BACCALAUREAT GENERAL Bac Blanc 2 avril 2015 ---------- MATHEMATIQUES Série S Sujet pour les non spécialistes Durée de l’épreuve : 4 heures Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices et doit rédiger sur 2 copies : • 1 copie pour les exercices 1 et 4 • 1 copie pour les exercices 2 et 3 Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l’appréciation des copies. L’utilisation d’une calculatrice est autorisée Le sujet comporte 5 pages dont une page d’annexe 1 EXERCICE 1 (4 points) Cet exercice est un questionnaire à choix multiples comportant quatre questions indépendantes. Pour chaque question, une seule des quatre affirmations proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à l’affirmation exacte. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse fausse fait perdre 0,25 point ; une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de points. Si la somme des points est négative, la note pour cet exercice est ramenée à 0. Question 1 Dans un hypermarché, 70 % des clients sont des femmes. Une femme sur six achète un article au rayon bricolage, alors que six hommes sur dix le font. Une personne, choisie au hasard, a fait un achat au rayon bricolage. La probabilité que cette personne soit une femme a pour valeur arrondie au millième : a. 0,700 b. 0,393 c. 0,117 d. 0,297 Question 2 Dans cet hypermarché, un modèle d’ordinateur est en promotion. Une étude statistique a permis d’établir que, chaque fois qu’un client s’intéresse à ce modèle, la probabilité qu’il l’achète est égale à 0,25. On considère un échantillon aléatoire de vingt clients qui se sont intéressés à ce modèle. La probabilité qu’exactement quatre d’entre eux aient acheté un ordinateur de ce modèle a pour valeur arrondie au millième : a. 0,415 b. 0,004 c. 0,190 d. 0,750 Question 3 Cet hypermarché vend des téléviseurs dont la durée de vie, exprimée en année, peut être modélisée par une variable aléatoire réelle qui suit une loi exponentielle de paramètre . La durée de vie moyenne d’un téléviseur est de dix ans, ce qui se traduit par = . La probabilité qu’un téléviseur pris au hasard fonctionne encore au bout de six ans a pour valeur arrondie au millième : a. 0,600 b. 0,549 c. 0,451 d. 0,512 Question 4 Cet hypermarché vend des baguettes de pain dont la masse, exprimée en gramme, est une variable aléatoire réelle qui suit une loi normale de moyenne 150 g. La probabilité que la masse d’une baguette soit comprise entre 138 g et 162 g est environ égale à 0,954. La probabilité qu’une baguette prise au hasard ait une masse supérieure à 155 g a pour valeur arrondie au centième : a. 0,80 b. 0,45 c. 0,25 d. 0,20 EXERCICE 2 (5 points) Pour tout entier naturel , on définit les nombres complexes = 12 = par + √ pour tout ∈ℕ On note le module du nombre complexe : = | | les points d’affixes . Le plan est muni d’un repère orthonormé direct d’origine O. On note 1) a) Calculer , et . b) Placer le point et tracer les segments et sur le graphique de l’annexe, à rendre avec la copie. c) Déterminer la forme exponentielle du nombre complexe d) Démontrer que le triangle ! est rectangle en . + √ . 2) a) Démontrer que la suite " # est géométrique de raison . b) La suite " # est-t-elle convergente ? Quelle interprétation géométrique peut-on alors faire ? 2 On note ℓ la longueur de la ligne brisée qui relie le point , , ,… On a donc, pour ≥ 1, . ℓ =, -/ - - = + 3) a) Démontrer que pour tout entier naturel au point + ⋯+ = : b) Montrer que ℓ = 12√3 1 − √ en passant successivement par les points . c) Déterminer la limite éventuelle de la suite "ℓ #. EXERCICE 3 (5 points) Pour les candidats n'ayant pas choisi la spécialité mathématiques On cherche à modéliser de deux façons différentes l'évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat, en fonction de l'année. Les parties A et B sont indépendantes Partie A : un modèle discret Soit 3 le nombre, exprimé en millions, de foyers possédant un téléviseur à écran plat l'année . On pose = 0 en 2005, 3 = 1 et, pour tout ⩾ 0, 3 1. Soit 7 la fonction définie sur [0 ; 20] par = 1 3 "20 − 3 #. 10 7"8# = 1 8"20 − 8#. 10 a. Étudier les variations de 7 sur [0 ; 20]. b. En déduire que pour tout 8 ∈ [0; 20], 7"8# ∈ [0; 10]. c. On donne en annexe la courbe représentative : de la fonction 7 dans un repère orthonormal. Représenter, sur l'axe des abscisses, à l'aide de ce graphique, les cinq premiers termes de la suite "3 # 2. Montrer par récurrence que pour tout ∈ ℕ, 0 ⩽ 3 ⩽ 3 ⩽ 10. 3. Montrer que la suite "3 # ⩾ est convergente et déterminer sa limite. 4. Selon ce modèle, en quelle année le nombre de foyers français possédant un téléviseur à écran plat dépassera-t-il 5 millions ? ⩾ . Partie B : un modèle continu Soit ="8# le nombre, exprimé en millions, de foyers équipés l'année 8. On suppose dans cette partie que = est définie sur [0; +∞[ par ="8# = 1. 2. 3. 4. A @ C ?e B . Étudier les variations de la fonction = sur l'intervalle [0; +∞[. Calculer la limite de = en +∞ et interpréter le résultat. Résoudre l’inéquation ="8# > 5. Selon ce modèle, en quelle année le nombre de foyers français possédant un téléviseur à écran plat dépassera-t-il 5 millions ? 3 EXERCICE 4 (6 points) On considère la fonction =, définie et dérivable sur l'intervalle ]0; +∞[, et telle que pour tout nombre réel 8, on a : 2 ln"8# + 1 ="8# = . 8 On note =′ sa fonction dérivée et Γ sa courbe représentative dans le repère ci-dessous. Soit B le point de Γ d'abscisse 1 . 1 . Déterminer les coordonnées exactes du point A, point d'intersection de la courbe Γ avec l'axe des abscisses. 2. a) b) c) 3. a) b) . HI"J# Montrer que pour tout réel 8 de l'intervalle ]0; +∞[, on a =′"8# = J B . En déduire les variations de = sur l'intervalle ]0; +∞[. Déterminer les limites de la fonction = aux bornes de son ensemble de définition. Déterminer une équation de la tangente à la courbe Γ au point B d'abscisse 1. Etudier la position de la courbe Γ par rapport à cette tangente. 4. On note K le domaine défini par l'axe des abscisses, la courbe Γ et les droites d'équations 8 = 1 et 8 = 3. a) Par lecture graphique, encadrer par deux entiers l'aire de K, exprimée en unités d'aire. b) On définit la fonction L sur l'intervalle ]0; +∞[ par L"8# = ln"8# × "ln"8# + 1#. Montrer que L est une primitive de = sur l'intervalle ]0; +∞[. Déterminer l'aire de K exprimée en unités d'aire. 5. On note Δ"O# le domaine limité par l'axe des abscisses, la courbe Γ. et les droites d'équation 8 = 1 et 8 = O. a) Démontrer qu'il existe un unique nombre réel O tel que l'aire de Δ"O # soit égale à 10 unités d'aires. b) Déterminer un encadrement d'amplitude 0,01 de ce nombre réel. 4 ANNEXES A RENDRE AVEC LA COPIE NOM : Annexe de l’exercice 2 Annexe de l’exercice 3 5