imagen real (s' > 0), invertida (y' < 0) y menor (|y'/y| < 1). Más alejada de la lente que el foco
imagen y más cerca que el objeto por el otro lado de la lente.
10
57.–
Obtenga gráficamente la imagen de un objeto situado a una distancia de una lente delgada
convergente igual a dos veces su distancia focal. Indique las características de la imagen
obtenida.
Imagen real, invertida, a doble distancia que el foco y del mismo tamaño.
10
58.–
Obtenga gráficamente la imagen de un objeto situado en el centro de curvatura de un
espejo esférico cóncavo. Indique las características de la imagen obtenida.
Imagen en el mismo centro, igual, real e invertida (s' = R ; y' = −y).
10
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: Aplicando la Ecuación fundamental de los espejos esféricos (con f' > 0, por ser
cóncavo, s negativa e y positiva, por convenio) y la Ecuación del aumento lateral:
1 1 1
1 1
+ =
⇔
+ >0
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠
𝑠𝑠 + 𝑠𝑠′
𝑠𝑠′ > 0
>0 ⇔
|𝑠𝑠′| < |𝑠𝑠|.
𝑠𝑠 𝑠𝑠′
𝑦𝑦′
𝑠𝑠′
=
<1
𝑠𝑠′
𝑦𝑦′
𝑦𝑦 |𝑠𝑠|
=−
⇔
𝑦𝑦′
𝑠𝑠′
𝑠𝑠
𝑦𝑦
= − > 0.
𝑦𝑦
𝑠𝑠
La imagen siempre está en el otro lado (s' > 0; por tanto es virtual), está derecha (y'/y > 0) y es
menor que el objeto (y'/y < 1). Está entre el foco y el espejo ya que 1/s' > 1/f' ⇒ f' > s'.
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental de las lentes (con s < 2 f −ponemos f para que
el signo de s y f sea el mismo, y ambos s y f son negativos−):
1 1 1
1 1 1
− =
⇔
= −
𝑠𝑠 𝑠𝑠′ 𝑓𝑓
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓
𝑠𝑠 𝑓𝑓
𝑠𝑠 𝑓𝑓
𝑠𝑠 𝑓𝑓
𝑠𝑠 ′ =
<
=
= −𝑠𝑠
𝑓𝑓 − 𝑠𝑠 𝑓𝑓 − 2 𝑓𝑓 −𝑓𝑓
𝑦𝑦′ −𝑠𝑠
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ < −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ⇔
>
= −1.
𝑦𝑦
𝑠𝑠
La imagen es real (s' > 0, al otro lado de la lente que el objeto), invertida (y'/y <0) y menor (por
ser y'/y > −1).
Por otro lado, y al estar la imagen invertida, no se puede formar más cerca de la lente que f' por
lo que la distancia imagen ha de estar comprendida entre f' y −s: f' < s' < −s.
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de las lentes
(teniendo en cuenta que f' > 0 y s = 2 f < 0):
1 1 1
1 1 1
− =
⇔
= −
𝑠𝑠 𝑠𝑠′ 𝑓𝑓
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓
𝑠𝑠 𝑓𝑓
𝑠𝑠 𝑓𝑓
𝑠𝑠 𝑓𝑓
𝑠𝑠 ′ =
=
=
= −𝑠𝑠.
𝑓𝑓 − 𝑠𝑠 𝑓𝑓 − 2 𝑓𝑓 −𝑓𝑓
𝑦𝑦′ −𝑠𝑠
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ = 𝑦𝑦(−𝑠𝑠) ⇔
=
= −1,0.
𝑦𝑦
𝑠𝑠
La imagen está en el lado contrario de la lente que el objeto (s' = 2 f'), al doble de la distancia
focal y es real (s' > 0), está invertida (y'/y < 0) y del mismo tamaño que el objeto (|y'/y| = 1,0).
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental y el aumento lateral de los espejos esféricos:
1 1 2
𝑅𝑅 𝑠𝑠
𝑅𝑅2
+ =
⇔ 𝑠𝑠′ =
=
= 𝑅𝑅.
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅
2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅 2 𝑅𝑅 − 𝑅𝑅
𝑦𝑦 ′ −𝑠𝑠 ′ −𝑅𝑅
𝑦𝑦′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠′ ⇔
=
=
= −1,0.
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑅𝑅
La imagen está en el centro de curvatura (s' = R), y es real,
está invertida (y'/y < 0) y es igual que el objeto (|y'/y| = 1,0).
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
59.–
Obtenga la imagen del objeto que forma el espejo convexo de la figura mediante el
trazado de rayos.
Imagen virtual (al otro lado del espejo, más cerca), derecha (y'/y > 0) y menor (|y'/y| < 1).
10
60.–
Para la higiene personal y el maquillaje se utilizan espejos en los que, al mirarnos, vemos
nuestra imagen aumentada. Indique el tipo de espejo del que se trata y razone su respuesta
mediante un esquema de rayos, señalando claramente la posición y el tamaño del objeto y de la
imagen.
Se trata de un espejo cóncavo, situando el objeto a menor distancia del espejo que la distancia
focal (f < s < 0). Las imágenes formadas están al otro lado del espejo, por lo que son virtuales
(s’ > 0), están derechas (y’ > 0), son mayores que el objeto (y’/y > 1) y se encuentran a mayor
distancia del espejo que el objeto (s’ > |s|).
10
61.–
Para obtener una imagen en la misma posición en la que está colocado un objeto, ¿qué tipo
de espejo y en qué lugar tiene que colocarse el objeto?
a) Cóncavo y objeto situado en el centro de curvatura.
10
b) Convexo y objeto situado en el centro de curvatura.
c) Cóncavo y objeto situado en el foco.
a) Cóncavo y objeto situado en el centro de curvatura.
62.–
Para obtener una imagen virtual, derecha y de mayor tamaño que el objeto, se usa:
a) una lente divergente;
10
b) una lente convergente;
c) un espejo cóncavo.
La b) Una lente convergente y la c) Un espejo cóncavo.
63.–
Para poder observar con detalle objetos pequeños puede emplearse una lupa.
a) Explique el funcionamiento de este sistema óptico. ¿Qué tipo de lente es, convergente o
divergente? ¿Dónde debe situarse el objeto a observar? La imagen que produce, ¿es real o
10
virtual? ¿Derecha o invertida?
b) Ilustre sus explicaciones con un trazado de rayos.
a) Es una lente convergente. El objeto se encuentra entre el foco y la lente y da lugar a una
imagen virtual, derecha y mayor que el objeto.
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Solución: Ver imagen.
Para justificar los resultados lo hacemos de
forma analítica.
Aplicando la Ecuación fundamental y el
aumento lateral de los espejos esféricos
(consideramos s = −4 y R = 6, por tomar dos
valores cualesquiera parecidos al dibujo):
1 1 2
𝑅𝑅 𝑠𝑠
6 · ( − 4)
+ =
⇔ 𝑠𝑠′ =
=
≅ 1,7
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅
2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅 ( − 8) − 6
𝑅𝑅 𝑠𝑠
𝑦𝑦′ −𝑠𝑠′ − 2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅
−𝑅𝑅
−6
′
′
𝑦𝑦 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ⇔
=
=
=
=
≅ 0,43.
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑠𝑠
2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅 ( − 8) − 6
La imagen está detrás del espejo (s' > 0) aunque más cerca que el objeto (|s'| < |s|), por lo que es
virtual, está derecha (y'/y > 0) y es menor que el objeto (|y'/y| < 1).
Solución: El espejo que permite formar imágenes virtuales (puesto que la tenemos que ver sin
proyectar) y que sean más grandes solo puede ser un espejo cóncavo, situando el objeto a menor
distancia del espejo que la distancia focal. Podemos ver las características de las imágenes
aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de los espejos esféricos −con
f' < 0, por ser cóncavo, s negativa pero menor en valor absoluto que f' (s > f') e y positiva, por
convenio−:
1 1 1
𝑓𝑓 ′ 𝑠𝑠
𝑓𝑓′
′
+ =
⇔ 𝑠𝑠 =
⇔
𝑠𝑠′
=
𝑠𝑠
𝑠𝑠 − 𝑓𝑓 ′
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑠𝑠 − 𝑓𝑓′ ⇒ 𝑠𝑠′ > 0.
𝑠𝑠 > 𝑓𝑓′
De y s' = −y' s ⇒ y' > 0.
La imagen se encuentra en el otro lado del espejo que el
objeto y siempre está derecha, siendo, por tanto además, una
imagen virtual.
𝑓𝑓′𝑠𝑠
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 − 𝑓𝑓′
𝑓𝑓′
𝑓𝑓′
1
=
=
=
=
𝑠𝑠′
𝑦𝑦′
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑠𝑠 − 𝑓𝑓′ 𝑓𝑓′ � 𝑠𝑠 − 1� � 𝑠𝑠 − 1�
⇔ � � > 1 ⇒ � � > 1.
𝑓𝑓′
𝑓𝑓′
𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑠𝑠 < 0 ; 𝑓𝑓 ′ < 0 ; |𝑠𝑠| < |𝑓𝑓 ′ | ⇒ −1 < − 1 < 0
𝑓𝑓′
Como |y'/y| > 1, la imagen es mayor que el objeto.
Solución: Lo vamos a resolver sin poner condiciones iniciales.
Aplicando la Ecuación fundamental de los espejos esféricos [con s = s']:
1 1 2
1 1 2 2
+ =
⇔
+ = =
⇔ 𝑠𝑠 = 𝑅𝑅.
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅
𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑅𝑅
La solución es la a). La posición del objeto es en el centro de
curvatura. Además, como s por convenio es negativo, R ha de ser
negativo lo que implica que el espejo es cóncavo.
Solución:
Las imágenes virtuales y mayores solo se pueden obtener con
espejos cóncavos o con lentes convergentes cuando el objeto se sitúa
entre el foco y el centro óptico.
Por tanto, las respuestas correctas son la b) y la c).
Solución: a) Es una lente convergente en la que el objeto se
pone a menor distancia de la lente que la distancia focal, por
lo que la imagen obtenida es virtual, derecha y mayor. Eso
nos permite observar objetos pequeños con un tamaño mayor
al que realmente tienen.
b) Ver imagen.
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
64.–
Para un espejo cóncavo, obtenga de forma gráfica la imagen de un objeto situado entre el
foco y el espejo. Describa las características de la imagen.
Imagen virtual, derecha, mayor, al otro lado del espejo y más lejos de este que el objeto.
10
65.–
Para una lente convergente de distancia focal f, dibuje el diagrama de rayos para formar la
imagen de un objeto de altura y situado a una distancia s del foco, en los casos en que s sea
mayor, igual o menor que f.
Imágenes reales, invertidas y al otro lado del objeto, mayores para objetos hasta una distancia
de 2 f, iguales a 2 f y menores para distancias mayores que 2 f.
Solución: Para un objeto situado entre el foco y el espejo, y dado que la distancia (la altura del
objeto) que tiene que "bajar" el rayo paralelo hacia el foco (rayo F') es la misma que la que "baja"
hasta el que va al centro óptico (rayo O), pero dado que el rayo F' recorre una distancia horizontal
mayor (la distancia focal) mientras que el rayo O sólo recorre la distancia objeto (menor según el
enunciado) ambos rayos se separarán desde el espejo por lo que lo que se cruzan son sus
prolongaciones. Por tanto la imagen es virtual, derecha, mayor y se encuentra al otro lado del
espejo y a mayor distancia del espejo que el objeto.
Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del
aumento lateral de los espejos esféricos −con f' < 0, por ser
cóncavo, s negativa pero menor en valor absoluto que f' (s > f') e
y positiva, por convenio−:
1 1 1
𝑓𝑓 ′ 𝑠𝑠
𝑓𝑓′
+ =
⇔ 𝑠𝑠 ′ =
⇔ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠
′
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑠𝑠 − 𝑓𝑓
𝑠𝑠 − 𝑓𝑓′ ⇒ 𝑠𝑠′ > 0.
𝑠𝑠 > 𝑓𝑓′
De y s' = −y' s ⇒ y' > 0.
La imagen se encuentra en el otro lado del espejo que el objeto y siempre está derecha, siendo,
por tanto además, una imagen virtual.
𝑓𝑓′𝑠𝑠
𝑓𝑓′
𝑓𝑓′
1
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 − 𝑓𝑓′
=
=
=
=
𝑠𝑠′
𝑦𝑦′
𝑠𝑠
𝑠𝑠 − 𝑓𝑓′ 𝑓𝑓′ � 𝑠𝑠 − 1� � 𝑠𝑠 − 1�
𝑠𝑠
⇔ � � > 1 ⇒ � � > 1.
𝑓𝑓′
𝑓𝑓′
𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑠𝑠 < 0 ; 𝑓𝑓 ′ < 0 ; |𝑠𝑠| < |𝑓𝑓 ′ | ⇒ −1 < − 1 < 0
𝑓𝑓′
Como |y'/y| > 1, la imagen es mayor que el objeto.
Solución: Las imágenes son las siguientes:
10
Por estar situados a una distancia s del foco, y ser s mayor, igual o menor que f, lo que nos piden
es la imagen que se forma en una lente convergente de un objeto situado a una distancia mayor,
igual o menor que 2 f, siendo f la distancia focal. Se forman, en los tres casos, imágenes reales
invertidas y por el otro lado de la lente. A una distancia de 2 f del centro óptico, la imagen es del
mismo tamaño, mientras que a distancias superiores es menor y a distancias inferiores es mayor.
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
66.–
Para una lente convergente, dibuje la marcha de los rayos si el objeto se coloca:
a) en el foco;
b) entre el foco y el centro óptico de la lente.
a) No se forma imagen ; b) Se forma una imagen mayor, virtual, derecha, en el mismo lado
de la lente que el objeto y a mayor distancia de la lente que el objeto.
10
67.–
Por medio de un espejo cóncavo se quiere proyectar la imagen de un objeto de tamaño
1,0 cm sobre una pantalla plana, de modo que la imagen sea invertida y de tamaño 3,0 cm.
Sabiendo que la pantalla ha de estar colocada a 2,0 m del objeto, calcule:
a) las distancias del objeto y de la imagen al espejo, efectuando su construcción geométrica;
b) el radio del espejo y la distancia focal.
a) s = −1,0 m ; s' = −3,0 m ; b) R = −1,5 m ; f' = −75 cm.
10
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: Añadimos la solución analítica a ambos casos.
a) Aplicando la Ecuación fundamental de las lentes (s = f):
1 1 1
1
1 1 1 1
− =
⇔
= + = +
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑠𝑠′ 𝑓𝑓′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′ 𝑓𝑓
1
1
1
= +
= 0 ⇒ 𝑠𝑠′ = ±∞.
𝑠𝑠′ 𝑓𝑓′ −𝑓𝑓′
Los objetos situados en el foco de una lente convergente no forman imagen.
b) Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del
aumento lateral de las lentes (teniendo en cuenta que f' > 0 (por
ser convergente), s < 0 (por convenio) y |s| < |f'| (por estar el
objeto entre la lente y el foco):
1 1 1
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
− =
⇔ 𝑠𝑠′ = ′
<0
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠
(el denominador es positivo)
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
′ + 𝑠𝑠
𝑦𝑦′
𝑠𝑠′
𝑓𝑓′
𝑦𝑦′
𝑓𝑓
= =
= ′
⇒ 1< .
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠
𝑦𝑦
Al ser f' y f' + s positivos ambos y f' > f' + s (por ser s negativo).
La imagen es virtual ya que está en el mismo lado de la lente que el objeto (s' > 0), más lejos que
éste de la lente, está derecha y es mayor que el objeto (y'/y > 1).
Solución: a) Teniendo en cuenta que el tamaño de una imagen viene
dado por: y n s' = y' n' s, y como n' = −n (por ser un espejo)
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠
−3,0 cm · 𝑠𝑠
𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ = 𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 ⇔ 𝑠𝑠′ = −
=−
= 3 𝑠𝑠.
𝑦𝑦
1,0 cm
Como la distancia de la pantalla al objeto ha de ser 2,0 m y s' es más
negativo que s, la distancia: s' − s = −2,0 m. De ambas ecuaciones
sacamos la conclusión que:
s' − s = 3 s − s = −2,0 m ⇔ 2 s = −2,0 m ⇔ s = −1,0 m ; s' = −3,0 m.
b) Aplicando la Ecuación fundamental de los espejos esféricos (la de los dioptrios con n' = −n):
𝑛𝑛′ 𝑛𝑛 𝑛𝑛′ − 𝑛𝑛
1 1 2
1
1
2
− =
⇔
+ =
⇔
+
=
⇔ 𝑅𝑅 = −1,5 m.
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠
𝑅𝑅
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅
−3,0 m −1,0 m 𝑅𝑅
Volviéndola a aplicar con s = −∞ para hallar f' (se podría hacer con la fórmula R = 2 f'):
1 1 2
𝑅𝑅 −1,5 m
+ =
⇔ 𝑓𝑓 ′ = =
= −0,75 m.
𝑓𝑓′ ∞ 𝑅𝑅
2
2
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
68.–
Por medio de un espejo cóncavo se quiere proyectar un objeto de 1,0 cm sobre una
pantalla plana, de modo que la imagen sea derecha y de 3,0 cm. La pantalla ha de estar colocada
a 2,0 m del objeto. Calcule:
a) el radio del espejo;
b) su distancia focal;
c) su potencia;
d) las distancias del objeto y la imagen al espejo.
a) R = −1,5 m ; b) f = −75 cm ; c) P ≈ −1,33 D ; d) s = −1,0 m; s' = −3,0 m.
10
69.–
Por medio de un espejo cóncavo se quiere proyectar un objeto de 1,0 cm sobre una
pantalla plana, de modo que la imagen sea derecha, y de 3,0 cm. La pantalla ha de estar a 2,0 m
del objeto.
a) Indique cómo debe colocarse el objeto para que la imagen sea derecha.
b) Calcule las distancias del objeto y de la pantalla al espejo.
c) Calcule el radio del espejo, su distancia focal y su potencia.
a) Debe colocarse el objeto invertido, para que la imagen (real) esté derecha ; b) s = −1,0 m;
s’ = −3,0 m ; c) R = −1,5 m; f’ = −75 cm; P ≈ 1,3 D.
10
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Solución: a) Tenemos que tener en cuenta que una imagen proyectada en una pantalla ha de ser
real por lo que, si la imagen es real y ha de estar derecha, el objeto ha de estar invertido. Por otro
lado s' ha de ser negativo ya que la imagen es real (se forma en el mismo lado del espejo que el
objeto).
Aplicando la Ecuación del aumento lateral y la Ecuación fundamental de los espejos esféricos
(el aumento es negativo):
𝑦𝑦′ −𝑠𝑠′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
=
= −3,0 ⇔ 𝑠𝑠′ = 3 𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑑𝑑
𝑑𝑑 = 𝑠𝑠 − 𝑠𝑠 ′ = 𝑠𝑠 − 3 𝑠𝑠 = −2 𝑠𝑠 ⇔ 𝑠𝑠 =
−2
1 1 2
2 𝑠𝑠 𝑠𝑠′
+ =
⇔ 𝑅𝑅 =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅
𝑠𝑠 + 𝑠𝑠′
𝑑𝑑 3 𝑑𝑑
2 · −2 ·
−2 = −3 𝑑𝑑 = −1,5 m.
𝑅𝑅 =
3 𝑑𝑑
𝑑𝑑
4
+
−2 −2
b) Aplicando la relación entre f y R: f = R/2 = −0,75 m.
c) Aplicando la definición de potencia: P = 1/f' ≈ −1,33 D.
d) Con los cálculos ya realizados:
𝑑𝑑
2,0 m
3 𝑑𝑑 3 · 2,0 m
𝑠𝑠 = − = −
= −1,0 m ; 𝑠𝑠 ′ = 3 𝑠𝑠 =
=
= −3,0 m.
2
2
−2
−2
Solución: a) Como la imagen se quiere proyectar, la imagen ha de ser real. Como las imágenes
reales creadas por un solo objeto óptico están invertidas con respecto al objeto que las crea,
debemos poner el objeto invertido para que su imagen esté derecha.
b) Aplicando la Ecuación del aumento lateral [considerando una imagen real (s' < 0, por ser un
espejo) y, por tanto, invertida frente al objeto]:
𝑦𝑦′ −𝑠𝑠′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
=
= −3 ⇔ 𝑠𝑠 ′ = 3 𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑠𝑠 = −1,0 m
𝑠𝑠 ′ = 3 𝑠𝑠
⇒ 𝑠𝑠 − 3 𝑠𝑠 = 2,0 m ⇒
′
𝑠𝑠′ = −3,0 m.
𝑠𝑠 − 𝑠𝑠 = 2,0 m
El objeto está a 1,0 m y la pantalla a 3,0 m del espejo.
c) Aplicando ahora la Ecuación fundamental de los espejos
esféricos con los valores obtenidos:
1 1 2
1
3
2
4
2
+ =
⇔
+
=
⇔
=
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅
3 𝑠𝑠 3 𝑠𝑠 𝑅𝑅
3 𝑠𝑠 𝑅𝑅
(
)
3 𝑠𝑠 3 · −1,0 m
𝑅𝑅 =
=
= −1,5 m
2
2
𝑅𝑅
1
4
𝑓𝑓 = 𝑓𝑓 ′ = = −0,75 m ⇒ 𝑃𝑃 = ′ = − m−1 ≅ −1,3 D.
2
𝑓𝑓
3
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
70.–
Razone ambas respuestas utilizando las construcciones gráficas que considere oportunas.
a) ¿Puede formarse una imagen real de un objeto con una única lente divergente?
b) ¿Puede formarse una imagen virtual con un espejo cóncavo?
a) No; una lente divergente solo puede formar imágenes virtuales ; b) Sí; se forman imágenes
virtuales de los objetos situados entre el foco y el espejo.
10
71.–
Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones:
a) Mediante la lente convergente de la figura, de focal imagen f' = 20 cm, se quiere tener una
imagen de tamaño triple que el objeto. Calcule la posición donde debe colocarse el objeto si
la imagen debe ser:
a.1) real e invertida;
a.2) virtual y derecha.
b) Compruebe gráficamente sus resultados, en ambos casos, mediante un trazado de rayos.
a.1) s ≈ −27 cm ; a.2) s ≈ −13 cm.
10
72.–
10
Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones:
a) ¿En qué consiste la miopía? ¿Cómo se corrige?
b) Una fibra óptica está formada por un núcleo de un material de índice n1 = 1,52 y un
revestimiento de índice n2 = 1,46. Determine el valor máximo del ángulo θa con el que tiene
que incidir la luz para quedar atrapada dentro de la fibra.
a) La miopía es un exceso de diámetro antero−posterior del globo ocular, o una deformación
de la córnea o el cristalino que hace que la potencia del ojo sea mayor. Se corrige con una lente
divergente que compensa el exceso de potencia del ojo y las imágenes se vuelven a formar en la
retina ; b) θa ≈ 73º 51’.
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Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental de las
lentes (f' < 0, por ser divergente):
1 1 1
− =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
𝑠𝑠′ =
< 0 (ya que 𝑓𝑓′ y 𝑠𝑠 son negativos).
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
La imagen está en el mismo lado de la lente (s' < 0), por lo que es virtual, ya que las lentes solo
forman imágenes reales al otro lado de la lente, ya que los rayos atraviesan la lente. No se pueden
formar imágenes reales con una lente divergente.
b) Aplicando la Ecuación fundamental de los espejos esféricos
(con f' < 0, por ser cóncavo, s negativa e y positiva, por convenio,
y s' positiva por tener que ser virtual la imagen):
1 1 1
1 1
+ =
⇔
<
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓′ < 𝑠𝑠 (por ser ambos negativos).
El objeto debe estar situado entre el foco y el espejo.
Solución: a) Aplicando la Ecuación del aumento lateral y la Ecuación fundamental de las lentes
(el aumento es negativo porque la imagen se forma invertida):
𝑦𝑦′ 𝑠𝑠′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
= = −3,0 ⇔ 𝑠𝑠 ′ = −3 𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑠𝑠
1
1 1
−4
1
1 1 1
− =
⇔
− =
⇒
=
−3 𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
3 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
−4 𝑓𝑓′
−4 · 20 cm −80 cm
𝑠𝑠 =
=
=
≅ −27 cm.
3
3
3
b) Volviendo a aplicar las mismas ecuaciones (el aumento ahora es positivo porque la imagen se
forma derecha):
𝑦𝑦′ 𝑠𝑠′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
= = 3,0 ⇔ 𝑠𝑠 ′ = 3 𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑠𝑠
1 1 1
1
1 1
−2
1
− =
⇔
− =
⇒
=
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
3 𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
3 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
−2 𝑓𝑓′
−2 · 20 cm −40 cm
𝑠𝑠 =
=
=
≅ −13 cm.
3
3
3
Solución: a) La miopía es una ametropía del ojo (un defecto visual) que se da cuando el ojo tiene
la córnea y el cristalino (que son las lentes que permiten que las imágenes que se forman se
proyecten directamente sobre la retina) con mayor curvatura de lo normal por lo que se comporta
como una lente convergente con una distancia focal menor de la necesaria (o sea, de mayor
potencia que la que debería tener). Si situamos delante de la córnea una lente divergente que
compense el exceso de potencia de este, conseguimos que las imágenes se proyecten debidamente
en la retina.
b) El fenómeno que se produce dentro de la fibra óptica es el de la reflexión total que se da
cuando un rayo llega a la superficie de separación entre dos medios transparentes desde el lado con
mayor índice de refracción, esto es, que no puede refractarse por tener que hacerlo con un ángulo
de 90º o mayor (lo que es imposible). El rayo “queda atrapado” en el medio de mayor índice de
refracción.
Aplicando la 2ª Ley de Snell para la refracción (con r = 90º):
ni sen θa = nr sen r ⇔ 1,52·sen 45º = 1,46·sen 90º ⇔ sen θa ≈ 0,961 ⇔ θa ≈ 73º 51’.
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
73.–
10
−Óptica geométrica−
02/05/2015
Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones:
Terminar
a) Defina para un dioptrio los siguientes conceptos: foco objeto, foco imagen, distancia focal
objeto y distancia focal imagen.
b) Dibuje para los casos de dioptrio cóncavo y dioptrio convexo la marcha de un rayo que pasa
(él o su prolongación) por:
b.1) el foco objeto;
b.2) el foco imagen.
Teoría.
74.–
10
Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones:
a) Indique qué se entiende por foco y por distancia focal de un espejo. ¿Qué es una imagen
virtual?
b) Con ayuda de un diagrama de rayos, describa la imagen formada por un espejo convexo
para un objeto situado entre el centro de curvatura y el foco.
a) Punto del eje óptico por el que pasan los rayos (o sus prolongaciones) que inciden en el
espejo paralelos al eje óptico; distancia del espejo al foco; imagen formada por el corte de las
prolongaciones de los rayos.
75.–
Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones:
a) Enuncie y explique las Leyes de la reflexión y de la refracción para la luz.
b) Un objeto de 0,50 cm de altura, que está situado a 10 cm de un espejo cóncavo, produce una
imagen virtual a 20 cm del espejo. Si alejamos el objeto a 25 cm del espejo, ¿dónde se situará
la nueva imagen? Justifique si es virtual o real. Compruebe los resultados mediante el trazado
de rayos.
a) Teoría ; b) Se situará en el mismo lado del espejo en el que está el objeto, por lo que es
real.
10
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Solución: a) Foco objeto: Punto del eje óptico que cumple que cualquier rayo que pase por él y
luego incida en el dioptrio, continúa su trayectoria paralelamente al eje óptico.
Foco imagen: Punto del eje óptico por el que pasan los rayos cuya trayectoria era paralela al eje
óptico, antes de incidir en el dioptrio.
Distancia focal objeto. Distancia entre el vértice del dioptrio y el foco objeto (negativo si es
hacia la izquierda y positivo si es hacia la derecha).
Distancia focal imagen. Distancia entre el vértice del dioptrio y el foco imagen (negativo si es
hacia la izquierda y positivo si es hacia la derecha).
b)
Solución: a) Foco es el punto del eje óptico por el que
pasa cualquier rayo que incide sobre el espejo de forma
paralela al eje óptico (o su prolongación). También
cumple que cualquier rayo que pase por él y luego
incida en el espejo, continúa un camino paralelo al eje
óptico. Distancia focal es la distancia que hay entre el
vértice del espejo y el foco (es igual a la mitad del radio
de curvatura del espejo).
Una imagen virtual es aquélla que se forma al cortarse las prolongaciones de los rayos y no los
propios rayos. La que se forma después de un dispositivo óptico está siempre derecha.
b) Ver imagen. No es estrictamente correcto el enunciado, puesto que el objeto ha de estar a la
izquierda y el centro de curvatura y el foco deben estar a la derecha del centro óptico.
Solución: a) La reflexión cumple dos leyes:
1ª Ley de Snell: La normal, el rayo incidente y el reflejado
están en el mismo plano.
2ª Ley de Snell: El ángulo que forma el rayo incidente con
la normal es igual al que forma el rayo reflejado con la
normal, y de signo contrario.
La refracción cumple otras dos:
1ª Ley de Snell: La normal, el rayo incidente y el refractado
están en el mismo plano.
2ª Ley de Snell: Se cumple que: ni sen i = nr sen r. El signo
de los ángulos i y r es el mismo.
b) Hay que tener en cuenta es que, al ser la imagen virtual, es
porque se forma con las prolongaciones de los rayos y no con
los rayos en sí por lo que, al estar en un espejo, sólo se puede
producir en el otro lado del espejo, por lo que s'
obligatoriamente es positiva.
Aplicando la Ecuación fundamental de los espejos esféricos (la de los dioptrios con n' = −n):
𝑛𝑛′ 𝑛𝑛 𝑛𝑛′ − 𝑛𝑛
1 1 2
1
1
2
1
1
1
1
1
1
− =
⇔
+ =
⇔ ′ + = = ′ +
⇔ ′+ − = ′
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠
𝑅𝑅
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅
𝑠𝑠1 𝑠𝑠1 𝑅𝑅 𝑠𝑠2 𝑠𝑠2
𝑠𝑠1 𝑠𝑠1 𝑠𝑠2 𝑠𝑠2
′
1
1
𝑠𝑠1 𝑠𝑠1 𝑠𝑠2
𝑠𝑠2′ =
=
=
′
′
1
1
1
𝑠𝑠1 𝑠𝑠2 + 𝑠𝑠1 𝑠𝑠2 − 𝑠𝑠1 𝑠𝑠1 𝑠𝑠1 𝑠𝑠2 + 𝑠𝑠1′ 𝑠𝑠2 − 𝑠𝑠1 𝑠𝑠1′
′ + 𝑠𝑠 − 𝑠𝑠
𝑠𝑠1
𝑠𝑠1 𝑠𝑠1′ 𝑠𝑠2
1
2
(−10 cm) · 20 cm · (−25 cm)
𝑠𝑠2′ =
= −100 cm.
(−10 cm) · (−25 cm) + 20 cm · (−25 cm) − (−10 cm) · 20 cm
Por ser s' negativo es la imagen es real (y por tanto invertida).
