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Claudia Bittner, Bettina Jaschka
Neue Wege 1
Mathematik für Handelsakademien
© 2015, Verlag Jugend und Volk GmbH, Wien.
Alle Auflagen mit ©2015 sind nebeneinander verwendbar.
ISBN 978-3-7100-3238-7
9 783710 032387
zu Schulbuch-Nr. 170781
Claudia Bittner, Bettina Jaschka
Neue Wege I
Mathematik für Handelsakademien – Lösungen
ISBN 978-3-7100-3238-7
Lösungen
www.jugendvolk.at
Neue Wege
Mathematik
für Handelsakademien
Lösungen
Inhaltsverzeichnis
Kapitel 1
Mengenbegriff und Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Kapitel 2
Zahlenmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Kapitel 3
Die Sprache der Algebra – Variable und Terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Kapitel 4
Lineare Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Kapitel 5
Funktionale Zusammenhänge
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
www.jugendvolk.at
zu Schulbuch-Nr. 170781
Claudia Bittner, Bettina Jaschka
Neue Wege I
Mathematik für Handelsakademien – Lösungen
© 2015, Verlag Jugend und Volk GmbH, Wien.
Alle Auflagen mit ©2015 sind nebeneinander verwendbar.
ISBN 978-3-7100-3238-7
Umschlag: lunart Werbeagentur, Linz
Die Lösungen wurden erstellt von Astrid Bös und
Christiane Schütz.
Alle Rechte vorbehalten.
Jede Art der Vervielfältigung – auch auszugsweise –
gesetzlich verboten.
[2015 – 01001]
1 Mengenbegriff und Mengenoperationen
1 Mengenbegriff und Mengenoperationen
Ü 1.1
a) A = {x∈ℕ∗ | x ≤ 3}
c) C = {x∈ℕ | 3 < x < 10}
e) E = {x∈ℤ | |x| ≤ 2} oder E = {x∈ℤ | –2 ≤ x ≤ 2}
b) B = {x∈ℕ | x ≥ 2}
d) D = {x∈ℤ | x ≤ –1}
f) F = {x∈ℤ | –2 < x < 4}
Ü 1.2
a) A = {0; 1; 2; 3; 4; 5}
c) C = {–9; –8; –7; …}
e) E = {2; 4; 6}
b) B = {10; 11; 12; 13}
d) D = {2; 3; 5; 7; 11}
Ü 1.3
a) A = {10; 11; 12; 13; 14; 15}
c) C = {12; 14; 16; 18; …}
e) E = {0; 3; 6; 9; 12}
b) B = {1; 2; 9; 10; 11; 12}
d) D = {11; 13; 17; 19}
Ü 1.4
a) {3; 5}
c) {4}
e) {–1; 0; 4; 5}
b) { }
d) { }
f) {–1}
Ü 1.5
a)
b)
c)
d)
e)
f)
alle Schülerinnen einer Schule, die Ballett, Hip-Hop oder Standard tanzen
alle Schülerinnen einer Schule
Schülerinnen, die nur Ballett tanzen
niemand
alle Schülerinnen, die tanzen, mit Ausnahme von Ballett
alle Schülerinnen, die Hip-Hop tanzen
Ü 1.6
a)
b)
c)
d)
e)
f)
© 2015 Verlag Jugend & Volk GmbH, Wien.
1
1 Mengenbegriff und Mengenoperationen
Ü 1.7
a)
c)
e)
g)
{19; 20; 21; 22; 23; 24; 25; 26}
{20; 21; 22; 24; 25; 26}
{19; 23}
{14; 15, 16; …; 26; 27; 29; 31; 37}
b) {19; 23; 29; 31; 37}
d) C
f) { }
h) {29; 31; 37}
Ü 1.8
a) A ∩ B
c) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
e) A \ (B ∩ C)
b) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) oder A ∩ (B ∪ C)
d) A ∩ B ∩ C
f) (B ∪ C) \ (A ∩ C)
Ü 1.9
a) A ∪ B = {M; E; I; N; D}; A ∪ C = {M; E; I; N; U; S; R}; B ∪ C = {D; E; I; N; U; S; R };
A ∪ B ∪ C = {M; E; I; N; D; U; S; R}
b) A ∩ B = {E; I; N}; A ∩ C = {E; N}; B ∩ C = {E; N}; A ∩ B ∩ C = { E; N}
Ü 1.10
a)
b)
c)
d)
e)
M = {11; 13; 15; 17; 19} = {x∈ℕu | 10 < x < 20}; K = {3; 5; 7; 11; 13; 17; 19} = {x ∈ P | 2 < x < 20}
M ∩ K = {11; 13; 17; 19}
M ∪ K = {3; 5; 7; 11; 13; 15; 17; 19}
M \ K = {15}, K \ M = {3; 5; 7}
-
Ü 1.11
ℕg
P
{}
ℤ
{}
ℕ
ℕ
ℝ
ℚ
ℕ
ℤ
{}
{}
ℕ∗
Ü 1.12
a)
b)
c)
d)
A = {1; 2; 3; 4; 5}; B = {0; 2; 4; 6; 8}; C = {2; 3; 5; 7}
nein, da 1 ∉ C und 4 ∉ C
M = {0; 1; 3; 5; 6; 8}
{0}, {4}, {8}, {0; 4}, {0; 8}, {4; 8}, {0; 4; 8}
Ü 1.13
A = {2; 3; 4; 5; 6} = {x∈ℕ | 2 ≤ x ≤ 6}; B = {5; 6; 7; 8} = {x∈ℕ | 4 < x < 9}
Ü 1.14
a) A = {6; 7; 8; 9; 10}; B = {2; 4; 6; 8}; C = {2; 3; 5; 7; 11}; D = {1; 2; 3; ...; 10; 11}
b) Falsche Aussage
c) ∉, ⊆, ⊈, ⊈, ∉
d) B \ C = {4; 6; 8}; C \ B = {3; 5; 7; 11} – Man erkennt, dass B \ C ≠ C \ B, da die beiden Mengen nicht
dieselben Elemente enthalten.
Ü 1.15
a)
b)
c)
d)
e)
f)
2
A = {12; 14; 16; 18; 30; 32; 34; 36}
B = {1; 3; 5; 7; 9; 12; 14; 16; 18}
C = {3; 5; 7; 19; 23}
D = {1; 2; 3; ...; 17; 18; 20; 22; 24; 26; 28; 29; 31; 33; 35}
E = {19; 21; 23; 25; 27; 30; 32; 34; 36}
F = {0; 1; 2; ...; 35; 36}
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1 Mengenbegriff und Mengenoperationen
Ü 1.16
A ∪ (B ∩ C)
(A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Ü 1.17
a) A ⊆ B ⇒ A ∩ B = A
b)
Ü 1.18
x
x
{ } = {0}
{1; 2; 3} = {2; 3; 1}
{1} ⊆ {1; 2; 3}
{1; 2} ⊂ {1; 2}
{2} ∪ {2} = {4}
x
x
{0; 1} ∩ {1; 2} = {1}
{ } ∩ {1; 2} = {1; 2}
{2; 3; 4} ⊆ {3; 4; 5}
{1} ∪ {1} = {1}
{0; 1} ∪ {1; 2} = {1; 2}
Ü 1.19
a) P(B) = {{ }; {2}; {4}; {6}; {2; 4}; {2; 6}; {4; 6}; {2; 4; 6}}
b) |P(B)| = 8
Ü 1.20
a)
b) z. B.: T = {1; 4} oder T = {6; 7}
c) z. B.: {u}, {v,w}, {y,z},....
Ü 1.21
M … Menge aller Angestellten des Betriebs
E … Menge der Personen, die mit Excel arbeiten
W … Menge der Personen, die mit Word arbeiten
a)
b)
c)
d)
28 Personen arbeiten mit Word.
13 Personen arbeiten mit Excel.
32 Personen arbeiten mit mindestens einem der beiden Programme.
4 Personen arbeiten nur mit Excel und nicht mit Word.
M (42)
E
E\W
M \ (W ∪ E)
W
W
\
E
W∩E
(9) (19)
(10)
Ü 1.22
a) 142 Jugendliche betreiben nur eine der drei Sportarten.
b) 22 Jugendliche üben keine der drei Sportarten aus.
c1) Diese Aussage ist richtig, da insgesamt 91 Jugendliche Fußball spielen und davon 64 auch Rad fahren.
c2) Diese Aussage ist falsch, da insgesamt 174 Jugendliche Rad fahren.
c3) Diese Aussage ist falsch, da nur 86 Jugendliche mindestens 2 Sportarten betreiben. Das ist nicht die Hälfte
von 250.
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1 Mengenbegriff und Mengenoperationen
Ü 1.23
a) S … Suppe
H … Hauptspeise
N … Nachspeise
b) Keiner der Gäste wählt nur einen Gang.
c) Man kann aufgrund der gegebenen Informationen nicht ermitteln, wie viele Gäste alle drei Gänge wählen.
Es könnte kein einziger Gast sein, maximal aber 15 Gäste, da nur 15 Gäste Nachspeise und Suppe bestellen.
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2 Zahlenmengen
2 Zahlenmengen
Ü 2.1
a) 180
e) 74
b) 11 000
f) 65
c) 20
g) 364
d) 51
h) 1 189
b) 7 265
f) 195
c) 348 400
d) 5 586
b) 0
c) 1 450
d) 145
b) 8
f) 19
c) 92
g) 207
d) 1
h) 7
b) 5
c) 7
d) 5
b) 648
c) 46
d) 810
Ü 2.2
a) 15 943
e) 45
Ü 2.3
a) 172
Ü 2.4
a) 68
e) 19
Ü 2.5
a) 3
Ü 2.6
a) 404
e) 65
Ü 2.7
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Addiere 15 zu dem Produkt aus 6 und 21. Ergebnis: 141
Multipliziere die Summe aus 21 und 15 mit 16. Ergebnis: 576
Multipliziere die Differenz aus 123 und 23 mit 50. Ergebnis: 5 000
Multipliziere die Differenz aus 21 und 15 mit der Summe aus 34 und 12. Ergebnis: 288
Subtrahiere das Produkt aus 12 und 2 von 31. Multipliziere die Differenz mit 4. Ergebnis: 28
Addiere das Produkt aus 8 und 9 zu dem Produkt aus 4 und 4. Dividiere die Summe durch 8. Ergebnis: 11
Ü 2.8
a) (24⋅6) ⋅2 = 288, 24⋅(6⋅2) = 288, aber (24 : 6) : 2 = 6, 24 : (6 : 2) = 8
b) 24⋅(6+2) = 24⋅6 + 24⋅2 = 192
Ü 2.9
170 – 5 · (18 + 6)
(170 – 5) · (18 + 6)
(170 – 5) · 18 + 6
170 – 5 · 18 + 6
B
A
D
C
Ü 2.10
a) wahr
b) falsch
c) wahr
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5
2 Zahlenmengen
Ü 2.11
a) Die Zahlen in den Nebendiagonalen sind jeweils um 1 kleiner als die Quadratzahlen in der
Hauptdiagonalen.
3=2⋅2−1
8=3⋅3−1
15 = 4 ⋅ 4 − 1 usw.
b)
3=1⋅3
4 = 22 steht schräg darunter
8=2⋅4=4⋅2
9 = 3 2 steht schräg darunter
15 = 3 ⋅ 5 = 5 ⋅ 3
M
25 = 52 steht schräg darunter
80 = 8 ⋅ 10 = 10 ⋅ 8
81 = 9 2 steht schräg darunter
Ü 2.12
a) 5 = 9 − 4
11 = 36 − 25
15 = 64 − 49
21 = 121 − 100
29 = 225 − 196
31 = 256 − 225
45 = 232 − 222
99 = 452 − 442
b) z. B. 62 − 42 = 20 oder 92 − 52 = 56
c) z. B. 52 − 42 = 32 oder 102 − 82 = 62 oder 132 − 122 = 52 (Pythagoreisches Zahlentripel)
Ü 2.13
7⋅5
= 62 − 1
=
35
9 ⋅ 11
= 102 − 1
=
99
19 ⋅ 21
= 202 − 1
=
399
= 100 − 1 =
9 999
a)
99 ⋅ 101
2
2
11 ⋅ 13
= 12 − 1
=
143
24 ⋅ 26
= 252 − 1
=
624
49 ⋅ 51
= 502 − 1
=
2 499
999 ⋅ 1 001
2
= 1 000 − 1 = 999 999
b) z. B. 13 ⋅ 15 = 142 − 1 = 195; 12 ⋅ 14 = 132 − 1 = 168 ...
c) Bei Produkten von zwei aufeinanderfolgenden geraden oder ungeraden Zahlen bzw. bei Produkten, bei
denen die Differenz der Faktoren 2 beträgt.
Ü 2.14
a) 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3
e) 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3
i) 13 ⋅ 17
b) 3 ⋅13
f) 3 ⋅ 41
j) 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5
c) 2 ⋅ 5 ⋅ 7
g) 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3
d) 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 11
h) 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5
Ü 2.15
a) Primzahl
b) 3, 31
c) Primzahl
d) 2, 53
b) wahr
c) wahr
d) falsch
e) Primzahl
Ü 2.16
a) falsch
Ü 2.17
a) 1, 2, 5, 10, 11, 22, 55, 101
b) 1, 2, 4, 5, 10, 13, 20, 26, 52, 65, 130, 260
c) 1, 3, 5, 7, 11, 15, 21, 33, 35, 55, 77, 105, 165, 231, 385, 1 155
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2 Zahlenmengen
Ü 2.18
a) 1 hat nur einen Teiler.
b) Jede Zahl ist durch eins teilbar.
c) 1 ⋅ 1 = 1, und dies wäre eine Primzahl.
d) Man darf die Multiplikation mit 1 an jeder Stelle hinzufügen oder weglassen.
Ü 2.19
a) 5
e) 1
i) 11
b) 12
f) nicht definiert
c) 14
g) 6
d) 1
h) 30
b) 100
f) nicht definiert
c) 98
g) 30
d) 22 360
h) 252
Ü 2.20
a) 18
e) 8
i) 3 600
Ü 2.21
Die Säulen können 28 dm = 2,8 m Abstand haben.
Ü 2.22
Nach 88,92 m berühren die markierten Stellen erstmalig wieder gleichzeitig den Boden. Das große Rad hat
sich dann 19-mal, das kleinere 78-mal gedreht.
Ü 2.23
a)
c)
a
2
4
6
6
8
60
b
3
6
8
9
12
78
ggT
1
2
2
3
4
6
kgV
6
12
24
18
24
780
b) Das Produkt aus den beiden Zahlen stimmt immer mit dem Produkt aus deren ggT und deren kgV überein.
Ü 2.24
a) z. B. 9, 15, 33
b) 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49
Ü 2.25
Zwei gerade Zahlen sind nie teilerfremd.
Eine Primzahl ist zu jeder anderen Zahl teilerfremd.
Zahlen mit der gleichen Quersumme sind nie teilerfremd.
Zwei verschiedene Primzahlen sind immer teilerfremd.
Der ggT zweier Zahlen ist immer kleiner als die kleinere Zahl.
Das kgV zweier aufeinanderfolgender Zahlen ist gleich ihr Produkt.
Ü 2.26
a) 22
e) –111
b) – 21
f) 20
c) 40
g) 8
d) –16
b) 693
f) – 1
c) – 400
d) – 28
Ü 2.27
a) –144
e) 6
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7
2 Zahlenmengen
Ü 2.28
a) – 20
e) 71
b) 3
f) 86
c) – 41
g) 21
d) 73
Ü 2.29
a) (–3)2 = –3 ⋅ –3 = 9
–2 4 = –2 ⋅ –2 ⋅ –2 ⋅ –2 = 16
–4 3 = –4 ⋅ –4 ⋅ –4 = –64
–3 1 = –3
–2 5 = –2 ⋅ –2 ⋅ –2 ⋅ –2 ⋅ –2 = –32
–8 2 = –8 ⋅ –8 = 64
–10 3 = –10 ⋅ –10 ⋅ –10 = –1 000
–1 7 = –1 ⋅ –1 ⋅ –1 ⋅ –1 ⋅ –1 ⋅ –1 ⋅ –1 = –1
–2 6 = –2 ⋅ –2 ⋅ –2 ⋅ –2 ⋅ –2 ⋅ –2 = 64
–5 4 = –5 ⋅ –5 ⋅ –5 ⋅ –5 = 625
–10 5 = –10 ⋅ –10 ⋅ –10 ⋅ –10 ⋅ –10 = –100 000
–2 8 = –2 ⋅ –2 ⋅ –2 ⋅ –2 ⋅ –2 ⋅ –2 ⋅ –2 ⋅ –2 = 256
b) Ist die Hochzahl ungerade und die Basis negativ, so ist die Potenz negativ. Sonst ist die Potenz positiv
(oder null).
Ü 2.30
a) 192
e) – 504
b) –100
f) – 847
c) – 255
g) 144
d) 270
h) 320
Ü 2.31
5
−4
50
−100
−10
−1
2
− 25
20
Ü 2.32
a) negativ
b) positiv
c) negativ
d) negativ
Ü 2.33
a) Aufstieg: 4 200 m; Abstieg: 3 900 m
Ü 2.34
a) +1 790 €
b) 451 € monatliche Überweisung
Ü 2.35
a) >
e) =
i) <
b) >
f) >
j) >
c) <
g) <
k) >
d) >
h) <
l) <
b) –11
g) 3
c) 42
h) 7
d) 35
i) 12
Ü 2.36
a) 7
f) 0
8
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e) 26
2 Zahlenmengen
Ü 2.37
1 = |–1|
0 > |–3|
|2| = – |– 2|
– 10 < |– 10|
|– 4 – |– 4|| = 8
Der Betrag einer Zahl ist immer positiv.
