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Sixième / La symétrie axiale
1. Introduction
:
Exercice 1617
A
(d)
En regardant un papillon, on remarque que son côté gauche
et son côté droit sont identique : en pliant ses ailes, ses deux
motifs se superposent parfaitement.
D
B
C
1. Eﬀectuer le programme de tracé suivant :
a. Tracer la droite (d1 ) perpendiculaire à la droite (d)
passant par le point A.
b. Nommer H le point d’intersection de (d1 ) avec la droite
(d).
1. Plier la feuille de sorte comme si le papillon plie les ailes.
Remarquer que les points mis en évidence sur l’image se
superposent parfaitement.
2.
c. Placer le point A′ sur la droite (d1 ) tel qu’on ait l’égalité suivante de distance :
AH = HA′
a. Relier par un segment chaque couple de points “jumeaux”.
b. Que peut-on dire de la position de ces segments entre
eux ?
2. Eﬀectuer le programme de tracé suivant :
a. Tracer la droite (d2 ) perpendiculaire à la droite (d)
passant par le point B.
c. Que peut-on dire de la position de chacun de ces segments avec l’axe de pliage ?
b. Nommer I le point d’intersection de (d2 ) avec la droite
(d).
Exercice 1618
c. Placer le point B ′ sur la droite (d2 ) tel qu’on ait l’égalité suivante de distance :
BI = IB ′
La ﬁgure ci-dessous représente une droite (d) et quatre points
du plan :
3. Eﬀectuer le même type de tracé pour les points C et D.
4.
a. Tracer le quadrilatère ABCD. Quel est sa nature ?
b. Tracer le quadrilatère A′ B ′ C ′ D′ . Quel est sa nature ?
c. Que pouvez-vous dire de ces deux quadrilatères en rapport avec la droite (d) ?
2. Tracé sur quadrillage
:
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Exercice 2683
Exercice 3060
Eﬀectuer le symétrique des deux polygones ci-dessous relativement à chacun de leurs axes.
Tracer le symétrique du quadrilatère ABCD par rapport à
l’axe (d) :
(d)
a.
B
C
D
A
(d)
Exercice 3061
Tracer le symétrique du polygone ABCDE par rapport à
l’axe (d) :
(∆)
b.
A
B
(d)
C
E
Exercice 1621
Tracer le symétrique du polygone ABCDE par rapport à
l’axe (d) :
D
(d)
A
B
C
E
D
3. Tracé sur papier blanc
:
Exercice 2640
Tracer le symétrique du triangle ABC relativement à la droite
(d).
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A
(d)
A
B
(d)
C
B
1. Placer dans le cadre ci-dessus les points suivants :
C
a. Le point A′ symétrique du point A relativement à la
droite (d).
Exercice 2641
Tracer le symétrique du rectangle ABCD relativement à la
droite (d).
C
b. Le point B ′ symétrique du point B relativement à la
droite (d).
c. Le point C ′ tel que C et C ′ soient symétriques par
rapport à la droite (d).
2. Tracer le triangle A′ B ′ C ′ .
B
(d)
Exercice 1609
Ci-dessous sont représentés deux ﬁgures : un quadrilatère et
un carré avec un demi-cercle.
Tracer les symétriques de ces deux ﬁgures respectivement par
rapport aux droites (d) et (∆).
D
(d)
(∆)
A
Exercice 2642
On considère dans le cadre ci-dessous le triangle ABC et la
droite (d).
Exercice 2684
Ci-dessous sont représentés deux ﬁgures : un quadrilatère et
un demi-cercle ayant pour diamètre un des côtés du triangle.
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Tracer les symétriques de chacune de ces ﬁgures relativement
à leur axe de symétrie.
4. Propriétés de la symétrie
:
Exercice 1619
Exercice 1610
(d)
A
1.
a. Dans le plan, tracer une droite (d) et deux points A
et B de part et d’autre de (d).
b. Tracer le segment [AB] et nommer O le point d’intersection du segment [AB] et de la droite (d).
