Athénée Royal d’Uccle 1 Cours de Mathématique 5ème année Révision de juin A.Droesbeke Version : 2015 Chapitre 1 Trigonométrie 1.1 Exercices Résoudre les inéquations suivantes : cos 2x <0 1 − 2 sin 2x 2. sin2 x + sin x > 0 1. 3. cos2 x − sin x > 0 4. 3 cos x + 2 sin x ≤ 1 5. 3 sin x + 2 > 2 sin2 x √ √ 6. 3 tan2 x − 4 tan x + 3 < 0 x x 7. 2 cos2 − cos − 1 > 0 2 2 √ 2 8. 2 cos x − 3 sin x − 2 < 0 1 CHAPITRE 1. TRIGONOMÉTRIE 1.2 Solutions Résoudre les inéquations suivantes : i 3π 7π π πh π 5π 3π 11π ∪ − ,− ∪ − , ∪ , ∪ ,π 1. x ∈ −π, − 12 4 12 4 12 4 12 4 2. x ∈ ]0, π[ 3. x ∈ ]−π; 0, 666[ ∪ ]2, 475; π] 4. x ∈ ]−π; 0, 702] ∪ [1, 878; π] 5π π 5. x ∈ − ,− 6 6 i π π h 7π 4π ∪ , 6. x ∈ 63 6 3 i π πh 7. x ∈ − , 3 3 π 2π ,− ∪ ]0, π[ 8. x ∈ − 3 3 2 Chapitre 2 Analyse 2.1 Exercices 1. On donne la fonction f (x) = ax2 + bx + 3 où a, b et c ∈ R x2 + c (a) Déterminer a, b et c pour que la fonction admette les droites y = 2 et x = 1 pour asymptotes et sachant que la tangente au point d’intersection du graphique de f (x) avec l’axe Oy a pour équation −4x + y + 3 = 0 2x2 − 4x + 3 (b) Etudier la variation de la fonction f (x) = x2 − 1 √ 2. Ecrire l’équation de la tangente au graphique de f (x) = 3 x2 − 3x − x en le point d’abscisse 3 . 2 r x 3. On donne la fonction f (x) = 1−x (a) Déterminer le domaine et les zéros de f (x). (b) Ecrire l’équation des asymptotes de f (x). (c) Calculer la dérivée première de f (x) et justifier que f (x) est toujours croissante. Préciser clairement ce qui se passe en x = 0. (d) Calculer le coefficient angulaire de la tangente au point d’inflexion de la courbe. La dérivée seconde de f (x) s’écrit : r x (4x − 1) 1−x f 00 (x) = 2 4x (1 − x)2 4. Soit f (x) = (1 − x)3 x2 et C sa courbe représentative (a) Trouver a, b, c, d tels que f (x) = ax + b + cx + d pour tout x réel non nul. x2 (b) Etudier les variations de f . (c) Déterminer une équation de la tangente t à C au point d’abscisse 1 2 (d) Peut-on trouver un point de C où la tangente à C soit parallèle à la droite d ≡ y = −x ? Si oui, préciser l’équation de cette tangente t0 . 3 CHAPITRE 2. ANALYSE 4 (e) Montrer que C a une asymptote oblique d0 . Préciser leurs positions respectives. 5. On donne la fonction f (x) définie par :  x3 + 8   si x < −2  a x+ √2 f (x) = x+6−2   si x ≥ −2  p (2x + 20)a2 − 4a Pour quelle(s) valeur(s) de a la fonction est-elle continue ? x3 + 2x2 et C sa courbe représentative 6. Soit la fonction f , définie sur R\{−1, 1} par f (x) = 2 x −1 dans le plan muni d’un repère orthonormal (O,~i, ~j)(unité : 2 cm) (a) Etude d’une fonction auxiliaire. Soit g définie sur R par g(x) = x3 − 3x − 4 i. Etudier les variations de la fonction g, et calculer ses limites en +∞ et −∞. ii. Montrer qu’il existe un réel a unique tel que g(a) = 0. Montrer que 2, 1 < a < 2, 2. iii. Etudier le signe de g sur R. (b) Etude de la fonction f . i. Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition. x.g(x) ii. Montrer que pour tout x de R\{−1, 1}, f 0 (x) = 2 . En déduire le tableau (x − 1)2 de variation de f . x+2 iii. Montrer que pour tout x de R\{−1, 1}, f (x) = x + 2 + 2 . En déduire que C x −1 admet une asymptote oblique d . Etudier la position de C par rapport à d. iv. Déterminer les abscisses des points de C où la tangente est parallèle à la droite d’équation y = x + 2. 7. En utilisant la définition du nombre dérivé, écrire l’équation de la tangente au graphe de la √ 3 fonction f (x) = x au point d’ordonnée 1. √ 1 Même question avec la fonction f (x) = x2 − 1 au point d’ordonnée et d’abscisse positive. 2 8. Trois côtés d’un trapèze ont 10 cm de longueur. Quelle doit être la longueur du quatrième côté pour que l’aire du trapèze soit maximale ? 9. On considère le cube ABCDEF GH d’arête 6 cm. On inscrit dans ce cube, le parallélépipède rectangle EIJKLP N M tel que EI = IJ = x et AL = x. On veut déterminer la valeur x pour laquelle le parallélépipède rectangle est de volume maximum. (a) Calculer le volume V du parallélépipède. (b) Trouver alors la valeur x et le volume maximum correspondant. (c) Déterminer, à l’aide de la calculatrice, les valeurs de x pour lesquelles le parallélépipède a pour volume 0,025 litres. CHAPITRE 2. ANALYSE 10. On donne la fonction f (x) = x − 5 √ 3 x3 − 3x2 et le graphe de sa dérivée. (a) Déterminer l’équation des asymptotes de f (x) (b) Uniquement sur base de ce graphe (sans calculer aucune dérivée) et de la forme analytique de la fonction, établir le tableau récapitulatif du comportement de f (x) et esquisser le graphe de f (x). √ 11. Mêmes questions avec la fonction f (x) = 3 x3 − 1 + x et le graphe de sa dérivée. CHAPITRE 2. ANALYSE 2.2 6 Solutions 1. (a) a = 2, b = −4 et c = −1 2(2x2 − 5x + 2) 0 (b) f (x) = . (x2 − 1)2 Tableau de variations : x 1 2 0 -1 N (x) D(x) + + f 0 (x) + % 0 @ + + 1 + + 0 % M 1 , −2 2 2 + 0 0 + + - @ & & 0 m + % (2, 1) r 9 4 3. (a) domf : [0, 1[ et zéro : x = 0 ; 2. t ≡ y = −x − 3 (b) AV ≡ x = 1 r (c) (d) 4. (a) (b) x 1−x f 0 (x) = . 2x(1 − x) Sur domf f 0 (x) est toujours positive et donc f (x) toujours croissante. lim f 0 (x) = +∞. On a donc une tangente verticale. x→0 √ 1 1 3 8 f 00 (x) = 0 ⇔ x = et f 0 = 4 4 9 a = −1, b = 3, c = −3 et d = 1 ; x3 − 3x + 2 f 0 (x) = − . x3 Tableau de variations : x -2 -1 (x + 2) (x − 1)2 D(x) + - f 0 (x) & 0 0 + + - 0 + m % 27 −2, 4 0 @ 1 + + + 0 0 & T.H. + + + & (c) t ≡ y = −5x + 3 2 3 − 4x (d) x = et t ≡ y = 3 4 (e) A.O. ≡ y = 3 − x, d(x) = √ 3 5. a = ± 6 1 − 3x 1 . La fonction est située au dessus de l’A.O. si x ≤ . 