Der Betrag von –100 ist kleiner als 0.
Das Produkt der Beträge zweier Zahlen ist nie negativ.
Ü 2.38
a) –16
e) 64
b) 16
f) 64
c) – 64
g) 16
d) – 64
h) 64
b) 0
c) 0
d) – 1 600
Ü 2.39
a) 32
e) – 16
Ü 2.40
a = 1 dm
8
b = 1 dm
4
c = 3 dm
d = 7 dm
c) 1 , 2
d) 1
8
4
Ü 2.41
a) 2
3
e)
3
4
b)
1, 2
4 8
f)
5
8
3
6
8
Ü 2.42
herausgesägt
1
6
1
4
6
42
=
1
7
1
8
Rest
5
6
3
4
36
42
=
6
7
7
8
Ü 2.43
a) 1 min
4
1
f) 200m2
3
k) hl
2
3
b) 200 h
1
g) 25 dm2
1
7
c) 72 d
d) 12 d
1
1
1
e) 100 000 ha
2
h) 400 a
i) 50 dm3
j) 25 dl
b) 25 d
c) 324 d
d) 2 250 cm3
e) 70 cl
f) 150 ml
b) 65 000 dag
c) 55 g
d) 1 750 g
e) 3 034 kg
f) 300 g
3
l) 4 l
Ü 2.44
a) 1 080 min
Ü 2.45
a) 12 dag
Ü 2.46
a) 12 h
20 min 750 m
b) 125 kg 1 250 g 2 dm
150 cm
2 dm
c) 25 cm2 1 dm2
12 s
d) 125 m 625 ml 20 dm2
15 min
1 mm
500 g
1 500 g
1 cm
700 g
10 min
2 Wochen
375 ml
200 ml
80 min
8h
5s
© 2015 Verlag Jugend & Volk GmbH, Wien.
9
2 Zahlenmengen
Ü 2.47
a) 1 h
1 h
4
1 m
10
1l
5
1 h
12
2
b) 1 m
2
c) 1 l
2
d) 1 min
5
3
4
min
1
2
d
3
4
d
1
3
h
8
10
m
3
4
km
1 km
8
1l
4
2 h
5
3
8
km
1 l
100
1 h
3
5l
8
1 h
6
8
10
km
7 l
10
1 d
3
Ü 2.48
a) Es werden 3 600 l abgepumpt sein.
b) In 4 Stunden wurden 14 400 l abgepumpt.
Ü 2.49
a) (1) 4 = 2
b) (1)
(2)
3
16
c)
5
6
6
2
3
3
16
(2)
3
(3)
5
6
Es wurden bereits 16 l verbraucht.
von 48 = 32
Es wurden 39 l verbraucht.
von 48 = 9
Es sind noch 1 500 l im Tank.
von 1 800 = 1 500
Ü 2.50
a) 1 > 1
4
8
b)
2
4
= 84
d) 3 =
4
6
8
e)
2
4
<
5
8
c)
3
4
<
7
8
f)
4
4
=
8
8
Ü 2.51
In
3l
4
–Flaschen ist mehr Inhalt, und zwar 1 l .
20
Ü 2.52
0,2
0,45
0,61
0,71
0,9
Ü 2.53
Ü 2.54
a), b)
c), d)
10
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2 Zahlenmengen
Ü 2.54 e)
f)
g)
h)
Ü 2.55
3;
10
a)
0,3
b)
7;
10
0,7
c)
11 ;
10
d) 6 ; 1,2
1,1
e) 8 ; 1,6
5
5
f) 117 ; 1,85
20
Ü 2.56
a) 5,5
b) 3,85
11
60
f)
g)
19
180
e) 7
c) 8,1255
d) 2,345
h) 0,995
i) 0,9999995
24
Ü 2.57
3
4
9
= 12
20
25
4
5
24
64
=
3
8
9
= 13
24
144
=
1
6
=
27
36
50
100
9
= 12
=
3
4
1
2
75
= 100
Ü 2.58
28
6
= 14
3
27
39
8
34
4
= 17
11 = 1
121 11
12 = 12
121 121
14
49
=
2
7
Ü 2.59
∙50
50
a) 1 =
2
50
100
∙20
4 20
= 80
5 100
∙25
∙5
5 60
12 =
20 100
3 25
= 75
4 100
8
13
3 10
= 30
10 100
7
8
∙10
nicht möglich
nicht möglich
37
40
nicht möglich
Es klappt nur, wenn der Nenner ein Teiler von Hundert ist.
b)
4
5
1
2
500
= 1000
800
= 1000
12
20
600
= 1000
3
4
750
= 1000
8
13
nicht möglich
3
10
7
8
875
= 1000
37 25
= 925
40 1000
300
= 1000
Ü 2.60
a) 5 >
7
5
8
b)
12
16
15
< 16
c)
3
7
6
> 15
d)
24
32
f) 3 >
8
1
3
g)
5
6
6
7
h)
7
8
= 14
16
i)
3
8
<
=
<
3
4
e)
5
8
7
< 10
3
7
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11
2 Zahlenmengen
Ü 2.61
1
3
+
1
4
4 + 3 = 7
= 12
12 12
Ü 2.62
7
13
a) 12
47
19
c) 10
11
e) 100
i)
7
b) 24
d) 40
4
f) 36
12
g) 9
h) 35
11
20
Ü 2.63
1
a)
9
b) 1 15
1
5
c) 1 40
d) –1 12
15
f) –3 28
e) – 12
Ü 2.64
a) 11 1
b) 7 11
c) 10 1
d) 8 59
100
e)
f) 9
53
100
g) 6 18
25
h) 7 33
56
c) 1 2
d) 5 1
2
17
9 30
24
2
Ü 2.65
a) 17
b) 1 7
10
8
5
16
e)
5
2
1
16
f)
Ü 2.66
a) 8
9
e) 10 =
25
2
5
b)
6
11
c) 646 =
100
f)
240
10
323
50
d)
3
8
= 24
Ü 2.67
9
5
a) 28
b) – 12
1
c)–2 2
11
d) 28
Ü 2.68
a) 2
5
81
1
300
b)
11
e) 7
32
f)
c)
d) 2
9
25
45
Ü 2.69
1
a) 1 11
4
3
b) –4 9
c)–3 11
a) 4
b) 17 = 18
9
9
c) 1957 = 130 7
15
15
d)15
e) 245 = 61 1
4
4
f) 1
d) 12
Ü 2.70
12
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2 Zahlenmengen
Ü 2.71
ja; Summe 21
a) nein
ja; Summe 11
6
b)
1
1
8
3
4
3
8
5
8
1
2
9
8
10
4
5
3
10
1
3
2
4
3
13
6
7
8
9
10
7
10
1
2
7
3
5
3
1
2
8
2
5
11
10
3
5
7
6
2
11
6
15
8
21
10
30
6
Ü 2.72
( )
d) 81 + 25 ⋅ ( 43 + 21 ) = 85
a) 7 − 6 ⋅ 32 + 21 = 0
(
)
b) 1 + 2 ⋅ 9 − 2 = 2
3 2
5
c) 21 + 31 ⋅ 21 = 12
7
e) 41 + 52 ⋅ 83 − 81 = 20
4
f) 35 − 51 ⋅ 32 = 15
(
)
(
)
Ü 2.73
a) 7
b)
3
4
c)
5
4
b)
3
10
c) 15
d)
c) 1
d) 1
d) 5
Ü 2.74
a) 2
9
22
3
70
Ü 2.75
a) 11
b) 3
16
18
2
19
e) 49
f) 22
i) 6
j) –30
4
7
3
g) – 3
h) –2 10
k) 15
l) – 18
4
8
11
Ü 2.76
(
)
(
)
2 + 1 = 8 + 1 = 13
a) 35 − 25 ⋅ 61 + 32 : 2 = 53 − 30
3 15 3 15
b) 2 −
2
3
:
1
3
+
(
5
4
−
)
1 ⋅3
4
= 2−2+
5
4
− 34 =
1
2
33
c) 52 − 41 : 1+ 34 = 52 − 41 : 47 = 52 − 71 = 14
Ü 2.77
a)
3
2
c) 28
b) 2
d) 8
15
3
Ü 2.78
b) 450 − ∙ 450 : 9
a) 40 €
Ü 2.79
a) B
21 =
8
2 85
b) D 117
24
c) A
17
6
= 2 65
d) C 17 = 2 1
8
8
Ü 2.80
14,05 kg
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13
2 Zahlenmengen
Ü 2.81
5
5
1
5
9
64
a) Multipliziere 8 mit der Differenz von 3 und 3. Ergebnis: 6
4
14
3
9
3
b) Dividiere das Produkt von und
7
durch 8. Ergebnis: 81
3
3
c) Dividiere die Summe von 10 und 5 durch die Differenz der Zahlen 4und 5. Ergebnis: 6
1
1
1
d) Ziehe vom Produkt von und der Summe von und 2 die Zahl ab. Ergebnis: 1
2
3
6
Ü 2.82
a)
d)
1
26
1 12
9
+ 3 ⋅ 13 = 26
10
11
b)
1 7
4
15
1
5
13
1
+ 6 ⋅ 6 = 36
1
c) 2 3 ⋅3 2 –
3 1
:
4 6
2
=3 3
64
–2 : 1 2 ⋅ 8 = – 77
Ü 2.83
a) Es dürfen höchstens 6 Schüler zu Hause bleiben.
b) Die Klasse hätte 36 Schüler.
Ü 2.84
a) Es waren ca. 19 200 Übernachtungen im Vorjahr.
b) Es waren ca. 3 200 Übernachtungen mehr.
Ü 2.85
a) Jetzt kostet die Ware 19,44 €.
b) Die Ware hätte vor 12 Jahren 29,01 € gekostet, wenn sie jetzt 23,50 € kostet.
Ü 2.86
a) Die Zahlen stimmen. Durch Hinzunahme von immer mehr Nachkommastellen bei den Intervallgrenzen wird
das Intervall immer kleiner. Im Beispiel beträgt es z. B.
in der 3. Zeile
3,17 − 3,16 = 0,01 = 1
100
in der 5. Zeile
b)
3,1623 − 3,1622 = 0,0001 =
1
10 000
8 < 80 < 9
8,9 < 80 < 9,0
8,94 < 80 < 8,95
8,944 < 80 < 8,945
c) Die Zahl 31 = 0,3333333… wird bestimmt.
Ü 2.87
a) 2,645 < √7 < 2,646
d) 9,486 < √90 < 9,487
14
b)5,477 < √30 < 5,478
c) 8,062 < √65 < 8,063
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2 Zahlenmengen
Ü 2.88
p
Angenommen, √3 wäre rational, dann könnte man √3 als Bruch darstellen. Zum Beispiel wäre dann √3 = q
p
wobei q nicht 0 sein darf. Man kann annehmen, dass der Bruch q vollständig gekürzt ist.
⇒
p2
q2
=3 ⇒ 3⋅q2 = p2 . Daraus folgt aber, dass p durch 3 teilbar ist und man p auch schreiben kann als
p = 3n.
Setzt man dies in die Gleichung ein, erhält man 3⋅q2 = 9 ⋅ n2 . So sieht man, dass auch q durch 3 teilbar ist.
p
Damit ist aber √3 = durch 3 teilbar und damit ist die Annahme widerlegt.
q
Ü 2.89
a) √6 < 2,5
e)
12
7
<√3
b) 14/11 >
1,5
c) 3,5 = 3,5
g) 12 > − 12
f) 7,6 = 7,6
d)√5 < √6
7
h) 2 > √11
Ü 2.90
7
5
rational, reell
2
2
0,333...
−8
36
25
− 16
natürlich, ganz,
rational, reell
irrational, reell
rational, reell
ganz, rational, reell
rational, reell
ganz, rational, reell
Ü 2.91
a) manchmal
e) immer
b) immer
f) nie
c) manchmal
d) manchmal
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15
2 Zahlenmengen
Ü 2.92
a) x ∈ ℝ |0,5 < x < 3}
b) x ∈ ℝ |x > 1}
c) x ∈ ℝ |x ≤ –2}
d) x ∈ ℝ |0 ≤ x ≤ 1,5} ∪ x ∈ ℝ |2 ≤ x ≤ 3,5}
e) x ∈ ℝ |–4 ≤ x < –1} ∪ x ∈ ℝ |1 < x ≤ 4}
f) x ∈ ℝ |–10 ≤ x } ∪ x ∈ ℝ |x ≥ – 5}
Ü 2.93
a) 2;6
6
b) –10; 20
c) –2; ∞
d) – ∞; 0
e) – ∞; –5 ∪ 5; ∞
f) – 30; –20 ∪ 10; ∞
Ü 2.94
a)
b)
c)
d)
16
x ∈ ℝ |–1 < x ≤ 4} = –1;4
x ∈ ℝ |–1 ≤ x < 0} ∪ x ∈ ℝ |2 ≤ x} = –1; 0 ∪ 2; ∞
x ∈ ℝ | x < –2} ∪ x ∈ ℝ |0 ≤ x ≤ 20} = – ∞; –2 ∪ 0; 20
x ∈ ℝ |–1,5 < x < 0,5} = −1,5; 0,5
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2 Zahlenmengen
Ü 2.95
1+√5
+1 1+ √5
2
=
2
1+ √5
2
Ü 2.96
a) 1,618...
b) Die beiden Rechtecke links und rechts neben dem Torbogen haben in der Zeichnung ungefähr die
Abmessungen 11 mm x 6,5 mm; 11 ≈ 1,69. Das ist ein guter Näherungswert angesichts der
6,5
Messungenauigkeit.
c) Das Seitenverhältnis:
(1) 1,35
(2) 1,133
(3) 1,6
(4) 2,273
Die Rechtecke (3) und (5) sind ungefähr „goldene Rechtecke“.
(5) 1,611
Ü 2.97
a) 3 : 1,7 = 1,765 : 1
b) 2 : 1,1 = 1,819 : 1
c) 1,9 : 1,5 = 1,267 : 1
Vor allem beim Arm in Teilaufgabe a) findet man eine gute Näherung für das goldene Verhältnis.
Ü 2.99
a) 73 300
b) 19 400
65 800
78 300
77 300
67 600
28 200
21 300
52 000
84 000
40 000
50 000
Ü 2.100
a) 147 000
b) 4 000
45 000
364 000
650 000
13 000
122 000
734 000
342 000
821 000
Ü 2.101
a) FLUG
b) BALL
Ü 2.102
B
340
D
350
F
290
A
330
C
300
E
345
Ü 2.103
Planet
Jupiter
Saturn
Uranus
Neptun
Erde
Venus
Mars
Merkur
a)
gerundeter Durchmesser
143 000
121 000
51 000
50 000
13 000
12 000
7 000
5 000
b)
Größenverhältnis zur Erde
11 mal so groß
etwa 9 mal so groß
etwa 4 mal so groß
etwa 4 mal so groß
etwa gleich groß
Erde etwa 2 mal so groß
Erde etwa 2 1/2 mal so groß
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17
2 Zahlenmengen
Ü 2.104
Beim Marathonlauf ist eine Strecke von 42 195 m zurückzulegen. Der Sieger benötigt in diesem Jahr 2
Stunden, 10 Minuten und 27,5 Sekunden. Der Vorjahressieger musste wegen eines Sturzes bereits nach einer
Strecke von 21 km aufgeben. Die äußeren Bedingungen waren in diesem Jahr schlecht, da es etwa 30
Minuten lang regnete.
Ü 2.105
Die gerundeten Summanden 45 000 und 32 000 ergeben als Summe 77 000. Damit hat Christoph einen
Rechenfehler von etwa 10 000 gemacht.
Ü 2.106
a) 34 000
d) 46 000
b) 33 000
e) 47 000
c) 44 000
f) 39 000
Ü 2.107
a) 87 ⋅ 12 ≈ 90 ⋅ 10 = 900
b) 36 ⋅ 23 ≈ 40 ⋅ 20 = 800
c) 61 ⋅ 19 ≈ 60 ⋅ 20 = 1 200
d) 37 ⋅ 44 ≈ 40 ⋅ 40 = 1 600
21 ⋅ 52 ≈ 20 ⋅ 50 = 1 000
38 ⋅ 67 ≈ 40 ⋅ 70 = 2 800
45 ⋅ 64 ≈ 50 ⋅ 60 = 3 000
70 ⋅ 28 ≈ 70 ⋅ 30 = 2 100
Ü 2.108
Lederschildkröte
Mississippi–Alligator
Leguan
Anaconda
Kreuzotter
2m
6m
2m
10 m
1/2 m
Ü 2.109
a) ≈ 0,1
b) ≈ 0,3
Ü 2.110
Marvin
Robin
Oliver
genauer Wert
2€+2€+0€
+2€=6€
1€+2€+0€
+1€=4€
2€+3€+1€
+2€=8€
6,64 €
6€+3€+6€
+ 4 € = 19 €
6€+3€+5€
+ 4 € = 18 €
7€+4€+6€
+ 5 € = 22 €
19,93 €
4€+2€+1€
+ 5 € = 12 €
3€+2€+1€
+ 4 € = 10 €
4€+3€+2€
+ 5 € = 14 €
12,39 €
Bei der Rechnung von Oliver kann es nicht passieren, dass das Geld irgendwann einmal nicht reicht.
Ü 2.111
a) Nach oben kann die Zahl um 49, nach unten um 50 abweichen.
b) Das exakte Ergebnis kann um 100 kleiner sein, wenn beide Summanden um 50 kleiner als der gerundete
Wert waren. Er kann um 98 größer sein, wenn beide Summanden um 49 größer als der gerundete Wert waren.
