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Tema 4: Elecci´on intertemporal de consumo y el mercado de cr´edito
Macroeconom´ıa 2014
Universidad Torcuato di Tella
Constantino Hevia
Hasta ahora consideramos un modelo est´atico: Robinson Crusoe nace, trabaja, consume y
muere en el mismo per´ıodo. En esta nota comenzaremos a analizar un modelo din´amico de dos
per´ıodos. Supondremos que hay muchas familias/consumidores que reciben un ingreso ex´
ogeno
(que no depende de su oferta de trabajo) en cada per´ıodo, y que deben decidir cuanto consumir
hoy, cuanto ahorrar y cuanto consumir en el futuro. Comenzamos con el caso m´as simple de
ingresos ex´ogenos ya que nos permite analizar el impacto de cambios en la tasa de inter´es y del
perfil temporal de ingresos del consumidor sin tener que analizar simult´aneamente la oferta de
trabajo. Dejamos el an´
alisis conjunto de la decisi´on intertemporal de consumo y trabajo para la
pr´oxima nota.
Preferencias
Consideremos el problema de un consumidor que vive por dos per´ıodos. El consumidor tiene la
siguiente funci´
on de utilidad por consumo c1 y c2 en los per´ıodos 1 y 2 respectivamente
U (c1 , c2 ) = u (c1 ) + βu (c2 )
(1)
donde u (c) es creciente y c´
oncava, y el par´ametro β > 0 determina el peso que el consumidor le
asigna a la utilidad futura relativo a la utilidad de presente. Usualmente suponemos que β < 1,
lo que significa que el consumidor es impaciente y valora una unidad de utilidad presente m´as que
una futura. Al par´
ametro β lo llamamos el factor de descuento.
La Figura 1 muestra las curvas de indiferencia entre consumo en el per´ıodo 2 y consumo en
el per´ıodo 1. Las curvas de indiferencia tienen pendiente negativa, reflejando que c1 y c2 generan
¯1 < U
¯2 < U
¯3 .
utilidad, y son convexas. Los niveles de utilidad est´an ordenado de tal manera que U
La interpretaci´
on de una curva de indiferencia convexa es que el consumidor prefiere patrones de
consumo “suaves” a trav´es del tiempo. Por ejemplo, considere dos canastas de consumo (c1 , c2 )
¯1 . El punto C es la
representados por los puntos A y B que generan el mismo nivel de utilidad U
canasta de consumo promedio (1/2 de la canasta A y 1/2 de la canasta B) y representa un patr´
on
de consumo m´
as estable a trav´es del tiempo que las canastas A y B. La preferencia por los patrones
¯2 mayor que
estables de consumo se ve reflejada en que la canasta C genera un nivel de utilidad U
¯1 .
U
1
Figura 1: Preferencias sobre consumo presente y futuro
Para probar estos resultados anal´ıticamente, consideremos una curva de indiferencia asociada
¯ . Sobre la curva de indiferencia interpretamos a c2 como una funci´
con el nivel de utilidad U
on de
c1 , por lo que
¯ = u(c1 ) + βu(c2 (c2 )).
U
Si derivamos ambos lados de la igualdad con respecto a c1 obtenemos
0 = u0 (c1 ) + βu0 (c2 (c1 ))
dc2
.
dc1
Por lo tanto, la pendiente de la curva de indiferencia satisface
dc2
u0 (c1 )
=− 0
< 0.
dc1
βu (c2 (c1 ))
Si derivamos la expresi´
on anterior una vez m´as encontramos
"
#
dc2
u00 (c1 )βu0 (c2 (c1 )) − u0 (c1 )βu00 (c2 (c1 )) dc
d2 c2
1
=−
.
d(c1 )2
[βu0 (c2 (c1 ))]2
dc2
dc1 < 0
d2 c2 /dc21
Dado que
y u00 (c) < 0, el t´ermino entre corchetes es negativo, lo que implica que la derivada
segunda
es positiva. Esto es, la curva de indiferencia es convexa.
Restricci´
on presupuestaria y dotaciones
Las familias reciben un ingreso ex´
ogeno (esto es, que no depende de su esfuerzo laboral) de y1 e
y2 bienes de consumo en los per´ıodo 1 y 2 respectivamente. Adem´as, existe un mercado de cr´edito
donde las familias pueden ahorrar o endeudarse en bonos o activos, a los que llamaremos bt (valores
negativos de bt se interpretan como deuda). Los activos pagan una tasa de inter´es real rt . Como
en este modelo no existe el dinero, la tasa de inter´es bruta 1 + rt nos dice cu´antas unidades de
2
bienes recibiremos en el per´ıodo t + 1 si compramos 1 bono en el per´ıodo t. De este modo, si la
familia demanda bt bonos en el per´ıodo t, recibir´a (1 + rt )bt bienes de consumo en el per´ıodo t + 1.