2 x 3 CHAPITRE 2. ANALYSE 6. (a) 7 i. g 0 (x) = 3x2 − 3 et lim g(x) = ±∞ ; x→±∞ Tableau de variations : x -1 2 x −1 + f 0 (x) + % 1 0 - 0 0 M & (-1,-2) + 0 + m % (1,-6) ii. En raison des limites de g(x) et ±∞, du tableau de variations et notamment les valeurs des ordonnées des extremums, on peut dire grâce au théorème des valeurs intermédiaires que g(x) s’annule une seule fois. g(2, 1) ≈ −1, 039 et g(2, 2) ≈ 0.048. iii. (b) x a g(x) - 0 + i. lim f (x) = ±∞ et lim f (x) = ±∞ x→±∞ x→±1 3 x(x − 3x − 4) . (x2 − 1)2 Tableau de variations : ii. f 0 (x) = x x g(x) (x2 − 1)2 0 f (x) -1 + 0 + % 0 + a 1 0 + + 0 + + 0 0 + + + 0 - @ 0 + M & & m % (0, 0) (a, f (a)) iii. Il suffit de simplifier la nouvelle expression donnée. Comme, en ±∞ le terme x+2 tend vers zéro, la fonction tend vers c + 2 en ±∞ qui est donc une asympx2 − 1 tote oblique de la fonction. x+2 d(x) = 2 dont le signe est : x −1 @ + % x x+2 x2 − 1 -2 + 0 + + -1 1 0 + - 0 + + d(x) - 0 + @ - 0 + La fonction est sous l’A.O. en −∞ et au dessus en +∞. iv. Il faut résoudre l’équation f 0 (x) = 1 dont les solutions sont x = −2 ± 1 x+2 7. f 0 (1) = et t ≡ y = 3 3 8. x = 20cm 9. (a) V = x2 (6 − x) (b) x = 4 (c) x = 5 et x = 1+ √ 2 21 √ 3. CHAPITRE 2. ANALYSE 8 10. (a) AH ≡ y = 1 (b) Le tableau récapitulatif est le suivant : x 0 0 f (x) f 00 (x) f (x) - 2,6 + - @ @ 3 0 & P.R. % ∪ (0, 0) - @ @ + M & T.V. & ≈ (2, 6; 4) ∪ (3, 3) ∩ 11. (a) AOg ≡ y = −2x et AOd ≡ y = 2x (b) Le tableau récapitulatif est le suivant : x 0 0 0,7 f (x) f 00 (x) + f (x) & PI & PA ∪ (0, 1) ∩ (0,7 ;0) 0 - 1 + + @ @ + - % TV % ∪ (1, 1) ∩ Chapitre 3 Algèbre 3.1 Exercices   1 0 0 1. Soit la matrice A =  0 2 0  ; calculer A2 , A3 et A4 ; proposer une expression pour Ak . 0 0 3   1 −1 −1 2. Soit A =  −1 1 −1  −1 −1 1 (a) Calculer A2 (b) Montrer que A2 = A + 2I (c) Déterminer une matrice B tel que AB = I. 9 CHAPITRE 3. ALGÈBRE 3.2 Solutions      k  1 0 0 1 0 0 1 0 0 1. A2 =  0 4 0 , A3 =  0 8 0  et Ak  0 2k 0  0 0 9 0 0 27 0 0 3k   3 −1 −1 2. (a) A2 =  −1 3 −1  ; −1 −1 3 (b) il suffit de  a  d (c) B = g remplacer...  b c e f  et par multiplication de matrice et identification : h i   1 1 − 0 −  2 2   1 1   B= − 0 −  2    12 1 − − 0 2 2 10 Chapitre 4 Géométrie 4.1 Exercices 1. Soit les points A(3, −1, −3), B(0, 4, 2), C(−3, 1, 3) et D(−2, 0, −2) (a) Placer ces points dans le repère donné −→ −−→ (b) Calculer les composantes du vecteur AB + 2CB −−→ −→ −−→ −→ (c) Déterminer les coordonnées de G sachant que 2BG − AC = DB + 3CG (d) Déterminer les coordonnées de E tel que AECD soit un parallélogramme. (e) Déterminer une valeur de k pour que le vecteur (k, 2k − 1, 3) soit orthogonal au vecteur −−→ DA [ (f) Déterminer la valeur de l’angle ABC. 2. Soit le cube ABCDEF GH et le plan XY Z (X est dans ADH, Z est dans BCG). Déterminer la section du cube par le plan. 11 CHAPITRE 4. GÉOMÉTRIE 3. Déterminer la section du prisme par le plan XY Z (Y dans IJD) 12 CHAPITRE 4. GÉOMÉTRIE 4.2 Solutions 1. (a) . −→ −−→ (b) AB + 2CB : (3, 11, 3) (c) G : (−5, −11, −5) (d) E(2, 0, 2) 2 (e) k = 3 [ (f) ABC ≈ 1.54(88◦ ). 2. . 13 CHAPITRE 4. GÉOMÉTRIE 3. . 14 CHAPITRE 4. GÉOMÉTRIE 15