Ü 2.112
a) Beide Beträge kann Ede nicht in 1-Euro-Münzen wegtragen. Er würde vielleicht 75 kg wegtragen können,
das wären 10 000 €.
b) 80 kg (10 kg)
18
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2 Zahlenmengen
Ü 2.113
Exakte Datenangabe
Runden
ja
nein
Beim Fußballspiel der Schulmannschaft waren im Finale
3 128 Zuschauer im Stadion.
Die Fahrradschlossnummer von Tatjana lautet 2 109.
x
Der Kater Moritz hat eine Masse von 4 520 g.
2013 läuft der Kenianer Kipsang die 42,195 km des
Berlin-Marathons in der neuen Weltrekordzeit von
2:03:23 Stunden.
Den Weitsprungweltrekord hält der Amerikaner Mike
Powell mit 8,95 m.
x
Sonst könnte man
das Schloss nicht
öffnen.
Sonst wäre es
vielleicht nicht mehr
Weltrekord.
Sonst wäre es
vielleicht nicht mehr
Weltrekord.
Ü 2.114
a) 102,346; 102,347; 102,348; 102,3485
b) 100; 100,0001; 100,00001; 100,00000001
c) 33,121; 33,2; 33,3; 33,34; untere Schranke: 33,30; obere Schranke: 34,40
Ü 2.115
a) auf Zehner 110 ergibt.
b) auf Tausender 25 000 ergibt.
c) auf Hunderter 3 000 ergibt.
Kleinste Zahl
106
24 500
2 950
110
25 000
3 000
Größte Zahl
114
25 499
3 049
Ü 2.116
a) 12,6 %
b) 12,8 %
c) 12,5 %
(c) ist am einfachsten zu berechnen und liefert auch fast dasselbe Ergebnis wie die genaue Berechnung. In
diesem Kontext ist Runden sehr sinnvoll.
Ü 2.117
a) 4 m
b) 17 km
c) 17 kg
d) 35 t
e) 11 m2
f) 186 dm2
b) 32 dm
c) 138 l
d) 664 ml
e) 8 020 dm3
f) 632 mm3
Ü 2.118
a) 90 mm
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19
3 Variable und Terme
3 Variable und Terme
Ü 3.1
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
gleichwertig (KG +)
nicht gleichwertig (KG gilt nicht bei Subtraktion)
gleichwertig (Zusammenfassen)
nicht gleichwertig (Beispiel: 6 ⋅ 1 − 6 = 0 ≠ 6)
gleichwertig (AG ⋅ )
nicht gleichwertig (Beispiel: 9 ⋅ (1 + 1) = 18, 9 + 1 = 10)
gleichwertig (AG +, Ordnen, Zusammenfassen)
gleichwertig (DG)
gleichwertig (AG +)
gleichwertig (DG)
Ü 3.2
b) 3 ⋅ x
f) 1 + 1,5 ⋅ a
c) (4 + 3) + y = 7+y
g) 3 ⋅ (a + b)
d) (0,5 ⋅ 6) ⋅ z = 3 ⋅ z
h) 21 ⋅ (x + y)
a) 7, keine Vereinfachung möglich
b) –7, T(z) = 6 – z
c) 3, keine Vereinfachung möglich
d) –22, T(z) = 11x – 22y
e) –17, T(z) = –3u – 14z – 8
f) –2, T(a,b) =
a) 8x + 1
e) 5 ⋅ b − 10
Ü 3.3
7
2–3a–2b
6
Ü 3.4
a) 10a
9y
9b
6x
0,4 t
b) 2x + 2
2,5x + 3,5
8y + 8
a
12a + 12
c) 2a + b
3a + 9b
x + 2y
x+8
5b − 5a
Ü 3.5
a) –3a +b
y
5
c) 3 +4z
b) –35s – 15t
d) 2 a–
3b
e) 3s + 7t
4
Ü 3.6
a)
e
b)
d
c)
c
d)
c
e)
f
f)
e
g)
d
h)
c
Ü 3.7
a) 4 ⋅ x + 3 ⋅ 4 = 4 ⋅ (x + 3)
c) 5 ⋅ (8 − x) + x ⋅ (5 − 2) = 8 ⋅ 5 − 2 ⋅ x
b) b ⋅ (6 − 2) + (b − 1) ⋅ 2 = 6 ⋅ b − 1 ⋅ 2
Ü 3.8
a) falsch (9 ≠ 9x)
b) falsch (DG nicht angewendet)
c) richtig
d) falsch (DG nicht angewendet)
e) falsch (falsch zusammengefasst, statt „ +x“ wurde „ −x“ gerechnet)
f) falsch (DG nicht angewendet)
g) falsch (a + b kann man nicht zusammenfassen, a + b ≠ ab)
h) falsch („ −n“ vergessen)
20
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f) –22y – 23
3 Variable und Terme
Ü 3.9
a) 5y – z
b) 5 – 2b
c) –7n + 11m
d) –8u – 25s
Ü 3.10
a) T(x) = x+2)·5 –10
b) x+2)·5 –10 = 5x +10 –10 = 5x
Ü 3.11
a) 2x – 4
b)
1
3
c) 2z2
u+u
k+4
d) 12 – 4a
e) k–1
Ü 3.12
a) T1 =k+e…gibt die Gesamtzahl der Teilnehmer an
T2 = k+e)·z…berechnet die gesamten Kosten der Busfahrt für den Tagesausflug
T3 =k·(x+z)…gibt die Kosten eines Kindes für den Tagesausflug an
b) G=k·x+e·y+z·(k+e)
Ü 3.13
a) 2k+4s
b) 2k+4·(s+10)
c) 2· k–14 +4·(s+8)
Ü 3.14
Die richtige Lösung ist a+bx – b, denn a sind die Fixkosten für den ersten Tag und b·(x–1) sind die weiteren
Kosten.
Ü 3.15
b) 2a2 +17a, Probe: –15
a) 26w + 3, Probe: 29
c) –99v, Probe: –198
Ü 3.16
Term
Grundmenge
T(x) = 4x
T(x) = 4/x
T(z) = 4 – z
G = {0, 1, 2, 3}
G = {0, 1, 2, 3}
G = {–1, 0, 1, 2}
Definitionsmenge
T(a) = a+1
G = {– 2, – 1, 0, 1, 2, 3}
D = {0, 1, 2, 3}
D = {1, 2, 3}
D = {–1, 0, 1, 2}
D = {– 2, 0, 1, 2, 3}
T(b) = 2b² – b + 3
G=ℕ
D=ℕ
4
Ü 3.17
a) 216
e) −216
b) −256
f) −216
c) −5
g) −1 728
d) 625
Ü 3.18
p
2
3
5
7
2p − 1
3
7
31
127
11
2 047
Primzahl
Primzahl
Primzahl
Primzahl
keine Primzahl
2 047 = 23 ⋅ 89
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21
3 Variable und Terme
Ü 3.19
a) x10
b) a5
c) y 6
d) 10c 4
e) 8z8
f) −24a15
g) −10x12
h) x 7
1
c) 3t
d) 32 xy3
e)
d) 9z2
e) x 2
f)
e) −x10z15
f)
Ü 3.20
a) 3r 2
b)
2
5s2
− xy
4
Ü 3.21
a) 32x 5
16
81y 4
b) 125y 3
c)
b) x 6 y 4
c) d12f3
x2y2
49
Ü 3.22
a) 64s6
d)
r 6s9 t12
x12y8
Ü 3.23
m-mal
a)
am
an
n-mal
a·a·…·a
= a·a·…·a = a· a·…·a
n-mal
= am–n
b) am )n = am ·am ·…·am =am+m+ ... +m =am·n
m-n bleiben übrig
n-mal
Ü 3.24
a) x = 6
e) x = 5
b) x = 1
f) x = 1
c) x = 6
g) x = 3
d) x = 3
h) x = 2
Ü 3.25
( x 5 )3 = x 5 ⋅ 3 = x15
a) x 5 ⋅ x 3 = x 5+ 3 = x 8
b) (ax)2 = a 2 x 2 ≠ ax 2
falls a ≠ 1
Ü 3.26
a) V = a·s)3 = a3 · s3 Vergrößerung des Volumens um a3
b) O = 6· a·s)2 = a2 ·(6·s2 )
Vergrößerung der Oberfläche um den Faktor a2
Ü 3.27
a) a4
b) x ⋅ y
c) x 6
d) 1
e)
b) a3 b6 c4
g) x7 y2
c) z9
1
h) – u10
d) –4a6 b2
16a
i) – 2
e) 4x8
b) 1
c) 0,000001
d) 1
f) 8
1
j) 16
g) 1
h) 1 000
1
t ⋅ u4
Ü 3.28
a) 30x9
f) –2u9 v3
b
Ü 3.29
a)
1
8
e) 16
1
i) 100
22
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3 Variable und Terme
Ü 3.30
a)
1
x4
a2
b
b3
12a 3
c) r 6
d)
1
9x 2 y6
e)
b) x 4 y 6
c) 1
d)
1
f2
e) − 6p 2
b) 1
c)
d)
3b3
a3
b) −16
c) 16
d)
1
16
b)
Ü 3.31
a) −65
a
Ü 3.32
a) −31
b
a10
2b8
Ü 3.33
a) 16
e)
1
16
f)
1
− 16
Ü 3.34
a) Beispiel:
( )
( 23 )
−2
−n
−n
= a− n =
b) ba
b
=
1
an
1
bn
32
22
=
=
bn
an
( 23 )
9
4
und
bn
an
2
=
4
9
()
n
n
ist der Kehrwert zu an = ba .
b
Ü 3.35
a) a x
b)
ya
c) 23x + 2
6
b2
g)
3
h)
b)
1
38
f)
1
a2x +1
d) ab+1
e) y −8
i) t1− 2s
j) b2y
Ü 3.36
a)
( 52 )
2
c)
8a9
b6
d)
b6
8a9
e)
y5
x3
Ü 3.37
a)
x − 1 − y −1
x−y
=
1− 1
x y
x−y
=
y−x
xy
x−y
=
y −x
(x − y)xy
b) y a −b = y −(b − a) =
x−y
1
= − (x − y)xy = − xy
1
yb − a
Ü 3.38
a)
23 a3 c4
2
b
b)
26 x10 z10
9
2a
c) – x7 y4 b
d)
53 y6
x3
Ü 3.39
−3
0−3 ist nicht definiert, weil 0 = 13 = 01 . Die Division durch 0 ist nicht definiert.
0
0
3 −3
= 03 ⋅ 0−3 = 0 ⋅ 13 = 0 ⋅ 01 . Die Division durch 0 ist nicht definiert.
00 ist nicht definiert, weil 0 = 0
0
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23
3 Variable und Terme
Ü 3.40
a) Ausgabe:
3.6
13
Das Ergebnis ist 3,6 ⋅ 1013 = 36 000 000 000 000
b) Ausgabe:
2
14
14
Das Ergebnis ist 2 ⋅ 10 = 200 000 000 000 000
c) Ausgabe: 8.1 –13
Das Ergebnis ist 8,1⋅ 10 −13 = 0,000 000 000 000 81
Ü 3.41
a) 233 400 000 = 2,334∙1011
b) 1,7507∙1011
Ü 3.42
Dezimalschreibweise
Zehnerpotenzen
…
…
10
1
1
0,1
0
10
10
10
0,01
−1
10 −2
Ü 3.43
a) Tippt man die Zahl in den Taschenrechner ein (z. B. TI 30) und drückt dann die =-Taste, so erhält man die
Anzeige: 1.25 − 10
Der Rechner formt die Darstellung der Zahl um: 0,000 000 000 125 = 1, 25 ⋅ 10 −10
b) Fernsehsignale: etwa 101;
UV-Licht: etwa 10 −8 ; ungefähr 109 -mal = 1 000 000 000-mal so groß.
Ü 3.44
a) 3, 84 ⋅ 10 5
b) 7 ⋅ 10−3
d) 3, 2 ⋅ 10 −1
c) 4, 0075 ⋅ 10 4
e) 2, 85 ⋅ 10 − 5
Ü 3.45
58 000 000
0,000 000 000 000 000 000 160 2
290 000 000 000 000 000 000 000
140 500 000
a)
b)
c)
d)
Ü 3.46
a) 4, 2 ⋅ 10 4 = 42 000
b) 1, 406 ⋅ 10 −1 = 0,1406
c) 4, 2 ⋅ 101 = 42
d) 2, 5004 ⋅ 10 3 = 2500, 4
e) ≈ 2,1176 ⋅ 10 5
f)
≈ 3, 0667 ⋅ 10 5
Ü 3.47
Fixkommadarstellung
100
0,0773
0,007032
999
24
Gleitkommadarstellung
0,001 · 105
–1
0,773·10
7 032·10–6
4
0,0999·10
–4
0,0034
34 · 10
21 900
219 · 102
normierte Gleitkommadarstellung
102
7,73·10–2
7,032 · 10–3
9,99 · 102
3,4 · 10–3
2,19 · 104
2
–1 410
–14,1 · 10
–1,41 · 103
0,000502
502 · 10–6
5,02 · 10–4
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3 Variable und Terme
Ü 3.48
Mithilfe wissenschaftlicher Darstellung, von klein nach groß geordnet:
a) 2 · 10–4 ; 10–3 ; 2 · 10–3 ; 4 · 10–3 ; 5 · 10–3
b) 1,5·104 ;1,7·104 ;2·104 ; 5·104
Ü 3.49
a) 10–3
b)10–2
c) 7 · 10–4
d) 1,5 · 10–1
e) 3,4 · 10–3
f) 5·101
g) 3 · 103
h) 1,8 · 1012
i) 10–2
j) 2 · 105
b)103
c) 103
d) 10–2
e) 104
Ü 3.50
a) 105
–4
–3
f) 10
2
6
g) 10
h) 10
i) 10
b)6,4 ∙ 102
c) 9 ∙ 101
d) 9 ∙ 10–5
e) 8 ∙ 1012
b)–2,3 ∙ 104
c) 6,0013 ∙ 105
d) 3,3 ∙ 10–2
e) 8,88 ∙ 10–2
Ü 3.51
a) 2 ∙106
f) 1,1 ∙ 10–8
Ü 3.52
a) 2,005 ∙105
–1
f) 5,90005 ∙ 10
Ü 3.53
a) 2,592 ∙ 1010 = 25 920 000 000
d) 6,25 ∙ 10–4 = 0,000625
b) 2,109375 ∙ 103 = 2109,375
e) 8,79 ∙ 10–8 = 0,0000000879
c) 4 ∙ 10–2 = 0,04
f) –2,88 ∙ 105 = –288 000
Ü 3.54
Planet
Merkur
Venus
Durchmesser (km)
5 ⋅ 10
3
Größte Entfernung (km)
220 000 000
1, 2 ⋅ 10 4
260 900 000
4
−
Erde
1, 28 ⋅ 10
Mars
6, 8 ⋅ 10
3
Jupiter
1, 43 ⋅ 10 5
967 000 000
Saturn
5
1 658 000 000
Uranus
Neptun
1, 21 ⋅ 10
5, 2 ⋅ 10
400 000 000
4
4,95 ⋅ 10
3 160 000 000
4
4 689 000 000
Ü 3.55
a) 733 s ≈ 12 min
c) 5 527 s ≈ 92 min = 1 h 32 min
b) 3 223 s = 54 min
d) 25 083 s ≈ 418 min = 6 h 58 min
Ü 3.56
a) 7,349 · 107 Eg
e) 500 nm
b) 40 pm, 70 pm
f) 299 Mm/s
c) 288 pm
d) 100p%
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25
3 Variable und Terme
Ü 3.57
a) 3,5 · 109 W
b) 780 ml =7,8 · 102 ml = 7,8·10–1 Liter
1
c) 0,1 MHz = 10–1 MHz = 105 Hz
–8
d) 47 nm = 4,7 · 10 = 4,7 · 10 m
Ü 3.58
9·10–6 g=0,000009 g; 0,00005 g=5·10–5 g;78μg=0,000078 g=7,8·10–5 g;
0,11 mg= 0,00011g=1,1·10–4 g
Ü 3.59
a) 1,46 ∙ 104 Liter
b) ca. 104 Badewannen
Ü 3.60
a) 5,475 · 104 Liter
b) 4,38 · 106 Liter
c) 4,599 · 1011 Liter
Ü 3.61
a) 4 000 Blüten
e) ca. 7 985-mal
c) 1,6 · 108 Blüten
b) 168 000 Blüten
d) 3,2·108 km
Ü 3.62
zwischen 5·106 und 8·106
Ü 3.63
a) 5 · 10–5 Liter; 8,5 · 108 Liter
b) 1,7·1013 Flaschen
c) ca. 123,2 Liter
Ü 3.64
x
2
2x
2
x
3
x
3x
6
3x
4x
−4
2
12x
−12x
5
20x
−20
y2
12
12y
3xy
36x
y
y
3x
(x + 2) ⋅ (x + 3)
(3x + 5) ⋅ (4x − 4)
(y + 12)
= x 2 + 5x + 6
= 12x 2 + 8x − 20
= y 2 + 12y + 36x + 3xy
5x
2
5x
25x
−3
−15x
−3
−15x
6y
4x
24xy
−5
−30y
9
(y + 3x)
a
a
2
−b
−ab
b
ab
− b2
a
(5x − 3) ⋅ (5x − 3)
6y ⋅ (4x − 5)
(a − b) ⋅ a + b)
= 25x 2 − 30x + 9
= 24xy − 30y
= a 2 − b2
Ü 3.65
a) 6x2 y+20xy
d) 6x2 –10xy–4y2
g) –4u3 v–3u3 v2 –u2 v4
b) –54a2 +90ab
e) –2a3 +12a2 +5a–30
h) 6x2 +9xy–28x–6y+16
c) –2s3 t+2s3 t2 –2s2 t
f) –7s2 +7s–8st+8t
i) –a2 +a2 b+6ab–5ab2 –5b2
Ü 3.66
a) 48a2 + 58ab + 58a + 14b2 + 41b + 15
b) 2x2 + 28xy + 6xz + 90y2 + 46yz + 4z2
2
2
2
c) a + 2ab + 2ac + 2ad + b + 2bc + 2bd + c + 2cd + d2
d) 12x2 + 10xy – 51xz – 19x – 2y2 + 5yz + 9y + 12z2 – 14z – 10
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3 Variable und Terme
Ü 3.67
a) a2 + 8a + 15
b) x 2 + 12x + 36
c) 25 + 10b + b2
d) x 2 + 15x + 56
e) x 2 − 12x + 36
f) x 2 − y 2
g) a2 + 24a + 144
2
j) 5x + 16xy + 3y
h) x 2 − 9
2
i) 9x 2 − 25
2
k) 9x + 48xy + 64y
2
l) 9x 2 − 48xy + 64y 2
Ü 3.68
a) 9 x 2 + 30xy + 25 y 2
d) 18x 2 − 26x − 20
b) 1 − x 2
e) 81x 2 − 49y 2
f) x2 + 3x − 54
c) 64x 2 + 144xy + 81y 2
Ü 3.69
a) 0,25 + 3b + 9b 2
b) 56x 2 − 2x − 90
c) 0,49x 2 − 5,6x + 16
d) 41 x2 + 4x + 16
e) 2x 2 + 24x + 40
f)
g) r 2 − 0,25
h) 2r 2 − 1,2r − 0,8
i)
1 + 5 y + 25y2
j) 16
2
k) 25y 2 − 100xy + 100x 2
l)
a) 36a2 − 25b2
y − 5y 2
b) 34 − 11
4
25 x 2 + 5 xy + y2
c) 36
3
d) −27x 2 + 51x − 20
e) 2x 2 − 5,2xy + 0,5y 2
f) 41 x 2 + xy + y2
9 x2 − 1 x + 1
16
2
9
9 s2 + 18s + 36
4
1 x2 − 1 xy + 1 y2
16
10
25
Ü 3.70
h) 0,16x 2 − 81
i) 0,25t 2 − 6,25
g) 9y 2 − 16x 2
Bei b), d) und e) können die binomischen Formeln nicht angewendet werden.