Con esta informaci´
on construimos las restricciones presupuestarias flujo. A estas restricciones le
ponemos el nombre de “flujo” para diferenciarlas de la restricci´on presupuestaria intertemporal que
construiremos m´
as abajo. La restricci´
on presupuestaria flujo en el primer per´ıodo es
c1 + b1 = y1 + (1 + r0 )b0 .
Del mismo modo, la restricci´
on presupuestaria flujo en t = 2 es
c2 + b2 = y2 + (1 + r1 )b1 .
Como el mundo se acaba al final del per´ıodo 2, vamos a imponer la restricci´on de que los consumidores no pueden morir endeudados (¿quien les va a prestar algo de otro modo?). Esto equivale a
agregar la restricci´
on
b2 ≥ 0.
El ahorro en el per´ıodo t, que llamaremos st , consiste en la parte del ingreso total que no se
consume en el per´ıodo t:
st = yt + rt−1 bt−1 −
|
{z
}
ingreso total en t
ct
|{z}
consumo en t
El ingreso total es la suma del ingreso ex´ogeno yt m´as el ingreso financiero rt−1 bt−1 (el inter´es sobre
los activos que el consumidor compr´
o en el per´ıodo anterior). Es importante notar el ahorro st es
una variable flujo y que los activos bt son una variable stock.
Usando la restricci´
on presupuestaria flujo en un per´ıodo t arbitrario,
ct + bt = yt + (1 + rt−1 )bt−1 ,
llegamos a la conclusi´
on de que el ahorro es tambi´en igual al cambio en el stock de activos del
consumidor,
bt = yt + rt−1 bt−1 − ct + bt−1 ,
|
{z
}
st
por lo que
st = bt − bt−1 .
Evidentemente, la parte del ingreso total que no me consumo la uso para aumentar mi stock de
activos.
3
El problema del consumidor y la restricci´
on presupuestaria intertemporal
Volviendo a la elecci´
on de consumo intertemporal, el problema de la familia es
max u(c1 ) + βu(c2 )
c1 ,c2 ,b1 ,b2
sujeto a
c1 + b1 = y1 + (1 + r0 )b0
c2 + b2 = y2 + (1 + r1 )b1
b2 ≥ 0.
Como en este modelo no hay descendientes, nadie va a querer morir con activos por lo que es
´optimo elegir b2 = 0. De este modo, el problema del consumidor se simplifica a
max u(c1 ) + βu(c2 )
c1 ,c2 ,b1
sujeto a
c1 + b1 = y1 + (1 + r0 )b0
c2 = y2 + (1 + r1 )b1 .
Para simplificar la exposici´
on a´
un m´as, supongamos que los consumidores nacen sin activos,
por lo que b0 = 0 (esto no es para nada esencial y todo lo que sigue lo podemos hacer eliminando
este supuesto). Por lo tanto, el problema del consumidor se reduce a
max u(c1 ) + βu(c2 )
c1 ,c2 ,b1
sujeto a
c1 + b1 = y1
(2)
c2 = y2 + (1 + r1 ) b1 .
(3)
Hay dos formas equivalentes de resolver este problema. La primera es construyendo una sola restricci´on presupuestaria, a la que llamaremos intertemporal, que resume el conjunto de posibilidades
de consumo de la familia de todos los per´ıodos en una sola restricci´on. En particular, usando la
restricci´on (2) resolvemos para b1 = y1 − c1 y reemplazamos el resultado en (3) obteniendo
c2 = y1 + (1 + r1 )(y1 − c1 ).
4
Figura 2: Restricci´on presupuestaria intertemporal
Dividimos por 1 + r1 y ordenamos los t´erminos para llegar a
c1 +
c2
y2
= y1 +
.
1 + r1
1 + r1
(4)
La ecuaci´
on (4) es la restricci´
on presupuestaria intertemporal y surge de la posibilidad de
endeudarse o ahorrar la cantidad que se desee a la tasa de inter´es r1 . De hecho, al reemplazar b1
lo que estamos suponiendo es que b1 puede tomar cualquier valor, ya sea positivo o negativo.
La restricci´
on presupuestaria intertemporal nos dice varias cosas importantes. Primero, cuando
existen mercados de cr´edito podemos pensar que el consumidor enfrenta una sola restricci´on presupuestaria. Segundo, bajo esta u
´nica restricci´on presupuestaria intertemporal el valor presente del
consumo (el lado izquierdo de (4)) es igual al valor presente del ingreso (el lado derecho de (4)).1
Tercero, la restricci´
on presupuestaria intertemporal nos dice que el precio relativo del consumo en
el per´ıodo 2 en t´erminos de consumo en el primer per´ıodo es
dejo de consumir
obtengo
1
1+r1
1
1+r1
1
1+r1 .