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
76.–
Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones:
a) ¿Cómo se define y dónde se encuentra el foco de un espejo cóncavo?
b) Si un objeto se coloca delante de un espejo cóncavo analice, mediante el trazado de rayos,
las características de la imagen que se produce si está ubicado entre el foco y el espejo.
a) El foco de un espejo cóncavo es el punto del eje óptico por el que pasan los rayos paralelos
al eje óptico que ya han sido reflejados por el espejo.. Se encuentra en el punto medio entre el
centro de curvatura y el espejo ; b) Imagen virtual, derecha, mayor, al otro lado del espejo y más
lejos de este que el objeto.
10
77.–
Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones:
a) Explique la posibilidad de obtener una imagen derecha y mayor que el objeto mediante un
espejo cóncavo, realizando un esquema con el trazado de rayos. Indique si la imagen es real o
virtual.
b) ¿Dónde habría que colocar un objeto frente a un espejo cóncavo de 30 cm de radio para que
la imagen sea derecha y de doble tamaño que el objeto?
a) Se obtiene siempre que el objeto esté situado entre el foco y el espejo; virtual ; b)
s = −7,5 cm.
10
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Solución: a) El foco de un espejo cóncavo es el punto del eje óptico por el que pasan los rayos
paralelos al eje óptico que ya han sido reflejados por el espejo. Así mismo cualquier rayo
procedente del objeto que pase por el foco será reflejado por el objeto de forma que sea paralelo al
eje óptico. El foco se encuentra situado en el punto medio entre el centro de curvatura y el espejo
como se puede demostrar aplicando la Ecuación fundamental de los espejos esféricos:
1 1 2
𝑅𝑅
𝑓𝑓 (𝑠𝑠 ′ = ∞) :
+ =
⇒ 𝑓𝑓 =
1 1 2
∞ 𝑓𝑓 𝑅𝑅
2
+ =
⇔
1
1
2
𝑅𝑅
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅
𝑓𝑓 ′ (𝑠𝑠 = −∞) :
+
=
⇒ 𝑓𝑓 ′ = .
′
𝑓𝑓
−∞ 𝑅𝑅
2
b) Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de los espejos esféricos
−con f' < 0, por ser cóncavo, s negativa pero menor en valor absoluto que f' (s > f') e y positiva, por
convenio−:
𝑓𝑓 ′ 𝑠𝑠
𝑓𝑓 ′
1 1 1
′
+ =
⇔ 𝑠𝑠 ′ =
⇔
𝑠𝑠
=
𝑠𝑠 ���′ 𝑠𝑠 ′ > 0 ; Como 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ = −𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 ⇒ 𝑦𝑦 ′ > 0.
𝑠𝑠>𝑓𝑓
𝑠𝑠 − 𝑓𝑓 ′
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑠𝑠 − 𝑓𝑓 ′
La imagen se encuentra en el otro lado del espejo que el objeto y siempre está derecha, siendo,
por tanto además, una imagen virtual.
𝑓𝑓′𝑠𝑠
𝑓𝑓′
𝑓𝑓′
1
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 − 𝑓𝑓′
=
=
=
=
𝑠𝑠′
𝑦𝑦′
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑠𝑠 − 𝑓𝑓′ 𝑓𝑓′ � − 1� � − 1�
𝑠𝑠
𝑠𝑠
⇔ � � > 1 ⇒ � � > 1.
𝑓𝑓′
𝑓𝑓′
𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑠𝑠 < 0 ; 𝑓𝑓 ′ < 0 ; |𝑠𝑠| < |𝑓𝑓 ′ | ⇒ −1 < − 1 < 0
𝑓𝑓′
Como |y'/y| > 1, la imagen es mayor que el objeto.
Solución: a)Aplicando la Ecuación del aumento lateral y la Ecuación fundamental de los espejos
esféricos (con f' < 0, por ser cóncavo, s negativa e y positiva, por convenio, e y' positiva por tener
que estar derecha la imagen), buscamos cómo puede estar derecha:
y s' = −y' s ⇒ s' > 0
1 1 1
1 1
+ =
⇔
<
⇔ 𝑓𝑓′ < 𝑠𝑠 (por ser ambos negativos).
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑠𝑠 𝑓𝑓′
El objeto debe estar situado entre el foco y el espejo.
Como s' > |s| ⇒ y' > y.
La imagen siempre es mayor. Por estar al otro lado del espejo, donde no llegan los rayos, solo
pueden llegar las prolongaciones, por lo que la imagen es virtual.
b) Aplicando las ecuaciones fundamental de los
espejos esféricos y la del aumento lateral:
𝑦𝑦′ −𝑠𝑠′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
=
= 2 ⇔ 𝑠𝑠 ′ = −2 𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑠𝑠
1 1 2
1
−2
2
−1
2
+ = ⇔
+
=
⇔
=
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅
−2 𝑠𝑠 −2 𝑠𝑠 𝑅𝑅
−2 𝑠𝑠 𝑅𝑅
𝑅𝑅 −0,30 m
𝑠𝑠 = =
= −0,075 m.
4
4
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
78.–
Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones:
a) Un objeto se encuentra frente a un espejo plano a una distancia de 4,0 m del mismo.
Construya gráficamente la imagen y explique sus características.
b) Repita el apartado anterior si se sustituye el espejo plano por uno cóncavo de 2,0 m de
radio.
a) s' = 4,0 m, virtual, derecha e igual que el objeto (y'/y = 1,0) ; b) s' ≈ 1,33 m, real, invertida
(y'/y < 0) y la tercera parte del objeto (|y'/y| ≈ 0,33).
10
79.–
Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones:
a) ¿Qué diferencias existen entre una imagen real y una imagen virtual formadas por un
sistema óptico centrado?
b) Realiza un ejemplo de construcción geométrica para cada una de ellas utilizando espejos
esféricos. Explique qué tipo de espejo esférico puedes emplear en cada caso.
a) Real: corte de los rayos; virtual: corte de las prolongaciones ; b) Uno cóncavo.
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental y la del aumento lateral de los espejos:
1
1
2
+
=
��� 𝑠𝑠 ′ = −𝑠𝑠 = 4,0 m.
𝑠𝑠′
𝑠𝑠
𝑅𝑅
𝑅𝑅 =∞
𝑦𝑦′ −𝑠𝑠′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
=
= 1,0.
𝑦𝑦
𝑠𝑠
La imagen está 4,0 m detrás del espejo (s' > 0), por lo que es
virtual, está derecha (y'/y > 0) y es igual que el objeto (|y'/y| = 1).
b) Aplicando la Ecuación fundamental y la del aumento lateral de los espejos esféricos:
(−2,0 m) · (−4,0 m)
1 1 2
𝑅𝑅 𝑠𝑠
+ =
⇔ 𝑠𝑠 ′ =
=
≅ −1,33 m.
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅
2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅 (−8,0 m) − (−2,0 m)
𝑅𝑅 𝑠𝑠
𝑦𝑦′ −𝑠𝑠′ − 2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅
−𝑅𝑅
′
′
𝑦𝑦 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ⇔
=
=
=
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑠𝑠
2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅
−(−2,0 m)
𝑦𝑦′
=
≅ −0,33.
𝑦𝑦 (−8,0 m) − (−2,0 m)
La imagen está a 1,33 m del espejo y en el mismo lado (s' < 0), por lo que es real, está invertida
(y'/y < 0) y es la tercera parte del objeto (|y'/y| ≈ 0,33).
Solución: a) La imagen real se forma por la unión de los rayos después de pasar por el sistema
óptico, mientras que la virtual se forma por la unión (el corte) de las prolongaciones de los rayos,
cuando éstos divergen sin encontrarse. Las imágenes reales creadas por un solo dispositivo óptico
están invertidas, mientras que las virtuales están derechas.
b) Ver las figuras. Un espejo cóncavo puede servir para ver los dos tipos. El convexo sólo forma
imágenes virtuales.
10
80.–
10
Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones:
a) Si queremos ver una imagen ampliada de un objeto, ¿qué tipo de espejo tenemos que
utilizar? Explique, con ayuda de un esquema, las características de la imagen formada.
b) La nieve refleja casi toda la luz que incide en su superficie. ¿Por qué no nos vemos
reflejados en ella?
a) Un espejo cóncavo. Puede formar dos tipos de imágenes más grandes: la de una imagen
virtual, derecha, al otro lado del espejo y más distante que el objeto, y una imagen real, invertida,
en el mismo lado del espejo y también más distante ; b) Porque la reflexión es difusa al no tener
una superficie lisa.
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: a) Como la imagen creada puede estar derecha o invertida,
resolvemos los dos posibles casos. Aplicando la Ecuación del aumento
lateral y la Ecuación fundamental de los espejos esféricos:
𝑦𝑦′ −𝑠𝑠′
𝑦𝑦′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
=
⇒ � � > 1 ⇔ |𝑠𝑠′| > |𝑠𝑠|
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑦𝑦
2 1 1
= + < 0 ⇒ 𝑅𝑅 < 0.
𝑅𝑅 𝑠𝑠′ 𝑠𝑠
El espejo ha de ser cóncavo. Como no hay más condiciones, habrá
dos soluciones. La de una imagen virtual, derecha, al otro lado del
espejo y más distante del espejo que el objeto, y una imagen real,
invertida, en el mismo lado del espejo y más distante del espejo que el
objeto.
b) La nieve tiene una superficie irregular lo que hace que la reflexión
sea difusa, por lo que no se consigue concentrar los rayos en ningún
punto lo que impide la formación de imágenes. Cuando se hiela la
nieve, sí se puede conseguir en determinadas condiciones una superficie lisa que sí forma
imágenes.
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
81.–
Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones:
a) Un objeto se encuentra a una distancia de 0,60 m de una lente delgada convergente de
0,20 m de distancia focal. Construya gráficamente la imagen que se forma y explique sus
características.
b) Repita el apartado anterior si el objeto se coloca a 0,10 m de la lente.
a) Al otro lado de la lente (s' = 30 cm), real, invertida y la mitad del objeto (y'/y = −0,50) ; b)
En el mismo lado (s' = −20 cm), virtual, derecha y de tamaño doble (y'/y = 2,0).
10
82.–
Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones:
a) Explique, y justifique gráficamente, la posición de un objeto respecto a una lente delgada
convergente para obtener una imagen virtual y derecha.
b) Una lente delgada convergente tiene una distancia focal de 12 cm. Colocamos un objeto, de
1,5 cm de alto, 4,0 cm delante de la lente. Localice la posición de la imagen gráfica y
algebraicamente. Establezca si es real o virtual y determine su altura.
a) Objeto situado entre el foco objeto y la lente ; b) Virtual, derecha, situada 6,0 cm por
delante de la lente y de tamaño 2,25 cm.
10
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Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de las lentes
(f' positivo, por ser convergente):
1 1 1
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
− =
⇔ 𝑠𝑠′ = ′
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠
0,20 m · (−0,60 m)
𝑠𝑠 ′ =
= 0,30 m.
0,20 m + (−0,60 m)
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
′ + 𝑠𝑠
𝑦𝑦′
𝑠𝑠′
𝑓𝑓
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
= =
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑦𝑦′
𝑓𝑓′
0,20 m
=
=
= −0,50.
𝑦𝑦 𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠 0,20 m + (−0,60 m)
La imagen está a 30 cm de la lente y en el lado contrario que el objeto (s' > 0), por lo que es real,
está invertida (y'/y < 0) y su tamaño es la mitad del del objeto.
b) Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de las lentes:
1 1 1
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
− =
⇔ 𝑠𝑠′ = ′
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠
0,20 m · (−0,10 m)
𝑠𝑠 ′ =
= −0,20 m.
0,20 m + (−0,10 m)
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
𝑦𝑦′ 𝑠𝑠′ 𝑓𝑓 ′ + 𝑠𝑠
= =
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑦𝑦′
𝑓𝑓′
0,20 m
= ′
=
= 2,0.
𝑦𝑦 𝑓𝑓 + 𝑠𝑠 0,20 m + (−0,10 m)
La imagen está a 20 cm de la lente y en el mismo lado (sobre el foco objeto) (s' < 0), por lo que
es virtual, está derecha (y'/y > 0) y es de tamaño doble del objeto.
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental de las lentes (con f' > 0 y s < 0 −esto último por
convenio−):
1 1 1
1 1 1
1
1
− =
����������
= + <0 ⇒
<
⇔ |𝑓𝑓′| > |𝑠𝑠| ���������� 𝑠𝑠 > 𝑓𝑓.
𝑠𝑠 < 0 y 𝑓𝑓 =−𝑓𝑓'
|𝑓𝑓′| |𝑠𝑠|
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′ por ser virtual 𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
Por tanto, para dar una imagen virtual, el objeto deberá estar situado a la derecha del foco objeto.
b) Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de las lentes:
1 1 1
− =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
0,12 m · (−0,040 m)
𝑠𝑠′ =
=
= −0,060 m.
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠 0,12 m + (−0,040 m)
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑦𝑦
𝑠𝑠′
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔ 𝑦𝑦′ =
=
𝑠𝑠
𝑠𝑠
′
𝑦𝑦
𝑓𝑓
0,015
m
·
0,12
m
𝑦𝑦 ′ = ′
=
= 0,022 5 m.
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠 0,12 m + (−0,04 m)
La imagen está a 6,0 cm de la lente y en el mismo lado (s' < 0), por lo que es virtual, está
derecha (y' > 0) y es de tamaño vez y media el del objeto (un 50 % mayor).
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
83.–
Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones:
a.1) Utilizando un diagrama de rayos, para una lente delgada divergente con
distancias focales f = f' = 3,2 cm, determine la posición y el aumento lateral de la
imagen que produce dicha lente de un objeto de 1,0 cm de altura situado
perpendicularmente al eje óptico a 6,1 cm de la lente. Expónganse las características
de dicha imagen.
a.2) ¿Dónde se formará la imagen de un objeto situado en el infinito?
b) Exponga brevemente cuáles son las dos visiones de los fenómenos luminosos que surgieron
a lo largo de la Edad Moderna.
a.1) Imagen virtual, derecha, menor (y' = 3,4 mm) situada en s' = −2,1 cm ; a.2) En el foco
imagen: s' = −3,2 cm ; b) Teoría. Teoría ondulatoria (Huyghens) y la Teoría corpuscular
(Newton).
10
84.–
Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones:
a) ¿Qué tipo de lente es el cristalino del ojo? ¿Por qué? Razone la respuesta.
b) Un foco emite ondas electromagnéticas de frecuencia 1,50 MHz que atraviesan un medio de
índice de refracción 1,50. Calcule la longitud de onda de esta radiación cuando se propaga en
el aire y cuando lo hace en dicho medio.
10
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Solución: Hay un pequeño error en el enunciado ya que las distancias focales de una lente son
siempre las mismas (por lo que no habría que especificarlo) pero con signos opuestos (lo que no se
da como dato del problema). Consideramos f' = −3,2 cm ya que las distancias focales imagen de las
lentes divergentes son negativas.
a.1) Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de las lentes:
1 1 1
− =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
−3,2 cm · ( − 6,1 cm)
𝑠𝑠′ =
=
≅ −2,1 cm.
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠 −3,2 cm + ( − 6,1 cm)
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑦𝑦
𝑠𝑠′
𝑓𝑓′
+ 𝑠𝑠
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔ 𝑦𝑦′ =
=
𝑠𝑠
𝑠𝑠
′
(
)
𝑦𝑦 𝑓𝑓
0,010 m · −0,032 m
𝑦𝑦 ′ = ′
=
≅ 0,003 4 m.
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠 −0,032 m + (−0,061 m)
Es una imagen virtual, derecha, al mismo lado de la lente y más cerca de ella y menor.
a.2) Aplicando la Ecuación fundamental de las lentes
(teniendo en cuenta que s = −∞):
1 1 1
1
1
− =
�����
=
⇒ 𝑠𝑠′ = 𝑓𝑓′
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′ 𝑠𝑠 =−∞ 𝑠𝑠′ 𝑓𝑓′
𝑠𝑠′ = −3,2 cm.
Es una imagen virtual, derecha, al mismo lado de la
lente, situada en el foco imagen y mucho más pequeña (de hecho es de tamaño nulo).
b) Teoría. Son la Teoría ondulatoria de Huyghens y la Teoría corpuscular de Newton. Ambas se
interrelacionan en el siglo XX con la llegada de la Mecánica cuántica (Dualidad onda−corpúsculo
de Louis de Broglie).
Solución: a) Obligatoriamente ha de ser una lente convergente, ya que tiene que proyectar
imágenes reales sobre la retina (han de ser reales porque se proyecta la imagen; como resultado esta
está invertida).
b) La longitud de onda se obtiene de la expresión de la velocidad de la luz:
𝜆𝜆
𝑐𝑐 3,00·108 m s −1
𝑐𝑐 = = 𝜆𝜆 𝑓𝑓 ⇒ 𝜆𝜆 = =
= 200 m.
𝑇𝑇
𝑓𝑓
1,50·106 Hz
Por la definición de índice de refracción y la expresión de la velocidad:
𝑐𝑐
𝑐𝑐
𝑛𝑛 =
𝑐𝑐
3,00·108 m s−1
𝑣𝑣medio
𝑛𝑛
⇒
𝜆𝜆
=
=
=
≅ 133 m.
medio
𝑣𝑣medio
6 Hz
𝑓𝑓
𝑛𝑛
𝑓𝑓
1,50
·
1,50·10
𝜆𝜆medio =
𝑓𝑓
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
85.–
Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones:
a) Si un objeto se sitúa a una distancia de 2,0 cm delante de una lente convergente o delante de
un espejo cóncavo, ambos de distancia focal 5,0 cm en valor absoluto, ¿cómo están
relacionados los aumentos laterales y las posiciones de las imágenes que la lente y el espejo
producen de dicho objeto?
b) Realice el trazado de rayos en ambos casos.
a) Dan imágenes muy similares: mayores (5/3) que el objeto, derechas, y virtuales a 3,3 cm del
dispositivo óptico (la de la lente, en el mismo lado que el objeto y la del espejo en el contrario).
10
86.–
Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones:
a) ¿Qué tipo de imagen se obtiene con un espejo esférico convexo?
b) ¿Y con una lente esférica divergente?
Efectúe las construcciones geométricas adecuadas para justificar las respuestas. El objeto
se supone real en ambos casos.
a) y b) Imagen virtual, menor y derecha.
10
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Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de las lentes
(f' positiva, por ser la lente convergente):
1 1 1
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
− =
⇔ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
0,050 m · (−0,020 m)
𝑠𝑠 ′ =
≅ −0,033 m.
0,050 m + (−0,020 m)
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
′ + 𝑠𝑠
𝑦𝑦′
𝑠𝑠′
𝑓𝑓
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
= =
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑦𝑦′
𝑓𝑓′
0,050 m
= ′
=
≅ 1,67.
𝑦𝑦 𝑓𝑓 + 𝑠𝑠 0,050 m + (−0,020 m)
La imagen está a 3,3 cm de la lente y en el mismo lado que el objeto (s' < 0), por lo que es
virtual, está derecha (y'/y > 0) y es de tamaño mayor (5/3) que el objeto.
Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de los espejos esféricos:
1 1 1
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
+ =
⇔ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑠𝑠 − 𝑓𝑓′
(−0,050 m) · (−0,020 m)
𝑠𝑠 ′ =
≅ 0,033 m.
(−0,020 m) − (−0,050 m)
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
𝑦𝑦′ −𝑠𝑠′
𝑠𝑠 − 𝑓𝑓′
=
=−
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑠𝑠
(−0,050 m)
𝑦𝑦′
𝑓𝑓′
=−
=−
≅ −1,67.
(−0,020 m) − (−0,050 m)
𝑦𝑦
𝑠𝑠 − 𝑓𝑓′
Está a 3,3 cm al otro lado del espejo (s' > 0), por lo que es virtual, es mayor que el objeto (5/3) y
está derecha (y'/y = −s'/s > 0). Por tanto las imágenes son iguales en todo, salvo que la de la lente
está en su mismo lado y la del espejo en el otro.
b) Ver imágenes.
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental de los
espejos (con f' > 0 y s < 0 −lo último por convenio−):
1 1 1
1
1 1
+ =
⇔
= − >0
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑠𝑠′ 𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
1
1
>
⇔ |𝑠𝑠′| < |𝑠𝑠| ; 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ = −𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 ⇔ |𝑦𝑦 ′ | < |𝑦𝑦|.
|𝑠𝑠′| |𝑠𝑠|
La imagen siempre estará en el otro lado del espejo (virtual), más cerca de la lente (|s'| < |s|),
derecha (y' tiene el mismo signo que y, puesto que s tiene el mismo signo que s') y menor (y' < y).
b) Aplicando la Ecuación fundamental de las lentes (con
f' < 0 y s < 0 −esto último por convenio−):
1 1 1
1 1 1
− =
⇔
= + <0
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
1
1
>
⇔ |𝑠𝑠′| < |𝑠𝑠| ; 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ = 𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 ⇔ 𝑦𝑦 ′ < 𝑦𝑦.
|𝑠𝑠′| |𝑠𝑠|
La imagen siempre estará en el mismo lado de la lente (virtual), más cerca de la lente (|s'| < |s|),
derecha (y' tiene el mismo signo que y, puesto que s tiene el mismo signo que s') y menor (y' < y).
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
87.–
10
Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones:
a) Se utiliza un pequeño espejo esférico cóncavo de 50 cm de distancia focal para ampliar las
imágenes de nuestra cara. Determine la posición (respecto al centro del espejo) y tamaño de
la imagen de nuestra boca de 5,0 cm cuando la situamos a una distancia de 25 cm del centro
del espejo (suponga que la boca está centrada respecto al espejo).
b) Explique el funcionamiento de un ojo humano con miopía. ¿Cómo se corrige ese defecto?
a) La imagen es virtual y al otro lado del espejo (s' = 50 cm > 0), derecha y mayor (y' = 10 cm,
el doble del objeto) ; b) La miopía es un exceso de diámetro antero−posterior del globo ocular,
o una deformación de la córnea o el cristalino que hace que la potencia del ojo sea mayor. Se
corrige con una lente divergente que compensa el exceso de potencia del ojo y las imágenes se
vuelven a formar en la retina.
88.–
Se coloca delante y a una distancia de 24 cm de un espejo cóncavo, un objeto de 5,0 cm de
altura. El radio de dicho espejo es 14 cm. Calcule:
a) la posición de la imagen;
b) el tamaño de la imagen.
c) Indique las características de la imagen.
a) s' ≈ −9,9 cm ; b) y' ≈ −2,1 cm ; Imagen real, invertida y menor.
10
89.–
Se coloca un objeto delante de un espejo esférico cóncavo, a una distancia menor que la
distancia focal del espejo. Realice la construcción gráfica de la imagen e indique las
características de ésta.
La imagen es virtual (no se cortan los rayos, sino las prolongaciones de estos), al otro lado del
espejo (s’ > 0), derecha (y’ > 0), mayor que el objeto (y’/y > 1) y más lejos del espejo que el
objeto (|s’| > |s|).
10
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental y la del aumento lateral de los espejos
esféricos:
1 1 1
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
+ =
⇔ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑠𝑠 − 𝑓𝑓′
(−0,50 m) · (−0,25 m)
𝑠𝑠 ′ =
= 0,50 m.
(−0,25 m) − (−0,50 m)
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
−𝑦𝑦
−𝑦𝑦
𝑠𝑠′
𝑠𝑠
− 𝑓𝑓′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔ 𝑦𝑦′ =
=
𝑠𝑠
𝑠𝑠
′
(
)
−𝑦𝑦
𝑓𝑓
−5,0
cm
·
−0,25
m
𝑦𝑦 ′ =
=
= 10 cm.
𝑠𝑠 − 𝑓𝑓 ′ (−0,25 m) − (−0,50 m)
La imagen está a 50 cm en el lado opuesto del espejo (s' > 0), por lo que es virtual, está derecha
(y > 0) y mide 10 cm, o sea, dos veces más grande que el objeto (|y'/y| = 2).
b) Un ojo humano con miopía tiene la córnea y el cristalino (que son las lentes que permiten que
las imágenes que se forman se proyecten directamente sobre la retina) con mayor curvatura de lo
normal por lo que se comporta como una lente convergente con una distancia focal menor de la
necesaria (o sea, de mayor potencia que la que debería tener). Si situamos delante de la córnea una
lente divergente que compense el exceso de potencia de este, conseguimos que las imágenes se
proyecten debidamente en la retina.
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental de los
espejos esféricos:
1 1 2
𝑅𝑅 𝑠𝑠
+ =
⇒ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅
2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅
(−0,14 m) · (−0,24 m)
𝑠𝑠′ =
≅ −0,099 m.
(−0,48 m) − (−0,14 m)
b) Aplicando ahora la del aumento lateral:
𝑅𝑅 𝑠𝑠
−𝑦𝑦 2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅
−𝑦𝑦
𝑠𝑠′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔ 𝑦𝑦′ =
=
𝑠𝑠
𝑠𝑠
−𝑦𝑦 𝑅𝑅
−0,050 m · (−0,14 m)
𝑦𝑦′ =
=
≅ −0,021 m.
2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅 (−0,48 m) − (−0,14 m)
c) La imagen está a 9,9 cm del espejo y en el mismo lado (s' < 0), por lo que es real, está
invertida (y'/y < 0) y tiene un tamaño menor que el del objeto (|y'| ≈ 2,1 cm).
Solución: Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de los espejos
esféricos −con f < 0, por ser cóncavo, s negativa pero menor en valor absoluto que f (s > f) e y
positiva, por convenio−:
1 1 1
𝑓𝑓 𝑠𝑠
𝑓𝑓
+ =
⇔ 𝑠𝑠 ′ =
⇔ 𝑠𝑠 ′ =
𝑠𝑠 ��� 𝑠𝑠 ′ > 0 ; Como 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ = −𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 ⇒ 𝑦𝑦 ′ > 0.
𝑠𝑠 > 𝑓𝑓
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓
𝑠𝑠 − 𝑓𝑓
𝑠𝑠 − 𝑓𝑓
La imagen se encuentra en el otro lado del espejo que el objeto y siempre está derecha, siendo,
por tanto además, una imagen virtual.
𝑓𝑓 𝑠𝑠
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 − 𝑓𝑓
𝑓𝑓
𝑓𝑓
1
=
=
=
=
𝑠𝑠′
𝑦𝑦′
𝑠𝑠
𝑠𝑠 − 𝑓𝑓 𝑓𝑓 � 𝑠𝑠 − 1� � 𝑠𝑠 − 1�
𝑠𝑠
�
�
�
� > 1.
⇔
>
1
⇒
𝑓𝑓
𝑓𝑓
𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑠𝑠 < 0 ; 𝑓𝑓 < 0 ; |𝑠𝑠| < |𝑓𝑓| ⇒ −1 < − 1 < 0
𝑓𝑓
Como |y'/y| > 1, la imagen es mayor que el objeto.
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
90.–
Se coloca un pequeño objeto sobre el eje óptico a 3,0 cm de una lente convergente de
distancia focal 5,0 cm. Determine la imagen del objeto utilizando los tres rayos principales.
s' = −7,5 cm; y'/y = 2,5 ; La imagen es virtual, derecha y mayor que el objeto(y'/ y = 2,5).
10
91.–
Se desea conseguir una imagen derecha de un objeto situado a 20 cm del vértice de un
espejo. El tamaño de la imagen debe ser la quinta parte del tamaño del objeto. ¿Qué tipo de
espejo se debe utilizar y qué radio de curvatura debe tener? Justifique brevemente su respuesta.
Tanto un espejo cóncavo como uno convexo pueden dar esa imagen de ese tamaño ; Espejo
cóncavo: R ≈ −6,7 cm (pero está invertida); Espejo convexo: R = 10 cm.
10
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: Ver imagen.
Aplicando la Ecuación fundamental de las lentes:
1 1 1
− =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓 ′ 𝑠𝑠
0,050 m · (−0,030 m)
𝑠𝑠 ′ = ′
=
≅ −0,007 5 m.
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠 0,050 m + (−0,030 m)
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
𝑦𝑦′ 𝑠𝑠′ 𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
𝑦𝑦′
𝑓𝑓′
= =
⇔
=
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑦𝑦 𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑦𝑦′
0,050 m
=
= 2,5.
𝑦𝑦 0,050 m + (−0,030 m)
La imagen está a 7,5 cm de la lente y en el mismo lado del objeto (s' < 0), por lo que es virtual, y
está derecha y es de tamaño mayor que el del objeto (y'/y > 1).
Solución: Como dato tenemos que: |y'/y| = 0,20 < 1. Imágenes más pequeñas que el objeto se
pueden obtener de las dos formas. Con espejos cóncavos y con espejos convexos. Estudiamos los
dos casos.
Espejo cóncavo: La imagen solo es más pequeña que el objeto si la imagen es real (y por tanto
invertida −ya que la imagen la forma entre otros el rayo que va al centro óptico que sale por debajo
del eje óptico−) y el objeto se encuentra a mayor distancia del espejo que el centro de curvatura.
y'/y = −0,20. Como la imagen debe estar derecha (según el enunciado), solo se produce si
invertimos el objeto.
𝑦𝑦′ −𝑠𝑠′
1
𝑠𝑠 −20 cm
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
=
=−
⇔ 𝑠𝑠′ = =
= − 4,0 cm
𝑦𝑦
𝑠𝑠
5
5
5
1 1 2
2 𝑠𝑠 𝑠𝑠′ 2 · (−20 cm) · (−4,0 cm)
+ =
⇔ 𝑅𝑅 =
=
≅ −6,7 cm.
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅
𝑠𝑠 + 𝑠𝑠′
−20 cm + (−4,0 cm)
Espejo convexo: La imagen siempre es más pequeña que el objeto y es virtual (por tanto está
derecha −ya que la imagen la forma entre otros la prolongación del rayo que se dirige al centro
óptico que siempre se encuentra por encima del eje óptico−): y'/y = 0,20.
𝑦𝑦′ −𝑠𝑠′ 1
−𝑠𝑠 20 cm
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
=
=
⇔ 𝑠𝑠 ′ =
=
= 4,0 cm
𝑦𝑦
𝑠𝑠
5
5
5
1 1 2
2 𝑠𝑠 𝑠𝑠′ 2 · (−20 cm) · 4,0 cm
+ =
⇔ 𝑅𝑅 =
=
= 10 cm.
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅
𝑠𝑠 + 𝑠𝑠′
−20 cm + 4 cm
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
92.–
Se desea proyectar sobre una pantalla la imagen de un objeto de 2,0 cm de alto. Para ello
contamos con una lente convergente de 5,0 dioptrías o con un espejo cóncavo de 0,50 m de
radio. La pantalla está situada a 2,0 m de distancia del sistema.
a) Si se utiliza la lente, ¿a qué distancia de la misma debe colocarse el objeto para que la
imagen se forme exactamente sobre la pantalla?
b) ¿Y si utilizamos el espejo?
c) ¿Qué tamaño tiene la imagen en ambos casos?
a) s ≈ −22 cm ; b) s ≈ −29 cm ; c) Lente: y’ = −18 cm; y’/y = 9,0; Espejo: y’ = −14 cm;
y’/y = 7,0.
