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Université de Rennes 1 UFR Sciences et Propriétés de la Matière Yann Gueguen, Dr, Maître de Conférence, Département Mécanique et Verres Institut de Physique de Rennes UMR CNRS-UR1 6251 B : Bât. 10B, Campus de Beaulieu 35042 Rennes Cedex, : 02.23.23.58.06 t : 02.23.23.61.11 k : [email protected] M´ecanique des fluides et applications ´ ´ Licence 3, mention mecanique et sciences pour l’ingenieur ENS Rennes Rennes, le 24 mars 2015 Sommaire I Introduction 1 II 5 Trois outils indispensables à la mécanique des fluides : gradient, rotationnel et divergent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Généralités sur les fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3 Principe de conservation de la masse : équation de continuité . . . . . . . . . . . 22 4 Ecoulement à potentiel de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Statique des fluides 27 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 Problème en une dimension : variation de la pression dans une colonne de fluide . 28 3 Equation fondamentale de l’équilibre des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4 Poussée d’Archimède . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 III Dynamique des fluides parfaits 33 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2 Equation de l’hydrodynamique des fluides parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3 Généralisation des équations de la dynamique avec d’autres forces volumiques . . 37 4 Simplification de l’équation de dynamique des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5 Relation de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 6 Pression motrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 7 Bernoulli sur une ligne de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 8 Théorème de la variation transversale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 9 Conservation du débit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 10 Puissance mécanique d’un écoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 11 Bilan : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 IV Dynamique des fluides r´eels 47 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2 Expérience de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3 Ecoulement laminaire simple : Ecoulement de Poiseuille . . . . . . . . . . . . . . 50 4 Théorème des variations transversales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5 Perte de puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 6 Bernoulli généralisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 7 Perte de charge singulière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4 8 Section non-circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 9 Pompes et turbines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 10 Ecoulement turbulent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 11 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 V Th´eor`eme des quantit´es de mouvement ou th´eor`eme d’Euler 65 1 Nouvelle expression de l’accélération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2 Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3 Quatre outils pour simplifier l’accélération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4 Théorème des quantités de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5 Théorème d’Euler sur un tube de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 VI Concepts de base en a´ero/hydrodynamisme 71 1 Profil d’aile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2 Résultante aérodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3 Moment aérodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4 Coefficients aérodynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5 Evaluation des coefficients aérodynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 6 Similitude d’écoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 VII Equation de Navier-Stokes 77 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2 Principe fondamental de la dynamique appliqué aux fluides réels incompressibles 78 3 Equation de Navier-Stokes pour un fluide newtonien compressible . . . . . . . . . 83 4 Théorème des variations transversales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 5 Viscosimètre à cylindre rotatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 VIII Tension de surface et capillarit´e 91 1 Tension superficielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 2 Pression de Laplace (ou "Laplace-Young" pour les anglais) . . . . . . . . . . . . . 93 3 Mouillage et angle de mouillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4 Loi de Jurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 5 Equation de Washburn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 IX Formulaires 103 1 Coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 2 Coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3 Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Glossaire 109 Figures 112 Tables 113 CHAPITRE I Introduction Sommaire 1 Trois outils indispensables à la mécanique des fluides divergent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Gradient d’une fonction scalaire . . . . . . . 1.2 Gradient d’un champ vectoriel . . . . . . . . 1.3 Bilan sur les gradients . . . . . . . . . . . . 1.4 Rotationnel d’un champ de vecteur . . . . . 1.5 Divergence d’un champ de vecteur . . . . . : . . . . . . gradient, rotationnel et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Généralités sur les fluides . . . . . . . . . . . . . 2.1 Fluide ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Liquide et gaz . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Milieu continu . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Description d’un fluide . . . . . . . . . . 2.5 Représentation géométrique . . . . . . . 2.6 Types d’écoulement . . . . . . . . . . . . 2.7 Forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Contraintes dans un milieu fluide . . . . 2.9 Viscosité d’un fluide . . . . . . . . . . . 2.10 Débit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11 Théorème de Green-Ostrogradski (G-O) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Principe de conservation de 3.1 Première manière . 3.2 Deuxième manière 3.3 Bilan : . . . . . . . 3.4 Cas particulier . . 3.5 Exemple . . . . . . 3.6 Puits et sources . . 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 13 13 14 14 15 16 16 17 19 20 21 continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 22 23 23 24 24 25 Ecoulement à potentiel de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 26 la masse : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . équation de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 6 7 8 9 6 Chapitre I. Introduction 1 Trois outils indispensables à la mécanique des fluides : gradient, rotationnel et divergent Avant d’entamer le cours de mécanique des fluides à proprement parler, nous allons décrire ici quelques outils mathématiques utiles à la mécanique de milieux continus. L’utilisation de ces outils fera l’objet du premier TD de mécanique des fluides. A l’issu de la licence 3, l’étudiant est sensé être capable d’utiliser parfaitement tous ces outils. 1.1 Gradient d’une fonction scalaire Soit p une fonction scalaire (tenseur d’ordre 0→ voir Solide Déformable), par exemple la pression, dans un espace de dimension 3, de base {~e1 ,~e2 ,~e3 } p(x1 , x2 , x3 ) (I.1) Le gradient de p est un champ de vecteur ou "champ vectoriel" (un tenseur d’ordre 1). Il faut faire la différence entre un "vecteur", par exemple une force, qui indique une grandeur vectorielle en un point, d’un champ vectoriel qui associe un vecteur à chaque point d’un espace : ∂p(x1 , x2 , x3 ) ∂p(x1 , x2 , x3 ) ∂p(x1 , x2 , x3 ) ~ grad(p(x ~e1 + ~e2 + ~e3 1 , x2 , x3 )) = ∂x1 ∂x2 ∂x3 (I.2) Dans un espace de dimension 3, la pression (le "champ scalaire de pression") a trois variables, et peut donc varier selon trois directions. Cette variation ne peut être décrite que par un "objet" à trois composantes : un tenseur d’ordre 1 (un champ vectorielle). Exemple simple : p(x1 , x2 , x3 ) = p0 −ρgx1 = p(x1 ). Si p0 est positif, la pression est plus élevée pour les x1 faibles. On a : ~ grad(p(x e1 1 , x2 , x3 )) = −ρg ~ (I.3) ~ grad(p) pointe du haut vers le bas : il pointe vers les hautes pressions (c’est l’inverse du vent). Le champ vectoriel dessiné en tout point "montrerait" où sont les hautes pressions. Figure I.1 — Gradient d’un champ scalaire : p(x1 ) = p0 − ρgx1 1.2 Gradient d’un champ vectoriel Soit un champ vectoriel ~v (x1 , x2 , x3 ) (toujours dans un espace de dimension 3), donc un tenseur d’ordre 1 : 1. Trois outils indispensables à la mécanique des fluides : gradient, rotationnel et divergent 7 v1 (x1 , x2 , x3 ) ~v (x1 , x2 , x3 ) = v2 (x1 , x2 , x3 ) v3 (x1 , x2 , x3 ) {~e (I.4) e2 ,~e3 } 1 ,~ Ce champ vectoriel a trois composantes (v1 , v2 , v3 ) dépendant chacune de trois variables (x1 , x2 , x3 ). Un "objet" décrivant sa variation dans l’espace doit donc avoir 3×3 = 9 composantes décrivant la variation de chaque composante suivant chaque variable. Cet objet est donc un tenseur d’ordre 2 (une "matrice" 3 × 3) : ∂v1 ∂x 1 ∂v 2 ¯ grad(~v (x1 , x2 , x3 )) = ∂x1 ∂v3 ∂x1 ∂v1 ∂x2 ∂v1 ∂x3 ← v1 (x1 , x2 , x3 ) ∂v2 ∂x3 ∂v3 ∂v2 ∂x2 ∂v3 ∂x2 ∂x3 ← v2 (x1 , x2 , x3 ) (I.5) ← v3 (x1 , x2 , x3 ) ~e1 ,~e2 ,~e3 Exemple simple : soit le champ de vitesse suivant : a x1 ~v (x1 , x2 , x3 ) = b c {~e (I.6) e2 ,~e3 } 1 ,~ Figure I.2 — Champ de vitesse : ~v (x1 , x2 , x3 ) = a x1 ~e1 + b ~e2 + c ~e3 Le gradient de ce champ de vitesse est : a 0 0 ¯ grad(~v (x1 , x2 , x3 )) = 0 0 0 0 0 0 1.3 (I.7) ~e1 ,~e2 ,~e3 Bilan sur les gradients L’opérateur gradient est un opérateur indiquant la variation d’un champ scalaire, vectoriel... Le gradient augmente l’ordre du tenseur : la gradient d’un tenseur d’ordre 0 est un tenseur d’ordre 1, le gradient d’un tenseur d’ordre 1 est un tenseur d’ordre 2... le gradient d’un tenseur d’ordre N est un tenseur d’ordre N+1. 8 Chapitre I. Introduction 1.4 Rotationnel d’un champ de vecteur Très schématiquement, le rotationnel d’un champ de vecteur indique la "tendance" à tourner de ce champ. Schématiquement, car la tendance à tourner qu’il souligne est un peu dur à définir mathématiquement et à se représenter : un champ peut "visuellement" sembler tourner alors que son rotationnel est nul. De façon plus "mathématique", le rotationnel d’un champ de vecteur est nul, entre autres, si aucune composante vi de ce champ ne dépend de xj (j , i), l’inverse n’étant pas nécessairement vrai. ~ ~ l’opérateur tel que (ce n’est finalement qu’une autre notation de grad) On note ∇ : ∂/∂x1 ~ ∇ = ∂/∂x2 ∂/∂x3 {~e (I.8) e2 ,~e3 } 1 ,~ Soit ~v (x1 , x2 , x3 ) un champ vectoriel quelconque, son rotationnel est défini par : ~ ∧ ~v ~ v) = ∇ rot(~ (I.9) Soit : v1 (x1 , x2 , x3 ) ∂/∂x1 ~ v ) = ∂/∂x2 ∧ v2 (x1 , x2 , x3 ) = rot(~ v3 (x1 , x2 , x3 ) ∂/∂x3 ∂v3 ∂v2 − ∂x2 ∂x3 ∂v1 ∂v3 − ∂x3 ∂x1 ∂v2 ∂v1 − ∂x1 ∂x2 (I.10) {~e1 ,~e2 ,~e3 } Le rotationnel d’un champ de vecteur est donc un vecteur. En mécanique des fluides, on appelle classiquement le rotationnel du champ de vitesse la "vorticité", même si cela se limite souvent à l’étude des écoulements tourbillonnaires. 1.4.1 Exemple 1 Soit le champ de vitesse suivant : ~v (x1 , x2 , x3 ) = a ~e1 . Les vecteurs vitesses pointent tous dans la même direction, il n’y a pas de rotation. Figure I.3 — Champ de vitesse ~v (x1 , x2 , x3 ) = a ~e1 1. Trois outils indispensables à la mécanique des fluides : gradient, rotationnel et divergent 9 ~ v ) = ~0. Un champ vectoriel dont le rotationnel est nul en tout point est dit On a alors : rot(~ irrotationnel. 1.4.2 Exemple 2 Soit le champ de vitesse suivant, en coordonnées cylindriques : ~v (r, θ, z) = vθ (r) ~eθ = Ω r ~eθ . Ce champ de vitesse est un champ qui tourne autour du point r = 0. Ω est la vitesse angulaire (radian par seconde). Figure I.4 — Champ de vitesse ~v (r, θ, z) = Ω r ~eθ ~ v) = On a (formulaire) : rot(~ 1 ∂ r ∂r (r vθ )~ez = 1 ∂ r ∂r Ω r2 ~ez = 1 r 2Ω r~ez = 2Ω ~ez . L’écoulement tourne bien autour d’un point : il est rotationnel, car son rotationnel est nonnul. On remarquera par ailleurs que : ~ = 1 rot(~ ~ v) Ω ~ez = Ω (I.11) 2 Le champ de vecteur vitesse de rotation angulaire, qu’on appelle "vecteur tourbillon", correspond au demi-rotationnel du champ de vitesse (à la moitié de la vorticité). La norme d’un rotationnel d’un champ de vitesse correspond, à un facteur 2 près, à la vitesse angulaire locale. 1.4.3 Exemple 3 Soit le champ de vitesse suivant : ~v (x1 , x2 , x3 ) = a x1 ~e1 + b ~e2 . Ce champ de vitesse peut ~ v ) = ~0. donner l’impression de tourner, mais il est bien irrotationnel : rot(~ 1.5 Divergence d’un champ de vecteur L’opérateur divergent en un opérateur qui met en évidence le fait qu’un champ de vecteur converge (le divergent est négatif), c’est-à-dire que les vecteurs du champ pointent vers un même point, ou qu’il diverge (le divergent est positif). Le divergent d’un champ de vecteur est un champ scalaire. Soit : 10 Chapitre I. Introduction Figure I.5 — Champ de vitesse : ~v (x1 , x2 , x3 ) = a x1 ~e1 + b ~e2 . Il semble tourner, mais il suffit de la tracer pour x1 < 0 pour voir que non. v1 (x1 , x2 , x3 ) ~v (x1 , x2 , x3 ) = v2 (x1 , x2 , x3 ) v3 (x1 , x2 , x3 ) {~e (I.12) e2 ,~e3 } 1 ,~ Le divergent de ce champ est défini par : div(~v ) = 1.5.1 ∂v1 ∂v2 ∂v3 + + ∂x1 ∂x2 ∂x3 (I.13) Que cela représente-t-il ? Isolons un cube dV = dx dy dz au sein d’un fluide. Soit ~v = vx ~ex + vy ~ey + vz ~ez le champ vectoriel défini et dérivable dans dV . Le flux d’un champ vectoriel à travers un élément de surface dS est défini par : ~v .~n dS (I.14) ~n est la normale à la surface dS. On choisit ~n soit pointant vers l’extérieur du volume (dans ce cas quand ~v "entre" son flux est négatif, car ~v est globalement opposé à ~n), soit vers l’intérieur (dans ce cas quand ~v "entre" son flux est positif, car ~v est globalement dans le même sens ~n), au choix. La coutume est plutôt de le faire pointer vers l’extérieur, et c’est ce que nous allons faire ici. Si ~v est le champ de vitesse d’un fluide (m.s−1 ), on remarque que le flux n’est rien d’autre qu’un débit volumique à travers dS (m3 .s−1 ). Figure I.6 — Flux de vitesse dans un cube à travers les faces orientées par ±~ex . Faisons le bilan des entrées/sorties du champ ~v dans dV . Le flux entrant ou sortant par la face située en x, de normal −~ex , de surface dS = dydz vaut : 1. Trois outils indispensables à la mécanique des fluides : gradient, rotationnel et divergent 11 ~v (x, y, z).(−~ex ) dydz = −vx (x, y, z) dydz (I.15) Le flux entrant ou sortant par la face située en x + dx vaut : ~v (x + dx, y, z).~ex dydz = vx (x + dx, y, z) dydz (I.16) Si je fais le bilan sur ces deux faces, le flux total vaut : [vx (x + dx, y, z) − vx (x, y, z)] dydz (I.17) Je fais le même bilan sur les faces orientées par ~ey et −~ey : [vy (x, y + dy, z) − vy (x, y, z)] dxdz (I.18) [vz (x, y, z + dz) − vz (x, y, z)] dxdy (I.19) Puis ~ez et −~ez Puis, au final le bilan des flux sur toutes les faces : [vx (x + dx) − vx (x)] dydz + [vy (y + dy) − vy (y)] dxdz + [vz (z + dz) − vz (z)] dxdy (I.20) Je rapporte ce bilan à l’élément de volume (je divise par dV = dx dy dz) : vx (x + dx) − vx (x) vy (y + dy) − vy (y) vz (z + dz) − vz (z) + + dx dy dz (I.21) Par définition de la dérivée : ∂vx (x) ∂vy (y) ∂vz (z) + + = div(~v ) ∂x ∂y ∂z (I.22) La divergence d’un champ vectoriel en un point M est un bilan des entrées/sorties de ce champ dans le volume dV entourant M. Si les flux entrant et sortant s’équilibrent, la divergence est nulle. 1.5.2 Exemple 1 Soit le champ de vitesse suivant : ~v = a ~ex + b ~ey . Visuellement, ce champ ne diverge pas, et on a bien : div(~v ) = 1.5.3 ∂vx (x) ∂vy (y) ∂vz (z) + + =0 ∂x ∂y ∂z (I.23) Exemple 2 Soit le champ de vitesse suivant, en coordonnées sphériques : ~v (r, θ, φ) = a ~er . Visuellement, ce champ diverge depuis r = 0, et on a bien (formulaire) : div(~v ) = 2a r (I.24) 12 Chapitre I. Introduction Figure I.7 — Champ de vitesse : ~v = a ~ex + b ~ey Figure I.8 — Champ de vitesse : ~v (r, θ, z) = a ~eθ 1.5.4 Exemple 3 Soit le champ de vitesse suivant, en coordonnées cylindriques : ~v (r, θ, z) = a ~eθ . Visuellement, ce champ ne diverge pas, mais tourne autour de r = 0. On a (formulaire) div(~v ) = 0 Figure I.9 — Champ de vitesse : ~v (r, θ, z) = a ~eθ (I.25) 13 2. Généralités sur les fluides 2 2.1 Généralités sur les fluides Fluide ? On appelle fluide un système déformable sans forme propre. Tout corps qui prend la forme de son contenant n’a pas de forme propre. Théoriquement, n’importe quel corps s’écoule, qu’il nous apparaisse solide ou pas. L’écoulement d’un corps est un processus thermiquement activé, ce qui signifie que pour toute température supérieure à 0 K, il s’écoule. Cependant, le temps nécessaire pour observer cet écoulement (pour que le corps commence à prendre la forme de son contenant) peut être considérable. En rhéologie (science de l’écoulement), on définit un temps τ qui est le temps caractéristique de l’écoulement (∼ temps pour prendre la forme du contenant). On appelle "nombre de Deborah 1 ", le ratio entre ce temps τ et la durée d’observation tO : τ (I.26) tO Si ND << 1, le corps est considéré comme fluide. Pour le verre à vitre, par exemple, on estime τ à 1032 ans (dix mille milliards de milliards de fois l’âge de l’univers) à 20◦ C. Le verre peut donc, même à l’échelle de l’humanité entière, être considéré comme un solide à 20◦ C. ND = Il ne faut donc pas confondre "fluide" qui caractérise un corps qui a une aptitude à prendre la forme d’un contenant à l’échelle des temps humains, et "liquide" qui caractérise l’état de la matière entre la température de fusion et la température de vaporisation. Cependant, les liquides et les gaz sont bien, à l’échelle des temps humains, des fluides (la réciproque n’est donc pas vraie). 