Hoja de ejercicios 4
Macroeconom´ıa IV: Crecimiento Econ´omico
Abril 2015
C 1−σ
t
1. Considere la funci´
on de utilidad u(Ct ) = 1−σ
. Calcule el valor de la elasticidad intertemporal de sustituci´
on para esta forma funcional. Considere adem´as los casos particulares en
los que σ = 0 y σ = 1. ¿Qu´e funciones representan? ¿Cu´al es la elasticidad intertemporal
de sustituci´
on para estas funciones?
2. Considere el modelo de Ramsey en el que el individuo toma decisiones sobre el tiempo que
dedica a trabajar. En este caso la funci´on de utilidad del individuo viene representada de
la forma u(ct , lt ) donde lt es la cantidad de ocio que consume en el periodo t. El individuo
posee una unidad de tiempo y por lo tanto el tiempo que dedica a trabajar es 1 − lt . En
este caso la funci´
on de producci´on viene dada por F (Kt , 1 − lt ).
a) Enuncie el problema del consumidor y construya el lagrangiano correspondiente.
b) Calcule las condiciones de primer orden.
c) Escriba la ecuaci´
on de Euler y la ecuaci´on que relaciona el consumo y el ocio en un
periodo concreto.
d) Considere ahora un impuesto sobre los rendimientos del trabajo. Estudie como afectan
al equilibrio del modelo.
3. Considere un variante del modelo de Ramsey estudiado en clase en la que los dos bienes
de la econom´ıa, consumo e inversi´on, se producen en dos sectores distintos. En el sector
θ
(Act nct )1−θ mientras que en el
del bien de consumo la funci´
on de producci´on es Ct = kct
θ
1−θ
sector que produce el bien de inversi´on es It = kit (Ait nit ) . Asuma que los factores de
producci´
on se pueden mover libremente de un sector a otro de la econom´ıa de forma que
el capital total es Kt = kct + kit y el trabajo 1 = nct + nit . Todo esto implica que los
precios del consumo y de la inversi´on no son necesariamente iguales. Sea Pt el precio del
bien de consumo en t´erminos del bien de inversi´on y sean Rt y Wt los precios del factor
capital y trabajo respectivamente.
a) Enuncie el problema de maximizaci´on de beneficios de las dos empresas de la econom´ıa
y calcule los precios de equilibrio para el capital y el trabajo. ¿Son iguales en los dos
sectores? ¿Porqu´e?
b) Utilizando las condiciones de primer orden obtenidas en el apartado anterior calcule los
ratios capital-trabajo en cada sector. ¿Qu´e puede decir sobre el ratio capital-trabajo
agregado?
c) Utilizando los resultados de los dos apartados anteriores calcule el precio del consumo
como funci´
on de Ait y Act . Con este resultado derive el valor de Pt Ct como funci´on
de Kt , Ait y nct .
d) Demuestre que la producci´on agregada Yt = It + Pt Ct se puede expresar como una
funci´
on de producci´
on agregada Yt = Ktθ A1−θ
it .
e) Considere el problema de la familia representativa
max
{Ct ,Kt+1 }∞
t=0
1
∞
X
t=0
β t log(Ct )
sujeta a la restricci´
on
Pt Ct + Kt+1 = (1 − δ + Rt )Kt + Wt .
Calcule las condiciones de primer orden y la ecuaci´on de Euler.
4. El modelo AK. Considere el modelo de Ramsey en tiempo discreto estudiado en clase
con la diferencia de que la funci´on de producci´on es ahora F (Kt , L) = AKt donde la
poblaci´
on est´
a normalizada y por lo tanto L = 1. Suponga adem´as que la funci´on de
Ct1−σ
.
utilidad es u(Ct ) = 1−σ
a) Calcule las condiciones de primer orden y la ecuaci´on de Euler. Sustituya la funci´on
de utilidad y halle la tasa de crecimiento del consumo y del capital. Establezca los
valores de los par´
ametros que garantizan que la tasa de crecimiento sea positiva y
determine si existe un estado estacionario.
b) Determine las restricciones que se deben imponer a los par´ametros del modelo para
que se cumpla la condici´
on de transversalidad.
c) Calcule la tasa de ahorro y estudie si es posible influirla mediante medidas de pol´ıtica
econ´
omica.
d) Estudie la din´
amica de transici´on del modelo.