Y la raz´on es la siguiente: si
unidades de consumo en t = 1 e invierto esa cantidad en el bono, ma˜
nana
× (1 + r1 ) = 1 bienes de consumo. En otras palabras, el mercado de cr´edito me
permiti´o transformar
1
1+r1
unidades de consumo en t = 1 en una unidad de consumo en t = 2. Pero
eso no es otra cosa que la definici´
on de precio relativo. A partir de este razonamiento surge de
inmediato que una suba en la tasa de inter´es real significa que el consumo futuro se hace m´as barato
relativo al consumo presente. La Figura 2 muestra la restricci´on presupuestaria intertemporal en
los ejes (c1 , c2 ). Note que la restricci´
on presupuestaria tiene pendiente − (1 + r1 ) y pasa a trav´es
del punto de dotaci´
on inicial (y1 , y2 ).
El problema del consumidor entonces se reduce al de maximizar la utilidad (1) sujeto a la
1
Si los activos iniciales b0 no son cero debemos agregar el t´ermino (1 + r0 )b0 del lado derecho de (4).
5
restricci´on presupuestaria intertemporal (4). El Lagrangiano de este problema es
L = u (c1 ) + βu (c2 ) − λ c1 +
y2
c2
− y1 −
,
1 + r1
1 + r1
donde λ es el multiplicador de Lagrange de la restricci´on (4). Las condiciones de primer orden son
∂L
= 0 ⇒ u0 (c1 ) = λ
∂c1
∂L
λ
= 0 ⇒ βu0 (c2 ) =
∂c2
1 + r1
y2
∂L
c2
= y1 +
= 0 ⇒ c1 +
∂λ
1 + r1
1 + r1
(5)
(6)
(7)
Sustituyendo (5) en (6) y reorganizando obtenemos
u0 (c1 ) = (1 + r1 ) βu0 (c2 ) .
(8)
La condici´on (8) es muy importante en macroeconom´ıa. Se llama la ecuaci´on de Euler. Distintas versiones de esta ecuaci´
on aparecen constantemente en todos los modelos macroecon´omicos
din´amicos que usamos. Por eso es importante entender su intuici´on econ´omica. Consideremos
reducir el consumo en el per´ıodo 1 en una unidad para comprar un bono y as´ı consumir m´
as en
el futuro. Recordemos que u0 (c1 ) es el valor marginal de incrementar el consumo en el per´ıodo 1
en una unidad. Equivalentemente, una reducci´on del consumo en t = 1 tiene un costo marginal de
u0 (c1 ). Esa unidad de consumo que dej´e de consumir la invierto en un bono que me paga (1 + r1 )
bienes de consumo en t = 2. El valor de un incremento marginal del consumo en el per´ıodo 2 es
u0 (c2 ), por lo que el incremento marginal de la utilidad en t = 2 de los (1 + r1 ) bienes adicionales es
(1 + r1 ) u0 (c2 ). Sin embargo, desde el punto de vista del per´ıodo 1 (que es cuando dejo de consumir
para comprar el bono) el valor marginal de subir c2 a trav´es de esta estrategia es β (1 + r1 ) u0 (c2 ),
ya que el consumidor es impaciente. Un agente actuar´a de manera ´optima cuando el costo marginal
de bajar el consumo en t = 1 sea igual al beneficio marginal de incrementar el consumo en t = 2.
Esto es, la condici´
on (8) se debe cumplir bajo la elecci´on ´optima del consumo.
Con la interpretaci´
on de que
1
1+r1
es el precio relativo entre c2 y c1 , notemos que una forma
alternativa de escribir la ecuaci´
on de Euler (8) es
βu0 (c2 )
1
=
.
0
u (c1 )
1 + r1
El lado izquierdo de la ecuaci´
on es la tasa marginal de sustituci´on entre c2 y c1 , mientras que el
lado derecho de la ecuaci´
on es el precio relativo de c2 en t´erminos de c1 . Por lo tanto, ´esta tambi´en
es la ecuaci´on usual que nos dice que, en el ´optimo, tasas marginales de sustituci´on deben igualarse
a los precios relativos.
Las inc´ognitas del problema del consumidor son c1 y c2 . Las condiciones (4) y (8) constituyen un
6
sistema de dos ecuaciones en dos inc´
ognitas, c∗1 y c∗2 : la elecci´on ´optima debe satisfacer la restricci´
on
presupuestaria intertemporal y la ecuaci´on de Euler. Las demandas ´optimas de consumo presente
y futuro son funciones de la siguiente forma
y2
=
r1 , y1 +
1 + r1
y2
∗
d
c2 = c2 r1 , y1 +
1 + r1
c∗1
cd1
(9)
(10)
¿Por qu´e las demandas son una funci´
on del valor presente de los ingresos en vez de una funci´on donde
y1 e y2 aparecen como argumentos independientes? La raz´on matem´atica es que y1 e y2 siempre
aparecen en la forma y1 +
y2
1+r1 .
