Intégration 1 1.1 Primitives d'une fonction Primitive de f sur un intervalle I Dénition : Soient f et F des fonctions dénies sur I un intervalle de R. F est une primitive de f sur I ⇐⇒ ∀x ∈ I, F 0 (x) = f (x) Par exemple, 1 La fonction F dénie sur R par : F (x) = x2 est une primitive de f : x 7−→ x sur R, car pour 2 tout x de R, F 0 (x) = f (x) = x. 1 On peut remarquer que la fonction G dénie sur R par : G(x) = x2 + 5 est aussi une primitive 2 de f car G0 = f . Une primitive n'est pas unique. Théorème (admis) : Si f est continue sur I alors f admet des primitives sur I . Propriété : f est continue sur I . Soient F une primitive de f et k un réel. F + k est aussi une primitive de f sur I . Démonstration : (F + k)0 = F 0 + 0 = F 0 = f donc F + k est bien une primitive de f . Propriété réciproque : f est continue sur I . Soient F et G deux primitives de f . Alors, il existe un réel k tel que G = F + k. Démonstration : Par hypothèse F 0 = f et G0 = f . Alors (G − F )0 = G0 − F 0 = f − f = 0 G − F est une fonction constante car sa dérivée est nulle. D'où, il existe un réel k tel que G − F = k c'est à dire G = F + k. Remarque : il sut de connaître une primitive pour connaître toutes les primitives d'une fonction. 1.2 Primitive particulière d'une fonction sur I Propriété : f est continue sur I . Etant donnés deux réels x0 et y 0 avec x0 ∈ I , alors il existe une unique primitive G de f sur I vériant la condition G(x0 ) = y0 . Démonstration : 1 Soit F une primitive de f sur I . L'ensemble des primitives de f sur I est l'ensemble des fonctions x 7−→ F (x) + k où k ∈ R. Parmi toutes ces primitives on souhaite déterminer celle telle que : G(x0 ) = y0 ⇐⇒ F (x0 ) + k = y0 d'où k = y0 − F (x0 ) k existe et est unique donc G existe et est unique. G est l'unique primitive de f sur I vériant G(x0 ) = y0 . G : x 7−→ F (x) + y0 − F (x0 ) Par exemple, quelle est LA primitive de f : x 7−→ 1 sur ]0; +∞[ qui s'anule en 1 ? x Les primitives de f sont x 7−→ ln(x) + k où k ∈ R. G(1) = 0 ⇐⇒ ln(1) + k = 0 d'où k = 0 − ln(1) = 0. 1.3 Calcul de primitives 1.3.1 Primitives usuelles 1.3.2 Primitives et opérations Soient u et v deux fonctions admettant des primitives respectives U et V sur un intervalle I et g une fonction admettant une primitive G sur un intervalle J contenant l'intervalle u(I). On note u la dérivée de U . 2 Aire et intégrale Dénition : Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a; b] et Cf sa courbe représentative → − → − dans un repère (O; i , j ). ´b Le réel noté a f (x) dx est l'aire, en unités d'aire, du domaine D délimité par Cf , l'axe des abscisses et les droites d'équation x = a et x = b. a et b sont les bornes de l'intégrale et x est une variable " muette " ; elle n'intervient pas dans le résultat. On utilise ´ b aussi souvent ´ b les lettres t et u. Ainsi : a f (t) dt = a f (u) du Exemples : ´a 1. a f (x) dx = 0 2. 