10
93.–
Se desea proyectar sobre una pantalla la imagen de una diapositiva, empleando una lente
delgada convergente de focal f' = 10 cm, de forma que el tamaño de la imagen sea 50 veces
mayor que el de la diapositiva.
a) Calcule las distancias diapositiva−lente y lente−pantalla.
b) Dibuje un trazado de rayos que explique gráficamente este proceso de formación de
10
imagen.
Datos: Las diapositivas se colocan invertidas en el proyector.
a) s = −10,2 cm; s' = 5,1 m.
94.–
Se desea proyectar sobre una pantalla la imagen de una diapositiva empleando una lente
delgada convergente de focal f' = 5,0 cm de forma que la imagen se proyecte invertida y con un
tamaño 40 veces mayor que el de la diapositiva.
a) Calcule las distancias diapositiva−lente y lente−pantalla.
b) Dibuje un trazado de rayos que explique gráficamente este proceso de formación de
imagen.
a) s' = 2,05 m; s ≈ −5,1 cm.
10
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental de las lentes:
1 1 1
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠′
𝑠𝑠′
𝑠𝑠′
− = = 𝑃𝑃 ⇔ 𝑠𝑠 =
=
=
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓′ − 𝑠𝑠′ 𝑃𝑃 � 1 − 𝑠𝑠′� 1 − 𝑃𝑃 𝑠𝑠′
𝑃𝑃
2,0 m
2,0 m
𝑠𝑠 =
=
≅ −0,22 m.
1 − 5,0 D · 2,0 m 1 − 5,0 m−1 · 2,0 m
c.1) Aplicando la Ecuación del aumento lateral de la lente:
𝑦𝑦′ 𝑠𝑠′
𝑠𝑠′
= =
= 1 − 𝑃𝑃 𝑠𝑠 ′ ⇒ 𝑦𝑦 ′ = 𝑦𝑦 (1 − 𝑃𝑃 𝑠𝑠 ′ )
𝑠𝑠′
𝑠𝑠
𝑦𝑦
1 − 𝑃𝑃 𝑠𝑠′
′
𝑦𝑦 = 0,020 m · (1 − 5,0 m−1 · 2,0 m) = −0,18 m.
b) Aplicando la Ecuación fundamental de los espejos esféricos (la de los dioptrios con n' = −n):
𝑛𝑛′ 𝑛𝑛 𝑛𝑛′ − 𝑛𝑛
1 1 2
𝑅𝑅 𝑠𝑠′
− =
⇔
+ =
⇔ 𝑠𝑠 =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅
2 𝑠𝑠′ − 𝑅𝑅
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠
𝑅𝑅
−0,50 m · (−2,0 m)
𝑠𝑠 =
≅ −0,29 m.
2 · (−2,0 m) − (−0,50 m)
c.2) Aplicando la Ecuación del aumento lateral del espejo:
𝑦𝑦′
𝑠𝑠′
𝑠𝑠′
2 𝑠𝑠′ − 𝑅𝑅
−𝑦𝑦 (2 𝑠𝑠′ − 𝑅𝑅)
=− =−
=−
⇒ 𝑦𝑦 ′ =
𝑅𝑅 𝑠𝑠′
𝑠𝑠
𝑅𝑅
𝑅𝑅
𝑦𝑦
2 𝑠𝑠′ − 𝑅𝑅
−0,020
m · [2 · (−2,0 m) − (−0,50 m)]
𝑦𝑦 ′ =
= −0,14 m.
−0,50 m
Solución: a) Aplicando la Ecuación del aumento lateral y la Ecuación fundamental de las lentes
(el aumento es negativo porque la imagen se forma invertida):
𝑦𝑦′ 𝑠𝑠′
= = −50 ⇔ 𝑠𝑠 ′ = −50 𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑠𝑠
1 1 1
1
1 1
51
1
− =
⇔
− =
⇔
=
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
−50 𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
−50 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
51 𝑓𝑓′
51 · 10 cm
𝑠𝑠 =
=
= −10,2 cm.
−50
−50
51𝑓𝑓′
𝑠𝑠 ′ = −50 𝑠𝑠 = −50 · −50 = 51𝑓𝑓 ′ = 51 · 10 cm = 5,1 m.
b)Ver imagen.
Solución: a) Aplicando la Ecuación del aumento lateral [el tamaño de la imagen es negativo
porque la imagen es real (se proyecta en una pantalla) e invertida] y la fundamental de las lentes:
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 ′
𝑦𝑦 𝑠𝑠′
′
′
𝑦𝑦 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ⇔
=
⇔ 𝑠𝑠 =
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑦𝑦′
1 1 1
1
1
1
𝑦𝑦′
1
𝑦𝑦′
1
− =
⇔
−
= −
= �1 − � =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑠𝑠′ 𝑦𝑦 𝑠𝑠′ 𝑠𝑠′ 𝑦𝑦 𝑠𝑠′ 𝑠𝑠′
𝑦𝑦
𝑓𝑓′
𝑦𝑦′
𝑦𝑦′
𝑠𝑠 ′ = 𝑓𝑓 ′ �1 − � = 0,050 m · [1 − (−40)] = 2,05 m.
𝑦𝑦
𝑦𝑦′
𝑦𝑦′
′
′
𝑦𝑦 𝑠𝑠′ 𝑦𝑦 𝑓𝑓 �1 − 𝑦𝑦 � 𝑓𝑓 �1 − 𝑦𝑦 �
𝑦𝑦
1
=
=
= 𝑓𝑓 ′ � − 1� = 0,050 m · �
− 1� ≅ −0,051 m.
𝑠𝑠 =
𝑦𝑦′
𝑦𝑦′
𝑦𝑦′
𝑦𝑦′
−40
𝑦𝑦
b) Ver figura.
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
95.–
Se dispone de una lente convergente (una lupa de distancia focal 5,0 cm) que se utiliza
para aumentar sellos.
a) Haga un diagrama indicando la trayectoria de los rayos, la posición del objeto y la posición
de la imagen si se quiere obtener una imagen virtual, derecha y aumentada.
b) Determine la posición en la que hay que colocar los sellos si se quiere que la imagen
definida en el caso anterior sea diez veces mayor.
c) Determine las características de la imagen obtenida si el sello se coloca a 6,0 cm de la lente
(haga el diagrama y los cálculos correspondientes).
b) s = −4,5 cm ; c) La imagen es real, invertida, el quíntuple que el objeto (y'/ y = −5,0) y se
encuentra en el otro lado de la lente a 30 cm.
10
96.–
Se dispone de una lente convergente de distancia focal 15 cm. Determine la posición y la
naturaleza de la imagen formada por la lente si el objeto está situado, delante de ella, a las
siguientes distancias:
a) 40 cm;
b) 10 cm.
Realice el trazado de rayos en ambos casos.
a) Imagen real, invertida y menor situada en s' = 24 cm ; b) Imagen virtual, derecha y mayor
(el triple) situada en s' = −30 cm.
10
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: a) El diagrama se ve a la derecha.
b) Aplicando la Ecuación del aumento lateral y la
Ecuación fundamental de las lentes (el aumento es positivo
porque la imagen se forma derecha):
𝑦𝑦′ 𝑠𝑠′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
= = 10 ⇔ 𝑠𝑠′ = 10 𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑠𝑠
1
1 1
−9
1
1 1 1
− =
⇔
− =
⇒
=
10 𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
10 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
−9 𝑓𝑓′
−45 cm
𝑠𝑠 =
=
= −4,5 cm.
10
10
c) Aplicando otra vez la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de las lentes:
1 1 1
− =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓 ′ 𝑠𝑠
0,050 m · (−0,060 m)
𝑠𝑠 ′ = ′
=
= 0,30 m.
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠 0,050 m + (−0,060 m)
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
𝑦𝑦′ 𝑠𝑠′ 𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
𝑓𝑓′
= =
=
𝑠𝑠
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑦𝑦′
0,050 m
=
= −5,0.
𝑦𝑦
0,050 m + (−0,060 m)
La imagen está a 30 cm de la lente y en el otro lado del objeto (s' > 0), por lo que es real, está
invertida (y' < 0) y es de tamaño mayor (el quíntuple) que el del objeto.
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental de las lentes:
1 1 1
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
− =
⇔ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
(
)
0,15
m
·
−0,40
m
𝑠𝑠 ′ =
= 0,24 m.
0,15 m + (−0,40 m)
La imagen es real (se cortan los rayos), está invertida y al
otro lado de la lente y es menor (ya que está más cerca de la
lente que el objeto).
b) Volviendo a aplicar la Ecuación fundamental de las
lentes:
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
1 1 1
− =
⇔ 𝑠𝑠′ =
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
0,15 m · (−0,10 m)
𝑠𝑠′ =
= −0,30 m.
0,15 m + (−0,10 m)
Ahora la imagen es virtual (no se cortan los rayos sino las prolongaciones de estos), está en el
mismo lado de la lente que el objeto, está derecha y es tres veces mayor, ya que se encuentra al
triple de distancia de la lente que el objeto.
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
97.–
Se dispone de una lente convergente de distancia focal 20 cm.
a) Halle la posición y la altura de la imagen formada por la lente si un objeto de 3,0 cm de
altura se encuentra situado delante de ella a una distancia de 50 cm.
b) Halle la posición y la naturaleza de la imagen formada por la lente si un objeto de 5,0 cm de
altura se encuentra situado delante de ella a una distancia de 10 cm.
a) s' ≈ 33 cm; y' = −2,0 cm; la imagen es real, invertida y menor que el objeto(|y'/ y| = 2/3) ;
b) s' = −20 cm; y' = 10 cm; la imagen es virtual, derecha y mayor que el objeto(y'/ y = 2).
10
98.–
Se dispone de una lente convergente de distancia focal 20 cm. Realice el diagrama
correspondiente, y determine las características (real−virtual, derecha−invertida,
aumentada−reducida), la posición y el tamaño de la imagen formada por la lente si un objeto de
10 cm se sitúa:
a) a 50 cm de la lente;
b) a 15 cm de la lente.
a) La imagen es real, invertida, de 6,7 cm de altura (las dos terceras partes del objeto,
y'/ y ≈ −0,67) y se encuentra en el otro lado de la lente a 33 cm ; b) La imagen es virtual,
derecha, de 40 cm de altura (el cuádruple del objeto, y'/ y ≈ 4,0) y se encuentra en el mismo lado
de la lente a 60 cm.
10
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: Ver imágenes.
a) Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de las lentes:
1 1 1
− =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓 ′ 𝑠𝑠
0,20 m · (−0,50 m)
𝑠𝑠 ′ = ′
=
≅ 0,33 m.
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠 0,20 m + (−0,50 m)
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
𝑦𝑦′ 𝑠𝑠′ 𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
𝑓𝑓′
= =
⇔ 𝑦𝑦′ = 𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
𝑦𝑦
0,20
m
𝑦𝑦 ′ = 0,030 m ·
= −0,020 m.
0,20 m + (−0,50 m)
La imagen está a 33 cm de la lente y en el otro lado del objeto (s' > 0), por lo que es real, está
invertida (y' < 0) y es de tamaño menor que el del objeto (2,0 cm; las dos terceras partes).
b) Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de las lentes:
1 1 1
− =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓 ′ 𝑠𝑠
0,20 m · (−0,10 m)
′
𝑠𝑠 = ′
=
≅ −0,20 m.
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠 0,20 m + (−0,10 m)
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
𝑦𝑦′ 𝑠𝑠′ 𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
𝑓𝑓′
= =
⇔ 𝑦𝑦′ = 𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
0,20 m
𝑦𝑦 ′ = 0,050 m ·
= 0,10 m.
0,20 m + (−0,10 m)
La imagen está a 20 cm de la lente y en el mismo lado del objeto (s' < 0), por lo que es virtual,
está derecha (y' > 0) y es mayor que el del objeto (10 cm, el doble).
Solución: Ver imágenes.
a) Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de las lentes:
1 1 1
− =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓 ′ 𝑠𝑠
0,20 m · (−0,50 m)
′
𝑠𝑠 = ′
=
≅ 0,33 m.
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠 0,20 m + (−0,50 m)
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
𝑓𝑓′
𝑦𝑦′ 𝑠𝑠′ 𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
= =
⇔ 𝑦𝑦′ = 𝑦𝑦
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
0,20
m
𝑦𝑦 ′ = 0,10 m ·
= −0,067 m.
0,20 m + (−0,50 m)
La imagen está a 33 cm de la lente y en el otro lado del objeto (s' > 0), por lo que es real, está
invertida (y' < 0) y es de tamaño menor que el del objeto (6,7 cm; las dos terceras partes).
b) Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de las lentes:
1 1 1
− =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓 ′ 𝑠𝑠
0,20 m · (−0,15 m)
𝑠𝑠 ′ = ′
=
≅ −0,60 m.
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠 0,20 m + (−0,15 m)
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
𝑦𝑦′ 𝑠𝑠′ 𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
𝑓𝑓′
= =
⇔ 𝑦𝑦′ = 𝑦𝑦
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
0,20 m
𝑦𝑦 ′ = 0,10 m ·
= 0,40 m.
0,20 m + (−0,15 m)
La imagen está a 60 cm de la lente y en el mismo lado del objeto (s' < 0), por lo que es virtual,
está derecha (y' > 0) y es mayor que el del objeto (40 cm, el cuádruple).
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
99.–
Se dispone de una lente convergente de distancia focal f. Dibuje el diagrama de rayos para
formar la imagen de un objeto de altura y, situado a una distancia s de la lente, en el caso en que
s > f. Explique razonadamente si la imagen formada es real o virtual.
La imagen formada siempre es real (y por tanto invertida y en el otro lado de la lente) aunque
según donde esté el objeto será mayor, igual o menor que este.
10
100.–
Se dispone de una lente convergente delgada de distancia focal 30 cm. Calcule,
dibujando previamente un trazado de rayos cualitativo,
a) la posición y altura de la imagen formada por la lente si el objeto tiene una altura 6,0 cm y
se encuentra situado delante de ella, a una distancia de 40 cm;
b) la naturaleza (real o virtual) de la imagen formada.
a) s' ≈ 1,2 m; y' = −18 cm ; b) La imagen es real, invertida y mayor que el objeto(|y'/ y| = 3).
10
101.– Se quiere enfocar el filamento de una bombilla sobre una pantalla con una lente de
distancia focal +100 mm. ¿Cuál es la distancia entre el filamento y la pantalla si la imagen
enfocada se forma poniendo la lente a 12,0 cm del filamento?
d = 72 cm.
10
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de las lentes
(teniendo en cuenta que f' > 0 y f’ < |s|):
1 1 1
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
− =
⇔ 𝑠𝑠′ = ′
>0
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
(ya que 𝑓𝑓 ′ < |𝑠𝑠|)
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
𝑦𝑦′ 𝑠𝑠′ 𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
𝑓𝑓′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
= =
=
< 0.
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
𝑠𝑠
(ya que 𝑓𝑓 ′ < |𝑠𝑠|)
La imagen está en el lado contrario de la lente que el objeto (s’ > 0), por lo que es real, está
invertida (y’/y < 0) y es mayor que el objeto si s es menor, en valor absoluto, que 2 f’ (ya que
y’/y < −1), igual si s es igual a 2 f (y’/y = −1) y menor si s es mayor, en valor absoluto, que 2 f’
(−1 < y’/y < 0).
Solución: Ver imagen.
a) Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de las lentes:
1 1 1
− =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓 ′ 𝑠𝑠
0,30 m · (−0,40 m)
𝑠𝑠 ′ = ′
=
= 1,2 m.
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠 0,30 m + (−0,40 m)
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
𝑦𝑦′ 𝑠𝑠′ 𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
𝑓𝑓′
= =
⇔ 𝑦𝑦′ = 𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
0,30
m
𝑦𝑦 ′ = 0,060 m ·
= −0,18 m.
0,30 m + (−0,40 m)
b) La imagen está a 1,2 m de la lente y en el otro lado del objeto (s' > 0), por lo que es real, está
invertida (y' < 0) y es de tamaño mayor que el del objeto (18 cm; tres veces mayor).
Solución: a) Aplicando la Ecuación del aumento lateral y la
Ecuación fundamental de las lentes
1 1 1
𝑓𝑓 ′ 𝑠𝑠
𝑓𝑓 ′ 𝑠𝑠
𝑠𝑠 (𝑓𝑓 ′ + 𝑠𝑠)
− =
⇒ 𝑠𝑠 ′ = ′
; 𝑑𝑑 = 𝑠𝑠 ′ − 𝑠𝑠 = ′
−
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠
𝑓𝑓 ′ + 𝑠𝑠
−𝑠𝑠 2
−(−0,120 m)2
𝑑𝑑 = ′
=
= 0,720 m.
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠 0,100 m + (−0,120 m)
𝑓𝑓 ′ 𝑠𝑠
′
′
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑓𝑓 ′
0,100 m
𝑓𝑓 ′ + 𝑠𝑠
= =
= ′
=
= −5,0.
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠 0,100 m + (−0,120 m)
La pantalla se encuentra 72,0 cm a la derecha del filamento, al otro lado de la lente, y se
proyecta una imagen del filamento invertida y 5 veces mayor que éste.
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
102.– Se quiere formar una imagen real y de doble tamaño de un objeto de 1,5 cm de altura.
Determine:
a) la posición del objeto si se usa un espejo cóncavo de R = 15 cm;
b) la posición del objeto si se usa una lente convergente con la misma focal que el espejo.
c) Dibuje la marcha de los rayos para los dos apartados anteriores.
a) s ≈ −11 cm ; b) s ≈ −11 cm.
10
10
103.– Se quiere utilizar una lente delgada convergente, cuya distancia focal es de 20 cm, para
obtener una imagen real que sea tres veces mayor que el objeto.
a) Calcule la distancia del objeto a la lente.
b) Dibuje el diagrama de rayos, indique claramente el significado de cada uno de los
elementos y distancias del dibujo y explique las características de la imagen resultante.
a) s ≈ −27 cm ; b) s' = 80 cm; y'/y < 0; La imagen es real, invertida y mayor que el objeto.
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: a) Aplicando la Ecuación del aumento lateral [el tamaño de la imagen es negativo
porque la imagen es real, y por tanto está invertida] y la fundamental de los espejos:
𝑦𝑦′ −𝑠𝑠′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
=
= −2,0 ⇔ 𝑠𝑠′ = 2 𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑠𝑠
1
2
2
3
2
1 1 2
+ =
⇔
+
=
⇔
=
2 𝑠𝑠 2 𝑠𝑠 𝑅𝑅
2 𝑠𝑠 𝑅𝑅
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅
3 𝑅𝑅 3 · (−0,15 m)
𝑠𝑠 =
=
≅ −0,11 m.
4
4
b) Aplicando la Ecuación del aumento lateral [el tamaño de la imagen es negativo porque la
imagen es real, y por tanto está invertida] y la fundamental de las lentes (f' es la mitad del radio, o
sea, 7,5 cm):
𝑦𝑦′ 𝑠𝑠′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
= = −2,0 ⇔ 𝑠𝑠′ = −2 𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑠𝑠
1 1 1
1
−2
1
3
1
− =
⇔
−
=
⇔
=
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
−2 𝑠𝑠 −2 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
−2 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
−3 𝑓𝑓′ −3 · 0,075 m
𝑠𝑠 =
=
≅ −0,11 m.
2
2
Solución: a) Aplicando la Ecuación del aumento lateral [el tamaño de la imagen es negativo
porque la imagen es real, y por tanto está invertida] y la
fundamental de las lentes:
𝑦𝑦′ 𝑠𝑠′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
= = −3,0 ⇔ 𝑠𝑠′ = −3 𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑠𝑠
1 1 1
1
−3
1
4
1
− =
⇔
−
=
⇔
=
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
−3 𝑠𝑠 −3 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
−3 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
−4 𝑓𝑓′ −4 · 0,20 m
𝑠𝑠 =
=
≅ −0,27 m.
3
3
El objeto se encuentra unos 27 cm por delante de la lente y la imagen está a 80 cm detrás de la
lente (s' > 0), siendo real, invertida (y' < 0) y es de tamaño mayor que el del objeto (el triple
−enunciado−).
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
104.– Se sitúa un objeto de 3,5 cm delante de la superficie cóncava de un espejo esférico de
distancia focal 9,5 cm, y se produce una imagen de 9,5 cm.
a) Calcule la distancia a la que se encuentra el objeto de la superficie del espejo.
b) Realice el trazado de rayos y determine si la imagen formada es real o virtual.
Hay dos posibles soluciones: Una imagen real que se forma cuando el objeto está a 13 cm del
espejo y una imagen virtual que se forma cuando el objeto está a 6,0 cm del espejo.
10
105.– Se tiene un espejo cóncavo cuyo radio mide 8,0 cm. Calcule a qué distancia hay que
colocar un pequeño objeto en el eje para tener una imagen invertida y cuatro veces mayor que el
objeto.
s = 5,0 cm.
10
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: a) Como un espejo cóncavo puede crear imágenes más grandes tanto si son virtuales
como reales, resolvemos los dos posibles casos.
Aplicando la Ecuación del aumento lateral y la Ecuación fundamental de los espejos esféricos
[considerando una imagen virtual (s' > 0, por ser un espejo) y, por tanto, derecha]:
𝑦𝑦 ′ −𝑠𝑠′ 9,5 cm
−19 𝑠𝑠
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
=
=
⇔ 𝑠𝑠′ =
𝑦𝑦
𝑠𝑠
3,5 cm
7
19
12
1 1 2 1
1
1
1
+ = =
⇔
+ 7 = ⇔ 7 =
19 𝑠𝑠 19 𝑠𝑠 𝑓𝑓
19 𝑠𝑠 𝑓𝑓
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅 𝑓𝑓
− 7
7
7
12 𝑓𝑓 12 · (−0,095 m)
𝑠𝑠 =
=
= −0,060 m
19
19
12 𝑓𝑓
−19 𝑠𝑠 −19 · 19
−12 𝑓𝑓 −12 · (−0,095 m)
𝑠𝑠′ =
=
=
=
≅ 0,16 m.
7
7
7
7
Volviendo a aplicar la Ecuación del aumento lateral y la Ecuación fundamental de los espejos
esféricos [considerando una imagen real (s' < 0, por ser un espejo) y, por tanto, invertida]:
𝑦𝑦 ′ −𝑠𝑠′ −9,5 cm
19 𝑠𝑠
′
′
𝑦𝑦 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦𝑠𝑠 ⇔
=
=
⇔ 𝑠𝑠′ =
𝑦𝑦
𝑠𝑠
3,5 cm
7
19
26
1 1 2 1
1
1
7 =1
+ = =
⇔
+ 7 =
⇔
19 𝑠𝑠 𝑓𝑓
19 𝑠𝑠 19 𝑠𝑠 𝑓𝑓
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅 𝑓𝑓
7
7
7
(
)
26 𝑓𝑓 26 · −0,095 m
𝑠𝑠 =
=
= −0,13 m
19
19
26 𝑓𝑓
19 𝑠𝑠 19 · 19
26 𝑓𝑓 26 · (−0,095 m)
𝑠𝑠′ =
=
=
=
≅ −0,35 m.
7
7
7
7
b) La imagen que se obtiene se encuentra en las figuras, pudiendo obtenerse tanto una imagen
virtual como una real que cumplan las características expuestas en el enunciado.
Solución: Aplicando la Ecuación del aumento lateral y la
Ecuación fundamental de los espejos esféricos [considerando una
imagen real (s' < 0, por ser un espejo) y, por tanto, invertida]:
𝑦𝑦′ −𝑠𝑠′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
=
= −4 ⇔ 𝑠𝑠 ′ = 4 𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑠𝑠
1 1 2
1
4
2
5
2
+ =
⇔
+
=
⇔
=
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅
4 𝑠𝑠 4 𝑠𝑠 𝑅𝑅
4 𝑠𝑠 𝑅𝑅
5 𝑅𝑅 5 · (−0,080 m)
𝑠𝑠 =
=
= −0,050 m
8
8
5 𝑅𝑅 5 𝑅𝑅 5 · (−0,080 m)
𝑠𝑠 ′ = 4 𝑠𝑠 = 4 ·
=
=
= −0,20 m.
8
2
2
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
106.– Se tiene un espejo cóncavo de 20 cm de distancia focal.
a) ¿Dónde se debe situar un objeto para que su imagen sea real y doble del objeto?
b) ¿Dónde se debe situar el objeto para que la imagen sea doble del objeto pero tenga carácter
virtual?
Efectúe la construcción geométrica en ambos casos.
a) s = −30 cm ; b) s = −10 cm.
10
107.– Se utiliza un espejo esférico cóncavo para proyectar sobre una pantalla plana la imagen de
un objeto de 10 cm de altura. Si se desea que el tamaño de dicha imagen sea de 30 cm, se debe
colocar la pantalla a una distancia de 2,0 m del objeto.
a) Determine las distancias objeto e imagen.
b) Determine el radio de curvatura del espejo y la distancia focal.
c) Construya geométricamente la imagen.
a) s' = −2,0 m; s ≈ −67 cm ; b) R = −1,0 m; f = −50 cm.
10
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: a) Aplicando la Ecuación del aumento lateral y la Ecuación fundamental de los
espejos esféricos (el aumento es negativo porque la imagen es real y, por tanto, invertida):
𝑦𝑦′ −𝑠𝑠′
𝑦𝑦′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠′ ⇔
=
= −2 ⇔ 𝑠𝑠′ = 2 𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑠𝑠
1 1 2 1
1
2
1
3
1
+ = =
⇔
+
=
⇔
=
2 𝑠𝑠 2 𝑠𝑠 𝑓𝑓
2 𝑠𝑠 𝑓𝑓
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅 𝑓𝑓
3 𝑓𝑓 3 · (−0,20 m)
𝑠𝑠 =
=
= −0,30 m.
2
2
b) Aplicando la Ecuación del aumento lateral y la Ecuación fundamental de los espejos esféricos
(el aumento es positivo porque la imagen es virtual y, por tanto, derecha):
𝑦𝑦 ′ −𝑠𝑠 ′
𝑦𝑦′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠′ ⇔
=
= 2 ⇔ 𝑠𝑠′ = −2 𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑠𝑠
1 1 2 1
1
2
1
1
1
+ = =
⇔
+
=
⇔
=
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅 𝑓𝑓
−2 𝑠𝑠 2 𝑠𝑠 𝑓𝑓
2 𝑠𝑠 𝑓𝑓
𝑓𝑓 −0,20 m
𝑠𝑠 = =
= −0,10 m.
2
2
Solución: a) Tenemos que tener en cuenta que una imagen proyectada en una pantalla ha de ser
real. Además, s' ha de ser negativo ya que la imagen es real (se forma en el mismo lado del espejo
que el objeto) e y' negativo, porque una imagen real está siempre invertida.
La distancia imagen nos la da el problema, puesto que es la distancia a la que debe colocarse la
pantalla. Por tanto, s' = −2,0 m.
Aplicando la Ecuación del aumento lateral (el aumento es negativo):
−𝑦𝑦 𝑠𝑠′ −0,10 m · (−2,0 m)
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔ 𝑠𝑠 =
=
≅ −0,67 m.
𝑦𝑦′
−0,30 m
b) Aplicando la Ecuación fundamental de los espejos esféricos:
−𝑦𝑦 𝑠𝑠′
2
�
� 𝑠𝑠′
2 𝑠𝑠 𝑠𝑠′
−2 𝑦𝑦 (𝑠𝑠′)2
1 1 2
𝑦𝑦′
+ =
⇔ 𝑅𝑅 =
=
=
−𝑦𝑦 𝑠𝑠′
𝑠𝑠 + 𝑠𝑠′
−𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ + 𝑦𝑦′𝑠𝑠′
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅
+ 𝑠𝑠′
𝑦𝑦′
2 𝑦𝑦 𝑠𝑠′ 2 · 0,10 m · (−2,0 m)
𝑅𝑅 =
=
= −1,0 m.
𝑦𝑦 − 𝑦𝑦′ 0,10 m − (−0,30 m)
Aplicando la relación entre f y R: f = R/2 = −0,50 m.
c) Ver imagen.
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
108.– Sea un sistema óptico formado por dos lentes delgadas convergentes de la misma distancia
focal (f' = 20 cm), situadas con el eje óptico común a una distancia entre sí de 80 cm. Un objeto
luminoso lineal perpendicular al eje óptico, de tamaño y = 2,0 cm, está situado a la izquierda de
la primera lente y dista de ella 40 cm.
a) Determine la posición de la imagen final que forma el sistema óptico y efectúe su
construcción geométrica.
b) ¿Cuál es la naturaleza y el tamaño de esta imagen?
a) Detrás de la segunda lente (s2' = 40 cm; s1 ' = 1,2 m) ; b) Es real, igual y derecha.
10
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral a la primera
de las lentes:
1
1
𝑓𝑓′1 𝑠𝑠
0,20 m · (−0,40 m)
1
− =
⇔ 𝑠𝑠′1 =
=
= 0,40 m.
𝑓𝑓′1 + 𝑠𝑠 0,20 m + (−0,40 m)
𝑠𝑠′1 𝑠𝑠 𝑓𝑓′1
𝑓𝑓′1 𝑠𝑠
𝑦𝑦 𝑠𝑠′1 𝑦𝑦 𝑓𝑓′1 + 𝑠𝑠
𝑦𝑦 𝑓𝑓′1
0,020 m · 0,20 m
𝑦𝑦′1 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠′1 ⇔ 𝑦𝑦′1 =
=
=
=
= −0,020 m.
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑓𝑓′1 + 𝑠𝑠 0,20 m + (−0,40 m)
La imagen formada por esta primera lente actúa de objeto para la segunda (y'1 = y2), y como
entre las dos lentes hay una distancia de 80 cm, la imagen formada estará a:
s2 = s1' − d = 40 cm − 80 cm = −40 cm.
Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral a la segunda de las lentes:
1 1
1
𝑓𝑓′2 𝑠𝑠2
0,20 m · (−0,40 m)
− =
⇔ 𝑠𝑠 ′ =
=
= 0,40 m.
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠2 𝑓𝑓′2
𝑓𝑓′2 + 𝑠𝑠2 0,20 m + (−0,40 m)
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠2 = 𝑦𝑦2 𝑠𝑠 ′ ⇔
𝑓𝑓′2 𝑠𝑠2
𝑦𝑦2 𝑠𝑠′ 𝑦𝑦2 𝑓𝑓′2 + 𝑠𝑠2
𝑦𝑦2 𝑓𝑓′2
−0,020 m · 0,20 m
𝑦𝑦′ =
=
=
=
= 0,020 m.
𝑠𝑠2
𝑠𝑠2
𝑓𝑓′2 + 𝑠𝑠2 0,20 m + (−0,40 m)
b) La imagen está a 40 cm de la segunda lente, en el lado contrario del objeto (s’ > 0), por tanto
1,2 m detrás de la primera lente, siempre se ha formado por unión de rayos, por lo que es real, está
derecha (y’/y > 0) y mide 2,0 cm (igual que el objeto).
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
109.– Sea una lente convergente de distancia focal 10 cm.
a) Obtenga gráficamente la imagen de un objeto, y comente sus características, cuando este
está situado:
a.1) 20 cm antes de la lente;
a.2) 5,0 cm antes de la lente.
b) Calcule la potencia de la lente.
a.1) Al otro lado de la lente (s' = 20 cm), real, invertida y del mismo tamaño (y'/y = −1) ; a.2)
En el mismo lado (s' = −10 cm), virtual, derecha y de tamaño doble (y'/y = 2) ; b) P = +10 D.