Adem´as de la matem´atica, este resultado tiene una importante
intuici´on econ´
omica: el consumo en cada per´ıodo no es u
´nicamente una funci´on del ingreso corriente
de ese per´ıodo sino una funci´
on del valor presente de todos los ingresos, corriente y futuros. Este
resultado, que surge de la posibilidad de usar los mercados de cr´edito para cambiar el patr´
on
temporal del consumo de acuerdo a las preferencias del consumidor, es la base de la teor´ıa moderna
del consumo. Como veremos m´
as adelante, esta teor´ıa del consumo difiere fundamentalmente de la
teor´ıa del consumo keynesiana.
Una vez que encontramos las demandas de consumo en cada per´ıodo, podemos encontrar la
demanda de activos b1 usando la restricci´on presupuestaria flujo en t = 1, b1 = y1 − c1 , o bien
b∗1
=
bd1 (r1 , y1 , y2 )
= y1 −
cd1
r1 , y1 +
y2
1 + r1
.
La demanda de bonos no es u
´nicamente una funci´on del valor presente del ingreso. La intuici´
on es
que si el ingreso corriente es muy alto relativo al ingreso futuro, el consumidor tendr´a incentivos
a ahorrar parte de ese ingreso para transferir parte de su riqueza corriente hacia el futuro. Esto
implica que la demanda de bonos debe ser creciente en y1 .
La Figura 3 muestra la elecci´
on ´
optima de consumo en tres casos diferentes. El gr´afico de la
izquierda nos muestra una situaci´
on donde el consumidor elige una canasta de consumo que satisface
c1 < y1 , por lo que el consumo en el primer per´ıodo es menor a su ingreso. La diferencia entre
el consumo y el ingreso es la acumulaci´on de activos b∗1 > 0. El ahorro positivo del consumidor
le permite financiar un consumo futuro c2 mayor a su dotaci´on futura y2 . El gr´afico del medio
nos muestra la situaci´
on opuesta, donde c1 es mayor que y1 . El mercado de cr´edito le permite al
consumidor financiar ese mayor consumo corriente endeud´andose en la cantidad b∗1 = y1 − c1 < 0.
En el segundo per´ıodo el consumo c2 es menor al ingreso y2 . La diferencia es el pago del principal
m´as los intereses de la deuda tomada en el primer per´ıodo capturado por el t´ermino b∗1 (1 + r1 ) < 0.
Finalmente, el gr´
afico de la derecha nos muestra una situaci´on donde el consumidor no es ni
acreedor ni deudor: elige consumir su dotaci´on de bienes en cada per´ıodo. Note que la existencia
de mercados de cr´edito le permite al consumidor obtener un nivel de utilidad mayor a si estuviese
forzado a consumir su ingreso ex´
ogeno en cada per´ıodo.
7
Figura 3: Decisi´on de consumo intertemporal
Ejemplo: funci´
on de utilidad logar´ıtmica
Supongamos que la funci´
on de utilidad es logar´ıtmica
u(c) = ln(c).
En este caso, u0 (c) = 1/c, por lo que la ecuaci´on de Euler (8) viene dada por
1
1
= (1 + r1 )β
c1
c2
o,
c2 = β(1 + r1 )c1 .
(11)
Reemplazando esta condici´
on en la restricci´on presupuestaria intertemporal y resolviendo para c1
encontramos
c2
y2
= y1 +
1 + r1
1 + r1
β(1 + r1 )c1
y2
c1 +
= y1 +
1 + r1
1 + r1
y2
(1 + β)c1 = y1 +
1 + r1
c1 +
o bien,
1
y2
c1 =
y1 +
1+β
1 + r1
(12)
por lo tanto,
c2 =
β
[y1 (1 + r1 ) + y2 ]
1+β
8
(13)
La demanda de bonos es
bd1 = y1 − c1
1
y2
= y1 −
y1 +
1+β
1 + r1
y2
β
1
.
=
y1 −
1+β
1 + β 1 + r1
o bien
bd1
β
y2
=
y1 −
1+β
β (1 + r1 )
(14)
Como vemos, la demanda de bonos aumenta cuando sube el ingreso corriente y disminuye (o sube
el endeudamiento) cuando sube el ingreso futuro.
Forma equivalente de resolver el problema del consumidor
Arriba mencionamos que hab´ıa dos maneras equivalentes de resolver el problema del consumidor.
La segunda es escribiendo el Lagrangiano con las dos restricciones presupuestarias flujo (2) y (3).
Llamemos λ1 y λ2 a los multiplicadores de Lagrange de esas dos restricciones. Entonces podemos
escribir el siguiente Lagrangiano
L = u (c1 ) + βu (c2 ) − λ1 [c1 + b1 − y1 ] − λ2 [c2 − y2 − (1 + r1 ) b1 ]
donde la maximizaci´
on se hace eligiendo consumo presente y futuro, c1 y c2 , y la demanda de
activos b1 . Las condiciones de primer orden de este problema son
∂L
∂c1
∂L
∂c2
∂L
∂b1
∂L
∂λ1
∂L
∂λ2
= 0 ⇒ u0 (c1 ) = λ1
(15)
= 0 ⇒ βu0 (c2 ) = λ2
(16)
= 0 ⇒ λ1 = λ2 (1 + r1 )
(17)
= 0 ⇒ c1 + b1 = y1
(18)
= 0 ⇒ c2 = y2 + (1 + r1 ) b1
(19)
Sustituyendo (15) y (16) en (17) encontramos la ecuaci´on de Euler
u0 (c1 ) = (1 + r1 ) βu0 (c2 ) .
