Guía de Didáctica II de la especialidad Matemática Mag. Mª Laura Dodino Mag. Cristina Ochoviet Se presenta a continuación una traducción libre con fines educativos del artículo: Douady, R. (1999). Relation Function/al Algebra: An Example In High School (Age 15-16). CERME 1 Proceedings. RELATION FUNCTION/AL ALGEBRA AN EXAMPLE IN HIGH SCHOOL (AGE 15-16) Régine Douady University Paris 7 Resumen En esta propuesta, presentamos algunos elementos de una ingeniería didáctica referidos a una cuestión algebraica, desde dos puntos de vista, el algebraico y el topológico. Los docentes saben que “el estudio del signo de un polinomio” es difícil a pesar de lo simple que es construir y usar una regla para los signos. Pensamos que una razón de esta dificultad es la siguiente cuestión: imposibilidad de los estudiantes de implementar un conocimiento personal que no sea algebraico pero que puede ser pertinente para abordar la cuestión. Por ejemplo, el teorema del valor medio es un resultado fácilmente accesible como herramienta implícita para dibujar gráficos y explorarlos. De acuerdo a nuestro análisis, los estudiantes deben enfrentarse a problemas donde las funciones, gráficas y expresiones algebraicas son puestas en escena dialécticamente. 1. Problemática y metodología de la investigación La investigación está referida al aprendizaje de las funciones polinómicas para estudiantes de 15-16 años. Examinamos las condiciones para una enseñanza basada en funciones polinómicas, para desarrollar el conocimiento de los alumnos sobre esas funciones en el marco algebraico, y también para hacer más fácil la conceptualización de otras funciones como las homográficas y las trigonométricas. Nuestro objetivo es estudiar las consecuencias de una aproximación topológica a cuestiones algebraicas sobre el conocimiento de los alumnos. Usamos un método de la Ingeniería Didáctica. 1. Elegimos un objeto de enseñanza del currículum 2. Situamos el contexto matemático en relación con la enseñanza tradicional 3. Formulamos hipótesis acerca de las dificultades de los alumnos y determinamos las bases para una ingeniería didáctica 4. Desarrollamos una ingeniería a partir de un análisis a priori 5. La implementamos e hicimos un análisis a posteriori 6. Reproducimos la implementación, bajo control experimental, después de posibles modificaciones en vista del análisis previo 7. Testeamos el supuesto conocimiento adquirido por parte de los alumnos en problemas para los cuales es una herramienta adaptada Guía de Didáctica II de la especialidad Matemática Mag. Mª Laura Dodino Mag. Cristina Ochoviet 8. Comparamos las producciones de los alumnos y su desempeño con lo que esperábamos y sacamos conclusiones sobre la relevancia de las hipótesis didácticas. Presentamos, brevemente, algunos de los puntos señalados arriba. Este trabajo está en proceso. 2. Pasos sucesivos de la ingeniería 2.1 Estudio de las funciones polinómicas (15-16 años) El estudio del signo de los polinomios, vistos como funciones reales de una variable, es parte del currículum de secundaria a los 15-16 años. Se estudia después del cálculo con expresiones algebraicas hecho en años anteriores. En particular, los alumnos han aprendido a desarrollar expresiones dadas como el producto de dos factores, y también en algunos casos “muy simples” transformar expresiones desarrolladas en producto de factores. Desde un punto de vista matemático, una forma o la otra es preferible de acuerdo al problema que enfrentemos. Por ejemplo, es fácil determinar el signo del producto de factores en un intervalo donde cada factor tiene signo constante: uno sólo tiene que saber ese signo y la regla de multiplicación de los signos. Este estudio puede ser realizado de una forma puramente algorítmica, ignorando los aspectos relativos a la continuidad en la pregunta. ¿Pero es esto realmente una ventaja? 