D
c. Construire les points symétriques de A et B par rapport à (d). Nommer les respectivement A′ et B ′ .
2. Quelles remarques peut-on faire sur cette ﬁgure ? Justiﬁer vos réponses.
Exercice 1614
1. Tracer le rectangle ABCD tel que :
AB = 8 cm ; AC = 9 cm
C
B
2. Nommer O le point d’intersection des diagonales.
Tracer le cercle C de centre O passant par le point B.
Que remarque-t-on ? Justiﬁer votre réponse
3. Tracer le symétrique du point A par rapport à la droite
(BD). Que remarque-t-on ? Justiﬁer votre réponse.
1. Tracer le quadrilatère A′ B ′ C ′ D′ symétrique du quadrilatère ABCD par la symétrie axiale d’axe (d).
2.
a. A l’aide du compas, comparer les distances :
AD et A′ D′ ; AC et A′ C ′
’ et
b. A l’aide de l’équerrre, comparer les angles BCD
′
′
′
◊
B
CD ?
Exercice 1608
Tracer un cercle de centre I, puis deux droites (∆) et (d) passant par I.
En un seul coup de compas et un seul coup de règle,
tracer le symétrique de la droite (d) par rapport à la droite
(∆)
3. Quelles propriétés semblent conserver la symétrie axiale ?
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5. Propriétés de la symétrie
:
Exercice 3054
On considère dans le cadre ci-dessous le triangle ABC et la
droite (∆) :
b. A l’aide du rapporteur, comparer la mesure des angles
’ ACB,
’ BAC
’ respectivement avec leurs syméABC,
triques.
Exercice 5577
On considère la ﬁgure ci-dessous où le triangle ABC sort du
cadre présenté et où les points A et B appartiennent à la
droite (d) :
A
C
(d)
A
B
B
(∆)
1. Eﬀectuer le tracé du symétrique du triangle ABC par
rapport à l’axe (∆).
2.
a. Comparer la mesure des segments [AB], [AC], [BC]
respectivement avec leurs symétriques.
A l’aide du rapporteur, de la règle non-graduée et sans sortir
du cadre de la ﬁgure, tracer le symétrique du triangle ABC.
6. Médiatrices, bissectrices et axes de symétrie
:
Exercice 5575
On considère la ﬁgure ci-dessous où la droite (d) passe par les
points A et B :
B
B
C
A
(d)
A
(d′ )
1. On laissera les traits de construction lorsqu’on complètera la ﬁgure :
1. Tracer le symétrique du triangle ABC relativement à la
droite (d).
÷′ ?
2. Que représente la droite (d) pour l’angle BAB
Exercice 5574
On considère la conﬁguration ci-dessous :
a. Construire le point A′ symétrique du point A relativement à la droite (d).
b. Construire le point B ′ symétrique du point B relativement à la droite (d).
2. Quelle est la nature du quadrilatère AA′ BB ′ ? Justiﬁer
votre réponse.
3. Que représente la droite (d) pour le segment [AA′ ] ?
Exercice 5576
On considère la ﬁgure ci-dessous où le point A appartient à
la droite (d) :
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1.
B
a. Tracer le cercle de centre A et de rayon 5 cm.
Tracer le cercle de centre B et de rayon 5 cm.
b. Nommer M et N les points d’intersection de ces deux
cercles. Tracer la droite (M N ).
2. Donner toutes les propriétés géométriques de la ﬁgure.
Apporter les codages nécessaires à votre ﬁgure.
3.
A
a. Quel est le symétrique du point A relativement à
l’axe (M N ) ?
(d)
b. Quel est le symétrique du point B relativement à l’axe
(M N ).
1. Tracer le quadrilatère ABCD tel que ABCD soit un losange acceptant la droite (d) pour axe de symétrie.
c. Par rapport au segment [AB], que peut-on dire de l’axe
(M N ) ?
’
2. Que représente la droite (d) pour l’angle BAC.
4. Tracer les deux cercles de rayon 4 cm ayant pour centre
respectif les points A et B. Que remarque-t-on ?