10
110.– Sea una lente delgada convergente, de distancia focal 8,0 cm. Se sitúa una flecha de
4,0 cm de longitud a una distancia de 16 cm de la lente, como muestra la figura.
a) Indique las características de la imagen a partir del trazado de rayos.
b) Calcule el tamaño, la posición de la imagen y la potencia de la lente.
a) La imagen es real, invertida y del mismo tamaño ; b) s' = 16 cm; y' = −4,0 cm;
P = +12,5 D.
10
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: a.1) Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de las
lentes:
1 1 1
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
− =
⇔ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
0,10 m · (−0,20 m)
𝑠𝑠 ′ =
= 0,20 m.
0,10 m + (−0,20 m)
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
𝑦𝑦′
𝑠𝑠′
𝑓𝑓′
+ 𝑠𝑠
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
= =
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑦𝑦′
𝑓𝑓′
0,10 m
=
=
= −1.
𝑦𝑦
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠 0,10 m + (−0,20 m)
La imagen está a 20 cm de la lente y en el lado contrario que el objeto (s' > 0), por lo que es real,
está invertida (y'/y < 0) y del mismo tamaño que el objeto.
a.2) Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de las lentes:
1 1 1
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
− =
⇔ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
0,10 m · (−0,050 m)
𝑠𝑠 ′ =
= −0,10 m.
0,10 m + (−0,050 m)
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
𝑦𝑦′
𝑠𝑠′
𝑓𝑓′
+ 𝑠𝑠
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
= =
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑦𝑦′
𝑓𝑓′
0,10 m
=
=
= 2,0.
𝑦𝑦
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠 0,10 m + (−0,050 m)
La imagen está a 10 cm de la lente y en el mismo lado que el objeto (sobre el foco objeto)
(s' < 0), por lo que es virtual, está derecha (y'/y > 0) y es de tamaño doble del objeto.
b) Aplicando la definición de potencia:
1
1
𝑃𝑃 = =
= +10 m−1 = +10 D.
𝑓𝑓′ +0,10 m
Solución: a) Ver imagen.
b) Aplicando la Ecuación fundamental de las lentes y la ecuación del aumento lateral de las
lentes:
1 1 1
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
− =
⇔ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
0,080 m · (−0,16 m)
𝑠𝑠 ′ =
= 16 cm.
0,080 m + (−0,16 m)
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
𝑦𝑦′ 𝑠𝑠′ 𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
𝑓𝑓′
= =
⇔ 𝑦𝑦′ = 𝑦𝑦
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
0,080 m
𝑦𝑦 ′ = 0,040 m ·
= −4,0 cm.
0,080 m + (−0,16 m)
La imagen es real (se cortan los rayos), está invertida (y' / y < 0), al otro lado de la lente (s' > 0) y
es del mismo tamaño (|y' / y| = 1,0) y está a la misma distancia de la lente que el objeto.
La potencia de la lente es la inversa de la distancia focal imagen (en metros):
1
1
𝑃𝑃 = =
= +12,5 D.
𝑓𝑓′ 0,080 m
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
111.– Sea una lupa de 5,0 D. Situamos un objeto luminoso 40 cm por delante de la lente. Calcule
la posición donde se forma la imagen.
A 40 cm de la lente y en el lado contrario al que se encuentra el objeto.
10
112.– Si con un espejo se quiere obtener una imagen mayor que el objeto, habrá que emplear un
espejo:
a) plano;
b) cóncavo;
c) convexo.
La respuesta correcta es la b) un espejo cóncavo. Los espejos planos crean una imagen del
mismo tamaño y los convexos forman una imagen que siempre es menor que el objeto.
10
113.– Si con un instrumento óptico se forma una imagen virtual, derecha y de mayor tamaño que
el objeto, se trata de:
a) una lente divergente;
10
b) un espejo convexo;
c) una lente convergente.
c) Una lente convergente.
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: Dado que una lupa es una lente convergente y aplicando la definición de potencia:
1
1
1
𝑃𝑃 =
⇔ 𝑓𝑓′ = =
= +0,20 m.
𝑓𝑓′
𝑃𝑃 +5,0 D
Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de las lentes:
1 1 1
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
− =
⇔ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
(
)
0,20
m
·
−0,40
m
𝑠𝑠 ′ =
= 0,40 m.
0,20 m + (−0,40 m)
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
𝑦𝑦′
𝑠𝑠′
𝑓𝑓′
+ 𝑠𝑠
= =
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑦𝑦′
𝑓𝑓′
0,20 m
=
=
= −1,0.
𝑦𝑦 𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠 0,20 m + (−0,40 m)
La imagen está a 40 cm de la lente y en el lado contrario que el objeto (s' > 0), por lo que es real,
está invertida (y'/y < 0) y es del mismo tamaño que el objeto (|y'| = |y|).
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental y la del aumento lateral de los espejos
esféricos:
1 1 2
𝑅𝑅 𝑠𝑠
+ =
⇔ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅
2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅
𝑅𝑅 𝑠𝑠
𝑦𝑦′ −𝑠𝑠′ − 2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅
−𝑅𝑅
1
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
=
=
=
=
.
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑠𝑠
2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅 1 − 2 𝑠𝑠
𝑅𝑅
Teniendo en cuenta que y es siempre positiva y s es siempre negativa (por convenio), se nos
presentan dos casos en los que la imagen es mayor: y'/y > 1 (y' > y > 0) e y'/y < −1 (y' < −y < 0).
𝑦𝑦′
1
2 𝑠𝑠
=
> 1 ���
0<
< 1 ⇒ 𝑅𝑅 > 2 𝑠𝑠 > 0
′
𝑦𝑦 >0
𝑦𝑦 1 − 2 𝑠𝑠
𝑅𝑅
𝑅𝑅
𝑦𝑦′
1
2 𝑠𝑠
2 𝑠𝑠
=
< −1 ���
�
−
1
<
1
−
<
0
⇒
1
>
> 2 ��� 𝑅𝑅 < 2 𝑠𝑠 < 2 𝑅𝑅.
𝑅𝑅 < 0
𝑦𝑦 ′ < 0
𝑦𝑦 1 − 2 𝑠𝑠
𝑅𝑅
𝑅𝑅
𝑅𝑅
El primer caso es un espejo cóncavo (R < 0) con un objeto situado a menor distancia del espejo
que la distancia focal (la mitad del radio) y el segundo caso es un objeto situado ante un espejo
cóncavo a mayor distancia de la focal pero menor que el radio.
Un espejo plano daría las imágenes iguales (en la expresión obtenida inicialmente el valor que
corresponde a R = ±∞ es 1) y uno convexo (R > 0) tendría imágenes menores al ser el denominador
siempre positivo y mayor de 1 ya que 2 s/R siempre sería negativo.
Solución:
Las imágenes virtuales y mayores solo se pueden obtener con
espejos cóncavos o con lentes convergentes cuando el objeto se sitúa
entre el foco y el centro óptico.
Por tanto, la respuesta correcta es la c).
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
114.– Si un espejo forma una imagen real invertida y de mayor tamaño que el objeto, se trata de
un espejo:
a) cóncavo y el objeto está situado entre el foco y el centro de la curvatura;
b) cóncavo y el objeto está situado entre el foco y el espejo;
c) convexo con el objeto en cualquier posición.
a) cóncavo y el objeto está situado entre el foco y el centro de la curvatura.
10
115.– Situando una moneda a 10 cm de un espejo cóncavo, se obtiene una imagen real, invertida
y del mismo tamaño que la moneda empleada como objeto.
a) Explique la formación de la imagen anterior mediante la marcha de rayos.
b) Construya y explique las características de la imagen formada cuando situamos la moneda a
la mitad de la distancia focal.
a) s’ = −10 cm; f = −5,0 cm; R = −10 cm; y’/y = −1,0; imagen real, invertida, igual que el
objeto y en el mismo punto del eje óptico que él ; b) s’ = 5,0 cm; y’/y = 2,0; imagen virtual,
derecha, doble que el objeto y al doble de distancia y en el otro lado del espejo.
10
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: Una imagen real e invertida formada por un espejo cumple que y’ < 0 y s’ < 0, por
tratarse de un espejo. Por ser mayor −y’ > y. Vamos a aplicar la Ecuación fundamental y la del
aumento lateral de los espejos a cada uno de los casos para ver si la solución es válida.
Caso a): R < s < f < 0.
1 1 2 1
1 1 1
+
=
=
<
0
⇔
= − < 0 ⇔ 𝑠𝑠 ′ < 0
𝑠𝑠 ′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅 𝑓𝑓
𝑠𝑠 ′ 𝑓𝑓 𝑠𝑠
𝑓𝑓 𝑠𝑠
− 𝑠𝑠 − 𝑓𝑓
𝑦𝑦′
−𝑠𝑠′
−𝑓𝑓
𝑓𝑓
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
=
=
=
=
.
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑠𝑠 − 𝑓𝑓 𝑓𝑓 − 𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑓𝑓 − 𝑠𝑠 > 0 ⇒ 𝑓𝑓 > 𝑠𝑠 ⇒ objeto a la izquierda del foco
𝑓𝑓
< −1 ⇒
𝑓𝑓 < 𝑠𝑠 − 𝑓𝑓 ⇒ 2 𝑓𝑓 < 𝑠𝑠 ⇒ objeto a la derecha del centro
𝑓𝑓 − 𝑠𝑠
Caso b): R < f < s < 0.
1 1 1
1 1 1
+ = <0 ⇔
= − > 0 ⇔ 𝑠𝑠 ′ > 0 Contradice el enunciado.
𝑠𝑠′ 𝑓𝑓 𝑠𝑠
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓
Caso c): s < 0 < f.
1 1 1
1 1 1
+ = <0 ⇔
= − > 0 ⇔ 𝑠𝑠 ′ > 0 Contradice el enunciado.
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓
𝑠𝑠′ 𝑓𝑓 𝑠𝑠
Como se comprueba el caso a) cumple todas las condiciones por lo que es la respuesta correcta.
Solución: a) Aplicando la Ecuación del aumento lateral y la Ecuación fundamental de los
espejos esféricos [considerando una imagen real (s' < 0, por ser un espejo) y, por tanto, invertida]:
𝑦𝑦′ −𝑠𝑠′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
=
= −1 ⇔ 𝑠𝑠 ′ = 𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑠𝑠
1 1 1 2
1 1 1
2 1 2
+ = =
⇔
+ =
⇔
= =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓 𝑅𝑅
𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑓𝑓
𝑠𝑠 𝑓𝑓 𝑅𝑅
𝑠𝑠 −0,10 m
𝑓𝑓 = =
= −0,050 m ; 𝑅𝑅 = 𝑠𝑠 = −0,10 m.
2
2
La imagen está en el mismo punto que el objeto (s' = s), y es real, está invertida (y'/y < 0) y es
igual que el objeto (|y'/y| = 1,0).
b) Aplicando la Ecuación fundamental de los espejos esféricos:
1 1 2
𝑅𝑅 𝑠𝑠
+ =
⇒ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅
2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅
(−0,10 m) · (−0,025 m)
𝑠𝑠′ =
≅ 0,050 m.
(−0,050 m) − (−0,10 m)
b) Aplicando ahora la del aumento lateral:
𝑅𝑅 𝑠𝑠
𝑦𝑦′ −𝑠𝑠′ − 2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅
′
′
𝑦𝑦 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ⇔
=
=
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑦𝑦′
−𝑅𝑅
−(−0,10 m)
=
=
≅ +2,0.
𝑦𝑦 2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅 (−0,050 m) − (−0,10 m)
c) La imagen está a 5,0 cm del espejo y en el otro lado (s' > 0), por lo que es virtual, está derecha
(y'/y > 0) y tiene un tamaño doble que el del objeto (|y'/y| = 2,0).
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
116.– Supongamos una lente delgada, convergente y de distancia focal 8,0 cm. Calcule la
posición de la imagen de un objeto situado a 6,0 cm de la lente y especifique sus características.
En el mismo lado de la lente que el objeto (s' = −24 cm), virtual, derecha y el cuádruple del
objeto (y'/y = 4,0).
10
117.– Un buceador enciende un láser debajo del agua (índice de refracción 1,33), dirigiéndolo
hacia arriba formando un ángulo de 60º con la superficie.
a) ¿Con qué ángulo emergerá la luz del agua? ¿Cuál es el ángulo de incidencia a partir del cual
no saldrá la luz del agua?
b) Si la profundidad del buceador es de 4,0 m, ¿cuál es su profundidad aparente para un pájaro
alcanzado por el rayo emergente?
a) α ≈ 48º 19' con la superficie; ℓ ≈ 41º 41' con respecto a la normal (48º 19' con la superficie) ;
b) Paraxial: paparente ≈ 3,0 m; Real: paparente ≈ 2,6 m.
10
118.– Un espejo cóncavo forma la imagen a una distancia de 12 cm del mismo, de un objeto de
8,0 cm de altura que está situado a 35 cm del espejo. Calcule:
a) el radio del espejo;
b) el tamaño de la imagen;
c) Indique las características de la imagen.
a) R ≈ −18 cm ; b) y' = −2,7 cm ; Imagen real, invertida y menor.
10
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de las lentes:
1 1 1
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
− =
⇔ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
(
)
0,080 m · −0,060 m
𝑠𝑠 ′ =
= −0,24 m.
0,080 m + (−0,060 m)
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
𝑦𝑦′
𝑠𝑠′
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
= =
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑦𝑦′
𝑓𝑓′
0,080 m
=
=
= 4,0.
𝑦𝑦
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠 0,080 m + (−0,060 m)
La imagen está a 24 cm de la lente en el mismo lado que el objeto (s' < 0), por lo que es virtual,
está derecha (y'/y > 0) y es de tamaño cuatro veces mayor que el objeto.
Solución: a) Aplicando la 2ª Ley de Snell para la refracción:
ni sen i = nr sen r ⇔ 1,33·sen 30º = 1,00·sen r ⇔ sen r = 1,33·0,500.
sen r = 0,665 ⇔ r ≈ 41º 41'. El ángulo r es el que se forma con respecto a la normal. Con
respecto a la superficie será 48º 19'.
La condición de reflexión total es:
nagua sen ℓ = naire sen 90º ⇔ sen ℓ = sen 90º/nagua = 1/nagua = 1/1,33 ≈ 0,752.
ℓ ≈ arc sen (0,752) ≈ 41,7 ≈ 41º 41'.
b) Método paraxial: Aplicando la Ecuación fundamental de los dioptrios con n' < n (va del agua
al aire) y R = ±∞ (por ser plana la superficie de separación):
𝑛𝑛′ 𝑛𝑛 𝑛𝑛′′ − 𝑛𝑛
𝑛𝑛′ 𝑠𝑠 1,00 · (−4,0 m)
− =
= 0 ⇔ 𝑠𝑠′ =
=
= −3,0 m.
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠
𝑅𝑅
𝑛𝑛
1,33
La imagen (virtual, en el mismo lado del objeto y del mismo tamaño) se forma a menor
profundidad (−3,0 m) en la misma vertical del submarinista, por lo que es ahí donde le ve el pájaro.
Método real: Un ángulo de 30º no puede considerarse paraxial. De esta forma habría que
calcular la profundidad por métodos trigonométricos. Como el pájaro ve al submarinista siguiendo
un rayo que forma un ángulo con la superficie de 48º 19', el rayo que proviene de este forma un
ángulo de 60º con la superficie y la imagen del submarinista ha de estar en su vertical, podemos
aplicar la siguiente relación trigonométrica:
𝑝𝑝aparente
tg 48o 19′ =
𝑝𝑝real tg 48o 19′ 4,0 m · tg 48o 19′
𝑥𝑥
⇒
𝑝𝑝
=
=
≅ 2,6 m.
aparente
𝑝𝑝real
o
o
tg
60
tg
60
o
tg 60 =
𝑥𝑥
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental de los
espejos esféricos (poniendo los dos valores de s' −positivo y
negativo− puesto que no nos dicen en qué lado está:
1 1 2
2 𝑠𝑠 𝑠𝑠′
+ =
⇔ 𝑅𝑅 =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅
𝑠𝑠 + 𝑠𝑠′
2 · (−0,35 m) · 0,12 m
𝑅𝑅 =
≅ 0,37 m
(−0,35 m) + 0,12 m
2 · (−0,35 m) · (−0,12 m)
𝑅𝑅 =
≅ −0,18 m.
(−0,35 m) + (−0,12 m)
Nos quedamos con la solución negativa, puesto que el espejo es cóncavo.
b) Para hallar el tamaño aplicamos la Ecuación del aumento lateral de los espejos esféricos:
−𝑦𝑦 𝑠𝑠′ −0,080 m · (−0,12 m)
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔ 𝑦𝑦′ =
=
≅ −0,027 m.
𝑠𝑠
−0,35 m
c) La imagen está en el mismo lado que el objeto (s' < 0), por lo que es real, está invertida
(y'/y < 0) y tiene un tamaño menor que el del objeto (|y'| ≈ 2,7 cm).
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
119.– Un espejo esférico cóncavo tiene un radio de 10 cm.
a) Determine la posición y el tamaño de la imagen de un objeto de 5,0 cm de altura que se
encuentra frente al mismo, a la distancia de 15 cm. ¿Cómo es la imagen obtenida? Efectúe la
construcción geométrica de dicha imagen.
b) Un segundo objeto de 1,0 cm de altura se sitúa delante del espejo, de manera que su imagen
es del mismo tipo y tiene el mismo tamaño que la imagen del objeto anterior. Determine la
posición que tiene el segundo objeto respecto al espejo.
a) Está por delante del espejo (s' = −7,5 cm), es real, invertida y la mitad del objeto
(y' = −2,5 cm) ; b) s = −7,5 cm.
10
10
120.– Un espejo esférico cóncavo tiene un radio de curvatura R. Realice el diagrama de rayos
para construir la imagen de un objeto situado delante del espejo a una distancia igual:
a) al doble del radio de curvatura;
b) a un cuarto del radio de curvatura.
Indique en cada caso la naturaleza de la imagen formada.
a) Imagen real, invertida y menor (la tercera parte que el objeto) y situada más cerca de este
que el objeto ; b) Imagen virtual, derecha y mayor (el doble del objeto) situada al otro lado del
espejo y más lejos que el objeto.
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental y la del aumento lateral de los espejos
esféricos:
1 1 2
𝑅𝑅 𝑠𝑠
+ =
⇔ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅
2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅
(−0,10 m) · (−0,15 m)
𝑠𝑠′ =
= −0,075 m.
(−0,30 m) − (−0,10 m)
𝑅𝑅 𝑠𝑠
−𝑦𝑦 2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅
−𝑦𝑦
𝑠𝑠′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔ 𝑦𝑦′ =
=
𝑠𝑠
𝑠𝑠
(
)
−𝑦𝑦
𝑅𝑅
−0,050
m
·
−0,10
m
𝑦𝑦 ′ =
=
= −0,025 m.
2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅 (−0,30 m) − (−0,10 m)
La imagen está a 0,075 m del espejo y en el mismo lado que el objeto(s' < 0), por lo que es real,
está invertida (y'/y < 0) y es la mitad del objeto (|y'| = 2,5 cm).
b) Aplicando la Ecuación del aumento lateral (el aumento es negativo, por estar la imagen
invertida y s < 0 −por convenio−) y la Ecuación fundamental de los espejos esféricos:
𝑦𝑦′ −𝑠𝑠′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠
′
′
′
𝑦𝑦 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ⇔
=
⇔ 𝑠𝑠 = −
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑦𝑦
1 1 2
1
1
𝑦𝑦
1 1
𝑦𝑦 𝑦𝑦′ − 𝑦𝑦
+ = =
+ =
+ = −
= ′
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅 − 𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 𝑠𝑠 −𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠
𝑦𝑦 𝑠𝑠
𝑦𝑦
(𝑦𝑦 ′ − 𝑦𝑦)𝑅𝑅 (−0,025 m − 0,010 m) · (−0,10 m)
𝑠𝑠 =
=
= −0,075 m.
2 𝑦𝑦′
2 · (−0,025 m)
El objeto ha de estar 0,075 m por delante del espejo.
Solución: a) Imagen menor (la
tercera parte del objeto), real (se
forma por el cruce de rayos),
invertida con respecto al objeto, a
menor distancia del espejo (la
tercera parte de la distancia a la
que está el objeto) y en el mismo
lado del espejo que el objeto.
b) Imagen mayor (el doble del
objeto), virtual (se forma por el
cruce de las prolongaciones de los
rayos), derecha con respecto al
objeto, a mayor distancia del espejo
(el doble de la distancia a la que
está el objeto) y en el lado del
espejo contrario al que está el
objeto.
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
121.– Un espejo esférico convexo proporciona una imagen virtual de un objeto que se aproxima
a él con velocidad constante. El tamaño de dicha imagen es igual a 1/10 del tamaño del objeto
cuando éste se encuentra a 8,0 m del espejo.
a) ¿A qué distancia del espejo se forma la correspondiente imagen virtual?
b) ¿Cuál es el radio de curvatura del espejo?
c) Exactamente un segundo después, el tamaño de la imagen formada por el espejo es 1/5 del
tamaño del objeto. ¿A qué distancia del espejo se encuentra ahora el objeto?
d) ¿Cuál es la velocidad del objeto?
a) s' = 80 cm ; b) R ≈ 1,8 m ; c) s2 ≈ −3,6 m ; d) v ≈ 4,4 m s−1.
10
122.– Un espejo esférico convexo que actúa de retrovisor de un coche parado, proporciona una
imagen virtual de un vehículo que se aproxima con velocidad constante. Cuando el vehículo se
encuentra a 8,0 m del espejo, el tamaño de la imagen es 1/10 del tamaño real.
a) ¿Cuál es el radio de curvatura del espejo?
b) ¿A qué distancia del espejo se forma la imagen virtual?
c) Construya el diagrama de rayos.
a) R ≈ 1,8 m ; b) s' = 80 cm.
10
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: a) Aplicando la Ecuación del aumento lateral de
los espejos esféricos (el aumento es positivo, por ser la imagen
virtual, s < 0):
𝑦𝑦′ −𝑠𝑠′
1
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
=
=
𝑦𝑦
𝑠𝑠
10
(
)
−𝑠𝑠
−
−8,0
m
=
= 0,80 m.
𝑠𝑠 ′ =
10
10
b) Aplicando la Ecuación fundamental de los espejos esféricos:
1 1 2
2 𝑠𝑠 𝑠𝑠′ 2 · (−8,0 m) · 0,80 m
+ =
⇔ 𝑅𝑅 =
=
≅ 1,8 m.
(−8,0 m) + 0,80 m
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅
𝑠𝑠 + 𝑠𝑠′
c) Aplicando ahora conjuntamente las dos ecuaciones anteriores:
𝑦𝑦′2 −𝑠𝑠′2 1
−𝑠𝑠2
𝑦𝑦2 𝑠𝑠2 = −𝑦𝑦2 𝑠𝑠′2 ⇔
=
=
⇔ 𝑠𝑠′2 =
𝑦𝑦2
𝑠𝑠2
5
5
1
1
2
1
1 −5 1 −4
+ = = −𝑠𝑠 + =
+ =
⇔ 𝑠𝑠2 = −2 𝑅𝑅 ≅ −2 · 1,8 m = −3,6 m.
2
𝑠𝑠′2 𝑠𝑠2 𝑅𝑅
𝑠𝑠2
𝑠𝑠2 𝑠𝑠2
𝑠𝑠2
5
d) Suponiendo que se haya movido con velocidad uniforme:
∆𝑒𝑒 𝑠𝑠2 − 𝑠𝑠 −3,6 m − (−8,0 m)
𝑣𝑣 =
=
≅
= 4,4 m s −1 .
∆𝑡𝑡
𝑡𝑡
1,0 s
Solución: a) Aplicando la Ecuación del aumento lateral y la Ecuación fundamental de los
espejos esféricos (el aumento es positivo porque la imagen se forma derecha):
𝑦𝑦′
𝑠𝑠′
𝑦𝑦′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
=−
⇔ 𝑠𝑠 ′ = − � � 𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑦𝑦
1 1 2
+ = =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅
1
1 1
1
+ = �1 −
�
𝑦𝑦′
𝑦𝑦′
𝑠𝑠 𝑠𝑠
− � 𝑦𝑦 � 𝑠𝑠
� 𝑦𝑦 �
2 · (−8,0 m) −16 m
2 𝑠𝑠
=
=
≅ 1,8 m.
𝑅𝑅 =
1
1
−9
1− 1
1−
𝑦𝑦′
� 𝑦𝑦 �
10
b) Aplicando la ecuación obtenida en el apartado anterior:
𝑦𝑦′
1
𝑠𝑠 ′ = − � � 𝑠𝑠 = − · (−8,0 m) = 0,80 m.
𝑦𝑦
10
c) Ver imagen.
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
123.– Un objeto de 1,0 cm de altura se sitúa a 15 cm delante de una lente convergente de 10 cm
de distancia focal.
a) Determine la posición, tamaño y naturaleza de la imagen formada, efectuando su
construcción geométrica.
b) ¿A qué distancia de la lente anterior habría que colocar una segunda lente convergente de
20 cm de distancia focal para que la imagen final se formara en el infinito?
a) La imagen formada por esta primera lente es real (está al otro lado de la lente, s1' = 30 cm),
invertida (y' de distinto signo) y de tamaño doble que el objeto (|y'| = 2,0 cm) ; b) 50 cm a su
derecha.
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral a la primera
de las lentes:
1
1
𝑓𝑓′1 𝑠𝑠
0,10 m · (−0,15 m)
1
− =
⇔
𝑠𝑠′1 =
=
= 0,30 m
𝑓𝑓′1 + 𝑠𝑠 0,10 m + (−0,15 m)
𝑠𝑠′1 𝑠𝑠 𝑓𝑓′1
𝑓𝑓′1 𝑠𝑠
𝑦𝑦 𝑠𝑠′1 𝑦𝑦 𝑓𝑓′1 + 𝑠𝑠
𝑦𝑦 𝑓𝑓′1
0,010 m · 0,10 m
𝑦𝑦′1 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠′1 ⇔ 𝑦𝑦′1 =
=
=
=
= −0,020 m.
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑓𝑓′1 + 𝑠𝑠 0,10 m + (−0,15 m)
La imagen formada por esta primera lente es real (está al otro lado de la lente), invertida y de
tamaño doble del objeto (y' de distinto signo y valor absoluto doble de y).
b) La imagen formada por esta primera lente actúa de objeto para la segunda (y'1 = y2), por lo
que, aplicando la Ecuación fundamental a la segunda de las lentes:
1 1
1
𝑓𝑓′2 𝑠𝑠′
𝑓𝑓′2
− =
⇔ 𝑠𝑠2 =
=
��� 𝑠𝑠2 = −𝑓𝑓′2 = −0,20 m.
𝑠𝑠′ =∞
𝑓𝑓′2 − 𝑠𝑠′ 𝑓𝑓′2
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠2 𝑓𝑓′2
−1
𝑠𝑠′
Como entre las dos lentes hay una distancia d, aplicamos la relación: d + s2 = s1':
d = s1' − s2 = 30 cm − (−20 cm) = 50 cm.
124.– Un objeto de 1,0 cm de altura se sitúa entre el centro de curvatura y el foco de un espejo
cóncavo. La imagen proyectada sobre una pantalla plana situada a 2,0 m del objeto es tres veces
mayor que el objeto.
a) Dibuje el trazado de rayos.
b) Calcule la distancia del objeto y de la imagen al espejo.
c) Calcule el radio del espejo y la distancia focal.
b) s = −1,0 m; s’ = −3,0 m ; c) R = −1,5 m; f’ = −75 cm.
Solución: a) Tenemos que tener en cuenta que una imagen
proyectada en una pantalla ha de ser real. Además, s' ha de ser
negativo ya que la imagen es real (se forma en el mismo lado
del espejo que el objeto) e y' negativo, porque una imagen real
está siempre invertida. La representación gráfica es:
b) Aplicando la Ecuación del aumento lateral:
𝑦𝑦′ −𝑠𝑠′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
=
= −3 ⇔ 𝑠𝑠 ′ = 3 𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑠𝑠 = −1,0 m
𝑠𝑠 ′ = 3 𝑠𝑠
⇒ 𝑠𝑠 − 3 𝑠𝑠 = 2,0 m ⇒
′
𝑠𝑠 − 𝑠𝑠 = 2,0 m
𝑠𝑠′ = −3,0 m.
El objeto está a 1,0 m y la pantalla a 3,0 m del espejo.
c) Aplicando ahora la Ecuación fundamental de los espejos esféricos con los valores obtenidos:
1 1 2
1
3
2
4
2
+ =
⇔
+
=
⇔
=
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅
3 𝑠𝑠 3 𝑠𝑠 𝑅𝑅
3 𝑠𝑠 𝑅𝑅
3 𝑠𝑠 3 · (−1,0 m)
𝑅𝑅
𝑅𝑅 =
=
= −1,5 m ⇒ 𝑓𝑓 = 𝑓𝑓 ′ = = −0,75 m.
2
2
2
10
10
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
125.– Un objeto de 1,0 mm de altura se coloca a una distancia de 1,0 cm delante de una lente
convergente de 20 dioptrías.
a) Calcule la posición y tamaño de la imagen formada, efectuando su construcción geométrica.
b) ¿Se podría recoger esta imagen en una pantalla? ¿Qué instrumento óptico constituye la lente
convergente utilizada de esta forma?
a) s' = −1,25 cm; y' = 1,25 mm ; b) No, por ser una imagen virtual; Probablemente sea una
lupa; lente convergente que crea imágenes virtuales y mayores de objetos situados muy cerca de
ella.
10
126.– Un objeto de 1,5 cm de altura está situado a 15 cm de un espejo esférico convexo de radio
20 cm, determine la posición, tamaño y naturaleza de la imagen:
a) gráficamente;
b) analíticamente.
c) ¿Se pueden obtener imágenes reales con un espejo convexo?
b) s' = 6,0 cm; y' = 6,0 mm ; c) Es imposible. El radio ha de ser negativo (espejo cóncavo).
10
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: a) Aplicando la definición de potencia y la Ecuación fundamental y la Ecuación del
aumento lateral de las lentes:
1
1
⇔ 𝑓𝑓′ =
𝑃𝑃 =
𝑓𝑓′
𝑃𝑃
1 1 1
𝑠𝑠
−0,010 m
𝑃𝑃 = − =
⇔ 𝑠𝑠′ =
=
= −0,012 5 m.
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑃𝑃 𝑠𝑠 + 1 20 m−1 · (−0,010 m) + 1
𝑠𝑠
𝑦𝑦 𝑠𝑠′ 𝑦𝑦 𝑃𝑃 𝑠𝑠 + 1
𝑦𝑦
0,001 0 m
′
′
=
=
=
= 0,001 25 m.