2.2 Liquide et gaz Les liquides et les gaz peuvent être traités par la mécanique des fluides. Du point de vue de la mécanique des fluides, une distinction principales peut être faite : la compressibilité. On appelle coefficient de compressibilité isotherme la variation de volume relative sous une pression donnée à température constante : 1 ∂V XT = − V ∂p T (I.27) Les liquides sont généralement caractérisés par un très faible XT , et l’approximation de fluide incompressible est généralement satisfaisante. Les gaz sont généralement beaucoup plus compressibles et cette approximation est donc loin de la vérité : Eau, à 20°C : XT = 4.5 × 10−10 Pa−1 ; 22.2 MPa pour faire varier le volume de 1% (220 fois la pression atmosphérique) Air, à 20°C : XT ∼ 10−5 Pa−1 ; 1000 Pa pour faire varier le volume de 1% (1/100e de la pression atmosphérique) 1. Deborah est une prophétesse, dans la Bible hébraïque (livre des Juges), elle demande à un général hébreux (Barac) de lever une armée pour vaincre un peuple ennemi, les cananéens et prédit la victoire des hébreux. Elle chanta, après la victoire "Et les montagnes coulèrent devant le Seigneur". Le physicien Markus Reiner, un des pères fondateurs de la rhéologie, reprit cette phrase pour illustrer que tout s’écoule, même les montagnes, si on prend le temps de les regarder suffisamment longtemps. 14 Chapitre I. Introduction 2.3 Milieu continu La mécanique des fluides fait partie de la Mécanique des Milieux Continus (MMC). Elle traite un fluide, quel qu’il soit, comme un milieu continu (voir le cours de Solide Déformable). Tous les champs scalaires ou vectoriels qui caractérisent un fluide sont supposés être des fonctions continues et continuellement dérivables. Or, on sait qu’un fluide n’est pas un milieu continu. L’eau est constitué de molécule d’H2 O, et, entre elles, de vide. A l’échelle de la molécule d’eau, l’eau n’est pas un milieu continu. La mécanique des fluides n’est pertinente que pour décrire un fluide à une échelle où l’approximation des milieux continus est correcte. Si on ne traite que quelques molécules de liquide/gaz, la mécanique de fluides est incapable de décrire le comportement du système considéré : on doit faire appel à la physique statistique. 2.4 Description d’un fluide 2.4.1 Description lagrangienne La description lagrangienne 2 est la plus intuitive, qui reprend l’idée de trajectoire : on suit une particule qui à l’instant t = 0 se trouve en M0 , tel que : M0 = {x0 , y0 , z0 } (I.28) A l’instant t > 0, elle se trouve en M : M = {x(x0 , y0 , z0 , t), y(x0 , y0 , z0 , t), z(x0 , y0 , z0 , t)} (I.29) De façon classique, sa vitesse se définit par : ∂x(x0 , y0 , z0 , t) ∂t ~v = ∂y(...) ∂t ∂z(...) ∂t (I.30) {~ex ,~ey ,~ez } Et l’accélération par : ∂ 2 x(...) ∂t2 2 ∂ z(...) ∂~v ∂ 2 y(...) ~a = = ∂t ∂t2 ∂t2 (I.31) {~ex ,~ey ,~ez } On peut faire l’analogie entre la description lagrangienne et l’observation d’une autoroute, voiture par voiture. Je fixe un GPS sur chaque voiture, ce qui me permet d’en connaître les positions, donc les vitesses de chaque puis leurs accélérations. 2. Joseph Louis, comte de Lagrange est né à Turin le 25 janvier 1736 et mort à Paris le 10 avril 1813. C’est un mathématicien, mécanicien et astronome italien (de son vrai nom : Giuseppe Lodovico de Lagrangia). 15 2. Généralités sur les fluides Le système que l’on traite est un ensemble de N particules, toujours le même à tout instant. Le problème est que le contour du volume formé par ces N particules évolue au cours du temps du fait du champ de vitesse et reste donc difficile à définir (et donc les forces s’appliquant sur ce contour aussi). Pour poursuivre l’analogie, si je dessine à t = 0 le contour entourant N voitures (et uniquement ces N voitures), à un instant t > 0, ce dernier contour n’a pas de raison d’avoir la même géométrie et de refermer la même surface. Il faut établir la variation de surface du contour d’après le déplacement de chaque voiture. 2.4.2 Description eulérienne Dans la description eulérienne 3 , on décrit le fluide en terme de champ de vitesse. On considère un point M quelconque : M = {x, y, z, t} et à l’instant t on analyse la vitesse du fluide en ce point : ~v (x, y, z, t) (I.32) Ce champ décrit la vitesse de ce qui, à l’instant t, passe en ce point M . Pour reprendre l’analogie de l’autoroute, on place cette fois ci des radars en différents points de l’autoroute, ce qui permet à l’instant t de collecter le vitesse des véhicules qui passent en ces différents points. L’accélération ne se déduit donc pas de : ∂~v (I.33) ∂t Le système que l’on traite n’est pas un ensemble de N particules mais un volume V défini dans l’espace, indépendamment du temps. A l’instant t = 0 ce volume referme N particules, et à l’instant t > 0 il en renferme N ∗ . N ∗ n’a aucune raison d’être égale à N . Le problème est que le champ de vitesse à l’instant t = 0 est la vitesse de particules, et le champ de vitesse à t > 0 la vitesse d’autres particules. La variation temporelle de la vitesse n’est donc pas l’accélération des particules. Nous verrons dans ce cours comment s’exprime l’accélération eulérienne. ~a , La description eulérienne, en apparence moins intuitive, est plus "logique" en mécanique des fluides. En description eulérienne, je m’assoie près d’un fleuve, et je regarde ce qui se passe devant moi. En description lagrangienne, je jette un bout de bois sur l’eau et je lui cours après pour voir ce qui va lui arriver. La description eulérienne se moque du devenir des particules et rend le problème plus facile à traiter. 2.5 2.5.1 Représentation géométrique Ligne de courant De point de vue de Lagrange, une ligne de courant est la ligne que suivra une particule (sa trajectoire). De point de vue d’Euler, une ligne de courant est la courbe tangente au vecteur vitesse. Soit ~ dl un élément de ligne de courant autour d’un point M , soit ~v le vecteur vitesse au point M . On vérifie alors : d~l ∧ ~v = ~0 (I.34) 3. Leonhard Paul Euler est né le 15 avril 1707 à Bâle (Suisse) et mort à 76 ans le 18 septembre 1783 à SaintPétersbourg. C’est un mathématicien et physicien suisse, qui a vécu en Prusse et en Russie. Il était membre de l’Académie royale des sciences de Prusse. 16 Chapitre I. Introduction 2.5.2 Tube de courant Une tube de courant est un ensemble de lignes de courant. 2.5.3 Filet de courant Un filet de courant est un tube de courant où ~v est identique en tout point (remarque : ça peut être ~v = vθ ~eθ -i.e : il n’est pas nécessairement rectiligne-). 2.6 Types d’écoulement On appelle écoulement laminaire un écoulement où les lignes de courant sont, au moins localement parallèles. En d’autres termes, si deux particules sont voisines à l’instant t, elles le restent à l’instant t + dt. On appelle écoulement turbulent un écoulement où les lignes de courant sont aléatoires, irrégulières. Deux particules initialement voisines ne le resteront pas. Un écoulement turbulent implique la formation de tourbillons instables, de remous... 2.7 Forces Selon la mécanique des milieux continus, un corps, qu’il soit fluide ou non, peut subir deux types de forces. 2.7.1 Des forces de volume Ces forces s’exercent dans l’ensemble de volume, et ne requiert pas de contact entre ce qui génère la force et le corps. Les forces volumiques incluent par exemple : le poids, la force centrifuge, les forces électromagnétiques (par exemple pour un plasma, le gaz, pas l’écran...). On notera f~V la force volumique élémentaire, en N.m−3 , qui est la force de volume rapportée au volume élémentaire dV . Considérons un volume élémentaire dV . La force volumique qui s’exerce sur ce volume est ~ dFV tel que : dF~V = f~V dV (I.35) On peut prendre l’exemple du poids (c’est la principale force volumique qu’on traitera dans ce cours). Si on isole un volume V , de masse m, le poids qui s’exerce sur ce volume vaut : P~ = m ~g (I.36) Si on isole un volume élémentaire dV , de masse dm, le poids élémentaire (i.e. : le poids s’exerçant sur ce volume élémentaire) vaut : dF~V = dP~ = dm ~g (I.37) Soit ρ la masse volumique du volume dV , on a donc : dm = ρ dV D’où : (I.38) 17 2. Généralités sur les fluides dP~ = ρ ~g dV (I.39) Ce qu’on appelle la force volumique élémentaire est donc : f~V = ρ ~g . Si on considère un corps de volume V où la masse volumique est fonction de la position {x, y, z}, on a : P~ = 2.7.2 Z V dP~ = Z V ρ(x, y, z) ~g dV = ~g Z ρ(x, y, z)dV V (I.40) Des forces de surface Les forces de contact ou de surface sont les forces exercées sur un corps par le contact avec d’autres corps, fluides ou non. On notera f~S la force surfacique élémentaire, en N.m−2 , qui est la force de surface rapportée à une surface élémentaire dS. Considérons une surface élémentaire dS. La force surfacique qui s’exerce sur cette surface est dF~S tel que : dF~S = f~S dS (I.41) On peut prendre l’exemple de la pression, par exemple que l’air ambiant exerce sur un corps. Soit M un point à la surface du corps, dS entourant M , ~n le vecteur normal à dS, pointant vers l’extérieur du corps, et p la pression de l’air autour de ce point M . On a : − p ~n = f~S (I.42) dF~S = −p ~n dS (I.43) D’où : La force s’exerçant sur l’ensemble de la surface S du corps vaut : F~S = Z S p(x, y, z) ~n(x, y, z) dS (I.44) Sur une surface quelconque, ~n varie en fonction de x, y et z. 2.8 Contraintes dans un milieu fluide La notion de contrainte a déjà été vue en RdM, elle sera également plus détaillée dans le cours de solide déformable. Nous rappelons seulement ici les notions de contraintes normales et contraintes tangentielles. Considérons un volume V de fluide. On réalise dans ce volume une coupure. Soit S la surface de coupure, dS un élément de surface entourant un point M sur cette surface. ~n le vecteur unitaire normal à dS, ~t un vecteur unitaire tangent à dS. En M s’exerce une force de cohésion appliquée sur dS : dF~ . dF~ peut avoir une composante suivant ~n, c’est la composante normale à dS, et une composante suivant ~t, c’est la composante tangentielle : dF~ = dFn ~n + dFt ~t (I.45) 18 Chapitre I. Introduction Figure I.10 — Coupure fictive On appelle vecteur contrainte au point M , pour un élément de surface orienté par ~n le vecteur défini par : dF~ T~ (M,~n) = dS (I.46) La norme de ce vecteur s’exprime en Pa, d’où le nom de "vecteur contrainte". Ce vecteur a également deux composantes, l’une normale, l’autre tangentielle : dFn T~ (M,~n).~n = = σnn dS (I.47) C’est la contrainte normale, qui est donc due aux forces normales. dFt T~ (M,~n).~t = = σnt = τnt dS (I.48) C’est la contrainte tangentielle, qui est donc due aux forces tangentielles. Dans la notation σnt , le premier indice marque la normale à la surface dS que l’on considère, le second marque la direction selon laquelle on projette le vecteur contrainte. Dans le cas d’un fluide au repos (statique des fluides), tout élément de surface ne subit que la pression autour du point M qu’il entoure. Quelque soit l’élément de surface considéré, quelque soit le repère, on a au point M : dF~ = −p ~n dS (I.49) Les forces de cohésions sont des forces colinéaires à ~n (normales à dS). On en déduit : T~ (M,~n) = −p ~n (I.50) σnn = −p et σnt = 0 (I.51) D’où : Un fluide immobile ne subit que des contraintes normales. 19 2. Généralités sur les fluides Figure I.11 — Viscosité 2.9 Viscosité d’un fluide Considérons un volume dV de fluide, d’épaisseur dx, de surfaces supérieure (en x + dx) et inférieure (en x) dS = dydz. On applique une force purement tangentielle dF~ sur ces surfaces (Figure I.11), selon ~ey . Il en résulte une contrainte tangentielle : ||dF~ || dF~ .~ey = (I.52) dS dS Du fait de la force tangentielle, on observe un gradient de vitesse entre la face supérieure et la face inférieure. On a u(x) le déplacement de la face inférieure, et u(x + dx) le déplacement de la face supérieure. On note γ le glissement qui vaut : σxy = τ = γ= u(x + dx) − u(x) du = dx dx (I.53) La vitesse s’exprimant ainsi : du (I.54) dt On appelle vitesse de glissement la différence de vitesse relative entre les deux faces : v= dγ d du d2 u dv = = = (I.55) dt dt dx dxdt dx La viscosité est le ratio entre la contrainte appliquée et la vitesse de glissement (le gradient de vitesse) produite : γ˙ = η= τ γ˙ (I.56) La contrainte s’exprimant en Pa, la vitesse de glissement en s−1 , la viscosité η s’exprime en Pa.s. En mécanique des fluides, on appelle η la viscosité dynamique, et υ = η/ρ (ρ la masse volumique) la viscosité dite "cinématique". 2.9.1 Fluide parfait Le fluide parfait est un fluide idéalisé que l’on considère de viscosité nulle. Cela implique que le fluide ne peut pas transmettre de force tangentielle car la contrainte tangentielle est nulle. 20 Chapitre I. Introduction Dans un fluide parfait, on considère qu’il n’existe que des contraintes/forces normales à la surface. 2.9.2 Fluide newtonien Un fluide est dit newtonien 4 si la viscosité ne dépend pas de la contrainte (ou de la vitesse de déformation). Figure I.12 — Viscosité newtonienne 2.10 Débit Le débit est la quantité de fluide qui traverse un section droite durant un intervalle de temps défini. 2.10.1 Débit massique Le débit massique, noté qm est la quantité, exprimée en kg, de fluide traversant une section droite. Soit dS une section droite élémentaire, de normale ~n, dm la quantité de matière traversant dS durant dt : qm = dm dt (I.57) Soit d~u le déplacement de fluide autour de dS durant dt, et ρ la masse volumique de fluide : dm = ρ d~u.~n.dS (I.58) ρ d~u.~n.dS = ρ ~v .~n.dS dt (I.59) D’où : qm = On peut généralisé au débit à travers une surface quelconque S : qm = ρ Z ~v .~n.dS S (I.60) en kg.s−1 . Le signe de qm dépend de l’orientation de ~n. Il est négatif si globalement le champ de vitesse s’oppose à ~n. 4. Isaac Newton est un alchimiste, astronome, mathématicien, physicien, philosophe... anglais (1642-1727). Connu pour la théorie de la gravitation universelle, le calcul infinitésimal, et l’optique. 21 2. Généralités sur les fluides Figure I.13 — Débit massique 2.10.2 Débit volumique Le débit volumique, noté qV est la quantité, exprimée en m3 de fluide traversant une section droite : qV = Z ~v .~n.dS S (I.61) en m3 .s−1 . 2.11 Théorème de Green-Ostrogradski (G-O) Ce théorème est un outil indispensable pour la mécanique des fluides. Il permet de convertir une intégrale de volume en intégrale de surface. Figure I.14 — G-O Soit F~ un champ de vecteur quelconque. On a vu que le divergent d’un champ vectoriel n’est rien d’autre que le bilan des flux de ce champ à travers les surfaces S fermant un volume dV . Soit ~n la normale à une surface élémentaire dS orientée vers l’extérieur de dV , on a donc : 22 Chapitre I. Introduction div(F~ ) = F~ .~n dS dV (I.62) D’où : div(F~ )dV = F~ .~n dS (I.63) Et finalement, le théorème de Green 5 -Ostrogradski 6 : Z V div(F~ )dV = Z F~ .~n dS S (I.64) ∀ F~ pour S fermant V , avec ~n orienté vers l’extérieur de V . 3 Principe de conservation de la masse : équation de continuité Considérons un volume dV dans lequel rentre et sorte une certaine quantité de fluide. S’il sort plus de fluide qu’il n’en rentre, le fluide, au sein de dV se détend (il est de moins en moins dense). S’il rentre plus de fluide qu’il n’en sort, le fluide se comprime (il est de plus en plus dense). Dans un cas comme dans l’autre, le fluide ne peut se comprimer/se détendre indéfiniment (sa masse volumique ne peut tendre vers l’infini ou vers zero). Si on considère un fluide incompressible, il est impossible qu’il se comprime ou qu’il se détende, il rentre donc autant de fluide qu’il n’en sort de dV . Mettons cela en équation. Figure I.15 — Conservation de la masse Considérons un écoulement décrit par un champ de vitesse ~v (x, y, z, t) et une masse volumique ρ(x, y, z, t). Isolons un volume V quelconque de cet écoulement, fermé par une surface S. Comment évolue la masse contenue dans le volume V entre t et t + dt ? 3.1 Première manière Soit le débit sortant (d’où le signe −) du volume dV : dm dt D’où la variation de masse durant l’intervalle dt : qm = − dm = −qm dt = − Z S ρ(x, y, z, t) ~v (x, y, z, t).~n dS dt 5. George Green, physicien britannique (1793-1841) 6. Mikhaïl Vassilievitch Ostrogradski, un physicien et mathématicien ukrainien (1801-1862) (I.65) (I.66) 23 3. Principe de conservation de la masse : équation de continuité Remarque : Pourquoi "−" ? Si ~v (x, y, z, t).~n > 0 en tout point (~v est colinéaire et dans le même sens que ~n) alors dm < 0 : le volume dV perd de la masse. On utilise G-O : dm = −qm dt = − 3.2 Z S ρ(x, y, z, t) ~v (x, y, z, t).