Chapitre 11- Trigonométrie Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d’Alexandrie Index 1 page 286................................................................................................................................................. 2 2 page 286................................................................................................................................................. 2 3 page 287................................................................................................................................................. 3 24 page 300............................................................................................................................................... 4 26 page 301............................................................................................................................................... 5 27 page 301............................................................................................................................................... 5 29 page 301............................................................................................................................................... 6 32 page 301............................................................................................................................................... 8 33 page 301............................................................................................................................................... 8 38 page 302............................................................................................................................................... 8 39 page 302............................................................................................................................................. 13 40 page 302............................................................................................................................................. 14 44 page 302............................................................................................................................................. 15 45 page 302............................................................................................................................................. 16 46 page 302............................................................................................................................................. 16 48 page 302............................................................................................................................................. 16 51 page 302............................................................................................................................................. 17 « Le savoir n'est jamais inutile. Seulement il se trouve qu'il faut apprendre un tas de choses inutiles avant de comprendre les choses utiles » Jørn Riel in La maison de mes pères 1/17 chap_11_site.odt 29/05/15 Chapitre 11- Trigonométrie Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d’Alexandrie 1 page 286 2 page 286 Points I réels 0 J π 2 I' A π 6 B π 4 C π 3 M Longueur de l'arc (la plus courte) 0 π 2 π 6 π 4 π 3 x mesure de l'angle en ° 0 90 180 30 45 60 180 x π mesure de 0 π 2 π 6 π 4 π 3 x x « Le savoir n'est jamais inutile. Seulement il se trouve qu'il faut apprendre un tas de choses inutiles avant de comprendre les choses utiles » Jørn Riel in La maison de mes pères 2/17 chap_11_site.odt 29/05/15 Chapitre 11- Trigonométrie Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d’Alexandrie l'angle en radians 3 page 287 M (x ; y) 10 image du réel t (graduation sur le cercle trigonométrique ) M 1 (−x ;− y) image du réel + t M 2 ( x ;− y) image du réel –t M 3 (−x ; y ) image du réel – t Or, cos(t) = x et sin(t) = y. cos(−t)=cos( t) point M par rapport à M . {sin(−t)=−sin (t) π)=−cos (t) point M par rapport à M . {cossin (t+ (t+ π)=−sin(t ) (t) point M par rapport à M . {cossin(π−t)=−cos (π−t)=sin (t) 2 0 1 0 3 π image du réel 2 −t 2- M 4 (y ; x) cos π −t =sin (t) 2 π sin −t =cos (t) 2 { ( ( 0 ) ) On retrouve les propriétés des angles complémentaires. « Le savoir n'est jamais inutile. Seulement il se trouve qu'il faut apprendre un tas de choses inutiles avant de comprendre les choses utiles » Jørn Riel in La maison de mes pères 3/17 chap_11_site.odt 29/05/15 Chapitre 11- Trigonométrie Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d’Alexandrie 24 page 300 π a) (⃗ OI , ⃗ OJ ) = 2 + 2k ; k ℤ, π c) (⃗ OB , ⃗ OE ) = 2 + 2k ; k ℤ, π e) (⃗ OC , ⃗ OI ) = – 3 + 2k ; k ℤ, π b) (⃗ OL , ⃗ OK ) = – 2 + 2k ; k ℤ π d) (⃗ OE ' , ⃗ OL) = 4 + 2k ; k ℤ, π f) (⃗ OC ' ,⃗ OD ' ) = – 3 + 2k ; k ℤ, Quelques calculs, les points sont repérés par I 0 A π 6 B π 4 C π 3 J π 2 D E F K 2π 3 3π 4 5π 6 F' – 5π 6 E' – 3π 4 D' – 2π 3 L π –2 C' B' A' π π π –3 –4 –6 Une mesure de ….. Les autres mesures sont obtenus à partir d'une mesure en faisant + 2k ; k ℤ. π π π 3π a) (⃗ OI , ⃗ OJ ) = 2 – 0 = … b) (⃗ OL , ⃗ OK ) = – 2 – = … c) (⃗ OB , ⃗ OE ) = 4 - 4 = ... π π 3π d) (⃗ – (– 2 ) = ... e) (⃗ OE ' , ⃗ OL) = – OC , ⃗ OI ) = 0 - 3 = ... 4 π 2π f) (⃗ – (– 3 ) = ... OC ' ,⃗ OD ' ) = – 3 « Le savoir n'est jamais inutile. Seulement il se trouve qu'il faut apprendre un tas de choses inutiles avant de comprendre les choses utiles » Jørn Riel in La maison de mes pères 4/17 chap_11_site.odt 29/05/15 Chapitre 11- Trigonométrie Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d’Alexandrie 26 page 301 Les autres mesures sont obtenus à partir d'une mesure en faisant + 2k ; k ℤ. π a) (⃗ AB , ⃗ AC ) = 3 (modulo 2) π 5π b) (⃗ ou (modulo 2) CB , ⃗ CA) = – 3 (modulo 2) 3 π 5π c) (⃗ ou (modulo 2) AB , ⃗ CB) = – 3 (modulo 2) 3 2π 4π d) (⃗ (modulo 2) ou (modulo 2) BA , ⃗ AC ) = – 3 3 Compléments : On dit que ABC est un triangle équilatéral direct (on lit ABC en tournant dans le sens direct). En écrivant ABCAB … toujours dans le même ordre, on a l'écriture des angles orientés dans le sens positif π D'où, ici : (⃗ AB , ⃗ AC ) = (⃗ BC , ⃗ BA) = (⃗ CA , ⃗ CB) = 3 (modulo 2) (⃗ CB , ⃗ CA) = – (⃗ CA , ⃗ CB) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ = AC = – ⃗ ( AB , CB) ( AB , AC ) + (⃗ AC , ⃗ CB ) et (⃗ AC , ⃗ CB ) = (⃗ CA , ⃗ CB) + (puisque ⃗ CA ) π π 2π = 3 + 3 +π = + π =… 3 π AC ) = (⃗ (⃗ BA , ⃗ AC ) = (– ⃗ AB , ⃗ AC ) + = 3 + = …. AB , ⃗ ( ) 27 page 301 π a) (⃗ CD , ⃗ CA) = 4 (modulo 2) 3π b) (⃗ (modulo 2) BC , ⃗ OB) = – 4 ou 5π (modulo 2) 4 « Le savoir n'est jamais inutile. Seulement il se trouve qu'il faut apprendre un tas de choses inutiles avant de comprendre les choses utiles » Jørn Riel in La maison de mes pères 5/17 chap_11_site.odt 29/05/15 Chapitre 11- Trigonométrie Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d’Alexandrie π c) (⃗ DO ,⃗ AC ) = 2 (modulo 2) d) (⃗ OA ,⃗ AC ) = (modulo 2) e) (⃗ BA , ⃗ CD) = 0 (modulo 2) 3π f) (⃗ (modulo 2) OB , ⃗ AD ) = 4 29 page 301 ABCD est un carré direct (on tourne en lisant les sommets ABCD dans le sens direct, on a donc : π (⃗ AB , ⃗ AD) = (⃗ BC ,⃗ BA) = (⃗ CD , ⃗ CB) = (⃗ DA ,⃗ DC) = 2 + 2k ; k ℤ. ABF est un triangle équilatéral direct, on a donc : π (⃗ AB , ⃗ AF) = (⃗ BF ,⃗ BA) = (⃗ FA , ⃗ FB) = 3 + 2k ; k ℤ. CBE est un triangle équilatéral direct, on a donc : π (⃗ CB , ⃗ CE) = (⃗ BE , ⃗ BC) = (⃗ EC ,⃗ EB) = 3 + 2k ; k ℤ. 1) Comme indiqué dans l'énoncé du livre s'appuyer sur la lecture graphique pour l'orientation. Par construction ADF est un triangle isocèle de sommet principal A puisque AD = AF (= AB). « Le savoir n'est jamais inutile. Seulement il se trouve qu'il faut apprendre un tas de choses inutiles avant de comprendre les choses utiles » Jørn Riel in La maison de mes pères 6/17 chap_11_site.odt 29/05/15 Chapitre 11- Trigonométrie Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d’Alexandrie Notons une mesure de l'angle orienté (⃗ FD ,⃗ FA) ( = (⃗ DA ,⃗ DF) ) D'après la relation de Chasles : (⃗ AB , ⃗ AF) + (⃗ AF ,⃗ AD) = (⃗ AB , ⃗ AD) π D'où, une mesure de (⃗ AF ,⃗ AD) est : (⃗ AF ,⃗ AD) = (⃗ AB , ⃗ AD) – (⃗ AB , ⃗ AF) = 6 . D'autre part, dans tout triangle, on sait : la somme des angles d'un triangle est égale à un angle plat. Dans le cas des angles orientés, on obtient : (⃗ AF ,⃗ AD) + (⃗ FD ,⃗ FA) + (⃗ DA ,⃗ DF) = . (Attention à toujours tourner dans le même sens ...) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Comme ( FD , FA) = ( DA , DF) = , il vient : π 5π 2 = – 6 = + 2k ; k ℤ. 6 5π 5π En divisant par 2, on a deux mesures = et = + 12 12 5π Seule la mesure = est acceptable dans cet exercice. 12 2) Les mêmes observations faites dans le triangle BFE donnent : BFE est isocèle de sommet principal B. π π π L'angle (⃗ BE , ⃗ BF) a pour mesure principale (⃗ BE , ⃗ BF) = 6 + 3 = 2 . π Les angles de base ont par conséquent pour mesure 4 (BFE est un triangle rectangle et isocèle). π (⃗ FB , ⃗ FE) = 4 . 3) (⃗ FD ,⃗ FE) = (⃗ FB ,⃗ FE) (Relation de Chasles) FD ,⃗ FA) + (⃗ FA , ⃗ FB) + (⃗ π π 5 π + 3 + 4 = . (⃗ FD ,⃗ FE) = 12 Comme l'angle (⃗ FD ,⃗ FE) vaut , les vecteurs ⃗ FD et ⃗ FE sont colinéaires de sens opposés. Les points D, F, E sont donc alignés dans cet ordre. « Le savoir n'est jamais inutile. Seulement il se trouve qu'il faut apprendre un tas de choses inutiles avant de comprendre les choses utiles » Jørn Riel in La maison de mes pères 7/17 chap_11_site.odt 29/05/15 Chapitre 11- Trigonométrie Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d’Alexandrie 32 page 301 a) t ∈ ]−π ; π ] , cos(t) = – 1 . 