Ü 3.71
a) 49a2 – 140a + 100
b) 9a2 + 30ab + 25b2
c) s6 t2 – 10s5 t2 + 25s4 t2
d) 8x3 + 12x2 y + 6xy2 + y3
e) 64a3 – 144a2 + 108a – 27
f) −y3 + 6y2 z – 12yz2 + 8z3
g) 27a3 + 54a2 b + 36ab2 + 8b3
h) x3 – 3x2 y2 + 3xy4 – y6
i) −x3 – 15x2 –75x–125
3
4
3
2
4
3
2 2
k) 16a – 96a b + 216a b –216ab + 81b4
j) a + 4a + 6a + 4a + 1
l) x5 + 5x4 y + 10x3 y2 + 10x2 y3 + 5xy4 + y5
Ü 3.72
2
a) 5x–2y =25x2 –20xy+4y2
c) x –
2 3
3
3
2
= x – 2x +
4
4
x–
3
3
8
27
b) 4a +
b 2
2
=16a2 + 4ab +
3
b2
4
d) 3a – 4b = 27a – 3·36a b + 144ab2 – 64b3
3
2
e) 2b – c = 16b4 – 32b c + 24b2 c2 – 8bc3 + c4
Ü 3.73
a) 4a2 b6 + 28a3 b7 + 49a2 b8
x2
d) 25 –
xy
10
+
y2
16
b) 9x6 y4 z2 – 30x4 y6 z + 25x2 y8
x3
e) 27 −
2 2
x
3
c) 27u6 v3 – 27u4 v2 + 9u2 v – 1
f) 27x6 + 108x3 + 144 +
+ 4x – 8
64
x3
Ü 3.74
a) U(s) = (s–4)·4+4s = 8s–16
2
b) A s)=s2 – s–4 =8s–16
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27
3 Variable und Terme
Ü 3.75
a) 2ab +2b2
b) –8x2 + 8x + y2 + 4xy + 40
3
2
2
d) a – 100a + 9a b + 27ab2 + 240ab + 27b3 – 144b2
f) –64u3 + 10u2 – 144u2 v + 28uv – 108uv2 + 19v2 – 27v3
h) –72z3 + 272z2 – 436z + 231
j) −29w3 – 20w2 – 29w
c) 9x2 – 6xy – y4 + y2
e) −2x – 4xy – 2xy2 + 13y2
g)187y2 +20y – 57
i) 2u4 – 13u3 –12u2 + 5u
Ü 3.76
Alle drei Terme beschreiben die richtige Lösung.
Ü 3.77
a) a 2 − ax − ay + xy = (a − x)(a − y)
b) ax + ay – xy = a (x + y) − xy
c) Fläche des Parks: 2 500 m2
Fläche der Wege: 244 m2 , das sind 9,76%, also rund 10%.
Ü 3.78
a) 5a (5 + b)
d) 7·(6ab – 2a + 3)
g) 3xz (2x2 + 2z2 – 1)
c) u2 v (2v2 + u)
f) 4uv –12 + 3u2 + 2u4
i) s2 t3 u (s2 + 4su + u2 )
b) 17x (1 – 2x)
e) s4 s2 – 2s3 + 1
h) 2a 1 + 2ab – 2b + 4b3
Ü 3.79
a) a + b)·5
b) a – b · 2 · 3a + 2b)
c) y – 2x ·(1 – 2a)
b) (9 – a)(9 + a)
c) 3– y
d) 15 – 3x ·q
Ü 3.80
a) 2x + 3)2 e) 3a – 5b
2
f) 6x – 12
6x + 12)
2
g) 10x + 1)2
Ü 3.81
100 − y 2 = (10 + y)(10 − y)
a 2 + 6ab + 9b 2 = (a + 3b)2
0,81a 2 − 1,8ab + b 2 = (0,9a − b)2
49x 2 + 14xy + 4y 2 nicht möglich
2
2
I
2
36a − 60ab + 25b = (6a − 5b)
25x 2 − 15xy + 3y 2 nicht möglich
2
A
2
25a + 49b nicht möglich
R
0,01x 2 + 0,2x + 1 = (0,1x + 1)2
x 2 + xy + y 2 nicht möglich
2
P
2
0,36x − y = (0,6x + y)(0,6x − y)
1 u2
16
9 v2 =
− 25
( 41 u + 35 v )( 41 u − 35 v )
x 2 + 3x + 1,5 nicht möglich
S
Lösungswort: PARIS
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d) 5x – 2
h) 9y – 1
2
2
3 Variable und Terme
Ü 3.82
a) 3xy 4 + x – 7y
b) r +
d) 9ab – 7 9ab + 7)
s 2
2
e) – 5g + f
)2
g) 2 3y+2z
2
j) 3 3x2 – 5z c) 4c+11d) 4c–11d
)2
f) 7 (a–2b+3b)
h) 2b 8c – 1 8c + 1)
i) 3u–v
k) 2 2k+1)2
l) 2 a –
1
2
5
2
b
a+
5
2
b
Ü 3.83
a) 49 + 28b + 4b 2 = (7 + 2b)2
b) 6,25x 2 − 10xy + 4y 2 = (2,5x − 2y )2
c) 36x − 96x + 64 = (6x − 8)
d) 25 + 10s + s2 = (5 + s)2
e) 81x 2 − 25y 2 = (9x − 5y)(9x + 5y )
f)
2
2
x 2 − xy + 0,25y 2 = ( x − 0,5y)2
Ü 3.84
a) (x + 5)2 − 20
b) (x + 4)2 − 19
2
c) (x − 6)2 − 16
2
e) (5x + 2) − 7
d) (x − 7)2 − 58
2
f) (5x − 9) − 81
g) (x + 2) + 4
b) 0,5a – 3
f) c3 –9c+1
c) x2 – 3x + 1
h) (x + 3)2 − 9
Ü 3.85
a) 2x + 5
e) 2y + 5
d) 3b2 + 4
Ü 3.86
a) x + 4 –
1
x–1
7y–6
e) 2y – 1 +
49,5
f) 5a2 – 10a + 21 –
2y2 –3
x
2a–5
b) 4a + 9,5 +
c) 3 +
7
–
9
23
9
d) 5b2 + 3b + 20 +
3x+2
12b+86
2
b –4
49
a+2
Ü 3.87
2
x
a) D = ℝ \ {0}; 2
b) D = ℝ\ {0};
c) D = ℝ\ {0; 3};
e) D =ℝ\ {0}; x + 2
f) D = ℝ \ {2}; nicht zu kürzen
1
x −3
d) D = ℝ\ {0; 3};
x
x −3
g) D = ℝ \ {0; 2}; xx −−52
h) D = ℝ \ {−6}; nicht zu kürzen
i)
D = ℝ \ {2,5};
x+4
2x − 5
j)
D = ℝ \ {0; 1}; 4(x1−1)
Ü 3.88
6
2x
5x
x2
x
x2 −2x
4x −12
4x
x+1
x2 + x
x2 +5x
2x +10
Ü 3.89
a) x +x 5
b)
x −2
x −1
Ü 3.90
a) c − 2
b)
y−3
y
c)
c+3
2
d)
1
4
e)
1
x
Ü 3.91
Beispiele:
a)
7
7x
x+1
x2 + x
b)
2a
a −a
2
20
10a −10
2
c) b2 +3b
b −2b
3b+9
3b−6
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29
3 Variable und Terme
Ü 3.92
y
a) 4
y
3
c) 10
b) 2(y−1)
5
d) y−7
e) a4
f)
z −1
z−2
Ü 3.93
x(x +1)
x2
= xx+1 = 1+ x1 = 2x2x+2
Ü 3.94
a) (1) D = ℝ \ {−1; 1};
1
x +1
(2) D = ℝ \ {−5};
1
z+5
y +2
(3) D = ℝ \ {−3; 3}; cc+−33
(4) D = ℝ \ {−2; 2}; y−2
x
x −1
(6) D = ℝ \ {−3; 3}; rr+−33
4(x + 3)
(2) D = ℝ \ {3}; 4a−92
(5) D = ℝ \ {−1; 1};
b) (1) D = ℝ \ {−4; 4};
x 2 −16
(a − 3)
2c
c2 −1
(3) D = ℝ \ {−1; 1};
(4) D = ℝ \ {−1; 1};
(5) D = ℝ \ {0; 5}; −x −102
(6) D = ℝ \ {−6; 6};
x(x −5)
− y−9
(
)
6 y2 −1
−4
x 2 − 36
Ü 3.95
b) M (a, b) = a2ab
+b
a) ≈ 64,6
Ü 3.96
a) T a,b)=
a+4
b–5
,a∈ℝ,b∈ℕ
b) D = a ∈ ℝ, b ∈ ℕ\{5}
11
c) T 7,10) =
5
Ü 3.97
a) D = ℝ\ –1;1 ;
d) D = ℝ\ –1 ;
8+2a
b) D =ℝ\ –1;1 ; a2 –1
3–2s
e) D = ℝ\
(s+1)2
3
2
;
4x2 –x–1
2x2 –2
c) D = ℝ\ –2;2 ;
3p
(3–2p)
3 3
2
f) D = ℝ\ – 2 ; 2 ;
z2 +3z
2z2 –8
4a2 +3a–3
3·(4a2 –9)
Ü 3.98
C
x–2
x·(2x–4)
D
A
x–2
x
B
F
x
x–2
E
1
2x + x2
x2
x
–4
x
x2 + 4
Ü 3.99
a) D = ℝ;
x2
10
2
4
b) D = ℝ\ – 3 ;0 ; x
c) D = ℝ \ {0; 1}; 1
−12
d) D = ℝ \ {−2; 2}; 3m
m+ 2
e) D = ℝ\ {0; 2}; 1
30
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3 Variable und Terme
Ü 3.100
{
}
b) D = ℝ \ −6; − 1 ;
2
a) D = ℝ \ {0}; x − 1
4k+4
6k+3
c) D = ℝ \ {0; 3};
z−1
3z
24x −24
x −2
d) D = ℝ \ {0; 1; 2};
Ü 3.101
a) D = ℝ \ {0}; 6y
b) D = ℝ \ {3};
d) D = ℝ \ {−1; 0}; 6k2 + 3
e) D = ℝ \ {−2};
k +k
c+1
c2
g) D = ℝ \ {0};
c) D = ℝ \ {−2; 2}; −220x
1
a −3
x −4
h2 +h+ 2
h+ 2
f) D = ℝ \ {−2}; bb+2
h) D = ℝ \ {0; 2}; 2
Ü 3.102
a) Die beiden Terme sind für x = 0 bzw. x = 3 nicht definiert, da für diese Einsetzungen der Nenner jeweils 0
würde. Die Division erfolgt durch Multiplikation mit dem Kehrwert des Divisors; damit der Kehrert definiert ist,
muss x = 2 ausgeschlossen werden.
x −2 : x −2
x
x −3
= x −x 2 ⋅ xx −−32 = x −x 3
x
b) D = ℝ \ {0; 1}; xx+−31 ; D = ℝ \ {−2; 2}; x − 2; D = ℝ \ {−6; 0; 6};
(x − 6)2
Ü 3.103
a) x
b)
2
− 36
x −6
=
(x + 6)(x − 6)
x −6
=x+6
x
x 2 − 36
x −6
x+6
0
2
4
6
8
6
8
10
geht nicht
14
6
8
10
12
14
c) Kathi hat vergessen, den Definitionsbereich anzugeben. Der
Bruchterm ist nur für x ≠ 6
definiert. Man darf deshalb auch
den umgeformten Term nur für
x ≠ 6 zulassen.
Ü 3.104
a) p ≠ q; p ≠ –q;
–2p–q
2
b) b ≠ 8a; b ≠ –8a; 2
3p –3q
4y
c) y ≠ z; y ≠ –z; y ≠ 0;
z–6z2
y3 –yz2
1
9+2ab
e) a ≠ 0; b ≠ 0; a ≠ – b ;
9ab
6uv
g)v ≠ 5u; v ≠ –5u; u ≠ 0;
h) s ≠ 0; t ≠ 0;
2
512a2 +ab2 –8b2
2
128a2 –2b
d) x ≠ y, x ≠ –y; x = 0; x ≠
f) a ≠ 0; b ≠ 0;
1
2
;
1
2x3 –x2 –2xy2 +y2
4a3 b–a2 –10ab–25b2
4a2 b
5u+v
3s3 +3st2
i) x ≠ 0; y ≠ 0; x ≠ 3y;
2t3 + 18s2 t
2
–x+3x y–9xy2 +3y
2x3 y–12x2 y2 +18xy3
Ü 3.105
a) D = ℚ\{0};
c) D = ℝ\
1
2
;
1
2
2
–18a +10a+15
;
2
–2x–13
e) D = ℝ\{0; ±√6};
4x2 –1
a
d) D = ℝ\{−2; 2}; x3 –4x
–3a+18
z
b) D =ℚ\{0}; 2
f) D = ℝ\{0}; 4
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3 Variable und Terme
Ü 3.106
a)
f)
a2
b)
4b
9p3
v
c)
3
g) –1
q+5
h)
5y
d)
9
5
e)
2
1
6x+6y
a2 b – 2b2
2a2
Ü 3.107
a)
g
b
10 cm
10 cm
20 cm
6,67 cm
2m
5,13 cm
20 m
5,01 cm
b) Die Bruchterme werden gleichnamig gemacht und dann zusammengefasst.
c) Siehe a).
d) Für g = f ist der Nenner 0; b ist dann nicht berechenbar. Es gibt kein „Bild“.
Ü 3.108
a) Man muss wissen, mit welcher Geschwindigkeit sie bisher fuhr.
b)
v1
t1
v2
t2
80 km
h
90
100
km
h
km
h
Zeitersparnis
90 min
90 km
h
80 min
10 min
80 min
100
72 min
8 min
72 min
110
km
h
km
h
65,5 min
6,5 min
c) Aus der Formel Weg = Geschwindigkeit ⋅ Zeit erhält man die Terme für die benötigte Zeit: t1 = 120
und
v1
t2 = 120
mit v2 = v1 + 10. Die Differenz t1 − t2 gibt die Zeitersparnis e an.
v2
− v120
=
d) e = 120
v
+10
1
1
120( v1+10)
v1( v1+10)
−
120v1
v1( v1+10)
=
1200
Stunden
v1( v1+10)
e) Etwa 6,5 min (4,6 min) Zeitersparnis.