Exercice 1620
Exercice 1607
1. Construire un triangle ABC tel que :
’ = 110o ; AB = 6cm ; AC = 10cm
BAC
’
2. Construire la droite (d), bissectrice de l’angle BAC.
3.
B
a. Placer le point I le point intersection de la droite
(d) avec le segment [BC].
‘
b. Sans le mesurer, donner la mesure de l’angle BAI
4. Placer :
E le symétrique de B par rapport à (d)
A
F le symétrique de C par rapport à (d)
5. Que peut-on dire du point d’intersection des segments
[BC] et [EF ] ? Justiﬁer votre aﬃrmation.
7. Axe de symétrie
:
la droite (d) est un axe de symétrie.
Exercice 3058
2. Compléter la ﬁgure aﬁn d’obtenir le rectangle EF GH
dont la droite (∆) est un axe de symétrie.
On considère la conﬁguration ci-dessous :
Exercice 3063
(∆)
Compléter la ﬁgure ci-dessous aﬁn que la ﬁgure obtenue admettent l’axe (d) et l’axe (∆) comme axe de symétrie :
D
E
G
A
(d)
1. Compléter la ﬁgure aﬁn d’obtenir le losange ABCD dont
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(d)
(d)
(∆)
F
J
Exercice 6410
Parmi les panneaux de signalisation ci-dessous, lesquels présente un ou des axes de symétries :
C
a.
b.
c.
d.
H
e.
f.
g.
h.
I
G
i.
j.
k.
l.
Pour chaque panneau, donner le nombre d’axes de symétrie
qu’il admet.
F
Exercice 6420
E
D
C
A
B
1. Tracer le symétrique du rectangle ABCD par rapport à
la droite (d).
2. Tracer le symétrique du triangle EF G par rapport à la
droite (d).
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3. On considère le triangle HIJ et son cercle inscrit C dont
le centre a été représenté sur la ﬁgure.
Eﬀectuer le tracer du symétrique de cette ﬁgure par rap-
9. Recherche de l’axe de symétrie
port à la droite (d).
4. Compléter la ﬁgure F aﬁn que la droite (d) soit un axe
de symétrique de la ﬁgure.
:
C
Exercice 1611
On considère la ﬁgure ci-dessous représentant deux quadrilatères :
A
E
B
D
F
H
E
A′
E
′
B′
G
A
B
C′
D′
1.
C
D
b. Quel est l’axe de symétrie transformant le point A en
A′ .
1. En supposant que cette ﬁgure admette un axe de symétrie, préciser l’image eventuelle du point A ; du point B.
2.
a. Tracer, au compas et à la règle non-graduée, la médiatrice (d) du segment [AF ].
b. Que représente la droite (d) pour le segment [BE] ?
Peut-on dire que le point B admet le point E pour
symétrique par rapport à la droite (d) ?
c. Vériﬁer que les point D et G sont symétriques par
rapport à la droite (d).
3. Que reste-t-il à vériﬁer aﬁn de s’assurer que cette ﬁgure
admet la droite (d) comme axe de symétrie ?
a. Tracer la droite (d) médiatrice du segment [AA′ ] au
compas et à la règle non-graduée.
2.
a. Tracer la droite (d′ ) médiatrice du segment [BB ′ ]
au compas et à la règle non-graduée.
b. Quel est l’axe de symétrie transformant le point B en
B′.
3. Cette ﬁgure admet-elle un axe de symétrie ?
Exercice 3059
Déterminer l’axe de symétrique composé par ces deux textes :
Exercice 2657
On considère la ﬁgure ci-dessous représentant deux polygones :
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ale
elaixa
e
i
r
t
´
e
m
ys aL
stom
s
e
l
e
h
cffia
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ceva
riorim
xi
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e
´
m
m
s
y
e
s el
et
a
ff
L
ch un e
ffi
a ec
ir
av miro
Exercice 3085
On considère la ﬁgure ci-dessous :
Tracer l’ensemble des axes de symétries de cette ﬁgure en
vous servant de votre compas et de votre règle non-graduée ;
les traits de construction doivent être présents.
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