𝑦𝑦 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ⇔ 𝑦𝑦′ =
𝑠𝑠
𝑃𝑃 𝑠𝑠 + 1 20 m−1 · (−0,010 m) + 1
𝑠𝑠
La imagen está 12,5 mm por delante de la lente
(s' < 0), por lo que es virtual, derecha (y'/y > 0) y
mayor que el objeto (|y'| = 1,25 mm).
b) No podría recogerse en una pantalla, porque
sólo se recogen imágenes reales. Lo más probable
es que sea una lupa, ya que hemos creado una
imagen virtual y mayor que el objeto, También
podría ser una gafa para corregir presbicia o
hipermetropía, pero no es razonable que se
encuentre tan cerca del objeto que miramos,
porque no nos dejaría ver nítidamente la imagen,
por estar por debajo del punto próximo de la visión
humana (las gafas están muy cerca del ojo).
Solución: a) Ver figura.
b) Aplicando la Ecuación fundamental y el aumento lateral de
los espejos esféricos:
1 1 2
𝑅𝑅 𝑠𝑠
0,20 m · (−0,15 m)
+ = ⇔ 𝑠𝑠 ′ =
=
= 0,060 m.
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅
2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅 (−0,30 m) − 0,20 m
𝑅𝑅 𝑠𝑠
−𝑦𝑦 2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅
−𝑦𝑦
𝑠𝑠′
=
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔ 𝑦𝑦′ =
𝑠𝑠
𝑠𝑠
−𝑦𝑦
𝑅𝑅
−0,015
m
·
0,20
m
𝑦𝑦 ′ =
=
= 0,006 0 m.
2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅 (−0,30 m) − 0,20 m
La imagen está 6,0 cm por detrás del espejo (s' > 0), por lo que es virtual, está derecha (y'/y > 0)
y es menor que el objeto (|y'/y| < 1), de 6,0 mm de altura.
c) Una imagen real se debe formar a la izquierda del espejo lo que podemos confirmar aplicando
la Ecuación del aumento lateral.
𝑦𝑦′ −𝑠𝑠′
=
< 0 ⇔ −𝑠𝑠 ′ > 0 ⇔ 𝑠𝑠′ < 0.
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
𝑦𝑦
𝑠𝑠
Aplicando la Ecuación fundamental de los espejos esféricos:
1 1 2
+ = .
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅
Como los dos primeros términos son negativos (s' y s lo son) el radio ha de ser negativo, por lo
que el espejo sólo puede ser cóncavo. Es imposible en un espejo convexo.
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
127.– Un objeto de 1,5 cm de altura se sitúa a 15 cm de una lente divergente que tiene una
distancia focal de 10 cm; determina la posición, tamaño y naturaleza de la imagen:
a) gráficamente;
b) analíticamente.
c) ¿Se pueden obtener imágenes reales con una lente divergente?
b) En el mismo lado (s' = −6,0 cm), virtual, derecha y de tamaño menor (6,0 mm; y'/ y = 0,40) ;
c) No; sólo se obtienen imágenes virtuales (s' < 0).
10
128.– Un objeto de 15 cm de altura se encuentra situado a 20 cm de un espejo convexo cuya
distancia focal es de 40 cm.
a) Calcule la posición y el tamaño de la imagen formada.
b) Realice el trazado de rayos correspondiente.
a) s' ≈ 13 cm; y' ≈ 10 cm.
10
129.– Un objeto de 2,0 cm de altura se coloca a una distancia de 30 cm de un espejo cóncavo de
40 cm de radio.
a) Calcule la distancia focal, la posición de la imagen y su tamaño.
b) Represente gráficamente el problema, indicando claramente la marcha de los rayos y las
características de la imagen.
a) f = 20 cm; s’ = −60 cm; y’ = −4,0 cm.
10
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: a) Ver imagen.
b) Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de las lentes:
1 1 1
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
− =
⇔ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
−0,10 m · (−0,15 m)
𝑠𝑠′ =
= −0,060 m.
−0,10 m +(−0,15 m)
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑦𝑦 𝑠𝑠′
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔ 𝑦𝑦′ =
=
𝑠𝑠
𝑠𝑠
0,015 m · (−0,10 m)
𝑦𝑦 𝑓𝑓′
=
= 0,006 0 m.
𝑦𝑦′ =
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠 −0,10 m + (−0,15 m)
La imagen está a 6,0 cm de la lente en el mismo lado que el objeto (s' > 0), por lo que es virtual,
está derecha (y'/ y < 0) y es menor que el objeto (las dos quintas partes).
c) Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de las lentes (teniendo
en cuenta que f' < 0 (por ser divergente) y s < 0 (por convenio):
1 1 1
𝑓𝑓 ′ 𝑠𝑠
− =
⇔ 𝑠𝑠′ = ′
< 0.
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
(ya que 𝑓𝑓′ y 𝑠𝑠 son negativos)
No puede ser real. Es virtual ya que está en el mismo lado de la lente que el objeto (s' > 0).
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental y la del aumento lateral del espejo esférico:
1 1 2 1
𝑓𝑓 𝑠𝑠
+ = =
⇔ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅 𝑓𝑓
𝑠𝑠 − 𝑓𝑓
0,40 m · (−0,20 m)
𝑠𝑠 ′ =
≅ 0,13 m.
(−0,20 m) − 0,40 m
𝑓𝑓 𝑠𝑠
−𝑦𝑦
−𝑦𝑦 𝑠𝑠′
𝑠𝑠 − 𝑓𝑓
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔ 𝑦𝑦′ =
=
𝑠𝑠
𝑠𝑠
−𝑦𝑦
𝑓𝑓
−0,15
m
·
0,40
m
𝑦𝑦 ′ =
=
= 0,10 m.
𝑠𝑠 − 𝑓𝑓 (−0,20 m) − 0,40 m
La imagen está a unos 13 cm del espejo y en el lado contrario al objeto (s' > 0), por lo que es
virtual, está derecha (y'/y > 0) y su tamaño es las dos terceras partes (10 cm) del objeto.
b) Ver imagen.
Solución: a) La distancia focal es la mitad del radio por lo que es: f = f’ = 20 cm.
Aplicando la Ecuación fundamental de los espejos esféricos:
1 1 2
𝑅𝑅 𝑠𝑠
+ =
⇒ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅
2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅
(
)
(
)
−0,40
m
·
−0,30
m
𝑠𝑠 ′ =
= −0,60 m.
2 · (−0,30 m) − (−0,40 m)
Aplicando ahora la del aumento lateral:
𝑅𝑅 𝑠𝑠
−𝑦𝑦 𝑠𝑠′ −𝑦𝑦 2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅
′
′
𝑦𝑦 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ⇔ 𝑦𝑦′ =
=
𝑠𝑠
𝑠𝑠
−𝑦𝑦 𝑅𝑅
−0,020 m · (−0,40 m)
𝑦𝑦′ =
=
≅ −0,040 m.
2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅 (−0,60 m) − (−0,40 m)
La imagen está a 60 cm del espejo y en el mismo lado (s' < 0), por lo que es real, está invertida
(y'/y < 0) y tiene un tamaño doble que el del objeto (|y'| ≈ 4,0 cm).
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
130.– Un objeto de 3,0 cm de altura se sitúa a 75 cm de una lente delgada convergente y produce
una imagen a 37,5 cm a la derecha de la lente.
a) Calcule la distancia focal.
b) Dibuje la marcha de los rayos y obtenga el tamaño de la imagen.
c) ¿En que posición del eje hay que colocar el objeto para que no se forme imagen?
a) f' = 25 cm ; b) y' = −1,5 cm ; c) En el foco, a 25 cm de la lente.
10
131.– Un objeto de 3,0 cm está situado a 8,0 cm de un espejo esférico cóncavo y produce una
imagen 10 cm a la derecha del espejo.
a) Calcule la distancia focal.
b) Dibuje la marcha de los rayos y obtenga el tamaño de la imagen.
c) ¿En qué posición del eje hay que colocar el objeto para que no se forme imagen?
a) f = −40 cm ; b) y' = 3,75 cm ; c) s = f = −40 cm.
10
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental de las lentes:
1 1 1
𝑠𝑠 𝑠𝑠′
− =
⇔ 𝑓𝑓′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑠𝑠 − 𝑠𝑠′
−0,75
m
·
0,375
m
𝑓𝑓 ′ =
= 0,25 m.
−0,75 m − 0,375 m
La distancia focal es 25 cm.
b) Ver imagen.
Aplicando la ecuación del aumento lateral de las lentes:
𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ 0,030 m · 0,375 m
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔ 𝑦𝑦 ′ =
=
= −0,015 m.
𝑠𝑠
−0,75 m
La imagen mide 1,5 cm (es la mitad del objeto) y está invertida.
c) Para calcular dónde hay que situar el objeto para que no se forme imagen (s' = ±∞) aplicamos
la Ecuación fundamental de las lentes:
1 1 1
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
− =
⇔ 𝑠𝑠′ =
= ±∞
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
𝑓𝑓 ′ + 𝑠𝑠 = 0 ⇒ 𝑠𝑠 = −𝑓𝑓 ′ = −0,25 m.
En el foco, a 25 cm de la lente, en cualquiera de
los dos lados.
El dato de que la lente es convergente es innecesario, puesto que no hay otra posibilidad.
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental de los
espejos esféricos:
1 1 2 1 1
𝑠𝑠 𝑠𝑠′
+ = = =
⇔ 𝑓𝑓 = 𝑓𝑓′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅 𝑓𝑓 𝑓𝑓′
𝑠𝑠 + 𝑠𝑠′
(−0,080 m) · 0,10 m
𝑓𝑓 = 𝑓𝑓′ =
= −0,40 m.
−0,080 m + 0,10 m
b) Ver figura.
Para hallar el tamaño aplicamos la Ecuación del aumento lateral de los espejos esféricos:
−𝑦𝑦 𝑠𝑠′ −0,030 m · 0,10 m
𝑦𝑦′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠′ ⇔ 𝑦𝑦′ =
=
= 0,0375 m.
𝑠𝑠
−0,080 m
c) Para que no se forme imagen (s' = ±∞) la posición del objeto
vendrá dada por la Ecuación fundamental de los espejos esféricos:
1 1 1
1 1 1 1
+ = ⇔ = − = ⇔ 𝑠𝑠 = 𝑓𝑓 = −0,40 m.
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓
𝑠𝑠 𝑓𝑓 𝑠𝑠′ 𝑓𝑓
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
132.– Un objeto de 3,0 cm se sitúa a 20 cm de una lente cuya distancia focal es 10 cm.
a) Dibuje la marcha de los rayos si la lente es convergente.
b) Dibuje la marcha de los rayos si la lente es divergente.
c) En ambos casos calcule la posición y el tamaño de la imagen.
c) s’ = 20 cm; y’ = −3,0 cm; y’/y = −1,0: la imagen es real, invertida, igual, en el otro lado de la
lente que el objeto y a la misma distancia de la lente ; s’ ≈ −6,7 cm; y’ = 1,0 cm; y’/y = 0,33: la
imagen es virtual, derecha, menor, en el mismo lado de la lente que el objeto y más cerca de la
lente.
10
133.– Un objeto de 4,0 cm de altura se coloca una distancia de 60 cm de un espejo cóncavo de
40 cm de radio.
a) Calcule la distancia focal, la posición de la imagen y su tamaño.
b) Represente gráficamente el problema, indicando claramente la marcha de los rayos y las
características de la imagen.
a) f = −20 cm; s' = −30 cm; y' = −2,0 cm.
10
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: a) y b) Ver imágenes.
c) Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de las lentes:
1 1 1
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
− =
⇔ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
0,10 m · (−0,20 m)
𝑠𝑠 ′ =
= 0,20 m.
0,10 m + (−0,20 m)
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑦𝑦 𝑠𝑠′
𝑦𝑦 𝑓𝑓′
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔ 𝑦𝑦′ =
=
=
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
0,030 m · 0,10 m
𝑦𝑦 ′ =
= −0,030 m.
0,10 m + (−0,20 m)
La imagen está a 0,20 m de la lente por el otro lado (s' > 0), por lo que es real, está invertida
(y'/y < 0) y es del mismo tamaño que el objeto (|y'| = 0,030 m).
Aplicando de nuevo la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de las lentes:
1 1 1
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
− =
⇔ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
(
)
−0,10 m · −0,20 m
𝑠𝑠 ′ =
≅ −0,067 m.
−0,10 m + (−0,20 m)
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑦𝑦 𝑠𝑠′
𝑦𝑦 𝑓𝑓′
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔ 𝑦𝑦′ =
=
=
𝑠𝑠
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
𝑠𝑠
0,030 m · (−0,10 m)
𝑦𝑦 ′ =
= 0,010 m.
−0,10 m + (−0,20 m)
La imagen está a unos 6,7 cm de la lente por el mismo lado (s' < 0), por lo que es virtual, está
derecha (y'/y > 0) y es la tercera parte del objeto (|y'| = 0,010 m).
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental y la del aumento lateral de los espejos
esféricos:
1 1 2 1
𝑅𝑅
+ = =
⇔ 𝑓𝑓 = = −20 cm
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅 𝑓𝑓
2
𝑅𝑅 𝑠𝑠
𝑠𝑠′ =
2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅
(
)
(
−0,40
m
·
−0,60
m)
𝑠𝑠 ' =
= −0,30 m.
(−1,20 m) − (−0,40 m)
𝑅𝑅 𝑠𝑠
−𝑦𝑦 2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅
−𝑦𝑦
𝑠𝑠′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔ 𝑦𝑦′ =
=
𝑠𝑠
𝑠𝑠
(
)
−𝑦𝑦
𝑅𝑅
−0,040
m
·
−0,40
m
𝑦𝑦 ′ =
=
= −0,020 m.
2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅 (−1,20 m) − (−0,40 m)
La imagen está a 0,30 m del espejo y en el mismo lado (s' < 0), por lo que es real, está invertida
(y'/y < 0) y es la mitad del objeto (|y'| = 2,0 cm).
b) Ver imagen.
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
134.– Un objeto de 4,0 cm de altura se sitúa a 6,0 cm por delante de la superficie cóncava de un
espejo esférico. Si la imagen obtenida tiene 10 cm de altura, es positiva y virtual,
a) ¿cuál es la distancia focal del espejo?;
b) realice un diagrama de rayos del sistema descrito.
a) f = −10 cm.
10
135.– Un objeto de 5,0 mm de altura se coloca a 80 cm de distancia delante de un espejo de
70 cm de radio, y después se coloca a la misma distancia delante de otro espejo de −70 cm de
radio. ¿Cuál es el tamaño de las imágenes? ¿Qué espejo proporciona la imagen mayor?
Espejo convexo (R = 70 cm): y’ ≈ 1,5 mm ; Espejo cóncavo (R = −70 cm): y’ ≈ −3,9 mm ;
Es mayor en el caso del espejo cóncavo.
10
136.– Un objeto de 5,0 mm de altura se sitúa a 50 cm de una lente delgada de −6,0 dioptrías de
potencia.
a) Calcule la posición de la imagen y su tamaño.
b) Represente gráficamente el problema, indicando claramente la marcha de los rayos y las
características de la imagen.
a) s' = −12,5 cm ; y' = 1,25 mm.
10
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: a) Teniendo en cuenta que el tamaño de una imagen viene dado por: y n s' = y' n' s, y
como n' = −n (por ser un espejo):
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠
⇔
𝑠𝑠 ′ = −
.
𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ = −𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠
𝑦𝑦
Aplicando la Ecuación fundamental de los espejos esféricos
(la de los dioptrios con n' = −n):
1 1 2 1
1
1
𝑛𝑛′ 𝑛𝑛 𝑛𝑛′ − 𝑛𝑛
− =
⇔
+ = = =
+
′
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅 𝑓𝑓 − 𝑦𝑦 𝑠𝑠 𝑠𝑠
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠
𝑅𝑅
𝑦𝑦
′
′
1 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦
𝑦𝑦 𝑠𝑠
10 cm · (−6,0 cm)
=
⇔
𝑓𝑓
=
=
= −10 cm.
𝑓𝑓
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠
𝑦𝑦 ′ − 𝑦𝑦
10 cm − 4,0 cm
b) Ver imagen.
Solución: Aplicando la Ecuación fundamental y la del aumento lateral de los espejos esféricos:
1 1 2
𝑅𝑅 𝑠𝑠
+ =
⇔ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅
2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅
(
)
0,70
m
·
−0,80
m
𝑠𝑠 ′ =
≅ 0,24 m.
2 · (−0,80 m) − 0,70 m
𝑅𝑅 𝑠𝑠
−𝑦𝑦 2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅
−𝑦𝑦
𝑠𝑠′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔ 𝑦𝑦′ =
=
𝑠𝑠
𝑠𝑠
−𝑦𝑦 𝑅𝑅
−0,005 0 m · 0,70 m
𝑦𝑦′ =
=
≅ 0,001 5 m.
2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅 2 · (−0,80 m) − 0,70 m
La imagen está a unos 24 cm por detrás del espejo (s' > 0), por lo que es virtual, está derecha
(y'/y > 0) y es menor que el objeto (|y'| ≈ 1,5 mm).
Aplicando las mismas ecuaciones con los datos nuevos:
1 1 2
𝑅𝑅 𝑠𝑠
+ =
⇔ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅
2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅
(
)
−0,70
m
·
−0,80
m
𝑠𝑠 ′ =
≅ −0,36 m.
2 · (−0,80 m) − (−0,80 m)
𝑅𝑅 𝑠𝑠
−𝑦𝑦 𝑠𝑠′ −𝑦𝑦 2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅
′
′
𝑦𝑦 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ⇔ 𝑦𝑦′ =
=
𝑠𝑠
𝑠𝑠
(
)
−𝑦𝑦
𝑅𝑅
−0,005 0
m
·
−0,70
m
𝑦𝑦 ′ =
=
≅ −0,003 9 m.
2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅 2 · (−0,80 m) − (−0,70 m)
La imagen está a unos 36 cm por delante del espejo (s' < 0), por lo que es real, está invertida
(y'/y < 0) y es algo menor que el objeto (|y'| = 3,9 mm).
La imagen es mayor en el caso del espejo cóncavo (R = −70 cm).
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental de las lentes:
1 1 1
𝑠𝑠
− = = 𝑃𝑃 ⇔ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑃𝑃 𝑠𝑠 + 1
−0,50 m
𝑠𝑠′ =
≅ −0,125 m.
−6,0 m−1 · (−0,50 m) + 1
Aplicando la Ecuación del aumento lateral de las lentes:
𝑠𝑠
𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ 𝑦𝑦 𝑃𝑃 𝑠𝑠 + 1
𝑦𝑦
′
′
′
𝑦𝑦 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ⇔ 𝑦𝑦 =
=
=
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑃𝑃 𝑠𝑠 + 1
0,005 0
m
𝑦𝑦 ′ =
= 0,001 25 m.
−6,0 m−1 · (−0,50 m) + 1
La imagen es virtual (por estar al mismo lado de la lente que el objeto), derecha (y' tiene el
mismo signo que y) y menor (la cuarta parte).
b) Ver imagen.
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
137.– Un objeto de 6,0 cm de altura se coloca a 30 cm frente a un espejo esférico convexo de
40 cm de radio.
a) Determine la posición y la altura de su imagen.
b) Dibuje la imagen del objeto realizando un esquema de la marcha de los rayos e indique las
características de la imagen.
a) A 12 cm del espejo por el otro lado del objeto, virtual, derecha y 2,5 veces menor
10 (y' = 2,4 cm).
138.– Un objeto de altura 15 cm se sitúa a una distancia de 0,70 m de un espejo cóncavo de radio
1,0 m.
a) Obtenga la imagen del objeto mediante trazado de rayos, indicando el procedimiento
seguido.
b) Indique si la imagen es real o virtual, derecha o invertida, y mayor o menor que el objeto.
c) Explique brevemente qué es la miopía y cómo puede corregirse.
a) s’ = −1,75 m; y’ = −37,5 cm ; b) Imagen real (s’ < 0, en un espejo); invertida (y’ < 0) y
mayor que el objeto (|y’/y| = 2,5 > 1 ; c) Las imágenes se forman en el ojo antes de la retina (se
10 ve mal "de lejos"). Se corrige con lentes divergentes
139.– Un objeto de altura h = 1,0 cm está situado a 16 cm del centro de curvatura de una bola
espejada, esférica, de radio R = 4,0 cm.
a) Calcule la posición y el tamaño de la imagen. Justifique si la imagen es real o virtual.
b) Compruebe gráficamente los resultados mediante un trazado de rayos.
a) s' ≈ 1,7 cm; y' ≈ 1,4 mm.
10
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: a y b) Aplicando la Ecuación fundamental y la del aumento lateral de los espejos
esféricos:
1 1 2
𝑅𝑅 𝑠𝑠
+ =
⇔ 𝑠𝑠´ =
𝑠𝑠´ 𝑠𝑠 𝑅𝑅
2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅
(
)
0,40
m
·
−0,30
m
𝑠𝑠 ′ =
= 0,12 m.
(−0,60 m) − 0,40 m
𝑅𝑅 𝑠𝑠
−𝑦𝑦 𝑠𝑠´ −𝑦𝑦 2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅
𝑦𝑦´ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠´ ⇔ 𝑦𝑦´ =
=
𝑠𝑠
𝑠𝑠
−𝑦𝑦
𝑅𝑅
−0,06
m
·
0,40
m
𝑦𝑦 ′ =
=
= 0,024 m.
2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅 (−0,60 m) − 0,40 m
La imagen está a 12 cm del espejo y en el lado contrario al objeto (s' > 0), por lo que es virtual,
está derecha (y'/y > 0) y es menor (2,4 cm) que el objeto.
Solución: a) Ver imagen.
b) Aplicando la Ecuación fundamental y la del aumento lateral de los espejos esféricos:
1 1 2
𝑅𝑅 𝑠𝑠
+ =
⇒ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅
2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅
(
)
(
)
−1,0 m · −0,70 m
𝑠𝑠 ′ =
= −1,75 m.
(−1,4 m) − (−1,0 m)
𝑅𝑅 𝑠𝑠
−𝑦𝑦 𝑠𝑠′ −𝑦𝑦 2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅
′
′
𝑦𝑦 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ⇔ 𝑦𝑦′ =
=
𝑠𝑠
𝑠𝑠
−𝑦𝑦 𝑅𝑅
−0,15 m · (−1,0 m)
𝑦𝑦 ′ =
=
= −0,375 m.
2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅 (−1,0 m) − (−1,0 m)
c) La imagen está a 1,75 m del espejo y en el mismo lado (s' < 0), por lo que es real, está
invertida (y'/y < 0) y tiene un tamaño mayor que el del objeto (|y'| = 37,5 cm).
d) Miopía es una ametropía (defecto) del ojo que consiste en que, por exceso de curvatura del
cristalino o por abombamiento del ojo, la imagen de las cosas se proyecta antes de la retina en vez
de en esta, por lo que los objetos lejanos se ven borrosos. Se corrige utilizando lentes divergentes
que alejan la proyección de las imágenes haciendo que coincidan con la retina.
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de los
espejos esféricos (con s = −12 cm, puesto que hay que descontar de la distancia el radio):
1 1 2
+ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅
𝑅𝑅 𝑠𝑠
0,040 m · (−0,12 m)
𝑠𝑠 ′ =
=
≅ 0,001 7 m.
2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅 (−0,24 m) − 0,040 m
𝑅𝑅 𝑠𝑠
−𝑦𝑦 2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅
−𝑦𝑦
𝑠𝑠′
−𝑦𝑦 𝑅𝑅
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔ 𝑦𝑦′ =
=
=
𝑠𝑠
𝑠𝑠
2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅
−0,010 m · 0,040 m
𝑦𝑦′ =
≅ 0,001 4 m.
(−0,24 m) − 0,040 m
La imagen está 1,7 cm al otro lado de la superficie espejada (s' > 0), por lo que es virtual, está
derecha (y'/y > 0) y es bastante menor que el objeto (y' ≈ 1,4 mm).
b) Ver figura:
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
140.– Un objeto de altura h = 2,0 cm está situado a 12 cm del vértice O de un espejo cóncavo de
8,0 cm de radio de curvatura.
a) Calcule la posición y el tamaño de la imagen. Justifique si la imagen es derecha o invertida.
b) Compruebe gráficamente los resultados mediante un trazado de rayos.
a) s' = −6,0 cm; y' = −1,0 cm; real, invertida y la mitad del objeto.
10
141.– Un objeto de tamaño 15 cm se encuentra situado a 20 cm de un espejo cóncavo de
distancia focal 30 cm.
a) Calcule la posición y el tamaño de la imagen formada.
b) Efectúe la construcción gráfica correspondiente e indique cuál es la naturaleza de esta
imagen.
c) Si el espejo considerado fuese convexo en lugar de cóncavo y del mismo radio, ¿cuál sería
la posición y el tamaño de la imagen formada?
d) Efectúe la resolución gráfica, en este último caso, indicando la naturaleza de la imagen
formada.
a) La imagen es virtual, derecha y el triple del objeto (y' = 45 cm) y se encuentra en s' = 60 cm
; b) La imagen es virtual, derecha y menor que el objeto (y' = 9,0 cm) y se encuentra en
s' = 12 cm.
10
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental y la del aumento lateral de los espejos
esféricos:
1 1 2
𝑅𝑅 𝑠𝑠
+ =
⇔ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅
2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅
(−0,080 m) · (−0,12 m)
𝑠𝑠′ =
= −0,060 m.
(−0,24 m) − (−0,080 m)
𝑅𝑅 𝑠𝑠
−𝑦𝑦 𝑠𝑠′ −𝑦𝑦 2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅
𝑦𝑦′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠′ ⇔ 𝑦𝑦′ =
=
𝑠𝑠
𝑠𝑠
−𝑦𝑦 𝑅𝑅
−0,020 m · (−0,080 m)
𝑦𝑦′ =
=
= −0,010 m.
2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅 (−0,24 m) − (−0,080 m)
La imagen está a 0,060 m del espejo y en el mismo lado (s' < 0), por lo que es real, está invertida
(y'/y < 0) y es la mitad del objeto (|y'| = 1,0 cm).
b) Ver imagen.
Solución: a y b) Aplicando la Ecuación fundamental y la del aumento lateral de los espejos
esféricos:
1 1 2 1
𝑓𝑓 𝑠𝑠
+ = =
⇔ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅 𝑓𝑓
𝑠𝑠 − 𝑓𝑓
(−0,30 m) · (−0,20 m)
𝑠𝑠 ′ =
= 0,60 m.
(−0,20 m) − (−0,30 m)
𝑓𝑓 𝑠𝑠
−𝑦𝑦 𝑠𝑠 − 𝑓𝑓
−𝑦𝑦
𝑠𝑠′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔ 𝑦𝑦′ =
=
𝑠𝑠
𝑠𝑠
(
)
−𝑦𝑦
𝑓𝑓
−0,15
m
·
−0,30
m
𝑦𝑦 ′ =
=
= 0,45 m.
𝑠𝑠 − 𝑓𝑓 (−0,20 m) − (−0,30 m)
La imagen está a 60 cm del espejo y en el lado contrario al objeto (s' > 0), por lo que es virtual,
está derecha (y'/y > 0) y es el triple (45 cm) del objeto.
c y d) Aplicando la Ecuación fundamental y la del aumento lateral de los espejos esféricos:
1 1 2 1
𝑓𝑓 𝑠𝑠
+ = =
⇔ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅 𝑓𝑓
𝑠𝑠 − 𝑓𝑓
0,30 m · (−0,20 m)
𝑠𝑠 ′ =
= 0,12 m.
(−0,20 m) − 0,30 m
𝑓𝑓 𝑠𝑠
−𝑦𝑦 𝑠𝑠 − 𝑓𝑓
−𝑦𝑦
𝑠𝑠′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔ 𝑦𝑦′ =
=
𝑠𝑠
𝑠𝑠
−𝑦𝑦
𝑓𝑓
−0,15
m
·
0,30
m
𝑦𝑦 ′ =
=
= 0,090 m.
𝑠𝑠 − 𝑓𝑓 (−0,20 m) − 0,30 m
La imagen está a 12 cm del espejo y en el lado contrario al objeto (s' > 0), por lo que es virtual,
está derecha (y'/y > 0) y es menor (9,0 cm) que el objeto.
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
142.– Un objeto está delante de una lente convergente. Explique, mediante un dibujo, cómo es la
imagen de dicho objeto en los casos siguientes:
a) El objeto está a una distancia de la lente inferior a su distancia focal.
b) El objeto está a una distancia de la lente superior a su distancia focal.
a) En el mismo lado (s' < 0), virtual, derecha y de tamaño mayor (y'/y > 1) ; b) Al otro lado
de la lente (s' > 0), real, invertida y mayor (si |s|< |2 f'|), igual (s = 2 f) o menor (si |s| > |2 f'|).
10
143.– Un objeto luminoso de 2,0 mm de altura está situado a 4,0 m de distancia de una pantalla.
Entre el objeto y la pantalla se coloca una lente esférica delgada L, de distancia focal
desconocida, que produce sobre la pantalla una imagen tres veces mayor que el objeto.
a) Determine la naturaleza de la lente L, así como su posición respecto del objeto y de la
pantalla.
b) Calcule la distancia focal, la potencia de la lente L y efectúe la construcción geométrica de
la imagen.
a) Lente convergente (la única que forma imágenes reales), situada entre el objeto y la pantalla
(ya que las imágenes reales se forman al otro lado de la lente) ; b) f’ = 75 cm; P ≈ +1,3 D.
10
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de las lentes
(teniendo en cuenta que f' > 0 (por ser convergente), s < 0 (por convenio) y |s| < |f'| (por estar el
objeto entre la lente y el foco):
1 1 1
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
− =
⇔ 𝑠𝑠′ = ′
< 0.
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠
(el denominador es positivo)
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
′ + 𝑠𝑠
𝑦𝑦′
𝑠𝑠′
𝑓𝑓
= =
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑦𝑦′
𝑓𝑓′
𝑦𝑦′
= ′
⇒ 1< .
𝑦𝑦
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠
𝑦𝑦
Al ser f' y f' + s positivos ambos y f' > f' + s (por ser s negativo).
La imagen es virtual ya que está en el mismo lado de la lente que el objeto (s' > 0), más lejos que
éste de la lente, está derecha y es mayor que el objeto (y'/y > 1).
b) Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de las lentes (teniendo
en cuenta que f' > 0 y f' < |s|):
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
1 1 1
− =
⇔ 𝑠𝑠′ = ′
>0
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
(ya que 𝑓𝑓 ′ < |𝑠𝑠|)
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
𝑦𝑦′ 𝑠𝑠′ 𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
𝑓𝑓′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
= =
=
< 0.
𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
(ya que 𝑓𝑓 ′ < |𝑠𝑠|)
La imagen está en el lado contrario de la lente que el objeto (s' > 0), por lo que es real, está
invertida (y'/y < 0) y es mayor que el objeto si s es menor, en valor absoluto, que 2 f' (ya que
y'/y < −1), igual si s es igual a 2 f (y'/y = −1) y menor si s es mayor, en valor absoluto, que 2 f'
(−1 < y'/y < 0).
Solución: a) La lente obligatoriamente ha de ser una lente convergente ya que la imagen se
proyecta sobre una pantalla por lo que no puede ser virtual. Además las lentes convergentes son las
únicas que pueden dar imágenes mayores que el objeto. Como la imagen ha de ser real, la lente se
encuentra entre el objeto y la pantalla.