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4 Lineare Gleichungen
4 Lineare Gleichungen
Ü 4.1
a) 2x + 5 = x + 8
b) 3x + 12 = x + 17
c) 3x + 30 = x + 80
Lösung: x = 3
Lösung: x = 2,5
Lösung: x = 25
Ü 4.2
a) x = 2
f) x = 3,5
c) x = −0,4
h) x = −10
b) x = 2,4
g) x = 1
d) x = −3
i) x = −1
e) x = 7
Ü 4.3
a) äquivalent
c) nicht äquivalent
e) nicht äquivalent
b) äquivalent
d) nicht äquivalent
f) nicht äquivalent (2. Gleichung ist nicht lösbar)
Ü 4.4
1. falsch → richtig:
2. richtig
3. richtig
4. falsch → richtig:
5. falsch → richtig:
x=3∙2=6
x=1+2=3
4 = 0,5x ⇒ x = 8
Ü 4.5
a) (7x − 1) + (4x + 3) = 90
Lösung: x = 8
Winkel 1: 55°, Winkel 2: 35°
b) (7x + 1) + (4x + 3) = 180
Lösung: x = 16
Winkel 1: 113°, Winkel 2: 67°
c) (4x − 2) + (3x + 13) + (2x − 2) = 180
Lösung: x = 19
Winkel 1: 74°, Winkel 2: 36°, Winkel 3: 70°
Ü 4.6
5 ⋅ (4,5 + x) = 40 Lösung: x = 3,5
Jeff muss den Garten um 3,5 m verlängern.
Ü 4.7
(3 850 − x) + (4 350 − x) = 5 000
Der Lkw wiegt leer 1 600 kg.
Lösung: x = 1 600
Ü 4.8
a) allgemeingültig
b) unlösbar
c) unlösbar
d) allgemeingültig
27x + 18 = 27x + 18
3x + 1 = 3x + 3
2x − 7 = 2x + 7
x+5=x+5
Ü 4.9
Sinnvolles Üben in Eigenaktivität (ähnlich wie Ü 4.8)
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33
4 Lineare Gleichungen
Ü 4.10
a) Da jeder Winkel α < 60° passt, lassen sich durch Probieren einfach verschiedene Lösungen finden.
b) α = 30° ⇒ 2α = 60°, 180° − 3α = 90°
passt
α = 60° ⇒ 2α = 120°, 180° − 3α = 0°
⇒ Die Figur ist kein Dreieck mehr, da ein Winkel
0° beträgt.
α = 70° ⇒ 2α = 140°, 180° − 3α = −30° → auch kein Dreieck
c) 0° < α < 60°
Ü 4.11
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Lösung
x=3
x = –3
x = 15
x = 50/3
x=2
x = –1/3
Lösung in ℕ
ja
nein
ja
nein
ja
nein
Lösung
x=3
x = –3
x = 15
x = 50/3
x=2
x = –1/3
Lösung in ℤ
ja
ja
ja
nein
ja
nein
Ü 4.12
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Lösung in ℚ
ja
ja
ja
ja
ja
ja
Ü 4.13
a) n: natürliche Zahl → Grundmenge ℕ
Gleichung: n + (n + 1) = 21
Lösung: n = 10
b) x: Zahl
→ Grundmenge ℝ
Gleichung: 3x + 6 = 2x
Lösung: x = −6
c) x: Katrins Alter heute (in Jahren) → Grundmenge ℕ
Lösung: x = 12
Gleichung: x + 6 = 1 1 ⋅ x
2
d) z: ganze Zahl → Grundmenge ℤ
Gleichung: z + 3z = −8
Lösung: z = −2
Ü 4.14
a) x = 4
e) x = 0
i) x = 0
b) x = 7
f) x = −5
c) x = 0,7
g) x = 3
d) allgemeingültig
h) keine Lösung
Ü 4.15
a) x = 4
x = 27
t = 10
a = 0,2
x = 14
34
b) x = 2
a = 1,5
x=7
y = 0,125
keine Lösung
c) a = 23
x = −4
x=9
allgemeingültig
s = 0,4
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4 Lineare Gleichungen
Ü 4.16
a)
2x
1
–2+ =2
5
2 x
5 5
5
1
–1 + =2
5
2
x–5 +0,2=2
5
x–5=4,5
2x=1
2
b) Einerseits gilt 2 · x – 5 + 1 = 10 | :5 ⇒ 5 x – 5 +
1
5
2
= 2 ⇒ 5 x – 5 + 0,2 = 2 ⇒
andererseits: 2 · x – 5 + 1 = 10 | –1 ⇒ 2 · x – 5 = 9 |:2 ⇒ x – 5
2x
5
–2+
1
5
= 2 und
= 4,5
Ü 4.17
a)
4· x–2 –7 = 5x
4x+2+7= 5x
4x–2+7=5x
2–4x+7= 5x
4x–2=5x+ 7
b) x = 5
Ü 4.18
1
a) (35 – 8x) · 3 + 20 = 5 (x – 9)
b) x = 10
Ü 4.19
Gleichung
6 – 5x = – 10 + 3x
6 + 3x = – 10 + 3x
6 + 3x = 6 + 3x
– 6 – 5x = –10 + 3x
Lösungsmenge
L –2}
L 2}
L }
L G
Ü 4.20
Die Lösungsmenge für (1) wird als L1 bezeichnet, für (2) als L2 und für (3) als L3.
9
a) L1 = L2 = L3 = 1}
b) L1 = – 17 , L2 = L3 = { }
c) L1 =
e) L1 = ℝ,L2 = ℤ,L3 = ℕ
d) L1 = L2 = L3 = 5}
3
2
, L2 = L3 = { }
9
f) L1 = 6 17 , L2 = L3 = { }
Ü 4.21
5
a) L = – 29
e) L = { }
1
b) L = 2 70
f) L = { }
4
c) L = –1 9
2
d) L = 1 5
Ü 4.22
Strecke: 6 32 km
Durchschnittsgeschwindigkeit: ≈ 17,8 km
h
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35
4 Lineare Gleichungen
Ü 4.23
b)
PKW
LKW
v (in km/h)
120
60
t (in h)
t–1/2
t
s (in km)
120 · (t–1/2)
60t + 60
c) Die zwei Gleichungen sind 220 – s = 60t und 280 – s = 120 · (t–1/2) → 280 – s = 120 ·
d) s = 100 km
e) 8:00.
220–s
Ü 4.24
a) nach 15 km
b) Ja, er holt ihn vor der Pause ein.
Ü 4.25
b) Sie treffen sich 4h 52 min nachdem die Nautilus abgefahren ist.
c) 300,67 sm
Ü 4.26
s
s
19
a) 40 = 50 + 30, Lösung: 126,67
b) ca. 3 h
Ü 4.27
a) x : 4 = x + 3, Lösung: x = −4
c) 24 −
x
3
b) 3x + 6 = 131 − 2x, Lösung: x = 25
d) 2x = 10x, Lösung: x = 0
= 12, Lösung: x = 36
Ü 4.28
Der Ausgangswürfel hat die Kantenlänge 10 cm.
Ü 4.29
(x − 2) (x + 3) = x2
x=6
Die Quadratseiten sind 6 cm
2 (a + (a + 4)) = 56
a = 12
Die Seiten sind 12 m und 16 m lang.
lang. Der Flächeninhalt beträgt 192 m2 .
(x + 2) (x + 3) = x 2 + 31
x=5
Die Quadratseiten sind 5 cm
2 (a + 3a) = 40
a=5
Die Seiten sind 5 cm und 15 cm lang.
lang.
Der Flächeninhalt beträgt 75 m2 .
Ü 4.30
Ü 4.31
12 dm
11 Jahre
Ü 4.32
Ü 4.33
74 Jahre
480
Ü 4.34
17
Ü 4.35
x
4
3
=6+ 4; Die Lösung ist 27 und die Division ergibt 6,75.
36
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60
1
– 2
4 Lineare Gleichungen
Ü 4.36
1
1
a) 3 x+ 4 x+1 750+2 000=x
b) gesamter Gewinn: 9 000 €, 1. Preis: 3 000 €, 2. Preis: 2 250 €
Ü 4.37
Paul hat 50 Legosteine und Martin 70.
Ü 4.38
m … Mädchen, b … Burschen
a) 2m = b
b) m–7 = 3b
1
c) 3 m + 3 =
b
d) 1,05b = m
2
Ü 4.39
11 11 11 11
x⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 28; Das erste Frühstück dauerte ca. 19 min.
Ü 4.40
r + r + 2r + 2r +1 + 3r –2 + 2 ∙ (3r – 2) = 55
Röcke: 4, Schals: 4, Blusen: 8, Pullover: 9, Hosen: 10, T- Shirts: 20
Ü 4.41
20 – 3x = 50 – 7x; Es dauert 7,5 h.
Ü 4.42
2(4t + 5t) = 540; Die Längen der Seiten sind 120 mm und 150 mm. Der Flächeninhalt ist 18 000 mm2.
Ü 4.43
1
a) D = ℚ \ {0}; x = 6
b) D = ℚ \ {0}; x =
c) D = ℚ \ {–5}; a = 0
e) D = ℚ \ {2}; d = 8
d) D = ℚ \ {–4; 3}; c = –25
f) D = ℚ \ {3}; b = 22
3
Ü 4.44
a) (4)
b) (1)
c) (4)
(3)
(5)
(1)
(1)
(4)
(5)
(2)
(3)
(7)
(5)
(2)
(2)
(6)
(3)
Ü 4.45
a) D = ℤ \ {0}; L = { }
Ü 4.46
a) D = ℚ \ {–3}; x = 2
c) D = ℚ \ {–3}; L = ℚ \ {–3}
b) D = ℕ \ {0}; L = { }
c) D = ℚ \ {2; 4}; L = {5}
b) D = ℚ \ {–3}; L = { }
d) D = ℚ \ {–3}; L = { }
Ü 4.47
a) x =
56
9
b) x = 3
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37
4 Lineare Gleichungen
Ü 4.48
12
a)
6b
=
b–3
1
=
x–1
c–3
c+6
5b – 15
2
x–2
Lösung: b = 10
Lösung: x = 0
Lösung: c = −9
=4
b) x = −2
c) n = 0
d) y = 9
Ü 4.49
2
a) D = ℚ \ {−2; 2}; x = −8
b) D = ℚ \ {−1; 0; 1}; x= 3
c) D = ℚ \ {−2}; x = 10
3
d) D = ℚ \ {1}; x = 21
e) D = ℚ \ {−1; 0; 1}; x = 31
f) D = ℚ \ {–3; 3}; x = 2
Ü 4.50
a) D = ℚ \ {3}; Umformen ergibt x = 3; da 3 aber nicht zur Lösungsmenge gehört, hat die Gleichung keine
Lösung.
b) D = ℚ \ {−1; 1}; Umformen ergibt x = 1; da 1 aber nicht zur Lösungsmenge gehört, hat die Gleichung keine
Lösung.
c) D = ℚ \ {−4; 4}; keine Lösung.
Ü 4.51
a)
128
c)
n
x
n+1
=
32
3
; x = 12
114
+4=
1
1
1
6
x
2
23
; n = 22
b)
56
d)
604
3x
= 8; x =
4x
7
3
1
1
x
2
– 300 = ; x =
e) + = ; x = 3
Ü 4.52
a)
16,1
v
+
5,7
6
v
5
+
9,1
v
+
11,295
3
v
4
=3
39
b) D = ℝ
60
c) vA = vC = 12,33 km/h, vB = 14,80 km/h, vD = 9,25 km/h
Ü 4.53
a) U = x + 2y
b) y = 21 (U − x)
c) x = U − 2y
Ü 4.54
a) x = 2 + 31 b
b) x = 31 a
c) x = b
e) x = 31 (a + b)
f) x = 71 a − 2b
g) x =
d) x = − 32 a
b −a
4
h) x =
b+2
3a
Ü 4.55
a) b = a − c; c = a − b
b) a = 35 b + 5 ; b = 35 a − 3
d) a = 3b − 1; b = 31 (a + 1)
e) b =
a
c
; c=
a
b
c) b = 21 (a − 3c) ; c = 31 (a − 2b)
f) a = b +12 ; b = a1 − 2
Die Einschränkungen in e) und f) verhindern, dass es zu einer Division durch 0 kommt.
38
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4 Lineare Gleichungen
Ü 4.56
a) K = 100p ⋅ Z
p = 100K⋅ Z
b) 12,50 €; 4 615,38 €; 6,8 %; 3 206,67 €; 106,11 €
Ü 4.57
−2bc b = O− 2ac c = O− 2ab
a) O = 2ab + 2ac + 2bc = 2 (ab + ac + bc); a = O
;
;
2(b+ c)
2(a + c)
2(a +b)
b) (1) O = 66,5 cm2
(2) a = 3,5cm
(3) c = 2,6cm
(4) b ≈ 2,23cm
Ü 4.58
a) (1) Umfang eines Dreiecks
(2) c = u – a – b
b) (1) Ideale Gasgleichung
(2) T =
c) (1) Flächeninhalt eines Dreiecks
(2)hc =
d) (1) Kinetische Energie
(2) v =
p∙V
n∙R
2A
c
2E
m
Q
e) (1) Elektrische Ladung
(2) t =
f) (1) Hooksches Gesetz
(2) A =
g) (1) Volumen eines Drehzylinders
(2) h =
h) (1) Flächeninhalt eines Kreises
(2) r =
i) (1) Geradengleichung
(2) k =
I
F∙l0
E∙Δl
3V
r2 π
A
π
y–d
x
2A
–c
j) (1) Flächeninhalt eines Trapezes
(2) a =
k) (1) Ohm‘sches Gesetz
(2) I =
l) (1) Umfang eines Rechtecks
(2) b = – a
h
U
R
u
2
Ü 4.59
a) r ist der Radius der Grundfläche und h bezeichnet die Höhe des Drehzylinders.
b) h =
O–2 r2 π
2rπ
c) r tritt zweimal auf – als Quadrat und linear.
Ü 4.60
a) Fläche = „komplettes“ großes Rechteck − kleines Rechteck
b) Äquivalenzumformungen führen zu Formel (1).
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39
4 Lineare Gleichungen
Ü 4.61
a) (1) Umfang U = 37,7cm; Fläche A = 62,8 cm2
(2) Umfang U = 37,7cm; Fläche A= 58,1 cm2
Es fällt auf, dass sich der Gesamtumfang nicht ändert, wenn sich die Aufteilung der beiden Radien ändert.
Dagegen ändert sich die Flächensumme. Sie wird kleiner, wenn die Differenz der Radien abnimmt. Das lässt
vermuten, dass die gesamte Fläche der Figur am kleinsten ist, wenn die Radien gleich sind.
b) U = 12π cm = 37,7 cm – Der Gesamtumfang u ist unabhängig von r immer 37,7 cm.
A = 2πr 2 − 12πr + 36π
c) Die Gesamtfläche A ist für r = 0 cm und für r = 6 cm jeweils A = 36π cm². Da die Figur für Werte von r
zwischen r = 0 cm und r = 6 cm eine kleinere Gesamtflächen hat und sie offensichtlich für r = 3 cm symmetrisch ist, muss die Gesamtfläche bei r = 3 cm ihren kleinsten Wert haben.
Ü 4.62
a) c Die Summe der Innenwinkel im Dreieck beträgt 180°.
d Die Summe der Außenwinkel im Dreieck beträgt 360°.
e Ein Außenwinkel am Dreieck ist so groß wie die Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel.
b) β’ = α + γ wegen Satz e; γ = β’ − α
c) 21 α + 50° = 21 β ' wegen Satz e; α + 100° = β’; 100° = β’ − α
Ü 4.63
a)
n+1
E=
n
∙k
b)
|∙n
(1) E verdoppelt sich, wenn k verdoppelt wird und n gleich
bleibt. (2) E wird kleiner, wenn k gleich bleibt und n größer
wird.
E ∙ n = n ∙ k + k |− n ∙ k
E∙n−n∙k=k
n ∙ (E – k) = k | : (E – k)
k
n = E–k
Ü 4.64
a) (1) K wird kleiner, wenn x größer wird und p unverändert bleibt. (2) K wächst, wenn x kleiner wird und p
unverändert bleibt.
b) x =
2000–K
p
Ü 4.65
a) (1) K2 verdoppelt sich, wenn sich K0 verdoppelt. (2) K2 verdreifacht sich, wenn sich K0 verdreifacht. (3) K2
halbiert sich, wenn K0 sich halbiert.
b) (1) K0 =
K2
(1+
(2) p =
p 2
)
100
K2
K0
– 1 ·100
Ü 4.66
R1 R2
a) R = R
1+
b)
R2
R2 (in Ω)
R (in Ω)
0
0
10
9,09
20
16,67
30
23,08
40
28,57
50
33,33
60
37,5
Ü 4.67
a) g =
40
2s
t2
b) g =
2·91
4,32
≈ 9,8 m/s²
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70
41,18
80
44,44
90
47,37
100
50
4 Lineare Gleichungen
Ü 4.68
180u–360r
a) α =
rπ
180u
;r=
c) J = mrx – mr² ; m =
2m2 (g–a)
e) m1 =
a
b) b =
απ+360
J
bf
; g = b–f
RT
d) RT = α20 R20∆T + R20 ; R20 = α
rx–r2
am1
; m2 =
fg
g–f
20 ∆T+1
f) n =
2(g–a)
nM r1 r2
f(r1 +r2 )
+ nM ; r2 =
f(n–nM )r1
nM r1 –f(n–nM )
Ü 4.69
a) n =
Kn
K0 ·i
–
1
b) Pt–1 =
i
10
c) A = (K0q – K10) ·
q–1
d) C1 =
q10 –1
Pt +Dt
rt +1
FV– C2 1+rM 2 –R
1+rM
Ü 4.70
a) 1 cm
d) 20 cm
b) 1 mm
e) 45 cm
c) 1,25 cm
f) 3 cm
Ü 4.71
a)
Länge
Breite
38 m
24 m
b)
Plan
19 cm
12 cm
Tür
Fenster
Gararge
Plan
7 mm
1 cm
2 cm
1,4 m
2 m
4 m
Ü 4.72
(1) a) 1 : 12 500
(2) 1 : 300 000
b) 1 : 2 500 000
c) 1 : 200 000
1 : 120 000
0
3 km 6 km 9 km
0
0
1 cm 2 cm 3 cm
0
d) 1 : 500 000
4,8 km
2,4 km
1 cm 2 cm 3 cm 4 cm
Ü 4.73
a) x =
15
b) x = 3,3
8
35
e) x = ab
f) x = 13
42
c) x = 2,56
d) x = 11
g) x = 2b2
h) x =
1,6
a
Ü 4.74
7
a) a = 4
b) a = 0
d) a = 3
e) a =
15
b) z =
b(a–1)
c) a = 9,25
1
f) a = 144
7
Ü 4.75
a) z =
1,5a
b
–5
d) z = 6b + 1
a–2
2b2
1
c) z = b + 4
7
e) z = 3(a+3) – 3
f) z = 2a – 1
Ü 4.76
3
a) Komponente A: 10 ml
b) Um ein Mischverhältnis von 1:1 zu erreichen, muss die Konzentration um das 1,5-fache erhöht werden.