~n dS dt = − Z V div (ρ ~v ) dV dt (I.67) Deuxième manière La variation de la masse contenue dans V est donnée par la variation de la masse volumique du volume dV . dm est donné par la différence de masse volumique entre t et t + dt : dm = Z V [ρ(t + dt) − ρ(t)] dV (I.68) Or : ∂ρ(t) ρ(t + dt) − ρ(t) = ∂t dt (I.69) ∂ρ(t) dV dt ∂t (I.70) Donc : dm = 3.3 Z V Bilan : En combinant les équations I.67 et I.70, on obtient : dm = − Z V div (ρ ~v ) dV dt = Z V ∂ρ(t) dV dt ∂t (I.71) Donc : div (ρ ~v ) + ∂ρ(t) =0 ∂t (I.72) Cette équation est l’équation locale de continuité. On a déjà vu que l’opérateur div fait le bilan des entrées-sorties de fluide dans dV , si ce terme vient à être non-nul, il rentre plus de fluide qu’il en sort ou inversement. Dans ce cas, le terme de droite ( ∂ρ(t) ∂t ) contient l’évolution de la masse volumique de fluide dans dV du fait des différences d’entrées-sorties. Tout champ de vitesse postulé en mécanique des fluides doit valider l’hypothèse de continuité. Avant tout autre calcul, vous devez vérifier que l’équation de continuité est respectée. Remarque : en mécanique des milieux continus, on appelle équation locale une équation qui se vérifie en tout point d’un volume considéré V . Une équation globale est une équation qui ne serait vérifiée que, ou au moins sur l’ensemble du volume V . On aurait, ici, par exemple, comme équation globale : Z V ∂ρ(t) div (ρ ~v ) + dV = 0 ∂t (I.73) 24 Chapitre I. Introduction 3.4 Cas particulier 3.4.1 Ecoulement stationnaire On appelle "écoulement stationnaire" un écoulement où aucune des variables/propriétés n’est dépendante du temps. Dans ce cas : ∂ρ(t) =0 ∂t (I.74) div (ρ ~v ) = 0 (I.75) Et donc : 3.4.2 Ecoulement incompressible Si on fait l’hypothèse que l’écoulement est incompressible, la masse volumique ne dépend ni du temps ni de la position : ρ(x, y, z, t) = ρ ∂ρ(t) =0 ∂t (I.76) div (ρ ~v ) = ρ div (~v ) = 0 (I.77) div (~v (x, y, z)) = 0 (I.78) Donc : D’où : 3.5 Exemple En règle général, les écoulements que l’on va traiter sembleront "d’évidence" respecter l’équation de continuité : il ne sera pas nécessaire de résoudre l’équation pour vérifier qu’elle est respectée. On considère l’écoulement suivant : ~v = a x ~ex , valable entre x = 0 et x = 1, inclus. Figure I.16 — Conservation de la masse : exemple On voit tout de suite le problème de cette écoulement : si a > 0, en x = 0 l’écoulement va moins vite (vx = 0 !) qu’en x > 0 (en x = 1 il vaut vx = a). Il n’y a pas de matière à rentrer en x = 0, alors qu’il en sort en x = 1. Cet écoulement n’est pas durable (il s’arrêtera quand il n’y 25 4. Ecoulement à potentiel de vitesse aura plus de matière entre x = 0 et x = 1). Regardons ce que cela donne en équations. Pour un écoulement incompressible on a : div (ρ ~v ) + ∂ρ(t) = div (~v ) = 0 ∂t (I.79) Or : ∂vx (x) ∂vy (x, y, z) ∂vz (x, y, z) + + =a,0 ∂x ∂y ∂z div(~v ) = (I.80) Cet écoulement est impossible pour un fluide incompressible. Pour un écoulement stationnaire, on a : div (ρ ~v ) + div(ρ(x)~v ) = ∂ρ(t) = div (ρ ~v ) = 0 ∂t ∂ρ(x) vx (x) ∂ρ(x) vy (x, y, z) ∂ρ(x) vz (x, y, z) + + =0 ∂x ∂y ∂z (I.81) (I.82) Qui se réduit à : ∂a x ∂ρ(x) ∂ρ(x) + ρ(x) =a x + a ρ(x) = 0 ∂x ∂x ∂x Cette équation a pour solution : div(ρ(x)~v ) = a x (I.83) Cste (I.84) x Le champ de vitesse n’existe en x = 0 que si la masse volumique y est infinie. Cet écoulement ne peut pas être stationnaire. ρ(x) = 3.6 Puits et sources Si on isole un volume V de fluide, par exemple un tronçon de rivière, il est possible qu’il y ait dans ce tronçon une "source" (un apport de fluide), par exemple un affluent, ou un "puits" (une perte de fluide), par exemple un embranchement de rivière de type "delta". On peut ajuster l’équation de continuité en présence de source ou de puits si on connaît le débit volumique ajouté ou prélevé : Z V div (ρ ~v ) + X ∂ρ(t) dV = ρ q Vi ∂t i (I.85) qVi est le débit volumique des sources (> 0) ou des puits (< 0). 4 Ecoulement à potentiel de vitesse On dit qu’un écoulement est à potentiel de vitesse s’il existe une fonction scalaire ϕ (le potentiel de vitesse), telle que : ~ ~v (x, y, z, t) = grad(ϕ(x, y, z, t)) Ce qui est toujours le cas si l’écoulement est irrotationnel. (I.86) 26 4.1 Chapitre I. Introduction Exemple On prend l’exemple suivant : ~v (r) = A ~eθ r (I.87) Cet écoulement est bien irrotationnel : ~ (~v ) = 1 rot r ∂vz ∂ − (r vθ ) ∂θ ∂z ∂vr ∂vz e~r + − ∂z ∂r 1 e~θ + r ∂ ∂vr (r vθ ) − ∂r ∂θ e~z (I.88) Donc : ~ (~v ) = 1 rot r ∂ (r vθ ) ∂r e~z = ~0 (I.89) Par définition du gradient : ~v = A ∂ϕ 1 ∂ϕ ∂ϕ ~ ~eθ = gradϕ = e~r + e~θ + e~z r ∂r r ∂θ ∂z (I.90) Donc : 1 ∂ϕ A = r ∂θ r (I.91) ϕ(r, θ, z) = A r + B (I.92) Et : où B est une constante d’intégration. CHAPITRE II Statique des fluides Sommaire 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 Problème en une dimension : variation de la pression dans une colonne de 2.1 Force de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Force de volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Principe fondamental de la statique (PFS) . . . . . . . . . . . . . fluide . . . . . . . . . 28 28 29 29 3 Equation fondamentale de l’équilibre des fluides 3.1 Force de surface . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Force de volume . . . . . . . . . . . . . . 3.3 PFS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 29 30 30 4 Poussée d’Archimède . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1 Chapitre II. Statique des fluides Introduction Pour les étudiants qui ont déjà eu l’occasion de suivre des cours de mécanique des fluides, ce chapitre reprendra des équations qu’ils connaissent déjà. Le rôle de ce chapitre est d’introduire les outils de la MMC dans la mécanique des fluides via un problème simple : un fluide immobile (statique). 2 Problème en une dimension : variation de la pression dans une colonne de fluide Figure II.1 — Pression autour d’un volume de fluide Un considère un volume élémentaire de fluide dV , de côtés dx, dy et dz. On considère l’accélération de la pesanteur ~g colinéaire à ~ez : ~g = −g ~ez (II.1) Faisons un bilan des forces s’exerçant sur dV . 2.1 Force de surface Le fluide est immobile, et comme nous l’avons déjà introduit, il ne subit que des forces de surface normales à ses surfaces : ~v = 0 et dF~St d~v =η =0 dS dx (II.2) Puisque ce volume est statique, on peut supposer que les forces selon ~ex et ~ey s’équilibrent, on ne les traite donc pas. Selon ~ez , on a les forces de pression qui s’exercent sur la face en z et sur la face en z + dz. Ces faces ont une surface dS = dxdy. En z : dF~S (z) = −p(z)(−~ez )dS = p(z)~ez dxdy (II.3) dF~S (z + dz) = −p(z + dz)~ez dS = −p(z + dz)~ez dxdy (II.4) En z + dz : 3. Equation fondamentale de l’équilibre des fluides 2.2 29 Force de volume On ne traite que du poids comme force de volume. dV subit un poids dP~ : dP~ = ρ~g dV = −ρg~ez dxdydz 2.3 (II.5) Principe fondamental de la statique (PFS) dV étant immobile, on vérifie : dF~S (z) + dF~S (z + dz) + dP~ = ~0 (II.6) p(z)dxdy − p(z + dz)dxdy − ρg dxdydz = 0 (II.7) Soit, projeté sur ~ez : On peut tout rapporter à dV = dxdydz : p(z) p(z + dz) − −ρ g = 0 dz dz (II.8) ou : p(z + dz) − p(z) ∂p(z) +ρ g = +ρ g = 0 (II.9) dz ∂z Par intégration, soit p(z0 ) la pression au point de hauteur z0 , p(z1 ) la pression au point de hauteur z0 : dp = −ρ g dz p(z1 ) − p(z0 ) = Z z1 z0 −ρ g dz = −(ρ g z1 − ρ g z0 ) = ρ g z0 − ρ g z1 (II.10) (II.11) Soit : p(z1 ) + ρ g z1 = p(z0 ) + ρ g z0 (II.12) p(z) + ρ g z = cste (II.13) Et note alors que : 3 Equation fondamentale de l’équilibre des fluides Généralisons le problème en 3 dimensions, ne traitons pas que du cas où ~g est colinéaire ~ez . Isolons un volume V , fermé par une surface S. Faisons le bilan des forces qui s’applique sur V . 3.1 Force de surface Soit ~n la normale à la surface en un point M de cette surface, pointant vers l’extérieur de V . Les forces de surface sont : F~S = Z −p(x, y, z) ~n dS S ~ constant sur V : Considérons un champ de vecteur quelconque A (II.14) 30 Chapitre II. Statique des fluides ~= F~S .A Z ~ dS −p(x, y, z) ~n.A S (II.15) Or, S fermant V , d’après G-O, on a : Z S Z ~ dS = −p(x, y, z) ~n.A ~ div(−p A)dV V (II.16) Le divergent est un opérateur différentiel, qui subit les mêmes règles que "la dérivé" : (u.f )0 = u0 .f + u.f 0 (II.17) ~ ~ = −p div(A) ~ + grad(−p). ~ div(−p A) A (II.18) Donc : ~ = Cste, ~ donc div(A) ~ =0 : Or A Z ~= F~S .A ~ ~ dV −grad(p) A (II.19) ~ grad(p(x, y, z)) dV (II.20) V ~: Et donc, en simplifiant par A F~S = − Z V Cette expression de la force la résultante des forces de surface, malgré cette démonstration, est assez triviale. Si on isole un cube au sein d’un fluide, les forces de surfaces sont due aux pressions sur chaque face. Si la pression est la même sur chaque face (le gradient est nul), la résultante de ces forces est nulle. Si la pression varie, la résultante des forces est due à la différence des pressions entre face, donc du gradient de pression d’une face à l’autre. 3.2 Force de volume La force volumique élémentaire vaut, si on ne considère que le poids : f~V = ρ ~g (II.21) Donc, sur le volume complet : F~V = 3.3 Z ρ ~g dV V (II.22) PFS A l’équilibre, on arrive à : F~S + F~V = ~0 (II.23) Donc : Z ~ grad(p) dV + Z ρ ~g dV = ~0 (II.24) ~ −grad(p(x, y, z)) + ρ(x, y, z) ~g = ~0 (II.25) − V V (Equation globale sur V ) donc : C’est l’équation fondamentale de l’équilibre. 31 4. Poussée d’Archimède 4 Poussée d’Archimède Soit un corps de masse volumique ρc , de volume Vc , immergé dans un fluide de masse volumique ρf . Sc la surface extérieure du corps, ~n la normale en un point de cette surface. Les forces exercées par le fluide sur l’objet sont des forces de contact : F~S = Z Sc −p ~n dS = − Z ~ grad(p) dV Vc (II.26) Or la pression qu’exerce le fluide sur le corps, est la pression du fluide au niveau de l’interface fluide/corps, qui vérifie : ~ − grad(p) + ρf ~g = ~0 (II.27) ~ grad(p) = ρf ~g (II.28) Donc : On en déduit : F~S = − Z Vc ~ grad(p) dV = − Z Vc ρf ~g dV (II.29) Et si la masse volumique du fluide est homogène autour du corps : F~f luide→corps = −ρf Vc ~g (II.30) C’est la poussée d’Archimède 1 . On note que ρf Vc est la masse de fluide que le corps déplace (remplace), et que la force s’oppose à ~g . Un corps immergé est soumis à une force verticale ascendante égale au poids de liquide déplacé par ce corps. 1. Archimède de Syracuse est né... à Syracuse vers 287 av. J.-C. et mort au même endroit 75 ans plus tard, assassiné par un soldat romain. C’est un grand scientifique de Sicile, qui était à l’époque une île de la Grande Grèce (la Grèce + ses colonies/comptoirs en Méditerranée). Il était physicien, mathématicien et ingénieur. On le pense inventeur de l’écrou. Il démontra aussi que ab ac = ab+c . 32 Chapitre II. Statique des fluides CHAPITRE III Dynamique des fluides parfaits Sommaire 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2 Equation de l’hydrodynamique des fluides parfaits . . 2.1 Bilan des forces . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Principe fondamental de la dynamique (PFD) 2.3 Accélération eulérienne . . . . . . . . . . . . . 2.4 Autres écritures de l’accélération . . . . . . . . . . . . 34 34 34 35 35 3 Généralisation des équations de la dynamique avec d’autres 3.1 Référentiel non-inertiel . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Référentiel inertiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Constante d’intégration : conservation du volume . forces volumiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 37 38 39 4 Simplification de l’équation de dynamique des fluides . . . . . . . . . . . . . . 39 5 Relation de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Energie potentielle de pesanteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Point de vue énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 41 41 6 Pression motrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 7 Bernoulli sur une ligne de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 8 Théorème de la variation transversale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 9 Conservation du débit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 10 Puissance mécanique d’un écoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 11 Bilan : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1 Chapitre III. Dynamique des fluides parfaits Introduction Nous poursuivons l’introduction des outils de la MMC dans la mécanique des fluides avec la dynamique des fluides parfaits. A nouveau, certains étudiants auront déjà vu les équations finales démontrées ici, mais nous les redémontrons d’une autre manière, et de façon plus généralisée. Nous allons travailler sur les fluides parfaits. On rappelle que de tels fluides n’existent pas. Ils s’agit de fluides idéalisés, pour lesquels on considère la viscosité comme nulle. Cela implique que les forces de surfaces ne peuvent être que normales à la surface. 2 2.1 Equation de l’hydrodynamique des fluides parfaits Bilan des forces On considère un volume V de fluide en mouvement, fermé par une surface S. En l’absence de viscosité, les forces de surfaces ne sont dues qu’à la pression sur la surface S : F~S = Z S −p ~n dS = Z ~ −grad(p) dV V (III.1) On ne traite que du poids en force de volume : F~V = 2.2 Z (III.2) ρ ~g dV V Principe fondamental de la dynamique (PFD) Le fluide est, cette fois-ci, en mouvement. On applique donc le PFD sur V , de masse m : m ~Γ = F~ext (III.3) ρ ~Γ dV = F~S + F~V (III.4) X Donc : m ~Γ = Z V ρ ~Γ dV = Z V Z V ~ −grad(p) dV + Z ρ ~g dV V (III.5) On transforme cette équation en équation locale : ~ ρ ~Γ = −grad(p) + ρ ~g (III.6) Ou, dans sa forme plus standard : ~Γ = − 1 grad(p) ~ + ~g ρ C’est l’équation générale de la dynamique des fluides parfaits. Il nous reste à exprimer ~Γ . (III.7) 35 2. Equation de l’hydrodynamique des fluides parfaits 2.3 Accélération eulérienne Soit ~v (x, y, z, t) la vitesse au point {x, y, z} à l’instant t : vx (x, y, z) ~v (x, y, z) = vy (x, y, z) vz (x, y, z) {~e (III.8) ey ,~ez } x ,~ La variation de vitesse d~v d’une particule entre l’instant t où elle est passée en {x, y, z} et l’instant t + dt où elle est arrivée "ailleurs" (en x + dx, y + dy, z + dz) peut être due à : 1. La variation de vitesse entre ces 2 points de l’écoulement (ex : chute d’eau) ; 2. La variation de la vitesse au cours de l’intervalle de temps dt (le débit change : pluie, lâché de barrage). Pour la première partie, on a par exemple la variation de ~v le long de dx : ∂~v ∂x y,z,t dx (même principe le long de dy et de dz). Pour la seconde partie, on a la variation temporelle de ~v : ∂~v dt. On obtient donc : ∂t x,y,z ∂~v ∂~v ∂~v ∂~v d~v = dx + dy + dz + dt ∂x y,z,t ∂y x,z,t ∂z x,y,t ∂t x,y,z (III.9) Et finalement, l’accélération : dx ∂~v dy ∂~v dz ∂~v ~Γ = d~v = ∂~v + + + dt ∂x y,z,t dt ∂y x,z,t dt ∂z x,y,t dt ∂t x,y,z (III.10) Durant l’intervalle de temps dt, une particule se déplace de dx selon ~ex , on en déduit donc que : dx = vx dt et de même dy = vy dt, dz = vz dt (III.11) D’où : ∂~v ∂~v ∂~v D~v ~Γ = ∂~v vx + vy + vz + = ∂x y,z,t ∂y x,z,t ∂z x,y,t ∂t x,y,z Dt D~v Dt 2.4 (III.12) est appelé "dérivée particulaire" de la vitesse. Autres écritures de l’accélération On a : ∂vx ∂x ∂v y ¯ grad(~v (x, y, z)) = ∂x ∂vz ∂x Et : ∂vx ∂y ∂vy ∂y ∂vz ∂y ∂vz ∂z ∂vz ∂z ∂vz ∂z ~ex ,~ey ,~ez (III.13) 36 Chapitre III. Dynamique des fluides parfaits ¯ grad(~v ).~v = ∂vx ∂vx ∂vx vx + vy + vz ∂x ∂y ∂z ∂vy ∂vy ∂vy vx + vy + vz ∂x ∂y ∂z ∂vz ∂vz ∂vz vx + vy + vz ∂x ∂y ∂z {~ex ,~ey ,~ez } (III.14) On reconnaît dans le terme de gauche sur chaque ligne : ∂v x ∂x vx ∂vy ∂x vx ∂~v vx = ∂x ∂vz ∂x vx (III.15) {~ex ,~ey ,~ez } Et donc, avec la même observation pour vy et vz : ¯ v ) .~v ~Γ = ∂~v + grad(~ ∂t (III.16) Une dernière écriture permet de faire apparaître un rotationnel. Cette écriture est utile si l’écoulement est irrotationnel : cela nous débarrasse de ce terme. ¯ le tenseur tourbillon, tel que : Notons Ω ¯ = 1 grad~ ¯ v − grad ¯ T ~v Ω (III.17) 2 On note que ce tenseur est l’analogue de ω ¯ défini en "Solides Déformables", le tenseur antisymétrique qui correspond au rotation de corps rigide. C’est un tenseur de vitesse de rotation de corps rigide. On admettra, sans le démontrer (ça peut être un bon exercice) : v2 ¯ T ~v .~v = grad ~ grad 2 ! (III.18) Avec v 2 = ~v .~v ; et on admet aussi : ¯ v=Ω ~ ∧ ~v Ω.~ (III.19) ~ est le vecteur tourbillon : Ω ~ = 1 rot(~ ~ v ). On obtient alors : Ω 2 v2 ¯ .~v = grad ¯ v ) .~v = grad ¯ T (~v ) + 2Ω ~ grad(~ 2 ! ~ ∧ ~v + 2Ω (III.20) Et donc finalement : v2 ~Γ = ∂~v + grad ~ ∂t 2 ! ~ ~v ∧ ~v + rot (III.21) ~ ~v = ~0, et on rappelle que si vi ne dépend que de xi ceci Si l’écoulement est irrotationnel (rot est vérifié -ex : vx ne dépend que de x-), alors : v2 ~Γ = ∂~v + grad ~ ∂t 2 ! (III.22) 3. Généralisation des équations de la dynamique avec d’autres forces volumiques 3 37 Généralisation des équations de la dynamique avec d’autres forces volumiques Figure III.1 — Vase tournant On considère un récipient cylindrique tournant autour de son axe de révolution et contenant un fluide considéré comme parfait. Théoriquement, le vase, en tournant, ne peut pas entraîner le fluide, puisque s’il est parfait, il n’a pas de viscosité, donc il n’existe pas de force tangentielle pouvant entraîner le fluide. On passera outre ce constat, et on considère le fluide comme entraîné par le cylindre tournant. 