3. ´b a m dx = m(b − a) (m > 0) 1 x dx = 4 ´3 Le domaine D est un trapèze d'aire b+B × h. 2 Cas d'une fonction négative : Soit f une fonction continue et négative sur un intervalle [a; b]. ´b On dénit l'intégrale de a à b de f par : a f (x) dx = −A , où A est l'aire (positive) du domaine D délimité par la courbe Cf , l'axe des abscisses et les droites d'équations x = a et x = b. Exemple : Soit f la fonction dénie par : f (x) = x=2. 1 2 Cette fonction est négative sur [0; 3]. L'aire de D est celle d'un trapèze. D'où le calcul : ´3 0 1 (2 + ) 2 = − 15 f (x) dx = − 2 4 Cas d'une fonction changeant de signe : Soit f une fonction continue qui change de signe sur un intervalle [a; b] et Cf sa représentation graphique. Soit A1 l'aire de la partie délimitée par la courbe Cf , l'axe des abscisses et les droites d'équations x = a et x = b, situé au-dessus de l'axe des abscisses. Soit A2 l'aire de la partie délimitée par la courbe Cf , l'axe des abscisses et les droites d'équations x = a et x = b, situé en desssous de l'axe des abscisses. ´b On pose alors : a f (x) dx = A1 − A2 . Exemple : Reprenons la fonction f dénie par : f (x) = x=2. ´6 0 3 1 2 f (x) dx = A1 − A2 = 1 − 4 = −3. Primitive et intégrale Théorème : Soit f une fonction continue sur I , intervalle de R. Soit a ∈ I . ´x Alors la fonction Φ dénie sur I par : Φ(x) = a f (t) dt est ∀x ∈ I, la Φ0 (x) = f (x) Démonstration : dans le cas où f est positive et croissante sur I = [a; b]. Montrons que Φ est dérivable et déterminons sa dérivée sur I . 1. Soit x ∈ [a; b]. Soit h > 0 tel que x + h ∈ [a; b]. ´x ´ x+h Φ(x) = a f (t) dt et Φ(x + h) = a f (t) dt hf (x) ≤ Φ(x + h) − Φ(x) ≤ hf (x + h) primitive de f qui s'annule en a. Φ(x + h) − Φ(x) ≤ f (x + h) h lim+ f (x + h) = f (x) (f est continue sur [a; b]) f (x) ≤ h→0 D'après le théorème des gendrames : lim+ h→0 Φ(x + h) − Φ(x) = f (x) h 2. Soit x ∈]a; b] Même raisonnement pour h < 0 (donc −h > 0) tel que x + h ∈ [a; b]. −hf (x + h) ≤ Φ(x) − Φ(x + h) ≤ −hf (x) Φ(x) − Φ(x + h) f (x + h) ≤ ≤ f (x) −h Φ(x + h) − Φ(x) f (x + h) ≤ ≤ f (x) h D'après le théorème des gendrames : lim+ h→0 Conclusion : Φ est dérivable en x et ∀x ∈ [a; b], Exemple : ´x 1 Φ(x + h) − Φ(x) = f (x) h Φ0 (x) = f (x). et dt est la primitive de la fonction exponentielle qui s'annule en 1. D'après les propriétés sur les primitives il existe un réel k tel que : ´x et dt = ex + k . ´1 et ∀x ∈ I, 1 et dt = 0 = e1 + k, ´x Alors k = −e et 1 et dt = ex − e. ∀x ∈ I, 1 Théorème fondamental : Soit f une fonction continue sur I , intervalle de R. ´b b ∀a, b ∈ I, a f (t) dt =F(b)-F(a) noté : [F (t)]a où F est une primitive de f sur I . Démonstration : Soit Φ est la primitive de f qui s'annule en a. (Φ(x) = ´x a f (t) dt ). Soit F une autre primitive de f sur I . F et Φ étant deux primitives d'une même fonction f sur I , il existe un réel k tel que : F = Φ + k . F (b) − F (a) = Φ(b) + k − Φ(a) − k = Φ(b) − Φ(a) ´b Or Φ(a) = 0 donc F (b) − F (a) = Φ(b) = a f (t) dt 4 Propriétés de l'intégrale 4.1 Relation de Chasles : Soient f une fonction continue sur un intervalle I de R. ∀a, b, c ∈ I, ˆ ˆ c f (t) t = a Exemples : ˆ b f (t) dt + a c f (t) dt b ´ e2 1 e2 dx = [ln(x)]1 = ln(e2 ) − ln(1) = 2 ln(e) − 0 = 2 1 x ´e 1 ´ e2 1 e e2 dx + e dx = [ln(x)]1 + [ln(x)]e = ln(e) − ln(1) + ln(e2 ) − ln(e) = 2 ln(e) = 2 1 x x 2 0 2 3 ´3 ´3 ´0 t t 9 13 2. −2 |t| dt = −2 −t dt + 0 t dt = − + =2+ = 2 −2 2 0 2 2 1. 