Usando (18) y (19) podemos recuperar la restricci´on presupuestaria intertemporal
c1 +
c2
y2
= y1 +
,
1 + r1
1 + r1
9
que, junto con la ecuaci´
on de Euler, forman el mismo sistema de dos ecuaciones en las dos inc´ognitas
c1 y c2 que encontramos arriba.
An´
alisis de cambios en los ingresos y en la tasa de inter´
es
Analizaremos el impacto sobre el patr´
on de consumo intertemporal de los siguientes cambios:
• Cambio temporario del ingreso: sube y1 e y2 no cambia
• Cambio esperado del ingreso futuro: y1 no cambia e y2 sube
• Cambio permanente del ingreso: suben y1 e y2 en la misma cantidad
• Aumento de la tasa de inter´es real r1
En todos los casos supondremos que antes del cambio la demanda ´optima de bonos era b∗1 = 0, por
lo que el consumidor no era ni deudor ni acreedor. Tambi´en supondremos que tanto c1 como c2 son
bienes normales. Esto es, el consumidor decidir´a demandar m´as de ambos bienes ante un cambio
que genere un aumento de su riqueza.
Suba temporaria del ingreso corriente: ↑ y1 , y¯2
La Figura 4 muestra la canasta ´
optima de consumo cuando el ingreso del per´ıodo 1 sube de y1 a yˆ1
y el ingreso en el segundo per´ıodo no cambia. La elecci´on ´optima inicial es en el punto A, donde el
consumidor no es deudor ni acreedor. Luego del aumento del ingreso corriente, el punto de dotaci´
on
se mueve de A hacia B. Llamemos ∆y1 = yˆ1 − y1 > 0 al cambio en el ingreso. Si el consumidor
usase todo ese ingreso adicional para aumentar el consumo en el primer per´ıodo, la canasta de
consumo ser´ıa la del punto B. Sin embargo, como c1 y c2 son bienes normales, el consumidor usar´
a
su mayor riqueza para consumir m´
as de ambos bienes. La canasta de consumo ´optima se encuentra
en el punto C, que consiste en incrementar c1 en una cantidad menor a la suba del ingreso ∆y1 . La
diferencia entre los cambios del ingreso y del consumo se asigna a acumular activos para financiar
un mayor consumo futuro. En otras palabras, el consumidor ahorra parte de su mayor ingreso para
suavizar su sendero de consumo intertemporal.
Consideremos el ejemplo con utilidad logar´ıtmica. Usando que ∆y2 = 0 y ∆y1 > 0, las demandas
(12), (13) y (14) implican los siguientes cambios para el consumo y el ahorro
∆c∗1
1
∆y2
∆y1
=
∆y1 +
=
< ∆y1
1+β
1 + r1
1+β
β
β (1 + r1 )
[∆y1 (1 + r1 ) + ∆y2 ] =
∆y1 > 0
1+β
1+β
β
∆y2
β∆y1
∗
∆y1 −
> 0.
∆b1 =
=
1+β
β (1 + r1 )
1+β
∆c∗2 =
10
Figura 4: Aumento temporario del ingreso
Naturalmente, si dividimos las ecuaciones anteriores por ∆y1 obtenemos las derivadas parciales de
c1 , c2 y b1 con respecto a un cambio en el ingreso corriente y1 manteniendo constante el ingreso
futuro,
∂c∗1
1
<1
=
∂y1
1+β
∂b∗1
β
=
<1
∂y1
1+β
∂c∗2
β (1 + r1 )
=
>0
∂y1
1+β
Las primera derivada nos dice que un aumento de una unidad del ingreso corriente lleva a un
aumento en el consumo c1 menor a una unidad. La diferencia β/ (1 + β) se ahorra lo que genera
un ingreso adicional en el segundo per´ıodo de
β (1 + r1 )
1+β
que se usa para aumentar el consumo futuro.
Suba esperada del ingreso futuro: y¯1 , ↑ y2
Este caso se muestra en la Figura 5. La dotaci´on de ingresos se mueve del punto A al punto B, con
∆y2 = yˆ2 − y2 > 0 y ∆y1 = 0. Como en el caso anterior, la normalidad de c1 y c2 implica que
la mayor riqueza esperada en el futuro se distribuye en un aumento de los dos consumos c1 y c2 ,
11
Figura 5: Aumento del ingreso futuro
representado por la canasta del punto C. Como el ingreso en t = 1 no cambi´o, el consumidor debe
endeudarse (b∗1 < 0) para financiar el mayor consumo corriente. Al tener que repagar la deuda en
el futuro, el consumo cˆ2 ser´
a menor al ingreso futuro yˆ2 , siendo la diferencia el pago de la deuda
que tom´o en el primer per´ıodo incluyendo los intereses, b∗1 (1 + r1 ) .