Aplicando la Ecuación del aumento lateral de las lentes (con un aumento negativo porque las
imágenes reales están invertidas) y d = s’ − s (ya que s < 0 por convenio y s’ > 0 por ser una
imagen real en una lente):
𝑦𝑦′ 𝑠𝑠′
𝑦𝑦′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
=
⇔ 𝑠𝑠 ′ = � � 𝑠𝑠 = 𝑀𝑀L 𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑑𝑑
𝑑𝑑 = 𝑠𝑠 ′ − 𝑠𝑠 = 𝑀𝑀L 𝑠𝑠 − 𝑠𝑠 = 𝑠𝑠 (𝑀𝑀L − 1) ; 𝑠𝑠 =
𝑀𝑀L − 1
4,0 m
−3
·
4,0
m
𝑠𝑠 =
= −1,0 m ; 𝑠𝑠 ′ =
= 3,0 m.
−3 − 1
−3 − 1
b) Aplicando la Ecuación fundamental de las lentes:
1 1 1
𝑀𝑀L − 1 𝑀𝑀L (𝑀𝑀L − 1) −(𝑀𝑀L − 1)2
− = = 𝑃𝑃 =
−
=
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑀𝑀L 𝑑𝑑
𝑀𝑀L 𝑑𝑑
𝑀𝑀L 𝑑𝑑
𝑀𝑀L 𝑑𝑑
−3 · 4,0 m
−12,0 m
𝑓𝑓 ′ =
=
=
= 0,75 m
2
2
−(𝑀𝑀L − 1)
−(−3 − 1)
−16
−16
𝑃𝑃 =
≅ +1,3 m−1 = +1,3 D.
−12,0 m
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
144.– Un objeto luminoso de 3,0 cm de altura está situado a 20 cm de una lente divergente de
potencia −10 dioptrías. Determine:
a) la distancia focal de la lente;
b) la posición de la imagen;
c) la naturaleza y el tamaño de la imagen;
d) la construcción geométrica de la imagen.
a) f' = −10 cm ; b) s' ≈ −6,7 cm ; c) imagen virtual, derecha y menor (y' = 1,0 cm).
10
Solución: a) Aplicando la definición de potencia:
1
1
1
𝑃𝑃 =
⇔ 𝑓𝑓′ = =
= −0,10 m.
𝑓𝑓′
𝑃𝑃 −10 m−1
b) Aplicando la Ecuación fundamental de las lentes:
1 1 1
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
− =
⇔ 𝑠𝑠′ =
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
(−0,10 m) · (−0,20 m)
𝑠𝑠′ =
≅ −0,067 m.
(−0,10 m) + (−0,20 m)
c) Aplicando la Ecuación del aumento lateral de las lentes:
10
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑦𝑦 𝑠𝑠′
=
𝑠𝑠
𝑦𝑦 𝑓𝑓 ′
0,030 m · (−0,10 m)
𝑦𝑦 ′ = ′
=
= 0,010 m.
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠 (−0,10 m) + (−0,20 m)
La imagen es virtual (por estar al mismo lado de la lente que el objeto), derecha (y' tiene el
mismo signo que y) y menor (la tercera parte).
d) Ver imagen.
Solución: Aplicando la Ecuación fundamental de los espejos (con f > 0 y s < 0 −lo último por
convenio−):
1 1 1
1 1 1
+ =
⇔
= − >0
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓
𝑠𝑠′ 𝑓𝑓 𝑠𝑠
1
1
>
⇔ |𝑠𝑠′| < |𝑠𝑠| ; 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ = −𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 ⇔ |𝑦𝑦 ′ | < |𝑦𝑦|.
|𝑠𝑠′| |𝑠𝑠|
La imagen siempre estará en el otro lado del espejo (virtual), más cerca de la lente (|s'| < |s|),
derecha (y' tiene el mismo signo que y, puesto que s tiene el mismo signo que s') y menor (y' < y).
Si nos encontramos a la misma distancia que el foco
(evidentemente al otro lado del espejo) la imagen está a la
mitad de la distancia focal y es la mitad del objeto ya que:
1 1 1
1 1
1
1
𝑓𝑓
+ =
⇔
= −
=
⇔ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓
𝑠𝑠′ 𝑓𝑓 −𝑓𝑓 𝑓𝑓
2
𝑓𝑓
𝑦𝑦 ′
𝑠𝑠 ′
𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ = −𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 ⇔
= − = − 2 = 0,5.
𝑦𝑦
𝑠𝑠
−𝑓𝑓
Si la distancia es menor que la del foco, la imagen estará a menor
distancia del espejo que la mitad de la distancia focal y será menor
que el objeto, pero sin llegar a ser la mitad.
La imagen que lo representa está a la derecha.
Si la distancia a la que se encuentra es mayor que la del foco, la
imagen estará a menor distancia del espejo que la distancia focal,
pero más cerca de este que del espejo (0 < f/2 < s’ < f) y será menor
que la mitad del objeto.
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔ 𝑦𝑦′ =
145.– Un objeto luminoso se encuentra delante de un espejo esférico convexo. Realice la
construcción gráfica de la imagen ayudándose de diagramas si el objeto está situado a una
distancia superior a la distancia focal del espejo, así como a una distancia inferior e igual a la
distancia focal.
𝑦𝑦
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
146.– Un objeto luminoso se encuentra delante de un espejo esférico cóncavo. Realice la
construcción gráfica de la imagen ayudándose de diagramas si el objeto está situado a una
distancia superior a la distancia focal del espejo.
La imagen siempre es real, invertida y en el mismo lado de la lente que el objeto. Sobre el
centro de curvatura (s = 2 f') es igual que el objeto, a mayor distancia (|s| > |2 f'|) es menor y a
menor distancia es mayor.
10
147.– Un objeto luminoso se encuentra delante de un espejo esférico cóncavo. Efectúe la
construcción geométrica de la imagen e indique su naturaleza si el objeto está situado a una
distancia igual, en valor absoluto, a:
a) la mitad de la distancia focal del espejo;
b) el triple de la distancia focal del espejo.
a) Al otro lado del espejo, virtual, derecha y doble del objeto ; b) En el mismo lado del
espejo, real, invertida y la mitad del objeto.
10
148.– Un objeto O está situado a 30 cm del vértice de un espejo cóncavo, tal y como indica la
figura. Se observa que la imagen producida por el espejo es real, invertida y de tamaño doble del
objeto.
a) Calcule la posición de la imagen y el radio de curvatura del espejo.
b) Compruebe gráficamente sus resultados mediante un trazado de rayos.
10
a) s' = −60 cm ; R = −40 cm.
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Solución: Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de los espejos
esféricos −con f' < 0, por ser cóncavo, s negativa (s < f') e y positiva, por convenio−:
𝑓𝑓 ′ 𝑠𝑠
𝑓𝑓′
1 1 1
+ =
⇔ 𝑠𝑠′ =
⇔ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠 ��� 𝑠𝑠′ < 0
′
𝑠𝑠 − 𝑓𝑓
𝑠𝑠 − 𝑓𝑓′ 𝑠𝑠<𝑓𝑓 ′
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
De: y s' = −y' s ⇒ y' < 0.
La imagen se encuentra en el mismo lado del espejo que el
objeto y siempre está invertida, siendo, por tanto además, una
imagen real.
Si |s| es ligeramente mayor que |f'| el denominador de s' será pequeño por lo que la imagen estará
muy lejos y será muy grande. Cuando |s| es el doble de |f'| (en el centro de curvatura) el
denomidador de s' vale f' por lo que la imagen se encuentra a la misma distancia s' = s y tiene el
mismo tamaño que el objeto. Cuando el objeto está muy lejos del espejo |s| >> |f'| el denominador
es prácticamente igual a s por lo que la imagen se encuentra prácticamente en el foco y es menor
que el objeto.
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental de los espejos esféricos:
1 1 1
1
1
1
+ =
⇔
+
=
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑠𝑠′ 𝑓𝑓′ 𝑓𝑓′
2
1
1 2
1
= − =−
⇔ 𝑠𝑠 ′ = −𝑓𝑓 ′ = −2 𝑠𝑠.
𝑠𝑠′ 𝑓𝑓′ 𝑓𝑓′
𝑓𝑓′
La imagen es virtual (s' > 0, al otro lado del espejo),
derecha (como toda imagen virtual en un solo dispositivo óptico) y doble de tamaño (estas dos
últimas puntualizaciones se pueden obtener de y s' = −y' s).
b) Aplicando la Ecuación fundamental de los espejos esféricos:
1 1 1
1
1
1
+ =
⇔
+
=
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑠𝑠′ 3 𝑓𝑓′ 𝑓𝑓′
1
1
2
3 𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
1
= −
=
⇔ 𝑠𝑠′ =
= .
2
2
𝑠𝑠′ 𝑓𝑓′ 3 𝑓𝑓′ 3 𝑓𝑓′
La imagen es real (s' < 0, en el mismo lado del espejo),
invertida (como toda imagen real en un solo dispositivo óptico) y la mitad de tamaño (estas dos
últimas puntualizaciones se pueden obtener de y s' = −y' s).
Solución: a) Aplicando la Ecuación del aumento lateral (el aumento es negativo, por estar la
imagen invertida y s < 0 −por convenio−) y la Ecuación fundamental de los espejos esféricos:
𝑦𝑦 ′ −𝑠𝑠 ′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠′ ⇔
=
= −2,0
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑠𝑠′ = −2 𝑠𝑠 = −2 · (−0,30 m) = −0,60 m.
1 1 2
2 𝑠𝑠 𝑠𝑠′
+ =
⇔ 𝑅𝑅 =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅
𝑠𝑠 + 𝑠𝑠′
2 · (−0,30 m) · (−0,60 m)
𝑅𝑅 =
= −0,40 m.
(−0,30 m) + (−0,60 m)
b)Ver imagen.
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
149.– Un objeto O está situado a 60 cm del vértice de un espejo esférico, cóncavo, tal y como
indica la figura. Se observa que la imagen producida por el espejo es real e invertida, siendo su
tamaño la mitad del tamaño del objeto.
a) Calcule la posición de la imagen y el radio de curvatura del espejo.
b) Compruebe gráficamente los resultados mediante un trazado de rayos.
a) s' = −30 cm; R = −40 cm.
10
150.– Un objeto O, de 10 cm de altura, está situado a 1,0 m del vértice de un espejo esférico
convexo, de 2,0 m de radio de curvatura, tal y como indica la figura.
a) Calcule la posición y tamaño de la imagen.
b) Compruebe gráficamente sus resultados mediante un trazado de rayos.
a) La imagen está al otro lado del espejo, es virtual (s' = 50 cm), en posición derecha (y' mismo
10
signo que y) de la mitad de tamaño que el objeto (y' = 5 cm).
151.– Un objeto O, de 2,0 cm de altura, está situado a 30 cm del vértice de un espejo esférico
cóncavo, de 20 cm de radio de curvatura, tal y como indica la figura.
a) Calcule la posición y tamaño de la imagen.
b) Compruebe gráficamente sus resultados mediante un trazado de rayos.
a) s' = −15 cm; y' = −1,0 cm; real, invertida y la mitad del objeto.
10
152.– Un objeto se encuentra 10 cm a la izquierda del vértice de un espejo esférico cóncavo,
cuyo radio de curvatura es 24 cm. Determine la posición de la imagen y su aumento.
A 60 cm por el otro lado del espejo, y es virtual, derecha y 6,0 veces mayor que el objeto.
10
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Solución: a) Aplicando la Ecuación del aumento lateral y la Ecuación fundamental de los
espejos esféricos (el aumento es negativo porque la imagen se forma invertida):
𝑦𝑦′ −𝑠𝑠′
𝑦𝑦′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠′ ⇔
=
= −0,50
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑠𝑠′ = 0,50 𝑠𝑠 = 0,50 · (−0,60 m) = −0,30 m.
1 1 2
2
2 𝑠𝑠 𝑠𝑠′
+ =
⇔ 𝑅𝑅 =
=
1 1 𝑠𝑠 + 𝑠𝑠′
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅
+
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠
2 · (−0,60 m) · (−0,30 m)
𝑅𝑅 =
= −0,40 m.
(−0,60 m) + (−0,30 m)
b) Ver figura.
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental de los
espejos esféricos (la de los dioptrios con n' = −n):
𝑛𝑛′ 𝑛𝑛 𝑛𝑛′ − 𝑛𝑛
1 1 2
− =
⇔
+ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠
𝑅𝑅
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅
1
1
2
+
=
⇔ 𝑠𝑠′ = 0,50 m.
𝑠𝑠′ −1,0 m 2,0 m
Teniendo en cuenta que el tamaño de una imagen viene
dado por: y n s' = y' n' s, y como n' = −n (por ser un espejo):
𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′
10 cm · 0,50 m
′
′
′
𝑦𝑦 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ⇔ 𝑦𝑦 = −
=−
= 5,0 cm.
𝑠𝑠
−1,0 m
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental y la del aumento lateral de los espejos
esféricos:
1 1 2
𝑅𝑅 𝑠𝑠
+ =
⇔ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅
2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅
(
)
(
)
−0,20
m
·
−0,30
m
𝑠𝑠 ′ =
= −0,15 m.
(−0,60 m) − (−0,20 m)
𝑅𝑅 𝑠𝑠
−𝑦𝑦 2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅
−𝑦𝑦
𝑠𝑠′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔ 𝑦𝑦′ =
=
𝑠𝑠
𝑠𝑠
(
)
−𝑦𝑦
𝑅𝑅
−0,020
m
·
−0,20
m
𝑦𝑦 ′ =
=
= −0,010 m.
2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅 (−0,60 m) − (−0,20 m)
La imagen está a 0,15 m del espejo y en el mismo lado (s' < 0), por lo que es real, está invertida
(y'/y < 0) y es la mitad del objeto (|y'| = 1,0 cm).
b) Ver imagen.
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental y la del aumento lateral de los espejos
esféricos:
1 1 2
𝑅𝑅 𝑠𝑠
+ =
⇔ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅
2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅
(
)
(
)
−0,24
m
·
−0,10
m
𝑠𝑠 ′ =
= 0,60 m.
(−0,20 m) − (−0,24 m)
𝑅𝑅 𝑠𝑠
− 2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅
𝑦𝑦′′
−𝑠𝑠′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
=
=
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑦𝑦′
−𝑅𝑅
−(−0,24 m)
=
=
= 6,0.
𝑦𝑦 2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅 (−0,20 m) − (−0,24 m)
La imagen está a 60 cm en el lado opuesto del espejo (s' > 0), por lo que es virtual, está derecha
(y'/y > 0) y es seis veces más grande que el objeto (|y'/y| = 6,0).
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
153.– Un objeto se encuentra a 10 cm de una lente convergente delgada cuya distancia focal
imagen es de 4,0 cm. Calcule:
a) la posición;
b) el aumento y la naturaleza de la imagen.
a) s' ≈ 6,7 mm ; b) La imagen es real, invertida y menor (|y'/ y| ≈ 0,67).
10
10
154.– Un objeto se encuentra delante de un espejo esférico cóncavo. Efectúe la construcción
geométrica de la imagen e indique sus características si el objeto está situado a una distancia
igual, en valor absoluto, a la mitad de la distancia focal del espejo.
Imagen a la distancia focal por el otro lado del espejo (s' = −f' > 0), virtual, derecha (y'/y > 0) y
tamaño doble que el objeto (y' = 2 y).
155.– Un objeto se encuentra delante de un espejo esférico. Realice la construcción gráfica de la
imagen mediante el diagrama de rayos e indique la naturaleza de la imagen (real/virtual,
derecha/invertida, mayor/menor) en las siguientes situaciones:
a) Si el espejo es cóncavo y el objeto se encuentra en el centro de curvatura del espejo.
b) Si el espejo es convexo y el objeto está situado a una distancia arbitraria delante del espejo.
a) Imagen real (s’ = R), invertida (y’ < 0) e igual que el objeto (|y’/y| = 1) ; b) Imagen virtual
(s’ > 0), derecha (y’ > 0) y menor que el objeto (y’/y < 1).
10
156.– Un objeto se sitúa a 2,0 m de un espejo esférico cóncavo de radio 1,0 m.
a) Obtenga la imagen del objeto mediante trazado de rayos.
b) Indique si la imagen es real o virtual, derecha o invertida, mayor o menor que el objeto.
Explique el procedimiento seguido para trazar los rayos y razone las respuestas.
La imagen es real, invertida, menor (la tercera parte) y se encuentra en el mismo lado que el
10 objeto.
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Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental de las lentes:
1 1 1
− =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
0,040 m · (−0,16 m)
𝑠𝑠′ =
=
≅ −0,067 m.
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠 0,040 m + (−0,10 m)
b) Aplicando la Ecuación del aumento lateral:
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
𝑦𝑦′ 𝑠𝑠′ 𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
𝑓𝑓′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
= =
=
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
𝑦𝑦′
0,040 m
=
≅ −0,67.
𝑦𝑦
0,040 m + (−0,10 m)
La imagen está a 6,7 cm de la lente y en el otro lado del objeto (s' > 0), por lo que es real, está
invertida (y' < 0) y es de tamaño menor que el del objeto (las dos terceras partes).
Solución: Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de los espejos
esféricos:
′
′ 𝑓𝑓
′
𝑓𝑓
𝑓𝑓 𝑠𝑠
1 1 1
2 = −𝑓𝑓′
+ =
⇔ 𝑠𝑠 ′ =
=
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑠𝑠 − 𝑓𝑓 ′ 𝑓𝑓 ′ − 𝑓𝑓 ′
2
𝑦𝑦′
−𝑠𝑠′
−𝑓𝑓′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
=
=−
= 2.
𝑓𝑓′
𝑦𝑦
𝑠𝑠
2
La imagen se forma a la distancia focal pero por el otro lado del espejo (s' > 0), por lo que es
virtual, está derecha (y'/y = −s'/s > 0) y tiene el doble de tamaño que el objeto (y'/y = 2).
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental y el aumento lateral de los espejos esféricos:
1 1 2
𝑅𝑅 𝑠𝑠
𝑅𝑅2
+ =
⇔ 𝑠𝑠′ =
=
= 𝑅𝑅.
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅
2 𝑠𝑠 − 𝑅𝑅 2 𝑅𝑅 − 𝑅𝑅
′
′
𝑦𝑦
−𝑠𝑠
−𝑅𝑅
𝑦𝑦′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠′ ⇔
=
=
= −1,0.
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑅𝑅
La imagen está en el centro de curvatura (s' = R), y es real,
está invertida (y'/y < 0) y es igual que el objeto (|y'/y| = 1,0).
b) Aplicando la Ecuación fundamental de los espejos (con f > 0 y s < 0 −lo último por
convenio−):
1 1 1
1 1 1
+ =
⇔
= − >0
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓
𝑠𝑠′ 𝑓𝑓 𝑠𝑠
1
1
>
⇔ |𝑠𝑠′| < |𝑠𝑠| ; 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ = −𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 ⇔ |𝑦𝑦 ′ | < |𝑦𝑦|.
|𝑠𝑠′| |𝑠𝑠|
La imagen siempre estará en el otro lado del espejo (virtual),
más cerca de la lente (|s'| < |s|), derecha (y' tiene el mismo signo
que y, puesto que s tiene el mismo signo que s') y menor (y' < y).
a) La imagen es la que se muestra en la figura. Para
obtenerla hemos dibujado los rayos: paralelo que pasa
por el foco (que está en el punto medio entre el centro
de curvatura y el centro óptico), el que pasa por el
foco y sale paralelo, el que se refleja en el centro
óptico con ángulos iguales con respecto al eje óptico y
el que pasa por el centro de curvatura que se refleja
sobre él mismo. Está en el mismo lado que el objeto.
b) La imagen es real (se cruzan los rayos), invertida
(se encuentra en el otro lado del eje óptico con
relación al objeto) y menor que el objeto (la tercera
parte de su tamaño).
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
157.– Un ojo miope necesita una lente correctora de −2,0 dioptrías de potencia para poder ver
nítidamente objetos muy alejados.
a) Sin lente correctora, ¿cuál es la distancia máxima a la que se puede ver nítidamente con este
ojo?
b) Se sitúa un objeto de altura y = 0,30 m en la posición s = −1,0 m respecto a esta lente.
Calcule la posición y tamaño de la imagen. Compruebe sus resultados mediante un trazado de
rayos.
a) f' = −50 cm ; b) s' ≈ −33 cm; y' = 10 cm.
10
158.– Un reproductor Blu−ray utiliza luz láser de color azul−violeta cuya longitud de onda es
405 nm. La luz se enfoca sobre el disco mediante una lente convergente de 4,0 mm de distancia
focal que está hecha de un plástico de 1,50 de índice de refracción.
a) Calcule la frecuencia de la luz utilizada.
b) Calcule la velocidad de la luz en el interior de la lente.
c) Extraemos la lente y la utilizamos como lupa. Situamos un piojo a 3,0 mm de la lente y,
posteriormente, a 10 mm. Indique en cuál de los dos casos la imagen del piojo a través de la
lupa es virtual, y determine la posición de dicha imagen.
a) f ≈ 741 THz ; b) v = 200 Mm s−1 ; c) En el primer caso: s’ = −12 mm.
10
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: Un ojo miope ve mal a distancia, mientras que de cerca ve bien. La lente divergente
consigue crear una imagen virtual de los objetos dentro
del límite de visión donde se ve bien. Por tanto, la
lente adecuada “pondrá” la imagen virtual de un objeto
situado en el infinito (distancia focal de la lente) a la
distancia de visión correcta.
a) Por lo dicho anteriormente, la distancia máxima a
la que podemos ver sin la lente coincide con la
distancia focal de la lente correctora por lo que,
aplicando la definición de potencia:
1
1
1
𝑃𝑃 =
⇔ 𝑓𝑓′ = =
= −0,50 m.
𝑓𝑓′
𝑃𝑃 −2,0 m−1
b) Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de las lentes:
(−0,50 m) · (−1,0 m)
1 1 1
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
− =
⇔ 𝑠𝑠′ =
=
≅ −0,33 m.
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠 (−0,50 m) + (−1,0 m)
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓 ′ 𝑠𝑠
𝑦𝑦
′
𝑦𝑦 𝑠𝑠
𝑦𝑦 𝑓𝑓 ′
0,30 m · (−0,50 m)
𝑓𝑓 ′ + 𝑠𝑠
=
= ′
=
= 0,10 m.
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔ 𝑦𝑦 ′ =
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠 (−0,50 m) + (−1,0 m)
La imagen está a unos 33 cm en el mismo lado de la lente (s' < 0), por lo que es virtual, está
derecha (y'/y > 0) y es la tercera parte del objeto (|y'| = 0,10 m).
Solución: a) La frecuencia se obtiene de la expresión de la velocidad de la luz:
𝜆𝜆
𝑐𝑐
3,00·108 m s −1
𝑐𝑐 = = 𝜆𝜆 𝑓𝑓 ⇒ 𝑓𝑓 = =
≅ 7,41·1014 Hz.
𝑇𝑇
𝜆𝜆 405 nm · 1 m
109 nm
b) Por la definición de índice de refracción:
𝑐𝑐
𝑐𝑐 3,00·108 m s −1
𝑛𝑛 =
⇒ 𝑣𝑣 = =
= 2,00·108 m s−1 .
1,50
𝑣𝑣
𝑛𝑛
c) Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de las lentes:
1 1 1
− =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓 ′ 𝑠𝑠
4,0 mm · ( − 3,0 mm)
𝑠𝑠 ′ = ′
=
= −12 mm.
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠 4,0 mm + ( − 3,0 mm)
La imagen está a 12 mm de la lente y en el mismo lado del objeto (s' < 0), por lo que es virtual, y
es la respuesta pedida.
Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de las lentes:
1 1 1
− =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓 ′ 𝑠𝑠
4,0 mm · ( − 10 mm)
𝑠𝑠 ′ = ′
=
≅ 6,7 mm.
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠 4,0 mm + ( − 10 mm)
La imagen está a unos 6,7 mm de la lente y en el otro lado del objeto (s' > 0), por lo que es real.
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
159.– Un sistema óptico centrado está formado por dos lentes delgadas convergentes de igual
distancia focal (f' = 10 cm) separadas 40 cm. Un objeto lineal de altura 1,0 cm se coloca delante
de la primera lente a una distancia de 15 cm. Determine:
a) la posición, el tamaño y la naturaleza de la imagen formada por la primera lente;
b) la posición de la imagen final del sistema, efectuando su construcción geométrica.
a) Real (s1 ' = 30 cm > 0) al otro lado de la lente, invertida (y1 ' < 0) y del doble de tamaño que
el objeto (|y'| = −2,0 cm) ; b) No forma imagen (el objeto se encuentra en el foco objeto de la
lente).
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral a la primera
de las lentes:
1
1
𝑓𝑓′1 𝑠𝑠
0,10 m · (−0,15 m)
1
− =
⇔ 𝑠𝑠′1 =
=
= 0,30 m.
𝑓𝑓′1 + 𝑠𝑠 0,10 m +(−0,15 m)
𝑠𝑠′1 𝑠𝑠 𝑓𝑓′1
𝑓𝑓′1 𝑠𝑠
𝑦𝑦 𝑠𝑠′1 𝑦𝑦 𝑓𝑓′1 + 𝑠𝑠
𝑦𝑦 𝑓𝑓′1
0,010 m · 0,10 m
𝑦𝑦′1 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠′1 ⇔ 𝑦𝑦′1 =
=
=
=
= −0,020 m.
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑓𝑓′1 + 𝑠𝑠 0,10 m +(−0,15 m)
La imagen formada por esta primera lente es real (está al otro lado de la lente) invertida y del
doble de tamaño que el objeto (y' de distinto signo y valor doble de y).
Esta imagen actúa de objeto para la segunda (y'1 = y2), y como entre las dos lentes hay una
distancia de 40 cm, la imagen formada estará a: s2 = s1' − d = 30 cm − 40 cm = −10 cm.
Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral a la segunda de las lentes:
𝑓𝑓 ′ 𝑠𝑠2
1 1
1
0,10 m · (−0,10 m)
− =
⇔ 𝑠𝑠 ′ = ′ 2
=
= ±∞.
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠2 𝑓𝑓′2
𝑓𝑓 2 + 𝑠𝑠2 0,10 m + (−0,10 m)
𝑓𝑓 ′ 2 𝑠𝑠2
𝑦𝑦
2 𝑓𝑓 ′ + 𝑠𝑠
𝑦𝑦2 𝑓𝑓 ′ 2
𝑦𝑦2 𝑠𝑠 ′
−0,020 m · 0,10 m
2
2
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠2 = 𝑦𝑦2 𝑠𝑠 ′ ⇔ 𝑦𝑦 ′ =
=
= ′
=
= ±∞.
𝑠𝑠2
𝑠𝑠2
𝑓𝑓 2 + 𝑠𝑠2 0,10 m + (−0,10 m)
No se forma imagen porque los rayos que parten del objeto salen paralelos una vez han
atravesado la lente. El objeto se encuentra en el foco objeto de la lente convergente, que es la
condición para que no haya imagen.
b) Ver imagen.
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Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
160.– Un sistema óptico está formado por dos lentes convergentes: la primera de potencia
5,0 dioptrías y la segunda de 4,0 dioptrías. Ambas están separadas 85 cm y tienen el mismo eje
óptico. Se sitúa un objeto de tamaño 2,0 cm delante de la primera lente perpendicular al eje
óptico, de manera que la imagen formada por ella es real, invertida y de doble tamaño que el
objeto.
a) Determine las distancias focales de cada una de las lentes.
b) Determine la distancia del objeto a la primera de las lentes.
c) ¿Dónde se formará la imagen final?
d) Efectúe un esquema gráfico, indicando el trazado de los rayos.
a) f'1 = 20 cm; f'2 = 25 cm ; b) s1 = −30 cm ; c) No se formará. La imagen de la primera
lente se ha formado en el foco de la segunda.
10
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Solución: a) Las distancias focales se obtienen aplicando la expresión que relaciona la potencia
de una lente y sus distancia focal:
1
1
1
1
1
1
⇔ 𝑓𝑓′1 = =
= 0,20 m ; 𝑃𝑃2 =
⇔ 𝑓𝑓′2 =
=
= 0,25 m.
𝑃𝑃1 =
−1
𝑓𝑓′1
𝑃𝑃1 5,0 m
𝑓𝑓′2
𝑃𝑃2 4,0 m−1
b) Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral a la primera de las
lentes:
𝑦𝑦′1
𝑠𝑠′1
𝑦𝑦′1 𝑠𝑠1 = 𝑦𝑦1 𝑠𝑠′1 ⇔
=
= −2 ⇔ 𝑠𝑠′1 = −2 𝑠𝑠1
𝑦𝑦1
𝑠𝑠1
1
1
1
1
3
1
1
− =
⇒
− =
=
−2 𝑠𝑠1 𝑠𝑠1 −2 𝑠𝑠1 𝑓𝑓′1
𝑠𝑠′1 𝑠𝑠1 𝑓𝑓′1
−3 𝑓𝑓′1 −3 · 0,20 m
𝑠𝑠1 =
=
= −0,30 m.
2
2
c) Para encontrar la imagen final tenemos que hallar dónde está la imagen que forma la primera
lente y luego obtener, con ella como objeto, la imagen que forma la segunda lente.
−3 𝑓𝑓′1
𝑠𝑠′1 = −2 𝑠𝑠1 = −2 ·
= 3 𝑓𝑓′1 = 3 · 0,20 m = 0,60 m
2
𝑦𝑦1 𝑠𝑠′1 𝑦𝑦1 · 3 𝑓𝑓′1
𝑦𝑦′1 𝑠𝑠1 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠′1 ⇔ 𝑦𝑦′1 =
=
= −2 𝑦𝑦1 = −2 · 0,020 m = −0,040 m.
−3 𝑓𝑓′1
𝑠𝑠1
2
La imagen formada por esta primera lente actúa de objeto para la segunda (y'1 = y2), y como
entre las dos lentes hay una distancia de 60 cm, la imagen formada estará a:
s2 = s'1 − d = 60 cm − 85 cm = −25 cm.
Aplicando la Ecuación fundamental a la segunda de las lentes:
1
1
1
𝑓𝑓′2 𝑠𝑠2
0,25 m · (−0,25 m)
− =
⇔ 𝑠𝑠′2 =
=
= ±∞.
𝑠𝑠′2 𝑠𝑠2 𝑓𝑓′2
𝑓𝑓′2 + 𝑠𝑠2 0,25 m + (−0,25 m)
No se forma imagen ya que la imagen formada por la primera lente se encuentra en el foco
objeto de la segunda.
d) Ver figura.
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
161.– Un sistema óptico está formado por dos lentes delgadas convergentes, de distancias
focales 10 cm la primera y 20 cm la segunda, separadas por una distancia de 60 cm. Un objeto
luminoso de 2,0 mm de altura está situado 15 cm delante de la primera lente.
a) Calcule la posición y el tamaño de la imagen final del sistema.
b) Efectúe la construcción geométrica de la imagen mediante el trazado de rayos
correspondiente.
Al otro lado de las lentes (s2 ' = 60 cm; s1' = 120 cm), real, derecha (por doble inversión) y
cuatro veces mayor que el objeto (8,0 mm; y'/ y = 4,0).