2 On lit sur le cercle trigonométrique : t = 2π 2π ou t = – (bien remarquer que ces deux réels sont dans 3 3 l'intervalle ]−π ;π ] . b) Dans ℝ, les solutions de l'équation cos(t) = – 2π 2π 1 sont les réels + 2k ; k ℤ et – + 2k ; k ℤ. 3 3 2 33 page 301 Résolution dans ℝ : √2 a) cos (t) = 2 Solutions : + 2k ; k ℤ. b) cos (t) = –1 √5 c) cos (t) = – d) sin(t) = f) sin(t) = 0 aucune solution 2 √3 2 e) sin (t) = – π π Solutions : 4 + 2k ; k ℤ et – 4 + 2k ; k ℤ. 1 2 π 2π Solutions : 3 + 2k ; k ℤ et + 2k ; k ℤ. 3 π 7π Solutions : – 6 + 2k ; k ℤ et + 2k ; k ℤ. 6 Solutions : 0+ k ; k ℤ. 38 page 302 a) Résoudre cos (t + 4 ) = cos 2t « Le savoir n'est jamais inutile. Seulement il se trouve qu'il faut apprendre un tas de choses inutiles avant de comprendre les choses utiles » Jørn Riel in La maison de mes pères 8/17 chap_11_site.odt 29/05/15 Chapitre 11- Trigonométrie Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d’Alexandrie { t Cette équation est équivalente au système ou =2 t k ×2 4 t =−2 t k ×2 4 k∈ℤ chacune des équations du système est une équation du premier degré d'inconnue t. t= π + k ×2 π 4 Après réduction, on obtient le système ou 2π t = −π + k × 12 3 { k∈ℤ En donnant trois valeurs consécutives à k, on a : π si k = 0, t = – 12 , si k = 1, t = 7π 12 si k = 2, t = 15 π 5π = 12 4 Représentation des images des solutions sur le cercle trigonométrique. Les points A, B, C , D représentent les solutions. « Le savoir n'est jamais inutile. Seulement il se trouve qu'il faut apprendre un tas de choses inutiles avant de comprendre les choses utiles » Jørn Riel in La maison de mes pères 9/17 chap_11_site.odt 29/05/15 Chapitre 11- Trigonométrie Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d’Alexandrie π π 7π 3π ; – 12 ; 4 ; 4 12 Les mesures principales des solutions sont : – b) Résoudre cos t = sin 2t 2 − , cette équation est équivalente à: cos t = cos 2 −2 t , Comme pour tout réel, on a: sin = cos { t= Cette équation est équivalente au système ou −2 t k ×2 2 t =− −2 t k ×2 2 k∈ℤ chacune des équations du système est une équation du premier degré d'inconnue t. { 2 t= k × 6 3 Après réduction, on obtient le système ou t= k ×2 2 k∈ℤ En donnant trois valeurs consécutives à k, on a : π si k = 0, t = 6 si k = 1, t = 5π 6 si k = 2, t = 9π 3π = 6 2 Représentation des images des solutions sur le cercle trigonométrique. Les points A, B, C , D représentent les solutions. « Le savoir n'est jamais inutile. Seulement il se trouve qu'il faut apprendre un tas de choses inutiles avant de comprendre les choses utiles » Jørn Riel in La maison de mes pères 10/17 chap_11_site.odt 29/05/15 Chapitre 11- Trigonométrie Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d’Alexandrie π π π 5π Les mesures principales des solutions sont : – 2 ; 6 ; 2 ; 6 c) Résoudre cos (2t – 4 ) = cos (t + 6 ) { 2 t− Cette équation est équivalente au système ou =t k×2 4 6 2 t − =− t k ×2 4 6 k∈ℤ chacune des équations du système est une équation du premier degré d'inconnue t. { t= 5 k ×2 12 Après réduction, on obtient le système ou t= k∈ℤ 2 k × 36 3 En donnant trois valeurs