En el ejemplo con utilidad logar´ıtmica tenemos
∆c∗1
1
∆y2
∆y2
1
=
∆y1 +
=
>0
1+β
1 + r1
1 + β 1 + r1
β
∆y2
[∆y1 (1 + r1 ) + ∆y2 ] =
>0
1+β
1+β
∆y2
−∆y2
β
∗
∆b1 =
∆y1 −
=
< 0.
1+β
β (1 + r1 )
(1 + β) (1 + r1 )
∆c∗2 =
Suba permanente en el ingreso: ↑ y1 , ↑ y2 en la misma cantidad, ∆y1 = ∆y2
Supongamos que el ingreso del consumidor sube de manera permanente: y1 e y2 se incrementan
en la misma cantidad.2 La intuici´
on que brindamos en los casos anteriores es que el consumidor
busca consumir una canasta de consumo estable a trav´es del tiempo suavizando su perfil de ingresos
temporales a trav´es del mercado de cr´edito. Por ejemplo, si hay un aumento u
´nicamente del ingreso
2
Si los ingresos aumentasen en la misma proporci´
on en vez de en la misma cantidad, podemos hacer un argumento
similar (aunque no id´entico) al que sigue.
12
Figura 6: Aumento permanente del ingreso ∆y1 = ∆y2 > 0
corriente, el consumo hoy aumenta pero en una cantidad menor a la suba del ingreso. Sin embargo,
cuando la suba del ingreso es permanente, esto es, cuando sube el ingreso corriente y el futuro
en la misma cantidad, ya no hay motivos de cambiar el ahorro pues no cambi´o el perfil relativo
de los ingresos a trav´es del tiempo. Entonces, es de esperar que el consumo corriente aumente
en aproximadamente la misma cantidad de lo que subi´o el ingreso. En efecto, como el ingreso
futuro sube en la misma cantidad que el ingreso presente, no ser´a necesario cambiar el ahorro para
financiar un mayor consumo futuro. La Figura 6 muestra esta situaci´on. Al subir el ingreso de
manera permanente, el consumidor podr´a aumentar su consumo de ambos per´ıodos en la misma
cantidad. Puesto que el ingreso y consumo corrientes suben aproximadamente en la misma cantidad,
el ahorro en el primer per´ıodo se mantendr´a aproximadamente constante (en el gr´afico se mantiene
en cero). En s´ımbolos, ∆c1 ≈ ∆y1 y ∆c2 ≈ ∆y2 , por lo que ∆b∗1 ≈ 0.
En lo que sigue explicaremos por qu´e usamos la palabra “aproximadamente” para describir los
cambios. Discutiremos bajo qu´e circunstancias el cambio en el consumo es exactamente igual al
cambio en el ingreso cuando la suba del u
´ltimo es permanente y argumentaremos que aun si no son
iguales, ser´an muy parecidos. Consideremos la ecuaci´on de Euler del consumo
u0 (c1 ) = β(1 + r1 )u0 (c2 )
Si suponemos que β(1+r1 ) = 1, la ecuaci´on anterior se reduce a u0 (c1 ) = u0 (c2 ). Como la funci´
on de
utilidad es c´
oncava, u0 (c) es decreciente, por lo que la igualdad de utilidades marginales implica que
c1 = c2 . Esto es, cuando β(1 + r1 ) = 1 es ´optimo mantener un sendero de consumo completamente
estable a trav´es del tiempo. Usando este resultado en la restricci´on presupuestaria intertemporal
encontramos
c1 +
c1
y2
= y1 +
1 + r1
1 + r1
13
o bien
c1 =
1 + r1
2 + r1
y1 +
y2
1 + r1
Supongamos ahora que los ingresos corriente y futuro se incrementan en la misma cantidad δ. Esto
es, yˆ1 = y1 + δ y yˆ2 = y2 + δ. Despu´es del cambio del ingreso, el consumo del primer per´ıodo es
1 + r1
yˆ2
cˆ1 =
yˆ1 +
2 + r1
1 + r1
1 + r1
y2 + δ
=
y1 + δ +
2 + r1
1 + r1
1 + r1
y2
=
y1 +
+δ
2 + r1
1 + r1
Pero el primer t´ermino de esa ecuaci´
on es el nivel de consumo antes del cambio permanente en el
ingreso, por lo que
cˆ1 = c1 + δ
Esto muestra que el consumo y el ingreso presente aumentan en la misma cantidad δ. Como el
consumo futuro es igual al presente, el consumo futuro tambi´en sube en la cantidad δ. Con esto
terminamos la prueba de que si β(1 + r1 ) = 1 , entonces ∆c1 = ∆y1 , ∆c2 = ∆y2 , y ∆b1 = 0. Si bien
β(1 + r1 ) = 1 es un supuesto fuerte, estimaciones de la tasa de preferencia temporal β implican
que el t´ermino β(1 + r1 ) es bastante cercano a 1. Por lo tanto, podemos suponer que cambios
permanentes en el ingreso efectivamente se consumen en su totalidad, mientras que aumentos
temporarios tienden a ahorrarse en gran parte.