2.2 La enseñanza tradicional Desde el punto de vista de los docentes, se acostumbra familiarizar a los alumnos (de edades menores a 15) con la transformación de expresiones, sin tener en cuenta su relevancia matemática. A los 15-16 años, son entrenados para hacer estudios de signo, una representación de datos permite un tratamiento algebraico económico. El método es, dado un polinomio expresado como el producto de factores de grado 1 o 2, se buscan las raíces, se determina el signo de cada factor en cada intervalo, y luego se aplica la regla de los signos para obtener el signo del producto. Resulta entonces eficiente organizar la información en un esquema. Sin embargo, la característica de economía no constituye una preocupación en la enseñanza. Aunque el objeto matemático a ser estudiado son las funciones polinómicas, el acento es puesto en los polinomios y muy poco en las funciones. La idea que predomina es que la enseñanza de algoritmos capacita a los alumnos, a su debido tiempo, a usar esas técnicas de forma apropiada, en situaciones que son nuevas para ellos, bajo su responsabilidad y control. Podría ser para el estudio de las funciones en donde el signo de la derivada juega un importante rol. Guía de Didáctica II de la especialidad Matemática Mag. Mª Laura Dodino Mag. Cristina Ochoviet Desde el lado de los alumnos, la disponibilidad de una herramienta algebraica como esa no está del todo clara. La economía y la eficiencia no son percibidas por ellos. Frecuentemente escuchamos a los estudiantes un año mayores diciendo: “nos enseñaron el estudio de signo el año pasado pero no entendimos nada” o “Yo sabía cómo hacerlo, pero me olvidé”. Más aún, incluso si tienen buena voluntad, no están siempre en un contexto de aplicación directa. Por ejemplo, ¿qué pueden hacer si se les da la función de una forma inusual? ¿poseen una forma de testear la validez de sus posibles resultados? Podría esto ser legítimo de todas formas, porque la convicción más extendida es la de que el docente está a cargo de esos controles. 2.3 Una dificultad epistemológica Haciendo a un lado el problema del contrato, el problema de los estudiantes frente al estudio algebraico de las funciones polinómicas puede tener varias razones. Pensamos que, parte de este problema es debido al hecho de que el aspecto de la función es conceptualmente desestimado o ignorado, detrás de otras características algebraicas: número de raíces y su valor, vistos de una forma algorítmica. La situación en el entorno de un punto donde la función se hace cero no es considerado. El hecho de que el signo es constante entre dos raíces consecutivas es admitido sin justificación ni discusión. Esto trae consecuencias al significado que le dan los estudiantes al esquema de signo, y en consecuencia a su uso en contextos diferentes a los que se usaron en su introducción. 2.4 Una hipótesis didáctica Una hipótesis en la que estamos trabajando es la siguiente: para ser capaz de manejar fácilmente las funciones polinómicas, los alumnos necesitan concebirlas desde dos puntos de vista, el algebraico y el topológico, a pesar de que la aproximación topológica no es estrictamente necesaria para el estudio algebraico. En términos de la enseñanza, expresamos que el estudio de las raíces y su multiplicidad debe ser realizada en relación con las propiedades de continuidad y derivabilidad, al menos en forma implícita. Desde este punto de vista, la representación cartesiana puede jugar un importante rol como herramienta. Este estudio debe ser tenido en cuenta en el aprendizaje de dichas funciones. 2.5 El rol de las representaciones gráficas cartesianas Esta representación juega múltiples roles: • En la conceptualización de funciones y en particular de las funciones polinómicas. Nos permite ver un par ordenado de números (x, f(x)) que es el producto de un programa de cálculo o de una evocación, como un nuevo objeto matemático. Muchas preguntas matemáticas pueden hacerse para Guía de Didáctica II de la especialidad Matemática Mag. Mª Laura Dodino Mag. Cristina Ochoviet • • • especificar el objeto. El estudio de estas preguntas probablemente nos conduzca fuera del marco teórico en el cual está dado el problema inicial. En la búsqueda de raíces. Para una función polinómica x → f(x), un valor de x para el cual f(x)=0 es fácilmente visto como la frontera entre los valores para los cuales f(x) > 0 y aquellos para los cuales f(x) < 0 a través de un proceso de cálculo numérico si fuera necesario. Una situación como esta induce al alumno a usar el teorema del valor medio, un resultado que es fácilmente accesible como una herramienta implícita. En la noción de multiplicidad de una raíz. Tan pronto los alumnos son capaces de concebir que una función