consécutives à k, on a : π si k = 0, t = 36 si k = 1, t = 25 π 36 si k = 2, t = 49 π 36 Représentation des images des solutions sur le cercle trigonométrique. Les points A, B, C , D représentent les solutions. « Le savoir n'est jamais inutile. Seulement il se trouve qu'il faut apprendre un tas de choses inutiles avant de comprendre les choses utiles » Jørn Riel in La maison de mes pères 11/17 chap_11_site.odt 29/05/15 Chapitre 11- Trigonométrie Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d’Alexandrie « Le savoir n'est jamais inutile. Seulement il se trouve qu'il faut apprendre un tas de choses inutiles avant de comprendre les choses utiles » Jørn Riel in La maison de mes pères 12/17 chap_11_site.odt 29/05/15 Chapitre 11- Trigonométrie Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d’Alexandrie d) cos t = sin t On sait que pour tout t ∈ ℝ, sin t = cos 2 −t , l'équation cos t = sin t est équivalente à: cos t = cos ( π2 −t ) , t= π −t+ k ×2 π 2 ou Cette équation est équivalente au système t=− π −t + k ×2 π 2 { ( k∈ℤ ) chacune des équations du système est une équation du premier degré d'inconnue t. Après réduction, on obtient le système { t= k× 4 k∈ℤ ou aucune solution 39 page 302 Résoudre a) 2 sin²t – 3 sin t + 1 = 0 cette équation est équivalente au système : { X =sin t 2 X −3 X + 1=0 2 L'équation du second degré 2X² – 3X + 1 = 0 a pour solutions : On a donc : 2 sin²t – 3 sin t + 1 = 0 équivaut à { 1 et 1. ( = 9 – 8 = 1, ...) 2 X =sin t 1 X = ou X =1 2 « Le savoir n'est jamais inutile. Seulement il se trouve qu'il faut apprendre un tas de choses inutiles avant de comprendre les choses utiles » Jørn Riel in La maison de mes pères 13/17 chap_11_site.odt 29/05/15 Chapitre 11- Trigonométrie Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d’Alexandrie 1 ou sin t = 1 2 π 1 5π sin t = équivaut à t = 6 + 2k ; k ℤ ou t = + 2k ; k ℤ 2 6 π sin t = 1 équivaut à t = 2 + 2k ; k ℤ. π π 5π Les solutions appartenant à ]– ; ] sont : 6 ; 2 ; . 6 Il reste à résoudre sin t = b) a) 2 cos²t – 3 √ 3 cos t + 3 = 0 cette équation est équivalente au système : { X =cost 2 X −3 √ 3 X + 3=0 2 L'équation du second degré 2X² – 3 √ 3 X + 3 = 0 a pour solutions : On a donc : 2 cos²t – 3 √ 3 cos t + 3 = 0 équivaut à Il reste à résoudre cos t = { √ 3 et 3 . ( = 27 – 24 = 3, ...) √ 2 X =cos t 3 X = √ ou X =√ 3 2 √3 ou cos t = 3 √ 2 cos t = √3 équivaut à t = π + 2k ; k ℤ ou t = – π + 2k ; k ℤ 6 6 cos t = √ 3 n'a aucune solution puisque √ 3 > 1 2 π π Les solutions appartenant à ]– ; ] sont : 6 ; – 6 40 page 302 1) ∈ [0 ; ] et cos = 0,8 a) Construction (Le point d'abscisse 0,8 sur le cercle trigonométrique dans le premier quadrant est associé à ) b) b) sin² = 1 - cos² = 1 – 0,64 = 0,36 Comme ∈ [0 ; ], sin > 0, d'où, sin = 0,6 c) ≈ 0,64 rad à 10–2 près par défaut 2) Si ∈ ]– ; 0], le point associé à est dans le quatrième quadrant. Le sinus est alors négatif. sin = –0,6 et ≈ –0,64 rad à 10–2 près par excès. « Le savoir n'est jamais inutile. Seulement il se trouve qu'il faut apprendre un tas de choses inutiles avant de comprendre les choses utiles » Jørn Riel in La maison de mes pères 14/17 