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral a la primera
de las lentes:
1
1
𝑓𝑓′1 𝑠𝑠
0,10 m · (−0,15 m)
1
− =
⇔ 𝑠𝑠′1 =
=
= 0,30 m.
𝑓𝑓′1 + 𝑠𝑠 0,10 m + (−0,15 m)
𝑠𝑠′1 𝑠𝑠 𝑓𝑓′1
𝑓𝑓′1 𝑠𝑠
𝑦𝑦 𝑠𝑠′1 𝑦𝑦 𝑓𝑓′1 + 𝑠𝑠
𝑦𝑦 𝑓𝑓′1
0,002 0 m · 0,10 m
𝑦𝑦′1 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠′1 ⇔ 𝑦𝑦′1 =
=
=
=
= −0,004 0 m.
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑓𝑓′1 + 𝑠𝑠 0,10 m + (−0,15 m)
La imagen formada por esta primera lente actúa de objeto para la segunda (y'1 = y2), y como
entre las dos lentes hay una distancia de 60 cm, la imagen formada estará a:
s2 = s1' − d = 30 cm − 60 cm = −30 cm.
Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral a la segunda de las lentes:
𝑓𝑓 ′ 𝑠𝑠2
1 1
1
0,20 m · (−0,30 m)
− =
⇔ 𝑠𝑠 ′ = ′ 2
=
= 0,60 m.
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠2 𝑓𝑓′2
𝑓𝑓 2 + 𝑠𝑠2 0,20 m + (−0,30 m)
𝑓𝑓 ′ 2 𝑠𝑠2
𝑦𝑦2 𝑓𝑓 ′ 2
𝑓𝑓 ′ 2 + 𝑠𝑠2
𝑦𝑦2 𝑠𝑠 ′
−0,004 0 m · 0,20 m
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠2 = 𝑦𝑦2 𝑠𝑠 ′ ⇔ 𝑦𝑦 ′ =
=
= ′
=
= 0,008 0 m.
𝑠𝑠2
𝑠𝑠2
𝑓𝑓 2 + 𝑠𝑠2 0,20 m + (−0,30 m)
La imagen está 60 cm al otro lado de la segunda lente (s’ > 0), por tanto a 120 cm detrás de la
primera lente, siempre se ha formado por unión de rayos, por lo que es real, está derecha (y’/y > 0)
y mide 8,0 mm (cuatro veces mayor que el objeto).
b) Ver imagen:
𝑦𝑦2
10
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Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
162.– Un sistema óptico está formado por dos lentes: la primera es convergente y con distancia
focal de 10 cm; la segunda, situada a 50 cm de distancia de la primera, es divergente y con
15 cm de distancia focal. Un objeto de tamaño 5,0 cm se coloca a una distancia de 20 cm delante
de la lente convergente.
a) Obtenga gráficamente mediante el trazado de rayos la imagen que produce el sistema
óptico.
b) Calcule la posición de la imagen producida por la primera lente.
c) Calcule la posición de la imagen producida por el sistema óptico.
d) ¿Cuál es el tamaño y la naturaleza de la imagen final formada por el sistema óptico?
b) s1' = 0,20 m ; c) s' = −0,10 m (desde la segunda lente) ; d) es una imagen virtual (s' < 0),
invertida (y’/y < 0) y es la tercera parte del objeto inicial (|y’| ≈ 0,017 m).
10
163.– Una cámara fotográfica tiene como objetivo una lente de 12 dioptrías.
a) Calcule la distancia del objetivo hasta la imagen, si el objeto está a 20 m.
b) Si el objeto mide 1,5 m de altura, ¿cuál es el tamaño de la imagen?
c) Dibuje un esquema con la marcha de los rayos.
a) s' ≈ 8,4 cm ; b) y' ≈ −6,3 mm.
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Solución: a) Ver imagen:
b) Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral a la primera de las
lentes:
1
1
1
𝑓𝑓′1 𝑠𝑠
0,10 m · (−0,20 m)
− =
⇔ 𝑠𝑠′1 =
=
= 0,20 m.
𝑠𝑠′1 𝑠𝑠 𝑓𝑓′1
𝑓𝑓′1 + 𝑠𝑠 0,10 m + (−0,20 m)
𝑓𝑓′1 𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑦𝑦 𝑠𝑠′1
𝑦𝑦 𝑓𝑓′1
0,050 m · 0,10 m
𝑓𝑓′1 + 𝑠𝑠
𝑦𝑦′1 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠′1 ⇔ 𝑦𝑦′1 =
=
=
=
= −0,050 m.
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑓𝑓′1 + 𝑠𝑠 0,10 m + (−0,20 m)
La imagen formada por esta primera lente es real (está al otro lado de la lente) invertida y del
mismo tamaño que el objeto (y’ de distinto signo y valor igual a y).
c) La imagen formada por esta primera lente actúa de objeto para la segunda (y'1 = y2), y como
entre las dos lentes hay una distancia de 50 cm, la imagen formada estará a:
s2 = s1' − d = 20 cm − 50 cm = −30 cm.
Aplicando la Ecuación fundamental a la segunda de las lentes:
1
𝑓𝑓′2 𝑠𝑠2
−0,15 m · (−0,30 m)
1 1
− =
⇔ 𝑠𝑠′ =
=
= −0,10 m.
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠2 𝑓𝑓′2
𝑓𝑓′2 + 𝑠𝑠2 −0,15 m + (−0,30 m)
d) Aplicando la Ecuación del aumento lateral a la segunda de las lentes:
𝑓𝑓′2 𝑠𝑠2
𝑦𝑦2
𝑦𝑦
𝑠𝑠′
𝑦𝑦2 𝑓𝑓′2
−0,050 m · (−0,15 m)
𝑓𝑓′2 + 𝑠𝑠2
2
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠2 = 𝑦𝑦2 𝑠𝑠 ′ ⇔ 𝑦𝑦′ =
=
=
=
≅ −0,017 m.
𝑠𝑠2
𝑠𝑠2
𝑓𝑓′2 + 𝑠𝑠2 −0,15 m + (−0,30 m)
La imagen está entre ambas lentes, a 40 cm de la primera y 10 cm de la segunda lente (s’ < 0), se
ha formado por unión de prolongaciones de rayos en la segunda lente, por lo que es virtual, está
invertida (y’/y < 0) y mide unos 17 mm (la tercera parte del objeto inicial).
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental de las lentes:
1 1 1
1
𝑠𝑠
− = = 𝑃𝑃 ⇔ 𝑠𝑠′ =
=
1
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑃𝑃 + 𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑃𝑃 + 1
−20 m
20
𝑠𝑠′ =
=
m ≅ 0,084 m.
−1
(−20 m) · 12 m + 1 239
b) Aplicando la ecuación del aumento lateral de las lentes:
𝑠𝑠
𝑦𝑦 𝑠𝑠 𝑃𝑃 + 1
𝑦𝑦
𝑠𝑠′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔ 𝑦𝑦′ =
=
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑦𝑦
1,5 m
𝑦𝑦′ =
=
≅ −6,3·10−3 m.
𝑠𝑠 𝑃𝑃 + 1 (−20 m) · 12 m−1 + 1
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
164.– Una cerilla se coloca 20 cm delante de un espejo esférico de concavidad desconocida. La
imagen que se forma es virtual, derecha y de tamaño doble de la cerilla.
a) ¿A qué distancia y a qué lado del espejo se ha formado la imagen?
b) ¿Cuál es el radio del espejo? Indique explícitamente si el espejo es cóncavo o convexo.
c) Haga un diagrama de rayos para determinar la imagen de la cerilla.
10
a) s' = 40 cm ; b) R = −80 cm; es cóncavo.
165.– Una de las lentes de las gafas de un miope tiene −4,0 D de potencia.
a) Calcula la distancia focal imagen de la lente.
b) Determina el índice del material que forma la lente sabiendo que la velocidad de la luz en su
interior es el 65 % de la velocidad en el vacío.
c) Halla la posición de la imagen virtual vista a través de la lente de un objeto situado a 2,0 m
de la lente.
a) f' = 25 cm ; b) n ≈ 1,54 ; c) s' ≈ 22 cm.
10
166.– Una lente bicóncava simétrica de espesor despreciable posee unos radios de curvatura de
12 cm y está formada por un material de índice de refracción 1,50. Determine:
a) la velocidad de la luz en el interior de la lente;
b) la potencia óptica de la lente;
c) dónde se debe situar un objeto para que el tamaño de la imagen sea la tercera parte que la
del objeto. Justifique la formación de la imagen mediante de un diagrama de rayos.
Datos: Velocidad de la luz en el vacío: c = 3,00·108 m s−1
a) vlente = 200 Mm s−1 ;
b) P ≈ −8,3 D ; c) s = −24 cm.
10
Solución: a) Aplicando la Ecuación del aumento lateral (el aumento es positivo porque la
imagen es virtual y derecha) de los espejos esféricos:
𝑦𝑦′ −𝑠𝑠′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
=
= 2 ⇔ 𝑠𝑠 ′ = −2 𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑠𝑠 ′ = −2 · (−0,20 m) = 0,40 m.
b) Aplicando ahora la Ecuación fundamental:
1
2
2
1
2
1 1 2
+ =
⇔
+
=
⇔
=
−2 𝑠𝑠 2 𝑠𝑠 𝑅𝑅
2 𝑠𝑠 𝑅𝑅
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑅𝑅
𝑅𝑅 = 4 𝑠𝑠 = 4 · (−0,20 m) = −0,80 m.
Por ser el radio negativo, es cóncavo.
c) Ver imagen.
Solución: a) Aplicando la definición de potencia:
1
1
1
𝑃𝑃 =
⇔ 𝑓𝑓′ = =
= −0,25 m.
𝑓𝑓′
𝑃𝑃 −4,0 m−1
b) Aplicando la definición de índice de refracción:
c
1
𝑐𝑐
=
≅ 1,54.
𝑛𝑛 = =
𝑣𝑣 0,65 𝑐𝑐 0,65
c) Aplicando la Ecuación fundamental de las lentes:
1 1 1
𝑠𝑠
− = = 𝑃𝑃 ⇔ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
1 + 𝑠𝑠 𝑃𝑃
−2,0 m
𝑠𝑠′ =
≅ −0,22 m.
1 +(−2,0 m) · ( − 4,0 D)
La imagen es virtual (por estar al mismo lado de la lente que el objeto), derecha y menor (por
estar más cerca de la lente).
Solución: a) La velocidad de la luz en el interior de la lente se calcula aplicando el concepto de
índice de refracción:
𝑐𝑐
𝑐𝑐
3,00·108 m s−1
𝑛𝑛lente =
⇔ 𝑣𝑣lente =
=
= 2,00·108 m s−1 .
𝑣𝑣lente
𝑛𝑛lente
1,50
b) Aplicando la ecuación que relaciona los radios de una
lente con su distancia focal, y teniendo en cuenta que
R1 = −R2 < 0 (por ser biconcóncava y simétrica):
1 1
1
1
1
− = (𝑛𝑛 − 1) � − � = = 𝑃𝑃
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠
𝑅𝑅1 𝑅𝑅2
𝑓𝑓′
1
1
𝑃𝑃 = (1,5 − 1) �
−
� ≅ −8,3 m−1 = −8,3 D.
−0,12 m 0,12 m
c) Aplicando la Ecuación del aumento lateral y la Ecuación
fundamental de las lentes (teniendo en cuenta que el aumento
ha de ser positivo puesto que una lente divergente no puede
formar imágenes invertidas −ya que no forma imágenes reales−):
𝑦𝑦′
𝑠𝑠′
𝑦𝑦′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
=
⇔ 𝑠𝑠′ = � � 𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑦𝑦
1 1
1
1
1
1 1
1
− = (𝑛𝑛 − 1) � − � =
− = �
− 1�
𝑦𝑦′
𝑦𝑦′
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠
𝑅𝑅1 𝑅𝑅2
𝑠𝑠 𝑠𝑠
� 𝑦𝑦 � 𝑠𝑠
� 𝑦𝑦 �
𝑦𝑦′
1
1 − � 𝑦𝑦 �
1−3
𝑠𝑠 =
=
= −0,24 m.
1
1
1
𝑦𝑦′
1
1
� 𝑦𝑦 � (𝑛𝑛 − 1) �𝑅𝑅 − 𝑅𝑅 � 3 (1,5 − 1) �−0,12 m − 0,12 m�
1
2
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
167.– Una lente bicóncava simétrica posee una potencia óptica de −2,0 dioptrías y está formada
por un plástico con un índice de refracción de 1,80. Calcule:
a) la velocidad de la luz en el interior de la lente;
b) los radios de curvatura de la lente;
c) dónde hemos de colocar un objeto para que el tamaño de su imagen sea la mitad que el del
objeto.
Datos: Velocidad de la luz en el vacío: c = 3,00·108 m s−1
a) vplástico ≈ 167 Mm s−1 ;
b) R1 = −80 cm; R2 = 80 cm ; c) s = −50 cm.
10
168.– Una lente convergente con radios de curvatura de sus caras iguales, y que suponemos
delgada, tiene una distancia focal de 50 cm y proyecta sobre una pantalla la imagen de un objeto
de tamaño 5,0 cm.
a) Calcule la distancia de la pantalla a la lente para que la imagen sea de tamaño 40 cm.
b) Si el índice de refracción de la lente es igual a 1,50, ¿qué valor tienen los radios de la lente
y cuál es la potencia de la misma?
a) s' = 4,50 m ; b) R1 = −R2 = 50 cm; P = +2,0 D.
10
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: a) La velocidad de la luz en el interior del plástico se calcula aplicando el concepto de
índice de refracción:
𝑐𝑐
𝑐𝑐
3,00·108 m s−1
𝑛𝑛plástico =
⇔ 𝑣𝑣plástico =
=
≅ 1,67·108 m s−1 .
𝑣𝑣plástico
𝑛𝑛plástico
1,80
b) Aplicando la ecuación que relaciona los radios de una lente con su distancia focal, y teniendo
en cuenta que la lente es simétrica (R1 = −R2):
1 1
1
1
1
1
1
2 (𝑛𝑛 − 1)
− = (𝑛𝑛 − 1) � − � = = 𝑃𝑃 = (𝑛𝑛 − 1) � + � ⇒ 𝑅𝑅1 =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠
𝑅𝑅1 𝑅𝑅2
𝑓𝑓′
𝑅𝑅1 𝑅𝑅1
𝑃𝑃
2 · (1,80 − 1)
𝑅𝑅1 =
= −0,80 m.
−2,0 m−1
c) Teniendo en cuenta que la imagen creada por una lente bicóncava (divergente) es siempre
virtual (y'/y > 0) y aplicando las ecuaciones del aumento lateral y la fundamental de las lentes:
𝑦𝑦′
𝑠𝑠′
𝑦𝑦′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
=
⇔ 𝑠𝑠′ = � � 𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑦𝑦′
1
1 1 − � 𝑦𝑦 �
1 1 1
− = = 𝑃𝑃 =
− =
𝑦𝑦′
𝑦𝑦′
𝑠𝑠
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
� 𝑦𝑦 � 𝑠𝑠
� � 𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑦𝑦′
1 − � 𝑦𝑦 �
1 − 0,50
𝑠𝑠 =
=
= −0,50 m.
(−2,0) · 0,50
𝑦𝑦′
𝑃𝑃 � 𝑦𝑦 �
El objeto debe situarse a 50 cm de la lente (no es necesario especificar que a la izquierda porque
los dos lados de una lente son iguales a la hora de crear una imagen).
Solución: a) Aplicando la Ecuación del aumento lateral [el tamaño de la imagen es negativo
porque la imagen es real (se proyecta en una pantalla) e invertida] y la fundamental de las lentes:
𝑦𝑦′ 𝑠𝑠′
𝑦𝑦 𝑠𝑠′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
=
⇔
𝑠𝑠 =
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑦𝑦′
1 1 1
1
1
1
𝑦𝑦′
1
𝑦𝑦′
1
− =
⇔ −
= −
= �1 − � =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑠𝑠′ 𝑦𝑦 𝑠𝑠′ 𝑠𝑠′ 𝑦𝑦 𝑠𝑠′ 𝑠𝑠′
𝑦𝑦
𝑓𝑓′
𝑦𝑦′
𝑦𝑦′
−0,40 m
𝑠𝑠 ′ = 𝑓𝑓 ′ �1 − � = 0,50 m · �1 −
� = 4,50 m.
𝑦𝑦
0,05 m
b) Aplicando la ecuación que relaciona los radios de una lente con su distancia focal, y teniendo
en cuenta que la lente es simétrica (R1 = −R2):
1 1
1
1
1
1
1
2 (𝑛𝑛 − 1)
− = (𝑛𝑛 − 1) � − � = = 𝑃𝑃 = (𝑛𝑛 − 1) � + � ⇒ 𝑅𝑅1 = 2 (𝑛𝑛 − 1) 𝑓𝑓′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠
𝑅𝑅1 𝑅𝑅2
𝑓𝑓′
𝑅𝑅1 𝑅𝑅1
𝑃𝑃
𝑅𝑅1 = 2 · (1,5 − 1) · 0,50 m = 0,50 m.
Aplicando la definición de potencia:
1
1
𝑃𝑃 =
⇔ 𝑃𝑃 =
= 2,0 m−1 = +2,0 D.
𝑓𝑓′
0,50 m
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
169.– Una lente convergente de 10 cm de distancia focal se utiliza para formar la imagen de un
objeto luminoso lineal colocado perpendicularmente a su eje óptico y de tamaño y = 1,0 cm.
a) ¿Dónde hay que colocar el objeto para que su imagen se forme 14 cm por detrás de la lente?
¿Cuál es la naturaleza y el tamaño de esta imagen?
b) ¿Dónde hay que colocar el objeto para que su imagen se forme 8,0 cm por delante de la
lente? ¿Cuál es la naturaleza y el tamaño de esta imagen?
Efectúe la construcción geométrica en ambos casos.
a) s = −35 cm; real, invertida y menor (y' = −4,0 mm) ; b) s ≈ −4,4 cm; virtual, derecha y
mayor (y' = 1,8 cm).
10
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de las lentes:
1 1 1
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠′
− =
⇔ 𝑠𝑠 =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓′ − 𝑠𝑠′
0,10 m · 0,14 m
𝑠𝑠 =
= −0,35 m.
0,10 m − 0,14 m
𝑦𝑦 𝑠𝑠′
𝑦𝑦 𝑠𝑠′
𝑦𝑦 (𝑓𝑓′ − 𝑠𝑠′)
𝑦𝑦′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠′ ⇔ 𝑦𝑦′ =
=
=
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠′
𝑓𝑓′
𝑠𝑠
𝑓𝑓′ − 𝑠𝑠′
0,010 m · (0,10 m − 0,14 m)
𝑦𝑦′ =
= −0,004 0 m.
0,10 m
El objeto está 35 cm por delante de la lente (s < 0). La imagen es real (por estar detrás de la
lente), está invertida (y'/y < 0) y es dos veces y media más pequeña que el objeto (|y'| = 0,004 0 m).
b) Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de las lentes:
1 1 1
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠′
− =
⇔ 𝑠𝑠 =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓′ − 𝑠𝑠′
0,10 m · (−0,080 m)
𝑠𝑠 =
≅ −0,044 m
0,10 m − (−0,080 m)
𝑦𝑦 𝑠𝑠′
𝑦𝑦 𝑠𝑠′
𝑦𝑦 (𝑓𝑓′ − 𝑠𝑠′)
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔ 𝑦𝑦′ =
=
=
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠′
𝑠𝑠
𝑓𝑓′
𝑓𝑓′ − 𝑠𝑠′
0,010 m · [0,10 m − (−0,080 m)]
𝑦𝑦 ′ =
= 0,018 m.
0,10 m
El objeto está 4,4 cm por delante de la lente (s < 0). La imagen es virtual (por estar delante de la
lente), está derecha (y'/y > 0) y es casi el doble del objeto (|y'| = 0,018 m).
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
170.– Una lente convergente de 10 cm de distancia focal se utiliza para formar la imagen de un
objeto luminoso lineal colocado perpendicularmente a su eje óptico y de tamaño y = 1,0 cm. La
luz va de izquierda a derecha.
a) ¿Dónde colocaremos el objeto si queremos que la imagen esté a la derecha de la lente y
tenga un tamaño dos veces mayor que el objeto? ¿Cuál es la naturaleza de la imagen? Dibuje
la construcción geométrica de la imagen.
b) ¿Dónde colocamos el objeto para que su imagen se forme 8,0 cm a la izquierda de la lente?
Caracterice la imagen y realice la construcción geométrica de la misma.
a) s = −15 cm; s’ = 30 cm; real, invertida y el doble de grande (y' = −2,0 cm) ; b)
s ≈ −4,4 cm; virtual, derecha y mayor (y' = 1,8 cm).
10
171.– Una lente convergente de un proyector de diapositivas, que tiene una distancia focal de
+15,0 cm, proyecta la imagen nítida de una diapositiva de 3,5 cm de ancho sobre una pantalla
que se encuentra a 4,00 m de la lente.
a) ¿A qué distancia de la lente está colocada la diapositiva?
b) ¿Cuál es el tamaño de la imagen formada por el proyector en la pantalla?
c) Construya gráficamente la imagen.
a) s ≈ −15,6 cm ; b) y' ≈ −90 cm.
10
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: a) Aplicando la Ecuación del aumento
lateral y la Ecuación fundamental de las lentes (el
aumento es negativo porque la imagen es real (y por
tanto está invertida) ya que se forma al otro lado de la
lente):
𝑦𝑦′ 𝑠𝑠′
= = −2 ⇔ 𝑠𝑠 ′ = −2 𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑦𝑦
1 1 1
1
1 1
3
1
− =
⇔
− =
⇔
=
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
−2 𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
−2 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
3 𝑓𝑓′
3 · 10 cm
𝑠𝑠 =
=
= −15 cm.
−2
−2
3𝑓𝑓′
= 3𝑓𝑓 ′ = 3 · 10 cm = 30 cm.
𝑠𝑠 ′ = −2 𝑠𝑠 = −2 ·
−2
El objeto está 15 cm por delante de la lente (s < 0). La imagen es real (por estar detrás de la
lente, está invertida (y'/y < 0) y es dos veces mayor que el objeto (|y'| = 0,020 m).
b) Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de las lentes:
1 1 1
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠′
− =
⇔ 𝑠𝑠 =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓′ − 𝑠𝑠′
0,10 m · (−0,080 m)
𝑠𝑠 =
≅ −0,044 m
0,10 m − (−0,080 m)
𝑦𝑦 𝑠𝑠′
𝑦𝑦 𝑠𝑠′
𝑦𝑦 (𝑓𝑓′ − 𝑠𝑠′)
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔ 𝑦𝑦′ =
=
=
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠′
𝑠𝑠
𝑓𝑓′
𝑓𝑓′ − 𝑠𝑠′
0,010 m · [0,10 m − (−0,080 m)]
𝑦𝑦 ′ =
= 0,018 m.
0,10 m
El objeto está 4,4 cm por delante de la lente (s < 0). La imagen es virtual (por estar delante de la
lente), está derecha (y'/y > 0) y es casi el doble del objeto (|y'| = 0,018 m).
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental de las lentes:
1 1 1
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠′
− =
⇔ 𝑠𝑠 =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓′ − 𝑠𝑠′
0,150 m · 4,00 m
𝑠𝑠 =
≅ ―0,156 m.
0,150 m − 4,00 m
b) Aplicando la Ecuación del aumento lateral:
𝑦𝑦′ 𝑠𝑠′
𝑠𝑠′
𝑓𝑓′ − 𝑠𝑠′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
= =
=
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠′
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑓𝑓′
𝑓𝑓′ − 𝑠𝑠′
𝑓𝑓′ − 𝑠𝑠′
𝑦𝑦 ′ = 𝑦𝑦
𝑓𝑓′
0,150 m − 4,00 m
𝑦𝑦 ′ = 0,035 cm ·
≅ −0,90 m.
0,150 m
La diapositiva está a 15,6 cm de la lente en el lado contrario a la pantalla (s < 0). La imagen es
real, está invertida (y'/y < 0) y es mayor que la diapositiva (90 cm de ancho).
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
172.– Una lente convergente forma, de un objeto real, una imagen también real, invertida y
aumentada 4,0 veces. Al desplazar el objeto 3,0 cm hacia la lente, la imagen que se obtiene es
virtual, derecha y con el mismo aumento en valor absoluto. Determine:
a) la distancia focal imagen y la potencia de la lente;
b) las distancias del objeto a la lente en los dos casos citados;
c) las respectivas distancias imagen;
d) las construcciones geométricas correspondientes.
a) f' = 6,0 cm; P ≈ +17 m−1 ; b) s1 = −0,075 m; s2' = −4,5 cm ; c) s1' = 30 cm; s2 ' = −18 cm.
10
173.– Una lente convergente proyecta sobre una pantalla la imagen de un objeto. El aumento es
de 10 y la distancia del objeto a la pantalla es de 2,7 m.
a) Determine las posiciones de la imagen y del objeto.
b) Dibuje la marcha de los rayos.
c) Calcule la potencia de la lente.
a) s ≈ −25 cm; s’ ≈ 2,5 m ; c) P ≈ +4,5 D.
10
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: a) Aplicando la Ecuación del aumento lateral y la Ecuación fundamental al primer
caso:
𝑦𝑦′1 𝑠𝑠′1
𝑦𝑦′1 𝑠𝑠1 = 𝑦𝑦1 𝑠𝑠′1 ⇔
=
= −4,0 ⇔ 𝑠𝑠′1 = −4 𝑠𝑠1
𝑦𝑦1
𝑠𝑠1
1
1
1
1
1
5
−4 𝑠𝑠1
− = =
− =
⇔ 𝑓𝑓 ′ =
.
𝑠𝑠′1 𝑠𝑠1 𝑓𝑓′ −4 𝑠𝑠1 𝑠𝑠1 −4 𝑠𝑠1
5
Aplicando la Ecuación del aumento lateral y la
Ecuación fundamental al segundo caso (con
s2 = s1 + 0,030 m):
𝑦𝑦′2 𝑠𝑠′2
𝑦𝑦′2 𝑠𝑠2 = 𝑦𝑦2 𝑠𝑠′2 ⇔
=
= 4,0 ⇔ 𝑠𝑠′2 = 4 𝑠𝑠2
𝑦𝑦2
𝑠𝑠2
1
1
1
1
1
−3
−4 𝑠𝑠2 −4 (𝑠𝑠1 + 0,030 m)
− = =
− =
⇔ 𝑓𝑓′ =
=
𝑠𝑠′2 𝑠𝑠2 𝑓𝑓′ 4 𝑠𝑠2 𝑠𝑠2 4 𝑠𝑠2
3
3
Igualando los dos valores de f' obtenidos:
−4 𝑠𝑠1 −4 (𝑠𝑠1 + 0,03 m)
=
⇔ −12 𝑠𝑠1 = −20 s1 − 0,60 m
5
3
−4 𝑠𝑠1 0,30 m
0,60 m = −8 𝑠𝑠1 ⇔ 𝑓𝑓 ′ =
=
= 0,060 m.
5
5
Aplicando la definición de potencia:
1
1
𝑃𝑃 = =
≅ +17 m−1 = +17 D.
𝑓𝑓' 0,060 m
b) Las distancias pedidas son:
0,60 m
0,60 m = −8 𝑠𝑠1 ⇔ 𝑠𝑠1 =
= −0,075 m
−8
𝑠𝑠2 = 𝑠𝑠1 + 0,03 m = −0,075 m + 0,030 m = −0,045 m.
c) Las distancias focales son:
s1' = −4 s1 = (−4)·(−0,075 m) = 0,30 m ; s2' = 4 s2 = 4·(−0,045 m) = −0,18 m.
d) Ver imágenes.
Solución: a) Aplicando la Ecuación del aumento lateral y la Ecuación fundamental de las lentes
(el aumento es negativo ya que la imagen está invertida, y d =s’ − s, ya que la imagen está a la
derecha del objeto, s’ > 0, y a que s ha de ser negativo, por convenio):
𝑦𝑦′ 𝑠𝑠′
𝑦𝑦′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
=
⇔ 𝑠𝑠 ′ = � � 𝑠𝑠 = 𝑀𝑀L 𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑑𝑑
𝑑𝑑 = 𝑠𝑠 ′ − 𝑠𝑠 = 𝑀𝑀L 𝑠𝑠 − 𝑠𝑠 = 𝑠𝑠 (𝑀𝑀L − 1) ; 𝑠𝑠 =
𝑀𝑀L − 1
𝑑𝑑
2,7 m
10
𝑑𝑑
27
m
𝑠𝑠 =
=
≅ −0,25 m ; 𝑠𝑠 ′ =
=
≅ 2,5 m.
−11
−11
11
11
b) La potencia de la lente es la inversa de la distancia focal
imagen (en metros):
1 1 1
1
1 𝑀𝑀L − 1 𝑀𝑀L (𝑀𝑀L − 1) −(𝑀𝑀L − 1)2
− = = 𝑃𝑃 =
− =
−
=
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑀𝑀L 𝑠𝑠 𝑠𝑠
𝑀𝑀L 𝑑𝑑
𝑀𝑀L 𝑑𝑑
𝑀𝑀L 𝑑𝑑
2
−(−10 − 1)
−121
𝑃𝑃 =
=
≅ +4,5 m−1 = +4,5 D.
−10 · 2,7 m
−27 m
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
174.– Una lente convergente tiene una distancia focal de 20 cm. Calcule la posición y aumento
de la imagen que produce dicha lente para un objeto que se encuentra delante de ella a las
siguientes distancias:
a) 50 cm;
b) 15 cm.
Realice el trazado de rayos en ambos casos.
a) Al otro lado de la lente (s' ≈ 33 cm), real, invertida y menor (y' ≈ −0,67) ; b) En el mismo
lado (s' = −60 cm), virtual, derecha y de tamaño cuádruple (y' = 4,0).
10
175.– Una lente de vidrio de índice de refracción n = 1,70 tiene una potencia de −2,0 dioptrías y
una cara plana. ¿Cuál es el radio de la otra cara? Dibuje la forma de la lente.
R = ±35 cm.
10
176.– Una lente de vidrio esférica, delgada y biconvexa, cuyas caras tienen radios iguales a
5,0 cm, forma, a partir de un objeto, una imagen. Dicha imagen es real e invertida y tiene un
tamaño que es la mitad que el del objeto. Determine:
a) la distancia focal;
b) las posiciones del objeto y de la imagen.
Datos: Índice de refracción del vidrio nvidrio = 1,50
10
a) f' = 5,0 cm ;
b) s = −15 cm; s' = 7,5 cm.
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de las lentes:
1 1 1
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
− =
⇔ 𝑠𝑠′ = ′
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠
(
)
0,20 m · −0,50 m
𝑠𝑠′ =
≅ 0,33 m.
0,20 m + (−0,50 m)
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
′ + 𝑠𝑠
𝑦𝑦′
𝑠𝑠′
𝑓𝑓
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
= =
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑓𝑓′
0,20 m
𝑦𝑦′
= ′
=
≅ −0,67.