Consideremos el ejemplo con funci´
on de utilidad logaritmica que genera la demanda
c1 =
1
1+β
y1 +
y2
1 + r1
y supongamos un aumento permanente en el ingreso yˆ1 = y1 + δ1 e yˆ2 = y2 + δ2 con δ1 = δ2 = δ.
De este modo
1
cˆ1 =
1+β
y2 + δ2
y1 + δ1 +
1 + r1
(20)
por lo que, definiendo ∆c1 = cˆ1 − c1 , y usando δ1 = δ2 = δ
∆c1 =
1
1+β
δ+
δ
1 + r1
=
1
1+β
2 + r1
1 + r1
δ
De este modo, si el ingreso aumenta de manera permanente en 1 peso, δ = 1, tenemos
1
∆c1 =
1+β
2 + r1
1 + r1
Pongamos algunos n´
umeros: supongamos β = 0.98 y una tasa de inter´es real del 4%, r1 = 0.04.
En este caso ∆c1 = 0.99.
14
Figura 7: Aumento en la tasa de inter´es r1 : Deudor
Por otro lado, supongamos ahora que solo aumenta el ingreso corriente en $1 pero el ingreso
futuro no cambia. La demanda de consumo (20) evaluada en δ1 = 1 y δ2 = 0 implica
∆c1 =
1
≈ 0.5.
1+β
Esto es, se ahorra aproximadamente la mitad del ingreso corriente para aumentar el consumo futuro.
Suba en la tasa de inter´
es ↑ r1
El resultado de un aumento en la tasa de inter´es depender´a si, luego del cambio, el consumidor
termina siendo deudor o acreedor. Un aumento en la tasa de inter´es se refleja en una rotaci´
on de
la restricci´on presupuestaria en el sentido de las agujas del reloj sobre la dotaci´on inicial (y1 , y2 ).
Un cambio en la tasa de inter´es tiene dos efectos. Por un lado, la suba de r1 implica una ca´ıda del
precio relativo del consumo futuro en t´erminos de consumo corriente (recordemos que este precio
relativo es
1
1+r1 ).
Este cambio en el precio relativo genera un efecto sustituci´on que implica una
suba del consumo futuro y una ca´ıda del consumo corriente. El segundo efecto del cambio en la
tasa de inter´es es el efecto riqueza, cuyo signo depender´a de si el consumidor es deudor o acreedor.
Las Figuras 7 y 8 muestran ambos casos.
Consideremos la Figura 7. El punto de dotaci´on est´a marcado con la letra D y la canasta ´optima
de consumo original est´
a marcada en el punto A, donde el consumidor es deudor, c∗1 > y1∗ . La suba
de la tasa de inter´es se refleja como una rotaci´on de la restricci´on presupuestaria sobre el punto D
y la canasta ´
optima luego del cambio en r1 est´a marcada en el punto F. Para encontrar el efecto
sustituci´on desplazamos la nueva restricci´on presupuestaria en forma paralela hacia arriba de modo
que sea tangente a la curva de indiferencia original, lo que ocurre en el punto S. En relaci´on a la
canasta original, sube el consumo futuro cs2 > c∗2 y cae el consumo presente cs1 < c∗1 , reflejando la
ca´ıda del precio relativo del primero. Sin embargo, como el consumidor es deudor, sufre un efecto
15
riqueza negativo pues sube el costo financiero de su deuda. El efecto riqueza negativo implica una
ca´ıda de c1 y de c2 en relaci´
on a la canasta del efecto sustituci´on S. El efecto final es que c1 cae,
pues los efectos sustituci´
on e ingreso se refuerzan, pero el consumo futuro c2 puede subir o bajar:
el efecto sustituci´
on implica una suba de c2 , mientras que el efecto riqueza implica una disminuci´
on
de c2 . En el ejemplo de la Figura 7 domina el efecto sustituci´on y c2 sube.
