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Lycée Paul Constans
Année 2014/2015
Classe de PTSI
Concours Blanc de Mathématiques n°1
Ce sujet comporte 3 pages. Il y deux exercices et un problème indépendants.
Durée : 4 heures La calculatrice n’est pas autorisée.
La clarté et la précision de la rédaction sont prises en compte dans l’évaluation.
Utiliser une copie différente pour chacun des exercices et pour le problème.
Ne rien écrire sur la première page de votre composition mis à part la présentation.
¿ Les gens n’aiment pas penser ; c’est qu’ils ont peur de se tromper. Penser, c’est aller d’erreur en erreur.
Ce qui fait que la mathématique est une épreuve redoutable, c’est qu’elle ne console point de l’erreur.
Thalès, Pythagore, Archimède ne nous ont point conté leurs erreurs :
nous n’avons pas connu leurs faux raisonnements et c’est bien dommage. À
Alain (1868-1951), philosophe et journaliste français
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LEROY- PTSI Paul Constans
(Durée conseillé : 1h10, barème envisagé 6 points)
Z 1
xn
On considère la suite réelle (In )n∈N définie par : ∀n ∈ N, In =
dx
p
0
1 + x2
E XERCICE N O 1
h
1
1. Justifier rigoureusement que f : x 7→ p
1 + x2
Définition de In
i
est continue sur R. En déduire que In existe pour n ∈ N.
Calculs de I1 et I0
p
2. a. Prouver que I1 = 2 − 1.
b. Recopier et compléter les . . . :
La fonction sh est . . . et . . . sur R aussi elle réalise une . . . de R dans . . . .
Pour tout réel y, l’équation sh x = y d’inconnue x réel a toujours . . . solution.
En particulier, sh x = 0 ⇔ . . .
On connaît aussi une relation liant sh2 x et ch2 x qui est . . . .
c. Résoudre sh t = 1.
p
d. En posant x = sh t , montrer que I0 = ln(1 + 2) .
Calculs de I2 et I3
1
Z
3. On montre sans difficulté (et on ne demande pas de le faire) que le réel K n =
xn
0
p
1 + x 2 dx existe pour n ∈ N
x n+2 = x n (1 + x 2 − 1) montrer que In+2 = K n − In .
p
b. En utilisant une intégration par parties, montrer que : In+2 = 2 − (n + 1)K n
a. En remarquant que
c. Exprimer alors K n en fonction de In . En déduire K 0 , K 1 puis I2 et I3 .
Convergence de la suite (In )
4. a. Justifier que : ∀n ∈ N, In Ê 0
b. Démontrer que (In ) est décroissante et conclure sur la convergence de la suite (In ).
1
. En déduire la limite de la suite (In ).
c. Établir que : ∀n ∈ N, In É
n +1
E XERCICE N O 2
(Durée conseillé : 20 minutes, barème envisagé 2 points)
Ãp
p !
6+ 2
L’objectif de cet exercice est de calculer la valeur exacte du réel a = Arccos
4
Encadrement de a
i πh
p
p
2 ' 1, 4 et 3 ' 1, 7. Donner une valeur approchée à 10−1 prés de cos a. En déduire a ∈ 0,
6
Valeur exacte de sin(2a)
Ãp
p !2 Ã p
p !2
6+ 2
6− 2
2. On admet que 1 −
=
. (On ne demande pas de le faire)
4
4
p
p
6− 2
a. Exprimer sin a à l’aide de cos a. En déduire que : sin a =
4
1
b. Exprimer sin(2a) à l’aide de sin a et cos a et démontrer que : sin(2a) = .
2
1. On rappelle que
Détermination de la valeur exacte de a
3. En utilisant les questions précédentes, déterminer la valeur exacte de a.
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P ROBLÈME
(Durée conseillé : 2h30, barème envisagé 12 points)
Dans ce problème, on note I3 la matrice identité de M3 (R). Les 4 parties sont largement indépendantes entre elles.
Partie 1 : un système à paramètre
1. On considère le système linéaire

 (m − 4)x − 6z = 0
(S m ) : 3x + (2 + m)y + 3z = 0

3x + (5 + m)z = 0
où m est un paramètre réel
a. Donner la matrice Am carrée d’ordre 3 de ce système et l’écriture matricielle associées à ce système.


3
0
5+m
.
−(2 + m)
b. Prouver que : Am ∼L  0 2 + m
0
0
(m − 1)(m + 2)
c. Déterminer alors en fonction de m l’ensemble S m des solutions de (S m ).
d. Prouver que la matrice A0 est une matrice inversible. Préciser A−1
0 .
Dans la suite du problème, M désigne la matrice carrée d’ordre 3 à coefficients réels donnée par :


−5 0 −6
M = A−1 =  3 1 3 
3
0
4
On va alors étudier diverse méthodes pour le calcul de Mn où n ∈ N.
Partie 2 : une première méthode pour calculer Mn
1
A = (M − I3 )
3
2
a. Calculer A et A . Donner une relation entre A2 et A et déduire à l’aide de celle-ci que A n’est pas inversible.
2. On considère la matrice A définie par :
b. Déterminer les réels u 0 , u 1 et u 2 tel que Mn = I3 + u n A pour n ∈ {0, 1, 2}
c. Démontrer que, pour tout entier naturel n, il existe un réel u n tel que Mn = I3 + u n A
La preuve permettra d’établir que la suite (u n ) vérifie la relation de récurrence
∀n ∈ N, u n+1 = 3 − 2u n
d. Déterminer u n en fonction de l’entier naturel n puis en déduire Mn en fonction de n.
Partie 3 : une seconde méthode pour calculer Mn


−1 0 −2
3. J est la matrice de M3 (R) telle que J =  1 1 1 .
1 0 2
a. Montrer que M est une combinaison linéaire de J et de I3
b. Déterminer les réels αn et βn tels que Mn = αn I3 + βn J pour n ∈ {0, 1}
c. Établir alors que : ∀n ∈ N, ∃(αn , βn ) ∈ R2 , Mn = αn I3 +
à βn J. ! µ
¶Ã !
αn+1
αn
−2 0
La démonstration permettra d’établir que : ∀n ∈ N,
=
.
3 1
βn+1
βn
d. Expliciter αn en fonction de n.
e. Montrer que (βn ) suit la relation :
f.
∀n ∈ N, βn+2 = 2βn − βn+1 . Expliciter alors βn en fonction de n.
Retrouver le résultat de 2.(d) pour le calcul de Mn
Partie 4 : une troisième méthode pour calculer Mn
4. a. Déterminer J2 et en déduire la matrice Jn pour tout entier naturel n
à !
n
X
n k
b. Prouver que, pour tout entier naturel n, on a :
3 (−2)n−k = 1 − (−2)n
k
k=1
c. Établir, en développant, que (3J − 2I3 )n est une combinaison linéaire de J et de I3
d. Retrouver alors l’écriture Mn = αn I3 + βn J pour n ∈ N où αn et βn sont les réels expliciter dans la question 3.
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