3.1 Référentiel non-inertiel On se place dans le référentiel non-inertiel du cylindre (non-galiléen), dans lequel le fluide est immobile. On a des forces de surfaces qui s’exercent sur le fluide. Elles sont définies par : F~S = Z ~ −grad(p) dV (III.23) V On a comme forces de volume, le poids du fluide : P~ = Z (III.24) ρ ~g dV V Mais, comme on considère un référentiel non-inertiel, on a aussi une force volumique qui est la force centrifuge : F~c = m r Ω2 ~er = Z V ρ r Ω2 ~er dV (III.25) Et donc, si on applique le PFS : F~S + P~ + F~c = ~0 = Z V ~ −grad(p) dV + Z V ρ ~g dV + Z V ρ r Ω2 ~er dV (III.26) Et donc, en tout point du fluide, avec ~g = −g ~ez ~ − grad(p) − ρ g ~ez + ρ r Ω2 ~er = ~0 Cette équation nous permet de déduire le champ de pression dans le fluide : (III.27) 38 Chapitre III. Dynamique des fluides parfaits ~ grad(p) = −ρ g ~ez + ρ r Ω2 ~er (III.28) Donc : ∂p ∂p = −ρ g et = ρ r Ω2 ∂z ∂r On en déduit, en intégrant sur z : (III.29) p(z, r) = −ρ g z + C(r) A priori, la constante peut être une fonction de r puisque p(z, r) = −ρ g z + ρ (III.30) ∂p ∂r est non nul. Et on a, finalement : r2 2 Ω +B 2 (III.31) B est une constante inconnue pour l’instant. 3.2 Référentiel inertiel On peut également traiter le problème en se plaçant dans un référentiel galiléen. Dans ce référentiel, le fluide imprime un mouvement de vitesse purement orthoradiale : ~v = vθ (r) ~eθ (III.32) La vitesse en r = 0 est nulle, et par adhésion du fluide sur les parois, on vérifie : vθ (R) = Ω R. Le fluide suit également la vitesse du fond du récipient. Tout ceci nous permet d’obtenir : ~v = vθ (r)~eθ = rΩ ~eθ (III.33) Dans ce référentiel, il n’y a pas d’autre force volumique que le poids, on peut reprendre l’équation de l’hydrodynamique des fluides parfaits : ~Γ = − 1 grad(p) ~ + ~g ρ (III.34) Avec : v2 ~Γ = ∂~v + grad ~ ∂t 2 ! ~ ~v ∧ ~v + rot (III.35) On commence par le plus simple, l’écoulement étant stationnaire : ∂~v ~ =0 ∂t (III.36) Puis on a : v2 ~ v 2 = ~v .~v = r2 Ω2 donc : grad 2 ! = r Ω2 ~er (III.37) Et enfin : ~ ~v = 2Ω ~ez rot (III.38) ~ ~v ∧ ~v = −2rΩ2 ~er rot (III.39) Donc : 39 4. Simplification de l’équation de dynamique des fluides En en déduit l’accélération : ~Γ = ~0 + r Ω2 ~er − 2rΩ2 ~er = −rΩ2 ~er (III.40) Et on retombe sur la même expression que pour le référentiel non-inertiel : ~ grad(p) = −ρ g ~ez + ρ r Ω2 ~er 3.3 (III.41) Constante d’intégration : conservation du volume L’expression de la pression est : r2 2 Ω + ρD (III.42) 2 (On met B = ρD en constante d’intégration pour avoir ρ en facteur partout). Pour un fluide incompressible, le volume de fluide en rotation est le même que le volume de fluide au repos. Soit R le rayon du cylindre, h0 la hauteur de fluide au repos. Le volume de fluide vaut : p(z, r) = −ρ g z + ρ (III.43) V = π R 2 h0 En rotation, la surface de fluide est à pression atmosphérique p0 , et donc la surface du fluide est définie par les points d’altitude z0 (r) tels que : p0 1 z0 (r) = − + ρg g Ω2 r 2 +D 2 ! (III.44) Pour trouver l’inconnue manquante, D, on utilise le fait que le fluide soit incompressible, et le volume de fluide est le même au repos ou en rotation : Z 2π Z R 0 0 z(r)rdrdθ = π R2 h0 (III.45) D’où on tire finalement : p0 Ω2 R2 − ρ 4 (III.46) (2r2 − R2 ) Ω2 4g (III.47) D = g h0 + En simplifiant, on a : z0 (r) = h0 + 4 Simplification de l’équation de dynamique des fluides On va simplifier ici l’équation générale de la dynamique des fluides parfaits pour des cas particuliers. On ne traite que du cas où : 1. Les forces volumiques sont conservatives. Le travail d’une force conservative ne dépend pas du chemin suivi. Ce qui implique que le travail d’une force conservative est une différence de potentiel : WAB = UA − UB (III.48) Une force conservative dérive donc d’un potentiel : ~ U f~V = −grad (III.49) 40 Chapitre III. Dynamique des fluides parfaits Il s’agit là de la force volumique élémentaire, la force de volume serait : F~V = Z ~ U dV −grad (III.50) V On peut donc ré-écrire : ~ ~ ρ ~Γ = ”F~S ” + ”F~V ” = −grad(p) − gradU 2. L’écoulement est permanent : ∂~v ∂t (III.51) = ~0. ~ ~v = ~0 3. L’écoulement est irrotationnel : rot On déduit des 2 dernières hypothèses que : v2 ~Γ = ∂~v + grad ~ ∂t 2 ! v2 ~ ~ ~v ∧ ~v = grad + rot 2 ! (III.52) On obtient finalement : v2 ~ ρ grad 2 5 ! ~ = −grad(p + U) (III.53) Relation de Bernoulli Quelques autres simplifications permettent d’aboutir à une relation plus simple : la relation de Bernoulli 1 . On considère toujours un écoulement irrotationnel et permanent. On ne traite, comme force volumique, que du poids. On se place, finalement, dans le cadre d’un fluide ~ ρ = ~0. On a donc : incompressible, qui vérifie donc : grad v2 ~ ρ grad 2 ! v2 ~ = grad ρ 2 ! ~ = −grad(p + U) (III.54) Et : v2 ~ grad −p − U − ρ 2 ! = ~0 (III.55) Quelque soient les points M et M 0 , on a donc : ρ v(M )2 v(M 0 )2 + p(M ) + U (M ) = ρ + p(M 0 ) + U (M 0 ) = cste 2 2 (III.56) 1. La famille de Bernoulli est famille illustre en science. Il s’agit ici de Daniel Bernoulli, suisse (1700-1782), mathématicien et physicien. Il était membre de l’Académie de Paris, et a reçu dix fois le prix annuel de l’Académie des sciences de Paris. C’était un ami de Leonhard Paul Euler, que son père, Jean Bernoulli (1667-1748), a formé. Jean Bernoulli est célèbre pour avoir résolu le problème de la chainette (l’équation de la forme que prend une chaîne tenue par ses deux extrémités). Son frère, Nicolas était mathématicien, tout comme son oncle, plus renommé, Jacques, son cousin, s’appelant aussi Nicolas, ses neveux, Jacques et Jean (oui, il n’y a aucune originalité de prénom dans cette famille). 41 5. Relation de Bernoulli 5.1 Energie potentielle de pesanteur Le force volumique traitée ici (le poids) dérive d’un potentiel : elle dérive de l’énergie potentielle de pesanteur. C’est l’énergie qu’un corps possède potentiellement du fait de son altitude : Ep (z) = m g z (III.57) A une constante près. La seule force volumique qu’on traite est le poids, on a : F~V = P~ = m ~g = Z V ρ ~g dV = Z Z ~ U dV −grad V ~ U dV −grad V (III.58) (III.59) On se place dans le cas où : ~g = −g ~ez : ~ U = −ρ g ~ez ρ ~g = −grad (III.60) En projetant sur ~ez : ρg= ∂U ∂z (III.61) Donc : U (z) = ρ g z + Cste (III.62) Remarque : U est l’énergie potentielle de pesanteur volumique (ramené au volume élémentaire) : U = dEp /dV (dEp l’énergie potentiel de pesanteur d’une masse dm, de volume dV ). On obtient finalement la relation de Bernoulli : ρ v(M )2 v(M 0 )2 + p(M ) + ρ g z(M ) = ρ + p(M 0 ) + ρ g z(M 0 ) = cste 2 2 (III.63) Cette relation est vraie pour un écoulement permanent, irrotationnel, d’un fluide parfait incompressible, où seul le poids intervient en force volumique. 5.2 Point de vue énergétique Nous traitons, dans la relation de Bernoulli, de fluide parfait. Un fluide parfait ne subit pas de force tangentielle, donc pas de frottement. En d’autres termes, ce type de fluide ne dissipe pas d’énergie sous forme de chaleur. Son énergie mécanique est donc conservée. Reprenons l’équation de Bernoulli : v 2 (z) + p(z) + ρ g z = cste (III.64) 2 On considère un élément de ligne de courant d~l, dS une section entourant la ligne de courant, telle que ~n, la normale à dS, colinéaire à d~l. Multiplions l’équation de Bernoulli par le volume dV = d~l.~ndS. On a ρ dV = dm, donc : ρ v2 + p dV + dm g z = cste (III.65) 2 On reconnaît à gauche l’énergie cinétique, à droite l’énergie potentielle de pesanteur, et au centre le terme p dV . Ce terme correspond à (dl = d~l.~n) : dm p dV = p dl dS = dF dl (III.66) 42 Chapitre III. Dynamique des fluides parfaits Il s’agit du travail des forces de pression sur la surface dS : c’est le travail des forces produites par la pression. La relation de Bernoulli souligne donc simplement la conservation de l’énergie mécanique du fluide. 6 Pression motrice On appelle, en mécanique des fluides, "pression motrice" le terme p∗ qui vérifie : ∗ ~ ~ − grad(p) + ρ ~g = −grad(p ) (III.67) p∗ (z) = p(z) + ρ g z (III.68) Pour ~g = −g ~ez D’où : ρ 7 v(z)2 + p∗ (z) = cste 2 (III.69) Bernoulli sur une ligne de courant On a vu que Bernoulli est valide pour un écoulement irrotationnel entre n’importe quel point de l’écoulement. On va montrer ici, par l’exemple, que cette relation est vraie sur une ligne de courant d’un écoulement rotationnel, entre 2 points de cette ligne. On reprend l’équation de la dynamique des fluides parfaits pour un écoulement rotationnel permanent d’un fluide incompressible : v2 ~ ~ − grad(p) + ρ ~g = ρ grad 2 ! ! ~ ~v ∧ ~v + rot (III.70) On considère l’écoulement suivant : ~v = rΩ ~eθ (III.71) L’écoulement étant incompressible, on doit vérifier que : div(~v ) = 0 : ∂vr 1 ∂vθ vr ∂vz + + + = 0 → OK ∂r r ∂θ r ∂z On identifie la ligne de courant : tout élément d~l de la ligne de courant vérifie : div(~v ) = d~l ∧ ~v = ~0 (III.72) (III.73) Soit : a d~l = b c (III.74) Donc : a 0 −rΩ c 0 0 b ∧ rΩ = = 0 c 0 rΩ a 0 (III.75) 43 8. Théorème de la variation transversale Donc a = c = 0 et d~l est donc coliénaire à ~eθ . Si on définit d~l comme l’élément de longueur parcouru durant dt : d~l = ~v dt = r Ω dt ~eθ (III.76) On a déjà calculé l’accélération pour ce champ de vitesse : ~Γ = −r Ω2 ~er (III.77) Et on en avait déjà déduit le champ de pression : p(z, r) = −ρ g z + ρ r2 2 Ω +B 2 (III.78) Sur une ligne de courant, d’après d~l, ni r, ni z ne varie puisque d~l est purement orthoradial. Or à r et z constant, la pression est constante, la vitesse est constante, et l’énergie potentielle de pesanteur est constante. Donc : v2 + p∗ = cste 2 Est vrai sur n’importe quelle ligne de courant de cet écoulement. ρ (III.79) On acceptera donc que, pour un écoulement rotationnel, Bernoulli est vrai sur une ligne de courant. 2 Remarque : on appelle "pression dynamique" le terme ρ v2 . Bernoulli traduit donc que la somme des pressions motrice et dynamique est constante. 8 Théorème de la variation transversale Figure III.2 — Ecoulement à courbure locale Soit une ligne de courant définie par une courbure locale R, pour un fluide parfait incompressible. Par définition de la ligne de courant : ~v = vθ (r, θ, z) ~eθ (III.80) 44 Chapitre III. Dynamique des fluides parfaits On vérifie : ∗ ~ ρ ~Γ = −grad(p ) (III.81) Et en écoulement permanent : v2 ~ ρ grad 2 ! ! ∗ ~ ~ ~v ∧ ~v = −grad(p + rot ) (III.82) On a déjà montré que si ~v = r Ω~eθ = vθ (r)~eθ , alors : ~Γ = −rΩ2~er (III.83) D’où (Ω = vθ /r) : 2 ~Γ = − vθ ~er r (III.84) On admet donc ici que : ρ ~Γ .~er = −ρ v2 R (III.85) D’où : v2 ∗ ~ − grad(p ).~er = −ρ R (III.86) ∂p∗ v2 =ρ ∂r R (III.87) Et donc : Si les lignes de courants sont des droites, et donc que R → +∞, alors : ∂p∗ =0 ∂r (III.88) Dans les sections droites d’un écoulement droit, la pression motrice est constante. Entre deux points A et B d’une section droite (de normale colinéaire à la vitesse) d’un écoulement droit, d’un fluide parfait incompressible, je peux donc écrire : pA + ρ g zA = pB + ρ g zB (III.89) Si l’écoulement est droit, il est irrotationnel, donc je peux écrire Bernoulli entre A et B : ρ 2 vA v2 + pA + ρ g zA = ρ B + pB + ρ g zB 2 2 (III.90) Donc : vA = vB . Pour un fluide parfait, incompressible, si l’écoulement est localement droit, alors la vitesse sur une section droite, de normale ~n colinéaire à ~v , est constante. L’écoulement est alors dit "uniforme". 45 9. Conservation du débit Figure III.3 — Conservation du débit 9 Conservation du débit Soit un écoulement permanent quelconque, d’un fluide parfait ou non, incompressible. Considérons une tube de courant de section SA au point A de section SB au point B. Si le fluide est incompressible, il rentre autant de fluide par la section SA qu’il en sort par la section SB , en masse comme en volume, en régime permanent. Donc : qV A = qVB = Z SA ~vA .~nA dSA = Z SB ~vB .~nB dSB (III.91) Avec ~vA la vitesse en un point de la section SA , ~nA le vecteur normal à la surface SA . Dans le cadre d’un écoulement droit, la vitesse est constante sur la section, donc : qV A = qVB = vA SA = vB .SB (III.92) Avec ~vA .~nA = vA . 10 Puissance mécanique d’un écoulement Soit un écoulement permanent, d’un fluide incompressible. Soit une section droite dans cet écoulement, telle que la normale à cette section soit colinéaire au vecteur vitesse. Soit dS un élément de surface de S entourant localement une ligne de courant. L’énergie mécanique volumique sur la ligne de courant vaut (J.m−3 ) : 1 p∗ + ρ v 2 2 (III.93) 1 WdS = (p∗ + ρ v 2 ) v dS 2 (III.94) La puissance mécanique sur dS vaut : On a bien des J.m−3 .m.s−1 .m2 , donc des : J.s−1 = W. La puissance total de l’écoulement sur S vaut : 1 (p∗ + ρ v 2 ) v dS en W (III.95) 2 S S’il s’agit d’un écoulement droit, la pression motrice étant constante sur S, tout comme la vitesse, la puissance mécanique de l’écoulement à travers S est : WS = Z 1 WS = (p∗ + ρ v 2 ) v S 2 (III.96) 46 11 Chapitre III. Dynamique des fluides parfaits Bilan : Pour un fluide parfait ou statique, les forces de surfaces ne sont que des forces normales, dues à la pression : F~S = R S −p ~n dS = R V ~ p dV −grad (III.97) Pour un fluide, parfait ou non, le champ de vitesse doit toujours vérifier : div (ρ ~v ) + ∂ρ ∂t = 0 (III.98) Ce qui, pour un fluide incompressible, se réduit à : div (~v ) = 0 (III.99) Pour un fluide parfait, en mouvement, on vérifie : ~ p + f~V = ρ ~Γ −grad (III.100) S’il est immobile (statique des fluides), alors ρ ~Γ = ~0. f~V est la force volumique élémentaire qui, si on ne considère que le poids, vaut : f~V = ρ~g (III.101) – Si on ne considère que le poids en force volumique, – Si le fluide est incompressible, – Si ~g = −g ~ez , Alors : ρ v(z)2 v(z)2 + p(z) + ρ g z = ρ + p∗ (z) = cste 2 2 (III.102) Cette relation est vraie sur un tube de courant si l’écoulement est irrotationnel, elle est vraie sur une ligne de courant s’il est rotationnel. Si le fluide est immobile, alors v(z) = 0. Pour un écoulement droit, la vitesse est constante sur une section droite de normale ~n colinéaire à ~v , si le fluide est parfait. Dans ce cas, si l’écoulement est permanent, la conservation du débit entraîne : qV = ~v .~n S = cste (III.103) CHAPITRE IV Dynamique des fluides réels Sommaire 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2 Expérience de Reynolds . . . 2.1 Problèmes . . . . . . 2.2 Nombre de Reynolds 2.3 Mesure de viscosité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 48 49 49 3 Ecoulement laminaire simple : Ecoulement de Poiseuille 3.1 L’écoulement considéré . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Système isolé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Perte de pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 50 51 54 4 Théorème des variations transversales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5 Perte de puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Vitesse moyenne et coefficient de Coriolis . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Perte de puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 55 56 6 Bernoulli généralisé . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Valeur du coefficient de Coriolis . . . . 6.2 Débit volumique . . . . . . . . . . . . 6.3 Coefficient de perte de charge régulière . . . . 56 57 57 58 7 Perte de charge singulière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1 Exemples de κ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 59 8 Section non-circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 9 Pompes et turbines . . . . . 9.1 Perte de puissance . 9.2 Pompes . . . . . . . 9.3 Turbines . . . . . . . 9.4 Relation de Bernoulli . . . . . 59 59 60 60 60 10 Ecoulement turbulent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1 Pourquoi utilise-t-on un abaque ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 61 11 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . avec pompe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et turbine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1 Chapitre IV. Dynamique des fluides réels Introduction Nous avons traité la dynamique de fluide idéalisé, car considéré comme parfait. Nous allons ici traité des fluides réels, donc visqueux. La dynamique des fluides réelles se traite par les équations de Navier 1 -Stokes 2 . Vous les verrez prochainement en TD, mais nous ne traiterons ces équations qu’en fin de cours, car ces équations requièrent quelques outils qui seront vus en cours de Solides Déformables. Nous allons traiter ici d’une approche simplifiée, permettant d’aboutir à une équation de Bernoulli généralisée aux fluides réelles. 2 Expérience de Reynolds En analysant des écoulements, O. Reynolds 3 constate qu’ils existe deux types d’écoulements : – laminaire à faibles vitesses, – turbulent à grandes vitesses. La turbulence est provoquée par les forces de frottement dues à la viscosité : F =η S dv dx (IV.1) Dans un fluide réel, la turbulence apparaît quand un frottement interne, dû à la viscosité, devient suffisant pour la générer. 2.1 Problèmes Dans un fluide parfait, l’équation de Bernoulli est une équation de conservation d’énergie mécanique : p∗ (z) + ρ v 2 (z) = cste 2 (IV.2) Dans un fluide réel, il n’y a pas de conservation de l’énergie mécanique : pertes par frottement. Comment généraliser Bernoulli en prenant en compte les pertes ? Dans un fluide réel, l’écoulement peut être laminaire, on verra alors qu’on peut généraliser Bernoulli. L’écoulement peut aussi devenir turbulent : on devra faire alors appel à des équations empiriques. Comment définir la transition entre régime laminaire et régime turbulent ? 