Figura 8: Aumento en la tasa de inter´es r1 : Acreedor
La Figura 8 muestra el caso de un acreedor. Como en el caso anterior, el punto de dotaci´
on
inicial est´a en el punto D, la canasta ´
optima inicial est´a en el punto A y la canasta de consumo final
es la del punto F. En la posici´
on final el consumidor es acreedor. La canasta que refleja el efecto
sustituci´on se encuentra en el punto S que, al igual que en el caso anterior, implica una suba del
consumo futuro c2 y una disminuci´
on del consumo presente c1 . El desplazamiento de la canasta S
a la canasta F refleja el efecto riqueza. Al ser acreedor, la suba en la tasa de inter´es incrementa
el ingreso financiero del agente. Como los dos bienes son normales, el efecto riqueza implica que
tanto c1 como c2 suben. El efecto final sobre c1 es ambiguo: cae debido al efecto sustituci´on pero
sube debido al efecto riqueza. El gr´
afico muestra un ejemplo donde el efecto riqueza domina al
efecto sustituci´
on. En el caso del consumo futuro, tanto el efecto sustituci´on como el efecto riqueza
implican una suba de c2 .
La demanda del consumidor representativo de la econom´ıa
El an´alisis anterior muestra que el efecto final de un aumento en la tasa de inter´es r1 sobre la
canasta de consumo depende de si el consumidor es acreedor o deudor. Sin embargo, si estamos
considerando una econom´ıa cerrada (que no comercia con el resto del mundo) y nos interesa el
comportamiento agregado de la econom´ıa, entonces podemos ser m´as espec´ıficos. En el agregado
tiene que ser cierto que si alguien debe 100 pesos hay otra persona que es acreedora de esos 100
pesos. Por lo tanto, el consumidor “promedio” de la econom´ıa no es ni deudor ni acreedor. Esto
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implica que para el consumidor promedio no existe el efecto riqueza ante cambios en la tasa de
inter´es y podemos enfocarnos u
´nicamente en el efecto sustituci´on. En este caso podemos dibujar una
curva de demanda de consumo corriente como funci´on de la tasa de inter´es como las que aparecen
en la Figura 9. Aumentos temporarios y permanentes del ingreso desplazan la curva de demanda
de bienes hacia la derecha. La diferencia entre los dos casos est´a en el tama˜
no del desplazamiento.
Si el aumento del ingreso es temporario, la curva de demanda se desplaza en una cantidad menor
al aumento del ingreso, ∆c1 (r) < ∆y1 , mientras que si el cambio del ingreso es permanente, la
curva de demanda se desplaza en aproximadamente la misma cantidad que el aumento del ingreso,
∆c1 (r) ≈ ∆y1 .
Figura 9: Demanda de consumo: consumidor representativo
Finalmente, es importante notar que el consumidor promedio no es deudor ni acreedor solo en
el caso de una econom´ıa cerrada. Cuando analicemos el caso de una econom´ıa abierta a los flujos
de bienes y de capital, el consumidor promedio podr´a endeudarse o prestar al resto del mundo. En
este caso, el efecto riqueza ante cambios en la tasa de inter´es puede ser importante.
Comparaci´
on con la teor´ıa keynesiana tradicional del consumo
La diferencia en la respuesta del consumo ante cambios transitorios versus permanentes del ingreso
es un componente fundamental de nuestra teor´ıa del consumo. Una manera de medir el cambio del
consumo corriente cuando sube el ingreso corriente es la llamada propensi´on marginal al consumo
que, en t´erminos matem´
aticos, es la derivada del consumo con respecto al ingreso del mismo per´ıodo,
PMC =
dct
.
dyt
A diferencia de la teor´ıa de consumo que analizamos arriba, Keynes argument´o que el consumo
satisface los siguientes patrones de comportamiento:
1. el consumo depende principalmente del ingreso corriente,
2. cuando el ingreso aumenta en $1, el consumo aumenta en menos de $1, y
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3. cuando aumenta su ingreso, el consumidor ahorra una proporci´on mayor del mismo.
Una funci´on de consumo usual que satisface los tres requisitos anteriores es la siguiente:
ct = A + Byt
(21)
donde A > 0 es el componente aut´
onomo del consumo y 0 < B < 1 es la propensi´on marginal
al consumo. Es evidente que los supuestos anteriores sobre A y B implican que la funci´on (21)
satisface las primeras dos condiciones que postul´o Keynes. Para comprobar que la tercera condici´
on
tambi´en se cumple, computemos la tasa de ahorro cuando la funci´on de consumo es (21),
st
yt − ct
yt − A − Byt
B
=
=
=1−A− .
yt
yt
yt
yt
Claramente esta expresi´
on es creciente en el ingreso del consumidor, probando as´ı que el tercer
requisito tambi´en se cumple.
Usualmente se estima que la PMC de la funci´on de consumo keynesiana, B, es alrededor de 0.8.
Esto es, por cada peso que sube el ingreso corriente, el consumidor asigna alrededor de 80 centavos
al consumo, independientemente de si el aumento del ingreso es temporario o permanente. Nuestra
teor´ıa del consumo nos dice que la PMC ante un cambio permanente del ingreso es cercana a 1,
mientras que la PMC ante un cambio temporario del ingreso es mucho menor. Esta diferencia es
particularmente importante en modelos con m´as de dos per´ıodoss, donde un aumento temporario
del ingreso corriente se distribuye en el consumo de muchos per´ıodos.
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