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41
4 Lineare Gleichungen
Ü 4.77
a) 64 cm
b) 22,5 cm
Ü 4.78
Eva: 112,5 g; Anna: 187,5 g
Ü 4.79
α = 51°; β = 39°
Ü 4.80
a = 5,2 m; b = 3,5 m
Ü 4.81
a) Das Verhältnis ist bei allen ungefähr 10:1.
1
1
b) Proportionalitätsfaktor: 10; p = 10h
c) 5,447 bar
Ü 4.82
a) 179 €
e) 42 m²
i) 60 %
b) 0,7 m
f) 11 250 Liter
j) 0,3 %
c) 1 500 kg
g) 4 %
k) 5,5 %
Ü 4.83
450
d) 98 m³
h) 3,6 %
l) 7,5 %
Ü 4.84
€ 6 100 m²
Ü 4.85
Ü 4.86
1 000 kg
192 km
Ü 4.87
Ü 4.88
1 519 000 €
4%
Ü 4.89
Ü 4.90
15 %
5%
Ü 4.91
Ü 4.92
23,75 %
7%
Ü 4.93
1,30 €/Liter
Ü 4.94
Anzahl der Leser des letzten Jahres: 200 000; Anzahl der Leser jetzt: 223 000
Ü 4.95
Alter Umsatz: 500 000 €; neuer Umsatz: 506 400 €
Ü 4.96
6
x + 100 + 32,16 = 100
x + 0,6x+ 32,16 = 100
6
X
x + 100x + 32,16 = 100
X
x + 0,06x + 32,16 = 100
6
x + 100x – 32,16 = 100
X
1,06x + 32,16 = 100
6
Korrektur: erste Zeile links: x + 100x + 32,16 = 100
6
erste Zeile rechts: x + 100x + 32,16 = 100
zweite Zeile links: x + 0,06x+ 32,16 = 100
42
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4 Lineare Gleichungen
Ü 4.97
m … Anzahl der Mädchen
a) 0,55 (m + 252) = m
b) m = 308, Gesamtzahl der Schülerinnen und Schüler: 560
Ü 4.98
Ca. 267 Personen
Ü 4.99
Ca. 0,6 %
Ü 4.100
Hausmaus: 0,0003 %; Steinadler: 0,063 %; Löwe: 3,2 %; PKW: 21,7 %
Ü 4.101
Gleichung: (x + 0,07x) – (x + 0,07x)·0,07 = 199,02 oder
1+0,07 ·x · 1–0,07 =199,02
Zahl
richtig
Erklärung
199,02
+7 % und –7 % heben sich nicht auf.
200
X
Die Zahl kann nicht kleiner werden, da eine anschließende Erhöhung zu einer
198,04
größeren Zahl führen muss.
Die Zahl kann nicht kleiner werden, da eine anschließende Erhöhung zu einer
172,13
größeren Zahl führen muss.
227,86
Dies wäre eine zu große Erhöhung.
Ü 4.102
a) 750 Einwohner
b) 510 291 ÖsterreicherInnen haben Blutgruppe 0 negativ
Ü 4.103
52 kg Wasser; 16 kg Eiweiß; 8 kg Fett; 3,2 kg Mineralstoffe; 0,8 kg Kohlenhydrate
Ü 4.104
a) Arbeiten: 11,25 Jahre; Schlafen: 22,5 Jahre; Fernsehen: 12,75 Jahre
b) Restaurant: ca. 1,93 %; lästige Emails: ca. 0,89 %; Lachen: ca. 0,04 %
Ü 4.105
Familie Al Nasher: ca. 44,44 %; Familie Ben Brahim: ca. 41,67 % – Familie Al Nasher zahlt den höheren Teil
ihres Monatseinkommen für Essen und Trinken.
Ü 4.106
Spielfilm: 18,5 % Werbung; Fußball: 22,4 % Werbung; Ulis Vermutung trifft zu.
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43
4 Lineare Gleichungen
Ü 4.107
Überschlag
Ergebnis
a) ≈ 81 ⋅ 550 ≈ 69
66
≈ 41 ⋅ 12 000 = 3 000
3 240
≈ 65 ⋅ 48 ≈ 60
58,08
1
= 50
⋅ 5 000 = 100
100
≈ 51 ⋅ 3 050 = 610
1
= 100
⋅ 16 509 ≈ 165
21
= 20
⋅ 5 000 = 5 250
1
≈ 3 ⋅ 3 000 = 1 000
579,5
b) ≈ 2 ⋅ 36 = 72
≈ 8 ⋅ 450 = 3 600
165,09
5 250
960
80
3 750
= 25 ⋅ 90 = 36
36
= 20 ⋅ 18 = 360
= 100 ⋅ 940 = 94 000
≈ 3 ⋅ 780 = 2 340
≈ 4 ⋅ 2 210 = 8 840
360
94 000
2 437,5
8 500
= 21 ⋅ 20 = 10
10
35 = 10 %
c) = 350
10 %
2,4
≈ 120
=2%
≈ 2,08 %
95
= 100 = 95 %
95 %
≈
2
3
≈ 64,3 %
= 67 %
≈ 13
≈ 13 ⋅ 9 % = 117 %
11
≈ 118 %
3 ≈ 21 %
≈ 35 : 13
= 13
5
≈ 22,3 %
50 = 50 %
≈ 100
≈ 45,4 %
≈ 1 1,2
≈ 0,1 %
000
≈ 0,12 %
Ü 4.108
G
p%
P
≈ 38 235,3
≈ 58 %
375
≈ 17,3 %
15,05
156,8
Ü 4.109
Beide haben eine Lohnerhöhung von 4 % erhalten.
Ü 4.110
a) ca. 20 %
b) 72,5 %
Ü 4.111
≈ 74 370
44
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4 Lineare Gleichungen
Ü 4.112
Die Preissenkung beläuft sich auf 21,38 %.
Ü 4.113
Jahr
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Bevölkerung in Mio.
130,0
133,1
136,3
139,6
142,9
146,4
149,9
153,5
157,2
160,9
164,8
Ü 4.114
Deutschland: ca. –0,02 %; USA: ca. 0,91 %; Indien: ca. 1,38 %; Nigeria: ca. 2,38 %
Ü 4.115
a) 80 %
b) 100 mm
Ü 4.116
Die Überlegung des Freundes ist richtig, denn er nimmt den Wert von 1 970 als Grundwert und berechnet
damit die Erhöhung. Herr Bürger hingegen nimmt fälschlicherweise den Preis von 2 010 als Grundwert.
Ü 4.117
richtig: a, d
falsch: b, c, e
Ü 4.118
a) Das Bild wird kleiner. Die Kopie wird 4 cm breit und 8 cm hoch sein.
b) Vergrößerung auf das
6
5
fache.
c) 125 % (112,5 %)
d) 141 %
( 2)
Ü 4.119
Das $-Zeichen in den Zellen B3 und C3 bewirkt, dass
beim Kopieren nach unten stets auf dieselbe Zelle (C1)
verwiesen wird.
Spalte A: Jeweils den Prozentsatz aus der Zeile darüber
berechnen durch +0,5.
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45
4 Lineare Gleichungen
Ü 4.120
Monat
Gesamtumsatz
Jänner
Februar
März
April
Mai
Juni
Juli
August
September
Oktober
November
Dezember
Umsatz
z. B.: 137.000 €
9 500 €
14 000 €
10 000 €
13 000 €
z. B: 8 500 €
z. B.: 10 200 €
z.B.: 11 300 €
z. B.: 9 800 €
z. B.: 12 000 €
z. B.: 11 200 €
z. B.: 13 000 €
z. B.: 14 500 €
% des Gesamtumsatzes
ca. 6,93 %
ca. 10,22 %
ca. 7,30 %
ca. 9,49 %
ca. 6,20 %
ca. 7,45 %
ca. 8,25 %
ca. 7,15 %
ca. 8,76 %
ca. 8,18 %
ca. 9,49 %
ca. 10,58 %
Ü 4.121
a) 15 von 5 000: 3 ‰
7 von 3 500: 2 ‰
4
173
:
ca. 23 ‰
jeder 23ste: ca. 43 ‰
3
500
6‰
:
5 von 4 000: 1,25 ‰
2 %:
20 ‰
0,3 %:
3‰
b) Die Prämie entspricht 5 ‰ der Versicherungssumme.
Ü 4.122
377 ‰
Ü 4.123
a) 240 ppb
Der Wert ist stark überhöht.
b) 1,6 ppb (= 0,0016 ppm)
c) 15 ppb
Ü 4.124
a) 1 ml
d) 60 m³
g) 3,4 kg
b) 0,55 €
e) 0,05 €
h) 44,4 g
c) 2,25 Liter
f) 30 dm³
i) 108 mg
b) 0,1 ‰
e) 0,1‰
h) 1 ‰
c) 67 ‰
f) 1,8 ‰
i) 0,09 ‰
Ü 4.125
a) 0,1 ‰
d) 0,2 ‰
g) 0,5 ‰
Ü 4.126
a)
1–0,3 ·x · 1–0,25 =630
b) 1 200 €
Ü 4.127
Brutto
Netto
36,30 €
30,25 €
2 250,00 €
1 875,00 €
714,00 €
595,00 €
29,40 €
24,50 €
5 130,00 €
4 275,00 €
Ü 4.128
a) 20 € Zinsen
46
b) 15 € Zinsen bleiben übrig
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88,80 €
74,00 €
4 Lineare Gleichungen
Ü 4.129
a) vor Abzug des Skonto: 1 680 €
b) Nettopreis: 1 400 €
Ü 4.130
a) +100 %
d) –50 %
b) –75 %
e) +10 %
c) –10 %
f) –20 %
Ü 4.131
52,73 €
Ü 4.132
1 680 €
Ü 4.133
a) 19 %; Deutschland
b) Mehrwehrsteuer: 672 €; Bruttopreis: 3 472 €
c) Deutschland: 913,92 €; Schweden: 960,00 €; Der Laptop ist in Schweden um ca. 5,0 % teurer als in
Deutschland. Der Laptop ist in Deutschland um 4,8 % billiger als in Schweden. Da die Prozentwerte mit
unterschiedlichen Grundwerten berechnet werden, kommt es zu unterschiedlichen Ergebnissen.
Ü 4.134
a) mit 5 % Inflation:
b) mit 500 % Inflation:
2,05 €; 51,98 €; 3,15 €; 30 345 €; 837,90 €
11,70 €; 297 €; 18 €; 173 400 €; 4 788 €
Ü 4.135
a) 39 055 €
b) 38 222,80 €
Der Unterschied resultiert aus der Tatsache, dass sich bei der Rechnung des Verkäufers im Zwischenschritt
der Grundwert geändert hat.
Ü 4.136
990 €
Ü 4.137
K
p%
Ü
Z
4 500 €
4%
180 €
180 €
1 300 €
16,3 %
216 €
211,90 €
550 €
11 %
60 €
60,50 €
150 000 € 120 000 € 230 000 €
5,9 %
7,1 %
9%
9 000 €
8 400 €
21 000 €
8 850 €
8 520 €
20 700 €
Ü 4.138
a) 9 000 €
b) Sie haben in 7 Jahren 63 000 € an die Bank gezahlt, ohne dass sich der Schuldenstand verändert.
Ü 4.139
8%
Ü 4.140
110 945,46 €
Ü 4.141
K
p%
Z
9 500 €
7,2 %
684 €
8 500 €
15 %
1 275 €
19 000 €
8,5 %
1 615 €
5 250 €
16 %
840 €
84 000 €
6,25 %
5 250 €
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47
4 Lineare Gleichungen
Ü 4.142
ca. 200 000 €
Ü 4.143
2 630,25 €
Ü 4.144
a) ca. 8,4 %
b) ca. 11,54 %
c) Informationen im Internet (http://www.nobel.no; http://www.nobel.se)
Ü 4.145
6,40 €
Ü 4.146
8,17 €
Ü 4.147
a) 250 €
b) Jahreszinsen: 900 €; Jahreszinssatz: 18 %
c) Banken müssen den Jahreszinssatz angeben, damit man besser vergleichen kann und Täuschungen
ausbleiben.
Ü 4.148
a) 193,23 €
b) ca. 436,70 €
Ü 4.149
Dividende: 3,60 €; Prozentanteil der Dividende am aktuellen Kurswert: 2,4 %
Ü 4.150
Tag
Kurs
Änderung
Prozentuale
Änderung
Mo
Di
Mi
Do
Fr
350
280
150
250
225
−70
−130
+100
−25
−20 %
−46 %
+67 %
−10 %
Ü 4.151
a) Kursgewinn: 660 €, Kursgewinn in %: ca. 74 %
b) „Reingewinn“: 635,60 €, „Reingewinn“ in %: ca. 71,4 %
48
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5 Funktionale Zusammenhänge
5 Funktionale Zusammenhänge
Ü 5.1
a)
t in min
0
1
2
3
4
5
6
km/h
0
50
0
50
50
25
0
b) In der 1. Minute beschleunigt das Auto von 0 auf 50 km/h. Die nächste Minute fährt es mit einer konstanten
Geschwindigkeit von 50 km/h, bis es plötzlich bremst. Nach einer Wartezeit von einer halben Minute wird
wieder beschleunigt. Dieses Mal erfolgt die Beschleunigung auf 50 km/h innerhalb von einer halben Minute.
Eine Minute lang fährt das Auto mit konstanter Geschwindigkeit, muss dann aber langsam abbremsen,
braucht allerdings nicht anzuhalten. Als eine Geschwindigkeit von 10 km/h erreicht ist, kann wieder beschleunigt werden. Für etwa eine halbe Minute fährt der Wagen dann mit einer konstanten Geschwindigkeit von
25 km/h. Danach bremst er. Die Fahrt ist 6 Minuten nach dem Start beendet.
d) [1; 2[, [2; 2,5[, [3; 4[, [4; 4,5[, [5; 5,5[, [5,5; 6]
Ü 5.2
Funktion (1)
Funktion (2)
Funktion (3)
a) x = 2 ⟹ y = 5
b) y = 20 ⟹ x = 4
c) y = 0 ⟹ x = 0
d) größter y-Wert für x = 4,5
a) x = 2 ⟹ y = 29
b) y = 20 ⟹ x = 1,2 und x = 3,1
c) y = 0 ⟹ x = 0 und x = 4,6
d) größter y-Wert für x = 2,2
a) x = 2 ⟹ y = 5 und y = 32
b) y = 20 ⟹ x = 0,9 und x = 4,2
c) Es existiert kein x-Wert für den gilt y = 0.
d) größter y-Wert für x = 2,5
Ü 5.3
a) Funktion (3) – da die Stromverbrauch-Spitzen zu Mittag und am Abend gegen 18 Uhr sind.
b) Funktion (1) – Der Stromverbrauch ist in der Nacht höher als am Tag.
Funktion (2) – Der Stromverbrauch ist am Abend zu gering.
c) Der erhöhte Stromverbrauch um 6 Uhr lässt darauf schließen, dass zu dieser Zeit viele Personen aufstehen.
Im Laufe des Vormittags wird immer mehr Strom verbraucht – z. B. für Kochen oder sonstige Arbeiten im
Haushalt. Zum höchsten Stromverbrauch kommt es dann zu Mittag. Am Nachmittag ist der Stromverbrauch
gleich hoch wie am späten Vormittag. Dies kann bedeuten, dass Arbeiten im Haushalt und Garten sowie nach
Hause kommende Kinder Strom verbrauchen. Die nächste Spitze ist um 18 Uhr, zu dieser Zeit kommen viele
von der Arbeit heim. Im Laufe des Abends fällt der Stromverbrauch ab, woraus man schließen kann, dass
immer mehr Personen schlafen gehen.
Ü 5.4
a) Dargestellt wird der Zusammenhang zwischen Alter und Gewicht (Körpermasse) von Kindern. Die drei
Kurven markieren jeweils die Grenze, unterhalb derer sich die Körpermassen von 3 % (50 %; 97 %) der Kinder der entsprechenden Altersgruppe befinden.
Alter in Monaten
3
7
12
24
b)
Masse in kg
6
9
11
13
c) Milica: schwer (gerade noch nicht auffällig schwer); Markus: normal; Yasmin: leicht
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49
5 Funktionale Zusammenhänge
Ü 5.5
1C, 2D, 3B, 4A
Ü 5.6
p in 1 000 m²/h
4
5
6
8
10
12
14
t in h
12
9,6
8
6
4,8
4
3,8
b) Je größer die Pumpleistung, desto kürzer ist die Ladezeit. Der Graph ist streng monoton fallend.
a)
Ü 5.7
a) Wasserstand vor Beginn des Füllvorgangs: 20 cm; Höhe des aufgefüllten Becken: 200 cm; Zunahme der
Wasserhöhe pro Stunde: 15 cm; Ende der Füllung: 12:00 Uhr
Aussage
Diagrammnummer
b)
A
1
B
C
D
2
Ü 5.8
a) Nach 1 km kommt eine Kurve und der Wagen muss abbremsen. Danach kann er seine Höchstgeschwindigkeit auf einer geraden Strecke erreichen. Nach 3 km kommt zunächst eine enge Kurve, da der Wagen sehr
langsam wird. Die Kurve wird allmählich flacher, aber die Höchstgeschwindigkeit kann nicht erreicht werden.