chap_11_site.odt 29/05/15 Chapitre 11- Trigonométrie Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d’Alexandrie 44 page 302 π a = sin 7 sin −π = –a 7 ( ) sin cos (sin(–x) = –sinx) 8π 8π = – a car = π + et (sin(x + ) = –sinx) 7 7 7 π π 5π 5π = a car 2 – π = et cos ( 2 - x) = sin x. 14 14 7 « Le savoir n'est jamais inutile. Seulement il se trouve qu'il faut apprendre un tas de choses inutiles avant de comprendre les choses utiles » Jørn Riel in La maison de mes pères 15/17 chap_11_site.odt 29/05/15 Chapitre 11- Trigonométrie Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d’Alexandrie 45 page 302 { 5+ 1 π cos π = √ 5 4 1) On sait que , d'où, sin² 5 = 1 – cos 2 (x )+ sin 2( x)=1 π π π Comme 0 < 5 < 2 , on sait que sin 5 > 0. π sin 5 = √ π 2) sin – 5 10−2 √ 5 = 16 ( ) =– comme ( ) 4 2 ) 16−5−2 √ 5−1 10−2 √ 5 = 16 16 = √10−2 √ 5 . √10−2 √ 5 4 ( √ 5+ 1 4 ; π 4π 4π = – 5 , sin = 5 5 √10−2 √ 5 4 π π π 3π 3π Comme 2 – 5 = , sin = cos 5 = 10 10 √ 5+ 1 4 46 page 302 π π 5π a) b) Comme 4 + 6 = , on a : 12 cos π π π π 5π √2 ×√3 − √2 × 1 = = cos 4 ×cos 6 −sin 4 ×sin 6 = 12 2 2 2 2 et sin π π π π 5π √ 2 × √ 3 + √2 × 1 = = sin 4 ×cos 6 +sin 6 ×cos 3 = 12 2 2 2 2 √ 2(√ 3−1) 4 √ 2(√ 3+1) 4 √ 2(√ 3−1) ( ) 4 5π 11 π √ 2(1+ √ 3) et cos ( = –sin =– ) 12 12 4 5π 11 π 11 π Comme π + = , on a : sin 2 12 12 12 = cos 5π = 12 48 page 302 π π π √2 , a)b) 2× 8 = 4 et cos 4 = 2 π 2 π 2π or, cos 4 = 2 cos 8 −1 , d'où, cos 8 = (√ ) π π π π Comme 0 < 8 < 2 , cos 8 > 0, cos 8 = 2 1 +1 × = 2 2 √ 2+1 4 √(√ 2+1) 2 π 2 π 1−√ 2 2 sin2 π et, cos 4 = 1 – , d'où, sin 8 = 4 8 « Le savoir n'est jamais inutile. Seulement il se trouve qu'il faut apprendre un tas de choses inutiles avant de comprendre les choses utiles » Jørn Riel in La maison de mes pères 16/17 chap_11_site.odt 29/05/15 Chapitre 11- Trigonométrie Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d’Alexandrie π π π π Comme 0 < 8 < 2 , sin 8 > 0, sin 8 = √(1−√ 2) 2 51 page 302 π π π 1) cos (t – 4 ) = cos t× cos 4 + sin t × sin 4 √ 2 cos t + √ 2 sin t = 2 2 √ 2 (cos t + sin t) = 2 π π π sin (t – 4 ) = sin t× cos 4 – cos t × sin 4 √ 2 sin t – √ 2 cos t = 2 2 2 √ = (sin t – cos t) 2 2) soit (1) l'équation : cos t + sin t = √ 2 1 √ 2 (cos t + sin t) = 1 √2 ) cos t + sin t = √ 2 équivaut à (En effet : = 2 2 √2 π cos t + sin t = √ 2 équivaut à cos (t – 4 ) = 1 Comme cos 0 = 1 π π On en déduit : cos t + sin t = √ 2 équivaut à t – 4 = 0+ 2k ; k ℤ , soit : t = 4 + 2k ; k ℤ L'ensemble des solutions de (1) est : π s(1) = { 4 + 2k ; k ℤ} soit (2) l'équation : cos t – sin t = √ 2 1 √ 2 (cos t – sin t) = 1 √2 ) cos t – sin t = √ 2 équivaut à (En effet : = 2 2 √2 π cos t – sin t = √ 2 équivaut à sin (t – 4 ) = –1 −π Comme sin 2 = –1 π π π On en déduit : cos t – sin t = √ 2 équivaut à t – 4 = – 2 + 2k ; k ℤ , soit : t = – 4 + 2k ; k ℤ L'ensemble des solutions de (2) est : π s(2) = {– 4 + 2k ; k ℤ} ( ) « Le savoir n'est jamais inutile. Seulement il se trouve qu'il faut apprendre un tas de choses inutiles avant de comprendre les choses utiles » Jørn Riel in La maison de mes pères 17/17 chap_11_site.odt 29/05/15
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