5. Considere el modelo de Ramsey estudiado en clase. El gobierno establece un impuesto
sobre la renta τY , impuestos sobre el trabajo τL (de suma fija), suministra una transferencia
de suma fija por la cantidad T Rt y compra bienes y servicios por la cantidad gt . La funci´on
de producci´
on es F (Kt , L) = AKtα Lα . Las familias maximizan la funci´on de utilidad
Z ∞
max
e−ρt u(Ct )
∞
{Ct }t=0
t=0
sujeta a la restricci´
on presupuestaria
Ct + It = (1 − τY )(wt L + rt Kt ) − τL + T Rt
y a la ley de movimiento del capital. Suponga que el gobierno dedica el dinero recaudado
a fiestas nocturnas en las que se quema el dinero recaudado en grandes hogueras, lo que
no reporta ninguna utilidad a las familias ni tampoco tiene ning´
un efecto sobre la funci´on
de producci´
on. El resto de los ingresos p´
ublicos se dedica a transferencias de suma fija a
las familias.
a) Escriba la restricci´
on presupuestaria del gobierno.
b) Calcule las condiciones de primer orden del problema de las familias y dibuje el diagrama de fases del modelo.
c) Dibuje el diagrama de fases cuando el gobierno sorprende a las familias con un aumento de τY y gt . Determine que ocurre con los valores de las variables en el estado
estacionario.
d) Suponga ahora que en vez de subir el impuesto sobre la renta sube le impuesto sobre
el trabajo τL .
e) Asuma ahora que la funci´
on de producci´on es la del modelo AK considerado en el problema anterior, adem´
as el gobierno ha recapacitado sobre el uso que da a los ingresos
p´
ublicos y los dedica a programas de formaci´on e investigaci´on que hacen que el valor
de la productividad A aumente. Establezca las consecuencias de estas pol´ıticas sobre las tasas de crecimiento del consumo y del capital y diga si son permanentes o
transitorias. Comop´
arelas con lo que ocurrir´ıa si la funci´on de producci´on es una
Cobb-Douglas.
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6. Considere el modelo de Ramsey y suponga que la funci´on de utilidad es u(Ct ) = ln(Ct ),
la funci´
on de producci´
on es F (Kt , L) = Ktα L1−α y que δK = 1.
a) Calcule las condiciones de primer orden, la ecuaci´on de Euler y la restricci´on de recursos.
b) Para este ejemplo concreto se puede demostrar que las sendas de equilibrio del sistema
vienen dadas por
Kt+1 = αβKtα L1−α
(1)
Ct = (1 − αβ)Ktα L1−α
(2)
Demuestre que (1)-(2) describen la senda de equilibrio del sistema, para ello basta con
verificar que satisfacen la ecuaci´on de Euler, la restricci´on de recursos y la condici´on
de transversalidad.
c) Por u
´ltimo, demuestre que la tasa de ahorro en este ejemplo es constante en todos los
periodos igual a
st = αβ.
7. Considere el modelo de Ramsey con un impuesto sobre el consumo τC y un subsidio a la
inversi´
on τI . (Notacionalmente asuma que τI > 0). El gobierno dedica los ingresos del
impuesto sobre el consumo a financiar los gastos del subsidio a la inversi´on. Asuma que los
ingresos del gobierno son siempre mayores o iguales que los gastos derivados del subsidio,
adem´
as, si los ingresos son mayores se devuelve el excedente a los hogares en forma de
transferencias. Conteste razonadamente a las siguientes preguntas.
a) Escriba la restricci´
on presupuestaria del gobierno y de las familias.
b) Enuncie el problema del consumidor y de la empresa en el marco de un equilibrio
competitivo.
c) Calcule la ecuaci´
on de Euler y enuncie las otras dos condiciones que definen la senda
de equilibrio.
d) Calcule el nivel del subsidio a la inversi´on que hace que las familias ahorren en el estado
estacionario la cantidad de la regla de oro del modelo de Solow.
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