Am Ende der flachen Kurve kommt noch einmal eine enge Kurve (bei etwa 4,5 km). Danach wird auf einer
geraden Strecke wieder die Höchstgeschwindigkeit erreicht. Diese gerade Strecke wird bei 7 km durch eine
nicht allzu enge Kurve unterbrochen.
b) Das Diagramm passt nicht, denn die Kurve zwischen Kilometer 4 und 5 wird mit Höchstgeschwindigkeit
durchfahren, in den Kurven zwischen 0 km und 1 km und zwischen 5 km und 6 km wird sogar beschleunigt.
Ü 5.9
a)
Zeit in Minuten
Weg in km (A)
Weg in km (B)
10
7
2
20
13
5
30
20
8
40
27
12
50
33
20
60
40
40
70
47
52
80
54
60
90
60
64
100 110
67 74
66
-
b) A fährt mit konstanter Geschwindigkeit. B fährt am Anfang langsam, dann sehr schnell, holt A ein, um
schließlich wieder langsamer zu werden. Am Ende wird B von A wieder überholt.
c) B überholt A nach 60 Minuten, A wiederum überholt B nach ungefähr 99 Minuten.
Ü 5.10
a) Auf der Startgeraden beschleunigen die Wagen bis auf fast 300 km/h. Kurz vor Copse Corner werden die
Wagen auf 150 km/h abgebremst. Dann geht es auf eine Gerade mit der leichten Maggots Curve, die mit
290 km/h durchfahren werden kann. Becketts Corner erfordert ein leichtes Abbremsen auf 230 km/h. Bis zur
engen Stows Corner, die mit 160 km/h durchfahren wird, können die Fahrer wieder auf die Höchstgeschwindigkeit beschleunigen. Nach kurzer gerader Strecke kommt nun schon Club Corner, die aber immerhin mit
210 km/h passiert werden kann. Auf einer langen, fast geraden Strecke wird nun mit Höchstgeschwindigkeit
die Doppelkurve von Brooklands erreicht. Hier muss bis auf 90 km/h abgebremst werden. Danach kann auf
der Zielgeraden wieder beschleunigt werden.
b)
50
Länge in km
Geschwindigkeit in km/h
0
290
0,5
150
1
290
1,3
230
1,6
290
2,8
160
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3
210
3,4
290
4,4
290
4,5
90
5,1
290
5 Funktionale Zusammenhänge
Ü 5.10 c)
Ü 5.11
Ankunft
Anstadt
Kremdorf
Baumhausen
Radstadt
9.20
9.45
10.10
Abfahrt
9.00
9.35
9.55
Ü 5.12
a) 24 Stunden
b) Von 0:00 bis 4:00 sinkt die Temperatur, in den nächsten 6 Stunden wird es gleichmäßig wärmer. Zwischen
10:00 und 12:00 steigt die Temperatur stärker als in den Stunden davor. Von 12:00 bis 14:00 wird es noch
wärmer. Ab 14:00 bis 0:00 fallen die Temperaturen.
c) Man kann annehmen, dass es zwischen den Messpunkten zu keinen starken Temperaturschwankungen
kommt, daher kann man die Punkte verbinden.
d) höchste Temperatur: 14:00; niedrigste Temperatur: 4:00
Ü 5.13
a) ~16 500
b) ~ 8 500
c) von 12/07 bis 06/09 – Grund: Wirtschaftskrise
Ü 5.14
a) 700 km
c) 2-mal
e) 60 Liter
b) 30 Liter
d) 0 km – 150 km und 400 km – 700 km gleich viel
Ü 5.15
Um 10:00 Uhr waren schon 200 Besucher im Park. 600 Besucher waren zu 4 verschiedenen Uhrzeiten im
Park, zum ersten Mal um 11:00 Uhr und zum letzten Mal um 17:00 Uhr. Die meisten Besucher, nämlich 900,
waren um 16:00 Uhr in diesem Freizeitpark. Zwischen 10:30 Uhr und 12:00 Uhr ist die Besucheranzahl um
400 angestiegen. Die Besucherzahl hat zum ersten Mal im Zeitraum zwischen 12:00 Uhr und 14:00 Uhr abgenommen. Dabei ist die Besucherzahl pro Stunde um durchschnittlich 150 gesunken. Ab 14:00 Uhr ist danach
die Besucherzahl wieder angestiegen. Der letzte Besucher hat den Park um 18:00 Uhr verlassen.
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5 Funktionale Zusammenhänge
Ü 5.16
Ü 5.17
Der Igel wacht mit einer Körpertemperatur von 5°C aus dem Winterschlaf auf.
Die unabhängige Größe in diesem Beispiel ist die Zeit nach dem Aufwachen.
Die abhängige Größe in diesem Beispiel ist die Körpertemperatur.
Die Wertemenge umfasst Werte von 5°C bis 33°C.
Ü 5.18
a) f(x) = x²
x
f(x)
–5
25
0
0
5
25
10
100
b) f(x) = – 4x
x
f(x)
–5
20
0
0
5
–20
10
–40
c) f(x) = x² – 1
x
f(x)
–5
24
0
–1
5
24
10
99
d) f(x) = 2x² + 2
x
f(x)
–5
52
0
2
5
52
10
202
Ü 5.19
a) ℓ(38)=139, ℓ(40)=147, ℓ(48)=179
Ü 5.20
a) (2)
b) (7)
c) (4)
Ü 5.21
a)
Ausleger in m
Last in kg
10
3 200
20
1 600
25
1 280
32
1 000
b)
Ü 5.22
a) Die Zunahme der Temperatur (3. Spalte) wächst jeweils um 900°C.
b) T(10) = 45 000, T(11) = 54 450, T(12) = 64 800
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d) (5)
5 Funktionale Zusammenhänge
Ü 5.23
a) 100 mg, 1 Tasse
d) 4 h 24 min
b) 72 mg
e) 3 h 24 min
c) 9 h
f) streng monoton fallend, höchster Wert bei t = 0
Ü 5.24
a)
Zuordnung
(1)
(2)
Funktion ja
X
X
Funktion nein
(3)
X
(4)
(5)
X
X
b)
Begründung
Jedem x-Wert ist nur ein y-Wert zugeordnet.
Jedem x-Wert ist nur ein y-Wert zugeordnet.
Es gibt x-Werte, denen mehr als ein y-Wert zugeordnet ist – z. B.: bei x=0.
Dem x-Wert –1 sind zwei y-Werte zugeordnet.
Dem x-Wert 10 sind zwei y-Werte zugeordnet.
Ü 5.25
a) f(2) = 11,2
b) x = 2,3; x = 6,9; x = 15,6
c) Es existiert kein x mit f(x) = 16.
d) f(13) = 9,8
e) D = [0; 16]
f) W = [3; 14,1]
g) für x ∈ [2,3; 6,9] ∪ [15,6; 16]
h) [0; 4] streng monoton steigend; [5; 9] streng monoton fallend; [11; 14] streng monoton steigend
Ü 5.26
b) D = ]–∞; ∞[; W = [–3,2; ∞[
d) [–1,5; 1]
a) ]–∞; –1,5]
c) x = –2,6; x = –0,4
e)
Aussage
f(–4) = f(1)
f(–2) > f(–3)
Zu jedem x ∈ [–4; 1] gibt es genau
einen Funktionswert y.
f(0,5) = 0
richtig
X
falsch
X
X
X
Ü 5.27
a) 2 m
d)
b) ca. 24,6 m
c) ca, 23,3 m
Sinclair erreichte eine maximale Höhe von 12 Metern.
Sinclair erreichte seine maximale Höhe in einer Entfernung
X
von 12 Metern vom Absprungpunkt.
Eine Sprunghöhe von 9 Metern hat er nach ca. 7,5 m horiX
zontaler Entfernung.
e)
Aussage
h(0) < h(23,5)
D=ℝ
h(10,5) = 10,085
richtig
falsch
X
X
X
Ü 5.28
a) C – da die Kosten mit steigender Gesprächsdauer steigen; folgende Graphen passen nicht: A – da die Kosten von den Gesprächsminuten unabhängig sind; B – da die Kosten mit steigender Gesprächsdauer sinken
b) Grundgebühr: 15 €
c) Gesprächsgebühr: 0,20 €
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53
5 Funktionale Zusammenhänge
Ü 5.29
a) k = 120 cm;
O = 600 cm²;
V = 1 000 cm³
b) k (s) = 12 s;
O (s) = 6 s²;
V (s) = s³
c) k (20) = 240; O (20) = 2 400; V (20) = 8 000
k (40) = 480; O (40) = 9 600; V (40) = 64 000
k (60) = 720; O (60) = 21 600; V (60) = 216 000
d) Wenn man die Kantenlänge verdoppelt (verdreifacht), dann verdoppelt (verdreifacht) sich die Summe der
Kantenlängen, dann vergrößert sich die Oberfläche um das Vierfache (Neunfache) und dann vergrößert sich
das Volumen um das Achtfache (27fache).
Ü 5.30
a)
Linke Abbildung
x f(x)
0
0
1 0,5
2
1
3 1,5
4
2
Rechte Abbildung
x f(x)
0
0
1
1
2
4
3
9
4 16
f(x) = x
f(x) = x²
b)
Ü 5.31
a) Da jedem t-Wert genau ein s-Wert zugeordnet wird.
b) unabhängige Variable: t; abhängige Variable: s
c) D = [0; ∞[; W = [0; ∞[
d)
1 Der Körper hat nach 2 Sekunden 30 Meter zurückgelegt.
2 Die Zeit t ist von der Fallstrecke s abhängig.
3 Der Graph ist streng monoton steigend.
4 Die Definitionsmenge D={0, 1, 2, 3, 4}
5 Die Definitionsmenge D=ℝ
Richtigstellung:
1: Der Köper hat nach 2 Sekunden 20 Meter zurückgelegt.
2: Die Fallstrecke s ist von der Zeit t abhängig.
4: Die Definitionsmenge ist D=ℝ
X
X
Ü 5.32
a)
°F
°C
32
0
60
15,6
70
21,1
80
26,7
90
32,2
100
37,8
110
43,3
212
100
b)
c) C (85) = 29,4; C (150) = 65,6; C (620) = 326,7
d) Aus der Grafik ergibt sich 62°C; C (143) = 61,7°C.
e) F (0) = 32; F (20) = 68; F (100) = 212
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5 Funktionale Zusammenhänge
Ü 5.33
a)
x
3
4
5
b)
y
–9
–13
–17
x
–2
–1
0
y
1
4
5
Ü 5.34
a) F, E
b) L, D
c) M, A
d) U, S
Ü 5.35
Ü 5.36
a) y = 3x – 5
b) y = x +
c) y = x +
b) (0 | 5)
e) (–1 | 7,5)
c) (4 | –5)
f) (2,2 | –0,5)
b) Gerade (3)
e) Gerade (1)
c) Gerade (2)
f) Gerade (3)
Ü 5.37
a) (1 | 2,5)
d) (6 | –10)
Ü 5.38
a) Gerade (1)
d) Gerade (1)
Ü 5.39
a)
d)
x
0
1
2
3
4
5
6
y
5
7
9
11
13
15
17
b)
x
0
1
2
3
4
5
6
y
40
150
260
370
480
590
700
e)
x
0
1
2
3
4
5
6
y
−6
−4
−2
0
2
4
6
c)
x
0
1
2
3
4
5
6
y
8
7,5
7
6,5
6
5,5
5
f)
x
0
1
2
3
4
5
6
x
0
1
2
3
4
5
6
y
0
110
220
330
440
550
660
y
0
−3
−6
−9
−12
−15
−18
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55
5 Funktionale Zusammenhänge
Ü 5.40
Ü 5.41
Zusammen passen: a), e), g) sowie b), d), i) und c), f), h)
Ü 5.42
Die beiden Gleichungen lassen sich durch Äquivalenzumformungen ineinander überführen. Beide Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade.
Ü 5.43
a) Die Wertepaare (x | y) liegen auf einer Geraden; wenn x um 5 wächst, dann vermindert sich y um 2.
b) a = 1, b = 2,5
Ü 5.44
r = 220 – a
Ü 5.45
a) 2x + 8y = u
b) Prüfen durch Einsetzen: (2) und (3) sind Lösungen der Gleichung.
c)
x
1 cm
2 cm 4 cm 6 cm
7 cm
8 cm
y
8,75 cm 8,5 cm 8 cm 7,5 cm 7,25 cm 7 cm
Ü 5.46
a) Der Rest sind 100 Karten; 100 ist durch 8 nicht teilbar.
b) 5x + 8y = 200
x (Anzahl der 5er-Päckchen)
0
y (Anzahl der 8er-Päckchen)
25
8
20
16
15
24
10
32
5
40
0
Ü 5.47
a) (1) (0 | 8) und (12 | 0); (2) a = 4, b = 6
b) (1) (0 | 2) und (−1 | 0); (2) a = − 48, b = 24
Ü 5.48
a) y = 1,4x − 2,8
56
b) y = − x +
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5 Funktionale Zusammenhänge
Ü 5.49
Ü 5.50
a)
rote Gerade:
x
y
−2
3
−1
3
0
3
1
3
2
3
blaue Gerade:
x
y
2
−2
2
−1
2
0
2
1
2
2
b) rot: y = 3; blau: x = 2
c) Die Gleichung x = 2 beschreibt keine lineare Funktion, da dem x-Wert 2 mehrere y-Werte zugeordnet sind.
Ü 5.51
a) y = −x + 3
1
b) y = 2x − 2
c) y = x
d) y = −3x + 4
b) y = 5x + 3
c) y = −10x + 80
d) y = x + 5
Ü 5.52
(1) a) y = 5x
(2)
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57
5 Funktionale Zusammenhänge
Ü 5.53
a)
b) (1) y = –3x + 7
(4) y = 3,5x + 2,5
(2) y = x – 0,8
(5) y = –2x
(3) y = –0,5x – 1,75
1
(6) y = 4x + 3
Ü 5.54
Ü 5.55
Anna findet als einen Punkt der Geraden den Schnittpunkt mit der y-Achse: (0 | 2). Von diesem Punkt geht sie
so weit nach rechts, wie der Nenner von k angibt und dann soweit nach oben, wie der Zähler von k angibt;
damit hat sie einen zweiten Punkt der Geraden gefunden: (3 | 3).
Ü 5.56
a) f(x) = 1,5x + 8
1
5
1
b) f(x) = – 3x + 6
c) f(x) = – 3x +
b) y = – 2x + 8
c) y = 3x + 3
Ü 5.57
a) y = 0,6x + 1
58
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1
2
22
3
5 Funktionale Zusammenhänge
Ü 5.58
1
a)
5
b) Die Gerade durch P und Q lautet: y = 2x + 2.
L liegt auf der Geraden, demnach rammt das Schiff den
Leuchtturm, wenn es seinen Kurs beibehält.
Ü 5.59
a) 3x + 2y = 12
b) y = –1,5x + 6
c) Abbildung B
Ü 5.60
x
–3
–2
–1
0
1
2
3
a)
–2,5
–2
–1,5
–1
–0,5
0
0,5
b)
0,5
0
–0,5
–1
–1,5
–2
–2,5
c)
–1,4
–0,6
0,2
1
1,8
2,6
3,4
Ü 5.61
a) f
b) h
c) i
d) g
Ü 5.62
a)
Wertepaar
R
S
T
ja/nein
ja
nein
nein
b)
Weitere Punkte z. B.: A(0 | 3), B(1 | – 0,5)
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59
5 Funktionale Zusammenhänge
Ü 5.63
k=
40
100
=
20
50
= 0,4
Ü 5.64
1. 4
3
2. 4
3. k = 2
Ü 5.65
1
a) I: y = – 3x
2
b) I: y = – x +
5
2
14
5
II: y = 3x + 1
III: y = 3
II: y = x – 0,5
III: y = x + 1,5
b) k = –
e) k ist nicht definiert.
c) k = 3
Ü 5.66
a) k = 2
d) k = 0
Ü 5.67
a) (1) Auf 100 m Länge steigt die Straße um 6 m.
(2) Auf 100 m Länge fällt die Straße um 20 m.
(3) Auf 100 m Länge steigt die Straße um 100 m.
Ü 5.68
a)
Jahr
1984
1990
1991
Bevölkerung
9 800
11 600
12 000
1995
13 600
2000
15 600
b) In den 6 Jahren von 1984 bis 1990 wuchs die Bevölkerung um 1 800,
also 300 pro Jahr im Durchschnitt. In den 10 Jahren von 1990 bis 2000
hingegen wuchs die Bevölkerung um 4 000, also um 400 jährlich.
c) Der Graph ist keine Gerade, weil das Bevölkerungswachstum in den
beiden Zeiträumen 1984 bis 1990 und 1990 bis 2000 unterschiedlich
war.
Ü 5.69
a) 35 %
b) 150 %
Ü 5.70
a) a = 300 mm
b) z = 50 cm
Ü 5.71
Ü 5.72
Die Geraden f und i erfüllen die Bedingungen: f: k = 0 und d = 4; i: k = – 2 und d = 1,8.