polinómica es representada por una curva, la forma en que la curva corta al eje horizontal, transversalmente o tangencialmente, más o menos `pegada´ a él, expresa la multiplicidad de la raíz. En la determinación de signos. Con la representación usual (positivos arriba del eje x, negativos abajo), el signo de la función en un intervalo dado puede ser leído en el gráfico. Después de esto, el razonamiento debe tomar lugar. Uno también tiene que razonar para chequear la validez de la información gráfica. El gráfico nos capacita para organizar el juego entre marcos, cada uno usado como una herramienta heurística y como medio de control para el otro. 2.6 Un ingeniería didáctica basada en el juego de marcos: algebraico-gráficofuncional A partir del análisis previo y de nuestra hipótesis didáctica, proponemos a los alumnos 3 tipos de problemas, con diferentes objetivos. El concepto de función es el principal guía para el juego gráfico/algebraico. Lo principal es: 1. Darse cuenta de que las expresiones desarrolladas y las factorizadas permiten un fácil tratamiento de preguntas matemáticas diferentes. 2. Conocer el gráfico como una herramienta de investigación, solución y control de los resultados. Desarrollar el juego gráfico/numérico comenzando con el cuadro gráfico. Aproximarse gráficamente a la cuestión de los signos de un polinomio y la relación entre el signo y la multiplicidad de las raíces. En esa fase del trabajo, el medio gráfico es el papel. 3. Para trabajar algebraicamente con polinomios de varios grados (más de 6 o 7) el rol de las raíces y su multiplicidad (en particular su paridad) en el signo de los polinomios, usar el gráfico como una herramienta para progresar en la búsqueda del signo. El medio puede ser papel o calculadora gráfica, usadas en forma alternada. 2.7 Enunciados: Elecciones y razones para dichas elecciones El signo de una función polinómica f depende de sus raíces y su multiplicidad. Número, valor y multiplicidad de las raíces son variables con las que el docente Guía de Didáctica II de la especialidad Matemática Mag. Mª Laura Dodino Mag. Cristina Ochoviet puede jugar. El estudio se apoya en la continuidad, que es usada como una herramienta implícita. El gráfico nos permite una aproximación a esto y conduce a tener que admitir explícitamente el teorema del valor medio. Elección de las variables • • Si el objetivo es enseñar el esquema del signo como una manera económica y eficiente de representar los datos relevantes de f para determinar su signo, debería haber varias raíces, pero no muchas para que los estudiantes puedan enfrentar el problema. Si es para establecer la idea de que f cambia de signo cuando la x cruza el cero, pero no siempre, entonces es preferible elegir funciones que muestren los dos casos: raíz simple y raíz doble. Elección de las funciones • Se debería elegir un polinomio cuyo grado sea por lo menos 3, preferentemente 4 o 5, pero no mucho más. Como la atención estará puesta inevitablemente en el estudio de las raíces, se debería expresar f como producto de factores de grado 1, posiblemente de grado 2 sin raíces reales. Los coeficientes se eligen de forma que sean enteros pequeños, para no distraer a los alumnos con trabajo técnico. Elección de la consigna Fue realizada teniendo como referencia la teoría de la Dialéctica HerramientaObjeto y Juego entre marcos. • • • En un primer momento, los alumnos pueden usar su conocimiento, calcular el valor de f(x) correspondiente a varias elecciones de x. Pero su conocimiento no es suficiente para resolver el problema completamente, esto es, dar el signo de f(x) para cualquier valor de x que el docente le dé. Tendrían que saber el signo de f(x) para todos los valores de x, esto es, para infinitos valores. La representación gráfica actúa como una ayuda para guiar la investigación, en particular para determinar el signo de f en un entorno de una raíz de la función, o entre dos raíces consecutivas. Debe permitir a los estudiantes formular conjeturas a ser estudiadas algebraicamente, por ejemplo sobre las condiciones bajo las cuales los signos cambian. Una exposición de los resultados (algunos alumnos, por turno, exponen al resto de la clase los resultados de su trabajo en equipo) es una oportunidad para hacer explícito qué se ha resuelto y qué es lo