1. Claude Louis Marie Henri Navier, (1785-1836). Il est ingénieur et inspecteur divisionnaire des Ponts et Chaussées, mathématicien, physicien et économiste. 2. George Gabriel Stokes est un mathématicien et physicien britannique (1819-1903). 3. Osborne Reynolds : ingénieur irlandais (1842-1912). A priori rien à voir avec Milton Reynolds (1892-1976), le créateur de la société Reynolds International Pen Company qui fabrique des stylos. 49 2. Expérience de Reynolds 2.2 Nombre de Reynolds Le nombre de Reynolds est un critère de passage de régime laminaire à turbulent : Re = ρvD η (IV.3) Re : nombre de Reynolds, ρ : masse volumique du fluide,[M ].[L]−3 v : norme de la vitesse [L].[T ]−1 , D : longueur caractéristique de l’écoulement (par exemple le diamètre d’une conduite) [L], η : viscosité du fluide [M ].[L]−1 .[T ]−1 (Pa.s = N.m−2 .s = kg.m.s−2 .m−2 .s). La dimension de Re est : Re = [M ].[L]−3 .[L].[T ]−1 .[L] = sans dimension [M ].[L]−1 .[T ]−1 (IV.4) Le nombre de Reynolds peut se voir comme un rapport entre force d’inertie et force de frottement. Ce nombre se déduit de l’équation de Navier-Stokes. Expérimentalement, on observe que : Re < 2000 → Ecoulement laminaire (IV.5) Re > 3000 → Ecoulement turbulent (IV.6) Entre les deux, on a un régime transitoire, l’apparition de turbulence est très aléatoire, et dépend très largement des conditions d’expérience, particulièrement des qualités de surfaces (de conduite par exemple). Par exemple, quand on vide une baignoire, initialement, l’écoulement est laminaire, puis à la fin un tourbillon se forme, on passe en régime turbulent. Néanmoins, ce tourbillon est, au début de sa formation, très instable. 2.3 Mesure de viscosité Pour déterminer le nombre de Reynolds, il faut pouvoir mesurer la viscosité. La méthode la plus répandue est basée sur la mesure de Couette 4 . 2.3.1 Couette plan Figure IV.1 — Couette plan On mesure la force pour entraîner le plan mobile à une vitesse v constante, et connaissant la surface S : 4. Rien à voir avec la coiffure : Maurice Couette était un physicien français (1858-1943) 50 Chapitre IV. Dynamique des fluides réels F v =η S e En théorie efficace, en pratique très difficile à mettre en place. 2.3.2 (IV.7) Couette rotatif En pratique, la méthode de mesure de viscosité la plus répandue est celle du viscosimètre à cylindres rotatifs, dit "viscosimètre de Couette". Figure IV.2 — Viscosimètre de Couette On montre que : C η= 4π h Ω Re2 − Ri2 Re2 Ri2 ! (IV.8) C le couple mesuré (N.m), Ω la vitesse angulaire (rad.s−1 ). Nous ne ferons pas la démonstration ici de cette relation : c’est un très bon exercice pour un examen 5 ... 3 Ecoulement laminaire simple : Ecoulement de Poiseuille Jean-Léonard-Marie Poiseuille est un physicien français (1797-1869), diplômé de Polytechnique. Il donne son nom à une unité de viscosité, le Poise, qui ne devrait normalement plus être utilisé (sauf par les anglais, qui sont encore capable d’utiliser des unités de mesure de viscosité en livre-force seconde par pouce carré). 1 P o vaut 0,1 Pa.s. 3.1 L’écoulement considéré On considère un tube cylindrique, de rayon R, dans lequel s’écoule un fluide réel incompressible. L’écoulement est symétrique de révolution autour de l’axe ~ez . Le champ de vitesse est tel que : 5. On retrouvera l’examen et le corrigé dans le chapitre de l’équation de Navier-Stokes 3. Ecoulement laminaire simple : Ecoulement de Poiseuille 51 Figure IV.3 — Ecoulement de Poiseuille ~v = vz (r, z) ~ez (IV.9) Par symétrie du problème, il ne dépend pas de θ. On a aussi : ~g = −g ~ez (IV.10) On considère qu’il n’y a pas de glissement aux parois du tube, en r = R, donc vz (R, z) = 0. On se place en régime permanent, en écoulement laminaire, et on admet que la pression est homogène dans une section horizontale, toujours par symétrie du problème. On pose le fluide comme incompressible et visqueux. 3.2 Système isolé On isole, au sein de cet écoulement le cylindre, centré en r = 0, de rayon r, dont l’altitude est comprise entre z2 (en dessous) et z1 (au dessus), telles que z1 − z2 = dz. 3.2.1 Bilan des forces Il s’exerce, sur ce cylindre, de volume V , une force volumique, le poids du cylindre : F~V = ρV ~g = −ρ g π r2 (z1 − z2 )~z (IV.11) Il s’exerce des forces de pression sur les surfaces. Il y a une force de pression sur la surface latérale, qui, par symétrie du problème, est de résultante nulle. Il y a une force de pression sur la surface supérieure : F~1 = −p1 π r2 ~z Il y a une force de pression sur la surface inférieure : (IV.12) 52 Chapitre IV. Dynamique des fluides réels F~2 = p2 π r2 ~z (IV.13) On peut déjà faire ici un bilan de ces forces : F~V + F~1 + F~2 = (ρ g π r2 (z2 − z1 ) − p1 π r2 + p2 π r2 ) ~z (IV.14) F~V + F~1 + F~2 = (−p1 − ρ g z1 + p2 + ρ g z2 ) π r2 ~z (IV.15) En remplaçant les expressions pi + ρ g zi par p∗i , la pression motrice, on a : F~V + F~1 + F~2 = (p∗2 − p∗1 ) π r2 ~z On pose dp∗ = p∗2 − p∗1 . Donc on peut écrire : p∗2 − p∗1 = − dp∗ dz (IV.16) dz. On obtient : ∗ dp F~V + F~1 + F~2 = − dz π r2 ~z (IV.17) dz Il reste enfin une troisième force, qui est la force de frottement, due à la viscosité, qui s’oppose à la vitesse, et qui s’applique sur les surfaces latérales : F~3 = τ × S ~z (IV.18) τ est la contrainte tangentielle, S la surface latérale : F~3 = τ × 2 π r dz ~z (IV.19) Le bilan de toutes les forces donne : ∗ dp dz π r2 + τ × 2 π r dz F~V + F~1 + F~2 + F~3 = − dz 3.2.2 ~z (IV.20) Accélération On a : ~v = vz (r, z) ~ez (IV.21) Mais, par l’équation de continuité, pour un écoulement permanent, d’un fluide incompressible, on doit vérifier : div ~v = 0 = ∂vz (r, z) ∂z (IV.22) Donc : ~v = vz (r) ~ez (IV.23) L’expression de l’accélération, en régime permanent, est donnée par : v2 ~Γ = grad ~ 2 ! ~ ~v ∧ ~v + rot (IV.24) On a : ~ ~v = − ∂vz (r) ~eθ rot ∂r Qui donne : (IV.25) 53 3. Ecoulement laminaire simple : Ecoulement de Poiseuille ~ ~v ∧ ~v = − ∂vz (r) vz (r) ~er rot ∂r (IV.26) Puis : v2 ~ grad 2 ! = 1 ∂vz2 (r) ~er 2 ∂r (IV.27) On remarque donc que : ~Γ .~ez = 0 3.2.3 (IV.28) Principe fondamental de la dynamique En projetant le PFD sur ~ez on obtient : dp∗ − dz π r2 + τ × 2 π r dz = 0 dz (IV.29) On peut en déduire l’expression de la contrainte de cisaillement : dp∗ dz π r2 = τ × 2 π r dz dz τ= 3.2.4 (IV.30) r dp∗ 2 dz (IV.31) Champ de vitesse Par définition de la viscosité, la contrainte de cisaillement vaut aussi : τ =η dvz (r) dr (IV.32) Donc : r dp∗ dvz (r) = dr 2η dz (IV.33) Et finalement : dvz (r) = r dp∗ dr 2η dz (IV.34) On en déduit le champ de vitesse sur l’ensemble du tube, entre r = R où la vitesse est nulle, et un point de coordonné r, où sa vitesse vaut vz (r) : vz (r) = Z vz (r) 0 dvz (r) = 1 dp∗ vz (r) = − 2η dz Z r r dp∗ R 2η dz R2 r 2 − 2 2 dr (IV.35) ! (IV.36) On pose v0 la vitesse maximale, en r = 0 : v0 = − 1 dp∗ R2 2η dz 2 Il y a un signe ” − ” car la vitesse s’oppose à ~ez . Finalement : (IV.37) 54 Chapitre IV. Dynamique des fluides réels " vz (r) = v0 r 1− R 2 # (IV.38) Figure IV.4 — Champ de vitesse dans l’écoulement de Poiseuille. ici "x" = −~ez , u(r) = vz (r). Remarque : L’hypothèse qui est faite, pour la suite, et qu’on a toujours un écoulement de Poiseuille : " vz (r) = v0 r 1− R 2 # (IV.39) que ~g soit colinéaire ~ez ou pas. En réalité, si ~g a une composante dans une direction perpendiculaire, l’écoulement de Poiseuille est "déformé", mais l’équation de vz devient trop complexe. Pour la suite, que ~g soit colinéaire ~ez ou pas, ce qu’on appelle "pression motrice" dans la formulation de l’écoulement de Poiseuille est toujours : p∗ (z) = p(z) + ρ g z (IV.40) Avec z qui est bien l’altitude, et qui rentre dans v0 : 1 dp∗ R2 1 v0 = − =− 2η dz 2 2η 3.3 dp R2 +ρ g dz 2 (IV.41) Perte de pression On remarque que dans notre écoulement, la vitesse est constante le long de z, mais dépend d’une variation de pression le long de z. Si on néglige la pesanteur, pour un fluide parfait, l’équation de Bernoulli donne, le long de z (sur une ligne de courant) : d v2 p+ρ z dz 2 ! =0= dp dz (IV.42) dp Or, pour un fluide réel, l’écoulement implique que dz , 0 (sinon, l’écoulement de Poiseuille donne une vitesse nulle !). Il y a une perte de pression dans un écoulement réel, qui est due à la dissipation par frottement. Nous allons, dans la suite de ce chapitre, exprimer cette perte de pression. 4 Théorème des variations transversales Nous avons vu, pour un fluide parfait, que si l’écoulement est droit, alors la pression motrice sur la section est constante. Nous le re-démontrerons par les équations de Navier-Stokes : il en va de même pour un écoulement de Poiseuille où ~v = vz (r) ~ez . La pression motrice dans la section droite d’un écoulement droit, est constante. 55 5. Perte de puissance 5 Perte de puissance On considère toujours le même écoulement, dans une conduite cylindrique à rayon constant. En un point quelconque, de coordonnée (r, z), sur la surface dS de normale ~ez , entourant ce point, la puissance mécanique vaut, que le fluide soit réel ou non, compressible ou non : 1 WdS (r, z) = p (r, z) + ρ vz (r)2 vz (r) dS (IV.43) 2 Par le théorème des variations transversales, la pression motrice est constante dans chaque section droite de la conduite (le long de ~er ), si l’écoulement est droit : p∗ (r, z) → p∗ (z). Donc : ∗ 1 WdS (r, z) = p∗ (z) + ρ vz (r)2 vz (r) rdrdθ 2 La puissance mécanique sur l’ensemble de la section transverse S en z : (IV.44) 1 p∗ (z) + ρ vz (r)2 vz (r) rdrdθ (IV.45) 2 S 0 0 La pression motrice étant constante sur la section, on peut la sortir de l’intégrale : WS (z) = Z WdS (r, z) = ∗ WS (z) = p (z) 5.1 Z 2π Z R Z 2π Z R 0 0 vz (r)rdrdθ + Z 2π Z R 1 0 0 2 ρ vz (r)3 rdrdθ (IV.46) Vitesse moyenne et coefficient de Coriolis Le profil de vitesse (v(r)) est généralement plus complexe à mesurer expérimentalement que le débit volumique (qV ), en particulier si on a un écoulement turbulent. On préfère donc que ces équations s’écrivent en fonction du débit volumique. A partir du débit volumique, on identifie la vitesse moyenne : vmoy = qV S (IV.47) Or : qV = Z 2π Z R 0 0 vz (r) r dr dθ (IV.48) On peut donc déjà écrire : WS (z) = p∗ (z)qV + Z 2π Z R 1 ρ vz (r)3 rdrdθ = p∗ (z)vmoy S + Z 2π Z R 1 ρ vz (r)3 rdrdθ (IV.49) 2 0 0 2 On introduit un paramètre de correction des écoulements non-uniforme, dit également "coefficient de Coriolis", α : 0 0 α= R 2π R R 0 0 vz (r)3 rdrdθ 3 vmoy S (IV.50) Et donc : 1 1 3 2 WS (z) = p (z)vmoy S + ρ α vmoy S = p∗ (z) + ρ α vmoy vmoy S 2 2 ∗ (IV.51) Ou : 1 2 WS (z) = p (z) + ρ α vmoy qV 2 ∗ (IV.52) 56 5.2 Chapitre IV. Dynamique des fluides réels Perte de puissance Entre deux sections transverses, séparées de dz, la variation de puissance vaut : dWS = dWS 1 d 2 p∗ (z) + ρ α vmoy dz = qV dz dz dz 2 (IV.53) La vitesse (donc la vitesse moyenne) ne dépend pas de z, par conservation du débit volumique, la section étant constante : dWS = dp∗ (z) qV dz dz (IV.54) Or, on a : 1 dp∗ R2 r vz (r) = − 1− 2η dz 2 R " 2 # (IV.55) ∗ ∗ Comme vz (r) ne dépend pas de z, dpdz(z) ne dépend pas de z. Donc dpdz(z) est constant. Soit un point A sur une section en amont de l’écoulement, B un point sur une section en aval de l’écoulement. A et B distant de LAB . On a la perte de puissance entre A et B : ∆WAB = Z LAB ∗ dp (z) 0 dz qV dz = ∆p∗AB qV LAB = ∆p∗AB qV LAB (IV.56) ∆p∗AB est la perte de pression motrice le long de la conduite, à section régulière. On l’appelle : "perte de charge régulière". 6 Bernoulli généralisé On peut écrire, avec WSA la puissance sur la section en A et WSB la puissance sur la section en B : WSA = WSB + ∆WAB (IV.57) Donc : p∗A + 1 1 2 2 ρ α vmoy−A qV = p∗B + ρ α vmoy−B qV + ∆WAB 2 2 (IV.58) Le débit volumique est constant entre A et B (conservation du débit) : 1 1 ∆WAB 2 2 p∗A + ρ α vmoy−A = p∗B + ρ α vmoy−B + 2 2 qV (IV.59) 1 1 2 2 p∗A + ρ α vmoy−A = p∗B + ρ α vmoy−B + ∆p∗AB 2 2 (IV.60) et finalement : On peut donc directement écrire la relation de Bernoulli généralisée sur un tube de courant droit en utilisant non pas la vitesse locale, mais la vitesse moyenne, à condition de prendre en compte le coefficient de Coriolis. 57 6. Bernoulli généralisé 6.1 Valeur du coefficient de Coriolis Le coefficient de Coriolis vaut : α= R 2π R R 0 0 v(r)3 rdrdθ 3 S vmoy (IV.61) Pour un écoulement de type Poiseuille, on a : " v(r) = v0 r 1− R 2 # (IV.62) Et donc : 1 1 qV = πR2 v0 et vmoy = v0 2 2 (IV.63) Ce qui donne : α= v03 i r 2 3 R R 2π R R h 0 1− 0 1 3 8 v0 rdrdθ (IV.64) S Et donc : α=2 (IV.65) Dans une large proportion d’ouvrages de mécaniques de fluides, il est fait l’approximation que α ∼ 1. En toute rigueur, c’est une erreur, puisque pour un écoulement laminaire on a α = 2. L’approximation α ∼ 1 se justifie mal, et son unique vrai but est d’avoir une équation de Bernoulli généralisée semblable à l’équation de Bernoulli (fluide parfait). 6.2 Débit volumique Nous allons essayer d’exprimer (enfin, il n’y a pas de suspense, c’est à peu-près sûr qu’on va y arriver) la perte de charge en fonction d’une donnée facilement accessible expérimentalement : le débit volumique. qV = Z S ~v .~n dS = Z 2π Z R 0 0 vz (r) r drdθ (IV.66) ~n = −~ez qV = −2π Z R 0 " r v0 r 1 − R 2 # dr = −2π "Z R 0 v0 r dr − Z R 3 r v0 0 R2 1 R4 π R4 dp∗ qV = −2π v0 − 2 v0 = 2 R 4 8 η dz " R2 # dr (IV.67) # (IV.68) Or le gradient de pression motrice est uniforme, et si LAB est la distance séparant A de B : dp∗ ∆p∗AB = dz LAB (IV.69) Donc : qV = π R4 ∆p∗AB 8 η LAB (IV.70) 58 6.3 Chapitre IV. Dynamique des fluides réels Coefficient de perte de charge régulière On appelle "coefficient de perte de charge régulière" le terme λ, tel que : 2 LAB vmoy ρ D 2 Avec L toujours la distance entre A et B, D le diamètre de la conduite de fluide. ∆p∗AB = λ (IV.71) A quoi correspond λ ? On a : qV = vmoy S = vmoy vmoy π D2 π R4 ∆p∗AB = 4 8 η LAB π D2 π D4 = ∆p∗AB 4 128 η LAB (IV.72) (IV.73) Donc : ∆p∗AB = 2 LAB vmoy 32 η LAB v = λ ρ moy D2 D 2 (IV.74) On en déduit l’expression de λ : λ= 32 η LAB vmoy D2 2 LAB vmoy D ρ 2 λ= = 64 η ρ vmoy D 64 Re (IV.75) (IV.76) On remarque que le coefficient de perte de charge est sans unité. Ce coefficient n’a de sens que pour un écoulement laminaire, donc pour Re < 2000. 7 Perte de charge singulière Nous avons vu la perte de charge régulière, qui se produit le long d’un tube à section régulière, du fait des frottements. Dans le cas où le tube n’a pas une section régulière ou s’il change brutalement de direction, cela produit d’autres pertes de charge que l’on appelle "perte singulière". Figure IV.5 — Singularité d’un écoulement L’équation de Bernoulli devient : 59 8. Section non-circulaire p∗A + ρα 2 vA v2 = p∗B + ρα B + ∆p∗AB 2 2 (IV.77) 2 2 2 vA v2 L1 v1moy L2 v2moy v2 = p∗B + ρα B + λ1 ρ + λ2 ρ + κ ρ inc (IV.78) 2 2 D1 2 D2 2 2 En rouge, les pertes régulières, et bleu, la perte singulière. vinc est la vitesse incidente moyenne sur la singularité (donc v1moy ici). κ est appelé "coefficient de perte de charge singulière". p∗A + ρα 7.1 Exemples de κ Si la section passe brutalement de S1 à S2 alors : S1 2 κ = 1− S2 Si la section passe progressivement, avec un angle α de S1 à S2 alors : S1 2 sin α S2 La plupart du temps κ est déterminé expérimentalement. κ = 1− 8 (IV.79) (IV.80) Section non-circulaire Nous avons jusque là travailler sur la base d’une conduite circulaire. Cette condition de conduite circulaire n’apparaît, dans l’équation de Bernoulli généralisée aux fluides réels, que dans le coefficient de perte de charge régulière, car ce terme contient le nombre de Reynolds : Re = ρvD η (IV.81) Si la conduite n’est pas circulaire, on utilise un diamètre équivalent, qu’on appelle le "diamètre hydraulique" (DH ) : S P Où S est la section de la conduite, et P son périmètre : DH = 4 Re = ρ v DH η (IV.82) (IV.83) Par exemple, pour une section rectangulaire, de côtés a et b : DH = 4 9 9.1 ab ab =2 2a + 2b a+b (IV.84) Pompes et turbines Perte de puissance On rappelle que la perte de puissance hydraulique d’un écoulement réel sur une longueur L, due à son frottement, est le produit de son débit par sa perte de charge : ∆W = qV ∆p∗ = qV λ 2 L vmoy ρ D 2 (IV.85) 60 9.2 Chapitre IV. Dynamique des fluides réels Pompes Une pompe, d’une puissance hydraulique fournit de la puissance à l’écoulement : sa puissance hydraulique Ph . L’énergie volumique ∆Xp fournie par la pompe est le rapport entre sa puissance et son débit : ∆Xp = Ph qV (IV.86) Or, par définition : Ph = qV ∆p (IV.87) Où ∆p est la différence absolue de pression entre l’entrée et la sortie de la pompe. Dans les données techniques de la pompe, c’est généralement la puissance hydraulique qui est fournie. Une pompe d’une certaine puissance peut fournir soit un gros débit à faible différence de pression, soit un faible débit à grande différence de pression. ∆Xp = ∆p 9.3 (IV.88) Turbines Une turbine, d’une puissance hydraulique prélève de la puissance à l’écoulement : sa puissance hydraulique Ph . L’énergie volumique ∆Xt prélevée par la turbine est le rapport entre sa puissance et son débit : Ph qV (IV.89) ∆Xt = ∆p (IV.90) ∆Xt = Donc : Où ∆p est la différence absolue de pression entre l’entrée et la sortie de la turbine. 