Ü 5.73
a) Le Bourg d’Oisans nach La Garde: 6,43 %; La Garde nach Huez-en-Oisans: 7,96 %
Huez-en-Oisans nach L’alpe d‘Huez: 7,25 %
Ü 5.74
a) y = 5x – 5
60
13
b) y = – 14x +
18
7
c) y = 0
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d) y = 4
5 Funktionale Zusammenhänge
Ü 5.75
5
a) (0 | 5), (4 | 0), y = – 4x + 5
5
x
y
b) Aus y = – 4x + 5 geht durch Äquivalenzumformungen die Achsenabschnittsform 4 + 5 = 1 hervor.
c) Die beiden Achsenabschnitte vom Ursprung zur jeweiligen Schnittstelle mit dem Graphen sind in dieser
Darstellungsform ablesbar.
x
y
x
y
y
grün: 4 – 2 = 1
rot: –x – 3 = 1
d) blau: – 5 + 3 = 1
Ü 5.76
1
16
a) y = 7x + 7
b) Bei einer Temperatur von 16 °C bis 17 °C zirpt die Grille etwa 100-mal pro Minute.
c) Bei 0 C zirpt die Grille gar nicht mehr.
Ü 5.77
a) A (10 | 5)
b) y = 7x – 42
c) y = 3x + 6
Ü 5.78
130
a) y = – 15000x + 60; k = – 0,0087
b) k = 0,0075
c) Der Tunnel ist auf der englischen Seite etwas steiler.
Ü 5.79
a) Amelie stellt fest, dass die Verminderung der Siegerzeiten bei den Frauen schneller voran geht als bei den
Männern. Amelie geht davon aus, dass die Siegerzeiten linearen Funktionen folgen, dies ist eine fragwürdige
Annahme, da dies bedeuten würde, dass die Siegerzeiten in der Zukunft 0 s oder kleiner betragen werden.
b)
Ab dem Schnittpunkt laufen die Frauen schneller als die Männer
unter der Bedingung, dass die Siegerzeiten linear sinken.
0,67
1,15
c) yM = – 80 x + 10,3; yF = – 80 x + 11,9
d) 2016: yM(84) = 9,60; yF(84) = 10,69; 2020: yM(88) = 9,56; yF(88) = 10,64
Ü 5.80
Ja
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61
5 Funktionale Zusammenhänge
Ü 5.81
a)
Höhe
1 536
1 867
2 431
Siedetemperatur
95,39
94,40
92,71
c) 3 333m
b)
d) S(0) = 100°C
e) 33 333m – unmöglich
b) Gerade (Vertikale)
e) keine Gerade
c) Gerade (Horizontale)
f) Gerade
Ü 5.82
a) Gerade
d) keine Gerade
Ü 5.83
Aussage
Der Punkt A(3|–2,75) liegt auf der Geraden g.
Die Gerade h: x – 4y = 3 ist parallel zu g.
Die Gerade g ist streng monoton wachsend.
Es gilt: g(0) ≥ g(2)
Es gilt für alle x ∈ ℝ: g(x+4) = g(x) + 4
Richtig
X
Korrektur:
Die Gerade h: – x – 4y = 3 ist parallel zu g.
Die Gerade g ist streng monoton fallend.
X
Es gilt für alle x ∈ ℝ: g(x+4) ≠ g(x) + 4
Ü 5.84
k = –12 cm/h
Ü 5.85
a) y = 3
b) y = 2x
1
c) y = x
d) y = 2x
Ü 5.86
a) N (1,5 | 0)
1
b) N ( 3 | 0)
c) N (3 | 0)
b) y = 2x – 1
c) y = – 2x
Ü 5.87
1
a) y = – 2x + 6
62
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5 Funktionale Zusammenhänge
Ü 5.88
a)
y = 2x
b) y = – 3x
c) Bei einer homogenen linearen Funktion ist die y-Koordinate das k-fache der x-Koordinate.
Ü 5.89
a) keine direkt proportionale Zuordnung
c) direkt proportionale Zuordnung
b) direkt proportionale Zuordnung
Ü 5.90
a) umkehrbar
b) nicht umkehrbar
Ü 5.91
A nicht umkehrbar; B und C umkehrbar
Ü 5.92
a)
2
3
b) f: y = 3x – 2; f–1: y = 2x + 3
1
g: y = –3x + 2; g–1: y = –3x + 6
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63
5 Funktionale Zusammenhänge
Ü 5.93
1
a) f–1: y = 3x
4
4
1
d
d) i–1: y = 3x – 9
Schnittpunkt beispielhaft für b):
3
1
b) g–1: y = 2x + 2
c) h–1: y = x + 4
e) j–1: y = 5x – 5
f) k–1: y = – x
1
1
Ü 5.94
a) f–1: y = kx –
b)
X
X
k
Fehler:
f–1: y =
–1
1
x–d
–1
f :y=
k
f : y = kx –
d
f–1: y = x – d – k
k
f : x = ky + d
Statt durch k zu
dividieren wurde k
subtrahiert.
f–1: y =
d–x
k
Ü 5.95
a) Wasser gefriert bei 32 °F und siedet bei 212 °F.
5
160
b) C(F) = 9F – 9
c) C(32) = 0 °C, C(212) = 100 °C
64
Fehler:
Statt d zu subtrahieren wurde d addiert.
–1
X
k
x+d
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Statt d von x abzuziehen wurde x von d
subtrahiert.
5 Funktionale Zusammenhänge
Ü 5.96
a) Wenn man sich um 1° nördliche Breite weiter bewegt, so ist die mittlere Höchsttemperatur im April um
0,75 °C kleiner.
b) T(0°) = 47,5 °C
c) T(90°) = – 20 °C
d) T(48°) = 11,5 °C
f) B(9,3°C) = 50,93°
g) z. B.: Köln
e) B(T) = – T +
Ü 5.97
a) Die Funktion ist eine gute Näherung.
b) Der Siedepunkt von Wasser verändert sich um 0,45 °C, wenn sich die Höhe um 150 m verändert. Simon
Baker hatte vermutlich ein Thermometer auf seinen Reisen mit und maß bei welcher Temperatur das Wasser
kocht.
c) h(S) = – 333,3 S + 33 333,3
d) h(85,6 °C) = 4 800 m
Ü 5.98
a) keine Lösung
b) (2 | 1) ist Lösung
c) (2 | – 1) ist Lösung
b) (2 | –1)
c) (– 5 |– 2)
b) (1 | –1)
e) (5 | 5)
c) (– 4 | 14)
f) (– 3 | 2)
d) (5 | 4) ist Lösung
Ü 5.99
a) (3 | 2)
1
d) keine Lösung
Ü 5.100
a) (7 | 4)
7 17
d) (–2 | 6 )
Ü 5.101
a) x – 2y = 11
b) 2x + y = 2
Ü 5.102
a) z. B.: – 3x + y = –5
b) z. B.: 3x – y = 0
c) z. B.: 3x + y = 5
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65
5 Funktionale Zusammenhänge
Ü 5.103
a) Die gefühlte Temperatur ist abhängig von der Windgeschwindigkeit. Je höher die Windgeschwindigkeit,
desto mehr weicht die gefühlte Temperatur von der Außentemperatur ab. Als Beispiel betrachte man die Nullstellen des blauen und roten Graphen: Eine Außentemperatur von ca. 2,5 °C fühlt sich bei einer Windgeschwindigkeit von 10 km/h wie 0 °C an; Temperaturdifferenz: 2,5 Grad. Eine Außentemperatur von ca. 6,5 °C
fühlt sich bei der höheren Windgeschwindigkeit von 50 km/h auch wie 0 °C an; Temperaturdifferenz: 6,5 Grad.
b) g(x) = 1,2x – 8
c) Die neue Funktion hat eine größere Steigung als der rote Graph. Das heißt, dass der zugehörige Graph
steiler verläuft als der rote.
Ü 5.104
parallel
a)
b)
c)
identisch
schneidend
X
orthogonal
X
X
Ü 5.105
Ü 5.106
a)
Weg
0 km – 5 km
5 km – 20 km
20 km – 35 km
35 km – 42 km
Geschwindigkeit
9 km/h
12 km/h
10 km/h
12 km/
b)
66
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5 Funktionale Zusammenhänge
Ü 5.107
Sophie: s = 15t; Roman: s = 20t – 10
Roman holt Sophie nach 2 Stunden ein.
Ü 5.108
a) Die ersten 10 Sekunden läuft der Athlet mit 8 m/s, danach läuft er die nächsten 60 Sekunden mit 5,33 m/s.
Nach den ersten 70 Sekunden läuft der Athlet weitere 80 Sekunden etwas langsamer mit 4 m/s. Die letzten 10
Sekunden sprintet er mit 8 m/s ins Ziel.
800
b) 160 = 5 m/s; der Rennverlauf wäre eine durchgehende Gerade vom Punkt A zum Punkt E.
c) 8 m/s
Ü 5.109
a) Wien – Barcelona: s(t) = 800t; Barcelona – Wien: s(t) = –600t + 1 400;
wobei s jeweils die Entfernung von Wien beschreibt
b) Wien – Barcelona: t = 1 h 45 min; Barcelona – Wien: t = 2 h 20 min
c) 1 Stunde nach dem Start und 800 km von Wien entfernt
Ü 5.110
a)
b) Herr Ristic: 62,5 km/h; Frau Hofberger: 27,5 km/h
c) ~17 min früher
d) Herr Ristic: 46,8 km/h; Frau Hofberger: 64,8 km/h
Die beiden Funktionen haben unterschiedliche Vorzeichen weil sie sich von einem Ort in unterschiedliche
Richtungen wegbewegen. Eine Funktion muss steigen,
die andere fallen.
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67
5 Funktionale Zusammenhänge
Ü 5.111
a) Frau Meyer brauchte für die 600 km lange Strecke insgesamt 6 Stunden. Sie fuhr also im Durchschnitt
100 km/h. Die ersten 100 km fuhr Frau Meyer im Schnitt 100 km/h; dann machte sie eine Pause von etwa 20
Minuten. Danach fuhr sie zunächst etwa 40 Minuten langsamer, dann eine Stunde lang über 160 km/h. Nach
3 Stunden und 300 km Fahrt machte sie 1 Stunde Pause. Die letzten 300 km fuhr Frau Meyer in 2 Stunden,
also im Schnitt 150 km/h.
b) Ja; Frau Meyer fuhr auf dem Teilstück im Durchschnitt mehr als 160 km/h.
c) Die Vereinfachung erfolgt dadurch, dass man nicht die tatsächliche Geschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt
abbildet, sondern Durchschnittsgeschwindigkeiten während einzelner Zeitspannen.
d) Der Graph wäre dann eine Gerade vom Ursprung durch den Punkt (6 | 600).
Ü 5.112
Korrektur:
X
X
X
Der Graph einer gleichförmigen Bewegung ist immer eine Gerade.
Die Geschwindigkeit ist die Steigung des Graphen der Funktion s(t) =
v⋅t.
Wenn die Geschwindigkeit v = 0 m/s ist, ist der zugehörige Graph im
Weg-Zeit-Diagramm eine senkrechte Gerade.
Je höher die Geschwindigkeit ist, desto flacher verläuft der Graph der
zugehörigen Funktion s(t).
Der Graph der Funktion s mit s(t) = 5t + 10 verläuft durch den Punkt
P(0 |10).
… waagrechte Gerade.
…, desto steiler verläuft …
Ü 5.113
2,5 h nach dem Start des LKW und nach 200 km
Ü 5.114
a) (1) blau: 5 km/h, rot: 6 km/h; (2) blau: 10 km/h, rot: 5 km/h
b) (1) gleicher Ausgangspunkt; (2) Ausgangspunkte 10 km voneinander entfernt
c) (1) rot startet 1,5 h später; (2) gleicher Startzeitpunkt
d) (1) (9 | 45) – rot holt blau 9 Stunden nachdem blau weggefahren ist in einer Entfernung von 45 km ein;
(2) (2 | 20) – blau holt rot 2 Stunden nach der Abfahrt, 20 km von dem Ausgangspunkt von blau ein.
Ü 5.115
a) Der Lieferwagen benötigt für die Hinfahrt 6 Minuten, wovon er die ersten 3 Minuten etwas langsamer als die
nächsten 3 Minuten fährt. Die nächsten 6 Minuten bleibt er in dem 4,5km entfernten Ort stehen. Für die Rückfahrt benötigt der Lieferwagen 8 Minuten, wobei er die ersten 6 dieser 8 Minuten etwas langsamer fährt als
die nächsten 2 Minuten.
b) 0 min – 3 min: 30 km/h; 3 min – 6 min: 60 km/h; 6 min – 12 min: 0 km/h; 12 min – 18 min: 25 km/h;
18 min – 20 min: 60 km/h
c)
0,5t
0≤t≤3
t–1,5
3<t≤6
4,5
6<t≤12 s in km, t in min
s(t) =
–
5
12
t+9,5
–t+20
68
12<t≤18
18<t≤20
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5 Funktionale Zusammenhänge
Ü 5.116
a) K1 = 0,25t + 23; K2 = 0,5t + 12,75; K3 = 0,86t
b)
c) Tarif 3 ist bis zu 35 min am günstigsten, Tarif 2 von 35 min bis 41 min,
Tarif 1 ab 41 min.
Ü 5.117
a) Lisa hat den Preis von 21 €, der für 10 h zu zahlen ist, verdoppelt.
Das darf sie nur bei proportionalen Zuordnungen machen. Die Zuordnung ist nicht proportional. Das ist z. B. daran zu sehen, dass der
Preis für 10 h nicht doppelt so groß ist, wie der für 5 h.
b) p (t) = 1,2 t + 9; p (20) = 33
c)
Ü 5.118
a) p(w) = 0,9107w + 32,76
b) 110,17 €
c) ca. 105 m³
Ü 5.119
a) Tarif A: p(t) = 0,35t + 8; Tarif B: p(t) = 0,29t + 10
b) Tarif A: 71,00€; Tarif B: 62,20€
c) ca. 33 min
d)
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69
5 Funktionale Zusammenhänge
Ü 5.120
a) Wenn Alexander die Hin- und Rückfahrt an einem Tag fährt, ist Angebot 1 günstiger.
b) Angebot 1: k(s) = 110,97; Angebot 2: k(s) = 0,3s + 55, ab einer Strecke von ca. 187 km ist Angebot 1 günstiger.
Ü 5.121
a) Für den Inhaber der Pizzeria ist es vorteilhafter, wenn der Umsatz sehr hoch ist, nach Modell A zu zahlen,
und wenn der Umsatz sehr niedrig ist, nach Modell B. Für Simon ist das genau umgekehrt.
b) Entlohnung B: y = 25 + 0,08x; bei einem Umsatz von 333,33 €
Ü 5.122
Verbrauch in kWh: x; Kosten: y; Gleichungen für die Tarife:
Tarif I: y = 34 + 0,08x; Tarif II: y = 48 + 0,05x; Tarif III: y = 10 + 0,2x
Bis zu einem Verbrauch von 200,0 kWh ist Tarif III am günstigsten, bei einem Verbrauch von 200,0 kWh bis
466,7 kWh ist Tarif I am günstigsten, bei einem Verbrauch über 466,7 kWh ist Tarif II am günstigsten.
Ü 5.123
a) Der rote Graph gehört zum ICE, der blaue Graph zum Interregio. Der rote Graph ist eine Gerade, das bedeutet, dass der Zug auf der gesamten Strecke nicht anhält. Außerdem ist die durch den roten Graphen abgebildete Fahrzeit kürzer, als die durch den blauen Graphen abgebildete.
b) Der ICE startet um 11.15 Uhr in Mainz und fährt die 93 km lange Strecke nach Koblenz ohne Halt; um 12.05
Uhr erreicht der Zug Koblenz. Der Interregio startet um 11.09 Uhr in Koblenz, hält von 11.20 Uhr bis 11.22 Uhr
in Boppard und von 11.47 Uhr bis 11.48 Uhr in Bingen. Mainz erreicht der Zug um 12.04 Uhr. Durch Berechnen der Steigung kann die Geschwindigkeit bestimmt werden.
c)
(Für die Entfernung Bingen Stadt − Bingen Hbf wurden 2 km angenommen.)
Ü 5.124
a)
70
b)
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5 Funktionale Zusammenhänge
Ü 5.125
f(x) =
−1 −1 < ≤ 3
2
3< ≤5
0,5 5 < < 7
Ü 5.126
a)
Zeit
1h
2h
3h
3,5 h
5h
10 h
12 h
Parkgebühren
2€
2€
4€
6€
8€
18 €
20 €
b)
Obere Abbildung, da die
Parkgebühren einer
Treppenfunktion folgen.
Ü 5.127
a) 75 ME
b) 20 GE
Ü 5.128
a) 1 050 GE
b) 225 Stück
Ü 5.129
a) 600 ME
b) vor der Veränderung: 1 800 ME, nach der Veränderung: 1 080 ME
Ü 5.130
b) K(100) = 6 500 €
c) E(200) = 7 000 €
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71
© 2015 Verlag Jugend & Volk GmbH, Wien.
Claudia Bittner, Bettina Jaschka
Neue Wege 1
Mathematik für Handelsakademien
© 2015, Verlag Jugend und Volk GmbH, Wien.
Alle Auflagen mit ©2015 sind nebeneinander verwendbar.
ISBN 978-3-7100-3238-7
9 783710 032387
zu Schulbuch-Nr. 170781
Claudia Bittner, Bettina Jaschka
Neue Wege I
Mathematik für Handelsakademien – Lösungen
ISBN 978-3-7100-3238-7
Lösungen
www.jugendvolk.at
Neue Wege
Mathematik
für Handelsakademien
Lösungen