que aún queda abierto. Es también una oportunidad de formular preguntas que surgen de los primeros estudios (cuántos ceros tiene f). Para volver a nociones conocidas pero en nuevos contextos, en cómo determinar el signo de un producto de números Guía de Didáctica II de la especialidad Matemática Mag. Mª Laura Dodino Mag. Cristina Ochoviet • • • cuando se conoce el signo de cada uno de ellos. Es una oportunidad de organizar en un esquema la información del signo de varios factores que intervienen en la expresión de f. El análisis de diferentes ejemplos debe conducir a una institucionalización del estudio de signo como método. La familiarización con estudios de signo está planeada, a través del estudio de varios ejemplos. El estudio de funciones no polinómicas bien elegidas, debe permitir testear la habilidad de reinventar como herramienta lo que se ha aprendido con funciones polinómicas. 2.8 Enunciado dado en 2 momentos 1. No se permite usar calculadora Dados valores de x, obtendrás valores numéricos para la siguiente expresión: f(x)=(x-2)(2x-3)(x+5)(4x+1)(1-x) ¿Son siempre positivos? ¿Son siempre negativos? ¿Son a veces positivos, a veces negativos, a veces cero? Calcula. Cuando tengas una respuesta llama a tu profesor/a. 2. No se permite usar calculadora f(x)=(x-2)(2x-3)(x+5)(4x+1)(1-x) Encuentra una forma de poder decir, de forma rápida y creíble, si la expresión es mayor que cero, menor que cero o cero cuando tu profesor/a te da un valor numérico de x. Indicaciones: Sólo una respuesta se acepta. No se permite realizar cálculos con la expresión: es demasiado largo. Cuando creas que tienes un método llama a tu profesor/a. Organización de la clase y desarrollo Al final de la primera sesión, la evaluación trae a la luz las dificultades de los estudiantes con la segunda pregunta. Los estudiantes que recursan han buscado las raíces de f, y han aplicado el principio de la alternancia de los signos cada vez que la función pasa por un cero. Pero no son capaces de justificar lo que hacen ante los requerimientos de sus compañeros, que piensan que es una regla caída del cielo. Algunos alumnos usaron calculadora “sólo para ver si les daba ideas”, pero esto les trajo problemas: con la ventana que usaron, el gráfico aparece parcialmente, y no supieron cómo ajustar la información gráfica con el estudio algebraico. En particular, no están seguros de que han encontrado todos los valores para los cuales f se anula. Guía de Didáctica II de la especialidad Matemática Mag. Mª Laura Dodino Mag. Cristina Ochoviet En la exposición de los resultados, una convicción basada en el gráfico surge: cuando la función pasa de un valor positivo a uno negativo (o al revés) tiene que tomar el valor cero. Por tanto entre los dos valores, hay un valor de x para el cual se anula. De aquí surge un método: Buscar las raíces. Pero un método que las dé todas. Una pregunta: cada vez que f se anula, cambia de signo. ¿Verdadero o falso? En la implementación, en una de las clases este estudio llevó mucho tiempo. En otro en donde el ritmo fue más rápido, el solo registrar los casos donde la consigna fue válida y en donde no, fue suficiente para concentrar el interés en las razones de la diferencia en el comportamiento de las funciones. Decidimos formular un problema donde lo principal era estudiar la condiciones de validez para la conjetura: siempre que f se anula, cambia de signo. Para este estudio, usamos un juego entre funciones y gráficos. 2.10 Enunciado 2 La conjetura fue realizada a través de la observación gráfica. Para permitir a la representación gráfica jugar plenamente su función heurística y también su función de control, hemos elegido un problema en donde los objetos son funciones, pero dadas por su gráfico en un cuadro cartesiano (no por su fórmula). La respuesta esperada es gráfica. Pero para llegar a ella, se debe trabajar numéricamente en las funciones dadas. Las funciones están dadas por su gráfica D1, D2, D3, D4 (ver Fig. 1 y Fig.2). En cada caso, uno tiene que considerar dos de ellas representando dos funciones f y g. 1. Determinar el signo de la función h producto de las funciones f y g. Definición de h: para cada valor de x, h(x)= f(x).g(x) 2. Proponer un dibujo razonable de la función producto h. 3. Una de las rectas se ha fijado, ¿puede moverse la otra recta, manteniendo la dirección, de manera que el producto h tenga un signo constante cuando x varía? No se puede medir con regla. Guía de Didáctica II de la especialidad Matemática Mag. Mª Laura Dodino Mag. Cristina Ochoviet Fig. 1 Fig. 2 Varias variables están a disposición del docente y están involucradas en la elección de la consigna y la elección de las rectas. Hemos elegido rectas para poder obtener, sin medir, 6 puntos distintivos del gráfico desconocido: aquellos que corresponden a f(x)=0, 1 o -1, y lo mismo para g. Hemos elegido las pendientes: dos ejemplos con el mismo signo y dos ejemplos con signos opuestos. 