4.2 Linéarité Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I , et α un réel. Alors ∀a, b ∈ I, ˆ b ˆ b ˆ b g(t) dt f (t) dt + β (αf + βg)(t) dt = α a a a Exemple : ´1 0 (3x + 2) dx = 3 ´1 0 x dx + 2 ´1 0 x2 dx = 3 2 1 1 7 1 + 2 [x]0 = 3( − 0) + 2(1 − 0) = 2 2 0 Attention, l'intégrale du produit n'est pas le produit des intégrales. Exemples : Calculer 4.3 ´2 1 dt , puis ´2 1 t dt × ´2 1 dt 1 t Intégrale et relation d'ordre (inégalité) Si f est une fonction continue sur I , intervalle de R, ∀a, b ∈ I , tel que a ≤ b ´b Si ∀t ∈ [a; b], f (t) ≥ 0 alors a f (t) dt ≥ 0 On dit que l'intégrale conserve la positivité. Démonstration : Soit F une primitive de f sur I . ∀t ∈ I, F 0 (t) = f (t) ∀t ∈ [a; b], f (t) ≥ 0 donc F 0 (t) ≥ 0 et F est croissante sur [a; b]. Or a ≤ b d'où F (a) ≤ F (b) donc F (b) − F (a) ≥ 0, c'est à dire ´b a f (t) dt ≥ 0 Remarque : Attention la réciproque est fausse. ´b a f (t) dt ≥ 0 que ∀t ∈ [a; b], n'implique pas f (t) ≥ 0 Exemple : ´π sin(x) dx = [− cos(x)]−π/2 = − cos(π) + cos(−π/2) = −(−1) + 0 = 1 > 0 alors que la fonction sinus est négative sur ] − π/2; 0[ ! π −π/2 Première conséquence : ´b Si ∀t ∈ [a; b], f (t) ≤ 0 alors a f (t) dt ≤ 0 Deuxième conséquence : Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a; b] avec a ≤ b. ´b ´b Si ∀t ∈ [a; b], f (t) ≤ g(t) alors a f (t) dt ≤ a g(t) dt On dit que l'intégrale conserve l'ordre. Démonstration : f (t) ≤ g(t) d'où g(t) − f (t) ≥ 0 ´b or a ≤ b alors a (g(t) − f (t)) dt ≥ 0 ´b ´b Par linéarité de l'intégrale on a : a f (t) dt ≤ a g(t) dt ∀t ∈ [a; b], Exemples : 1. Pour t ≥ 1, on a : 1 ≤ t ≤ t2 Pour x ≥ 1, ´x 1 1 dt ≤ ´x 1 t dt ≤ ´x 1 t2 dt soit x − 1 ≤ x2 − 1 x3 − 1 ≤ 2 3 1 ≤1 1+t ´x ´x 1 ´x x2 Pour x ≥ 0, 0 (1 − t) dt ≤ 0 dt ≤ 0 dt soit x − ≤ ln(1 + x) ≤ x 1+t 2 2. Pour t ≥ 0, on admet que : 1 − t ≤ 4.4 Valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle [a; b]. f est une fonction continue sur [a; b] avec a < b. La valeur moyenne de f sur [a; b] est : µ= 1 b−a ˆ b f (t) dt a Exemple : valeur moyenne de la fonction sinus sur [0; π] µ= 4.5 1 2 1 ´π 1 sin(t) dt = [− cos t]π0 = − (−1 − 1) = π−0 0 π π π Inégalité de la moyenne Soit f une fonction continue sur I . a et b sont deux réels de I tels que a ≤ b. m et M sont deux réels. Si m ≤ f ≤ M sur I alors, ˆ m(b − a) ≤ b f (t) dt ≤ M (b − a) a Démonstration : Si pour tout x de [a; b], m ≤ f (x) ≤ M , comme l'intégrale conserve l'ordre on a : ´b a m dt ≤ ´b m(b − a) ≤ a f (t) dt ≤ ´b a ´b a M dt soit f (t) dt ≤ M (b − a) Exemple : Sur [0; π], 0 ≤ sin(t) ≤ 1 donc 0 ≤ ´π 0 sin(t) dt ≤ π