9.4 Relation de Bernoulli avec pompe et turbine Soit une conduite d’entrée e, de sortie s, dans laquelle sont placées une pompe et une turbine. La relation de Bernoulli s’écrit : 2 2 p∗s + ρα v2s = p∗e + ρα v2e − ∆p∗reguliere − ∆p∗singuliere + ∆Xp − ∆Xt (IV.91) La pompe fournie un gain de charge, la turbine ajoute une perte de charge. 10 Ecoulement turbulent L’écoulement turbulent se produit quand Re > 3000. Pour un écoulement laminaire, sans perte singulière, sans pompe et sans turbine, on avait : 2 vA v2 = p∗B + ρα B + ∆p∗AB 2 2 (IV.92) 2 2 vA v2 L vmoy = p∗B + ρα B + λ ρ 2 2 D 2 (IV.93) p∗A + ρα Soit : p∗A + ρα 61 10. Ecoulement turbulent Pour un écoulement turbulent, cette expression reste valide, sauf que : α,2 (IV.94) Pour un écoulement turbulent, on montre expérimentalement que 1, 04 < α < 1, 15. On fait souvent l’approximation α ∼ 1. On a également : λ, 64 Re (IV.95) Pour un écoulement turbulent, λ est donné par des abaques. Il dépend de la rugosité de la conduite, notée ou plus exactement de la rugosité relative /D. On utilise le diagramme de Moody pour déterminer λ. Sur le diagramme de Moody, on a un "friction factor" : c’est le coefficient de perte de charge régulière. En effet : ∆p∗ = λ 2 L vmoy ρ D 2 (IV.96) Donc : λ= 10.1 2D ∆p∗ 2 ρ vmoy L (IV.97) Pourquoi utilise-t-on un abaque ? Les courbes du diagramme de Moody sont définies par une équation empirique (=fondée sur l’expérience), dont la plus utilisée est celle de Colebrook 6 (1939) : 1 2, 51 /D √ = −2 log10 √ + 3, 7 λ Re λ (IV.98) On ne peut pas exploiter cette équation, car elle n’a malheureusement pas de solution analytique. C’est la raison pour laquelle on doit passer par des abaques. Il existe d’autres équations plus complexes mais plus précises, ou moins complexes et moins précises : Haaland, Swamee-Jain, Serghides, Goudar-Sonnad... 6. Cyril Frank Colebrook (1910-1997) était un physicien britannique. 62 Chapitre IV. Dynamique des fluides réels Figure IV.6 — Diagramme de Moody 63 11. Bilan 11 Bilan On considère un fluide incompressible (parfait ou non), pour un écoulement permanent. Le champ de vitesse doit vérifier : div (~v ) = 0 (IV.99) Si l’écoulement est permanent, la conservation du débit entraîne : qV = ~vmoy .~n S = cste (IV.100) Si l’écoulement est droit, la pression motrice est constante sur la section. L’écoulement est droit. On a, entre deux points A et B distant de L (on oublie ici pompes et turbines), avec N − 1 irrégularités séparant N portions régulières de longueur Li : p∗A + ρα – – – – 2 vA moy 2 = p∗B + ρα 2 vB moy 2 + N X i=1 Li vi2 moy λi ρ Di 2 ! + N −1 X i=1 v2 κi ρ i inc 2 ! (IV.101) Si le fluide est considéré comme parfait : λ = 0, κ = 0, α = 1 Si le fluide est visqueux et Re < 2000 : λ = 64/Re , κ , 0, α = 2 Si le fluide est visqueux et Re > 3000 : λ → Diagramme de Moody, κ , 0, α ∼ 1 Si le fluide est visqueux et 2000 < Re < 3000 : il faut voir expérimentalement s’il y a turbulence ou pas. 64 Chapitre IV. Dynamique des fluides réels CHAPITRE V Théorème des quantités de mouvement ou théorème d’Euler Sommaire 1 Nouvelle expression de l’accélération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2 Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3 Quatre 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 . . . . . . 67 67 67 67 68 68 4 Théorème des quantités de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Ecoulement stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 69 5 Théorème d’Euler sur un tube de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 outils pour simplifier l’accélération Equation de continuité . . . . . . . Divergent . . . . . . . . . . . . . . Première simplification . . . . . . . Intégration par partie . . . . . . . Green-Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 1 Chapitre V. Théorème des quantités de mouvement ou théorème d’Euler Nouvelle expression de l’accélération On repart d’une des expressions de l’accélération : ¯ v ) .~v ~Γ = ∂~v + grad(~ ∂t (V.1) ~ : On utilise l’opérateur "nabla" : ∇ ∂ ∂x ∂ ~ ~ ∇ = grad = ∂y ∂ ∂z (V.2) {~ex ,~ey ,~ez } Donc : ~ = vx ~v .∇ ∂ ∂ ∂ + vy + vz ∂x ∂y ∂z (V.3) Et finalement : ~ v = vx ∂~v + vy ∂~v + vz ∂~v (~v .∇)~ ∂x ∂y ∂z (V.4) ~ est un opérateur différentiel ! Il suit les mêmes règles que la dérivé. On a : Attention, ∇ ∂ g(x) (f (x)) , ∂x ∂ g(x) (f (x)) ∂x (V.5) De même : ~ v , (∇~ ~ v ).~v (~v .∇)~ (V.6) On remarque que : ∂ ∂ ∂ vx + vy + vz ~v = ∂x ∂y ∂z ∂vx ∂vx ∂vx vx + vy + vz ∂x ∂y ∂z ∂vy ∂vy ∂vy ¯ v ).~v vx + vy + vz = grad(~ ∂x ∂y ∂z ∂vz ∂vz ∂vz vx + vy + vz ∂x ∂y ∂z (V.7) Donc : ¯ v ).~v ~ v = grad(~ ~ v = (~v .grad)~ (~v .∇)~ (V.8) On peut donc aussi écrire l’accélération : ~Γ = ∂~v + (~v .grad)~ ~ v ∂t (V.9) 67 2. Projection 2 Projection On considère une masse m de fluide en accélération : m ~Γ = Z ρ ~Γ dV (V.10) V Projetons cette équation. Soit l’accélération : ~Γ = Γx ~ex + Γy ~ey + Γz ~ez (V.11) Avec i = {x, y, z}, on a : m Γi = 3 3.1 Z V ρ Γi dV = Z ρ V ∂vi ~ + (~v .grad)v i dV ∂t (V.12) Quatre outils pour simplifier l’accélération Equation de continuité On vérifie : div (ρ~v ) + ∂ρ =0 ∂t (V.13) C’est l’équation de continuité. 3.2 Divergent On donne la relation suivante : 3.3 ~ div (f~u) = f div (~u) + ~u.gradf (V.14) ~ div (vi ρ ~v ) = vi div (ρ ~v ) + ρ (~v .grad)v i (V.15) ~ ρ (~v .grad)v v ) − vi div (ρ ~v ) i = div (vi ρ ~ (V.16) Première simplification D’où : On a donc : m Γi = Z V ρ Γi dV = Z V ∂vi ρ + [div (vi ρ ~v ) − vi div (ρ ~v )] dV ∂t (V.17) Or, par l’équation de continuité : − vi div (ρ ~v ) = vi ∂ρ ∂t (V.18) Donc : m Γi = Z V ρ Γi dV = Z V ∂vi ∂ρ ρ + div (vi ρ ~v ) + vi dV ∂t ∂t (V.19) 68 3.4 Chapitre V. Théorème des quantités de mouvement ou théorème d’Euler Intégration par partie On connaît la formule de l’intégration par partie : Z b a u v 0 dx + Z b a u0 v dx = [u v]ba (V.20) Cela vient en fait de : dv du d(u v) =u +v dx dx dx (V.21) D’où l’intégration par partie, car : d(u v) = u dv + v du (V.22) Dans notre cas, on en déduit que : ∂vi ∂ρ ∂(ρ vi ) + vi = ∂t ∂t ∂t ρ (V.23) On aboutit donc à : m Γi = 3.5 Z V ∂(ρ vi ) div (vi ρ ~v ) + dV ∂t (V.24) Green-Ostrogradski Soit S fermant V , le volume contenant m : Z V div (vi ρ ~v ) dV = Z ρ vi ~v .~n dS S (V.25) On aboutit à : m Γi = 4 ∂(ρ vi ) dV + ∂t Z V Z S ρ vi ~v .~n dS (V.26) Théorème des quantités de mouvement Soit un volume de fluide V fermé par S, de masse m. Le PFD donne : X F~ext = m ~Γ (V.27) Donc : X F~ext = Z V ∂(ρ ~v ) dV + ∂t Z S ρ ~v (~v .~n) dS (V.28) Remarque : il n’y a ici ni hypothèse sur la compressibilité, ni sur la viscosité du fluide. 69 5. Théorème d’Euler sur un tube de courant 4.1 Ecoulement stationnaire Dans le cas d’un écoulement stationnaire, ni ~v , ni ρ ne dépendent du temps, donc : ∂(ρ ~v ) =0 ∂t (V.29) On en déduit : X F~ext = Z S ρ ~v (~v .~n) dS (V.30) Le théorème d’Euler permet de calculer la force qu’exerce un fluide sur un corps du fait de son mouvement. On en fera l’exemple dans la section suivante. 5 Théorème d’Euler sur un tube de courant Figure V.1 — Théorème d’Euler sur un tube de courant On se place en écoulement stationnaire : X F~ext = Z S ρ ~v (~v .~n) dS (V.31) Le volume de fluide isolé pour appliquer le théorème et le tube complet, entre la surface du point 1 et celle du point 2. On a donc : X F~ext = Z S1 ρ ~v1 (~v1 .~n1 ) dS + Z SL ρ ~vL (~vL .~nL ) dS + Z S2 ρ ~v2 (~v2 .~n2 ) dS (V.32) On a : ~v1 .~n1 = −v1 , ~v2 .~n2 = v2 et ~vL .~nL = 0 X F~ext = Z S1 ρ ~v1 (−v1 ) dS + Z S2 ρ ~v2 (v2 ) dS (V.33) (V.34) 70 Chapitre V. Théorème des quantités de mouvement ou théorème d’Euler Les forces extérieures sont : – Les forces de pression sur les surfaces S1 et S2 , si les pressions sont homogènes : F~1 = −p1 S1 ~n1 et F~2 = −p2 S2 ~n2 (V.35) – La force de volume, le poids : P~ = ρ V ~g (V.36) – La force qu’exerce la paroi du tube sur le fluide F~3 : elle est notre inconnue. F~1 + F~2 + F~3 + P~ = Z S1 ρ ~v1 (−v1 ) dS + Z S2 ρ ~v2 (v2 ) dS (V.37) Donc : F~3 = Z S1 ρ ~v1 (−v1 ) dS + Z S2 ρ ~v2 (v2 ) dS + p1 S1 ~n1 + p2 S2 ~n2 − ρ V ~g (V.38) On prend l’exemple simple d’un fluide parfait, où n~1 = −n~2 et on néglige le poids du fluide : F~3 = Z S1 ρ ~v1 (−v1 ) dS + Z S2 ρ ~v2 (v2 ) dS − p1 S1 ~n2 + p2 S2 ~n2 (V.39) On fait l’approximation que la vitesse est homogène dans la section. Cela correspond par exemple par un entonnoir : le fluide y rentre par une large section droite, qui plus loin se resserre plus ou moins brutalement, avant de finir par une tube de plus petit section. Le fluide rentre avec une vitesse quasi-parallèle à l’axe de l’entonnoir, et ressort avec une vitesse quasi-parallèle à l’entonnoir F~3 = ρ ~v1 (−v1 )S1 + ρ ~v2 (v2 ) S2 + (p2 S2 − p1 S1 ) ~n2 (V.40) Or qm = ρ v S, et pour un écoulement permanent, le débit massique est conservé : F~3 = −qm~v1 + qm~v2 + (p2 S2 − p1 S1 ) ~n2 (V.41) F~3 = qm (~v2 − ~v1 ) + (p2 S2 − p1 S1 ) ~n2 (V.42) Si le fluide rentre dans le tube à pression ambiante et sort à pression ambiante : F~3 = qm (~v2 − ~v1 ) + p0 (S2 − S1 ) ~n2 (V.43) C’est l’action du tube sur le fluide, on en déduit l’action du fluide sur le tube : F~f luide→tube = −F~3 = qm (~v1 − ~v2 ) + p0 (S1 − S2 ) ~n2 (V.44) On remet le poids, ce n’est pas compliqué : F~f luide→tube = qm (~v1 − ~v2 ) + p0 (S1 − S2 ) ~n2 + ρ V ~g (V.45) CHAPITRE VI Concepts de base en aéro/hydrodynamisme Sommaire 1 Profil d’aile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2 Résultante aérodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3 Moment aérodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4 Coefficients aérodynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5 Evaluation des coefficients aérodynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 6 Similitude d’écoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 72 Chapitre VI. Concepts de base en aéro/hydrodynamisme Ce chapitre vise à donner quelques concepts en aérodynamisme, et le vocabulaire associé. 1 Profil d’aile Figure VI.1 — Profil d’aile bidimensionnel α est l’angle d’incidence entre la corde et ~v∞ . A l’avant de l’aile, le bord d’attaque, à l’arrière, le bord de fuite. 2 Résultante aérodynamique Figure VI.2 — Résultante aérodynamique – F~ : résultante aérodynamique, – C : centre de poussé. C’est le point d’application de F~ , c’est à dire le point où le moment de F~ est nul. – F~T : composante de F~ tangente à la corde. 73 3. Moment aérodynamique – – – 3 F~N : composante de F~ normale à la corde. F~z : composante de F~ normale à ~v∞ : c’est la portance. F~x : composante de F~ colinéaire à ~v∞ : c’est la trainée. Moment aérodynamique C ne coïncide pas nécessairement avec le centre d’inertie du profil. Il en résulte un moment ~ aéro . aérodynamique : M Si : ~ aéro fait augmenter α, il est cabreur ; – M ~ aéro fait diminuer α, il est piqueur. – M 4 Coefficients aérodynamiques – Coefficient de portance : Cz = ||F~z || 1 2 2 ρ∞ v∞ S (VI.1) S est la surface projetée de l’aile (envergure × longueur de corde). ρ∞ : masse volumique du fluide loin de l’aile. – Coefficient de traînée : Cx = ||F~x || 1 2 2 ρ∞ v∞ S (VI.2) ~ aéro || ||M 1 2 2 ρ∞ v∞ S L (VI.3) – Coefficient de moment aérodynamique : CM = L : longueur de la corde. Ces coefficients sont adimensionnels. – finesse aérodynamique : f= Cz Cx (VI.4) – Nombre de Reynolds Le nombre de Reynolds de l’écoulement autour d’une aile vaut : Re = ρ L : la longueur de la corde. v∞ L η (VI.5) 74 Chapitre VI. Concepts de base en aéro/hydrodynamisme Figure VI.3 — Profil d’aile bidimensionnel Figure VI.4 — Action sur la surface de l’extrados 5 Evaluation des coefficients aérodynamiques Action de l’air sur un élément de surface de l’extrados : L’évolution de θe avec la position sur l’extrados est une fonction purement dépendante de la géométrie de l’aile. ~ + sin θe T~ ~n = cos θe N (VI.6) ~ + cos θe T~ ~t = − sin θe N (VI.7) La force s’exerçant sur dS est dF~ : 5. Evaluation des coefficients aérodynamiques dF~ = dF~n + dF~t 75 (VI.8) dF~n est la composante normale, dF~t la composante tangentielle : dF~n = −pair ~n dS (VI.9) dF~t = τ ~t dS (VI.10) τ est la contrainte visqueuse liée aux frottement de l’air sur l’aile. Donc : dF~e = (−pe ~n + τe ~t) dS (VI.11) ~ et T~ : L’indice e indique qu’on parle de l’extrados. Projetons maintenant sur N dF~e = dF~N e + dF~T e (VI.12) ~ + dF~te .N ~ dFN e = dF~ne .N (VI.13) dFN e = −pe dS cos θe − τe sin θe dS (VI.14) dFT e = dF~ne .T~ + dF~te .T~ (VI.15) dFT e = −pe dS sin θe + τe cos θe dS (VI.16) Avec : Et donc : Et donc : Action de l’air sur un élément de surface de l’intrados : Figure VI.5 — Action sur la surface de l’intrados 76 Chapitre VI. Concepts de base en aéro/hydrodynamisme L’évolution de θi avec la position sur l’extrados est une fonction purement dépendante de la géométrie de l’aile. ~ − sin θi T~ ~n = − cos θi N (VI.17) ~ + cos θi T~ ~t = − sin θi N (VI.18) dFN i = pi dS cos θi − τi sin θi dS (VI.19) dFT i = pi dS sin θe + τi cos θe dS (VI.20) Dont on déduit : Finalement, on a : 6 FN = R Se dFN e + Si dFN i (VI.21) FT = R Se dFT e + Si dFT i (VI.22) R R Similitude d’écoulement Deux écoulements à nombre de Reynolds égaux sont dits similaire si les géométries sont équivalentes. Conséquence : si on souhaite réaliser un modèle réduit d’un avion, à l’échelle 1/10 par exemple. Lmr = L/10 (VI.23) Lmr la longueur de corde du modèle réduit, et L la longueur de corde de l’avion réel. L’écoulement sera similaire si on trouve un fluide, ou un couple fluide/vitesse, tel que : ρ v∞ v∞mr L = ρmr Lmr η ηmr (VI.24) Si on travaille avec les mêmes vitesses, on vérifie : ρmr ρ L = ηmr η Lmr (VI.25) CHAPITRE VII Equation de Navier-Stokes Sommaire 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2 Principe fondamental de la dynamique appliqué aux fluides réels incompressibles 2.1 Accélération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Force volumique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Forces surfaciques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Loi de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Fluide incompressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Equation locale de la dynamique des milieux continus . . . . . . . . . 2.8 Simplification du divergent de tenseur des contraintes . . . . . . . . . 2.9 Equation de Navier-Stokes pour les fluides newtoniens incompressibles 78 78 78 78 78 79 80 81 81 82 3 Equation de Navier-Stokes pour un fluide newtonien compressible . . . . . . . 3.1 Loi de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 83 4 Théorème des variations transversales 4.1 Objectif de la démonstration . 4.2 Partie accélération . . . . . . ~ (div ~v ) . . . . . 4.3 Terme : grad ~ 4.4 Terme : ∆~v . . . . . . . . . . 4.5 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 84 85 85 85 86 5 Viscosimètre à cylindre rotatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 1 Chapitre VII. Equation de Navier-Stokes Introduction Les équations de Navier-Stokes sont des équations différentielles, aux dérivées partielles, qui permettent de décrire le champ de vitesse d’un fluide réel, compressible ou non. Ces équations sont relativement complexes, au sens où, jusqu’à aujourd’hui, il n’existe pas de solution générale à ces équations, même si on simplifie le problème en traitant de fluides newtoniens incompressibles. La résolution de ces équations (pour un fluide newtonien incompressible), vers une solution générale, fait partie des 7 problèmes du millénaire, proposés par le Clay Mathematics Institute. L’institut offre, pour la résolution de chaque problème, 1 000 000 $. A l’heure actuelle, 2 de ces problèmes ont été résolus (dont 1 en cours de vérification, l’autre, la conjecture de Poincaré, fut résolu par Grigori Iakovlevitch Perelman, qui refusa ce prix, ainsi que la médaille Fields -15 000 $-. Il a plus ou moins sombré dans la folie, vivant reclus, et affirmant : "Je sais comment gouverner l’Univers. Pourquoi devrais-je courir après un million." ). Nous allons établir ici ces équations. 2 2.1 Principe fondamental de la dynamique appliqué aux fluides réels incompressibles Accélération On rappelle la formulation de l’accélération utilisé pour le théorème d’Euler : ~Γ = ∂~v + (~v .grad)~ ~ v ∂t 2.2 (VII.1) Force volumique On ne traitera ici que du poids en tant que force volumique : F~V = 2.3 Z ρ ~g dV V (VII.2) Forces surfaciques Nous traitons d’un fluide réel, il existe deux forces surfaciques, les forces de pressions, normales à la surface F~N et les forces de frottement, tangentielles à la surface F~T : F~S = F~N + F~T 2.4 (VII.3) Tenseur des contraintes Nous allons exprimer les forces de surface d’après le tenseur de contrainte dans le fluide. On a: dF~S = T~ (M,~n) dS (VII.4) T~ (M,~n) est le vecteur contrainte sur la surface dS entourant M , et de normale ~n. Soit ~t le vecteur tangent à dS : σnn (M ) = T~ (M,~n).~n et σnt = T~ (M,~n).~t (VII.5) 2. Principe fondamental de la dynamique appliqué aux fluides réels incompressibles 79 On remarque donc que σnn est : dF~S σnn (M ) = T~ (M,~n).~n = .~n = −p(M ) (VII.6) dS Les composantes diagonales du tenseur des contraintes correspondent donc à la pression : σxx = σyy = σzz = −p. On remarque aussi que : dF~S ~ || dF~t || σnt (M ) = T~ (M,~n).~t = .t = ± (VII.7) dS dS Les composantes hors-diagonales du tenseur des contraintes correspondent aux forces de frottement. 