2.11 Puesta en marcha y comentarios Durante la implementación del estudio, observamos que los alumnos quedan sorprendidos por un gráfico prácticamente “mudo”. En las prácticas habituales, una función se da por su fórmula. ¿Cómo podrían multiplicar los gráficos? Es claro que en este problema, los estudiantes deben distinguir entre el objeto función y su representación. Deben operar sobre el objeto y dar su respuesta en un registro asignado. Para esto, el marco de trabajo auxiliar es el numérico. Sólo el uso de propiedades de los números 0, 1, -1, y las relaciones entre el orden y las operaciones hacen posible las elecciones relevantes y la obtención de resultados consistentes con los datos gráficos. Los alumnos no ven relación entre el estudio previo con funciones polinómicas, sus raíces y su signo. Guía de Didáctica II de la especialidad Matemática Mag. Mª Laura Dodino Mag. Cristina Ochoviet La intervención del docente permite hacer evolucionar la situación y hace que el proceso de investigación pueda comenzar pronto. Luego de recordar la definición de h, el docente pregunta: ¿Hay puntos de los cuales podemos estar seguros que pertenecen al gráfico que estamos buscando? El rumor acerca del interés en los ceros de f y de g, esto es, los puntos de intersección de las rectas dadas con el eje x, se divulga rápidamente. En menos de 10 minutos, varios grupos proponen 4 puntos seguros, y luego los correspondientes a f(x) = -1 y g(x) = -1 conjuntamente con su construcción geométrica. Las otras dos preguntas son también resueltas rápidamente. Las conclusiones sobre las cuales todos los alumnos están de acuerdo son: leímos en el gráfico f(x1)=0, g(x2)=0, entonces • h(x1)=0, h(x2)=0. • Si x1 es distinto de x2, la función h cambia de signo cuando x vale x1, y nuevamente cuando x vale x2. • Para que h no cambie de signo, el intervalo [x1, x2] debe ser reducido a un punto. Las funciones f y g deben anularse para el mismo valor de x. Sus conclusiones están todavía contextualizadas. Pero no están lejos de poder formular una conclusión general que tenga significado para ellos. 2.12 Conclusión, reinvención Hemos reproducido esta ingeniería didáctica con el problema gráfico, y luego la insertamos en un trabajo que fue decidido a nivel nacional por la comisión inter IREM para la ciencia de la computación: Dibuja un pez y envía por internet un mensaje sin dibujo a otra clase para que los alumnos puedan dibujar el mismo pez, o uno que se le parezca lo máximo posible. Los estudiantes dividen su dibujo en varias partes y usan funciones para describir cada una de ellas. Hemos terminado con el estudio del signo de un polinomio. Los resultados muestran que el proceso es muy eficiente. El test llevado a cabo en junio confirma una buena reinvención del esquema de signo del estudio de signo de una función polinómica, a las funciones homográficas. La familiaridad con los gráficos permite proponer representaciones gráficas para las funciones sen2, cos2, sen.cos con sus períodos, signo y algunas simetrías, comenzando con el conocido gráfico de sin y cos como dato. Luego surgen las preguntas acerca de si las curvas obtenidas son curvas seno, y esto lleva, luego de algún trabajo algebraico y geométrico a conjeturar las fórmulas trigonométricas que podrán ser probadas posteriormente. Guía de Didáctica II de la especialidad Matemática Mag. Mª Laura Dodino Mag. Cristina Ochoviet 3. Referencias Artigue, M (1988): Ingénierie didactique. Recherches en Didactique des Mathématique, 9(3), 281-308; English version: Didactic engineering. In R.Douady & A. Mercier (eds.), Research in Didactic of Mathematics, La Pensée Sauvage, Grenoble, 41-65.