Lycée Maximilien Sorre
Année 2014-2015
BTS SIO 1
TD - Calcul des prédicats, langage ensembliste
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Langage ensembliste
Exercice 1.
Soient A, B et C des parties d’un ensemble E. Illustrer graphiquement les ensembles suivants :
4) A ∩ B ∩ C
7) A ∩ B ∩ C
1) A ∪ B
2) A ∪ B
5) A ∩ B ∩ C
8) (A ∩ B) ∪ (A ∩ B)
3) A ∩ B
6) A ∩ B ∩ C
9) (A ∩ B) ∪ (B ∪ C)
Exercice 2.
Soient A, B et C des parties d’un ensemble E. Simplifier :
11) (A ∩ B) ∪ (A ∩ B)
1) A ∩ ∅
6) A ∩ (A ∩ B)
2) A ∪ ∅
7) A ∪ (A ∪ B)
12) A ∪ A ∪ (A ∪ B)
3) A ∩ E
8) A ∩ A
13) (A ∩ B) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C)
4) A ∪ E
9) A ∩ (A ∩ B)
14) (A ∪ B ∪ C) ∩ C ∩ B
5) (A ∩ ∅) ∪ E
10) A ∪ (A ∪ B)
15) A ∪ B ∪ C ∩ A
Exercice 3 (Différence de deux ensembles).
Pour des parties A et B d’un ensemble E, on définit la différence de A et de B, notée A \ B par
A \ B = A ∩ B.
1) Illustrer cette notion par une figure.
2) Déterminer les ensembles A \ B, A \ A, A \ E et A \ ∅.
3) Montrer que si A, B et C sont des parties de E, on a (A \ B) \ C = A \ (B ∪ C).
Exercice 4 (Différence symétrique de deux ensembles).
Pour des parties A et B d’un ensemble E, on définit la différence symétrique de A et de B, notée
A∆B, par A∆B = (A ∪ B) \ (A ∩ B).
1) Illustrer cette notion par une figure. Justifier que A∆B = B∆A.
2) Exprimer A∆B uniquement à l’aide des opérateurs de complémentation, d’intersection et de
réunion.
3) Déterminer les ensembles A∆A, A∆E et A∆∅.
Exercice 5.
Soient A, B et C des parties d’un ensemble E. À l’aide de simples dessins, préciser si l’une ou l’autre
de ces implications est exacte :
a) A ∩ C = B ∩ C ⇒ A = B,
b) A ∪ C = B ∪ C ⇒ A = B.
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Prédicats
Exercice 6.
Soit P la proposition : “Tous les habitants du Val de Marne habitent à Cachan”.
1) Trouver E (l’ensemble), x (l’élément) et p(x) (le prédicat) , notations qui serviront à formaliser
P.
2) Formaliser P à l’aide de la question précédente et d’un quantificateur.
3) Énoncer P en français puis à l’aide de E, x, p(x) et de quantificateurs.
Exercice 7.
On considère la proposition suivante
P (x, y) : “x est la fille de y”.
Traduire en termes mathématiques les phrases suivantes :
1) Toute femme a une mère.
2) Toute femme a au moins deux filles.
3) Il existe une femme qui est la mère de toutes les autres femmes.
Exercice 8.
Les propositions suivantes sont-elles vraies ? Sinon, énoncer leur négation.
1) ∃x ∈ N, x2 > 5.
2) ∀x ∈ N, x2 > 5.
3) ∀x ∈ N, ∃y ∈ N, y > x2 .
4) ∃y ∈ N, ∀x ∈ N, y > x2 .
5) ∃x ∈ N, ∀y ∈ N, y > x2 .
6) ∀y ∈ N, ∃x ∈ N, y > x2 .
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