2.5 Loi de comportement On rappelle, pour un solide homogène isotrope, élastique, linéaire : ¯ = 2µ ¯ + λ(tr¯)I¯ σ (VII.8) Pour un problème 1D, en cisaillement : τ =µ γ (VII.9) σxy = 2µ xy (VII.10) Ou, de façon équivalente : Pour un fluide isotrope newtonien, pour un problème 1D : τ = η γ˙ (VII.11) σxy = 2η ˙xy (VII.12) Ou, de façon équivalente : Donc par analogie, en 3D : ¯ = 2η ¯˙ + Λ(tr¯˙)I¯ σ Cette analogie est fausse, en effet en statique (¯˙ = ¯0), on aurait : ¯ = 2η ¯˙ + Λ(tr¯˙)I¯ = ¯0 σ (VII.13) (VII.14) Cependant, même en statique, il existe toujours des forces de pression. On devrait avoir : ¯ = −pI¯ σ (VII.15) Donc, on corrige la loi de comportement, pour une fluide réel, newtonien : ¯ = 2η ¯˙ + Λ(tr¯˙)I¯ − pI¯ σ (VII.16) ¯ est appelé "contrainte visqueuse", car il ne prend en compte que Le terme "2η ¯˙ + Λ(tr¯˙)I" la contrainte liée à la viscosité (en cisaillement ou volumique) et non la contrainte due à la pression. L’ajout de −pI¯ n’est pas très "propre". Le terme de gauche de l’équation est une terme de contrainte, les termes de droites sont construits à partir de la déformation. On ne devrait 80 Chapitre VII. Equation de Navier-Stokes pas utiliser la pression pour écrire la contrainte proprement, mais en réalité l’effet de la pression statique sur la déformation. En statique, un fluide se comporte comme un solide élastique sous pression isostatique : p = −k T r¯ (VII.17) k est le module de compressibilité, pour un fluide on parle plutôt de coefficient de compressibilité isotherme XT (voir le tout début du cours) : p = −XT T r¯ (VII.18) ¯ = 2η ¯˙ + Λ(tr¯˙)I¯ + XT T r ¯ I¯ σ (VII.19) Donc : On gardera cependant la forme −pI¯ pour alléger les calculs par la suite. Cette loi de comportement cache une dernière chose : en quasi statique, donc si ¯˙ → ¯0, la contrainte vaut : ¯ = XT T r ¯ I¯ σ (VII.20) Elle est purement sphérique (il n’y a pas de cisaillement). Donc l’hypothèse faite est qu’une fluide n’oppose aucune résistance à un cisaillement infiniment lent (si je bouge ma main dans l’air très lentement, je ne sens aucune résistance de l’air). 2.6 Fluide incompressible On rappelle que : 1 ¯ ¯ T ~u grad ~u + grad ¯ = 2 (VII.21) 1 ¯ ¯ T ~v ¯˙ = grad ~v + grad 2 (VII.22) Par analogie, on acceptera : Il faut faire attention : il ne s’agit pas de l’astuce ~v = d~u/dt. La première équation est le tenseur des déformations de Green-Lagrange, simplifié par les hpp. La seconde équation est la partie symétrique du tenseur gradient des champs de vitesse, qui tient du point de vue d’Euler. On ne le prendra vraiment juste que comme une analogie. On remarque que : tr¯˙ = ∂vx ∂vy ∂vz + + = div ~v ∂x ∂y ∂z (VII.23) Or, pour un fluide incompressible : div ~v = 0 (VII.24) ¯ = 2η ¯˙ − pI¯ σ (VII.25) Donc tr¯˙ = ¯ 0. On en déduit : 2. Principe fondamental de la dynamique appliqué aux fluides réels incompressibles 2.7 81 Equation locale de la dynamique des milieux continus On a démontré, et ce indépendamment de la loi de comportement, dans le cours de solide déformable, que : ~ σ ¯ + f~V = ρ ~Γ div (VII.26) f~V est la force volumique, ici le poids : f~V = ρ ~g . Attention : il s’agit bien de l’accélération Eulérienne, puisqu’on traite de fluide. En "Solides Déformables" on avait utilisé l’accélération Lagrangienne. En "Solides Déformables", notre système est un ensemble de point matériel dont il est aisé de connaître les trajectoires, d’autant qu’on ne travaille qu’en hpp. Pour un fluide, utiliser les trajectoires est moins trivial : notre système est un volume défini dans lequel circulent des particules qui, une fois sortie de ce volume, ne nous "intéressent plus". 2.8 Simplification du divergent de tenseur des contraintes On a : ~ σ ~ 2η ¯˙ − pI¯ ¯ = div div (VII.27) On utilise le fait que (a et b des constantes, en non des champs scalaires) : ¯ + cD ¯ = a div ¯ + c div ¯ ~ aB ~ B ~ D div (VII.28) ~ σ ~ ¯˙ + div ~ −pI¯ ¯ = 2η div div (VII.29) On obtient : On commence par le deuxième terme : −p 0 0 ¯ − p I = 0 −p 0 0 0 −p (VII.30) Donc : −∂p/∂x ~ ~ p ¯ div −pI = −∂p/∂y = −grad −∂p/∂z (VII.31) ¯ ~v + grad ¯ T ~v ~ ¯˙ = 1 div ~ grad div 2 (VII.32) Puis le premier terme : ¯ ~v ) + div( ¯ T ~v ) ~ ¯˙ = 1 div( ~ grad ~ grad div 2 On utilise le fait (on ne le démontrera pas ici) : ¯ T ~v ) = grad ~ grad ~ (div ~v ) div( (VII.33) (VII.34) ~ ~ ~v = ~0. On note ∆ Nous sommes toujours en train de traiter un fluide incompressible : div ¯ ~ v = div( ~ grad ~v ). l’opérateur laplacien, tel que : ∆~ 82 Chapitre VII. Equation de Navier-Stokes ~v ~ ¯˙ = 1 ∆~ div 2 (VII.35) ~ v − grad ~ σ ~ p ¯ = η ∆~ div (VII.36) Donc, finalement : 2.9 Equation de Navier-Stokes pour les fluides newtoniens incompressibles On reprend l’équation locale de la dynamique des milieux continus : ~ σ ¯ + ρ ~g = ρ ~Γ div ~ v − grad ~ p + ρ ~g = ρ η ∆~ ∂~v ∂t (VII.37) ~ v + (~v .grad)~ (VII.38) C’est l’équation de Navier-Stokes pour un fluide newtonien incompressible. Remarque : ∂vx ∂x ∂v y ¯ ~ v = div( ~ grad ~v ) = div ~ ∆~ ∂x ∂vz ∂x Avec ∆ = 2.9.1 ∂2 ∂x 2 ∂vx ∂y ∂vy ∂y ∂vz ∂y ∂vx ∂z ∆vx ∂vy = ∆vy ∂z ∆vz ∂vz (VII.39) ∂z 2 ∂ ∂ + ∂y + ∂z . Retour aux équations locales de la dynamique et de la statique des fluides On prend l’équation de Navier-Stokes : ~ v − grad ~ p + ρ ~g = ρ η ∆~ ∂~v ~ v + (~v .grad)~ ∂t (VII.40) Pour un fluide parfait incompressible, on a simplement η = 0, d’où : ~ p + ρ ~g = ρ − grad ∂~v ~ v + (~v .grad)~ ∂t (VII.41) Ce qui correspond à l’équation locale de la dynamique des fluides déjà vues. Pour un fluide (parfait ou non) statique, on a : ~v = ~0 : ~ ~0 − grad ~ p + ρ ~g = ρ η∆ ∂~0 ~ ~0 + (~0.grad) ∂t ! (VII.42) D’où : ~ p + ρ ~g = ~0 − grad Ce qui correspond à l’équation locale de la statique des fluides déjà vue. (VII.43) 83 3. Equation de Navier-Stokes pour un fluide newtonien compressible 3 Equation de Navier-Stokes pour un fluide newtonien compressible On revient à 2.5 avant de faire les hypothèses de compressibilité : 3.1 Loi de comportement ¯ = 2η ¯˙ + Λ(tr¯˙)I¯ − pI¯ σ (VII.44) A quoi correspond Λ ? C’est l’analogue de λ, le paramètre de Lamé en élasticité. Il est expérimentalement très difficile à mesurer. 3.1.1 Hypothèse de Stokes L’hypothèse de Stokes consiste à poser que : 3Λ + 2η = 0 (VII.45) Quel sens a cette hypothèse ? On a construit notre loi de comportement de fluide par analogie avec l’élasticité. Λ est l’analogue de λ, et η et l’analogue de µ. Et on a : 2µ 3 (VII.46) k = 3λ + 2µ (VII.47) ∆V p =− T r¯ = V k (VII.48) λ=k− Donc : Et, toujours en élasticité : L’analogie solide élastique-fluide se fait entre déformation et vitesse de déformation, donc pour un fluide on a : ∆V˙ p T r ¯˙ = =− → +∞ V 3Λ + 2η (VII.49) Cela signifie que la vitesse de changement de volume sous l’application d’une pression est infinie. Plus clairement, si la pression locale varie, le volume de fluide va changer instantanément, comme si la "viscosité volumique" était nulle. Donc sous l’effet d’un cisaillement pur, le fluide est visqueux et sous l’effet d’une pression hydrostatique pur, il est élastique. Dans la réalité, les fluides se comprime beaucoup plus vite qu’il ne se cisaille, mais il ne se comprime pas instantanément, sinon, la vitesse de propagation d’une onde de compression dans le fluide serait infinie. L’hypothèse de Stokes reste très bonne pour des écoulements simples et reste très utilisée en aéronautique. En revanche, elle échoue à modéliser des compressions rapides, comme les ondes de choc. 84 Chapitre VII. Equation de Navier-Stokes 3.1.2 ~ σ ¯ div Par analogie avec ce qu’on a fait pour un fluide incompressible, on trouve : ~ σ ~ (div ~v ) − η rot ~ ¯ = (Λ + 2η) grad ~ rot ~ (~v ) − grad(p) div (VII.50) Avec l’hypothèse de Stokes : Λ + 2η = − Donc : 2η 4η + 2η = 3 3 (VII.51) ~ (div ~v ) − η rot ~ σ ~ ¯ = 4η grad ~ rot ~ (~v ) − grad(p) div 3 3.1.3 (VII.52) PFD ρ ∂~v ∂t ~ v = + (~v .grad)~ 4η 3 ~ (div ~v ) − η rot ~ ~ rot ~ (~v ) − grad(p) grad + ρ ~g (VII.53) ou, dans la forme plus standard : ρ ∂~v ∂t h i ~ v + 1 grad ~ v = −grad(p) ~ ~ (div ~v ) + (~v .grad)~ + ρ ~g + η ∆~ 3 (VII.54) car : ~ v = grad ~ (div ~v ) − rot ~ (~v ) ~ rot ∆~ (VII.55) C’est l’équation de Navier-Stokes généralisée aux fluides compressibles répondant à l’hypothèse de Stokes. On voit que la seule différence avec un fluide incompressible est le terme η ~ v ). 3 grad (div ~ 4 Théorème des variations transversales On suppose qu’on a un écoulement de la forme générale : ~v = vθ (r)~eθ (VII.56) On est en écoulement permanent. On a : ∂~v ~ v + 1 grad ~ v = −grad(p) ~ ~ (div ~v ) ρ + (~v .grad)~ + ρ ~g + η ∆~ ∂t 3 Qu’on ré-écrit avec la pression motrice : ∗ ~ v + 1 grad ~ v = −grad(p ~ ~ (div ~v ) ρ ~0 + (~v .grad)~ ) + η ∆~ 3 4.1 (VII.57) (VII.58) Objectif de la démonstration On souhaite trouver la variation de la pression motrice (p∗ ) dans la direction transverse (~er ) à la direction de l’écoulement (~eθ ). On veut donc évaluer : ∂p∗ ∗ ~ grad(p ).~er = ∂r (VII.59) 85 4. Théorème des variations transversales 4.2 Partie accélération On a : ~ = vr ∂ + vθ 1 ∂ + vz ∂ ~v .grad ∂r r ∂θ ∂z (VII.60) ~ v = vθ 1 ∂~v = vθ 1 ∂vθ ~eθ (~v .grad)~ r ∂θ r ∂θ (VII.61) ∂vθ ~eθ ∂v ∂~e = θ ~eθ + vθ θ = −vθ ~er ∂θ ∂θ ∂θ (VII.62) Donc : Finalement : vθ2 ~er r (VII.63) 1 ∂vθ =0 r ∂θ (VII.64) ~ v=− (~v .grad)~ 4.3 ~ (div ~v ) Terme : grad On a : div ~v = Et donc : 4.4 ~ (div ~v ) = ~0 grad (VII.65) ¯ ~v ) ~ v = div( ~ grad ∆~ (VII.66) ~v Terme : ∆~ On a : Or : 0 − ¯ ~v = ∂vθ grad ∂r vθ r 0 0 0 0 0 (VII.67) 0 Et donc : 1 ∂Urθ r ∂θ ¯ ~v = ~ grad div ... (VII.68) ... On se moque des termes qui ne sont pas portés par ~er . Avec : Urθ = − vθ r (VII.69) 86 Chapitre VII. Equation de Navier-Stokes Et donc : 0 ¯ ~ div grad ~v = ... (VII.70) ... 4.5 Bilan ∗ ~ v + 1 grad ~ v = −grad(p ~ ~ (div ~v ) ρ (~v .grad)~ ) + η ∆~ 3 (VII.71) ∗ ~ v + 1 grad ~ ~ v + η ∆~ ~ (div ~v ) grad(p ) = −ρ (~v .grad)~ 3 (VII.72) donne : On projette sur ~er : v2 ∂p∗ ∗ ~ = ρ θ + η [0 + 0] grad(p ).~er = ∂r r (VII.73) v2 ∂p∗ =ρ θ ∂r r (VII.74) Soit : On retombe exactement sur l’équation que l’on avait établi pour une fluide parfait pour démontrer le théorème des variations transversales (section 8, chapitre III). Si r est la courbure locale de l’écoulement, pour un écoulement droit, la courbure est nulle, ce qui revient à dire que r → +∞ et donc : ∂p∗ →0 ∂r (VII.75) La pression motrice est constante dans la direction transversale d’un écoulement localement droit, que le fluide soit réel ou parfait, incompressible ou non, pour un écoulement permanent. Dans le cas le plus simple, si la section droite de l’écoulement droit est à altitude constante, alors la pression dans cette section est constante. 5 Viscosimètre à cylindre rotatif On considère un viscosimètre à cylindre rotatif, constitué d’un cylindre intérieur immobile, de rayon Ri , d’un cylindre extérieur mobile, de rayon Re (Figure VII.1). Un fluide de masse volumique ρ, de viscosité η, est placé entre les deux cylindres. Sa hauteur initiale, au repos est h, et la hauteur du cylindre extérieur H. En rotation, le fluide entre les deux cylindre est entraîné par le mouvement du cylindre extérieur, tournant à une vitesse angulaire fixe Ω (en rad.s1 ) autour de l’axe ~ez . Le fluide est visqueux, newtonien et on le considère en adhésion avec les parois des cylindres, en régime permanent. Le régime permanent correspond au domaine où Ω devient constant et où tous les effets dynamiques ont disparu : ni le champ de vitesse, ni le champ de pression ne sont dépendants du temps. 87 5. Viscosimètre à cylindre rotatif Figure VII.1 — Viscosimètre à cylindre rotatif. La pression environnante de l’air autour du dispositif est p0 . On néglige tout effet de frottement avec l’air environnant, et les frottements des liaisons mécaniques du système (dans la réalité, ils sont pris en compte par un calibrage du dispositif). La pesanteur est telle que ~g est colinéaire à l’axe de rotation du cylindre extérieur. On cherche à trouver la relation entre le couple appliqué pour imposer Ω, Ω et la viscosité du fluide. Par symétrie du problème, le champ de vitesse ne dépend que de pas de θ. Le champ de vitesse est selon ~eθ : il n’y a pas de composante radial (le fluide ne traverse pas la paroi...) ni de composante horizontale (en régime permanent le fluide ne monte plus et ne descend plus sur les parois). ~v = vθ (r, z) ~eθ (VII.76) L’équation de Navier-Stokes donne en régime permanent, pour un fluide compressible répondant à l’hypothèse de Stokes : ~ v + 1 grad(div(~ ~ v ) = −grad(p) ~ ~ ρ(~v .grad)~ + ρ~g + η ∆~ v )) 3 Or div(~v ) = ~0. Donc le terme de l’équation de Navier-Stokes comme pour un fluide incompressible, on a : ~v ~ v ) = −grad(p) ~ ρ(~v .grad)~ + ρ~g + η ∆~ Le laplacien de ~v vaut : 1 ~ v )) 3 grad(div(~ (VII.77) est nul. Tout (VII.78) 88 Chapitre VII. Equation de Navier-Stokes ~v = ∆~ ∂ 2 vθ 1 ∂vθ vθ ∂ 2 vθ + − 2+ ∂2r r ∂r r ∂z 2 ! ∂ ~eθ = ∂r ∂vθ vθ + ∂r r ~eθ + ∂ 2 vθ ~eθ ∂z 2 (VII.79) Puis on a : 2 ~ v = vθ 1 ∂~v + vz ∂~v = vθ 1 vθ ∂~eθ = − vθ ~er (~v .grad)~ r ∂θ ∂z r ∂θ r Par symétrie du problème, la pression ne dépend pas de θ. On a : (VII.80) ∂p ∂p ~ grad(p) = ~er + ~ez ∂r ∂z On commence par projeter l’équation de Navier-Stokes sur ~ez : (VII.81) ∂p − ρg = 0 ∂z Qui donne : p(r, z) = −ρgz + C(r). Puis, on projette sur ~er : (VII.82) − ρ vθ2 ∂p = r ∂r (VII.83) D’où : r ∂C(r) ρ ∂r Explicitement, vθ n’est pas donc pas une fonction de z. vθ2 = (VII.84) Et en projetant enfin l’équation de Navier-Stokes sur ~eθ : ∂ ∂r ∂vθ vθ + ∂r r =0 (VII.85) Soit : B (VII.86) r Par adhésion du fluide sur les parois, on vérifie : vθ (Ri ) = 0 et vθ (Re ) = Ω Re , qui nous permet d’obtenir : vθ (r) = A r + Re2 Ω Re2 Ri2 Ω et B = (VII.87) Re2 − Ri2 Re2 − Ri2 Il y a néanmoins un problème de conditions aux limites. Les conditions aux limites utilisées correspondent à ignorer l’existence du fond du cylindre extérieur : si le fluide adhère au fond (z = 0), alors sur le fond on a vθ (r) = Ω r, ce qui ne correspond pas aux conditions limites données. Expérimentalement, on élimine l’impact du fond du cylindre extérieur avec une hauteur suffisante de fluide (h > Re − Ri ), et le cylindre intérieur ne descend pas jusqu’au fond. A= On a : 0 1 ¯ ¯ T ~v = 1 ¯˙ = grad~v + grad ∂vθ (r) vθ (r) − 2 2 ∂r r 0 ∂vθ (r) vθ (r) − ∂r r 0 0 0 0 0 e~r ,e~θ ,e~z (VII.88) 89 5. Viscosimètre à cylindre rotatif Donc finalement : −p(r, z) η ¯= ∂vθ (r) vθ (r) σ − η ∂r r ∂vθ (r) vθ (r) − ∂r r 0 −p(r, z) 0 0 −p(r, z) 0 (VII.89) e~r ,e~θ ,e~z Par symétrie du problème, la pression génère des forces de résultantes nulles sur le cylindre extérieur. Sur un élément de surface dS du cylindre extérieur, orienté donc par ~er , la force élémentaire tangentielle (selon ~eθ ) est telle que : dF B = σrθ = −2η 2 dS Re (VII.90) Soit : dF = −2η B dS Re2 (VII.91) Donc la résultante vaut (on intègre sur la surface latérale du cylindre extérieur mouillée par le fluide) : F~ = − Z h Z 2π 2η B 0 0 Re2 ! Re dθdz ~eθ = 4πηh Re Ri2 Ω ~eθ Re2 − Ri2 (VII.92) On intègre jusqu’à h, la hauteur au repos, car on considère la hauteur de fluide, à faible Ω comme quasi inchangée. On en déduit le couple : C = F × Re = η × 4πh Re2 Ri2 ×Ω Re2 − Ri2 (VII.93) 90 Chapitre VII. Equation de Navier-Stokes CHAPITRE VIII Tension de surface et capillarité Sommaire 1 Tension superficielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 2 Pression de Laplace (ou "Laplace-Young" pour les anglais) 2.1 Cas d’une sphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Application à la bulle de savon . . . . . . . . . . . . . . . 93 94 95 95 3 Mouillage et angle de mouillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4 Loi de Jurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Pression du liquide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Remontée de fluide : loi de Jurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 98 99 5 Equation de Washburn . . . . . 5.1 Quantité de mouvement 5.2 Bilan des forces . . . . . 