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠 0,20 m + (−0,50 m)
𝑦𝑦
La imagen está a 33 cm de la lente y en el lado contrario que el objeto (s' > 0), por lo que es real,
está invertida (y'/y < 0) y menor que el objeto (las 2/3 partes).
b) Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de las lentes:
1 1 1
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
− =
⇔ 𝑠𝑠′ = ′
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠
(
)
0,20
m
·
−0,15
m
𝑠𝑠 ′ =
= −0,60 m.
0,20 m + (−0,15 m)
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
′ + 𝑠𝑠
𝑦𝑦′
𝑠𝑠′
𝑓𝑓
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
= =
𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑦𝑦′
𝑓𝑓′
0,20 m
= ′
=
= 4,0.
𝑦𝑦
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠 0,20 m + (−0,15 m)
La imagen está a 60 cm de la lente en el mismo lado que el objeto (s' < 0), por lo que es virtual,
está derecha (y'/y > 0) y es de tamaño cuádruple del del objeto.
Solución: Aplicando la ecuación que relaciona los radios de una
lente con su potencia, y teniendo en cuenta que R2 = ±∞ (por ser una
cara plana −da igual cuál de las dos caras sea porque la lente ha de ser
planocóncava por tener potencia negativa−):
1 1
1
1
1
1
𝑃𝑃
− = (𝑛𝑛 − 1) � − � = = 𝑃𝑃 ������
=
𝑅𝑅2 =±∞
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠
𝑅𝑅1 𝑅𝑅2
𝑓𝑓′
𝑅𝑅1 𝑛𝑛 − 1
𝑛𝑛 − 1 1,70 − 1
𝑅𝑅1 =
=
= −0,35 m.
𝑃𝑃
−2,0
El radio es de 35 cm, negativo si la lente es concavoplana y positivo si es planocóncava.
Solución: a) Por ser plano biconvexa, el valor de R1 es positivo, mientras que el de R2 es
negativo. Aplicando la Ecuación fundamental de las lentes:
1 1
1
1
1
1
𝑅𝑅2 − 𝑅𝑅1
− = (𝑛𝑛 − 1) � − � = ′ ⇔
= (𝑛𝑛 − 1) �
�
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠
𝑅𝑅1 𝑅𝑅2
𝑓𝑓
𝑓𝑓′
𝑅𝑅1 𝑅𝑅2
𝑅𝑅1 𝑅𝑅2
0,050 m · (−0,050 m)
𝑓𝑓′ =
=
= 0,050 m.
(𝑛𝑛 − 1)(𝑅𝑅2 − 𝑅𝑅1 ) (1,50 − 1) · (−0,050 m − 0,050 m)
b) Aplicando la Ecuación del aumento lateral y la Ecuación fundamental de las lentes (el
aumento es negativo porque la imagen se forma invertida):
𝑦𝑦′ 𝑠𝑠′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
= = −0,50 ⇔ 𝑠𝑠 = −2 𝑠𝑠′
𝑦𝑦
𝑠𝑠
1 1 1
1
1
1
3
1
− =
⇔
−
=
⇔
=
𝑠𝑠′ −2 𝑠𝑠′ 𝑓𝑓′
2 𝑠𝑠′ 𝑓𝑓′
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
3 𝑓𝑓′
3 · 0,050 m
𝑠𝑠 ′ =
=
= 0,075 m ; 𝑠𝑠 = −2 𝑠𝑠 ′ = −0,15 m.
2
2
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
177.– Una lente delgada convergente de 10 cm de distancia focal se utiliza para obtener una
imagen de tamaño doble que el objeto. Determine a qué distancia se encuentra el objeto y su
imagen de la lente si:
a) la imagen está derecha;
b) la imagen está invertida.
Realice en cada caso el diagrama de rayos.
a) s = −5,0 cm; s' = −10 cm ; b) s = −15 cm; s' = 30 cm.
10
10
178.– Una lente delgada convergente forma, de un objeto real de 2,0 cm de altura situado a
1,0 m de distancia de la lente, una imagen, también real, situada a 75 cm de distancia de dicha
lente.
a) Determine el tamaño de la imagen y la potencia de la lente.
b) Compruebe los resultados mediante el trazado de rayos.
a) y' = −1,5 cm ; P ≈ +2,3 D.
179.– Una lente delgada convergente proporciona de un objeto situado delante de ella una
imagen real, invertida y de doble tamaño que el objeto. Sabiendo que dicha imagen se forma a
30 cm de la lente, calcule:
a) la distancia focal de la lente;
b) la posición y naturaleza de la imagen que dicha lente formará de un objeto situado 5,0 cm
delante de ella, efectuando su construcción geométrica.
a) f' = 10 cm ; b) s' = −10 cm; y'/y = 2,0; imagen virtual (delante de la lente y en el foco
objeto, s' = −10 cm), derecha y el doble de grande (y' = 2,0 y).
10
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: a) Aplicando la Ecuación del aumento lateral [el tamaño de la imagen es positivo
porque la imagen está derecha, y por tanto es virtual] y la fundamental de las lentes:
𝑦𝑦′ 𝑠𝑠′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
= = 2,0 ⇔ 𝑠𝑠′ = 2 𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑠𝑠
1 1 1
1
2
1
−1 1
− =
⇔
−
=
⇔
=
2 𝑠𝑠 2 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
2 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
−𝑓𝑓′ −0,10 m
𝑠𝑠 =
=
= −0,050 m
2
2
𝑠𝑠′ = 2 𝑠𝑠 = −𝑓𝑓′ = −0,10 m.
b) Aplicando la Ecuación del aumento lateral [el tamaño de la imagen es negativo porque la
imagen está invertida, y por tanto es real] y la fundamental de las lentes:
𝑦𝑦′ 𝑠𝑠′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
= = −2,0 ⇔ 𝑠𝑠′ = −2 𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑠𝑠
1
−2
1
3
1
1 1 1
− =
⇔
−
=
⇔
=
−2 𝑠𝑠 −2 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
−2 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
−3 𝑓𝑓′ −3 · 0,10 m
𝑠𝑠 =
=
= −0,15 m
2
2
𝑠𝑠 ′ = −2 𝑠𝑠 = 3 𝑓𝑓 ′ = 3 · 0,10 m = 0,30 m.
Solución: a) Aplicando la ecuación del aumento lateral de las lentes y teniendo en cuenta que
una imagen real está invertida, el criterio de signos debe dar negativo para y':
𝑦𝑦 𝑠𝑠′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔ 𝑦𝑦′ =
𝑠𝑠
0,020 m · 0,75 m
𝑦𝑦′ =
= −0,015 m.
−1,0 m
La imagen mide 1,5 cm (menor que el objeto) y
está invertida.
Aplicando la Ecuación fundamental de las lentes:
1 1 1
𝑠𝑠 − 𝑠𝑠′ (−1,0 m) − 0,75 m
− = = 𝑃𝑃 ⇔ 𝑃𝑃 =
=
≅ 2,3 m−1 ≅ +2,3 D.
(−1,0 m) · 0,75 m
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑠𝑠 𝑠𝑠′
b) Ver imagen.
Solución: a) Aplicando la Ecuación del aumento lateral y la Ecuación fundamental de las lentes
(el aumento es negativo porque la imagen se forma invertida; s' > 0, por ser real la imagen):
𝑦𝑦′
𝑠𝑠′
𝑦𝑦
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
=
⇔ 𝑠𝑠 = � � 𝑠𝑠′
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑦𝑦′
𝑦𝑦
𝑦𝑦′
� �−1 1−� �
1 1 1
1
1
𝑠𝑠 ′
0,30 m
𝑦𝑦′
𝑦𝑦
− = = −
=
=
⇒ 𝑓𝑓 ′ =
=
= 0,10 m.
′
𝑦𝑦
𝑦𝑦
(−2,0)
𝑠𝑠′
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′ 𝑠𝑠′ � 𝑦𝑦 � 𝑠𝑠′
1
−
� � 𝑠𝑠′
1 − � 𝑦𝑦 �
𝑦𝑦′
𝑦𝑦′
b) Aplicando las mismas ecuaciones:
1 1 1
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
− =
⇔ 𝑠𝑠′ = ′
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠
(
)
0,10
m
·
−0,050
m
𝑠𝑠 ′ =
= −0,10 m.
0,10 m + (−0,050 m)
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
′ + 𝑠𝑠
𝑦𝑦′
𝑠𝑠′
𝑓𝑓
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
= =
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑦𝑦′
𝑓𝑓′
0,10 m
= ′
=
= 2,0.
𝑦𝑦
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠 0,10 m + (−0,050 m)
La imagen está 10 cm por delante de la lente en el mismo lado que el objeto (s' < 0), en el foco
objeto (s' = −f'), y por tanto es virtual, está derecha (y'/y > 0) y es el doble del objeto (y' = 2,0 y).
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
180.– Una lente delgada convergente proporciona de un objeto situado delante de ella una
imagen real, invertida y de doble tamaño que el objeto. Sabiendo que dicha imagen se forma a
30 cm de la lente, calcule:
a) la potencia de la lente en dioptrías;
b) la posición y características de la imagen que dicha lente formará de un objeto situado a
5,0 cm delante de ella, efectuando su construcción geométrica.
a) P = +10 D ; b) s' = −0,10 m; y'/ y = 2; imagen virtual (delante de la lente y en el foco
objeto, s' = −0,10 m), derecha y el doble de grande (y' = 2,0 y).
10
181.– Una lente planoconvexa está hecha de un plástico con un índice de refracción de 1,7 y sus
distancias focales son iguales a 40 cm. Calcule:
a) el radio de curvatura de la lente;
b) la distancia a la que focaliza un objeto de 2,0 mm de tamaño situado a 0,80 m de la lente;
c) el tamaño de la imagen producida por el objeto anterior.
a) R1 = ∞; R2 = −28 cm ; b) s' = 80 cm (real −al otro lado de la lente−) ; c) y' = −2,0 mm
10 (igual e invertida).
182.– Una lupa se emplea para poder observar con detalle objetos de pequeño tamaño.
a) Explique el funcionamiento óptico de una lupa: ¿Qué tipo de lente es, convergente o
divergente? ¿Dónde debe situarse el objeto a observar? La imagen que produce, ¿es real o
virtual? ¿Derecha o invertida?
10
b) Dibuje un trazado de rayos que explique gráficamente el proceso de formación de imagen
de una lupa.
a) Es una lente convergente. El objeto se encuentra entre el foco y la lente y da lugar a una
imagen virtual, derecha y mayor que el objeto.
183.– Una moneda de un céntimo de euro se coloca 45 cm por delante de una lente divergente de
distancia focal −300 mm. Haga un diagrama con los tres rayos principales para mostrar dónde se
forma su imagen.
10
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: a) Aplicando la Ecuación del aumento lateral y la Ecuación fundamental de las lentes
(el aumento es negativo porque la imagen se forma invertida; s' > 0, por ser real la imagen):
𝑦𝑦′
𝑠𝑠′
𝑦𝑦
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
=
⇔ 𝑠𝑠 = � � 𝑠𝑠′
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑦𝑦′
𝑦𝑦
𝑦𝑦′
� � − 1 1 − � � 1 − (−2)
1 1 1
1
1
𝑦𝑦′
𝑦𝑦
− = = 𝑃𝑃 = −
=
=
=
= 10 m−1 = +10 D.
𝑦𝑦
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑠𝑠′ � 𝑦𝑦 � 𝑠𝑠′
0,30
m
𝑠𝑠′
� � 𝑠𝑠′
𝑦𝑦′
𝑦𝑦′
b) Aplicando las mismas ecuaciones:
1 1 1
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
− =
⇔ 𝑠𝑠′ =
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
0,10 m · (−0,050 m)
𝑠𝑠′ =
= −0,10 m.
0,10 m +(−0,050 m)
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
𝑦𝑦′
𝑠𝑠′
𝑓𝑓′
+ 𝑠𝑠
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
= =
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑓𝑓′
0,10 m
𝑦𝑦′
=
=
=2,0.
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠 0,10 m + (−0,050 m)
𝑦𝑦
La imagen está 10 cm por delante de la lente en el mismo lado que el objeto (s' < 0), en el foco
objeto (s' = −f'), y por tanto es virtual, está derecha (y'/y > 0) y es el doble del objeto (y' = 2,0 y).
Solución: a) Por ser plano convexa, el valor de R1 es infinito, por ser plana. Aplicando la
Ecuación fundamental de las lentes (f' es positiva por ser una lente planoconvexa (convergente):
1 1
1
1
1
1
1
1
− = (𝑛𝑛 − 1) � − � ⇔
+
= (1,70 − 1) · � − �
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠
𝑅𝑅1 𝑅𝑅2
0,40 m −∞
∞ 𝑅𝑅2
1
2,5 m−1 = 0,70 · �− � ⇔ 𝑅𝑅2 = −0,28 m.
𝑅𝑅2
b) Aplicando la Ecuación de las lentes:
1 1 1
1
1
1
− =
⇔
−
=
⇔ 𝑠𝑠′ = 0,80 m.
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑠𝑠′ −0,80 m 0,40 m
c) Teniendo en cuenta que el tamaño de una imagen viene dado
por: y n s' = y' n' s, y como n' = n = 1 (en una lente)
𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′
2,0 mm · 0,80 m
𝑦𝑦′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠′ ⇔ 𝑦𝑦 ′ =
=−
= −2,0 mm.
𝑠𝑠
−0,80 m
Solución: a) Es una lente convergente en la que
el objeto se pone a menor distancia de la lente que
la distancia focal, por lo que la imagen obtenida es
virtual, derecha y mayor. Eso nos permite observar
objetos pequeños con un tamaño mayor al que
realmente tienen.
b) Ver imagen.
Solución: La imagen pedida es:
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
184.– Una persona hipermétrope tiene el punto próximo a 0,60 m. ¿Qué tipo de lente correctora
utilizará para poder leer con claridad un libro situado a 0,30 m? Justifique su respuesta.
Una lente convergente con potencia: P ≈ +1,67 D ; f’ = 60 cm.
10
185.– Una persona utiliza una lente con una potencia P = −2,0 dioptrías. Explique qué defecto
visual padece, el tipo de lente que utiliza y el motivo por el que dicha lente proporciona una
corrección de su defecto.
Padece miopía (no ver con nitidez los objetos situados a distancias grandes del ojo), que se
corrige con el uso de una lente divergente, que crea imágenes virtuales de los objetos a distancias
más cercanas al ojo, dentro del límite de visión nítida de éste.
10
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: La hipermetropía es una ametropía del ojo (un defecto visual) que se da cuando el ojo
tiene la córnea y el cristalino (que son las lentes que permiten que las imágenes que se forman se
proyecten directamente sobre la retina) con menor curvatura de lo normal por lo que se comporta
como una lente convergente con una distancia focal mayor de la necesaria (o sea, de menor
potencia que la que debería tener). Si situamos delante de la córnea una lente convergente que
compense el defecto de potencia del cristalino, conseguimos que las imágenes se proyecten
debidamente en la retina.
La lente añadida ha de crear la imagen del libro
(s = −0,30 m) en el punto donde el ojo puede verlo
nítidamente, que es el punto próximo. Por tanto,
aplicando la Ecuación fundamental de las lentes:
𝑠𝑠 𝑠𝑠′
1 1 1
− = = 𝑃𝑃 ⇔ 𝑓𝑓′ =
𝑠𝑠 − 𝑠𝑠′
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
−0,30 m · (−0,60 m)
𝑓𝑓 ′ =
= 0,60 m.
−0,30 m − (−0,60 m)
1
1
𝑃𝑃 =
−
≅ +1,67 m−1 = +1,67 D.
−0,60 m −0,30 m
La distancia focal imagen es 60 cm y la potencia, +1,67 D.
Solución: La lente es divergente ya que la potencia es
negativa, lo que implica una distancia focal imagen también
negativa. Ese es el tipo de lente que se utiliza para corregir
la miopía.
Un ojo miope ve mal a distancia (debido a un exceso de
curvatura del cristalino con respecto a la longitud del ojo),
mientras que de cerca ve bien. La lente divergente consigue
crear una imagen virtual de los objetos dentro del límite de
visión donde se ve bien. Por tanto, la lente “pondrá” la
imagen virtual de un objeto situado en el infinito (distancia focal de la lente) a la distancia de
visión correcta.
La lente divergente "acerca" los objetos que se encuentran en el infinito creando una imagen de
ellos en el "punto remoto" (que coincide con el punto focal imagen) que es la máxima distancia a la
que el ojo miope ve nítidamente. Acerca los objetos más cercanos a un punto entre el punto remoto
y la lente, por lo que la persona consigue "ver" todos los objetos (lo que "ve" realmente es la
imagen virtual de ellos provocada por la presencia de la lente) dentro del margen de su visión
nítida.
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
186.– Una superficie convexa separa dos medios con índices de refracción n1 = 1,0 y n2 = 1,6
respectivamente. Si un objeto que se encuentra a 40 cm del vértice en el primer medio tiene su
imagen en el segundo medio a 64 cm del vértice,
a) ¿cuál es el radio de curvatura de la superficie?;
b) ¿cuáles son las distancias focales objeto e imagen?;
c) ¿cuál es la relación de tamaños entre objeto e imagen para el objeto anterior?
a) R = 12 cm ; b) f = −20 cm; f' = 32 cm ; c) y'/ y = −1,0; son iguales pero la imagen está
invertida.
10
10
187.– Una varilla de vidrio recta y larga de índice de refracción n = 1,5, termina por un extremo
en una cara esférica convexa de 8,0 cm de radio. Calcule la posición y tamaño de la imagen que
esa cara produce de una flecha luminosa de 4,0 mm colocada de pie sobre el eje, en el aire, a
20 cm del vértice.
La imagen se encuentra dentro de la varilla a 1,2 m (s' = 120 cm), está invertida y tiene cuatro
veces el tamaño del objeto (1,6 cm).
188.– Usando una lente delgada convergente con distancias focales f = f' = 4,0 cm, mediante un
diagrama de rayos, determine la posición y el aumento lateral de la imagen que produce dicha
lente de un objeto de 1,5 cm de altura situado perpendicularmente al eje óptico a 6,0 cm de la
lente y expóngase las características de dicha imagen.
La imagen es real, invertida, el doble que el objeto (y'/ y = −2,0) y se encuentra en el otro lado
de la lente a 12 cm, con un tamaño de 3,0 cm de altura.
10
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: a) Aplicando la Ecuación fundamental de los dioptrios:
(𝑛𝑛2 − 𝑛𝑛1 ) 𝑠𝑠 𝑠𝑠′
𝑛𝑛2 𝑛𝑛1 𝑛𝑛2 − 𝑛𝑛1
𝑛𝑛2 − 𝑛𝑛1
𝑛𝑛2 − 𝑛𝑛1
− =
⇔ 𝑅𝑅 = 𝑛𝑛
=
=
𝑛𝑛
2
𝑠𝑠′
𝑠𝑠
𝑅𝑅
𝑛𝑛2 𝑠𝑠 − 𝑛𝑛1 𝑠𝑠′
− 𝑠𝑠1 𝑛𝑛2 𝑠𝑠 − 𝑛𝑛1 𝑠𝑠′
𝑠𝑠′
𝑠𝑠 𝑠𝑠′
𝑠𝑠 𝑠𝑠′
(1,6 − 1,0) · (−40 cm) · 64 cm
𝑅𝑅 =
= 12 cm.
1,6 · (−40 cm) − 1,0 · 64 cm
b) Aplicando la Ecuación fundamental de los dioptrios para cada uno de los focos (teniendo en
cuenta que para s = f ⇒ s' = +∞ y para s' = f' ⇒ s = −∞):
𝑛𝑛2
𝑛𝑛1
𝑛𝑛2 − 𝑛𝑛1
𝑛𝑛2 𝑠𝑠 − 𝑛𝑛1 𝑠𝑠′
𝑛𝑛2 𝑠𝑠 𝑠𝑠′
−
=
=
⇔ 𝑓𝑓′ =
𝑠𝑠 𝑠𝑠′
𝑛𝑛2 𝑠𝑠 − 𝑛𝑛1 𝑠𝑠′
𝑓𝑓′ −∞ (𝑛𝑛2 − 𝑛𝑛1 ) 𝑠𝑠 𝑠𝑠′
𝑛𝑛2 𝑛𝑛1 𝑛𝑛2 − 𝑛𝑛1
𝑛𝑛2 𝑠𝑠 − 𝑛𝑛1 𝑠𝑠′
− =
⇔
𝑛𝑛
𝑛𝑛
𝑛𝑛2 − 𝑛𝑛1
𝑛𝑛2 𝑠𝑠 − 𝑛𝑛1 𝑠𝑠′
𝑛𝑛1 𝑠𝑠 𝑠𝑠′
𝑠𝑠′
𝑠𝑠
𝑅𝑅
2
1
−
=
=
⇔ 𝑓𝑓 =
(𝑛𝑛2 − 𝑛𝑛1 ) 𝑠𝑠 𝑠𝑠′
𝑠𝑠 𝑠𝑠′
𝑛𝑛1 𝑠𝑠′ − 𝑛𝑛2 𝑠𝑠
+∞ 𝑓𝑓
𝑛𝑛2 𝑠𝑠 − 𝑛𝑛1 𝑠𝑠′
1,60 · (−40 cm) · 64 cm
1,0 · (−40 cm) · 64 cm
𝑓𝑓 ′ =
= 32 cm ; 𝑓𝑓 =
= −20 cm.
1,60 · (−40 cm) − 1,0 · 64 cm
1,0 · 64 cm − 1,6 · (−40 cm)
c) Aplicando la ecuación del aumento lateral:
𝑛𝑛1 𝑠𝑠′
1,0 · 64 cm
𝑀𝑀L =
=
= −1,0.
𝑛𝑛2 𝑠𝑠 1,6 · (−40 cm)
La imagen es del mismo tamaño pero invertida.
Solución: Tal como explica el enunciado, el objeto está en el aire (na = 1,0) por lo que los rayos
provenientes de él se encuentran con un dioptrio convexo y pasan al vidrio. Por tanto, y aplicando
la Ecuación Fundamental de los dioptrios:
𝑛𝑛 𝑛𝑛 − 𝑛𝑛a 𝑛𝑛a
𝑅𝑅 𝑠𝑠 𝑛𝑛
𝑅𝑅
𝑛𝑛 𝑛𝑛a 𝑛𝑛 − 𝑛𝑛a
− =
⇔
=
+
⇔ 𝑠𝑠′ =
=
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠
𝑅𝑅
𝑠𝑠′
𝑅𝑅
𝑠𝑠
𝑛𝑛 𝑠𝑠 − 𝑛𝑛a 𝑠𝑠 + 𝑛𝑛a 𝑅𝑅 1 + 𝑛𝑛a �𝑅𝑅 − 1�
𝑛𝑛 𝑠𝑠
8,0 cm
𝑠𝑠′ =
= 1,2 m.
1,0 8,0 cm
1 + 1,5 · �−20 cm − 1�
Aplicando la ecuación del aumento lateral:
𝑛𝑛a 𝑠𝑠′
1,0 · 120 cm
𝑀𝑀L =
=
= −4,0.
𝑛𝑛 𝑠𝑠
1,5 · (−20 cm)
La imagen es cuatro veces mayor (16 mm) pero invertida.
Solución: Aplicando la Ecuación Fundamental de las lentes:
1 1 1
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
− =
⇔ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
0,040 m · (−0,060 m)
𝑠𝑠 ′ =
= 0,12 m.
0,040 m + (−0,060 m)
Aplicando la Ecuación del Aumento lateral:
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
𝑦𝑦′
𝑠𝑠′
𝑓𝑓′
𝑓𝑓′
+ 𝑠𝑠
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
= =
=
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
𝑦𝑦′
0,040 m
=
≅ −2,0.
𝑦𝑦
0,040 m + (−0,060 m)
La imagen es real, está invertida (y'/ y < 0) y es el doble que el objeto, por lo que mide 3,0 cm de
alta.
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
189.–
Usando una lente delgada convergente con distancias focales f = f' = 5,0 cm, mediante un
diagrama de rayos, determine la posición y el aumento lateral de la imagen que produce dicha
lente de un objeto de 2,0 cm de altura situado perpendicularmente al eje óptico a 8,0 cm de la
lente y expóngase las características de dicha imagen.
La imagen es real, invertida, mayor (y'/ y = −5/3) y se encuentra en el otro lado de la lente a
13 cm y con un tamaño de 3,3 cm de altura.
10
190.– Usando una lente delgada divergente con distancias focales f = f' = 5,0 cm, mediante un
diagrama de rayos, determine la posición y el aumento lateral de la imagen que produce dicha
lente de un objeto de 1,5 cm de altura situado perpendicularmente al eje óptico a 8,0 cm de la
lente y expóngase las características de dicha imagen.
Imagen virtual, derecha, menor (5,8 mm de altura; y'/ y ≈ 0,38) situada en s' ≈ −3,1 cm.
10
191.– Utilizando el trazado de rayos, explique la formación de imágenes por una lente
divergente, para sendos objetos situados respecto de la lente el primero más lejos del foco
imagen y el segundo más cerca que el foco imagen, indicando si las imágenes son reales o
virtuales, derechas o invertidas y mayores o menores que los objetos.
Siempre se obtiene una imagen al mismo lado de la lente (s' < 0), virtual, derecha, menor y
más cercana a la lente que el foco y el objeto.
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Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: Aplicando la Ecuación fundamental de
las lentes:
1 1 1
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
− =
⇔ 𝑠𝑠′ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
0,050 m · (−0,080 m)
𝑠𝑠′ =
≅ 0,13 m.
0,050 m + (−0,080 m)
Aplicando la Ecuación del aumento lateral:
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
′ + 𝑠𝑠
𝑦𝑦′
𝑠𝑠′
𝑓𝑓′
𝑓𝑓
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
= =
=
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑦𝑦′
0,050 m
=
≅ −1,67.
𝑦𝑦 0,050 m + (−0,080 m)
La imagen es real, está invertida (y'/y < 0) y es 1,67 veces mayor que el objeto, por lo que mide
3,3 cm de alta.
Solución: Hay un pequeño error en el enunciado ya que las distancias focales de una lente son
siempre las mismas (por lo que no habría que especificarlo) pero con signos opuestos (lo que no se
da como dato del problema). Consideramos f' = −5,0 cm ya que las distancias focales imagen de las
lentes divergentes son negativas.
Aplicando la Ecuación fundamental y la Ecuación del aumento lateral de las lentes:
1 1 1
− =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
−5,0 cm · ( − 8,0 cm)
𝑠𝑠′ =
=
≅ −3,1 cm.
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠 −5,0 cm + ( − 8,0 cm)
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
𝑦𝑦′
𝑠𝑠′
𝑓𝑓′
𝑓𝑓′
+ 𝑠𝑠
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
= =
=
𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
𝑦𝑦′
−5,0 cm
=
≅ 0,38.
𝑦𝑦
−5,0 cm + ( − 8,0 cm)
Es una imagen virtual, derecha, al mismo lado de la lente, más cerca de ella y menor.
Solución: Aplicando la Ecuación fundamental de las lentes y la correspondiente del aumento
lateral tenemos (f' < 0, por ser divergente):
1 1 1
− =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
𝑠𝑠′ =
< 0 (ya que 𝑓𝑓′ y 𝑠𝑠 son negativos).
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
𝑦𝑦′
𝑠𝑠′
𝑓𝑓′
𝑦𝑦′
𝑓𝑓′
+ 𝑠𝑠
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
= =
=
⇔
< 1.
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
𝑦𝑦
La imagen está en el mismo lado de la lente (s' > 0), por lo que es virtual, más cerca de la lente
que el objeto, derecha (y'/y > 0), y es menor que el objeto (|y'/ y| < 1).
En el caso de que el objeto esté más lejos que el foco (tomamos s = a f’ con a > 1):
𝑓𝑓 ′ 𝑠𝑠
𝑓𝑓 ′ (𝑎𝑎 𝑓𝑓 ′ )
𝑎𝑎
𝑠𝑠 ′ = ′
= ′
=
𝑓𝑓 ′ < 𝑓𝑓 ′ .
′
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠 𝑓𝑓 + 𝑎𝑎 𝑓𝑓
1 + 𝑎𝑎
la imagen está entre el foco y la lente (f’ < 0).
En el caso de que el objeto esté más cerca que el foco
(tomamos f’ = b s con b > 1):
(𝑏𝑏 𝑠𝑠) 𝑠𝑠
𝑓𝑓 ′ 𝑠𝑠
𝑏𝑏
𝑠𝑠 ′ = ′
=
=
𝑠𝑠 < 𝑠𝑠.
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠 𝑏𝑏 𝑠𝑠 + 𝑠𝑠 𝑏𝑏 + 1
la imagen está entre la lente y el objeto (ya que s < 0).
Por tanto, la imagen siempre está más cerca de la lente que el objeto y el foco.
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
−Óptica geométrica−
02/05/2015
192.– Utilizando las oportunas gráficas de formación de imágenes,
a) deduzca qué características comunes poseen las imágenes producidas por las lentes
delgadas divergentes y por los espejos convexos;
b) para qué posiciones del objeto se manifiestan estas características comunes. Razone la
respuesta.
a) Imágenes virtuales, derechas, menores y más cercanas ; b) Para todas las posiciones.
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Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: a) Aplicando las Ecuaciones fundamentales de los espejos y las lentes y las
correspondientes del aumento lateral tenemos:
Lente divergente (f' < 0):
1 1 1
− =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓 ′ 𝑠𝑠
𝑠𝑠 ′ = ′
< 0 (ya que 𝑓𝑓 ′ y 𝑠𝑠 son negativos).
𝑓𝑓 + 𝑠𝑠
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
𝑦𝑦′
𝑠𝑠′
𝑓𝑓′
𝑦𝑦′
𝑓𝑓′
+ 𝑠𝑠
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = 𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
= =
=
⇔
< 1.
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑓𝑓′ + 𝑠𝑠
𝑦𝑦
𝑠𝑠
La imagen está en el mismo lado de la lente (s' > 0), por lo que es virtual, más cerca de la lente
que el objeto, derecha (y’/y > 0), y es menor que el objeto (|y’/y| < 1).
Espejo convexo:
1 1 1
+ =
𝑠𝑠′ 𝑠𝑠 𝑓𝑓′
𝑓𝑓 ′ 𝑠𝑠
𝑠𝑠 ′ =
> 0 (ya que 𝑓𝑓 ′ es positivo y 𝑠𝑠 es negativo).
𝑠𝑠 − 𝑓𝑓 ′
𝑓𝑓′ 𝑠𝑠
−
𝑦𝑦′
−𝑠𝑠′
−𝑓𝑓′
𝑦𝑦′
𝑠𝑠
− 𝑓𝑓′
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠 = −𝑦𝑦 𝑠𝑠 ′ ⇔
=
=
=
⇔
< 1.
𝑦𝑦
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑠𝑠 − 𝑓𝑓′
𝑦𝑦
La imagen está en el otro lado del espejo (s’ > 0), por lo que
es virtual, más cerca de la lente que el objeto, derecha (y’/y > 0), y es menor que el objeto
(|y’/y| < 1).
Dan imágenes virtuales, derechas, menores y más cercanas al dispositivo óptico que el objeto.
Estas características se cumplen para todas las posiciones posibles.