5.3 PFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 100 100 101 92 1 Chapitre VIII. Tension de surface et capillarité Tension superficielle Soit deux fluides non-miscibles en contact (ex : l’eau et l’huile, liquide et gaz) : – si les deux fluides ne se mélangent pas, c’est que leur molécules se repoussent. – si chaque fluide forme une phase unique, c’est que leurs molécules s’attirent. Figure VIII.1 — Liquide non-miscibles Sur la figure ci-dessus, une molécule du liquide proche de l’interface subit deux forces : – F~2/2 : la force d’attraction des molécules du liquide, – F~1/2 : la force de répulsion des molécules de l’air. Les molécules de surface ne subissent donc pas les mêmes forces : il y a un effet de surface. Supposons que je veuille déplacer la frontière entre les deux liquides, de dl, pour produire un déplacement, l’un des liquides formant une goutte sphérique dans l’autre : d~u = dl ~er (VIII.1) Le travail à fournir pour déplacer la frontière vaut : dW = F~ d~u = (F~2/2 + F~1/2 ) d~u (VIII.2) Ce déplacement dl modifie la surface de dA → S 0 = S + dA (Figure VIII.2). On appelle "énergie de création de surface" ”dES , l’énergie fournie pour modifier la surface : dES = dW (VIII.3) On appelle coefficient de tension superficielle ou "tension superficielle", notée γ, le ratio entre dES et dA : γ= dES → J.m−2 dA (VIII.4) On a : (F~2/2 + F~1/2 ) d~u dES dW = = (VIII.5) dA dA dA γ n’est donc pas propre à un liquide, mais à l’interaction entre deux liquides 1 et 2. Donc : γ= 2. Pression de Laplace (ou "Laplace-Young" pour les anglais) 93 Figure VIII.2 — Modification de surface γ1/2 = (F~2/2 + F~1/2 ) d~u dA (VIII.6) Remarque : J → N.m donc J.m−2 → N.m−1 . Table VIII.1 — Tension superficielle 2 Couple T (◦ C) γ (10−3 N.m−1 ) eau/air eau/air mercure/air étain/air 20 50 20 259 72,8 67,9 436 526 Pression de Laplace (ou "Laplace-Young" pour les anglais) Soit un liquide 1 et un liquide 2 non-miscible, séparé d’une surface S. Soit ~n la normale à cette surface en un point M. dS la surface élémentaire entourant M. On souhaite connaître la position d’équilibre de la surface. Soit p2 la pression régnant dans le liquide 2, p1 dans le liquide 1. Les forces de pression en M valent : p2 ~n dS et − p1 ~n dS (VIII.7) Soit d~u un déplacement quelconque de la surface au point M. Le travail correspondant des forces de pressions vaut : dWp1 ,p2 = (p2 − p1 ) ~n.d~u dS On a également le travail lié à la tension superficielle : (VIII.8) 94 Chapitre VIII. Tension de surface et capillarité Figure VIII.3 — Pression de Laplace dWγ = −γ1/2 dA (VIII.9) dA le gain de surface produit. On a un signe "-" car la tension de surface s’oppose à un accroissement de surface (dA > 0). A l’équilibre, en négligeant la gravité : dW = dWp1 ,p2 + dWγ = 0 2.1 (VIII.10) Cas d’une sphère Le liquide 2 forme une sphère de rayon r. Le travail des forces de pression est donc, pour un déplacement dr ~er : dWp1 ,p2 = (p2 − p1 ) dr S = (p2 − p1 ) dr × 4πr2 (VIII.11) Le gain de surface produit est défini par : dS d4πr2 dr = dr = 8πrdr (VIII.12) dr dr ou de manière plus simple, la surface passe de 4πr2 à 4π(r + dr)2 pour un accroissement de rayon de dr : dA = dA = 4π(r + dr)2 − 4πr2 = 4π(r2 − r2 + dr2 + 2rdr) ∼ 4π(0 + 2rdr) = 8πrdr (VIII.13) Donc, on a, à l’équilibre : dWp1 ,p2 = −dWγ = γ1/2 dA = (p2 − p1 ) dr × 4πr2 (VIII.14) 2γ = (p2 − p1 )r (VIII.15) Et donc : Finalement, si une goutte de rayon R de fluide 2 est immergé dans un fluide 1, la pression interne (dans la goutte) diffère de la pression externe (hors de la goutte) : 95 2. Pression de Laplace (ou "Laplace-Young" pour les anglais) pinterne − pexterne = p2 − p1 = Dans tous les cas 2.2 2γ1/2 R 2γ1/2 R (VIII.16) > 0, donc la pression est toujours plus forte a sein de la goutte. Généralisation On note C la courbure d’une...courbe. Pour un cercle de rayon R, la courbure vaut : C= 1 R (VIII.17) On généralise pour une surface (voir Figure VIII.4) : Figure VIII.4 — Courbure locale d’une surface C= 1 1 + R1 R2 (VIII.18) Et donc, on généralise la différence de pression entre deux fluides : pinterne − pexterne = 2γ1/2 C (VIII.19) Cette différence de pression est appelée "pression de Laplace". Remarque : la courbure d’une surface, c’est aussi le divergent de sa normale. Soit ~nij le vecteur normal à la surface entre un fluide i et un fluide j, pointant de i vers j : pi − pj = 2γi/j div ~nij 2.3 (VIII.20) Application à la bulle de savon Dans le premier système, on a : p1 − p2 = Dans le deuxième système, on a : 2γair/savon R (VIII.21) 96 Chapitre VIII. Tension de surface et capillarité Figure VIII.5 — Bulle de savon p2 − p3 = 2γair/savon R+e (VIII.22) p2 − p3 ∼ 2γair/savon R (VIII.23) Or e << R, donc : Et finalement : 4γair/savon (VIII.24) R En réalité, la couche de savon est un mélange eau/savon, dont la tension superficielle avec l’air fluctue avec la concentration de savon. Pour avoir un ordre de grandeur de la pression dans la bulle de savon, on va poser que : γair/savon ∼ γair/eau . p1 − p3 = p1 − p2 + p2 − p3 = Pour une bulle de 1 cm de rayon, avec γair/eau = 73 × 10−3 N.m−1 on a : 4 × 73 × 10−3 = 29, 2 Pa (VIII.25) 10−2 La pression est plus élevé dans la bulle de savon de 30 Pa que dans l’air ambiant, soit environ 0,03% de la pression atmosphérique. p1 − p3 = 3 Mouillage et angle de mouillage Soit un liquide (L) en contact avec un gaz (G) et un solide (S). Notons ~γij le vecteur tangent à la surface entre le milieu i et le milieu j, de norme γij , homogène à un travail. On accepte l’idée, depuis les travaux de Thomas Young 1 , que, au niveau de la ligne triple (jonction entre les trois milieux) : 1. Thomas Young, An essay on the cohesion of fluids, Phil. Trans. R. Soc. Lond. 1805, Vol.95, p.65-87. En réalité, T. Young n’a jamais posé cette équation (l’article ne contient aucune équation), elle a été interprétée d’après son "essai", sans que personne ne la jusitifie. 97 4. Loi de Jurin ~ ad = ~0 ~γSL + ~γLG + ~γSG + W (VIII.26) ~ ad est un vecteur de norme égale au travail des forces d’adhésion liquide/solide, Le vecteur W orienté selon ~n, la normale à la surface du solide : ~ ~n ~ ad = F~ad .dl W (VIII.27) Figure VIII.6 — Angle de mouillage En projetant l’équation sur ~ex (horizontal), on obtient : − γSG + γSL + γLG cos θ = 0 (VIII.28) γLG cos θ = γSG − γSL (VIII.29) Et donc : cos θ = γgaz−solide − γsolide−liquide γliquide−gaz (VIII.30) On a : γliquide−gaz > 0 Donc si γgaz−solide > γsolide−liquide alors cos θ > 0 et : 0 < θ < 90◦ → fluide mouillant (VIII.31) Donc si γgaz−solide < γsolide−liquide alors cos θ < 0 et : 90 < θ < 180◦ → fluide non-mouillant (VIII.32) En pratique, il y a un gros problème : γgaz−solide et γsolide−liquide sont quasi-immesurables. On mesure plutôt directement θ, l’angle de mouillage. Quelques valeurs d’angle de mouillage : 4 Loi de Jurin Considérons un fluide dans un tube cylindrique fin (un "capillaire"), de rayon R. La surface de liquide en contact avec l’air forme un ménisque, de rayon r. 98 Chapitre VIII. Tension de surface et capillarité Figure VIII.7 — Fluide mouillant et non-mouillant Table VIII.2 — Angle de mouillage : gaz=air, solide=verre propre Liquide θ (◦ ) à 20◦ C eau mercure kérozène ∼0 ∼ 140 ∼ 26 Figure VIII.8 — Ménisque dans un capillaire 4.1 Pression du liquide En toute rigueur, le ménisque n’est pas une calotte sphérique, mais faisons cette approximation : cos θ = Et donc le rayon du ménisque est défini par : R r (VIII.33) 99 4. Loi de Jurin r= R cos θ (VIII.34) Or, la pression de Laplace est telle que : 2γair−liquide r (VIII.35) 2γair−liquide cos θ R (VIII.36) pair − pliquide = Et donc : pliquide = pair − La pression du liquide, en contact avec l’air, n’est pas équilibrée avec la pression de l’air. Ce sera rapidement le cas si R est grand. 4.2 Remontée de fluide : loi de Jurin Figure VIII.9 — Remontée de fluide Soit un capillaire de rayon R immergé dans un fluide. On a (Figure VIII.9), du fait de la faible courbure de surface : pA ∼ p0 (VIII.37) Mais, dans le capillaire : pB , p0 → pB = p0 − 2γair−liquide cos θ R (VIII.38) En statique, on vérifie que : pA + ρ g zA = pB + ρ g zB pA + ρ g zA = p0 − 2γair−liquide cos θ + ρ g zB R (VIII.39) (VIII.40) Et donc : h = zB − zA = 2γair−liquide cos θ ρgR (VIII.41) 100 Chapitre VIII. Tension de surface et capillarité C’est la loi de Jurin 2 . On remarquera que si θ < 90◦ alors le fluide remonte dans le capillaire, mais si θ > 90◦ alors le fluide descend dans le capillaire sous la surface du fluide à l’extérieur du capillaire. 5 Equation de Washburn La loi de Jurin nous donne la hauteur à laquelle le fluide monte dans le capillaire, nous allons voir maintenant à quelle vitesse le fluide monte jusqu’à cette hauteur. Soit z l’altitude du fluide dans le capillaire, au-dessus du point A, à l’instant t. A un instant t, le volume de fluide dans le capillaire vaut : V = π R2 z (VIII.42) Et donc la masse de fluide dans le capillaire : m = ρ π R2 z 5.1 (VIII.43) Quantité de mouvement On isole le volume dans le capillaire et on lui applique le principe fondamental de la dynamique : X ~ dP F~ext. = dt (VIII.44) ~ correspond à la quantité de mouvement : où P ~ = m d~v = ρ π R2 z dz ~ez P (VIII.45) dt dt Nous sommes ici en point de vue de Lagrange : on suit un mouvement de particules. 5.2 Bilan des forces X F~ext. = P~ + F~f rottement + F~Laplace (VIII.46) Avec : P~ = m ~g = −ρ g z π R2 ~ez (VIII.47) F~Laplace est la force due à la pression de Laplace : 2γ cos θ (VIII.48) R La pression s’applique sur le ménisque, qu’on approxime par la surface plane correspondante : S = π R2 : pB − p0 = − F~Laplace = (pB − p0 )π R2 ~ez = 2πγ R cos θ ~ez (VIII.49) F~f rottement est la force de frottement provoquée par la viscosité du fluide. Pour un écoulement de Poiseuille, on a vu que : 2. James Jurin, 1684-1750, était un physicien anglais 101 5. Equation de Washburn π R4 dp∗ dz = vmoy S = π R2 8η dz dt qV = − (VIII.50) Si on assume un gradient de pression homogène : dp∗ ∆p∗ = dz z (VIII.51) Et donc : ∆p∗ = − dz 8η z π R2 4 πR dt (VIII.52) Et finalement : dz F~f rottement = ∆p∗ πR2 ~ez = −8πη z ~ez dt 5.3 (VIII.53) PFD On obtient, finalement : dz d ρ π R2 z dt dt = −ρ g z π R2 + 2πγ R cos θ − 8πη z dz dt (VIII.54) En divisant l’ensemble par πR2 : d dz ρ z dt dt = −ρ g z + 2γ cos θ 8 dz − 2η z R R dt (VIII.55) C’est l’équation de Lucas-Washburn 3 Cette équation n’a malheureusement aucune solution analytique. On peut faire l’approximation que le poids du fluide est négligeable devant les autres grandeurs ρ g z ∼ 0, et en posant : dz = f (t) dt (VIII.56) df (t) 2γ cos θ 8 = − 2 η f (t) dt R R (VIII.57) z On obtient l’équation suivante : ρ Equation qui a pour solution : Rγ cos θ 8η f (t) = C exp − t + ρ R2 4η (VIII.58) Comme à t = 0 on a z = 0, donc f (0) = 0, on en déduit que C = 0. Et donc : f (t) = Rγ cos θ 4η (VIII.59) D’où : s z(t) = 4ηC 0 + Rtγ cos θ 2η A nouveau : z(0) = 0, donc C 0 = 0. Au final : 3. Edward Wight Washburn, 1881-1934, physicien américain. (VIII.60) 102 Chapitre VIII. Tension de surface et capillarité s z(t) = Rtγ cos θ 2η (VIII.61) On remarque deux aberrations dans cette équation. La première est que z → +∞ si t → +∞ (le fluide monte indéfiniment dans le tube). Cela est dû au fait que ρ g z n’est plus négligeable quand la hauteur de fluide approche la hauteur maximale définie par la loi de Jurin. La seconde est que : d2 z(t) = −∞ (VIII.62) t→0 dt2 L’accélération initiale du fluide est infinie. Le problème vient du fait qu’on ne sait pas comment, exactement, le fluide rentre initialement dans le capillaire. L’équation de z(t) n’est donc bonne que dans le régime intermédiaire, quand le fluide est déjà rentré dans le capillaire, mais est encore loin d’atteindre sa hauteur maximale. lim CHAPITRE IX Formulaires Sommaire 1 Coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 2 Coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3 Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 104 1 Chapitre IX. Formulaires Coordonnées cartésiennes ~ = x e~x + y e~y + z e~z OM ∂f ∂x ∂f ∂f ∂f ∂f ~ = gradf = e~x + e~y + e~z ∂y ∂z ∂y ∂x ∂f (IX.1) ∂z ∂ux ∂x ux ∂uy = ∂x uz ∂uz ¯ ¯ grad (~u) = grad uy ∂x div (~u) = ∂ux ∂y ∂ux ∂z ∂uy ⇔ ui,j ∂z ∂uz ∂uy ∂y ∂uz ∂y ∂z ∂ux ∂uy ∂uz + + ⇔ ui,i ∂x ∂y ∂z ∂ ∂x ~ = ∂ ∇ ∂y ∂ ∂z ∂ ∂z (IX.4) ux ∧ uy uz Uxx Uxy Uxz ¯ = div ~ U ~ Uyx div Uzx (IX.3) ∂ ∂x ∂ ~ ~ rot (~u) = ∇ ∧ ~u = ∂y (IX.2) Uyy Uzy Uyz Uzz (IX.5) (IX.6) 105 2. Coordonnées cylindriques ∂Uxx ∂Uxy ∂Uxz ∂x + ∂y + ∂z ∂U ∂Uyy ∂Uyz yx ¯ ~ U = + + div ∂x ∂y ∂z ∂Uzx ∂Uzy ∂Uzz ⇔ Uij,j + ∂x 2 + ∂y (IX.7) ∂z Coordonnées cylindriques ~ = r e~r + z e~z OM ∂f ∂r 1 ∂f ∂f 1 ∂f ∂f ~ = e~r + e~θ + e~z gradf = ∂r r ∂θ ∂z r ∂θ ∂f (IX.8) ∂z 1 ∂ur uθ − r ∂θ r ∂ur ∂r ur ¯ (~u) = grad ¯ u ∂uθ grad θ = ∂r ∂uz uz ∂ur ∂z ∂uθ ⇔ ui,j ∂z ∂uz 1 ∂uθ ur + r ∂θ r 1 ∂uz r ∂θ ∂r (IX.9) ∂z ¯ (~u) div (~u) = T r grad ∂ ∂r (IX.10) 1 ∂ ~ ∇ = r ∂θ (IX.11) ∂ ∂z ~ (~u) = 1 rot r ∂uz ∂ − (r uθ ) ∂θ ∂z e~r + ∂ur ∂uz − ∂z ∂r e~θ + 1 r ∂ ∂ur (r uθ ) − ∂r ∂θ e~z (IX.12) 106 Chapitre IX. Formulaires Urr ~ ~ ¯ div U = div Uθr Urθ Urz Uθθ Uθz (IX.13) Uzr Uzθ Uzz ∂Urr 1 ∂Urθ ∂Urz Urr − Uθθ ∂r + r ∂θ + ∂z + r ~ ¯ div U = ∂Uθr 1 ∂Uθθ ∂Uθz 2 Uθr + + + ∂r r ∂θ ∂z r 3 ∂Uzr 1 ∂Uzθ ∂Uzz Uzr + + + ∂r r ∂θ ∂z r ⇔ Uij,j (IX.14) Coordonnées sphériques ~ = r e~r OM ∂f ∂r ~ gradf = 1 ∂f ∂f 1 ∂f 1 ∂f = e~r + e~φ + e~θ r ∂φ ∂r r ∂φ r sin(φ) ∂θ 1 ∂f (IX.15) r sin(φ) ∂θ ∂ur ∂r ¯ ¯ grad (~u) = grad ur ∂uφ uφ = ∂r uθ ∂uθ ∂r 1 ∂ur uφ − r ∂φ r 1 ∂ur uθ − r sin(φ) ∂θ r 1 ∂uφ ur + r ∂φ r ∂uφ uθ 1 − cot(φ) r sin(φ) ∂θ r 1 ∂uθ r ∂φ 1 ∂uθ ur uφ + + cot(φ) r sin(φ) ∂θ r r ⇔ u(IX.16) i,j cot(x) = 1/ tan(x) ¯ (~u) div (~u) = T r grad ~ (~u) = rot (IX.17) ∂ ∂ 1 (uθ r sin(φ)) − (r uφ ) 2 ∂φ ∂θ r sin(φ) ∂ur ∂ 1 − (r uθ sin(φ)) ∂θ ∂r r sin(φ) ∂ ∂ur (r uφ ) − ∂r ∂φ 1 r (IX.18) 107 3. Coordonnées sphériques Urr ~ ~ ¯ div U = div Uφr Uθr Urφ Urθ Uφφ Uφθ Uθφ (IX.19) Uθθ ∂Urr 1 ∂Urφ ∂Urθ 1 1 ∂r + r ∂φ + r sin(φ) ∂θ + r 2 Urr − Uφφ − Uθθ + Urφ cot(φ) ~ U ¯ = div ∂Urφ 1 ∂Uφφ ∂Uφθ 1 1 + + + (Uφφ − Uθθ ) cot(φ) + 3 Urφ ∂r r ∂φ r sin(φ) ∂θ r ∂Uθθ 1 ∂Urθ 1 ∂Uθφ 1 + + + 3 Urθ − 2 Uθφ cot(φ) ∂r r ∂φ r sin(φ) ∂θ r (IX.20) 108 Chapitre IX. Formulaires 109 Glossaire Glossaire V XT Ω η γ Re ρ ~Γ f~S f~V ~g ~n ~v m p p∗ qV qm Volume (dV l’élément de volume). -page(s). 15–17, 22, 23, 25, 29, 30, 34, 51, 68 Coefficient de compressibilité isotherme. page(s). 13, 80 Vitesse de rotation angulaire. -page(s). 9, 50, 86, 87, 89 Viscosité dynamique. -page(s). 19, 49 Tension superficielle ou glissement, selon le contexte. -page(s). 19, 92, 93 Nombre de Reynolds. -page(s). 49 Masse volumique. -page(s). 16, 19, 20, 39, 49, 69, 86 Accélération eulérienne. -page(s). 34 Force surfacique élémentaire (par unité de surface). -page(s). 17 Force volumique élémentaire (par unité de volume). -page(s). 16, 46, 81 Accélération de la pesanteur. -page(s). 28, 29, 31, 54, 87 Vecteur unitaire, normale à une surface. page(s). 10, 17, 18, 20–23, 29, 31, 41, 44, 46, 78, 93, 97 Vecteur vitesse (vi ses composantes selon ~ei ). -page(s). 10, 15, 16, 23, 35, 44, 46, 69, 87 Masse. -page(s). 16, 34, 67, 68 Pression. -page(s). 6 Pression motrice. -page(s). 42, 84 Débit volumique. -page(s). 21 Débit massique. -page(s). 20 110 Glossaire Table des figures I.1 I.2 I.3 I.4 I.5 I.6 I.7 I.8 I.9 I.10 I.11 I.12 I.13 I.14 I.15 I.16 Gradient d’un champ scalaire : p(x1 ) = p0 − ρgx1 . . . . . . . . . . . . Champ de vitesse : ~v (x1 , x2 , x3 ) = a x1 ~e1 + b ~e2 + c ~e3 . . . . . . . . . Champ de vitesse ~v (x1 , x2 , x3 ) = a ~e1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Champ de vitesse ~v (r, θ, z) = Ω r ~eθ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Champ de vitesse : ~v (x1 , x2 , x3 ) = a x1 ~e1 + b ~e2 . Il semble tourner, mais de la tracer pour x1 < 0 pour voir que non. . . . . . . . . . . . . . . . Flux de vitesse dans un cube à travers les faces orientées par ±~ex . . . Champ de vitesse : ~v = a ~ex + b ~ey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Champ de vitesse : ~v (r, θ, z) = a ~eθ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Champ de vitesse : ~v (r, θ, z) = a ~eθ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Coupure fictive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Viscosité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Viscosité newtonienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Débit massique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G-O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conservation de la masse : exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . il suffit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 10 12 12 12 18 19 20 21 21 22 24 II.1 Pression autour d’un volume de fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 III.1 III.2 III.3 Vase tournant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecoulement à courbure locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conservation du débit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 43 45 IV.1 IV.2 IV.3 IV.4 IV.5 IV.6 Couette plan . . . . . . . . . . . . . . Viscosimètre de Couette . . . . . . . . Ecoulement de Poiseuille . . . . . . . . Champ de vitesse dans l’écoulement de Singularité d’un écoulement . . . . . . Diagramme de Moody . . . . . . . . . . . . . . . 49 50 51 54 58 62 V.1 Théorème d’Euler sur un tube de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 VI.1 VI.2 VI.3 VI.4 VI.5 Profil d’aile bidimensionnel . . . . Résultante aérodynamique . . . . . Profil d’aile bidimensionnel . . . . Action sur la surface de l’extrados . Action sur la surface de l’intrados . 72 72 74 74 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Poiseuille. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ici "x" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = −~ez , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u(r) = vz (r). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 7 8 9 112 Table des figures VII.1 Viscosimètre à cylindre rotatif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 VIII.1 VIII.2 VIII.3 VIII.4 VIII.5 VIII.6 VIII.7 VIII.8 VIII.9 92 93 94 95 96 97 98 98 99 Liquide non-miscibles . . . . . . . Modification de surface . . . . . . Pression de Laplace . . . . . . . . Courbure locale d’une surface . . Bulle de savon . . . . . . . . . . . Angle de mouillage . . . . . . . . Fluide mouillant et non-mouillant Ménisque dans un capillaire . . . Remontée de fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Liste des tableaux VIII.1 Tension superficielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII.2 Angle de mouillage : gaz=air, solide=verre propre . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 98
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